UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MUDANÇA DE REGIME MARKOVIANO: UMA APLICAÇÃO A SÉRIES ECONÔMICAS BRASILEIRAS Igor Alexandre Clemene de Morais Orienador Prof. Dr. Marcelo Savino Porugal Tese apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Economia da Faculdade de Ciências Econômicas da Universidade Federal do Rio Grande do Sul como pare dos requisios para a obenção do íulo de Douor em Economia. Poro Alegre RS 23

2 2 AGRADECIMENTOS Os agradecimenos não são poucos. E iso devido não apenas ao empo decorrido para a elaboração desa ese, mas ambém à quanidade de conribuições direas e indireas que ocorreram nese período. Desa forma, sem prejuízo da imporância, escolhi relaar de forma reduzida os quaro anos em que esive envolvido nese rabalho. O primeiro ano pode ser caracerizado como de grandes viórias. Apesar da mudança esruural na vida senimenal (rompimeno de um noivado), ive a felicidade de conar com o apoio da família, leia-se mãe e irmã (acredio que o meu pai ambém enha dado o seu apoio espiriual). Na seqüência, os amigos Fernando Vendramel, hoje em Berkeley, e Márcio Rodrigues (morando em Chapecó), ambém me deram apoio logísico para minimizar o overshooing no meu comporameno nesa nova vida de soleiro. Ao final do primeiro semesre de 999 ive a felicidade de começar a rabalhar na Assessoria Econômica da FIERGS. Indicação da compeene amiga Susan Schommer (não sei onde ela esá rabalhando nese momeno). O economisa, professor, chefe e amigo Nuno Renan de Figueiredo Pino, eve paricipação direa na minha formação profissional mas, os erros remanescenes nesa empreiada são de minha ineira responsabilidade. Quero lembrar que foi em sua sala, que hoje ocupo, que em rápida conversa surgiu a idéia de rabalhar com modelos mulivariados, a parir da fala: Ei, esas séries coinegram. Referência aos par bonds da América Laina. A sua paixão por economia brasileira e, em especial, a do Rio Grande, me conaminou, e a ele dedico o capíulo cinco desa ese. O ano de 2, do céu ao inferno. Viória no primeiro exame de qualificação de microeconomia em março porém, decepção em macroeconomia no quaro rimesre. Não poderia deixar de ciar André Carraro pela moivação que me deu para concluir esa ese. Espero que me dê a oporunidade de poder assisir a defesa da sua. Naquela oporunidade, conheci Paulo Barcellos, que pareceu ser uma pessoa séria e ínegra. Hoje, rabalhamos junos, o que me permiiu ambém descobrir que ele é um profissional compeene. Durane o ano de 2 esive na rede pelo lado de fora. Não era aluno do douorado mas inenava reornar. Os amigos Jeferson Biencour (hoje no Tesouro

3 3 Nacional), Merlin (na Pólo RS), Alexandre Engler, Ricardo Nogueira, Fábio Alhaus e Vanessa Frainer, odos ainda companheiros de rabalho, presenciaram ese momeno difícil. A odos eles agradeço a compreensão e o apoio dado neses anos. Um parágrafo para o amigo de profissão Aod Cunha de Moraes Júnior (hoje presidene da FEE), que permiiu que eu paricipasse de um capíulo de sua ese e que nos renderia, ao final do ano, o 2º lugar no concurso do Tesouro Nacional. Também iríamos ganhar no início do ano seguine, o º lugar no prêmio ABAMEC. Grande parceria. Ao final do ano fui aceio para enrar no douorado novamene. Agradeço esa oporunidade ao professor Eduardo Ponual Ribeiro e Robero Camps de Moraes, profissionais muio sensaos e exemplo para odos e ao meu orienador, passado e fuuro, Marcelo Savino Porugal. Aliás, a ese caberia diversos parágrafos de agradecimenos. Quero desacar que esa ese não esaria prona se não fosse a sua orienação écnica e os seus incenivos além, é claro, de seu apoio compuacional. Suas opiniões me ajudaram desde a disseração de mesrado, onde ambém me orienou. Assim, lá se vão seis anos e meio de vida acadêmica no Sul do Brasil com as orienações dese compeene profissional. Os erros que aqui exisam, ou falhas, são de minha ineira responsabilidade. Quero aproveiar a referência ao local de rabalho para lembrar as sempre presaivas, Iara, Cláudia e Raquel, da secrearia do pós. Também ive amigos nese percurso que quero deixar homenagens: Eduardo (no BRDE), Rildo (espero que ermine seu douorado em maemáica), Ângelo (no Banco Cenral), Sabino (UFRGS) e Mariane (no Jornal do Comércio). Por favor, se esqueci de alguém,...,fazer o quê? Infelizmene não haverá oura ese para me redimir dese erro. Em março de 22 erminei o exame de qualificação em macroeconomia, após er esudado com os amigos Paulo Jacino, Izee, Flávio e Liderau. Inicio enão, em abril, os esudos para esa ese, que se esenderiam aé o mês passado. Durane ese período o maior inforúnio foi, sem dúvida, a more do professor Nuno. Após a quara-feira de cinzas do carnaval de 23, a Assessoria Econômica se reuniu com o presidene da FIERGS Renan Proença. Agradeço a ele e a Júlio Magalhães a chance de poder coninuar a obra do professor Nuno. E como não, aos amigos da Assessoria Econômica pelo apoio nesa nova eapa.

4 4 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO MUDANÇA DE REGIME MARKOVIANO: UMA REVISÃO TEÓRICA MODELOS LINEARES UNIVARIADOS E MULTIVARIADOS: TESTES E ESPECIFICAÇÕES INSTABILIDADE NOS PARÂMETROS E MODELOS COM MUDANÇA DE REGIME MUDANÇA DE REGIME MARKOVIANO MODELOS DE MUDANÇA DE REGIME MULTIVARIADOS EQUAÇÃO DE DEMANDA POR IMPORTAÇÕES COM MUDANÇA DE REGIME RESULTADOS ESTATÍSTICOS COM DADOS ANUAIS MODELO LINEAR UM MODELO MS-VEC RESULTADOS ESTATÍSTICOS COM DADOS TRIMESTRAIS MODELO LINEAR UM MODELO MS-VEC... 7

