FUNDAMENTOS TECNOLÓGICOS

Transcrição

1 INTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO COORDENAÇÃO DE ELETROELETRÔNICA CURSO TÉCNICO CONCOMITANTE EM ELETROELETRÔNICA FUNDAMENTOS TECNOLÓGICOS Profª. Bárr Tques

2 ÍNDICE CAPÍTULO - OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS.... Operções Aritmétics Básics.... Cálculo de Epressões Numérics.... Operções com Epressões Algérics... CAPÍTULO UNIDADES E NOTAÇÕES NUMÉRICAS...7 CAPÍTULO -OPERAÇÕES COM CALCULADORAS... CAPÍTULO -PORCENTAGEM.... X Tomr X% de um qunti A: A.... Aumentr um qunti A de X%:. A.... Diminuir um qunti A de X%:. A... CAPÍTULO - VETORES.... Adição de vetores...6. Multiplicção de vetores...8 CAPÍTULO 6 - MATRIZES.... Definição.... Representção Algéric... Mtriz Qudrd.... Mtriz Trnspost.... Iguldde de Mtrizes Mtriz Unidde ou Mtriz Identidde Adição e Sutrção de mtrizes Mtriz Opost Proprieddes d dição de mtrizes.... Multiplicção de um número rel por um mtriz.... Multiplicção de mtrizes.... Proprieddes d multiplicção de mtrizes...7. Invers de um mtriz...7 CAPÍTULO 7-DETERMINANTES... CAPÍTULO 8- FUNÇÕES... DEFINIÇÃO... GRÁFICO DE UIMA FUNÇÃO:... FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR.... FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE.... FUNÇÃO POLINOMIAL FUNÇÃO EXPONENCIAL...7 CAPÍTULO 9- TRIGOMOMETRIA.... CIRCUNFERÊNCIA.... TRIÂNGULO.... TRIGONOMETRIA.... FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...

3 CAPÍTULO - OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS. Operções Aritmétics Básics Sej um número rel e m e n inteiros positivos. Poderá ser oservdo s seguintes proprieddes de potencição: n... (n vezes) n n, n m nm (Produto de potênci de mesm se:repete se e som os epoentes) n m nm, (divisão de potênci de mesm se: repete se e sutri os epoentes) m n nm (potênci de potênci:repete se e multiplic os epoentes) EXEMPLO: n n n, OBS.: I - ímpr negtiuvo pr positivo II - 6 ) 7 ) 9 9. Cálculo de Epressões Numérics Pr clculr corretmente qulquer epressão numéric, é necessário oedecer lgums prioriddes. Então, deve-se ter em mente que os cálculo devem ser feitos n seguinte ordem: Prênteses ( ), colchetes [ ] e chves { } Potênci e riz Multiplicção e Divisão Som e Sutrção OBS.: I- Som e sutrção de frção: deve-se tirr o MMC entre os denomindores.

4 II- Produto de frção: deve-se multiplicr numerdor com 8 numerdor e denomindor com denomindor. E.: III- inverso do segundo. E.: Divisão de frção: repete o primeiro e multiplic pelo 7 7 IV- Multiplicção e divisão de números reis: Multiplicção Divisão V- Som e sutrção de números reis: Prevlece o sinl do mior. EXEMPLOS ) ) Operções com Epressões Algérics Epressões lgérics são epressões que envolvem letrs ou números e letrs, como por eemplo: 8 6 c c 8 As letrs são chmds de vriáveis e os números que s compnhm são chmdos de coeficientes. Podemos fzer s seguintes operções com epressões lgérics: Adição e Sutrção Só pode-se dicionr ou sutrir termos semelhntes e, ess operção será feit sore os coeficientes, mntendo-se prte literl. Oservr que, se não houver termo semelhnte pr operr, ele pens será repetido. E.: 7c 6 8 c 6 8 7c c 9 6c Multiplicção A multiplicção deverá ser feit multiplicndo-se primeiro os coeficientes, depois prte literl, oedecendo-se s regrs de potencição e regr d distriuitividde e, por fim, dicionndo-se os termos semelhntes. E.:

5 Divisão de Polinômios por Monômio Este tipo de divisão deverá ser relizdo, dividindo-se cd termo do polinômio pelo monômio, lemrndo-se ds regrs de potencição. E.: Produtos Notáveis Produtos notáveis, como o próprio nome diz, são produtos que precem com stnte freqüênci n resolução de prolems. Como eemplo, tel io mostr os mis usdos. EXEMPLOS ) 6 c) 9 EXERCÍCIOS: Clculr o vlor ds epressões io: ) ) d) e) f) 8 Clculr o vlor numérico ds epressões io: ) 7 7 ) c) d) 8 e) 6 7 f) 6 g) 6 7

