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1 MATEMÁTICA PROF. MS. JAMUR SILVEIRA

2 . REVISÃO. MMC / MDC 3. EQUAÇÃO DE º GRAU 4. EQUAÇÃO DE º GRAU 5. RAZÕES / PROPORÇÕES 6. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 7. PORCENTAGENS 8. JUROS SIMPLES 9. JUROS COMPOSTOS 0. FUNÇÕES. PA / PG. MATRIZES / DETERMINANTES / SISTEMAS LINEARES 3. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS 4. TRIGONOMETRIA 5. GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 6. ESTATÍSTICA 7. PROBABILIDADE 8. ANÁLISE COMBINATÓRIA 9. RACIOCÍNIO LÓGICO

3 . REVISÃO RECORDANDO OPERAÇÕES Recordndo s qutro operções: dição; subtrção; multiplicção; divisão. Vmos lembrr como esss operções são feits e, principlmente, qundo devemos utilizáls n solução de um problem. Muit gente pens que quem fz conts com rpidez é bom em mtemátic. É engno! Fzer conts rpidmente é um hbilidde que se dquire com prátic. Muito mis importnte que fzer conts com rpidez é descobrir quis são s operções que devemos usr pr resolver um problem. Portnto, em mtemátic, o mis importnte é o rciocínio. Pr começr, lei os qutro problems bixo e tente descobrir quis são s conts que devem ser feits. - Um motorist de táxi ndou 80 km em certo di e 6 km no di seguinte. No totl, qunto ele ndou nesses dois dis? - Um mercdori que cust R$37,00 foi pg com um not de R$50,00. De qunto foi o troco? - Um cix de leite tipo long vid possui 6 litros de leite. Quntos litros existem em cixs? - Devo reprtir 4 bls igulmente entre meus três filhos. Qunts bls deve receber cd um? A dição Podemos pensr n operção de dição qundo queremos juntr s coiss que estão seprds. Exemplo: - Em um pequen escol, existem 3 turms: um com 7 lunos, outr com 3 lunos e outr com 8 lunos. Quntos lunos existem o todo ness escol? Pr reunir os lunos ds 3 turms, devemos somr quntidde de lunos de cd turm. A operção que devemos fzer é: = 76 Existem, portnto, 76 lunos ness escol. Cd um dos números de um som chm-se prcel. N operção de dição, podemos somr s prcels em qulquer ordem. Por isso, temos certez de que tmbém dá 76. Devemos ind lembrr que números negtivos tmbém podem ser somdos. Por exemplo, som de - com - 5 dá - 7. Pr escrever ess operção fzemos ssim: - + (- 5) = - 7 Observe que colocmos - 5 entre prênteses pr evitr que os sinis de + e de - fiquem juntos. Ms existe outr mneir, mis simples, de escrever mesm operção. Vej: = - 7 A subtrção Podemos pensr n operção de subtrção qundo queremos tirr um quntidde de um outr pr ver qunto sobr. Vej o exemplo: Um secretári recebeu tref de preprr 90 envelopes de correspondênci. Até hor do lmoço, el já tinh feito 5. Quntos el ind tem de fzer? Temos qui um exemplo clro de operção de subtrção. A operção que devemos fzer é: 90-5 = 38 Assim, depois do lmoço, secretári deverá preprr ind 38 envelopes. Observe gor que, em um subtrção, qundo o segundo número é mior que o primeiro, o resultdo é negtivo. Vej: 9-5 = = - 4 Pr resumir, s regrs são s seguintes: - Escrever 5 ou + 5 é mesm cois. - Qundo sinis de números e sinis de operções precerem juntos, então: (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) (-) (+) = (-) (-) (-) = (+) Por exemplo:

4 5 + (+ 3) = = (- 3) = 5-3 = 5 + (+ 3) = 5-3 = 5 - (- 3) = = 8 Vej, seguir, como devemos proceder num situção em que há som e subtrção de diversos números. João briu um cont bncári. Depois de lgum tempo, ess cont presentou o seguinte movimento: Qul será o sldo de João pós esss operções? Vmos representr os depósitos por números positivos e s retirds por números negtivos. Devemos então fzer seguinte cont: O resultdo dess operção será qunti que João ind tem no bnco. A melhor form de fzer esse cálculo é somr os números positivos (os depósitos), somr os números negtivos (s retirds) e depois subtrir o segundo resultdo do primeiro. Assim: = = ( ) -( ) = = 8-73 = = 45 Portnto, João ind tem R$ 45,00 em su cont bncári. A multiplicção A multiplicção nd mis é que um som com prcels iguis. Por exemplo: = 5 x 7 = 35 O número 7 preceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. D mesm form: = 7 x 5 = 35 Agor, o número 5 preceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sbe que, em um multiplicção cd número chm-se ftor. Vmos, gor, recordr lgums proprieddes d multiplicção.. N multiplicção, ordem dos ftores não lter o resultdo. Por isso: 5 x 7 = 7 x 5. Qundo temos váris multiplicções seguids, qulquer um dels pode ser feit primeiro. Por exemplo: x 3 x 5 = ( x 3) x 5 = 6 x 5 = 30 x 3 x 5 = x (3 x 5) = x 5= 30 x 3 x 5 = ( x 5) x 3 = 0 x 3= Qundo um número multiplic um som, ele multiplic cd prcel dess som. Por exemplo: x ( ) = x = 4 Ou, ind: x ( ) = x 3 + x 4 + x 5 = = 4 Flt pens recordr o que ocorre qundo temos multiplicções com números negtivos. As regrs são s seguintes: (+) x (-) = (-) (-) x (+) = (-) (-) x (-) = (+) A divisão Podemos pensr n divisão qundo queremos dividir um totl de prtes iguis ou qundo queremos sber qunts vezes um número cbe no outro. Exemplo: Desejmos colocr 80 lápis em 5 cixs, de mneir que tods s cixs tenhm o mesmo número de lápis. Quntos lápis devemos pôr em cd cix? A respost é fácil. Bst dividir 80 por / 5 = 6 Logo, cd cix deve conter 6 lápis. No exemplo que cbmos de ver, divisão foi ext ou sej, conseguimos colocr mesm quntidde de lápis em cd cix sem que sobrsse nenhum. O que conteceri, entretnto, se tivéssemos 8 lápis pr pôr ns 5 cixs? A respost é fácil. Cd cix continuri com 6 lápis, ms sobrrim. Vej operção:

5 3-30 N operção cim, 8 é o dividendo, 5 é o divisor, 6 é o quociente e é o resto. Esses qutro números se relcionm d seguinte form: 8 = 5 x 6 + (dividendo) = (divisor) x (quociente) + (resto) Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Ao fzer um divisão, estremos sempre encontrndo dois novos números: o quociente e o resto. Vmos ver mis um exemplo do uso dess operção em um problem. Exercício:. Efetue s operções indicds: ) = b) 55-8 = c) 8-55 = d) + (- 7) = e) - (- 7) = f) = g) (- 6) = h) (- 6 ) = i) 3 x 7 = j) (- 8) x 9 = l) (7-3) x 4 = m) (3-8) x (- 4) =. Efetue s operções indicds. Lembre que, se váris operções precem em um mesm expressão, s multiplicções e divisões são feits primeiro e depois s soms e subtrções. ) 4 + x 3 = b) / 6 = c) 3 x - x 0 = 3. Um trblhdor recebe R$ por di de trblho, mis um grtificção de R$8 por semn. Sbendo que cd semn tem 6 dis de trblho, qunto esse trblhdor deverá ter recebido pós 4 semns? 4. Certo utomóvel fz, n estrd, km por litro de gsolin. Pr fzer um vigem de 340 km, o proprietário colocou no tnque 30 litros de gsolin. Esse combustível será suficiente? 5. Em um fest, s mess do slão são qudrds e comodm, no máximo, 4 pessos. Pr que 50 pessos possm se sentr, qunts mess serão necessáris? 6. Um escol tem 4 sls e cd sl tem 30 crteirs. N primeir sl existem 6 lunos, n segund, 4, n terceir, 3 e n qurt, 9. Quntos lunos ind podem ser mtriculdos? 7. João tem um terreno retngulr de 0m de frente por 30m de fundo, e desej cercá-lo com um cerc de rme com 5 fios. Quntos metros de rme ele deverá comprr? Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Nturis São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representdo pel letr miúscul N. Cso queir representr o conjunto dos números nturis não-nulos (excluindo o zero), devese colocr um * o ldo do N: N = {0,,,3,4,5,6,7,8,9,0,...}

6 N* = {,,3,4,5,6,7,8,9,0,,...} Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem o conjunto dos Nturis mis os seus respectivos opostos (negtivos). São representdos pel letr Z: Z = {... -4, -3, -, -, 0,,, 3, 4,...} O conjunto dos inteiros possui lguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negtivos São todos os números inteiros que não são negtivos. Logo percebemos que este conjunto é igul o conjunto dos números nturis. É representdo por Z + : Z + = {0,,,3,4,5,6,...} - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representdo por Z - : Z - = {..., -5, -4, -3, -, -, 0} - Inteiros não negtivos e não-nulos É o conjunto Z + excluindo o zero. Represent-se esse subconjunto por Z* + : Z* + = {,, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z* + = N* - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z - excluindo o zero. Represent-se por Z* -. Z* - = {... -4, -3, -, -} Conjunto dos Números Rcionis Os números rcionis é um conjunto que englob os números inteiros (Z), números decimis finitos (por exemplo, 743,843) e os números decimis infinitos periódicos (que repete um sequênci de lgrismos d prte deciml infinitmente), como ", ", são tmbém conhecids como dízims periódics. Os rcionis são representdos pel letr Q. Conjunto dos Números Irrcionis É formdo pelos números decimis infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irrcionl é o número PI (resultdo d divisão do perímetro de um circunferênci pelo seu diâmetro), que vle 3, Atulmente, supercomputdores já conseguirm clculr bilhões de css decimis pr o PI. Tmbém são irrcionis tods s rízes não exts, como riz qudrd de (, ) Conjunto dos Números Reis É formdo por todos os conjuntos citdos nteriormente (união do conjunto dos rcionis com os irrcionis). Representdo pel letr R. Frções

