3 Metodologia 3.1 Prêmio de Risco por Volatilidade

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1 3 Meodologia 3. Prêmio de Rico por Volailidade É fao conhecido na lieraura que a razão de hedge do Modelo de Black- Schole pode er uado para conruir um porfolio proegido em rico quando a volailidade é conane e o reorno dee porfolio deve er igual ao reorno da axa livre de rico para prevenir lucro proveniene de arbiragem. No enano, conforme obervado por Wiggin 987, quando a volailidade é eocáica e o rico de volailidade eá iemaicamene preene, o porfolio proegido não erá auene de rico e não erá reorno igual ao reorno da axa livre de rico. Ea pare do eudo em como bae o memo procedimeno adoado em doi ouro rabalho nunca ane eado ao mercado braileiro. Primeiro, ao apreenado por Sarwar 00 que mede o prêmio de rico por volailidade como o exceo de reorno do porfolio proegido, ou eja, a diferença enre o reorno do porfolio proegido e o reorno livre de rico. O porfolio proegido em como bae a razão de hedge do Modelo de Black-Schole Modificado e é reviado dinamicamene em função de mudança na volailidade implícia. Segundo, ao apreenado por Bakhi & Kapadia 003 que mede o prêmio como uma função direa do ganho perda de um porfolio de opção dela-neuro. Enreano, ee rabalho difere do originai em algun pono. Em relação ao rabalho de Sarwar 00 a bae de dado uilizada é maior. Cada dia de negociação pode haver mai de uma opção negociada com vencimeno e preço de exercício diino. Io faz com que a confiabilidade na eaíica eja maior. São aplicado filro exra no dado de opção em função da peculiaridade do mercado braileiro de câmbio em geral muio mai voláil que o mercado de câmbio briânico. E o empo médio de rebalanceameno é de,30 dia já que o rebalanceameno é feio em função da diponibilidade do dado de opçõe enquano que no rabalho original o rebalanceameno é feio de 3 em 3 dia. Já em relação ao rabalho de Bakhi & Kapadia 003 foi uilizada a volailidade implícia para o cálculo da razão de hedge no lugar do GARCH,. De acordo com Jorion 995 o uo da volailidade implícia gera erro de

2 eimação vieado menore na razão do hedge. Uilizou-e a mema adapação propoa por Low & Zhang 005 no cao aplicado a moeda, ou eja, exie um decono aplicado ao modelo de Bakhi & Kapadia 003 em função do rendimeno em moeda erangeira. A axa de juro doméica e erangeira não ão ajuada ao longo da vida da opção e o porfolio uilizado é compoo por comprado em opção e vendido em moeda objeo Low & Zhang, 005 uilizam porfolio de raddle. A ecolha por ee modelo em vez de um modelo eórico mai explício de volailidade eocáica deve-e baicamene a quaro moivo: Primeiro o marke maker e o rader regularmene uilizam variaçõe do Modelo de Black- Schole com aualizaçõe diária da volailidade implícia conforme ugerem Cheney & Sco 989 e Nandi 996. Segundo, a razão de hedge do Modelo de Black-Schole, o dela da opção de moeda, leva a único porfolio proegido que é inananeamene em rico. O modelo de volailidade eocáica da clae apreenada por Heon 993 não epecificam um único porfolio proegido, embora eja poível deerminar al porfolio aravé do modelo de volailidade eocáica. Terceiro, Cheney & Sco 989 moram que o Modelo de Black- Schole Modificado com revião diária da volailidade implícia performa melhor do que eu modelo de volailidade eocáica em precificar opçõe de Franco Suíço. E finalmene, modelo de volailidade eocáica envolvem imulaçõe numérica cuoa do pono de via compuacional, além de aumirem um proceo epecífico para a érie emporal da volailidade o que pode adicionar mai uma fone de erro. A idéia cenral é que e o preço da opçõe incorporam um prêmio de rico de volailidade diferene de zero, enão podemo inferir ua exiência a parir de reorno de um porfolio com opçõe dinamicamene proegido conra odo o rico com exceção do rico de volailidade. De acordo com Sawar 00, o valor do porfolio proegido a parir do Modelo Black-Schole modificado no empo, Ψ, é: H S C 03 Para uma explicação mai dealhada veja Hull 0 p e Coa 998 p