6 Efetur s operções io: ) ) 8 8 g) 6 h) i) j) 6 8 Desenvolver os produtos indicdos: ) k) l) m) 6

7 CAPÍTULO UNIDADES E NOTAÇÕES NUMÉRICAS. SISTEMA INTERNACIONALDE UNIDADES (S.I.) O Sistem Interncionl de Uniddes (SI) foi dotdo em 96 pel Conferênci Gerl de Pesos e Medids (CGPM), e foi compost por seis uniddes ásics, dds n tel io: GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO Comprimento metro m Mss quilogrm kg Tempo segundo s Crg Elétric coulom C Tempertur kelvin K Intensidde Luminos cndel cd Uniddes derivds importntes n teori de circuitos: Forç (F): A unidde fundmentl de forç é Newton (N), que é forç requerid pr celerr um mss de kg metro por segundo por segundo, ((m/s)/s). N=kgm/s Trlho ou Energi (W): Um joule é o trlho relizdo por um forç de N plicd em um distânci de m. J=N*m Potênci (P): É velocidde n qul um trlho é relizdo ou que energi é dissipd. Definido como J/s. W=J/s Múltiplos Decimis e Prefios S.I. MÚLTIPLO PREFIXO SÍMBOLO Ter T 9 Gig G 6 Meg M Quilo k - Mili m -6 Micro µ -9 Nno n - Pico p Eemplos: m = km ml = l ml =,l 7

8 Notção de Engenhri: Um número deve possuir um coeficiente mior ou igul um; se dez e epoente múltiplo de. Pr ssocirmos com os prefios de S.I. Eemplo: FORMA NORMAL SEPARAÇÃO EM MILHARES NOTAÇÃO EM ENGENHARIA k 6,,M, 6 μ,7,7,7m Os.: Qundo precisr efetur som ou sutrção destes números, tomr cuiddo pr que tenhm o epoente com mesm ordem lgéric. E.: + = + = = Multiplicção: m Divisão: n m n mn mn m n n m. n Potencição: EXERCÍCIOS: Escrever d melhor form s seguintes medids ),6Mm ) μs c) 87g d),k e),8kg f) 8mK g),gm Pssr pr notção de engenhri c. d.,6 e.,789 f., g., h. 8 i. 7 j., k.,7 l. 9 m., n. 7 8

9 Resolver s seguintes operções dndo o resultdo n notção de engenhri c. (6. - )/(. ) d. (. )/(. -6 ) e. (. -8 ) f. (9. ) - g... - h i. (. 6 )/(. - ) j. (. )/(. ) k. (. ) l. (. 6 ) 9

10 CAPÍTULO -OPERAÇÕES COM CALCULADORAS As clculdors usds neste curso devem ser clculdors científics. Isto é, clculdors que possuem operções mis que s simples operções ásics de som, sutrção, multiplicção e divisão. Est deve conter funções de uso n engenhri, como funções trigonométrics; logrítmics e outrs. O uso d clculdor é diferencido pr cd mrc e tipo de clculdor. Portnto pr prender relizr lgums operções ásics, nd melhor que relizr ests operções pr cd cso em prticulr, se necessário com uílio do mnul de clculdor especificd. Pr judr neste prendizdo, segue io lgums operções que devem ser eecutds com s devids clculdors científics. EXERCÍCIOS: Resolver s operções io, com uílio de clculdor: ) sen( ) ) sen 6 c) d),, e) f) cos g) cos h),, i),8,,,7 j) tn cos sin k) cos tn l) ln, m) ln7, e

11 n) -,(-,7)-,., o),7.,8-[-,.(-,)] Oservção: Não esquecer de usr s devids notções estudds no cpítulo.

12 CAPÍTULO -PORCENTAGEM A epressão por cento signific por cd cem, e se represent com o sinl %. Pode-se epressr um porcentgem em form de frção ou como deciml. 7 7% ou,7 Deciml Frcionári X % X Frcionári TRÊS SITUAÇÕES MUITO IMPORTANTES: X. Tomr X% de um qunti A: A Qundo se quer clculr % de pode-se utilizr fmos regr de três como segue: % % K onde K K Logo, é % de. Um outr form mis simples e dequd de se fzer mesm cois: Clculr % de signific TOMAR % de..,. O que fizemos foi simplesmente deslocr vírgul dus css à esquerd de %, que resultou em,, e em seguid multiplicrmos por. Pode-se notr que é form frcionári de % e que, é su form deciml. Mis um eemplo: Qunto é % de 9? Resolução:,.9=7 Respost:7.. Aumentr um qunti A de X%: X. A Sej A um qunti que será umentd de X por cento. Not-se que A+X% de A equivle à qunti A umentd em X%.

13 X Algericmente escreve-se: A. A Ftorndo epressão, que equivle colocr A em evidênci, otêm-se X X.A, onde pode ser chmdo de Ftor de Aumento. EXEMPLOS: 7 Aumentr de 7% signific. =,7.= Aumentr de % signific. =,.= 99 Aumentr de 99% signific. =,99.=98 Aumentr de % signific. =.= Aumentr de % signific. =,.= Oserv-se gor que os vlores,7,,99, são Ftores de Aumento do vlor. Dic: Note que pr vlores percentuis miores ou iguis % e menores que % st escrever, seguido do vlor percentul pr que se otenh o Ftor de Aumento.. Diminuir um qunti A de X%: X. A Sej A um qunti que será diminuíd de X por cento. Pode-se oservr que A-X% de A equivle à qunti A diminuíd de X%. X Algericmente escreve-se: A A Ftorndo epressão, que equivle colocr A em evidênci, otêm-se X X A, onde pode ser chmdo de Ftor de Diminuição. EXEMPLOS: 7 Diminuir de 7% signific =,9.=86 Diminuir de % signific =,8.=7 Diminuir de % signific =,7.=

14 . EXERCÍCIOS Oserv-se que os vlores,9,9,7 são Ftores de Diminuição do vlor Eemplificndo: Tomr % de um qunti A: Aumentr um qunti A de %: Diminuir um qunti A de %:. Clculr % A =,.A A=,.A A =,88.A Um produto teve dois umentos consecutivos de %. Qul foi o totl de umentos? Um mercdori que custv R$, sofreu um umento pssndo custr R$7,. A t de umento foi de quntos por cento? é % de que número? Qunto é,% de R$6,? Um produto no vlor R$, teve um desconto de %. Qul é o seu vlor pós o desconto?

