2. POTÊNCIAS E RAÍZES

2 2. POTÊNCIAS E RAÍZES 2.. POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Vios teriorete lgus sectos históricos ds otêcis e dos logritos, e coo lgus rocessos ue levr à costrução dos esos. Pssreos seguir u desevolvieto is forl d teori ds otêcis co o ojetivo de teros codições de dr u oção ituitiv do sigificdo de u otêci de exoete irrciol. * * + Sej R, e N. A otêci é defiid coo o roduto de ftores iguis o úero, ou sej,....... ftores O úero é chdo de se e exoete d otêci. Prorieddes Sej, N*,, R + *. A ) +. (Proriedde Fudetl) A 2 ) se > A 3 ) ( ). A 4 ) (. ). A 5 ) Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

3 Ituitivete, é fácil oservr ue:. (..... )(....).. 42 43... 4243 4243 ftores ftores + ftores + U deostrção rigoros d Proriedde Fudetl e ds deis rorieddes é feit utilizdo o rocesso d idução. O ojetivo gor é esteder defiição r otêci co exoetes iteiros. Pr tl é reciso defiir 0 e -, ode N. Freos isso de odo ue Proriedde Fudetl sej reservd, isto é, ue 0 0+. +. 0 (I) (II) De ( I ) oservos ue é coveiete defiir: 0 De odo seelhte, ditido ue 0 e ( II ), chegos á coclusão ue deve ser igul. Resuido teos seguite Defiição Sej, * + * R e N. Defiios: 0. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

4 Oservções ) Se < 0,. 2) Se < 0 e Z, fze setido s defiições de, 0 e de. -.. Por exelo, 5 ( 3) ( 3)( 3)( 3)( 3)( 3) 2 ( 3) ( 2 3) ( 3)( 3) 0 ( 3) É fácil verificr ue se < 0 teos > 0, se é r e < 0 se é ír. Etretto, coo vereos osteriorete, r teori ds fuções exoeciis e logrítics defiições de otêcis co se egtiv ão são coveietes, já ue ão ode ser estedids de odo gerl exoetes frcioários. 3) Não fz setido exressão r 0. 4) Não defiios 0 0. Deveos oservr ue ão é coveiete defiir 0 0 coo sedo igul ; ois, se esos or u ldo, ue estos estededo r 0 exressão 0 *, R +, or outro ldo, ão estos estededo exressão * 0 0.0.0...0, N r 0. A icoveiêci de defiir 0 0 coo sedo ode ser vist co is recisão o estudo de liite de fuções o Cálculo Diferecil ode se ostr ue 0 0 é u ideterição As rorieddes A, A 2,..., A 5, vists teriorete são válids té r úeros iteiros. Teos, ortto, Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

5 Prorieddes Sej, R + *. Pr uisuer, Z, te-se: B ) +. (Proriedde Fudetl) B 2 ) B 3 ) ( ). B 4 ) (. ). B 5 ) Cosiderdo s rorieddes A i dds teriorete r úeros turis ão ulos, resetreos s deostrções de B i. B ). +, R + *,, Z. Vos lisr os seguites csos: i) > 0 e > 0 ( este cso reci e A ) ii) < 0 e < 0 Teos ue > 0 e > 0. Assi, utilizdo defiição e roriedde A, teos: (+ ) + iii) > 0 e < 0 ( ortto > 0 ) Se > teos or A 2 ue ( ) + Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

6 Se, Se <, iv) 0 ou 0 (+ ) 0 + 0. + B 2 ), * R +,, Z, B 3 ) ( )., R + *,, Z. Vos lisr os seguites csos: i) > 0 e > 0 ( este cso reci e A 3 ) ii) < 0 e < 0 Teos ue > 0 e > 0. Assi, ( )... iii) > 0 e < 0 iv) < 0 e > 0 ( ) ( ) Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

7 Teos ue > 0 e > 0. Vos ortto licr A e A 5 3 r e.( ) v) 0 ou 0 Aálogo r 0 ( ) ( ) 0 0 0. B 4 ) (. ).,, * R +, Z i) > 0 (reci e A 4 ) ii) < 0 Neste cso > 0. Podeos licr A 4 r : ( ) ( ). iii) 0 ( ) 0 0 0 B 5 ),, * R +, Z () ( ) ( ) 2.2. RAÍZES E POTÊNCIAS COM EXPOENTES FRACIONÁRIOS Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