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS CICLO DOS NEGÓCIOS NA PRODUÇÃO INDUSTRIAL DOS ESTADOS BRASILEIROS RESULTADOS ESTATÍSTICOS ANÁLISE DO CICLO DOS NEGÓCIOS NAS SÉRIES UNIVARIADAS MUDANÇA DE REGIME COMUM CONSIDERAÇÕES FINAIS UM NOVO ÍNDICE COINCIDENTE PARA A ATIVIDADE INDUSTRIAL DO RIO GRANDE DO SUL RESULTADOS ESTATÍSTICOS MODELO LINEAR MODELO COM MUDANÇA DE REGIME CONSIDERAÇÕES FINAIS CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS... 43

6 6 8.. Anexo A - Capíulo 3 dados anuais Fone de dados anuais Anexo B Capíulo 3 dados rimesrais Fone de dados rimesrais Anexo C Capíulo Anexo D Capíulo Fone de dados do capíulo

7 7 LISTA DE ILUSTRAÇÕES GRÁFICOS. Probabilidade de Transição e Auovalores 8 22 λ =, Probabilidade de Transição e Auovalores 8 22 λ, 2 = Probabilidade de Transição e Auovalores 8 22 λ =, Probabilidade de Transição e Auovalores 8 22 λ, 2 = Evolução do PIB brasileiro Quanum imporado Taxa de câmbio real Uilização da capacidade insalada Probabilidade do regime aberura moderada Probabilidade do regime 2 fechameno da economia Probabilidade do regime 3 aberura consisene Evolução do PIB brasileiro Taxa de câmbio real Quanum imporado Uilização da capacidade insalada Probabilidade de regime - queda das imporações Probabilidade de regime 2 crescimeno das imporações Produção física esados do Sudese Produção física esados do Sul Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para São Paulo Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para Minas Gerais Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para Rio de Janeiro Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para Paraná Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para Sana Caarina Probabilidade Alisada de Crescimeno P(s =) para Rio Grande do Sul Probabilidade de expansão comum enre os esados...

8 8 27. Probabilidade de expansão Região Sudese Probabilidade de expansão Região Sul Vendas reais Compras reais Salários oais Horas rabalhadas Uilização da capacidade insalada Índice de desempenho indusrial Componene comum e IDI Componene comum e vendas Componene comum e compras Componene comum e salários Componene comum e horas rabalhadas Componene comum e Uci Componene comum e IDI Componene comum linear e não-linear Probabilidade suavizada de crescimeno Probabilidade suavizada de queda TABELAS. Mariz de correlação Elasicidade de longo prazo esimaiva por MQO Resulado da esimação modelo linear VEC() Elasicidades esimadas em ouros rabalhos Resulado da esimação ML para MSI(3)-VEC() Daas de cada regime Elasicidades de longo prazo esimadas por MQO Elasicidades de demanda por imporações oais enconradas em ouros 69 rabalhos (rimesral) Resulado da esimação modelo linear VEC() Coeficiene do veor de correção de erros enconrado em ouros rabalhos... 7

9 9. Resulado da esimação ML para MSIAH(2)-VEC() Daas de cada regime Tese de razão de verossimilhança de Johansen MSMH(2)-AR() Tese de especificação MSMH(2)-AR() Tese de Wald Daas dos ciclos dos negócios Resulados para o modelo MSMH(2)-VAR() Todos os esados Daas dos ciclos dos negócios MSMH(2)-VAR() Região Sudese Daas dos ciclos de expansão Resulados para as esimaivas MSMH(2)-VAR(2) Região Sul Daas dos ciclos de expansão Esimaiva dos parâmeros Modelo de Sock e Wason linear Peso das variáveis que compõem c / e o IDI Caracerísicas do indicador coincidene e suas variáveis Daas de recessão da indúsria de ransformação do Rio Grande do Sul Esimaiva dos parâmeros Modelo de Sock e Wason linear Peso das variáveis que compõem c / e o IDI Esimaiva dos parâmeros Modelo de Sock e Wason com mudança de 22 regime Variáveis que compõem c / e o IDI Esimaiva dos parâmeros Modelo de Sock e Wason com mudança de 25 regime Peso das variáveis que compõem c / e o IDI... 25

10 RESUMO Os modelos não lineares de séries de empo são aqui uilizados para verificar diferenes problemas de naureza macroeconômica nas variáveis brasileiras. Em relação ao comércio exerior, é esimado um mecanismo de correção de erros para a demanda de imporações e os regimes caracerizados pelo modelo coincidem com os movimenos hisóricos. Para ajuses esruurais nas conas exernas são uilizados dados anuais que caracerizam rês regimes, idenificados como períodos em que a economia brasileira esava sob um regime de fechameno, aberura moderada ou de aberura consisene. Já no caso da análise conjunural, feia a parir de dados rimesrais, os períodos foram caracerizados como sendo de queda e de crescimeno das imporações. A meodologia de mudança de regime markoviano ambém é uilizada para verificar o ciclo dos negócios na produção indusrial de seis esados brasileiros. Nese caso, são esimados modelos univariados e mulivariados, formulados a parir de um veor auoregressivo com mudança de regime. As esimaivas mosram que exise uma diferença de comporameno na axa de crescimeno e de queda na produção enre os esados do Sul comparaivamene aos rês maiores do Sudese. Vale ressalar que ese resulado significa que exise uma duração dos ciclos que ambém difere enre esas duas regiões. Por fim, a meodologia de mudança de regime é uilizada em um modelo de faor dinâmico com o inuio de consruir um indicador coincidene para a produção indusrial no Rio Grande do Sul. O índice esimado assemelha-se ao calculado pela Federação das Indúsrias do Esado do Rio Grande do Sul a parir de uma média ponderada de cinco variáveis pesquisadas pela insiuição. Os resulados mosram que exise uma assimeria no ciclo dos negócios na indúsria de ransformação do esado, com uma duração maior para períodos de queda da aividade no seor.

11 ABSTRACT Non-linear ime series models are applied o check for differen problems of macroeconomic naure o Brazilian variables. Firsly, a vecor error correcion (VEC) is esimaed o impor demand. The regimes caracherized by he model mach wih hisorical rends. Annual daa are applied o characerize hree regimes of rade opening namely auarky moderae opening, and consisen opening. Quarerly daa are also employed o characerize falling or raising impor periods. Markov-swiching analysis is hen used o idenify business cycles in indusrial producion for six Brazilian federaive saes. Here, univariae and mulivariae models are esimaed, which are specified from a swiching regime auoregressive vecor. Resuls show ha here is a disinc growh rae behavior of he Souheas saes if compared wih he Souh saes. I means ha here is also a differen iming in cycles of hese regions. Finally, he swiching regime mehodology is employed in a dynamic facor model o build a indusrial producion index o he sae of Rio Grande do Sul. Such an index is similar o he one compued by he Federaion of Indusries of he Sae of Rio Grande do Sul. Resuls shows ha here is a business cycle asymmery in he manufacuring indusry of ha Brazilian sae, which lass longer during indusrial recessions.

