MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Iterativos. 1.4- Covergêcia dos Métodos Iterativos.
1.1- Matrizes e Vetores Muitos problemas podem ser reduzidos a um sistema liear de m equações algébricas com icógitas. a x + a x + a x = b 11 1 12 2 1 1 a x + a x + a x = b 21 1 22 2 2 2 a x + a x + a x = b m1 1 m2 2 m m a11 a12 a1 x1 b1 a a a x b 21 22 2 2 = 2 a a a x b m1 m2 m ou x = b
1.1- Matrizes e Vetores Processameto de Images: recohecimeto de padrões, apredizagem de máquia. a11 a12 a1 a a a 21 22 2 am1 am2 am Pixel: meor parte de uma imagem Imagem Biária Matriz Numérica Imagem gerada por Computação Gráfica
1.1.1- Defiições Básicas Uma matriz é um cojuto de úmeros arrajados em forma retagular com m lihas e coluas. m a11 a12 a1 a a a am1 am2 am 21 22 2 = Matriz de ordem mx, ode a ij são os elemetos. a11 a12 a1 a a a a1 a2 a 21 22 2 = Se m= a matriz é chamada quadrada de ordem.
1.1.1- Defiições Básicas Se m=1 a matriz é chamada vetor liha. Se =1 a matriz é chamada vetor colua. [ a a a ] 1 = 11 12 1 m 1 a11 a 21 = am1 Matriz de ordem 1x, vetor liha. Matriz de ordem mx1, vetor colua. Note que um escalar (úmero) pode ser represetado como uma matriz de ordem 1x1. [ a ] = 11 11
1.1.1- Defiições Básicas Uma matriz quadrada da forma a11 0 0 a = 0 22 0 0 0 a é chamada matriz diagoal. Se a ij =1 temos a matriz idetidade ou uidade: 1 0 0 = 0 1 0 = E = I 0 0 1 Uma matriz com todos seus elemetos zeros é chamada matriz zero e deotada por. 0 m
1.1.1- Defiições Básicas Uma matriz quadrada é chamada matriz triagular superior (iferior) se os elemetos abaixo (acima) da diagoal pricipal são zeros. a11 a12 a1 a a 0 0 0 a a11 0 0 a a 21 22 0 = a1 a2 a 22 2 = Matriz Triagular Superior Matriz Triagular Iferior
1.1.2- Operações com Matrizes Duas matrizes são dita ser iguais se tem a mesma ordem e seus elemetos são todos iguais. = B se a = b i, j m m Se defie a soma etre duas matrizes da mesma ordem: B ij + B = C tal que c = a + b m m m ij ij ij ij a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 m + m = m1 m1 m2 m2 m m Similarmete se defie a difereça etre duas matrizes da mesma ordem.
1.1.2- Operações com Matrizes Da defiição de soma de matrizes seguem as propriedades: + ( B + C ) = ( + B ) + C m m m m m m + B = B + m m m m + 0 = m m m Se defie a multiplicação de uma matrizes por um escalar α αa αa αa αa αa αa αa αa αa 11 12 1 21 22 2 m = m α = m1 m2 m
1.1.2- Operações com Matrizes Da defiição aterior seguem as propriedades: 1 = m m 0 = 0 m m α ( β ) = ( αβ) m m ( α + β) m = αm + βm α ( + B ) = α + αb m m m m Se defie a multiplicação etre duas matrizes como: B = C m q q m ode ( i = 12,, m; j = 12,,, ) c = a b + a b + + a b = 1 1 2 2 a b ij i j i j iq qj il lj l= 1 q
1.1.2- Operações com Matrizes Ou seja: B = C m q q m a11 a1 2 a1 q b11 b12 b1 c11 c12 c1 a a a q b b b c c c 21 22 2 21 22 2 21 22 2 = am1 am 2 amq bq 1 bq2 bq cm1 cm2 cm Desta defiição seguem as propriedades: ( B C ) = ( B ) C m p p q q m p p q q α ( B ) = ( α ) B m p p m p p ( + B ) C = C + B C = D m p m p p m p p m p p m C ( + B ) = C + C B = D q p q m m p m p q m m p q m m p