7 O símbolo Chmmos: signific :b, sendo e b números nturis e b diferente de zero. de frção; de numerdor; b de denomindor. Se é múltiplo de b, então Vej um exemplo: é um número nturl. A frção é igul 8:. Neste cso, 8 é o numerdor e é o denomindor. Efetundo divisão de 8 por, obtemos o quociente 4. Assim, é um número nturl e 8 é múltiplo de. Clssificção ds frções Frção própri: o numerdor é menor que o denomindor: Frção imprópri: o numerdor é mior ou igul o denomindor. Frção prente: o numerdor é múltiplo do denomindor. Frções equivlentes Frções equivlentes são frções que representm mesm prte do todo. Exemplo: são equivlentes Pr encontrr frções equivlentes devemos multiplicr o numerdor e o denomindor por um mesmo número nturl, diferente de zero. Exemplo: obter frções equivlentes à frção. Portnto s frções são lgums ds frções equivlentes. Simplificção de frções Um frção equivlente, com termos menores, é. A frção foi obtid dividindo-se mbos os termos d frção pelo ftor comum 3. Dizemos que frção é um frção simplificd de. A frção não pode ser simplificd, por isso é chmd de frção irredutível. A frção não pode ser simplificd porque 3 e 4 não possuem nenhum ftor comum.

8 Adição e subtrção de números frcionários Temos que nlisr dois csos: º) denomindores iguis Pr somr frções com denomindores iguis, bst somr os numerdores e conservr o denomindor. Pr subtrir frções com denomindores iguis, bst subtrir os numerdores e conservr o denomindor. Observe os exemplos: º) denomindores diferentes Pr somr frções com denomindores diferentes, um solução é obter frções equivlentes, de denomindores iguis o mmc dos denomindores ds frções. Exemplo: somr s frções. Obtendo o mmc dos denomindores temos mmc(5,) = 0. (0:5).4 = 8 (0:).5 = 5 Resumindo: utilizmos o mmc pr obter s frções equivlentes e depois sommos normlmente s frções, que já terão o mesmo denomindor, ou sej, utilizmos o cso. Multiplicção e divisão de números frcionários N multiplicção de números frcionários, devemos multiplicr numerdor por numerdor, e denomindor por denomindor, ssim como é mostrdo nos exemplos bixo: N divisão de números frcionários, devemos multiplicr primeir frção pelo inverso d segund, como é mostrdo no exemplo bixo: Potencição e rdicição de números frcionários N potencição, qundo elevmos um número frcionário um determindo expoente, estmos elevndo o numerdor e o denomindor esse expoente, conforme os exemplos bixo:

9 N rdicição, qundo plicmos riz qudrd um número frcionário, estmos plicndo ess riz o numerdor e o denomindor, conforme o exemplo bixo: Números Decimis Adição N dição de números decimis devemos somr os números de mesm ordem de unidde, décimo com décimo, centésimo com centésimo. Antes de inicir dição, devemos colocr vírgul debixo de vírgul. Exemplos: 0,3 + 0,8,4 +,03 7,4 +,3 + 3, Subtrção A subtrção de números decimis é efetud d mesm form que dição. 4,4 -,, -, 9, - 4,33 Multiplicção Efetumos multiplicção normlmente. Em seguid, contm-se s css decimis de cd número e o produto fic com o número de css decimis igul à som ds css decimis dos ftores. Exemplos: 4, x, 0,3 x,4 0,4 x, Divisão N divisão de números decimis, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de css decimis. Devemos igulá-ls ntes de começr divisão. 7,0 : 3,5 (O número de cs decimis são iguis, eliminmos virgul e efetumos divisão norml),7 :,34 (Igulmos o número de css decimis, crescentndo um 0, eliminmos vírgul e efetumos divisão) 3 : 7 (A divisão não é ext, crescent vírgul pr crescentr um zero no resto)

10 . MMC / MDC Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Dois números nturis sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de e 8 são,,3 e 6. Dentre eles, 6 é o mior. Então chmmos o 6 de máximo divisor comum de e 8 e indicmos m.d.c.(,8) = 6. O mior divisor comum de dois ou mis números é chmdo de máximo divisor comum desses números. Usmos brevição m.d.c. Alguns exemplos: mdc (6,) = 6 mdc (,0) = 4 mdc (0,4) = 4 mdc (,0,4) = 4 mdc (6,,5) = 3 CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de clculr o m.d.c. de dois ou mis números é utilizr decomposição desses números em ftores primos. - decompomos os números em ftores primos; - o m.d.c. é o produto dos ftores primos comuns. Acompnhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = x x 3 x 3 90 = x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos ftores primos comuns => m.d.c.(36,90) = x 3 x 3 Portnto m.d.c.(36,90) = 8. Escrevendo ftorção do número n form de potênci temos: 36 = x 3 90 = x 3 x5 Portnto m.d.c.(36,90) = x 3 = 8. O m.d.c. de dois ou mis números, qundo ftordos, é o produto dos ftores comuns eles, cd um elevdo o menor expoente. CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Nesse processo efetumos váris divisões té chegr um divisão ext. O divisor dest divisão é o m.d.c. Acompnhe o cálculo do m.d.c.(48,30). Regr prátic: - dividimos o número mior pelo número menor; 48 / 30 = (com resto 8) - dividimos o divisor 30, que é divisor d divisão nterior, por 8, que é o resto d divisão nterior, e ssim sucessivmente; 30 / 8 = (com resto ) 8 / = (com resto 6) / 6 = (com resto zero - divisão ext) - O divisor d divisão ext é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dois ou mis números são primos entre si qundo o máximo divisor comum desses números é. Exemplos: Os números 35 e 4 são números primos entre si, pois mdc (35,4) =. Os números 35 e não são números primos entre si, pois mdc (35,) = 7. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mis números sempre têm múltiplos comuns eles.

11 Vmos chr os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6,, 8, 4, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8,, 6, 0, 4,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0,, 4,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, é o menor deles. Chmmos o de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mis números, diferente de zero, é chmdo de mínimo múltiplo comum desses números. Usmos brevição m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos clculr o m.m.c. de dois ou mis números utilizndo ftorção. Acompnhe o cálculo do m.m.c. de e 30: - decompomos os números em ftores primos - o m.m.c. é o produto dos ftores primos comuns e não-comuns: = x x 3 30 = x 3 x 5 m.m.c (,30) = x x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mis números, qundo ftordos, é o produto dos ftores comuns e não-comuns eles, cd um elevdo o mior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números o mesmo tempo, num dispositivo como mostr figur o ldo. O produto dos ftores primos que obtemos ness decomposição é o m.m.c. desses números. Ao ldo vemos o cálculo do m.m.c.(5,4,60) Portnto, m.m.c.(5,4,60) = x x x 3 x 5 = 0 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste cso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = x 3 x 5 = 30 Ddos dois ou mis números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números ddos. Considerndo os números 4 e 5, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,5) é igul 60, que é o produto de 4 por 5. Observe: m.m.c.(4,5) = x x 3 x 5 = 60 Ddos dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

12 3. EQUAÇÃO DE º GRAU Equções de primeiro gru (com um vriável) Equção é tod sentenç mtemátic bert que exprime um relção de iguldde. A plvr equção tem o prefixo equ, que em ltim quer dizer "igul". Exemplos: x + 8 = 0 5x - 4 = 6x b - c = 0 Não são equções: = (Não é um sentenç bert) x - 5 < 3 (Não é iguldde) (não é sentenç bert, nem iguldde) A equção gerl do primeiro gru: x+b = 0 onde e b são números conhecidos e diferente de 0, se resolve de mneir simples: subtrindo b dos dois ldos, obtemos: x = -b dividindo gor por (dos dois ldos), temos: Consider equção x - 8 = 3x -0 A letr é incógnit d equção. A plvr incógnit signific " desconhecid". N equção cim incógnit é x; tudo que ntecede o sinl d iguldde denomin-se º membro, e o que sucede, ºmembro. Qulquer prcel, do º ou do º membro, é um termo d equção.

13 Equção do º gru n incógnit x é tod equção que pode ser escrit n form x=b, sendo e bnúmeros rcionis, com diferente de zero. Conjunto Verdde e Conjunto Universo de um Equção Considere o conjunto A = {0,,, 3, 4, 5} e equção x + = 5. Observe que o número 3 do conjunto A é denomindo conjunto universo d equção e o conjunto {3} é o conjunto verdde dess mesm equção. Observe este outro exemplo: Determine os números inteiros que stisfzem equção x² = 5 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo d equção. Os números -5 e 5, que stisfzem equção, formm o conjunto verdde, podendo ser indicdo por: V = {-5, 5}. Dí concluímos que: Conjunto Universo é o conjunto de todos os vlores que vriável pode ssumir. Indic-se por U. Conjunto verdde é o conjunto dos vlores de U, que tornm verddeir equção. Indic-se por V. Observções: O conjunto verdde é subconjunto do conjunto universo. Não sendo citdo o conjunto universo, devemos considerr como conjunto universo o conjunto dos números rcionis. O conjunto verdde é tmbém conhecido por conjunto solução e pode ser indicdo por S. Rízes de um equção Os elementos do conjunto verdde de um equção são chmdos rízes d equção. Pr verificr se um número é riz de um equção, devemos obedecer à seguinte seqüênci: - Substituir incógnit por esse número. - Determinr o vlor de cd membro d equção. - Verificr iguldde, sendo um sentenç verddeir, o número considerdo é riz d equção. Exemplos: Verifique quis dos elementos do conjunto universo são rízes ds equções bixo, determinndo em cd cso o conjunto verdde. Resolv equção x - = 0, sendo U = {0,,, 3}. Pr x = 0 n equção x - = 0 temos: 0 - = 0 => - = 0. (F) Pr x = n equção x - = 0 temos: - = 0 => - = 0. (F) Pr x = n equção x - = 0 temos: - = 0 => 0 = 0. (V) Pr x = 3 n equção x - = 0 temos: 3 - = 0 => = 0. (F) Verificmos que é riz d equção x - = 0, logo V = {}. Resolv equção x - 5 =, sendo U = {-, 0,, }. Pr x = - n equção x - 5 = temos:. (-) - 5 = => -7 =. (F) Pr x = 0 n equção x - 5 = temos:. 0-5 = => -5 =. (F) Pr x = n equção x - 5 = temos:. - 5 = => -3 =. (F) Pr x = n equção x - 5 = temos:. - 5 = => - =. (F) A equção x - 5 = não possui riz em U, logo V = Ø.

