Instituto Municipl de Ensino Superior de Ctnduv SP Curso de Licencitur em Mtemátic 3º no Prátic de Ensino d Mtemátic III Prof. M.Sc. Fbricio Edurdo Ferreir fbricio@ffic.br Situção inicil Estudo dos Logritmos Améric Ltin, populção cresce um tx de 3% o no, proximdmente. Em quntos nos populção d Améric Ltin irá dobrr se tx de crescimento continur mesm? esss condições, podemos orgnizr o seguinte qudro: Tempo Populção início P 0 no P = P 0,03 nos P = (P 0,03),03 = P 0 (,03) 3 nos P 3 = P 0 (,03) 3 x nos P x = P 0 (,03) x Supondo que populção dobrrá pós x nos, temos: P x = P 0 Dí, temos: P 0 (,03) x = P 0 (,03) x = Surge então um questão: como determinr o expoente o qul,03 deve ser elevdo pr resultr em? Definição de ritmo Considere s seguintes questões prévis: ) Qul expoente devemos elevr pr obter 8? x = 8 x = 3 x = 3 b) Qul expoente devemos elevr 3 pr obter /8? 3 x = 8 3x = 3 4 3x = 3 4 x = 4 Ddos os números reis positivos e b, com, se b = c, então o expoente c chm-se ritmo de b n bse, ou sej, b = c b = c com e b positivos e. ess equivlênci, temos: Form rítmic c: ritmo b = c { : bse do ritmo b: ritmndo Form exponencil b: potênci c = b { : bse d potênci c: expoente Observções: ) Vej que, de cordo com s restrições imposts, não são definidos, por exemplo: 3 (-8) 0 0 0 3-8 6 Experimente plicr definição nesses csos. ) Qundo bse do ritmo for 0, podemos omití-l. Assim, é o ritmo de n bse 0. Aos ritmos n bse 0 dmos o nome de ritmos decimis ou de Briggs.
Condições de existênci de ritmos Sbemos que existênci de um ritmo, como por exemplo, depende ds seguintes condições: i) deve ser um número positivo ( > 0) ii) bse deve ser um número positivo e diferente de ( > 0). > 0 existe qundo e somente qundo { > 0 e Exemplos: Determine os vlores reis de x pr os quis existe: ) (x 3) b) (x 7x + 0) 3 ) Como bse deve ser positiv, temos que: x 3 > 0 x > 3 S = {x R x > 3} b) Anlisndo o sinl d bse, temos que: x 7x + 0 > 0 (x )(x 5) > 0 S = {x R x < ou x > 5} Consequêncis d definição de ritmo º) = 0, pois 0 =, qulquer que sej > 0 e. º) =, pois = pr todo > 0 e. 3º) n = n, pois n = n pr todo > 0 e e pr todo n. 4º) =, como > 0, > 0 e =. 5º) x = y x = y, com x > 0, y > 0, > 0 e. Usndo tábu de ritmos decimis Principis proprieddes d função rítmic Lembremos s principis proprieddes d função rítmic de bse 0: I. 0 x x 0 III. II. 0. 0 x x 0 Crcterístic e Mntisss Qulquer que sej o número rel positivo x que consideremos, estrá necessrimente compreendido entre dus potêncis de 0 com expoentes inteiros consecutivos. Exemplos: ) x 0,04 0 x 0 b) c) d) 0 x 0,35 0 x 0 0 x 3,7 0 x 0 x 45,7 0 x 0 3 e) x 573 0 x 0. Assim, ddo x > 0, existe sempre um número c inteiro tl que: c c c c 0 x 0 0 x 0 c x c Podemos firmr que: x c m em que c Z e 0 m isto é, o ritmo deciml de x é som de um número inteiro c com um número deciml m não negtivo e menor que. O número inteiro c é por definição crcterístic do ritmo de x e o número deciml m ( 0 m ) é por definição mntiss do ritmo deciml de x.
Regr d Crcterístic 3 A crcterístic do ritmo deciml de um número x rel positivo será clculd por um ds dus regrs seguintes. ª) Se x > A crcterístic do ritmo deciml de um número x > é igul o número de lgrismos de su prte inteir menos. Exemplos: ritmo,3 c = 0 3,4 c = 04 c = 654,3 c = 3 crcterístic ª) Se 0 < x < A crcterístic do ritmo deciml de um número 0 < x < é o oposto d quntidde de zeros que precedem o primeiro lgrismo significtivo. Exemplos: Mntiss ritmo 0, c = 0,035 c = 0,00405 c = 3 0,00053 c = 4 crcterístic A mntiss é obtid ns tábus (tbels) de ritmos. Em gerl, mntiss é um número irrcionl e por esse motivo s tábus de ritmos são tbels que fornecem os vlores proximdos dos ritmos de números inteiros, gerlmente entre 0 000. Ao procurrmos mntiss de um ritmo deciml de x, devemos lembrr seguinte propriedde Propriedde d Mntiss A mntiss do ritmo deciml de x não se lter se multiplicrmos x por um potênci de 0 com expoente inteiro. Um conseqüênci importnte dess propriedde é: Os ritmos de dois números cujs representções decimis diferem pens pel posição d vírgul têm mntisss iguis. Dest form os ritmos dos números, 00, 000, 0,, 0,00 tem todos mesm mntiss 0,300, ms s crcterístics são respectivmente 0,, 3, e 3. Aplicções d tbel de ritmos decimis ª) Clculr 3,4. A crcterístic do ritmo é e mntiss é 0,3696, que é mesm do número 34. Temos então: 3,4 0,3696,3696 ª) Clculr 0,04. A crcterístic do ritmo é e mntiss é 0,6349, que é mesm do número 40. Temos então: 0,04 0,6349,37675 (form negtiv) Entretnto, é usul escrevermos + 0,6349 sob form, 6349 (form mist ou preprd), em que figur explicitmente mntiss do ritmo e crcterístic fic substituíd pel notção. 3ª) Clculr nti,79585. Com mntiss 0,79585 encontrmos n tábu o número 64, ms como crcterístic do ritmo é, então ele possui dus ordens inteirs (devemos somr nos ntiritmos positivos). Então temos: 6,4,79585