15 CAPÍTULO - VETORES Vetor é o símolo mtemático utilizdo pr representr o módulo, direção e o sentido de um grndez físic vetoril. O vetor é representdo por meio de um set com origem O e etremidde A. O v A m Figur A indicção lgéric de um vetor é feit d seguinte form: v OA = v Pr que um vetor fique crcterizdo é preciso conhecer seu módulo ou intensidde, direção e sentido. Seu módulo pode ser representdo pel letr sem flech sore el, ou d form; v v O módulo de um vetor é medid do comprimento d flech que o represent; direção e o sentido d flech dão direção e o sentido do vetor. Por eemplo, um deslocmento de metros pr nordeste, num escl de cm por metros, seri representdo por um fech de cm de comprimento, formndo um ângulo de º com direção horizontl e com pont d flech n etremidde superior direit. º Figur Forç, velocidde, celerção, intensidde de cmpo elétrico e indução mgnétic são eemplos de grndezs vetoriis. Muits leis d físic podem ser epresss num form compct pelo uso de vetores e os cálculos que envolvem ests leis ficm, dest form, muito simplificdos. As grndezs que ficm crcterizds pens por um número e um unidde, tendo consequentemente pens um vlor numérico, são denominds esclres. Mss, comprimento, tempo, densidde, energi, tempertur, tensão e corrente elétric são eemplos de grndezs esclres. Os esclres se cominm de cordo com s regrs d álger ordinári. Já s grndezs vetoriis possuem lgums proprieddes prticulres pr s operções entre si. Aio podemos oservr lgums dels:. Adição de vetores

16 Ddos os vetores A O e B O, o vetor som ou resultnte r é otido grficmente trçndo-se pels etremiddes de cd um deles um prlel o outro. A C α β α O B Figur O vetor, pode ser decomposto em dus componentes e ; ssim como o vetor pode decomposto em e, como mostrdo n figur io: = Figur O vetor r, que é resultnte d som dos dois vetores, terá como componentes r e r, som ds componentes dos vetores ( e ) e ( e ): r = + e r = + Como pode ser visto n figur io; r = r Figur Cálculo do módulo do vetor r 6

17 Como mostrdo n Figur, o vetor r, form um triângulo retângulo com sus componentes, r e r, podendo ssim, o seu módulo, ser clculdo com jud do teorem de Pitágors: r r r De cordo com figur, r e r podem ser sustituídos pel som ds componentes, e, : r Como pode-se oservr n Figur : cos e sin cos e sin Do mesmo modo; cos e sin cos e sin, sendo o ângulo θ, o ângulo entre o vetor, e o eio. Que neste eemplo é zero. Portnto o módulo de r, torn-se: r cos cos sin sin r r cos cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin De posse ds seguintes relções trigonométrics: cos cos e cos cos cos sin sin Pode-se reescrever equção d form: r cos EXEMPLO: O módulo do vetor r e, é ddo por:, resultnte d som dos vetores r, cos Cálculo do ângulo do vetor r Pr o cálculo do ângulo do vetor resultnte, us-se teori do triângulo retângulo. 7

18 r =cteto oposto θ r =cteto djcente CO tn CA r r tn r r. Multiplicção de vetores Eistem três tipos de multiplicções pr vetores:. Multiplicção de um vetor por um esclr. Multiplicção de dois vetores, de modo resultr um esclr;. Multiplicção de dois vetores, de modo resultr um vetor. Produto Esclr O produto esclr de dois vetores é considerdo como produto do módulo de um dor vetores pelo componente do outro n direção do primeiro. E pode ser ddo por; cos Onde θ é o ângulo entre os vetores e. Produto Vetoril vetor c, sendo O produto vetoril entre dois vetores, e, indicdo por c, cujo módulo é:, é outro c sin, Sendo o ângulo entre e. A direção de c é dd por definição, perpendiculr o plno determindo por e. O sentido do vetor c pode ser ddo pel regr d mão direit: Envolvendo os dedos d mão direit, de form que estes empurrem o vetor em direção o vetor ; o sentido do vetor c será ddo pelo sentido do dedo polegr. 8

19 Pode-se notr que: é um vetor diferente de, pois ordem dos vetores no produto vetoril é importnte. N relidde,pois o módulo será igul, ms o sentido dests dus operções será oposto. Um eemplo do uso dest operção é o cálculo d forç elétric gerd prtir do produto vetoril, do produto corrente elétric com comprimento do fio; e cmpo mgnético. F i l B EXERCÍCIOS: Um ponto mteril está sujeito simultnemente dus velociddes de módulos m/s e 6m/s, formndo um ângulo de 6º entre si. Clculr o módulo d velocidde resultnte sore o ponto mteril. Determinr intensidde (módulo) do vetor som de dois vetores perpendiculres entre si e cujos módulos são m e m. Ddos os vetores, e c, determinr: ) ) c) d) e) R R R R R c c f) g) h) i) R 6 R 7 R 8 R 9 c c c c 6º º 7º Determinr o vetor r, som destes vetores: 9