14 Equções de primeiro gru (com dus vriáveis) Considere equção: x - 6 = 5-3y Trt-se de um equção com dus vriáveis, x e y, pode ser trnsformd num equção equivlente mis simples. Assim: x + 3y = x + 3y = ==> Equção do º gru n form x + by = c. Denominndo equção de º gru com dus vriáveis, x e y, tod equção que pode ser reproduzid à form x + by = c, sendo e b números diferentes de zero, simultnemente. N equção x + by = c, denominmos: x + y - vriáveis ou incógnit b - coeficiente de y - coeficiente de x c - termo independente Exemplos: x + y = 30 x + 3y = 5 x - 4y = 0-3x - 7y = -48 x- 3y = 0 x - y = 8 Solução de um equção de º gru com dus vriáveis Quis o vlores de x e y que tornm sentenç x - y = 4 verddeir? Observe os pres bixo: x = 6, y = x - y = = = 4 4 = 4 (V) x = 8, y = x - y = = = 4 4 = 4 (V) x = -, y = -3 x - y = (-3) = = 4 4 = 4 (V) Verificmos que todos esses pres são soluções d equção x - y = 4. Assim, os pres (6, ); (8, ); (-, -3) são lgums ds soluções dess equção. Um equções do º gru com dus vriáveis tem infinits soluções - infinitos (x, y) -, sendo, portnto, seu conjunto universo. Podemos determinr esss soluções, tribuindo-se vlores quisquer pr um ds vriáveis, clculndo seguir o vlor d outr. Exemplo: Determine um solução pr equção 3x - y = 8. Atribuímos pr o x o vlor, e clculmos o vlor de y. Assim:

15 3x - y = 8 3. () - y = y = 8 -y = 5 ==> Multiplicmos por - y = -5 O pr (, -5) é um ds soluções dess equção. V = {(, -5)} Resumindo: Um pr ordendo (r, s) é solução de um equção x + by = c ( e bnão-nulos simultnemente), se pr x = r e y = s sentenç é verddeir. Sistems de Equções Considere o seguinte problem: Pipoc, em su últim prtid, certou x rremessos de pontos e y rremessos de 3 pontos. Ele certou 5 rremessos e mrcou 55 pontos. Quntos rremessos de 3 pontos ele certou? Podemos trduzir ess situção trvés de dus equções, sber: x + y = 5 (totl de rremessos certo) x + 3y = 55 (totl de pontos obtidos) Esss equções contém um sistem de equções. Costum-se indicr o sistem usndo chve. O pr ordendo (0, 5), que torn mbs s sentençs verddeirs, é chmdo solução do sistem.um sistem de dus equções com dus vriáveis possui um únic solução. Resolução de Sistems A resolução de um sistem de dus equções com dus vriáveis consiste em determinr um pr ordendo que torne verddeirs, o mesmo tempo, esss equções. Estudremos seguir lguns métodos: Método de substituição Solução - determinmos o vlor de x n ª equção. x = 4 - y - Substituímos esse vlor n ª equção.. (4 - y) -3y = 3 - Resolvemos equção formd. 8 - y -3y = y -3y = 3-5y = -5 => Multiplicmos por - 5y = 5 y = - Substituímos o vlor encontrdo de y, em qulquer ds equções, determinndo x.

16 x + = 4 x = 4 - x = 3 - A solução do sistem é o pr ordendo (3, ). V = {(3, )} Método d dição Sendo U =, observe solução de cd um dos sistems seguir, pelo método d dição. Resolv o sistem bixo: Solução - Adicionmos membros membros s equções: x = 6 x = 8 - Substituímos o vlor encontrdo de x, em qulquer ds equções, determindo y: 8 + y = 0 y = 0-8 y = A solução do sistem é o pr ordendo (8, ) V = {(8, )} 4. EQUAÇÃO DE º GRAU Equções de º gru Definições Denomin-se equção do º gru n incógnit x, tod equção d form: x + bx + c = 0;, b, c IR e Exemplo: x - 5x + 6 = 0 é um equção do º gru com =, b = -5 e c = 6. 6x - x - = 0 é um equção do º gru com = 6, b = - e c = -. 7x - x = 0 é um equção do º gru com = 7, b = - e c = 0. x - 36 = 0 é um equção do º gru com =, b = 0 e c = -36. Ns equções escrits n form x² + bx + c = 0 (form norml ou form reduzid de um equção do º gru n incógnit x) chmmos, b e c de coeficientes. é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Equção complets e Incomplets

17 Um equção do º gru é complet qundo b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 0 = 0 e -x² + 0x - 6 = 0 são equções complets. Um equção do º gru é incomplet qundo b ou c é igul zero, ou ind qundo mbos são iguis zero. Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 0x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Rízes de um equção do º gru Resolver um equção do º gru signific determinr sus rízes. Riz é o número rel que, o substituir incógnit de um equção, trnsform- num sentenç verddeir. O conjunto formdo pels rízes de um equção denomin-se conjunto verdde ou conjunto solução. Exemplos: Dentre os elementos do conjuntos A= {-, 0,, }, quis são rízes d equção x² - x - = 0? Solução Substituímos incógnit x d equção por cd um dos elementos do conjunto e verificmos quis s sentençs verddeirs. (-)² - (-) - = 0 Pr x = = 0 (V) 0 = 0 Pr x = 0 Pr x = 0² = = 0 - = 0 ² - - = = 0 - = 0 ² - - = 0 Pr x = = 0 0 = 0 Logo, - e são rízes d equção. Determine p sbendo que é riz d equção (p - ) x² - px - = 0. Solução Substituindo incógnit x por, determinmos o vlor de p. (F) (F) (V) Logo, o vlor de p é. Resolução de equções incomplets Resolver um equção signific determinr o seu conjunto verdde. Utilizmos n resolução de um equção incomplet s técnics d ftorção e dus importntes proprieddes dos números reis: ª Propriedde: ª Propriedde:

18 º Cso: Equção do tipo. Exemplo: Determine s rízes d equção, sendo. Solução Inicilmente, colocmos x em evidênci: Pr o produto ser igul zero, bst que um dos ftores tmbém o sej. Assim: Obtemos dess mneir dus rízes que formm o conjunto verdde: De modo gerl, equção do tipo tem pr soluções e. º Cso: Equção do tipo Exemplos: Determine s rízes d equção, sendo U = IR. Solução De modo gerl, equção do tipo possui dus rízes reis se for um número positivo, não tendo riz rel cso sej um número negtivo. Resolução de equções complets Pr solucionr equções complets do º gru utilizremos fórmul de Bhskr. A prtir d equção, em que, b, c IR e, desenvolveremos psso psso dedução d fórmul de Bhskr (ou fórmul resolutiv). º psso: multiplicremos mbos os membros por 4. º psso: pssr 4c pr o º membro. 3º psso: dicionr os dois membros. 4º psso: ftorr o º elemento. 5º psso: extrir riz qudrd dois membros.

19 6º psso: pssr b pr o º membro. 7º psso: dividir os dois membros por. Assim, encontrmos fórmul resolutiv d equção do º gru: Podemos representr s dus rízes reis por x' e x", ssim: Exemplos: resolução equção: Temos Discriminnte Denominmos discriminnte o rdicl b - 4c que é representdo pel letr greg (delt). Podemos gor escrever deste modo fórmul de Bhskr:

20 De cordo com o discriminnte, temos três csos considerr: º Cso: O discriminnte é positivo. O vlor de é rel e equção tem dus rízes reis diferentes, ssim representds: Exemplo: Pr quis vlores de k equção x² - x + k- = 0 dmite rízes reis e desiguis? Solução Pr que equção dmit rízes reis e desiguis, devemos ter Logo, os vlores de k devem ser menores que 3. º Cso: O discriminnte é nulo O vlor de é nulo e equção tem dus rízes reis e iguis, ssim representds: Exemplo: Determine o vlor de p, pr que equção x² - (p - ) x + p- = 0 possu rízes iguis. Solução Pr que equção dmit rízes iguis é necessário que. Logo, o vlor de p é 3. 3º Cso: O discriminnte é negtivo. O vlor de não existe em IR, não existindo, portnto, rízes reis. As rízes d equção

21 são número complexos. Exemplo: Pr quis vlores de m equção 3x² + 6x +m = 0 não dmite nenhum riz rel? Solução Pr que equção não tenh riz rel devemos ter Logo, os vlores de m devem ser miores que 3. Resumindo Dd equção x² + bx + c = 0, temos: Pr Pr Pr, equção tem dus rízes reis diferentes., equção tem dus rízes reis iguis., equção não tem rízes reis. RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Considere equção x + bx + c = 0, com 0 e sejm x'e x'' s rízes reis dess equção. Logo: Observe s seguintes relções: Som ds rízes (S) Produto ds rízes (P) Como,temos: Denominmos esss relções de relções de Girrd. Verifique lguns exemplos de plicção desss relções. Determine som e o produto ds rízes d equção 0x + x - = 0.