4 4ª) Clculr nti,376. Antes de tudo devemos trnsformr o ritmo n form negtiv pr form mist ou preprd, pois n tábu mntiss é sempre positiv. Ess trnsformção é obtid subtrindo de su prte inteir e dicionndo à su prte deciml, o que evidentemente não lter o número negtivo. Assim temos:,376 0,376 0,376 0,68389,68389 x,376,68389 Com mntiss 0,68389 encontrmos n tábu o número 45, ms como crcterístic do ritmo é, temos dois zeros ntes do primeiro lgrismo significtivo: 0,045,68389 Interpolção Liner Hverão csos em que o vlor desejdo de um ritmo não se encontr n tábu de ritmos utilizd. estes csos utilizremos um processo chmdo de interpolção liner. É notável lembrr que função rítmic não é liner ms tl procedimento nos result num bo proximção. ª) Clculr 34,3. um tbel de 00 999 encontrremos os vlores pr 34 =,496930 e 35 =,4983. Representndo crtesinmente como um função liner temos o seguinte esboço: x y = x x = 34 y = 34 =,496930 x = 34,3 y = 34,3 =? x3 = 35 y3 = 35 =,4983 Pr determinrmos o vlor de y, consideremos os triângulos AEB e AFD. Como eles são semelhntes, temos: DF BE AF AE d 0,0038 0,3 d 0,000443 Portnto 34,3 34 d,496930 0,000443, 4973443. ª) Clculr nti 3,49504. A mntiss 0,49504 não prece num tbel de 0000 9996, porém está compreendid entre s mntisss 0,47973 e 0,5040. Representndo crtesinmente como um função liner temos o seguinte esboço: x y = x x = 770 y = 770 = 3,47973 x =? y = x = 3,49504 x3 = 780 y3 = 780 = 3,5040
5 Pr determinrmos o vlor de x, consideremos os triângulos AFD e AEB. Como eles são semelhntes, temos: AF AE DF BE d 0 0,0053 0,00447 d 0,053 0,00447 6,56640 Portnto x 770 d 770 6,56640 776, 5664. Coritmo Denomin-se coritmo de um número ( > 0) num bse ( > 0 e 0) o oposto do ritmo do número n bse ou o ritmo do inverso de n bse. co = ou co = Exercícios. Usndo s fmilires leis dos expoentes, demonstre s seguintes proprieddes úteis dos ritmos: ) mn m n b) m / n m n r c) m r m s d) m m s /. Mostre que: ) b b b) b b c) b b / (Mudnç de bse) 3. Determine s crcterístics, no sistem deciml, de: 7 0,03 0 5 e 0,0000. 4. Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) 30 c) 5,7 b) 5,4 d) 0,74 e) 0,00357 5. Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) nti 3,8768 b) nti,8035 c) nti 0,975 d) nti, 545 e) nti 3, 6693 f) nti, 7
6. Clcule, utilizndo tbel de mntisss: ) nti,0899 b) nti 3,47 7. Observe o cálculo de 3. c) nti 0,4473 d) nti,657 6 3 3 Agor, clcule utilizndo tbel de mntisss do pêndice: 0,477,585 0,300 ) 3 b) 5 c) 5 3 d) 5 6 e) 6 4 8. Em Químic, define-se o ph de um solução como ritmo deciml (bse 0) do inverso d respectiv concentrção de H3O + (íon hidroxônio). O cérebro humno contém um líquido cuj concentrção de H3O + é 4,8 0 8 mol/l (em médi). Qul será o ph desse líquido? OBSERVAÇÃO Existem clculdors com tecl ln, que permitem clculr os ritmos nturis dos números reis positivos. Os ritmos nturis tem bse e, ou sej, ln x = e x (ritmo nturl de x). O número e, bse dos ritmos nturis, é crcterizdo pelo fto de que seu ritmo nturl é igul, ou sej, ln e =. O número e é irrcionl. Um vlor dess importnte constnte é e =,788884 Os ritmos nturis, de bse e, são muito importntes ns plicções. 9. Sbemos que o número de bctéris de um cultur, depois de um tempo t, é ddo por = 0 e rt, em que 0 é o número inicil (qundo t = 0) e r é tx de crescimento reltivo. Em qunto tempo o número de bctéris dobrrá se tx de crescimento contínuo é de 5% por minuto? 0. Em quntos nos 500 g de um substânci rdiotiv, que se desintegr um tx de 3% o no, se reduzirão 00 g? Use Q = Q 0 e rt, em que Q é mss d substânci, r é tx e t é o tempo em nos.. Améric Ltin, populção cresce um tx de 3% o no, proximdmente. Em quntos nos populção d Améric Ltin irá dobrr se tx de crescimento continur mesm?. (Fuvest SP) A intensidde I de um terremoto, medid n escl Richter, é um número que vri de I = 0 té I = 8,9 pr o mior terremoto conhecido. I é ddo pel fórmul: I = 3 0 n qul E é energi liberd no terremoto em quilowtt-hor e E 0 = 7 0 3 kwh. ) Qul é energi liberd num terremoto de intensidde 8 n escl Richter? b) Aumentndo de um unidde intensidde do terremoto, por qunto fic multiplicd energi liberd? E E 0