20 Determinr o produto esclr e vetoril pr os vetores citdos nos eercícios e.

21 CAPÍTULO 6 - MATRIZES. Definição As mtrizes são tels de números reis utilizds em quse todos os rmos d ciênci e d engenhri. Váris operções eecutds por céreros eletrônicos são computções por mtrizes. São utilizds n Esttístics, n Economi, n Físic Atômic etc. O conjunto ordendo dos números que formm tel é denomindo mtriz e cd número é chmdo elemento d mtriz. Um mtriz é indicd pelo seu número de linhs e coluns. Um mtriz do tipo m n (lê-se:m por n), com m, n, é um tel formd por m n elementos dispostos em m linhs e n coluns. Eemplo: Um mtriz do tipo (lê-se: qutro por três), isto é, um mtriz formd por linhs e três coluns. Represent-se um mtriz colocndo-se seus elementos entre prênteses ou entre colchetes ou Oservção: pr indicr ordem de um mtriz, dizemos primeiro o número de linhs e, em seguid, o número de coluns. Eemplos: : mtriz de ordem ( linhs e coluns) : mtriz de ordem ( linh e coluns), : mtriz de ordem ( linh e colun). Representção Algéric Utiliz-se letrs miúsculs pr indicr mtrizes genérics e letrs minúsculs correspondentes pr os elementos. Algericmente, um mtriz pode ser representd por:

22 A= m m n n com m e n mn Como o qudro A é stnte etenso, mtriz revidmente por: A ij m n m n será representd O elemento ij possui dois índices: o primeiro, i, represent linh, e o segundo, j, indic colun. Com esss dus informções (linh e colun) pode-se loclizr o elemento. Assim, tem-se: (lê-se: um um) elemento loclizdo n ª linh e ª colun. (lê-se: três dois) elemento loclizdo n ª linh e ª colun. Mtriz Qudrd Se o número de linhs de um mtriz for igul o número de coluns, mtriz é dit qudrd. Qundo fz-se referênci um mtriz qudrd ordem é n em vez de n n. Eemplo; A é um mtriz de ordem. n n, pode-se dizer que su Oservções:. Qundo um mtriz tem todos os seus elementos iguis zero, diz-se que é um mtriz nul.. Os elementos ij de um mtriz qudrd, em que i=j, form um digonl denomind digonl principl. A outr digonl é chmd digonl secundári.. Mtriz Trnspost m n Se A é um mtriz de ordem, denomin-se trnspost de A mtriz de ordem n m otid pel troc ordend ds linhs pels coluns. t Indic-se trnspost de A por A. Eemplo: t A su trnspost é A Oservções:

23 . ª linh de A é igul à ª colun de A t ;. ª linh de A é igul à ª colun de A t ;. ª linh de A é igul à ª colun de A t ;. Iguldde de Mtrizes Sejm s mtrizes A e B de mesm ordem. Se cd elemento de A for igul o elemento correspondente (elemento que ocup mesm posição) de B, s mtrizes A e B são dits iguis. Assim sendo n m ij A e n m ij B, ij ij B A 6. Mtriz Unidde ou Mtriz Identidde A mtriz qudrd de ordem n, em que todos os elementos d digonl principl são iguis (um) e os demis elementos são iguis (zero), é denomind mtriz unidde ou mtriz identidde. Represent-se mtriz unidde por I n. Eemplo: I é um mtriz unidde de ordem. 7. Adição e Sutrção de mtrizes A dição ou sutrção de dus mtrizes, A e B, do mesmo tipo é efetud dicionndo-se ou sutrindo-se, respectivmente, os seus elementos correspondentes. Eemplo: Sendo A e 7 B, tem-se: B A B A De modo gerl, se n m ij A, n m ij B e n m c ij C, tem-se: Adição: ij ij ij C A B C Sutrção: ij ij ij C A B C 8. Mtriz Opost

24 Denomin-se mtriz opost de um mtriz A mtriz A, cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A. A A Oserv-se que A, mtriz opost d mtriz A, é otid trocndo-se os sinis de todos os elementos de A. Desse modo, sutrção de mtrizes tmém pode ser efetud ssim: C A B C A B opost de B Logo, pr oter mtriz c, que é diferenç ds mtrizes A e B, dicion-se mtriz A à mtriz opost de B. 9. Proprieddes d dição de mtrizes m n Pr mtrizes A, B e C, de mesmo tipo, vlem s proprieddes: Comuttiv: A B B A Elemento neutro: A A Associtiv: A B C A C B Elemento oposto: A A Oservção, Neste cso, represent mtriz nul do tipo m n.. Multiplicção de um número rel por um mtriz Pr multiplicr um número rel por um mtriz, multiplic-se o número por todos os elementos d mtriz, e o resultdo é um mtriz do mesmo tipo. Dd um mtriz A ij e um número rel k, chm-se produto de k por A mtriz B ij, em que ij k ij. B k A k ij ij Assim, A, então B A Multiplicção de mtrizes Oservr seguinte situção: Um empresário oferece menslmente limentos dois orfntos. Pr o º orfnto são dodos kg de rroz, kg de crne e kg de tt. Pr o º orfnto são dodos8kg de rroz, kg de feijão, kg de crne e 8 kg de tt. O empresário fz cotção de preços em dois supermercdos. Est é cotção nul, em reis: PRODUTO (kg) SUPERMERCADO SUPERMERCADO SUPERMERCADO Arroz,,, Feijão,,,