22 Solução Nest equção, temos: =0, b= e c=-. A som ds rízes é igul. O produto ds rízes é igul Assim: Assim: Determine o vlor de k n equção x + (k - 3)x + = 0, de modo que som de sus rízes sej igul 7. Solução Nest equção, temos: =, b=k e c=. S= x + x = 7 Logo, o vlor de k é -. Determine o vlor de m n equção 4x - 7x + 3m = 0, pr que o produto ds rízes sej igul -. Solução Nest equção, temos: =4, b=-7 e c=3m. P= x. x = - Logo, o vlor de m é. Determine o vlor de k n equção 5x + kx + = 0, pr que som dos inversos de sus rízes sej igul 8. Solução Considere x e x s rízes d equção. A som dos inversos ds rízes corresponde. Assim: Logo, o vlor de k é -8. Determine os vlores de m pr os quis equção ( m - ) x + ( 3m - ) x + m + = 0 dmit: ) rízes simétrics; b) rízes inverss. Solução Se s rízes são simétrics, então S=0.

23 Se s rízes são inverss, então P=. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES Considere equção do º gru x + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por, obtemos: Como, podemos escrever equção dest mneir. x - Sx + P= 0 Exemplos: Componh equção do º gru cujs rízes são - e 7. Solução A som ds rízes corresponde : S= x + x = = 5 O produto ds rízes corresponde : P= x. x = ( -). 7 = -4 A equção do º gru é dd por x - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -4. Logo, x - 5x - 4 = 0 é equção procurd. Formr equção do º gru, de coeficientes rcionis, sbendo-se que um ds rízes é. Solução Se um equção do º gru, de coeficientes rcionis, tem um riz, outr ríz será. Assim: Logo, x - x - = 0 é equção procurd. 5. RAZÕES / PROPORÇÕES Rzões

24 Vmos considerr um crro de corrid com 4m de comprimento e um krt com m de comprimento. Pr comprrmos s medids dos crros, bst dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim: (o tmnho do crro de corrid é dus vezes o tmnho do krt). Podemos firmr tmbém que o krt tem metde do comprimento do crro de corrid. A comprção entre dois números rcionis, trvés de um divisão, chm-se rzão. A rzão pode tmbém ser representd por : e signific que cd metro do krt corresponde m do crro de corrid. Denominmos de rzão entre dois números e b (b diferente de zero) o quociente ou :b. A plvr rzão, vem do ltim rtio, e signific "divisão". Como no exemplo nterior, são diverss s situções em que utilizmos o conceito de rzão. Exemplos: - Dos 00 inscritos num concurso, pssrm 40 cndidtos. Rzão dos cndidtos provdos nesse concurso: (de cd 5 cndidtos inscritos, foi provdo). - Pr cd 00 conviddos, 75 erm mulheres. Rzão entre o número de mulheres e o número de conviddos: (de cd 4 conviddos, 3 erm mulheres). Observções: ) A rzão entre dois números rcionis pode ser presentd de três forms. Exemplo: Rzão entre e 4: :4 ou ou 0,5. ) A rzão entre dois números rcionis pode ser express com sinl negtivo, desde que seus termos tenhm sinis contrários. Exemplos: A rzão entre e -8 é. A rzão entre é. Termos de um rzão Observe rzão: (lê-se " está pr b" ou " pr b").

25 N rzão :b ou, o número é denomindo ntecedente e o número b é denomindo consequente. Vej o exemplo: Rzões inverss 3:5 = Leitur d rzão: 3 está pr 5 ou 3 pr 5. Considere s rzões. Observe que o produto desss dus rzões é igul, ou sej,. Nesse cso, podemos firmr que são rzões inverss. Dus rzões são inverss entre si qundo o produto dels é igul. Exemplo: são rzões inverss, pois. Verifique que ns rzões inverss o ntecedente de um é o consequente d outr, e vicevers. Observções: ) Um rzão de ntecedente zero não possui invers. ) Pr determinr rzão invers de um rzão dd, devemos permutr (trocr) os seus termos. Exemplo: O inverso de. Rzões equivlentes Dd um rzão entre dois números, obtemos um rzão equivlente d seguinte mneir: Multiplicndo-se ou dividindo-se os termos de um rzão por um mesmo número rcionl (diferente de zero), obtemos um rzão equivlente. Exemplos: são rzões equivlentes. são rzões equivlentes. Rzões entre grndezs d mesm espécie O conceito é o seguinte: Denomin-se rzão entre grndezs de mesm espécie o quociente entre os números que expressm s medids desss grndezs num mesm unidde. Exemplos:

26 ) Clculr rzão entre ltur de dois nões, sbendo que o primeiro possui um ltur h =,0m e o segundo possui um ltur h =,50m. A rzão entre s lturs h e h é dd por: ) Determinr rzão entre s áres ds superfícies ds qudrs de vôlei e bsquete, sbendo que qudr de vôlei possui um áre de 6m e de bsquete possui um áre de 40m. Rzão entre s áre d qudr de vôlei e bsquete:. Rzões entre grndezs de espécies diferentes O conceito é o seguinte: Pr determinr rzão entre dus grndezs de espécies diferentes, determin-se o quociente entre s medids desss grndezs. Ess rzão deve ser compnhd d notção que relcion s grndezs envolvids. Exemplos: ) Consumo médio: - Betriz foi de São Pulo Cmpins (9Km) no seu crro. Form gstos nesse percurso 8 litros de combustível. Qul rzão entre distânci e o combustível consumido? O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = (lê-se ",5 quilômetros por litro"). Ess rzão signific que cd litro consumido form percorridos em médi,5 km. ) Velocidde médi: - Mocir fez o percurso Rio-São Pulo (450Km) em 5 hors. Qul rzão entre medid desss grndezs? O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hor"). Ess rzão signific que cd hor form percorridos em médi 90 km. 3) Densidde demográfic: - O estdo do Cerá no último censo teve um populção vlid em hbitntes. Su áre é de km. Determine rzão entre o número de hbitntes e áre desse estdo. O que signific ess rzão? Solução: Rzão = Rzão = 46 hb/km (lê-se "46 hbitntes por quilômetro qudrdo"). Ess rzão signific que em cd quilômetro qudrdo existem em médi 46 hbitntes. 4) Densidde bsolut ou mss específic: - Um cubo de ferro de cm de rest tem mss igul 7,8g. Determine rzão entre mss e o volume desse corpo. O que signific ess rzão? Solução: Volume = cm. cm. cm = cm 3 Rzão = Rzão = 7,8 g/cm 3 (lê-se "7,8 grms por centímetro cúbico").

27 Ess rzão signific que cm 3 de ferro pes 7,8g. Proporções Rogerião e Cludinho psseim com seus cchorros. Rogerião pes 0kg, e seu cão, 40kg. Cludinho, por su vez, pes 48kg, e seu cão, 6kg. Observe rzão entre o peso dos dois rpzes: Observe, gor, rzão entre o peso dos cchorros: Verificmos que s dus rzões são iguis. Nesse cso, podemos firmr que iguldde é umproporção. Assim: Proporção é um iguldde entre dus rzões. Elementos de um proporção Ddos qutro números rcionis, b, c, d, não-nulos, ness ordem, dizemos que eles formm um proporção qundo rzão do º pr o º for igul à rzão do 3º pr o 4º. Assim: ou :b=c:d (lê-se " está pr b ssim como c está pr d") Os números, b, c e d são os termos d proporção, sendo: - b e c os meios d proporção. - e d os extremos d proporção. Exemplo: Dd proporção, temos: Leitur: 3 está pr 4 ssim como 7 está pr 36. Meios: 4 e 7 Extremos: 3 e 36 Propriedde fundmentl ds proporções Observe s seguintes proporções: Produto dos meios = 4.30 = 0 Produto dos extremos = 3.40 = 0

28 Produto dos meios = 9.0 = 80 Produto dos extremos = 4.45 = 80 Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.7 = 360 De modo gerl, temos que: Dí podemos enuncir propriedde fundmentl ds proporções: Em tod proporção, o produto dos meios é igul o produto dos extremos. Aplicções d propriedde fundmentl Determinção do termo desconhecido de um proporção Exemplos: - Determine o vlor de x n proporção: Solução: 5. x = 8. 5 (plicndo propriedde fundmentl) 5. x = 0 x = 4 Logo, o vlor de x é 4. - Determine o vlor de x n proporção: Solução: 5. (x-3) = 4. (x+) (plicndo propriedde fundmentl) 5x - 5 = 8x + 4 5x - 8x = x = 9 3x = -9 x = Logo, o vlor de x é. - Os números 5, 8, 35 e x formm, ness ordem, um proporção. Determine o vlor de x. Solução: 5. x = x = 80 (plicndo propriedde fundmentl) x = 56 Logo, o vlor de x é 56.