3 3 Onde H é a razão de hedge dela da opção, S é a axa de câmbio a via BRL/USD e C é o preço da opção. A razão de hedge é definida como: H C S e r T f Nd 04 Onde, d {ln S / K r rf / T} / T 05 De modo que σ é a volailidade implícia da axa a via de câmbio, K é o preço de exercício, r é a axa doméica livre de rico, r f é a axa erangeira livre de rico, T é o empo para o vencimeno da opção e Nd é a função cumulaiva da diribuição normal. A volailidade implícia é calculada recurivamene e exraída aravé da fórmula do Modelo de Black-Shcole Modificado deenvolvido por Garman & Kohlhagen 983, Grabbe 983 e Biger & Hull 983 cuja fórmula para a call Européia é: r f r C S, Se N d Ke N d, 06 Onde, d ln S / K r r f 0,5 d d N. repreena a função cumulaiva da diribuição normal padrão, K é o preço de exercício e τ é o empo para vencimeno da opção. Como a razão de hedge e modifica em função da variação do preço à via do câmbio, do empo para o vencimeno da opção e da volailidade, para e maner o porfolio proegido é neceário que e faça o rebalanceameno

4 4 frequenemene. Nee cao, o valor do porfolio proegido em + i é eimado como: i H S i C i 07 O preço da opção C +i e refere a uma opção em paricular no empo + i que em o memo preço de exercício e a mema daa de vencimeno da opção em C, de al modo que a dua opçõe erão diferene apena no empo para vencimeno por i dia. Tal eruura maném o memo porfolio em Ψ e Ψ +i e permie deerminar mudança no valor do porfolio proegido Ψ ao longo do empo. O reorno do porfolio proegido, R, é eimado como: R i i / 08 O prêmio de rico por volailidade, λ, é eimado enão como: i R anualizado i r anualizado i 09 Onde r +i é a axa de wap DIxPre da BM&F no período + i e repreena uma proxy para a axa doméica livre de rico. Apear da eoria aumir hedge em empo conínuo, na práica o rebalanceameno ocorre em empo dicreo. A poição do porfolio na eq. 07 é reajuada dicreamene para eimar o reorno emporal do porfolio endo o empo de rebalanceameno realizado de acordo com a diponibilidade de dado para a opção. O empo médio de rebalanceameno foi de,30 dia. Em Bakhi & Kapadia 003, e o rico de volailidade eá precificado, enão o inal e a magniude do ganho médio do dela-hedge erão deerminado pelo prêmio de rico de volailidade. Para io ele decrevem a diribuição do ganho em um porfolio comprado em opção, proegido por uma poição vendida na ação objeo, de modo que o ganho líquido do inveimeno eja a axa livre de

5 5 rico, provando que a eoria vale ano no mundo com volailidade conane, quano no mundo com volailidade eocáica 3. O ganho no porfolio proegido repreena o ganho de dela-hedge que é objeo do eudo. O ganho oal do dela-hedge na verão dicrea é dado por: N, max S k,0 C S S r C r rf n n n0 n N n0 n S n N 0 N é o número de veze que o porfolio de opção é proegido dicreamene ao longo da vida da opção, e o hedge é rebalanceado na daa n, n=0,,,...n- definido que = 0 e n =+τ com C / S ; r e r f ão N n ; n n n n repecivamene a axa doméica e erangeira livre de rico. O reulado do porfolio dela-hedge permie avaliar dua hipóee: Primeiro, e, na média, é diferene de zero, enão o rico de volailidade é precificado no mercado de opçõe de moeda; Segundo, e, na média, é negaivo poiivo, enão o prêmio de rico de volailidade imbuido no mercado de opçõe de moeda é negaivo poiivo. Low & Zhang 005 deerminam a equação diferencial parcial do preço do raddle f a parir do proceo aumido para o preço a via do câmbio, do preço de um raddle Européia de moeda e de argumeno padrõe de arbiragem Cox e al., 985. Coniderando um porfolio dela-hedge dinâmico formado por uma poição comprada de raddle e vendida a via na moeda objeo. A poição a via é ajuada ao longo da vida do raddle a +τ para proeger conra odo o rico com exceção do rico de volailidade. O reulado dee porfolio delahedge dinâmico é dado por: fu E, E u du u 3 Bakhi & Kapadia 003 apreenam uma prova com rigor maemáico maior do que Sarwar 00.

6 6 A implicação da eq. é que e o rico de volailidade não eá precificado, ou eja, λ u =0, enão o a ganho perda médio eperado do porfolio dela-hedge erá zero. Se o rico de volailidade eá precificado, ou eja, λ u 0, enão o a ganho perda médio eperado do porfolio erá diferene de zero. Devido ao fao que o vega do porfolio, f u, é poiivo, enão o inal do prêmio de rico de volailidade, λ u, deermina e a poição média do porfolio dela-hedge é poiivo ou negaivo. u 3. Prêmio de Rico Cambial pela Teoria de Paridade de Juro Ea pare do rabalho é imilar ao procedimeno adoado por Li e al. 0. A inovação aplicada aqui foi a adição do rico paí na equação economérica em função da adapação para a CIP propoa por Garcia & Olivare 00 uma vez que a premia da CIP para o Brail não e verifica, upoição coniderada no rabalho de Li e al. 0. A CIP implica que o diferencial de axa de juro doméico e erangeiro i i deve er igual ao prêmio a ermo, já a UIP implica que o diferencial de, k, k axa de juro deve er igual a mudança eperada na axa de câmbio: E k fk i, k i, k é o logarimo da axa à via de câmbio no empo e f,k é o logarimo do fuuro do câmbio em para enrega em +k. E. repreena o operador maemáico repreenaivo de expecaiva. Aim, a axa eperada de apreciação depreciação deve er igual ao prêmio a ermo, f,k -, ou ao diferencial de axa de juro. Para que a UIP eja obervado no mercado é neceário que a CIP ambém e verifique, ou eja, a CIP é condição neceária ma não uficiene para e verificar a UIP. Conforme Domowiz & Hakkio 985, coniderando expecaiva racionai, em geral modelo que procuram por evidência de premio de rico para a UIP ão da forma:

7 7 k f, k RP, k 3 Divero modelo eimado em o prêmio de rico RP enconram coeficiene negaivo quando eam a hipóee de UIP de α = 0 e β = implicando que cove +k ;RP < 0 e que VarRP > VarE +k. De acordo com a meodologia propoa por Fama 984 a axa de câmbio no mercado a ermo, f, pode er decompoa em uma axa eperada e um prêmio de rico: f E p 4 Toda a variávei eão na forma de logarimo, e o valor eperado da axa po fuura, E, é a previão racional, condicional a oda a informação diponível em. A eq. 4 é uma definição paricular da componene de prêmio da axa a ermo, porém não é a única poível. A fórmula de apreçameno de um conrao fuuro de moeda, pela eoria de não-arbiragem de acordo com Hull 0, cap. 5 é: F Se rr T 5 Onde F é o preço fuuro f = log F, S é a axa à via = log S, r é a axa de juro doméica, r é a axa de juro exerna amba com capialização conínua e T- é o empo para vencimeno anualizado. Aplicando logarimo: f r r T 6 A eq. 5 é uada em finança e equivale a condição de paridade cobera da axa de juro CIP, uada em macroeconomia abera. A evidência empírica inernacional mora que al condição vale para economia deenvolvida, io é,

8 8 ano faz para um inveidor comprar íulo denominado em ua própria moeda no eu próprio paí ou no paí erangeiro Banal & Dahlqui, 000. A CIP é uma eoria de não-arbiragem e que facilmene verificada pelo mercado deveria er ajuada ao longo do empo não proporcionando lucro não uuai para o mercado. Inroduzindo o rendimeno de conveniência y, chamado de rico paí conforme adapação propoa por Garcia & Olivare 00 a eq. 5 e ranforma em: F Se rr y T 7 Aplicando logarimo: f r r y T 8 Com bae na eq. 8 e na eq. 4 pode-e ecrever: r r y T E 9 p Coniderando expecaiva racionai: E 0 Onde é ruído branco. Com a eq. 9 e 0 junamene com a idéia propoa por Domowiz & Hakkio 985 que inveigam o prêmio de rico no mercado cambial com bae na variância condicional do erro de previõe do mercado, o ee empírico para o prêmio de rico cambial pode er expreo como: r r y T

9 9 Ee modelo economérico equivale incluir na eoria decobera de axa de juro UIP um prêmio de rico. A UIP inroduz incereza ao modelo macroeconomico e de finança uma vez que rabalha com expecaiva no lugar do fuuro do dólar CIP, porém a inrodução da incereza em modelo de inveimeno adiciona cero grau de complexidade, ma ambém de realimo. Aim como em Berk & Kno 00 e Melander 009 foi adicionado o devio padrão condicional como prêmio de rico variane no empo na equação da média para conruir o modelo GARCH-M. Dea forma a eq. na verão GARCH-M pode er ecria da eguine forma: 0 T y r r A variável é componene condicional do devio padrão do ermo de erro e repreena o prêmio de rico variane no empo que afea direamene a axa de câmbio. O prêmio de rico em um componene conane α e um componene variane no empo, o que é baane razoável já que e a averão do rico do inveidor e alera ao longo do empo o memo comporameno deve er previo para o prêmio de rico. Se ambo α e γ ão não ignificaivo e porano iguai a zero, enão não há prêmio de rico. Se α 0 ma γ = 0, enão exie um prêmio de rico conane. Somene quando γ 0 não há prêmio de rico variane no empo. Enreano, o modelo economérico final a er eado é uma combinação do modelo Componene GARCH-M com o modelo aimérico TARCH 4, que inroduz efeio aimérico na equação raniória: q q D q q q q T y r r 3 4 Inroduzido independenemene por Gloen e al. 993 e Zakoïan 994.