12 2. INTRODUÇÃO Quando uma série de empo esá sujeia a quebras esruurais, os parâmeros do modelo ornam-se varianes no empo. Esa é uma caracerísica muio comum em séries econômicas, em especial as brasileiras, muio sujeias a choques. Desa maneira, a formulação de um modelo que não considere a exisência de insabilidade nos parâmeros esará produzindo resulados inconsisenes com os dados. De uma forma geral, a lieraura economérica relacionada a quebra esruural pode ser dividida em dois ipos. A primeira remona ao rabalho pioneiro de Chow(96). A idéia por raz dese ese é dividir a série em subperíodos e verificar se há diferença significaiva nas equações esimadas. É imporane desacar que, nese caso, a escolha do número de subperíodos é feia pelo pesquisador, o que requer enão, um conhecimeno a priori deses momenos. Um segundo ipo de modelagem esá relacionado aos rabalhos de Quand (958, 96) e de Goldfeld e alli (973). A formulação conhecida como swiching regression em como objeivo modelar equações de regressão a parir da deerminação do número de regimes. A vanagem desa abordagem é que a escolha do momeno da quebra esruural não é mais feia pelo pesquisador, mas sim de forma endógena. Na década de 8, Hamilon (989) abordou o modelo de Goldfeld e alli (973) de uma forma diferene. O auor propôs uilizar um algorimo de oimização numérica que permie idenificar, de maneira endógena, os regimes que caracerizam uma série de empo. Devido a facilidade e a possibilidade de aplicação do modelo de mudança de regime a diversos problemas macroeconômicos ou do mercado financeiro, como por exemplo a análise do ciclo dos negócios, assimerias no mercado de rabalho, volailidade de aivos e os efeios de políica moneária sobre o produo, aqueles passaram a ser largamene uilizados na modelagem de séries de empo, sejam esas univariadas ou mulivariadas. É imporane desacar que a caracerísica principal deses modelos, que conribui para orná-los exremamene eleganes, é que o pesquisador não precisa deerminar, a priori, os momenos em que ocorreram as quebras esruurais da série de empo.

13 3 Apesar de a lieraura acerca da modelagem não-linear de séries de empo ser vasa, a sua aplicação para séries brasileiras ainda é relaivamene pequena. Essa é jusamene uma das principais moivações dese rabalho, onde a meodologia de mudança de regime markoviano se consiui no pilar cenral desa ese de douorameno. Esa ese é dividida em quaro capíulos inerdependenes onde um se consiui na base meodológica para os rês resanes. Vale ressalar que eses foram consiuídos na forma de ensaios. O objeivo aqui é mosrar a aplicabilidade dos modelos não-lineares a diferenes problemas de naureza econômica relacionados com a economia brasileira. A esruura desa ese esá assim deerminada. No capíulo dois, iniulado Mudança de regime markoviano: Uma revisão eórica, é feia uma descrição da abordagem linear e não-linear de séries de empo univariadas e mulivariadas na presença de mudança esruural. O objeivo aqui é dealhar quais os conceios que devem ser considerados quando da uilização dos modelos de mudança de regime. Vale ressalar que além desa discussão ambém é abordada a esimaiva dos parâmeros quando da presença de uma variável aleaória não-observada. É jusamene esa caracerísica que dificula a formulação de eses esaísicos que permiam comparar os modelos lineares com os não-lineares e enre eses. Os rês capíulos resanes da ese aplicam a meodologia apresenada no capíulo dois a diferenes problemas macroeconômicos brasileiros. Apesar da exisência de uma exensa lieraura relacionada à modelagem da demanda por imporações brasileiras, esa ainda não foi feia considerando a exisência de mudança de regime. Assim, o capíulo rês é fruo de um ensaio iniulado: Equação de demanda por imporações com mudança de regime, onde é uilizado um mecanismo de correção de erros linear e com mudança de regime para enconrar as respecivas elasicidades. Ese capíulo é dividido em duas pares. Na primeira é esudado o comporameno das imporações brasileiras uilizando-se de dados anuais. Nese caso, o objeivo é verificar se os regimes assinalados pelo modelo markoviano se assemelham aos momenos hisóricos de aberura e fechameno da economia brasileira. Desa forma, esa análise em o inuio de verificar uma caracerísica que é esruural da demanda por imporações. Na segunda pare dese capíulo, os dados de imporações são analisados a parir de uma periodicidade rimesral. Da mesma maneira que na pare anerior, o objeivo é analisar se o

14 4 modelo não-linear proposo consegue capar as mudanças de regime no comércio exerior brasileiro. Porém, como esa análise ocorre com dados rimesrais, ou seja, com uma menor periodicidade, o ajuse nas imporações que ocorre a cada momeno é dio ser conjunural. Uma oura aplicação da meodologia de mudança de regime é na verificação de movimenos comuns enre diferenes séries de empo. Ese comovimeno é denominado de ciclo dos negócios, ema ese que ambém em sido pouco explorado na economia brasileira e que é objeo de esudo do capíulo quaro, no ensaio Ciclo dos negócios na produção indusrial dos esados brasileiros. O objeivo dese capíulo é evidenciar os faos esilizados dos ciclos dos negócios na série da produção indusrial enre os esados de São Paulo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, Paraná, Sana Caarina e Rio Grande do Sul, a parir de modelos de mudança de regime univariados e mulivariados. Desa forma, será possível verificar não apenas os movimenos de expansão e de recessão na produção indusrial regional fazendo uma relação com os diversos planos econômicos implemenados no Brasil, mas ambém idenificar se exise um padrão comum na dinâmica de crescimeno econômico enre eses esados. Vale desacar que a verificação desas caracerísicas a parir de um modelo não-linear é de grande imporância, na medida em que qualifica e quanifica o ciclo econômico da indúsria dos principais esados brasileiros, auxiliando na previsão de impacos seoriais quando da presença de choques econômicos. Por fim, em-se o ensaio do capíulo cinco Um novo índice coincidene para a aividade indusrial do Rio Grande do Sul. O propósio dese ensaio é consruir um índice composo, al como o indicador coincidene proposo por Sock e Wason (989, 99), a parir de cinco variáveis calculadas pela Federação das Indúsrias do Esado do Rio Grande do Sul, e que são uilizadas para medir a aividade indusrial no esado. Ese indicador é deerminado ano na sua forma linear quano na não-linear, onde é considerada a possibilidade de mudança esruural. Poseriormene eses são comparados com o índice de desempenho indusrial IDI que já é produzido pela Federação do Esado do Rio Grande do Sul a parir de uma média ponderada daquelas cinco variáveis. É imporane desacar que o modelo linear em como objeivo descrever apenas os comovimenos cíclicos de diferenes variáveis da indúsria. Já a formulação não-linear

15 5 permie verificar, além desa caracerísica, ambém as assimerias das diferenes fases deses ciclos.