29 Resolução de problems envolvendo proporções Exemplo: - Num slin, de cd metro cúbico (m 3 ) de águ slgd, são retirdos 40 dm 3 de sl. Pr obtermos m 3 de sl, quntos metros cúbicos de águ slgd são necessários? Solução: A quntidde de sl retird é proporcionl o volume de águ slgd. Indicmos por x quntidde de águ slgd ser determind e rmmos proporção: Lembre-se que 40dm 3 = 0,04m 3.. = 0,04. x 0,04x = (plicndo propriedde fundmentl) x = 50 m 3 Logo, são necessários 50 m 3 de águ slgd. Qurt proporcionl Ddos três números rcionis, b e c, não-nulos, denomin-se qurt proporcionl desses números um número x tl que: Exemplo: - Determine qurt proporcionl dos números 8, e 6. Solução: Indicmos por x qurt proporcionl e rmmos proporção: (plicndo propriedde fundmentl) 8. x = x = 7 x = 9 Logo, qurt proporcionl é 9. Proporção contínu Considere seguinte proporção: Observe que os seus meios são iguis, sendo, por isso, denomind proporção contínu. Assim: Proporção contínu é tod proporção que present os meios iguis. De um modo gerl, um proporção contínu pode ser representd por: Terceir proporcionl Ddos dois números nturis e b, não-nulos, denomin-se terceir proporcionl desses números o número x tl que:

30 Exemplo: Determine terceir proporcionl dos números 0 e 0. Solução Indicmos por x terceir proporcionl e rmmos proporção: 0. x = x = 00 (plicndo propriedde fundmentl) x = 5 Logo, terceir proporcionl é 5. Médi geométric ou médi proporcionl Dd um proporção contínu, o número b é denomindo médi geométric ou médi proporcionlentre e c. Exemplo: - Determine médi geométric positiv entre 5 e 0. Solução: 5. 0 = b. b 00 = b b = 00 b = b = 0 Logo, médi geométric positiv é 0. Proprieddes ds proporções ª propriedde: Num proporção, som dos dois primeiros termos está pr o º (ou º) termo, ssim como som dos dois últimos está pr o 4º (ou 3º). Demonstrção Considere s proporções: Adicionndo cd membro obtemos: Exemplo:

31 - Determine x e y n proporção, sbendo que x+y=84. Solução: Assim: x+y = 84 => x = 84-y => Logo, x=36 e y=48. x = => x=36. ª propriedde: Num proporção, diferenç dos dois primeiros termos está pr o º (ou º) termo, ssim como diferenç dos dois últimos está pr o 4º (ou 3º). Demonstrção Considere s proporções: Subtrindo cd membro obtemos: por -) (Mult. os membros Exemplo: - Sbendo-se que x-y=8, determine x e y n proporção. Solução: Pel ª propriedde temos que: x-y = 8 => x=8+y => x = 8+ Logo, x=30 e y=. => x=30. 3ª propriedde: Num proporção, som dos ntecedentes está pr som dos consequentes, ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente. Demonstrção Considere proporção:

32 Permutndo os meios, temos: Aplicndo ª propriedde, obtemos: Permutndo os meios, finlmente obtemos: 4ª propriedde: Num proporção, diferenç dos ntecedentes está pr diferenç dos consequentes, ssim como cd ntecedente está pr o seu consequente. Demonstrção Considere proporção: Permutndo os meios, temos: Aplicndo ª propriedde, obtemos: Permutndo os meios, finlmente obtemos: Exemplo: - Sbendo que -b = -4, determine e b n proporção. Solução: Pel 4ª propriedde, temos que: 5ª propriedde: Num proporção, o produto dos ntecedentes está pr o produto dos consequentes, ssim como o qudrdo de cd ntecedente está pr qudrdo do seu consequente. Demonstrção Considere proporção:

33 Multiplicndo os dois membros por, temos: Assim: Observção: 5ª propriedde pode ser estendid pr qulquer número de rzões. Exemplo: Proporção múltipl Denominmos proporção múltipl um série de rzões iguis. Assim: é um proporção múltipl. Dd série de rzões iguis escrever:, de cordo com 3ª e 4ª propriedde, podemos 6. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA Regr de três simples: Regr de três simples é um processo prático pr resolver problems que envolvm qutro vlores dos quis conhecemos três deles. Devemos, portnto, determinr um vlor prtir dos três já conhecidos. Pssos utilizd num regr de três simples: Construir um tbel, grupndo s grndezs d mesm espécie em coluns e mntendo n mesm linh s grndezs de espécies diferentes em correspondênci. Identificr se s grndezs são diretmente ou inversmente proporcionis. Montr proporção e resolver equção. Exemplos: ) Se 8m de tecido custm 56 reis, qul o preço de m do mesmo tecido?

34 Observe que s grndezs são diretmente proporcionis, umentndo o metro do tecido ument n mesm proporção o preço ser pgo. b) Um crro, à velocidde de 60km/h, fz certo percurso em 4 hors. Se velocidde do crro fosse de 80km/h, em qunts hors seri feito o mesmo percurso? Regr de Três Compost: A regr de três compost é utilizd em problems com mis de dus grndezs, diret ou inversmente proporcionis. Exemplo: ) Em 8 hors, 0 cminhões descrregm 60m³ de rei. Em 5 hors, quntos cminhões serão necessários pr descrregr 5m³? MATEMÁTICA FINANCEIRA: 7. PORCENTAGENS Porcentgens As frções (ou rzões) que possuem denomindores (o número de bixo d frção) iguis 00, são conhecids por rzões centesimis e podem ser representds pelo símbolo "%". O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "5%" lê-se "5 por cento". O símbolo "%" signific centésimos, ssim "5%" é um outr form de se escrever 0,05, por exemplo. Vej s seguintes rzões: Podemos representá-ls n su form deciml por: E tmbém n su form de porcentgens por: ou Como clculr um vlor percentul de um número? Agor que temos um visão gerl do que é porcentgem, como clculr qunto é 5% de 00? Multiplique 5 por 00 e divid por 00: Se você chr mis fácil, você pode simplesmente multiplicr 5% n su form deciml, que é 0,5 por 00:

35 Assim temos:. 4% de 3 = 0,04. 3 =,8. 5% de 80 = 0,5. 80 = % de 50 = 0,8. 50 = % de 6 = 0,35. 6 = 44, 5. 00% de 75 =, = % de 60 =,5. 60 = % de 48 =, = 96 Repre que no quinto item, 00% de 75 corresponde o próprio 75, isto ocorre porque 00% represent o todo, ocorre porque 00% é rzão de 00 pr 00 (00 : 00) que é igul. Por isto 00% de um número x é o próprio número x, já que o estremos multiplicndo por, pr sbermos o vlor d porcentgem. Anlisndo os itens de 4, podemos tmbém perceber que qundo o percentul é menor 00%, o número resultnte será menor que o número originl. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultdo é mior que o número originl. Isto ocorre porque o percentul é mior que 00%. Nos itens e 3 observmos que 5% de 80 é igul 8% de 50. % de b é igul b% de. Isto é devido à propriedde comuttiv d multiplicção que diz que. b = b.. Como trnsformmos um rzão ou frção em porcentgem? Vimos que rzões centesimis são um tipo especil de rzão, cujo consequente é igul cem e podem fcilmente ser expresss n form de porcentgem, simplesmente se eliminndo o consequente ou denomindor cem e inserindo o símbolo de porcentgem pós o ntecedente ou numerdor. Por exemplo: Ms como trnsformmos rzão 3 : 5 em porcentgem? Simplesmente relizndo divisão, encontrndo ssim o vlor d rzão, multiplicndo-o por 00 e inserindo o símbolo de porcentgem à su direit, ou sej, multiplicmos por 00%: Tlvez você não tenh percebido, ms podemos utilizr trnsformção de um rzão em porcentgem pr clculr quntos por cento um número é de outro. Neste nosso exemplo 3 é 0% de 5. Dezoito é quntos por cento de qurent e cinco? Pr que serve o cálculo d porcentgem? Rzões são utilizds pr podermos comprr grndezs e em sendo porcentgem um rzão, é extmente est utilidde d porcentgem. Digmos que populção de um cidde A cresceu de 00 mil pr 5 mil em dez nos. Sbemos tmbém que no mesmo período, populção d cidde B pssou de 40 mil pr 50 mil hbitntes. Qul ds ciddes teve um umento populcionl mior? Aumento populcionl d cidde A em porcentgem: Aumento populcionl d cidde B em porcentgem: Segundos os cálculos relizdos cim, percebemos que embor populção d cidde A sej muito mior que outr, o umento percentul ds dus populções foi o mesmo. Vej tmbém que rzão d populção tul pr populção de 0 nos trás, de mbs s ciddes é mesm, um outr prov de que o crescimento foi proporcionlmente o mesmo: 5000 : = : =,5

36 8. JUROS SIMPLES Juros Juros representm remunerção do Cpitl empregdo em lgum tividde produtiv. Os juros podem ser cpitlizdos segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cd intervlo de tempo sempre é clculdo sobre o cpitl inicil emprestdo ou plicdo. JUROS COMPOSTOS: o juro de cd intervlo de tempo é clculdo prtir do sldo no início de correspondente intervlo. Ou sej: o juro de cd intervlo de tempo é incorpordo o cpitl inicil e pss render juros tmbém. O juro é remunerção pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque miori ds pessos prefere o consumo imedito, e está dispost pgr um preço por isto. Por outro ldo, quem for cpz de esperr té possuir qunti suficiente pr dquirir seu desejo, e neste ínterim estiver dispost emprestr est qunti lguém, menos pciente, deve ser recompensdo por est bstinênci n proporção do tempo e risco, que operção envolver. O tempo, o risco e quntidde de dinheiro disponível no mercdo pr empréstimos definem qul deverá ser remunerção, mis conhecid comotx de juros. Qundo usmos juros simples e juros compostos? A miori ds operções envolvendo dinheiro utiliz juros compostos. Estão incluíds: comprs médio e longo przo, comprs com crtão de crédito, empréstimos bncários, s plicções finnceirs usuis como Cdernet de Poupnç e plicções em fundos de rend fix, etc. Rrmente encontrmos uso pr o regime de juros simples: é o cso ds operções de curtíssimo przo, e do processo de desconto simples de duplicts. Tx de juros A tx de juros indic qul remunerção será pg o dinheiro emprestdo, pr um determindo período. El vem normlmente express d form percentul, em seguid d especificção do período de tempo que se refere: 8 %.. - (.. signific o no). 0 %.t. - (.t. signific o trimestre). Outr form de presentção d tx de juros é unitári, que é igul tx percentul dividid por 00, sem o símbolo %: 0,5.m. - (.m. signific o mês). 0,0.q. - (.q. signific o qudrimestre) JUROS SIMPLES O regime de juros será simples qundo o percentul de juros incidir pens sobre o vlor principl. Sobre os juros gerdos cd período não incidirão novos juros. Vlor Principl ou simplesmente principl é o vlor inicil emprestdo ou plicdo, ntes de somrmos os juros. Trnsformndo em fórmul temos: J = C. i. n Onde: J = juros C = principl (cpitl) i = tx de juros n = número de períodos