10 30 Onde D é uma variável dummy para capurar efeio aimérico. D = para ε 0 indicando a preença de efeio raniório alavancado na variância condicional apreciação não eperada na axa de câmbio e D = 0 cao conrário. q + é o componene de longo prazo da variância condicional que reflee choque no fundameno econômico e converge para o nível de volailidade de longo prazo invariane no empo ϕ com uma magniude ϕ. q é o componene de curo prazo que é mai voláil e direcionado pelo enimeno de mercado. O coeficiene AR ϕ da volailidade permanene no componene de longo prazo deve exceder o coeficiene ϕ 4 + ϕ 6 no componene raniório o que implica num modelo eável e que a volailidade de curo prazo converge mai rápido do que a de longo prazo. A diribuição do erro é modelado como uma diribuição generalizada de erro igla em inglê GED 5, ε + Ф ~ GED0,h +,v, que permie incluir a curoe - muio comum em dado financeiro incluive em axa de câmbio. Nelon 99 uiliza ea diribuição para modelar o reorno no mercado de açõe, e Hieh 989 para modelar a diribuição da axa de câmbio. O modelo CGARCH uilizado aqui é o memo que propoo por Engle & Lee 999. Ee modelo garane que a volailidade não é conane no longo prazo e decompõe a volailidade do prêmio de rico em doi componene, uma endência de longo prazo e devio de curo prazo em relação a ea endência. Separar o prêmio de rico em permanene e raniório no permie enender melhor a fone de incereza, uma vez que a deciõe de inveimeno dependem muio e ea incereza é permanene ou raniória Byrne & Davi, GED é uma generalização da diribuição normal. Ela inclui a diribuição normal e o parâmero v em valor. v é uma medida de groura de cauda. Se v < reula em uma diribuição de cauda groa.

11 3 3.3 Dado O rabalho poui dua análie na deerminação do prêmio de rico no câmbio braileiro. Cada pare da análie empírica é feia com dado e período diino. Na análie do prêmio de rico por volailidade uiliza-e dado diário de opçõe de compra européia obre diponível de dólar negociado na BM&F durane o período de Janeiro de 000 aé Seembro de 0 oalizando obervaçõe diária. Para deerminar a volailidade implícia, conforme eq. 06, da opçõe de compra e para conruir o porfolio proegido ão uado o parâmero de inpu para o modelo Black-Schole modificado ai como preço a via da axa de câmbio, preço de exercício da call, axa doméica e erangeira livre de rico, empo para o vencimeno e o preço da opção coação média. A proxy para a axa doméica livre rico uilizada foi a axa implícia no mercado de Swap DIxPRE na BM&F para o período aé o vencimeno da opção anualizada. Ea axa apreenou maior enibilidade a expecaiva de mercado do que a axa Selic 6. Já para a axa erangeira livre de rico uilizou-e a axa do Federal Fund Rae. Para excluir regiro de opçõe não repreenaivo do mercado, a opçõe de compra que cairem na eguine caegoria ão deconiderada para o eudo:. Opçõe de compra que violam a condição de froneira para call européia, ou eja, C rf T rt Se Ke ;. Opçõe cujo preço negociado eja menor que R$ 0,00 veja conrao de call de dólar na BM&F que eipula que o prêmio da opção deve er expreo em reai por US$.000, com aé rê caa decimai.; 3. Opçõe com empo para vencimeno menor que 7 dia úei e maior ou igual a 30 dia corrido 7. 6 No dia 04//00, período de urbulência devido a eleição preidencial efeio Lula o wap DIxPRE aponava uma axa de juro de 30,06%a.a. enquano a Selic e maneve em,00%a.a.; 7 Hull & Whie 987 verificaram que frequenemene o modelo Black-Schole obreavalia o preço da opçõe e a magniude dea obreavaliação aumena com o aumeno do empo para vencimeno. Já Coa 998, p. 70 argumena que para opçõe próxima do exercício o parâmero do modelo Black-Schole ecoam por um buraco negro em que a quanidade

12 3 Já na análie do prêmio de rico cambial uiizou-e amora com dado menai da axa a via e fuura de mê de câmbio BRL/USD, do diferencial de axa de juro báica braileira e americana repecivamene Selic e Fed Fund e do rico paí medido pelo EMBI+ Rico Brail calculado pelo JP Morgan para o período de Julho/994 aé Agoo/0 com um oal de 8 obervaçõe menai. Algun pequiadore ugerem o uo de amora de no mínimo 00 ou mai para ober parâmero confiávei no modelo GARCH veja, Bollerlev e al., 994, p Enreano, não exie coneno quano ao número mínimo ugerido. De modo geral epera-e inferência eaíica mai confiávei com o aumeno do amanho da amora, uma vez que o ee eaíico endem a aproximaçõe ainóica. eórica ornam-e muio grande ou pequena demai ornando-e inraávei na práica apear de ainda coerene com a eoria.