25 Crne 6, 7, 6, Btt,8,6, Determinr o gsto mensl desse empresário, por orfnto, supondo que todos os produtos sejm dquiridos no mesmo estelecimento e que este represente melhor opção de compr. Com mtriz A, será representdo compr dos produtos pr os dois orfntos: orfnto A 8 8 orfnto O preço dos produtos nos dois supermercdos será representdo pel mtriz B:,,,,,, B 6, 7, 6,,8,6, sup ermercdo sup ermercdo sup ermercdo Clculndo o gsto mensl do empresário ns seis situções possíveis: Com o º orfnto: Supermercdo.,+.,+.6,+.,8=6,6 Supermercdo.,+.,+.7,+.,6=78, Supermercdo.,+.,+.6,+.,=6, Com o º orfnto: Supermercdo 8.,+.,+.6,+8.,8=, Supermercdo 8.,+.,+.7,+8.,6=,6 Supermercdo 8.,+.,+.6,+8.,=8, Estes resultdos podem ser representdos pel mtriz C: C 6,6, 78,,6 6, 8, Portnto, melhor opção é comprr os produtos no supermercdo. por: A mtriz C, ssim otid, é denomind mtriz produto de A por B, e indicd C A B Neste eemplo, C é um mtriz do tipo, dd por: C 8,, 8 6,,8,, 7,,6,, 6,,

26 Pode-se oservr que cd elemento d mtriz C é som dos produtos dos elementos de um linh d mtriz A pelos correspondentes elementos d colun de mesm ordem d mtriz B. Como, n multiplicção de mtrizes, deve-se multiplicr linh por colun, ou sej, multiplicr o º número d linh pelo º número d colun, o º número d linh pelo º número d colun etc., então quntidde de coluns de A deve ser igul à quntidde de linhs de B. A mtriz produto C terá número de linhs de A e o número de coluns de B. iguis Eemplo: Dds s mtrizes A e B iguis diferentes Generlizndo, pode-se dizer que, dd um mtriz m n jk n p, denomin-se produto de A por B mtriz C c jk m p A ij e um mtriz B, tl que o elemento c jk é som dos produtos dos elementos d i-ésim linh de A pelos elementos correspondentes d j-ésim colun de B. C A B n j ij jk k k A letr miúscul sigm (Σ) é o símolo de somtório. in nk Considerndo s mtrizes C A B. A, B e mtriz. Proprieddes d multiplicção de mtrizes Dds s mtrizes A, B e C de modo que s soms e os produtos estejm definidos, vlem s proprieddes; Associtiv

27 A B C A BC Distriuitiv -à esquerd: B C A B A C A -à direit: A B C A B A C Oservções: AB A B e B A podem ser indicdos por AB e BA respectivmente. A multiplicção de mtrizes não é comuttiv. Eistem mtrizes A e B tis que AB BA Se ocorrer AB=BA, pode-se dizer que A e B comutm. N multiplicção de mtrizes não vle lei do nulmento do produto, isto é, podemos ter AB=. Se A e B, então AB, A e B Não vle tmém lei do cncelmento, isto é, mesmo com A podese ter AB=AC e B C. Se A, B e C, então 7 AC. Invers de um mtriz De modo gerl, o inverso de um número rel,, é o número, que tmém é indicdo por -. Assim: Um rciocínio nálogo pode ser usdo pr verificr est propriedde no cso de mtrizes qudrds de mesm ordem. Se eiste um mtriz B, qudrd de ordem n, tl que A B B A I n, diz-se que mtriz B é mtriz invers de A. Costum-se indicr mtriz invers por A -. Assim, B=A -. A mtriz I é mtriz identidde d mesm ordem que s mtrizes A e A -. Se mtriz qudrd A é invertível, então su invers é únic. Qundo um mtriz qudrd não possui invers, diz-se que el é um mtriz singulr ou não invertível. EXERCÍCIOS: elemento.. Dd mtriz ij B de ordem, em que. Achr os elementos d mtriz ij ij i A de ordem, em que j, clculr o ij i j.

28 . Clculr som dos elementos d ª colun d mtriz ij B, em que j i ij.. Quntos elementos tem um mtriz qudrd de ordem 6?. Determinr trnspost d mtriz ij A em que j i se i j j i se j i ij. 6. Qul é mtriz trnspost d mtriz identidde de ordem? 7. Dds s mtrizes 6 A e z B 8 6, clculr, e z pr que B=A t. 8 Dd mtriz A, otenh mtriz X tl que t A A X. 9 Considere s seguintes mtrizes: ij A, definid por j i ij ij B, definid por j i ij Determine o elemento C d mtriz C=A+B. Sejm s mtrizes A e B. Se B A, determine trnspost de A. Dds s mtrizes A, B e 6 C, clculr: ) A+B )A+C c)b+c+a d)a-b t -C Clculr mtriz X, sendo que A, B e B A X t Dds s mtrizes 8 6 A, B e C, clculr o resultdo ds seguintes operções; ) A-B+C ) C B A Efetur: ) ) c) 6 d) e) f)

29 Dd mtriz A, clculr A. 6 Sendo que A e B, clculr X pr que A B B A. 7 considerndo s mtrizes ij A e ij B qudrds de ordem, com j i ij e j i ij. Sendo que C=A+B, determinr C. 8 Determinr invers ds mtrizes: ) A ) B 9 Se A e B, determinr t B A X.