37 Exemplo: Temos um dívid de R$ 000,00 que deve ser pg com juros de 8%.m. pelo regime de juros simples e devemos pgá-l em meses. Os juros que pgrei serão: J = 000 x 0.08 x = 60 Ao somrmos os juros o vlor principl temos o montnte. Montnte = Principl + Juros Montnte = Principl + ( Principl x Tx de juros x Número de períodos ) M = C. ( + ( i. n ) ) Exemplo: Clcule o montnte resultnte d plicção de R$70.000,00 à tx de 0,5%.. durnte 45 dis. SOLUÇÃO: M = C. ( + (i.n) ) M = [ + (0,5/00).(45/360)] = R$7.960,4 Observe que expressmos tx i e o período n, n mesm unidde de tempo, ou sej, nos. Dí ter dividido 45 dis por 360, pr obter o vlor equivlente em nos, já que um no comercil possui 360 dis. Exercícios sobre juros simples: ) Clculr os juros simples de R$ 00,00 3 %.t. por 4 meses e 5 dis. 0.3 / 6 = logo, 4m5d = x 9 = 0.95 j = 00 x 0.95 = 34 - Clculr os juros simples produzidos por R$40.000,00, plicdos à tx de 36%.., durnte 5 dis. Temos: J = C.i.n A tx de 36%.. equivle 0,36/360 dis = 0,00.d. Agor, como tx e o período estão referidos à mesm unidde de tempo, ou sej, dis, poderemos clculr diretmente: J = ,00.5 = R$5000, Qul o cpitl que plicdo juros simples de,%.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dis? Temos imeditmente: J = C.i.n ou sej: 3500 = C.(,/00).(75/30) Observe que expressmos tx i e o período n em relção à mesm unidde de tempo, ou sej, meses. Logo, 3500 = C. 0,0.,5 = C. 0,030; Dí, vem: C = 3500 / 0,030 = R$6.666, Se tx de um plicção é de 50% o no, quntos meses serão necessários pr dobrr um cpitl plicdo trvés de cpitlizção simples? Objetivo: M =.C Ddos: i = 50/00 =,5 Fórmul: M = C ( + i.n) Desenvolvimento: P = C ( +,5 n) = +,5 n n = /3 no = 8 meses 9. JUROS COMPOSTOS

38 O regime de juros compostos é o mis comum no sistem finnceiro e portnto, o mis útil pr cálculos de problems do di--di. Os juros gerdos cd período são incorpordos o principl pr o cálculo dos juros do período seguinte. Chmmos de cpitlizção o momento em que os juros são incorpordos o principl. Após três meses de cpitlizção, temos: º mês: M =C.( + i) º mês: o principl é igul o montnte do mês nterior: M = C x ( + i) x ( + i) 3º mês: o principl é igul o montnte do mês nterior: M = C x ( + i) x ( + i) x ( + i) Simplificndo, obtemos fórmul: M = C. ( + i) n Importnte: tx i tem que ser express n mesm medid de tempo de n, ou sej, tx de juros o mês pr n meses. Pr clculrmos pens os juros bst diminuir o principl do montnte o finl do período: J = M - C Exemplo: Clcule o montnte de um cpitl de R$6.000,00, plicdo juros compostos, durnte no, à tx de 3,5% o mês. (use log,035=0,049 e log,509=0,788) Resolução: C = R$6.000,00 t = no = meses i = 3,5 %.m. = 0,035 M =? Usndo fórmul M=C.(+i) n, obtemos: M = 6000.(+0,035) = (,035) Fzendo x =,035 e plicndo logritmos, encontrmos: log x = log,035 => log x = log,035 => log x = 0,788 => x =,509 Então M = 6000.,509 = Portnto o montnte é R$9.054,00 Relção entre juros e progressões No regime de juros simples: M( n ) = C + n r C No regime de juros compostos: M( n ) = C. ( + r ) n Portnto: num regime de cpitlizção juros simples o sldo cresce em progressão ritmétic num regime de cpitlizção juros compostos o sldo cresce em progressão geométric TAXAS EQUIVALENTES Dus txs i e i são equivlentes, se plicds o mesmo Cpitl P durnte o mesmo período de tempo, trvés de diferentes períodos de cpitlizção, produzem o mesmo montnte finl. Sej o cpitl P plicdo por um no um tx nul i. O montnte M o finl do período de no será igul M = P( + i ) Consideremos gor, o mesmo cpitl P plicdo por meses um tx mensl i m.

39 O montnte M o finl do período de meses será igul M = P( + i m ). Pel definição de txs equivlentes vist cim, deveremos ter M = M. Portnto, P( + i ) = P( + i m ) Dí concluímos que + i = ( + i m ) Com est fórmul podemos clculr tx nul equivlente um tx mensl conhecid. Exemplos: - Qul tx nul equivlente 8% o semestre? Em um no temos dois semestres, então teremos: + i = ( + i s ) + i =,08 i = 0,664 = 6,64%.. - Qul tx nul equivlente 0,5% o mês? + i = ( + i m ) + i = (,005) i = 0,067 = 6,7%.. TAXAS NOMINAIS A tx nominl é qundo o período de formção e incorporção dos juros o Cpitl não coincide com quele que tx está referid. Alguns exemplos: - 340% o semestre com cpitlizção mensl. - 50% o no com cpitlizção mensl % o no com cpitlizção trimestrl. Exemplo: Um tx de 5 %.., cpitlizção mensl, terá 6.08 %.. como tx efetiv: 5/ =,5,05 =,608 TAXAS EFETIVAS A tx Efetiv é qundo o período de formção e incorporção dos juros o Cpitl coincide com quele que tx está referid. Alguns exemplos: - 40% o mês com cpitlizção mensl. - 50% o semestre com cpitlizção semestrl. - 50% o no com cpitlizção nul. Tx Rel: é tx efetiv corrigid pel tx inflcionári do período d operção. 0. FUNÇÕES Um relção estbelecid entre dois conjuntos A e B, onde exist um ssocição entre cd elemento de A com um único de B trvés de um lei de formção é considerd um função. Observe o exemplo:

40 O estudo ds funções se present em vários segmentos, de cordo com relção entre os conjuntos podemos obter inúmers leis de formção. Dentre os estudos ds funções temos: função do º gru, função do º gru, função exponencil, função modulr, função trigonométric, função logrítmic, função polinomil. Cd função possui um propriedde e é definid por leis generlizds. As funções possuem representções geométrics no plno crtesino, s relções entre pres ordendos (x,y) são de extrem importânci no estudo dos gráficos de funções, pois nálise dos gráficos demonstrm de form gerl s soluções dos problems propostos com o uso de relções de dependênci, especificdmente, s funções. As funções possuem um conjunto denomindo domínio e outro chmdo de imgem d função, no plno crtesino o eixo x represent o domínio d função, enqunto o eixo y represent os vlores obtidos em função de x, constituindo imgem d função. Um exemplo de relção de função pode ser expresso por um lei de formção que relcion: o preço ser pgo em função d quntidde de litros de combustível bstecidos. Considerndo o preço d gsolin igul R$,50, temos seguinte lei de formção: f(x) =,50*x, onde f(x): preço pgr e x: quntidde de litros. Observe tbel bixo: Verifique que pr cd vlor de x temos um representção em f(x), esse modelo é um típico exemplo de função do º gru.

41 Função de º Gru Análise d função de gru trvés do estudo lgébrico desss funções e do estudo dos gráficos e elementos que constituem esse conceito. Ess seção bord conceitos de cálculos lgébricos, representções gráfics, interpretções de um gráfico e estudo ds equções e inequções. Gráfico de um função do gru. O estudo ds funções é importnte, um vez que els podem ser plicds em diferentes circunstâncis: ns engenhris, no cálculo esttístico de nimis em extinção, etc. O significdo de função é intrínseco à mtemátic, permnecendo o mesmo pr qulquer tipo de função, sej el do ou do gru, ou um função exponencil ou logrítmic. Portnto, função é utilizd pr relcionr vlores numéricos de um determind expressão lgébric de cordo com cd vlor que vriável x ssume. Sendo ssim, função do gru relcionrá os vlores numéricos obtidos de expressões lgébrics do tipo (x + b), constituindo, ssim, função f(x) = x + b. Note que pr definir função do gru, bst hver um expressão lgébric do gru. Como dito nteriormente, o objetivo d função é relcionr pr cd vlor de x um vlor pr o f(x). Vejmos um exemplo pr função f(x)= x. x =, temos que f() = = x = 4, temos que f(4) = 4 = Note que os vlores numéricos mudm conforme o vlor de x é lterdo, sendo ssim obtemos diversos pres ordendos, constituídos d seguinte mneir: (x, f(x)). Vej que pr cd coordend x, iremos obter um coordend f(x). Isso uxili n construção de gráficos ds funções. Portnto, pr que o estudo ds funções do gru sej relizdo com sucesso, compreend bem construção de um gráfico e mnipulção lgébric ds incógnits e dos coeficientes Coeficiente Liner de um Função do º Gru

42 As funções do tipo f(x) = y = x + b, com e b números reis e 0, são considerds do º gru. Ao serem representds no plno crtesino, constituem um ret crescente ou decrescente. E no cso de = 0, função é chmd de constnte. Um função possui pontos considerdos essenciis pr composição corret de seu gráfico, e um desses pontos é ddo pelo coeficiente liner d ret representdo n função pel letr b, que indic por qul ponto numérico ret intercept o eixo ds ordends (y). Ns funções seguir, observe o vlor numérico do coeficiente liner e o gráfico representtivo d função: y = x + b = y = x b = y = x + 4 b = 4

43 y = x 4 b = 4 y = 6x 3 b = 3 y = 5x b = 0

44 Função de º Gru Gráfico d Função de º Gru Tod função estbelecid pel lei de formção f(x) = x² + bx + c, com, b e c números reis e 0, é denomind função do º gru. Generlizndo temos: As funções do º gru possuem diverss plicções no cotidino, principlmente em situções relcionds à Físic envolvendo movimento uniformemente vrido, lnçmento oblíquo, etc.; n Biologi, estudndo o processo de fotossíntese ds plnts; n Administrção e Contbilidde relcionndo s funções custo, receit e lucro; e n Engenhri Civil presente ns diverss construções. A representção geométric de um função do º gru é dd por um prábol, que de cordo com o sinl do coeficiente pode ter concvidde voltd pr cim ou pr bixo.