16 6 2. MUDANÇA DE REGIME MARKOVIANO: UMA REVISÃO TEÓRICA Desde que Hamilon(989) mosrou a possibilidade de se aplicar a eoria da cadeia de Markov à análise de dados econômicos, em aumenado o ineresse em se uilizar esa meodologia em várias áreas da economia, seja em modelos univariados ou naqueles que consideram mais de uma variável. No primeiro caso em-se uma formulação auoregressiva, como a uilizada por Hamilon(989) para uma mudança na axa de crescimeno do PIB dos EUA, ou ainda considerando a mudança de regime na variância, como feio, por exemplo, em Hamilon e alli(994), Kim e alli(996), Kalimipalli e alli(2) e em Moraes e alli(22) para séries de dados da economia brasileira. Por ouro lado, quando o modelo de mudança de regime é uilizado com mais de uma variável, as equações de um veor auoregressivo (VAR) ou de um mecanismo de correção de erros (VEC) passam a conar com um componene não observável comum. Phillips(99), analisa a ransmissão de choques na deerminação do ciclo dos negócios de diferenes países, e Krolzig e alli(2) esimam um veor de correção de erros com mudança de regime para verificar as caracerísicas do mercado de rabalho no Reino Unido. Para uma discussão sobre a aplicação do modelo mulivariado, uma boa referência é Krolzig(997b), que esima ano os modelos VAR quano VEC, e Kim e alli(2), que consideram o formao espaço-esado, ilusrando diversas aplicações em problemas macroeconômicos. Vale ressalar que diversas quesões economéricas, como eses de esacionaridade, quebra esruural, causalidade, AR e ARCH, de coinegração e de raiz uniária, devem ser considerados quando da análise desa classe de modelos. Porém, como esa discussão já se enconra muio bem fundamenada na eoria economérica, será aqui abordada de forma resumida, reservando-se espaço para uma discussão mais dealhada das implicações desas caracerísicas no processo de formulação e de esimação dos modelos de mudança de regime. Anes de rabalhar com séries de empo denro da meodologia de mudança de regime, é necessário verificar o número de esados. Ou seja, deve-se esar a hipóese nula

17 7 de ausência de mudança de regime conra uma hipóese alernaiva. Porém, um dos problemas exisenes em se consruir ais eses é que alguns dos parâmeros do modelo não são idenificados sob a hipóese nula. Hansen(992) e Garcia(998) abordam a quesão de como esar o número de regimes na presença de um parâmero desconhecido, e Bianchi(995) propõe verificar a exisência de mudança de regime a parir da esimaiva de uma função de densidade Kernel. Teses de adapação dos modelos aos dados ambém foram proposos por Engel e alli(99) e Hamilon(996) e serão aqui descrios. É imporane lembrar que, uma vez que a esimaiva dos modelos markovianos é feia por um processo de ieração cujo objeivo é maximizar uma função de verossimilhança, o resulado final passa a ser muio sensível aos diferenes valores iniciais. Nese caso, dependendo da caracerísica dos dados, pode-se enconrar diversos valores óimos para a função (ver Goodwin(993) para uma discussão dese problema). Devido à imporância desa caracerísica, o processo de esimação dos modelos de mudança de regime markoviano é aqui abordado de forma dealhada, onde são descrios ano o algorimo desenvolvido por Hamilon(989 e 99) quano o de Kim(994). Ese capíulo esá dividido em quaro seções. Na primeira seção são descrios de forma resumida os modelos VAR lineares e quesões relacionadas como causalidade, esacionaridade, coinegração e o mecanismo de correção de erros linear. Na seção dois esá a abordagem não-linear, onde é feia uma discussão sobre a insabilidade nos parâmeros, a presença de quebras esruurais e as diferenes formas de abordar eses problemas. Na seção rês é analisado o modelo de mudança de regime markoviano, o processo de esimação e os eses exisenes para esa classe de modelos. Por fim, no iem quaro é feia uma descrição das diferenes formulações possíveis do modelo de mudança de regime markoviano. 2.. Modelos Lineares univariados e mulivariados: eses e especificações Os modelos VAR passaram a ser largamene uilizados após a críica de Sims(98) sobre as modelagens macroeconômicas, que aé enão não faziam inferência sobre a possibilidade de exisir não apenas a incidência da variável dependene defasada, mas ambém da relação de causalidade enre as variáveis. Denre as principais caracerísicas das formulações VAR, desaca-se a sua flexibilidade e o fao de que é possível produzir

18 8 modelos macroeconômicos que descrevam de forma eficiene o comporameno das variáveis ao longo do empo e a sua iner-relação. A forma mais básica de um VAR raa odas as variáveis de maneira simérica sem fazer referência à idéia de dependência versus independência. Porém, vale ressalar, as diversas ferramenas empregadas na análise do VAR causalidade de Granger, exogeneidade, análise de impulso-resposa e decomposição da variância - podem ser úeis para explicar esas iner-relações e ambém para a formulação de um modelo econômico mais esruurado. No modelo VAR básico, o veor de dimensão k, um processo de ordem p da forma: y y = y, y,..., y )' é gerado por ( 2 k = A + Ay Apy p + ε (.) com =,..., T, sendo que A é um veor de k inercepos, Α i são marizes [kxk] de k 2 coeficienes cada uma (o que significa que devem ser esimados 2 k + pk ermos) e, por fim, ε ~ NID(, Σ) onde E ε ε ') = Σ é a mariz de variância-covariância que é independene ( do empo, posiiva-definida e não-singular. Duas ferramenas úeis que podem ser uilizadas para examinar as relações enre as variáveis são a função resposa de impulso e a decomposição da variância do erro de previsão. No primeiro caso, a equação. pode ambém omar a forma de um veor de médias móveis (VMA), onde as variáveis são expressas em ermos dos valores passados e correnes dos choques. A íulo de ilusração e para simplificar a análise, considere a exisência de apenas uma defasagem no VAR, ou seja em - para y, obém-se: ou ainda, y y y = A + Ay + ε. Fazendo de forma recursiva = A + A( A + Ay 2 ) + ε + ε 2 = I + A A + A y 2 + A ( ) ε + ε. Subsiuindo agora y 2 = A + A y 3 + ε 2, em-se e, após fazer n ierações em-se: y = ( I + A + A ) A + A y 3 + A 2 + Aε ε + ε