1.1.2- Operações com Matrizes Note que o produto de duas matrizes ão é sempre comutativo: m q q = m q p = q p B C B C Quado m m m m se diz que as matrizes são comutativas (m=). Por exemplo, a matriz idetidade de ordem é comutativa com toda matriz quadrada da mesma ordem e verifica: E = E =. Note que a matriz idetidade cumpre o rol da uidade o produto. Exemplo: B = B B C 22 22 22 22 22 1 2 4 3 6 7 4 3 1 2 13 20 = = 3 4 1 2 16 17 1 2 3 4 7 10 B C 22
1.1.3- Matriz Trasposta Se defie a matriz trasposta como a troca das lihas pelas coluas de uma matriz: a11 a12 a1 a11 a21 am 1 a a a a a a 21 22 2 T m m e 12 22 2 = m= am1 am2 am a1 a2 am Como caso particular a trasposta de um vetor liha é um vetor colua e vice-versa. Da defiição seguem as propriedades: T ( ) = T m m ( + B ) = + B T T T m m m m ( B ) = B T T T m m m m m m m m
1.1.3- Matriz Trasposta Se diz que uma matriz é simétrica se ela é igual a sua T trasposta: (tem que ser uma matriz quadrada) m m= m m a11 a12 a1 m a11 a21 am 1 a a a m a a a 21 22 2 T m = 12 22 2 = m= am1 am2 amm a1m a2m amm a = a i j m m com ij ji. Note que o produto de uma matriz por sua trasposta é sempre uma matriz simétrica porque: B = = ( ) = ( ) = B T T T T T T T m m m m m m m m m m m m m m m m ode foram usadas as propriedades T T ( ) = ( B ) = B m m T T T m m m m m m m m
1.1.4- Matriz Iversa e Determiate Uma matriz quadrada tem iversa se seu produto pela direita e pela esquerda com esta matriz produz a matriz idetidade: = = E toda matriz quadrada pode ser associado um úmero chamado de determiate da matriz e defiido como: a a a 11 12 1 det = a21 a22 a2 = ( 1) ( α1, α2,, α ) a a a 1 2 a a a 1α 2α α ode a soma é realizada sobre todas as permutações de ( α, α,, α ) 1 2 dos elemetos 12,, e ℵ é 0 se a permutação é par e 1 se é impar. ℵ 1 2
1.1.4- Matriz Iversa e Determiate Exemplo: ( α, α, α ) det a11 a12 a13 = a a a = a a a ℵ 0 1 = ( 1) a a a = ( 1) a a a + ( 1) a a a + 0 1 0 1 ( 1) aaa + ( 1) aaa + ( 1) aaa + ( 1) aaa = a a11 a12 a13 = a a a, a a a 31 32 33 3 3 21 22 23 det 1 2 3 3 3 21 22 23 1α 2α 3α 11 22 33 11 23 32 1 2 3 31 32 33 12 22 31 12 21 32 13 21 32 13 22 31 a a a a a + a a a a a a + a a a a a a 11 22 33 11 23 32 12 22 31 12 21 32 13 21 32 13 22 31 E = 1 Para duas matrizes quadradas da mesma ordem se verifica: det( B ) = det( B ) = det det B
1.1.4- Matriz Iversa e Determiate Uma matriz quadrada é dita ser sigular se seu determiate é zero. Caso cotrário é dita ser ão sigular. Teorema: Toda matriz quadrada ão sigular possui uma iversa (úica). lgumas propriedades de uma matriz iversa: 1-2- 3- det 1 det = 1 ou det 1 = 1/ det ( B ) 1 = B 1 1 1 T T 1 = ( ) ( ) Note que as equações X = B e Y = B det 0 podem ser resolvidas através da iversa se X = B e Y = B 1
1.1.5- Valor bsoluto e Norma de uma Matriz B desigualdade m m etre matrizes da mesma ordem sigifica que aij bij. Se defie m como a matriz cujos elemetos são a. Se e são matrizes para ij m Bm as quais faz setido as operações de soma e produto, etão: + B + B m m m m B B m m m m α α α m m com sedo um escalar. Observe que estas defiições são costruídas de forma a preservar os cohecimetos que se verificam para os úmeros (escalares - Matriz de ordem 1).