45 As rízes de um função do º gru são os pontos onde prábol intercept o eixo x. Dd função f(x) = x² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos um equção do º gru, x² + bx + c = 0, dependendo do vlor do discriminnte? (delt), podemos ter s seguintes situções gráfics:? > 0, equção possui dus rízes reis e diferentes. A prábol intercept o eixo x em dois pontos distintos.? = 0, equção possui pens um riz rel. A prábol intercept o eixo x em um único ponto.? < 0, equção não possui rízes reis. A prábol não intercept o eixo x. Máximo e Mínimo Tod expressão n form y = x² + bx + c ou f(x) = x² + bx + c com, b e c números reis, sendo 0, é denomind função do º gru. A representção gráfic de um função do º gru é dd trvés de um prábol, que pode ter concvidde voltd pr cim ou pr bixo. Vej:

46 Pr determinrmos o ponto máximo e o ponto mínimo de um função do º gru bst clculr o vértice d prábol utilizndo s seguintes expressões mtemátics: O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser tribuídos váris situções presentes em outrs ciêncis, como Físic, Biologi, Administrção, Contbilidde entre outrs. Físic: movimento uniformemente vrido, lnçmento de projéteis. Biologi: n nálise do processo de fotossíntese. Administrção: Estbelecendo pontos de nivelmento, lucros e prejuízos. Exemplos N função y = x² - x +, temos que =, b = - e c =. Podemos verificr que > 0, então prábol possui concvidde voltd pr cim possuindo ponto mínimo. Vmos clculr s coordends do vértice d prábol.

47 As coordends do vértice são (, 0). Dd função y = -x² -x + 3, temos que = -, b = - e c = 3. Temos < 0, então prábol possui concvidde voltd pr bixo tendo um ponto máximo. Os vértices d prábol podem ser clculdos d seguinte mneir: As coordends do vértice são (-0,5; 3,5). Concluímos que o vértice d prábol deve ser considerdo um ponto notável, em rzão d su importânci n construção do gráfico de um função do º gru e su relção com os pontos de vlor máximo e mínimo.

48 Rízes d Função de º Gru Determinr riz de um função é clculr os vlores de x que stisfzem equção do º gru x² + bx + c = 0, que podem ser encontrds trvés do Teorem de Bháskr: Número de rízes reis d função do º gru Dd função f(x) = x² + bx + c, existirão três csos serem considerdos pr obtenção do número de rízes. Isso dependerá do vlor do discriminnte Δ. º cso Δ > 0: A função possui dus rízes reis e distints, isto é, diferentes. º cso Δ = 0: A função possui rízes reis e iguis. Nesse cso, dizemos que função possui um únic riz. 3º cso Δ < 0: A função não possui rízes reis. Som e produto ds rízes Sej equção, x² + bx + c = 0, temos que: Se Δ 0, som ds rízes dess equção é dd por e o produto ds rízes por. De fto, x e x são s rízes d equção, por isso temos: Som ds rízes

49 Produto ds rízes Efetundo multiplicção, temos: Substituindo Δ por b² 4c, temos: Após simplificção, temos: Função Exponencil

50 Tod relção de dependênci, em que um incógnit depende do vlor d outr, é denomind função. A função denomind como exponencil possui ess relção de dependênci e su principl crcterístic é que prte vriável representd por x se encontr no expoente. Observe: y = x y = 3 x + 4 y = 0,5 x y = 4 x A lei de formção de um função exponencil indic que bse elevd o expoente x precis ser mior que zero e diferente de um, conforme seguinte notção: f: R R tl que y = x, sendo que > 0 e. Um função pode ser representd trvés de um gráfico, e no cso d exponencil, temos dus situções: > 0 e 0 < <. Observe como os gráficos são constituídos respeitndo s condições proposts: Um função exponencil é utilizd n representção de situções em que tx de vrição é considerd grnde, por exemplo, em rendimentos finnceiros cpitlizdos por juros compostos, no decimento rdiotivo de substâncis químics, desenvolvimento de bctéris e micro-orgnismos, crescimento populcionl entre outrs situções. As funções exponenciis devem ser resolvids utilizndo, se necessário, s regrs envolvendo potencição. Vmos presentr lguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciis. Exemplo (Unit-SE) Um determind máquin industril se depreci de tl form que seu vlor, t nos pós su compr, é ddo por v(t) = v 0 * 0,t, em que v 0 é um constnte rel. Se, pós 0 nos, máquin estiver vlendo R$ 000,00, determine o vlor que el foi comprd. Temos que v(0) = 000, então: v(0) = v0 * 0,*0 000 = v0 *

51 000 = v0 * /4 000 : / 4 = v0 v0 = 000 * 4 v0 = A máquin foi comprd pelo vlor de R$ ,00. Exemplo (EU-PI) Suponh que, em 003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um pís sej de 500 bilhões de dólres. Se o PIB crescer 3% o no, de form cumultiv, qul será o PIB do pís em 03, ddo em bilhões de dólres? Use,03 0 =,80. Temos seguinte função exponencil P(x) = P0 * ( + i) t P(x) = 500 * ( + 0,03) 0 P(x) = 500 *,03 0 P(x) = 500 *,80 P(x) = 900 O PIB do pís no no de 03 será igul R$ 900 bilhões. Função Logrítmic Tod função definid pel lei de formção f(x) = log x, com e > 0 é denomind função logrítmic de bse. Nesse tipo de função o domínio é representdo pelo conjunto dos números reis miores que zero e o contrdomínio, o conjunto dos reis. Exemplos de funções logrítmics:

52 f(x) = log x f(x) = log 3 x f(x) = log / x f(x) = log 0 x f(x) = log /3 x f(x) = log 4 x f(x) = log (x ) f(x) = log 0,5 x Determinndo o domínio d função logrítmic Dd função f(x) = (x ) (4 x), temos s seguintes restrições: ) 4 x > 0 x > 4 x < 4 ) x > 0 x > 3) x x + x 3 Relizndo intersecção ds restrições, e 3, temos o seguinte resultdo: < x < 3 e 3 < x < 4. Dess form, D = {x? R / < x < 3 e 3 < x < 4} Gráfico de um função logrítmic Pr construção do gráfico d função logrítmic devemos estr tentos dus situções:? >? 0 < < Pr >, temos o gráfico d seguinte form: Função crescente

53 Pr 0 < <, temos o gráfico d seguinte form: Função decrescente Crcterístics do gráfico d função logrítmic y = log x O gráfico está totlmente à direit do eixo y, pois el é definid pr x > 0. Intersect o eixo ds bscisss no ponto (,0), então riz d função é x =. Note que y ssume todos s soluções reis, por isso dizemos que Im(imgem) = R. Atrvés dos estudos ds funções logrítmics, chegmos à conclusão de que el é um função invers d exponencil. Observe o gráfico comprtivo seguir: Podemos notr que (x,y) está no gráfico d função logrítmic se o seu inverso (y,x) está n função exponencil de mesm bse.

54 . PA / PG PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS Progressão Aritmétics (PA) É um seqüênci de números reis onde cd termo, prtir do segundo, é igul o nterior mis um constnte ( chmd rzão). Exemplos: Sendo = e rzão (r) = então ( é o primeiro termo o segundo termo e ssim por dinte) = + r = + = 3 3 = + r 3 = 3 + = 5 4 = 3 + r 4 = 5 + = 7 n = n- + r (representção de um termo qulquer) Assim P.A. será (, 3, 5, 7...) Pr clculrmos rzão de um P.A. efetumos diferenç entre um termo qulquer e seu nterior. Exemplos: Dd P.A. (, 4, 7, 0...) r = 4 - = 3; r = 7-4 = 3; r = 0-7 = 3 Termo Gerl de um P.A Pr clculrmos qulquer termo de um P.A. usmos fórmul seguinte: n = + (n - )r n = represent o termo procurdo. = represent o primeiro termo d P.A n = represent o número de termos. r = represent rzão d P.A. Exemplos:. Clcule o sétimo termo d P.A (, 6,,...) 7 =? n = 7 = r = 6 - = 5 n = + (n - )r 7 = + (7 - )5 7 = + (6)5 7 = = 3 Logo o sétimo termo dest P.A é 3.. Clcule o número de termos de um P.A sbendo que = - 4, n = 9 e r = 3. n = 9 = -4 r = 3 n =? n = + (n - )r 9 = -4 + (n - )3 9 = n - 3-3n = n = -36(-) 3n = 36 n = 36/3 n = Logo o número de termos é.