19 9 n ( n ) + i + n+ I A Ai A A i A y + i= y = ε n (.2) n+ Com lim A y n = e supondo a condição de esabilidade, enão n y i = i = µ + A ε, de onde é possível ober a função resposa de impulso a parir da i manipulação do ermo i Aε i, processo ese que é denominado de orogonalização. i = A orogonalização se refere ao processo de seleção de uma de muias possíveis funções resposa de impulso que podem ser enconradas. Uma das hipóeses mais imporanes que deve ser feia é que os choques nese sisema, que é dado pelo veor ε devem ser orogonais, ou seja, não correlacionados. Se u m,..., u n R são as colunas da mariz u [ aij ] M( mxn) =, a condição para que u seja orogonal é que u, u >= se i j e u, u >= onde i, j =,..., n. Ou seja, deve-se < i j < i i m er que a ki a kj k = = δ ij onde δ ij é o dela de Kronecker. Porano, a mariz u M(mxn) é orogonal se, e somene se, u ' u = I. n Cabe ressalar que um dos problemas do modelo VAR é jusamene a idenificação de sua esruura. Apesar da decomposição de Choleski fornecer um conjuno mínimo de hipóeses que podem ser uilizadas para idenificar o modelo na sua forma primiiva, pode ser necessário er que impor alguma resrição que enha mais a ver com os impacos de uma variável sobre as ouras, omando como base a relação econômica enre esas. A segunda ferramena que pode ser uilizada para analisar as relações enre as variáveis denro de um modelo VAR é a decomposição da variância do erro de previsão. Esa mede a proporção dos movimenos em uma seqüência que são devidos aos próprios choques e ambém em relação ao choque de ouras variáveis. Para uma análise da orogonalização para a obenção de uma resposa insanânea de uma variável a ouros choques, ver Sims(98). Blanchard e Quah(988) sugerem um caminho alernaivo para ober uma idenificação esruural a parir da decomposição das resposas de longo prazo de uma variável a ouros choques em componenes permanenes e emporários.

20 2 Sendo assim, é possível, a parir de sua aplicação, dizer se uma variável é exógena ou endógena analisando a resposa a eses choques. Desa forma, a decomposição da variância do erro de previsão orna-se uma medida de relação econômica muio úil na definição da esruura do VAR. Toda a mariz A = [ aij ] M( nxn) pode ser expressa como o produo A = Q' Q, onde Q M(nxn) é uma mariz riangular superior ou quando A = QQ', onde Q é uma mariz riangular inferior, cujos elemenos da diagonal são odos posiivos. A expressão ou A = QQ' chama-se a decomposição de Choleski da mariz A. A = Q' Q Uma oura forma de ver esa relação seria aravés da causalidade de Granger mas, nese caso, não se em a informação da magniude do impaco. O fao de uma variável não responder a choques em oura é o mesmo que dizer que esa não causa aquela. É imporane salienar que causalidade em série emporal não significa que esa preceda o efeio. Pela definição, uma variável x causa y se x ajuda na previsão de y, dado o passado de y. A íulo de ilusração, considere que x e y são veores auoregressivos da forma: x a( L) b( L) x = y c( L) d( L) y assim, isolando os choques do lado direio eremos: + ε v (.3) a * ( L) b * ( L) x ε = (.4) c * ( L) d * ( L) y v Porano, y não causa x se b * ( L) =, ou se a mariz de lag polinomial auoregressiva (.4) for riangular inferior. Na represenação de médias móveis, iso é o mesmo que dizer que, se y não causa x, enão x é uma função somene de seus choques, e não responde a choques em y. O ese mais fácil de ser uilizado para se verificar a exisência da causalidade é o ese F nos coeficienes do sisema. A princípio podem ser acrescenadas quanas variáveis e lags forem necessários ao modelo VAR, porém não deixando de considerar a imporância econômica que cada um

21 2 represena. Com o inuio de preservar a simeria do sisema, recomenda-se usar o mesmo número de lags para odas as equações. Mas, é imporane salienar que, devido ao fao de o modelo VAR não-resrio usualmene envolver um número subsancial de parâmeros que acaba por resular em esimadores mais imprecisos, é desejável impor algumas resrições em sua ordem para melhorar a precisão da esimaiva. Nese caso, para verificar o número de defasagens em cada variável, alguns criérios e esaísicas podem ser uilizados. O VAR pode ser iniciado com a maior quanidade possível de lags, denominado de modelo não-resrio, obendo-se enão a mariz de variância-covariância dos resíduos Σ. A seguir é esimado o modelo resrio, com um u número menor de lags e enconrada a mariz Σ r. A parir de enão é uilizado o ese de razão de verossimilhança 2 para verificar se a resrição imposa ao sisema é ou não válida. Ese procedimeno deve ser repeido aé ser enconrado o número de lags ideal para o VAR. Vale desacar que a quanidade de lags iniciais pode ser deerminada de acordo com algum argumeno eórico ou enão insiucional. Por exemplo, para séries rimesrais podese iniciar as esimaivas com quaro lags e, para séries de dados mensais, iniciar o VAR com doze defasagens. Alernaivamene ambém podem ser uilizados os criérios de comparação de Akaike, Schwarz e Hannan-Quinn, onde é selecionado o modelo com o menor valor enconrado 3. Esacionaridade e Coinegração Após o esudo de Nelson e Plosser(982), muios ouros rabalhos demonsraram que variáveis macroeconômicas incluem componenes que são gerados por choques permanenes, ou seja, as séries são processos inegrados e possuem uma endência esocásica. Ese comporameno da série pode levar a erros de especificação ano em modelos univariados quano em mulivariados. Uma solução para eliminar a não esacionaridade das séries seria a sua diferenciação aé que esa orne-se esacionária. Cabe ressalar que a maioria das variáveis 2 Ese ese é da forma T c onde T é o número de observações e c o 2 ( )(log Σ r log Σu ) ~ χ ( r ) número de parâmeros do modelo não-resrio.