8 Nosso ojetivo gor é defiir otêci,, Z, 0. Pr isto é ecessário itroduzir defiição e lgus resultdos referetes à riz -ési de u úero. Defiição Sej > 0 e N *. Ch-se riz -ési de, o úero rel ositivo tl ue. Notção: Oservções ) Pel defiição,. 2) Por coveção 2 3) Se < 0 ode-se defiir, o cso e ue é ír: é o úero rel tl ue. Neste cso, < 0. Por exelo, 8 2 3 ois ( ) 3 2 8. É clro, trlhdo co os úeros reis, ue defiição de ão fz setido se é r e < 0, ois ão existe u úero rel tl ue, < 0 e > 0. Assi, 4 ão fz setido e R. 4) Se 0, defiios 0 0 e defiição terior ode ser estedid d seguite for: Se 0, 0 e etão. Prorieddes Sej, R +,,, N* Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

9 R ).. R 2 ) R 3 ) ( ), se 0.. R 4 ). R 5 ). R )..,, R +, N* Sej x e y. Etão x e y. Dí ( ). x y x. y Coo x. y 0, etão x. y, ou sej, x.y. R 2 ),, R +, 0, N* Sej x e y. Etão x e y. Dí x x y y Coo x y 0, x y. Portto,. 3 ( ) R ) Sej x, R +,, N*. Etão x e x ( ). Teos ( ) ( ) ( ) x x x x Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

20 R 4 )., R +,, N* Sedo x e y x, teos x e y x ( ) y x y x y x y x, ou sej, y x. R 5 )., R +,,, N* ( ) ( ) x x x x x A defiição d riz -ési de u úero rel ositivo os erite esteder oção de otêci de u úero rel ositivo de odo icluir exoetes frcioários d for /,, Z, > 0. Quereos dr est defiição de odo coservr s rorieddes teriores de otêcis. Por exelo, álogo à roriedde B 3 desejos ue:. Assi sedo deveos ter: Defiição Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

2 Ddo o úero rel ositivo e o úero rciol, Z, > 0, etão defiios, Oservções ) E rticulr,. 2) Se 0 e > 0, odeos cosiderr 0 0 0. 3) Se < 0 e é ír etão exressão té está defiid. Prorieddes Sej, R,,,, Z, > 0, > 0. C ) C ) 2 C ) 3 C ) 4 C ) 5. ( ), sedo 0.., sedo 0 Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M. * + +.

22 Coo cso rticulr de C 2 teos. C ). +, R + *,,,, Z, > 0, > 0 +. + + C 2 ), R + *,,,, Z, > 0, > 0 A deostrção é seelhte à terior, utilizdo R 2), R 5) e B2). C 3 )., R + *,,,, Z, > 0, > 0 ( ) ( ) C 4 ) ( )..,, R * +,, Z, > 0 Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

23 ( ) ( ) C 5 ),, R * +,, Z, > 0 A deostrção é seelhte à terior, utilizdo B ) e R 5 2). Provreos seguir lgus resultdos ue serão ecessários r se esteder defiição de otêcis co exoete rel. Proosição 2. * + Sej R {},, N. i) Se 0 < < e < etão >. ii) Se > e < etão <. 2 2 3 2 i) < e > 0. < <. <. <. Cotiudo co este rocesso oteos e usdo trsitividde teos - < Se >, + k., k N*. - -2 3 < < < <... < < + k (+ k) (+ k) 2 (+ k) k Assi, < < <... < ii) Aálogo o ite terior Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

24 Proosição 2.2 * + Sej R {},, Z. i) Se 0 < < e < etão >. ii) Se > e < etão <. ii) Existe três csos cosiderr.. Se > 0 e > 0 recíos Proosição 2.. 2. Se < 0 e < 0 etão > 0 e > 0. Coo < etão <. Segue d Proosição 2. ue < < < 0 < 0. Sedo > 0 e >0, odeos cocluir ue <. 3. Se < 0 e > 0 ( álogo r o cso > 0 e < 0 ), teos ue é crescete seuêci de otêcis co exoete egtivos (ite 2), isto é, 3 2... < < < e té seuêci de otêcis co exoetes ositivos (Proosição 2. ), ou sej, logo, ortto, 2 3 < < < <... 3 2 2 3 <... < < < < < < < <... < <., i) Aálogo o ite ii) Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

