ESTUD D ELETRSCÓPI DE BRAUN ENQUE BASEAD NA MDELAGEM MATEMÁTICA Zcris Edurdo brin [zcris.fbrin@detec.unijui.tche.br] Gerson eldmnn b [feldmnn@unijui.tche.br] Acdêmico do Curso de Engenhri Mecânic UNIJUI/UERGS, Av. Rudi rncke s/n, 9880-000, Pnmbi, RS. b Professor do Deprtmento de ísic, Esttístic e Mtemátic d UNIJUÍ, C.P. 560, 98700-000, Ijuí, RS. 1 - INTRDUÇÃ A utilizção de uls prátics tem sido um recurso importnte de poio o prendizdo de físic gerl nos cursos de ísic e Engenhri, como form de significção prátic dos conceitos teóricos. No curso de Engenhri Mecânic d UNIJUÍ/UERGS os lunos prticipm de uls prátics prlelmente às uls teórics. Durnte s uls prátics de eletrostátic são relizds experiêncis conhecids de indução de crgs elétrics, entre s uis eletrizção no eletroscópio de Brun. Neste contexto surgiu o interesse de nlisr teoricmente o fenômeno d eletrizção. Eletroscópio de Brun é um dispositivo utilizdo pr detecção de crgs elétrics estátics trvés d rotção de um lâmin eletrizd (figur 1). igur 1 Esuem descritivo do eletroscópio de Brun. Neste trblho é presentdo um modelo mtemático ue express um correspondênci entre o módulo d crg elétric plicd ou induzid no eletroscópio e o ângulo de repouso d lâmin em relção à hste ue sustent. Pr obter expressão desejd é utilizd um metodologi definid pelos seguintes tópicos: - simplificções do sistem rel; - simbolizção no plno crtesino; - nlise vetoril ds distâncis e forçs envolvids no sistem simplificdo; - considerções de simetri; - plicção ds condições de euilíbrio. Pr tnto utilizmos ferrments mtemátics d geometri nlític e vetoril [1], condições de euilíbrio estático pr o somtório dos momentos oriunds ds Leis de Newton [] e ind lei de Coulomb []:
K 1 =,onde r ests. 1 K =, 1 e s crgs elétrics e r distânci entre 4 π ε 0 - MDEL ÍSIC-MATEMÁTIC Qundo não eletrizd, lâmin CD * permnece em repouso com ângulo de 0 em relção à hste AB (figur -1) devido um diferenç de comprimento D C = d. ue torn o somtório dos momentos diferente de zero pr uluer ângulo mior ue 0 e menor ue 180. Qundo o conjunto é eletrizdo surgem forçs elétrics de repulsão entre lâmin e hste, inicilmente há um mudnç de posição d lâmin, o ue crcteriz um condição trnsiente onde o somtório dos momentos não é nulo. A lâmin gir té um posição de euilíbrio denotd por um ângulo è ue corresponde condição de euilíbrio estático. A condição pr o euilíbrio é obtid ds leis de Newton, ou sej, o somtório dos momentos é nulo. T Delt d P 1 igur Representção do conjunto lâmin-hste do eletroscópio. Limites e simplificções Nos limitremos o conjunto hste-lâmin, simbolizdo por dois segmentos de ret AB (hste) e CD (lâmin), concorrentes, com um ponto em comum predefinido n origem de um plno crtesino R (fig. ). BC AC AD P igur Representção geométric do sistem. * s segmentos de ret são simbolizdos por letrs miúsculs com um trço superior ( AB ), vetores são representdos em negrito ( DC, A) e os módulos dos vetores e segmentos de ret estão sem negrito ( DC, A).
Considermos tod crg plicd o sistem distribuíd em 4 pontos, correspondentes às extremiddes do conjunto hste-lâmin. Assim, tem-se C e D situds ns extremiddes d lâmin CD, A e B ns extremiddes d hste AB. pino G est situdo no centro do conjunto, portnto os comprimentos A, B, D e C possuem o mesmo módulo representdo pel vriável ( minúsculo).a geometri d hste e d lâmin é desprezd, ssim como s forçs de trito no pino G. As forçs de ção origináris d interção entre s crgs elétrics são simbolizds pelos vetores AD (crgs A e D), (crgs B e D), BC (crgs B e C) e AC (crgs A e C), supõem-se tis forçs tundo pens ns extremiddes d lâmin móvel, lém disso, o vetor forç peso P, originário do comprimento Äd (figur ), é definido com origem n extremidde D. Existem ind mis dus forçs gindo sobre lâmin, ue são DC e AB, ests forçs são prlels às rets CD e AB, correspondem às interções entre s crgs D, C e A, B respectivmente, tis forçs são de trção e tendem longr hste e lmin, não cusndo momento ngulr em nenhum instnte sobre o plno de giro, logo são insignificntes e desprezíveis pr nossos objetivos. A crg totl é dd pel som: Q = A + B + C +D, onde A = B = C = D =, portnto tem-se: Q = 4. (1) A crg totl Q pode ser definid em função de è trvés ds condições de euilíbrio estático do sistem, o ue será detlhdo dinte. Condições de euilíbrio estático dos momentos em relção à origem N figur 4 estão representdos os vetores distânci, forç peso e forç elétric do sistem simplificdo. BC AC A AC BC C D AD B P AD igur 4 Representção vetoril do sistem. somtório dos momentos em relção o ponto é definido pel som dos produtos vetoriis conforme eução. Mo = C AC + C BC + D + D AD + D P = 0 () Determinção dos vetores distânci e forç s vetores d figur 4 podem ser representdos por sus componentes no plno crtesino, considerndo os vetores unitários (i, j, k), como segue:
P =-P.j; B = -.j; A =.j ; D =.(senè.i cosè.j); C =.(-senè.i + cosè.j); = D B =.[senè.i-(cosè-1).j]; AC = - =.[-senè.i (cosè-1).j]; AD = D A =.[senè.i (cosè+1).j]; BC = -AC =.[-senè.i + (cosè+1).j]. Atrvés d Lei de Coulomb e geometri vetoril temos: [senθ. i (cos θ 1). j] [ cos θ] / 4 π εo [senθ. i (cos θ + 1). j]. AD [ + cosθ] / Ds euções cim obtemos s expressões pr os momentos: D D AD 4 π εo = ) D P = - P senθ k.[senθ. i (cos θ 1). j] [(.senθ) (. cosθ 1) ] senθ k ( cosθ) senθ k ( + cosθ) bservndo figur 4 not-se ue os vetores AC, BC e C possuem mesmo módulo ue, AD e D respectivmente, porém sentidos opostos. Por tnto, tem-se os produtos vetoriis idênticos, ou sej, D = C AC e D AD = C BC o ue pode ser consttdo pel simetri do sistem. Determinção do somtório trvés d condição de euilíbrio estático dos momentos: Ds euções 1,,, e critérios de simetri temos expressão ue present correspondênci entre o ângulo d lâmin metálic em relção hste ue fix e untidde de crg elétric Q plicd ou induzid no eletroscópio de Brun. Substituindo s expressões obtids pr os momentos n condição de euilíbrio (e. ()), obtemos: 1 1 senθ k = P k / / 4 (.cos ) (.cos ) senθ π εo θ + θ zendo uso ds seguintes relções:. cosθ = 4. sen e +.cosθ = 4.cos btemos: 1 1 = 16 P π ε0 θ θ sen cos termo d direit nest eução pode ser simplificdo utilizndo-se identiddes trigonométrics, resultndo em: θ θ cos sen = 8 P π ε0 sen θ θ θ () /
De onde result: 8 P π ε0 sen θ = ± θ θ cos sen Portnto, crg totl (e.(1)) é dd por: π ε 0 P sen θ Q = ± 8 θ θ cos sen (4) Que fornece crg elétric totl contid no eletroscópio em função do ângulo de inclinção d lâmin. - RESULTADS Um form de verificção d eução (4) é relizr um nálise dos limites de vlidde. Podemos rbitrr vlores pr geometri do eletroscópio e consttr uis crgs podem corresponder os ângulos limite. Considermos um eletroscópio com os seguintes vlores: =10cm e P=1x10 - N. A tbel 1 mostr os resultdos pr lguns ângulos típicos, enunto ue o gráfico 1 present o comportmento d função. () è Q 0º 0 90º ± 45º 9 ± 1, 10 C 60º 9 ± 0,99 10 C 10º * Q x 10 6 [C] 0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,0 0,0 (b) 0,01 0,00-10 0 10 0 0 40 50 60 70 80 90 100 Ângulo [ ] igur 5 () Resultdos obtidos pr ângulos típicos; (b) simulção numéric do modelo. Pr ângulos miores ue 90º tem-se vlores negtivos no denomindor, resultndo em rízes não reis. Isso concord com experiênci pois ângulos miores ue 90º implicrim n existênci de um forç de trção entre lâmin e hste, o ue não é possível pois mbs sempre serão eletrizds com crgs de mesmo sinl. Pr o ângulo de 0 tem-se componente senè = 0, implicndo em Q=0, situção em ue o eletroscópio encontrse descrregdo. 4 - CNCLUSÃ Neste trblho foi presentdo um modelo físico-mtemático ue express correspondênci entre o módulo d crg elétric plicd ou induzid no eletroscópio e o ângulo de repouso d lâmin em relção à hste ue sustent. modelo foi elbordo com bse n lei de Coulomb pr eletrostátic e ns condições de euilíbrio de Newton. Pr relizr modelgem físico-mtemátic do eletroscópio de Brun form necessários conhecimentos dos conceitos sobre crgs estátics e princípios d mecânic newtonin, ssim como o domínio de ferrments d álgebr vetoril, unto
decomposição de vetores e produto vetoril. A nálise dos resultdos mostr bo concordânci ulittiv do modelo com csos limites do experimento. 5 - REERÊNCIAS BIBLIGRÁICAS [1] STEINBRUCH, ALRED. Geometri Anlític.. ed. São Pulo; McGrw-Hill, 1987. [] BEER,. P.; JHNSTN, JR. E. R. Mecânic vetoril pr engenheiros. 5ª. ed. São Pulo; Mkron, McGrw-Hill, 1991. [] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KENNETH, S. K. ísic, vol. 1 e, 4ª. ed. Rio de Jneiro: LTC, 1996.