22 22 macroeconômicas necessiam de apenas uma diferença para que se ornem esacionárias, ou seja, elas são inegradas de ordem um, y ~ I(). Após a diferenciação elas passam a ser inegradas de ordem zero, y ~ I(). Assim, y possui uma endência esocásica em nível que é eliminada quando analisa-se a série em diferenças. A verificação de ordem de inegração pode ser feia em diferenes freqüências. Os eses mais comuns para verificar a presença de raiz uniária na freqüência zero são os de Dickey-Fuller e Dickey-Fuler aumenado. Hylleberg, Engle, Granger e Yoo(99) formalizaram um ese para a freqüência sazonal aravés da verificação da exisência de raiz uniária sazonal e Perron(997) propôs rês méodos que podem ser uilizados em rês diferenes modelos para verificar se as séries possuem raiz uniária, mesmo esando esas na presença de quebra esruural. Vale ressalar que mesmo com a exisência de raiz uniária em um conjuno de séries de empo, é possível que se enha uma combinação linear enre elas que seja esacionária. Ese é o princípio da coinegração. A principal caracerísica de variáveis coinegradas é que a sua rajeória no empo é influenciada pelo desvio do equilíbrio de longo prazo, e ese, por sua vez, influencia a resposa das variáveis de curo prazo que promovem novamene o equilíbrio do sisema 4. Nese senido, deve haver uma relação dinâmica enre as variáveis no curo prazo que são afeadas por choques ransiórios, ao passo que o seu comporameno no longo prazo é influenciado pelos choques permanenes. De uma maneira formal, seja o veor de coeficienes β = β,..., β ) e o veor de ( n variáveis y = ( y,..., y n )'. O equilíbrio de longo prazo dese sisema irá ocorrer quando β y =, onde o seu desvio é dado por ε = βy. Vale ressalar que os componenes do veor y são co-inegrados de ordem d,b, y ~ CI( d, b) se y i ~ I( d) i=,...,n em y e, se exise um veor β al que a combinação linear β y = β y β y ~ I( d ), com b>. Ese veor n n b β é chamado de veor de coinegração e, para os n componenes de y, pode exisir, no máximo, n- veores de coinegração linearmene independenes. 3 Denoando a ordem de seleção dos 3 criérios por P(AIC), P(HQ) e P(SC), emos que P(SC) P(HQ) P(AIC), para T 6, onde T é o número de observações. 4 O conceio de coinegração é discuido exensivamene em Engle e Granger(99).

23 23 Como observado, uma caracerísica ineressane das variáveis coinegradas é que a sua rajeória ao longo do empo é influenciada pela exensão do desvio do equilíbrio de longo prazo. Esa dinâmica do modelo é denominada de correção dos erros. No modelo de correção de erros, as dinâmicas de curo prazo das variáveis do sisema são influenciadas pelo desvio do equilíbrio. Cabe salienar que pelo eorema da represenação de Granger exise uma relação enre ese modelo e o fao de as variáveis serem coinegradas, uma vez que em um conjuno de variáveis I() coinegração e correção de erros são represenações eqüivalenes. Em paricular, a exisência de coinegração pode ser verificada de duas formas. Primeiro, a parir da análise dos resíduos obidos da relação de equilíbrio de longo prazo enre as variáveis 5. Uma oura alernaiva é esimar um VAR em primeira diferença, quando y i ~ I(), adicionado de quanas defasagens forem necessárias de forma a produzir resíduos gaussianos. A primeira abordagem esá relacionada ao méodo de Engle-Granger, com as esimaivas feias em duas eapas e enconrando-se apenas um veor de coinegração. Porém vale ressalar que o processo feio em duas eapas aumena as possibilidades de erro além do que, à medida que uiliza-se um maior número de variáveis, ambém aumena-se o número de possíveis veores de coinegração. A segunda abordagem, relacionada ao méodo de Johansen, suplana eses problemas na medida em que o processo para enconrar os veores é feio por máxima verossimilhança, permiindo que se enconre múliplos veores de coinegração. De forma geral, do VAR básico da equação (.): y A A y = p p pode ser subraído y de cada lado de al forma a se ober o veor de correção de erros (VEC). Ese é represenado por: A y + ε y p + πy + π i y i + ε i = = π (.5) 5 Se ocorrer que o veor y i ~ I( d) i=,...,n em y onde as variáveis são coinegradas, enão exise uma represenação da forma de correção de erro que relaciona esas variáveis, e vice-versa. Ver Engle e alli(987) e Engle e alli(99).

24 24 onde π é um veor (kx) de inercepos 6, π i, uma mariz de coeficienes (kxk), π é uma mariz de coeficienes de longo prazo com elemenos π jk al que um ou mais π jk, e ε é um veor (kx) de resíduos 7. Devido ao fao de que y ~ I() pela hipóese de que y ~ I(), o ermo π y é o único que coném variáveis I(). Assim, o ermo π é a pare de longo prazo, enquano que π i possui parâmeros de curo prazo. Como pode ser viso, esimar (.5) sem o ermo π y, eliminaria a pare de correção de erros do modelo. A deerminação do poso de π é crucial para caracerizar a coinegração. Se π =, enão cada elemeno de π é igual a zero, e não exise combinação linear de y que seja esacionária. Desa forma, a esimaiva de (.5) é apenas um VAR em primeira diferença. Se π = k, ou seja, a mariz em poso compleo, enão em-se k resrições de longo prazo no sisema, e odas as variáveis são esacionárias podendo ser esimado um VAR em nível. O caso inermediário é dado quando π = r, onde em-se enão r veores de coinegração e o poso de π é deerminado pelas suas raízes caracerísicas que diferem de zero. Nese caso o VAR em nível é consisene mas ineficiene e o VAR em diferenças possui erro de especificação. Desa forma, deve ser especificado um mecanismo de correção de erros. Vale ressalar que dois eses esaísicos são feios para verificar as raízes caracerísicas desa mariz, o λ raço e o λ max. Porano, como pode ser viso, nos casos em que se em poso compleo ou zero da mariz π basa esimar um VAR em nível e em primeira diferença. Mas, na presença de coinegração, deve-se usar um VAR com correção de erros. Por fim, cabe salienar que, a priori, seria necessário conhecer o veor de coinegração para esimar ese VAR. Porém, como o desconhecimeno dese veor dificula a análise, a formulação de correção de erros em a vanagem de raar as variáveis de forma simérica. y 6 A inclusão do ermo consane é para permiir uma endência linear no empo no processo gerador de dados, e deve ser incluído se as variáveis exibem uma endência pronunciada de aumenar ou decair ao longo do empo. 7 Componenes sazonais comuns ambém podem ser inroduzidos na análise de coinegração. Ver Harvey(996).