25 Proosição 2.3 * Se N e 0 < < etão <. D defiição de riz -ési e lerdo ue >0 e > 0, teos x x e y y Por hiótese, > 0; logo, y x >0. Dí, 2 3 2 y x (y x)(y + y x + y x +... + x ) > 0 e coo exressão do segudo rêtesis d desiguldde ci é ositiv, teos ue y x > 0, ou euivleteete, <. Proosição 2.4 * r Sej R {},, Q, ode s, +, r,s,, Z, > 0, s > 0 i) Se < e > etão <. ii) Se < e 0 < < etão >. i) Sedo k..c {, s }, existe r, s Z tis ue r < < k k r k e k r k r k r < < < r k k < < ii) Aálogo o ite i) Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

26 2.3. POTÊNCIAS COM EXPOENTES IRRACIONAIS De osse d defiição e ds rorieddes ds otêcis co exoete rciol de u úero rel > 0, osso ojetivo gor e esteder defiição de x r x R, ou sej, estelecer o sigificdo de x udo x R - Q. Coo defiir, or exelo, 2 2? Sedo 2 u úero irrciol, 2 2 ão te sigificdo se cosiderros es s defiições vists té ui. O desevolvieto sisteático d teori ds otêcis co exoete irrciol é u rocesso ue evolve resultdos vçdos r os ossos roósitos. Etretto, é ossível esteder de eir ituitiv o sigificdo desss otêcis. Por exelo, todo-se seuêci de vlores rciois (,4;,4;,44;,442;,442;... ) ( I ) ue se roxi do irrciol 2, costruíos seuêci ( 2 4 ; 2,4 ; 2,44 ; 2,442 ; 2,442 ), ;... ( I I ) ue se roxi de u úero rel ue defiios coo 2 2. Tto is róxio o úero r estiver de 2, is róxio 2 r estrá de 2 2. Oserveos ue seuêci ( I ) é crescete e ford or vlores iores ue 2. Poderíos té os roxir de 2 el seuêci (,5;,42;,45;,443;... ) ( III ) ue é decrescete e ford or vlores iores ue 2, otedo ssi seuêci ( 2,5 ; 2,42 2,45 2,443... ) ue se roxi do eso úero rel chdo de 2 2. ; ;, ( IV ) Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

27 * + O rocedieto descrito ci ode ser utilizdo r defiir x, ode R -{} e x R - Q. Pr isso, suohos, or exelo, >, x R Q e cosidereos dus seuêcis de úeros rciois: u crescete ford or úeros eores ue x: ( r, r 2, r 3,..., r,... ) e outr decrescete ford or úeros iores ue x: s se roxido de x: ( s, s 2, s 3, s 4,..., s,...) r r 2 r 3 r 4 r 5 r 6... x... s 6 s 5 s 4 s 3 s 2 s Pode-se rovr ue s dus seuêcis ( r, r 2, r 3, r 4,...) e ( s, s2, s3, s4,...) tede u úico úero rel ue defiios or x Usdo o eso rocedieto defiios x r 0 < <. Oservções ) Se x é u úero irrciol ositivo etão defiios 0 x 0. 2) Se x é u úero irrcol defiios x. Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

28 3) Se < 0 e x é u úero irrciol ( x R Q ), otêci x ão está defiid. Todos os resultdos vistos r otêcis co exoetes rciois são estedidos r otêcis co exoetes irrciois. Assuireos válidos os seguites resultdos: Prorieddes Sej, R + *, x, y R. P ). x y x+ y P 2 ) x y x y P 3 ) ( ) P 4 ) ( ) x y xy.. x x x x P 5 ) x P 6 ) x < y e > x x < y P 7 ) x < y e 0 < < x > y P 8 ) R + *, : x y x y P 9 ) R + *, e y>0:! t R / t y Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

29 2.4. EXERCÍCIOS 2.. Clcule: 3 ) 3. 27 2 025,. 025,. 32 ) ( ) 4 ( ) 2 c) 20 + 2 2+ 2 4 + 2 2.2 Suosts defiids, silifiue s seguites exressões: 3/2 3 / 2 x ) x. x. 2 3 x. x 2 4 2 c) ( 2 + ). 2 2 e) 2 2 + 4 2 2 g) 2 / 2 / 2 / + 4 2 / + + 3 3 / 3 / 23 / ) ( + ).( + ) + 2 d) 3 3 + 3 + 3 f) 05.( x ), x x 2 / x + h) 2 / 5, x+ x + x 2 / 2 / 2.3. Se x + x 3, clcule: ) x+ x 2 2 ) x + x 2.4. Resolv s seguites euções: ) 3 x + 4 2 Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.

30 ) x+ 2 x 4 2 4 c) x + 4x+ 3 x+ d) x + 2x+ Rieiro A., Prtes E., Vergst E., Doiguez G., Freire I., Borges L., Mscrehs M.