1.1.5- Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Defiimos como orma de uma matriz um úmero real que satisfaz as seguites codições: a) b) c) d) Note que usado c) segue: logo Similarmete logo m 0 com = 0 se e somete se = 0 α α m m m m m m + B + B m m m m B B m m m m B = + ( B ) + B B = B B m m m m m m m m m m m m m B B B B m m m m m m m m
1.1.5- Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Etre todas as ormas possíveis destacamos três: 1) 2) 3) Exemplo: p q = max a ij (m-orma) p q m i j = max a ij (l-orma) p q p q l = a k j i, j i ij 2 (k-orma) 1 2 22 = 3 4 2 2 max 37, =7 (m-orma) = m i { } 2 2 max 46, 6 (l-orma) { } = = l j 2 2 = 1+ 4+ 9+ 16= 30 (k-orma) k
1.1.5- Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Outro exemplo, agora para a matriz idetidade E : E 1 m = l = E 1 E = k (m-orma) (l-orma) (k-orma)
1.1.6- Rak de uma Matriz Seja uma matriz retagular de ordem mx. Chamamos Meor de ordem k desta matriz ao determiate da matriz de ordem k formada pela escolha arbitrária de k lihas e k coluas, ode k m mi( m, ) a11 a12 a1 a a a 21 22 2 = am1 am2 am Defiição: O Rak de uma matriz é a ordem do maior Meor ão ulo da matriz. Ou seja, a matriz tem Rak r se: m 1- existe pelo meos um Meor de ordem r diferete de zero, 2- todos os Meores de ordem maior ou igual a r+1 são zero. a a a a 11 12 21 22 Meor de Ordem 2 a a a a 21 22 m1 m2
1.1.6- Rak de uma Matriz Em outras palavras, o Rak correspode ao úmero de lihas e coluas liearmete idepedetes da matriz. O Rak da matriz zero é defiido como zero. Note que o Rak da Matriz Idetidade de ordem é. 2 4 3 1 1 2 1 4 4 4 = 0 1 1 3 4 7 4 4 2 4 3 4 3 0 1 2 1 = 1 2 1 det 4 4 = 0 0 1 1 Logo o Rak de 4 4 é 3.
1.1.7- Trasformações Elemetares de uma Matriz 1- Itercambio de duas lihas ou duas coluas. 2- Produto de todos os elemetos de uma liha (colua) pelo mesmo úmero diferete de zero. 3- Soma dos elemetos de uma liha (colua) pelos elemetos de outra liha (colua). Duas matrizes são dita ser equivaletes se uma pode ser obtida a partir da outra através de um úmero fiito de trasformações elemetares. s matrizes equivaletes ão são iguais, mas tem o mesmo Rak. 1 2 1 33 = 2 1 1 1 1 1 2 4 2 2 2 2 33 = 4 2 2 = 233 Rak=3
1.1.8- Idepedêcia Liear e Base j x, com j = 1,, m 1 2 m α x + α x + + α m x = α 0 Um cojuto de vetores é dito ser liearmete depedete se 1 2 0 para algum escalar j. Ou seja, se algum destes vetores é uma combiação liear dos outros. Caso cotrario se diz que os vetores são liearmete idepedete. Teorema: Um espaço de dimesão tem o máximo vetores liearmete idepedetes. Defiição: Qualquer cojuto de vetores liearmete idepedete de um espaço de dimesão é uma base deste espaço. Teorema: Todo vetor de um espaço de dimesão pode ser represetado de forma úica como combiação liear dos vetores de uma base.
1.1.9- Produto Escalar (Itero) Sejam os vetores de úmeros complexos y e 1 2. Se defie o produto escalar como o úmero xy, = ( y, y,, y ) ( ) * = i= 1 x y ode é o complexo cojugado. Propriedades do Produto Escalar: 1- Positivo defiido e se e somete se. i i * y i xx, x= 0 ( ) * 2- Simetria Hermitiaa. αx, y = α x, y α ( ) ( ) 3- ode é um escalar. (,,, ) x1 x2 x Defiição: Dois vetores são dito ser ortogoais se seu produto escalar é zero:. x i i i i= 1 i= 1 = = xx = x ( yx, ) = ( xy, ) * xy, = 0 ( ) 2 0 ( ) xx, = 0
1.1.10- lgus Propriedades de uma Matriz Matriz Não Sigular Matriz Sigular Tem iversa s coluas são idepedetes s lihas são idepedetes O determiate é ão zero x=0 tem uma úica solução x=0 x=b tem uma úica solução x= -1 b tem pivôs (ão zero) Rak = ordem da matriz Todos os autovalores são ão zero T é simétrica e defiida positiva Não tem iversa s coluas são depedetes s lihas são depedetes O determiate é zero x=0 tem ifiitas soluções x=b ão tem solução ou tem ifiitas tem r< pivôs Rak< Zero é um dos autovalores da matriz T ão é defiida positiva
Frase do Dia Number rules the Uiverse. The Pythagoreas Cometário sobre os úmeros racioais e irracioais.