25 Insabilidade nos parâmeros e modelos com mudança de regime Apesar da simplicidade do modelo VAR e dos bons resulados obidos nas aplicações em fluuações macroeconômicas e em crescimeno, exisem alguns problemas na sua uilização. Cabe salienar que, quando uma série de empo esá sujeia a uma quebra esruural, que pode ocorrer ano no coeficiene das variáveis e no inercepo, quano na variância, os parâmeros do modelo esáico ornam-se variáveis no empo. Desa forma, violam-se as hipóeses de esacionaridade e de normalidade. Esa insabilidade do modelo é algumas vezes definida como uma mudança na equação de regressão enre um período amosral e ouro. Vários eses foram proposos nos úlimos anos com o inuio de idenificar a quebra esruural de dados, sendo que eses podem ser caracerizados em dois ipos. O primeiro é um ese para idenificar a esabilidade dos parâmeros onde as daas são separadas por subperíodos, al como proposo por Chow(96). Porém é imporane desacar que, nese caso, deve-se fazer inferência sobre o momeno da quebra esruural, o que não parece ser razoável quando o pesquisador em pouca informação sobre as daas em que ocorreram a mudança nos parâmeros. O segundo ipo de idenificação de quebra esruural é caracerizado de forma disina onde a daa da mudança esruural é um parâmero desconhecido. O rabalho pioneiro nesa área é o de Quand(958, 96) que considera modelos onde em-se uma mudança na série de dados no qual seu pono é desconhecido, ao passo que Quand(972) e Goldfeld e alli(973) consideram a possibilidade de ocorrência de mais de uma quebra esruural 8. A vanagem em se uilizar os eses do segundo ipo é que a deerminação do momeno da quebra esruural é endógeno, caracerísica esa que esá presene no modelo de Hamilon(989) e que pode ser viso como uma exensão do modelo de Goldfeld e alli(973). Devido a iso, nos úlimos anos em aumenado o ineresse nas modelagens nãolineares de séries de empo econômicas, em especial nos modelos de mudança de regime markoviano. Porém, vale ressalar, não exise uma eoria que sugere uma abordagem única para eses modelos. Basicamene, exisem quaro ipos de modelos de mudança de regime. São eles: () mudança esruural e de swiching regression; (2) modelos hreshold, que são conhecidos 8 Recenemene Andrews(993) desenvolveu um ese onde o pono de mudança é desconhecido.

26 26 como TAR e SETAR (self-exciing hreshold auoregressive model); (3) modelos auoregressivos de ransição alisada, STAR (smooh ransiion auoregressive model); e (4) modelos com mudança de regime markoviano. O primeiro ipo uiliza uma função indicador I(;τ) da forma: para > τ I( ; τ ) = para τ que pode assumir o valor um ou zero para caracerizar o momeno τ de uma quebra esruural na série. Se τ for conhecido, esa quebra é deerminísica, caso conrário, é esocásica. Nese caso o processo gerador dos dados pode ser reescrio como: y p p = ( + α i y i )[ I( ; τ )] + ( ν 2 + α 2i y i ) I( ; τ ) i = i = ν + ε No modelo swiching regression, a mudança de regime é caracerizada por uma variável de regime observada s e, para se ober os parâmeros do modelo, pode ser uilizada a esimaiva por máxima verossimilhança. Um modelo de swiching regression básico pode ser formulado da seguine forma: seja y = y,..., y )' e x = x,..., x )' as ( n ( n variáveis dependenes e independenes do modelo; podem exisir razões para se acrediar que a relação y = f x ) seja dada a parir de duas equações ou regimes diferenes, ( y y = x β + ε = x β + ε com ε ~ NID(, ) e ε ~ NID(, ). Porém, vale ressalar que não exise, a priori, σ 2 σ 2 informação de que a amosra possa ser gerada por apenas dois regimes. Nos modelos TAR, a mudança de regime é provocada por uma variável de ransição exógena e observável z que cruza um pono qualquer c. Nese modelo ambém é uilizada uma função indicador com valor zero ou um. Se esa variável de ransição for uma variável endógena defasada, enão o modelo é denominado de SETAR. Nese caso, o processo gerador do regime não é supos exógeno, mas direamene relacionado à variável endógena defasada. Eses modelos ambém podem ser esimados por máxima verossimilhança. Para uma análise mais dealhada, ver Tong(983 e 99), Tsay(989) e Poer(995).

27 27 No modelo STAR há pesos que são incorporados aos regimes e que dependem da realização de uma variável exógena, de ransição endogenamene defasada, ou uma função de ambas, z : Pr( s = 2 / S, Y, X ) = G( z : γ, c onde G (.) é uma função de ransição conínua enre e. Vale ressalar que a função G (.) pode er várias formas, LSTAR (função densidade cumulaiva logísica), ESTAR (função exponencial), e uma função logísica quadráica. Ver Granger e Teräsvira(993), Dijk(999) para uma análise mais dealhada deses modelos, Teräsvira e alli(992) para uma aplicação à axa de crescimeno rimesral da produção indusrial nos EUA, e Tsay(998) para uma análise do modelo STAR mulivariado. O quaro ipo de modelo de mudança de regime é o markoviano, e que é o objeo de esudo desa ese. ) 2.3. Mudança de regime markoviano No modelo de regressão que não em mudança de regime, y = β + ε com x 2 ε ~ NID(, σ ), os parâmeros β e σ 2 podem ser esimados a parir da maximização da função de verossimilhança, T ln( L) = ln[ f ( )], onde f(.) é uma função de densidade 9. = y Se exisir uma quebra esruural nos parâmeros, enão em-se que: y = x β + ε, s 2 onde ε ~ NID(, σ s ), com s =,2, e supõe-se conhecer a priori as daas desa quebra. Nese caso, a função log da verossimilhança passa a ser dada por ln L = T = ln[ f ( y / s )], e os parâmeros a serem esimados são β, β, σ 2 e σ 2. Porém, se s é desconhecido enão o processo de esimação não é ão simples, pois os faores de peso para cada regime da função de densidade marginal, que são dados por 2 ( y 9 x β ) No caso de uma disribuição normal em-se f ( y ) = exp( ) πσ 2σ 2 ( y x β s ) Assim, para o caso de uma disribuição normal em-se f ( y / s ) = exp( ) πσ 2σ s s