30 CAPÍTULO 7-DETERMINANTES Determinnte de um mtriz qudrd de ordem n é um número rel el ssocido. Cd mtriz tem um único determinnte: n Dd mtriz: n A m m nm O seu determinnte será ddo por: det A m m n n nm O determinnte de um mtriz A será denotdo por det A ou por D A. Determinnte de um mtriz de ª ordem. Em prticulr, o determinnte de um mtriz de ª ordem é definido como o vlor do seu único elemento. A det A Determinnte de um mtriz de ª ordem. A det A Determinnte de um mtriz de ª ordem (Regr de Srrus). Pr otenção do determinnte de um mtriz qudrd de ª ordem, utilizse um regr prátic denomind regr de Srrus. Sej mtriz Repetir ª e ª colun à direit d mtriz, conforme o esquem io: Seguindo os trços em digonl, multiplic-se os termos e troc-se (ou conserv-se) o sinl do produto conforme indicdo.

31 det A EXERCÍCIOS. Dds s mtrizes A e B, clculr o determinnte d mtriz A B. A ij. Dd mtriz determinnte d mtriz A t., tl que, ij i j se se i i j, encontrr o j. Clculr cd um dos determinntes seguir, utilizndo regr de Srrus. ) ) N equção seguir, envolvendo determinntes, encontrr os vlores reis de.. Dds s mtrizes A e B, e sendo N=+det(AB), encontrr o vlor de N. 6. ij A é um mtriz qudrd de ordem, em que =, = e =. Em cd linh de A precem os números, e sem repetição e o mesmo ocorre em cd colun. Qul o determinnte de A?

32 CAPÍTULO 8- FUNÇÕES DEFINIÇÃO Há diverss mneirs de representr um relção entre dus grndezs. N figur io: A= Se o qudrdo possui ldo com medid l, su áre A possui relção constnte com est medid. Se o ldo ument, áre ument; se o ldo diminui áre diminui. Pr todo vlor do ldo eiste um único vlor correspondente pr áre (A=l ). Assim, pode-se dizer que áre depende do ldo ou áre é função do ldo. As funções possuem dus crcterístics em comum: A todos os vlores d vriável independente, estão ssocidos vlores d vriável dependente. Pr um ddo vlor d vriável independente está ssocido um único vlor d vriável dependente. Not: chmndo-se vriável independente de, pode-se dizer que vriável dependente está em função de, sendo ssim representd por f(). Pr o eemplo nterior pode-se dizer que A=f(l), ou que áre A é função do ldo l. DOMÍNIO: Domínio de um função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável independente. IMAGEM: Imgem de um função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. EXEMPLO: l= Se é ddo pens f()=-, sem eplicitr o domínio D, está implícito que pode ser qulquer número rel, ou sej, D Se é ddo pens f, sem eplicitr o domínio D, está implícito que pode ser qulquer número rel, com eceção de, pois, se =, tem-se: f e não é definid divisão de um número rel por zero. Logo: D /

33 GRÁFICO DE UIMA FUNÇÃO: SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL É um sistem constituído por dois eios, e, perpendiculres entre si. O eio é denomindo eio ds sisss e o eio é o eio ds ordends. P Esse sistem é utilizdo pr loclizr um ponto no plno; ssim, o ponto P(,) indicdo n figur tem siss e ordend. GRÁFICO Pr construir gráficos de funções, será utilizdo sistem de coordends crtesins ortogonis. O gráfico tem vntgem d comunicção visul imedit, isto é, pode ser retird dele muits informções importntes d função. Pr isso, será considerdo os vlores do domínio d função no eio (eio ds sisss) e s respectivs imgens no eio (eio ds ordends). Eemplo: Construir o gráfico d função f(), dd por f()=+, onde,,, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Os.: D,,, e,,, I. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR FUNÇÃO PAR Função onde f()=f(-) pr qulquer que sej Eemplo: Sej função f()=. D

34 f f f f f f e - tem mesm imgem (). e - tem mesm imgem (). e tem mesm imgem (). Isto é f f f f No plno crtesino - - FUNÇAÕ ÍMPAR Função onde f()=-f(), pr todo EXEMPLO: Sej função f()=. f f f f D e - tem imgens oposts. e - tem imgens oposts

35 . FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE FUNÇÃO CRESCENTE Um função é crescente, se e somente se, pr quisquer e, com <, tiver f( )<f( ). EXEMPLO: Sej função f, pr f f f f função crescente f f FUNÇÃO DECRESCENTE. Um função é decrescente, se e somente se, pr quisquer e, com <, tiver f( )>f( ). EXEMPLO: Sej função f, pr f f 9 f f função decrescente f f.. FUNÇÃO POLINOMIAL É quel cuj fórmul mtemátic é epress por um polinômio. Costum-se flr em gru de um função polinomil, conforme o gru do polinômio ddo em su fórmul mtemátic. O gru do polinômio corresponde o mior epoente d vriável considerd. EXEMPLO f()=; função de zero gru, já que pode ser epress como f()= ; f()=-; função polinomil de º gru; f()= -; função polinomil de º gru; f()= + -; função polinomil de º gru; FUNÇÃO POLINOMIAL DE º GRAU A função polinomil é de º gru qundo su representção mtemátic é um polinômio de gru. De mneir gerl, pode-se representr função polinomil de º gru n form f()=+ com e sendo números reis e (cso = tem-se f()=, que represent um função constnte). Os números representdos por e são chmdos coeficientes, enqunto é vriável independente. EXEMPLO: f()=- - -