28 28 P / ψ ) e P 2 / ψ ), não são conhecidos. Desa forma, para que seja esimada ( s = ( s = esa função de densidade, é necessário fazer uma hipóese sobre o comporameno esocásico de s que pode ser independene de seus valores passados. O caso mais ineressane é quando s depende de s -,s -2,...,s -k, sendo ese denominado de um processo de mudança markoviana de ordem k. Um processo de Markov é um processo esocásico clássico no qual a variável aleaória X possui uma relação de dependência paricular no empo. O que irá caracerizar ese processo como discreo ou conínuo são os esados s nos quais a variável pode se enconrar. No primeiro caso, em-se que s = (,2,3,...), e no segundo caso que s = (, ). Se um processo de Markov em um número finio ou numerável de esados, enão ele é denominado de cadeia de Markov. A caracerísica especial do modelo markoviano é a hipóese de que a realização do regime s {,..., k} não observado é deerminado por um processo esocásico markoviano no esado discreo e empo discreo, que é definido pelas probabilidades de ransição. A probabilidade de X esar no esado j no momeno + dado que X esá no + esado i no momeno, denominada de probabilidade de ransição de um passo, é represenada por: P Pr{ X = j / X, + ij = + = i} Como pode ser viso, a probabilidade de ransição P é não apenas função do, + ij esado, mas ambém do empo de ransição. Por ouro lado, se P for independene do, + ij empo, enão o processo de Markov em uma probabilidade de ransição esacionária, e P = P., + ij ij Como podem exisir k esados, as probabilidades de ransição enre eses esados podem ser represenadas aravés de uma mariz de probabilidade de ransição P = [ pij ] M( kxk) al como: Ver Kim e alli(2).

29 29 p p2 P = : p k p p p 22 : 2 2k.... :.. p p p k k 2 : kk (.6) onde: k p ij j= = para i=,2,...,k, p para i,j=,2,...,k, e o veor de probabilidade de ij ransição de Markov é dado por P = ( P,... P kk )', (k 2 x). A íulo de ilusração, considere a forma reduzida com apenas dois esados. Desa maneira, s {,2 } e enão (.6) será dada por: p p22 P = (.7) p p22 ou seja, uma cadeia de Markov de primeira ordem, que represena a ransição enre os dois esados, e que ambém pode ser visa como p( s p( s = / s = 2 / s = ) = p = ) = p 2 p( s p( s = / s = 2 / s = 2) = p = 2) = p 2 22 (.8) A parir do conhecimeno dos valores em (.8), é possível calcular o empo de duração 2 em cada regime com. Vale ressalar que a duração em cada regime pode p ii diferir enre si. Porém, com a hipóese de que a mariz de probabilidade de ransição é fixa, a duração dos regimes será consane no empo. Ou seja, a duração condicional esperada não varia com o ciclo 3. É imporane desacar que é assumido que o processo de Markov seja ergódico, hipóese que irá garanir a convergência dos regimes para uma disribuição de probabilidade não condicional ξ = ξ,..., ξ ), ou seja, a cadeia de Markov ergódica é um ( k 2 Seja D o empo de duração do esado j. Enão, P(D=)=-P jj, P(D=2)=P jj (-P jj ), P(D=3)=P 2 jj(-p jj ) e assim sucessivamene. Assim, a duração esperada do regime j é dada por E(D)= jp ( D = j) =(- P jj )+2(-P jj )+3P 2 jj(-p jj )+... e, porano, E( D) =. Ver Kim e alli(2). P jj 3 Para uma discussão sobre probabilidade de mudança de regime variane no empo, ver Diebold e alli(994), Filardo(994) e Filardo e alli(998). j=

30 3 processo covariane-esacionário. Considere uma cadeia de Markov de dois esados. Assim, a probabilidade do regime não condicional é dada por: p22 p ξ = ξ 2 = ( p ) + ( p ) ( p ) + ( p 22 e os auovalores da mariz de ransição P em (.6) são enconrados a parir da solução de p λ I =. Por exemplo, para uma cadeia de Markov de dois esados, os auovalores saisfazem: 22 ) p λ p p22 = p λ 22 ou seja, λ = e λ 2 = + p + p22. Assim, uma cadeia de Markov é dia ergódica se exaamene um dos auovalores da mariz de ransição P é uniário e odos os ouros auovalores esão denro do círculo uniário. No caso de (.7), λ = e < p 2 + p22 < 4. Teorema Fore da Ergodicidade. Seja x :,,2,...} um processo esriamene esacionário possuindo média finia { n m = E( x n ). Seja ambém x n = ( x + x xn ) a média amosral no empo. Enão, n com probabilidade, a seqüência { x n } converge para uma variável aleaória no limie, denoada por x. Ou seja, Pr{lim = x} =. Ver Karlin e alli(975). n x n Além da convergência da probabilidade não condicional, oura propriedade da cadeia de Markov é a reduibilidade. Uma cadeia de Markov de k esados é reduível se possui algum esado que seja absorvene. Ou seja, se, em (.6) P é uma mariz riangular superior, enão é dio que esa mariz de ransição é reduível. Por ouro lado, se odos os regimes êm uma probabilidade não condicional posiiva, enão o processo é chamado de irreduível. A íulo de ilusração, considere novamene o caso de uma mariz de dois esados al como em (.7). Desa forma P é denominada de irreduível e ergódica se p <, p < e 22 p + p22 >. 4 Para maiores dealhes sobre esas caracerísicas consular Karlin e alli(975) e Hamilon e alli(994).

31 3 Vale ressalar que, para cada auovalor da mariz de ransição P, exisirá um auoveor correspondene. No caso mais simples, em que k=2, o auoveor associado a λ é dado por: p22 2 p p π = p 2 p p enquano que o auoveor associado a λ 2 é dado por [ ] I. Assim, a parir deses auovalores e auoveores, é possível deerminar a mariz de probabilidade de ransição períodos à frene, P. Considere novamene o caso de dois esados. Desa forma eremos que: P m p22 + λ2 ( p 2 p p22 = p λ2 ( p 2 p p22 ) ) p 22 2 p λ ( p 2 p p22 p + λ ( p 2 2 p ) ) (.9) ou seja, se em = o processo esava no esado, a probabilidade de que períodos à frene ele eseja no esado 2, será dada por P 2 em (.9). Os gráficos a 2 mosram para quaro exemplos de auovalores, ano com valores posiivos, negaivos, próximo a zero ou próximo a um, como se compora a probabilidade de ransição em (.9) de um esado para ouro p 2, na medida em que. Gráfico Probabilidade de ransição e auovalores p =, 8, p =, 8 e λ =, Gráfico 2 Probabilidade de ransição e auovalores p =, 8, p =, 8 e λ, 2 =..9.8 Ma riz.7 de Tra.6 nsi ção Mariz de Transição