36 RAIZ DE UMA FUNÇÃO Denomin-se riz de um função, o vlor de que nul função, isto é, torn f()=. Pr o eemplo nterior, f()=-, e riz d função é, pois: f FUNÇÃO POLINOMIAL DE º GRAU É tod função dd por f()= ++c, com, e c reis e. EXEMPLO: f f f f f Seu gráfico é um práol que terá concvidde voltd pr cim se > ou voltd pr io se <. EXEMPLO: > < Neste cso pode-se oservr que o gráfico cort o eio em dois pontos, portnto possui dus rízes. EXEMPLO: f =, =- e c= Rízes: c... = e =. Neste cso os vlores que tornm função zero (rízes d função) são e. f()= -.+=9-+ f()= f()= -.+=-+ f()= EXERCÍCIOS:

37 Dd função f()=+, clculr e, sendo que f()= e f(-)=-. tenh: Dd função f()= -+6, clculr os vlores reis de pr que se ) f()=; ) f()=; c) f()=-6. Dd função f ) f() ) de modo que f, pr e /, clculr:. Dd função = -+, determinr: ) s rízes ou zeros d função; ) o seu gráfico. 6. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função dd por f (com > e ) é denomind função eponencil de se. Se =, f função constnte. Se <, f E.: se, então f ou f o que não é um número rel. Portnto o conjunto Imgem não será pertencente os números reis. GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO Eminndo o comportmento d função eponencil, trçndo seu gráfico no plno crtesino, tem-se dois csos: º cso: > f é crescente. º cso: << f é decrescente.

38 ) f f - - 8,, 8 f ) f ,, EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: Chm-se Equções Eponenciis tod equção que contém incógnits no epoente. Eemplos: ) ) 9 c) 7 d)

39 Pr resolver um equção eponencil, deve-se trnsformá-l de modo oter potêncis de mesm se no primeiro e no segundo memros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. OBS.: Se >, Pr P P,. EXEMPLO: ) ) c) 7 d) Fzendo = = Voltndo à iguldde EXERCÍCIOS. Esoçr os gráficos ds seguintes funções eponenciis: ) f ) f c) f d) (-<<) (-<<) (-<<) (-<<)

40 6. Encontr o vlor de pr que f()=6 f 7. Encontr o vlor de pr que f()=/9 7 f 8. Pr quis vlores de k função eponencil f k decrescente? é 9. Determinr o ponto de intersecção dos gráficos ds funções f e g. 8

41 CAPÍTULO 9- TRIGOMOMETRIA. CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto de pontos de um plno eqüidistntes de um ponto do plno chmdo centro, e ess distânci chm-se rio. r DIÂMETRO: É distânci entre dois pontos d circunferênci, pssndo pelo centro e vle medid de rios. r r=d r ARCO: Distânci entre dois pontos sore circunferênci. ÂNGULO: É distânci entre dus semi-rets de mesm origem. A circunferênci é um linh e seu comprimento é proimdmente π (,9...) vezes mior que o comprimento do diâmetro: c d r GRAU: Dividindo um circunferênci em qutro rcos iguis, cd um deles chmr-se-á QUADRANTE. Gru é nongésim prte do qudrnte. Logo, um qudrnte tem noven grus (9º) de ngulção. RADIANO: É um rco de comprimento igul o do rio d su circunferênci. Logo circunferênci tod tem π vezes mior que o rio. Em outrs plvrs, em um circunferênci cem cerc de 6,8 rdinos, ssim como cem 6 grus. OBS.: é imprecis. Escreve-se π rd o invés, porque est representção deciml Jmis escrever π=8º, ms π rd=8º. EXEMPLOS -Converter º pr rdinos.

42 8 rd rd 8º rd=ºπ rd Converter rd pr grus. rd 8. TRIÂNGULO CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS ldos iguis: equilátero ldos iguis: isóceles ldos diferentes: escleno CLASIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS ângulos gudos (ângulo menor que 9º): ocutângulo ângulo otuso (ângulo mior que 9º): otusângulo reto (ângulo com 9º): retângulo LEI ANGULAR DE TALES A som dos três ângulos internos de um triângulo é sempre igul dois retos (8º ou π rd). RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Ao ldo mior de um triângulo retângulo dmos o nome de HIPOTENUSA; os outros dois CATETOS. O cteto é chmdo de cteto oposto. E o cteto c, de cteto djcente. c m n A mis importnte relção métric é de PITÁGORAS:

43 O qudrdo d hipotenus é igul à som dos qudrdos dos ctetos. Pel figur: c Pr todos estes segmentos vlem s seguintes relções: h m. n. n c. m. c. h EXEMPLO: Determinr digonl do retângulo de dimensões 6cm e 8cm. 8 cm r 6cm 6 8. TRIGONOMETRIA. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As funções trigonométrics, ou funções circulres, são funções onde o conjunto domínio dest função é composto pelos vlores ds medids dos rcos (em grus ou rdinos) encontrdos no ciclo trigonométrico. Serão vists qui s funções circulres seno, cosseno e tngente de um ângulo. FUNÇÃO SENO ( sen f ) O domínio d função sen() é o conjunto dos números reis. Já imgem d função sem() é o intervlo [-, +], isto é, - sen() +. A prtir de π função seno repete seus vlores, portnto é um função PERIÓDICA, com período π. Pois, pr cd vlor de, se somdo π (+π), o vlor d função seno volt se repetir: sen sen k, sendo k um número inteiro. GRÁFICO:

44 O gráfico d função seno é chmdo senóide e vri seus vlores de cordo com vrição do ângulo no ciclo trigonométrico. sen() π - π π π/ π π/ π π/ π - Pode-se oservr que, no ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio. Dí result que s ordends (sen()) desses pontos têm o mesmo vlor soluto, porém, sinis opostos. Então sen(-)=sen(), pr todo rel. Com isto pode-se firmr que função seno é um função ímpr. FUNÇÃO COSSENO ( f cos ) O domínio d função cos() é o conjunto dos números reis. Já su imgem é o intervlo [-, +], isto é, - cos() +. O período d função cosseno é igul π, isto é, cos cos k. GRÁFICO: O gráfico d função cosseno é chmdo cossenóide e, ssim como função seno, vri seus vlores de cordo com vrição do ângulo no ciclo trigonométrico. cos() π - π π - π/ π π/ π π/ π - Aind considerndo que no ciclo trigonométrico os pontos correspondentes os números e têm imgens simétrics em relção o eio ds scisss; pode-se dizer que estes pontos têm mesm sciss (cos()). Então, cos(-)=cos(), tl que f()=cos() é um função pr.

45 FUNÇÃO TANGENTE O domínio d função tn() é sin tn, pr k, k Z tn cos GRÁFICO D k, k Z A imgem d função tn() é o intervlo - <tn()<. O período d função tngente é igul π... Pois, se O gráfico d função tngente é chmdo de tngenóide e continu pr vlores de direit de π e esquerd de (zero). π/ π π/ π π/ π Como tn(-)=tn(), pr todo número rel k k Z que função tngente é ímpr., pode-se dizer EXEMPLOS. Esoçr o gráfico d função sen. Os vlores dess função não podem ser negtivos, portnto, s prtes io do eio devem ser virds pr cim. π/ π π/ π π/ π. Esoçr o gráfico de cos.

46 Regr prátic (+) deslocr curv de no eio dos. (-) deslocr curv de no eio dos. Logo, deve-se deslocr cossenóide pr no eio dos. π/ π π/ π π/ π - Com o gráfico pode-se oservr que sen cos. cos sen. Do mesmo modo, EXERCÍCIOS. Converter pr rdinos: ) º ) º c) º d) 7º e) º. Converter pr grus: ) 7 rd 6 ) rd c) rd 6 d) π rd e) rd. No triângulo d figur io, qunto vle? cm ) ) cm cm cm

47 c) d) cm cm 7cm cm. A digonl de um retângulo mede 7cm e um de sus dimensões cm. Qul medid d outr dimensão?. Um triângulo isóceles tem dois ldos medindo cm e se medindo 8cm. Qul su ltur reltiv se? 6. Determinr o ldo incógnito dos seguintes qudriláteros: ) ) 7. Esoçr os seguintes gráficos: ) sen sen ) c) cos( ) cos d). 8. Clculr o vlor de f rd 9. Clculr o período ds funções: sendo f sen sen sen ) sen ) cos c) cos

48 d) sen e) tn

49 RESPOSTAS CAPÍTULO ) 6 ) n) 6 9 o) 7 p) ) 6 ) 7 c) -8 d) 87 e) 6 f) g) ) ) 6 6 q) 6 6 r) 6 s) t) CAPÍTULO ) ) 9 u) 9 9. ),6m ) ms c) 87kg d) μk e),8g

50 f) 8,K g) km. ) 6,8k ) 7k c),m d),6m e) 789m f),m g) m h) 8k i) 7,k j) μ k),7m l),9m m) μ n),7m. ) 6M ) k c) d) M e) p f),7η g),k h) 8m i) G j) 8m k) G l) 9T CAPÍTULO ), ), c), d) 7,6 e),6 f) g) h),68 i), j),8 k),º l) 7,86 m),

51 CAPÍTULO CAPÍTULO 6 n), o) 6, % %,% 8% 6 6, 7 R$, z CAPÍTULO CAPÍTULO 8. = e =. ) e ) - e 6 c) não há vlores reis de

52 .. ) = = ) (,) (,) (,) 6. (-, ) 7. (, 9) 8. <k< 9. (,-) CAPÍTULO 9. ) rd ) rd c) d) e) rd rd 7 rd. ) º ) º c) º d) 7º = 6º e) º. ) = ) = c) d) =8. =8. =7 6. ) =

53 ) ) π ) c) π d) e) f)

54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, JR; BONJORNO, RA; BONJORNO, V; RAMOS, CM. Tems de Físic-Mecânic. São Pulo:FTD SA, 997. GIOVANNI, JR; BONJORNO, JR; GIOVANNI JR, JR. Mtemátic Fundmentl. São Pulo: FTD, Vol. Único, 99 GIOVANNI, JR; BONJORNO, JR; GIOVANNI JR, JR. Mtemátic Fundmentl - Um Nov Aordgem. São Pulo: FTD, Vol. Único, LEMOS, AA; HIGUCHI, F; FRIDMAN, S. Mtemátic.; São Pulo: Editor Modern,