55 Formul d Som dos Termos d P.A. Sn = ( + n).n Sn = represent som dos termos d P.A. = represent o primeiro termo d P.A. n = represent um determin termo d P.A. n = represent um determindo número de termos d P.A. Exemplos:. Clcule som dos 5 primeirios termos d P.A (8,, 6...) s5 =? = 8 5 =? r = - 8 = 4 n = 5 Observe que pr usr fórmul d som primeiro devo clculr 5. n = + (n - )r 5 = 8 + (5 - )4 5 = 8 + (4)4 5 = = 64 Sn = ( + n).n S5 = (8 + 64). 5 S5= 40 Logo som dos 5 temos é 540. Progressões Geométrics (P.G) Progressões Geométrics (P.G) é um seqüênci de números reis onde cd termo, prtir do segundo, é igul o nterior multiplicdo por um constnte (Chmd rzão). Exemplos: Sendo = 3 e rzão (q) =, então: =. q = 3. = 6 3 =. q 3 = 6. = 4 = 3. q 4 =. = 4 5 = 4. q 5 = 4. = 48 Assim, P.G será (6,, 4, 48,...) Sendo = 54 e q = /3, então: =. q = 54. /3 = 8 3 =. q 3 = 8. /3 = 6 4 = 3. q 4 = 6. /3 = 5 = 4. q 5 =. /3 = /3 n = n-. q (Represent um termo qulquer d P.G) Assim, P.g será (8, 6,, /3,...) Fórmul do Termo Gerl d P.G n =. qʰˉ¹ n = represent o termo procurdo. = represent o primeiro termo d P.G q = represent rzão d P.G

56 n = represent o número de termos. Exemplos:. Clcule o sétimo termo d P.G (5, 0, 0,...) 7 =? = 5 q = 0 : 5 = n = 7 n =. qn - 7 = = = = 30 Logo o sétimo termo d P.G é 30.. Clcule rzão de um P.G, sbendo-se que 5 = 405 e = 5. 5 = 405 = 5 n = 5 q =? 5 =. qn = 5. q5-405 = 5. q4 q4 = 405/5 q4 = 8 q = 3 (clculmos riz qurt de 8 que é 3) Logo rzão d P.G é 3.. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES MATRIZES. Definição: Mtriz m x n é um tbel de m. n números reis dispostos em m linhs (fils horizontis) e n coluns (fils verticis). Exemplos: A é um mtriz x 3; B é um mtriz x; C é um mtriz 4 x Como podemos notr nos exemplos, e 3 respectivmente, um mtriz pode ser representd por colchetes, prênteses ou dus brrs verticis.. Representção de um mtriz:

57 As mtrizes costumm ser representds por letrs miúsculs e seus elementos por letrs minúsculs, compnhds de dois índices que indicm, respectivmente, linh e colun ocupds pelo elemento. Exemplo: Um mtriz A do tipo m x n é representd por: A 3 m 3 m m3 n n 3n mn ou, brevidmente, A= ijm x n elemento ocup, i m j n., onde i e j representm, respectivmente, linh e colun que o Por exemplo, n mtriz nterior, 3 é o elemento d segund linh com o d terceir colun. Exemplo : Sej mtriz A= ij x Genericmente, temos: dess mtriz, temos: A, onde i j ij x :. Utilizndo regr de formção dos elementos ij i j () 3 () 5 () 4 () 6 Assim, A= Mtrizes especiis: 3. Mtriz linh: É tod mtriz do tipo x n, isto é, com um únic linh. A x Ex: 4 3. Mtriz colun: É tod mtriz do tipo n x, isto é, com um únic colun. Ex: B x

58 3.3 Mtriz qudrd: É tod mtriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhs e coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é de ordem n. Ex: 4 C 7 x 4 D Mtriz de ordem Mtriz de ordem 3 3x3 Sej A um mtriz qudrd de ordem n. = j. Digonl principl de um mtriz qudrd é o conjunto de elementos dess mtriz, tis que i Digonl secundári de um mtriz qudrd é o conjunto de elementos dess mtriz, tis que i + j = n +.. Exemplo: A Descrição d mtriz: - O subscrito 3 indic ordem d mtriz; - A digonl principl é digonl formd pelos elementos, 0 e 6; - A digonl secundári é digonl formd pelos elementos 5, 0 e 5; - = - é elemento d digonl principl, pois i = j = ; - 3= 5 é elemento d digonl secundári, pois i + j = n + = Mtriz nul: É tod mtriz em que todos os elementos são nulos. Notção: Exemplo: O m x n O x Mtriz digonl: É tod mtriz qudrd onde só os elementos d digonl principl são diferentes de zero. Exemplo: A B Mtriz identidde: É tod mtriz qudrd onde todos os elementos que não estão n digonl principl são nulos e os d digonl principl são iguis. Notção: I n onde n indic ordem d mtriz identidde.

59 Exemplo: I ou : I, n ij 0 ij 0, sei j 0, sei j I Mtriz trnspost: Chmmos de mtriz trnspost de um mtriz A mtriz que é obtid prtir de A, trocndo-se ordendmente sus linhs por coluns ou sus coluns por linhs. Notção: t A. Exemplo: Se 3 0 A então t A = 3 0 t Desse modo, se mtriz A é do tipo m x n, A é do tipo n x m. Note que primeir linh de t A corresponde à primeir colun de A e segund linh de A corresponde à segund colun de t A. t 3.8 Mtriz simétric: Um mtriz qudrd de ordem n é simétric qundo A= A. t OBS: Se A = - A, dizemos que mtriz A é nti-simétric. Exemplo: Se A x3 A t x3 3.9 Mtriz opost: Chmmos de mtriz opost de um mtriz A mtriz que é obtid prtir de A, trocndo-se o sinl de tods os seus elementos. Notção: - A Exemplo: Se A então A = Iguldde de mtrizes: Dus mtrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguis se, todos os elementos que ocupm mesm posição são idênticos. Notção: A = B. Exemplo: Se 0 c A b 3 B e A = B, então c = 0 e b = 3 Simbolicmente: A B ij b pr todo i m e todo i n. ij 4. Adição de Mtrizes:

60 Dds s mtrizes A= ij e B = b m x n ij m x n mtriz C = ijm x n, chmmos de som ds mtrizes A e B c, tl que cij ij bij, pr todo i m e todo i n. Notção: A + B = C OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). Proprieddes : A, B e C são mtrizes do mesmo tipo (m x n), vlem s seguintes proprieddes: ) Associtiv: (A + B) + C = A + (B + C) ) Comuttiv A + B = B + A 3) Elemento Neutro A + O = O + A = A onde O é mtriz nul m x n. 4) Elemento Oposto A + (-A) = (-A) + A = O Exemplos: ) ) Subtrção de Mtrizes: Dds s mtrizes A= ijm x n e B= b ij m x n, chmmos de diferenç entre s mtrizes A e B som de A com mtriz opost de B Notção: A - B = A + (-B) OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n). Exemplo: )

61 6. Multiplicção de um número rel por um mtriz: Ddos um número rel x e um mtriz A do tipo m x n, o produto de x por A é um mtriz do tipo m x n, obtid pel multiplicção de cd elemento de A por x. Notção: B = x.a OBS.: Cd elemento b ij de B é tl que b = x Proprieddes : Sendo A e B mtrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reis quisquer, vlem s seguintes proprieddes: ) Associtiv: ij x.(y.a) = (x.y).a ij ) Distributiv de um número rel em relção dição de mtrizes: x.(a+b) = x.a + x.b 3) Distributiv de um mtriz em relção som de dois números reis: (x + y).a = x.a + y.a 4) Elemento Neutro: x.a = A, pr x =, ou sej:.a = A Exemplo: ) Multiplicção de mtrizes: O produto de um mtriz por outr não pode ser determindo trvés do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicção de mtrizes não é nálog à multiplicção de números reis. Assim, o produto ds mtrizes A= ij e B= b m x p ij é mtriz C= c p x n ij m x n, onde cd elemento c ij é obtido trvés d som dos produtos dos elementos correspondentes d i-ésim linh de A pelos elementos d j-ésim colun de B. OBS: Elementos correspondentes de mtrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupm mesm posição ns dus mtrizes. Exemplo: Sejm Os elementos 4 e b são elementos correspondentes. 3 3 Decorrênci d definição: A e B.

62 A mtriz produto A.B existe pens se o número de coluns d primeir mtriz (A) é igul o número de linhs d segund mtriz (B). A e B A. B Assim: m x p p x n m x n Note que mtriz produto terá o número de linhs (m) do primeiro ftor e o número de coluns (n) do segundo ftor. Exemplos: A3 e B A. B A4 x x 3 4 x e B x A. B 4 x ) Se x x 5 3 x 5 ) Se e B que não existe produto A 3) Proprieddes : Verificds s condições de existênci, pr multiplicção de mtrizes são válids s seguintes proprieddes: ) Associtiv: (A.B).C = A.(B.C) ) Distributiv em relção à dição: 3) Elemento Neutro: ) A.(B+C) = A.B + A.C b) (A+B).C = A.C + B.C A. I n = I n.a = A onde I n é mtriz identidde de ordem n. Atenção: Não vlem s seguintes proprieddes: ) Comuttiv, pois, em gerl, A.B B.A ) Sendo O m x n um mtriz nul, A.B = O m x n não implic, necessrimente, que A = O m x n ou B = O m x n. Exemplos: 3 ) Sendo A= 4 Solução: e B= 3 4, vmos determinr A.B e B.A e comprr os resultdos A.B = linh e colun = = + 9 = linh e colun = =4 + = 6

63 Assim: linh e colun = = = 7 linh e colun = = = A.B = 4 3 x. 3 4 x = x B.A = 3 4 x. 4 3 x = x Comprndo os resultdos, observmos que A.B B.A, ou sej, propriedde comuttiv pr multiplicção de mtrizes não vle. ) Sej A= ) A.B b) B.A x e B x 3, determine: Solução: ) A.B = = ( 6) 0 ( ) ( 8) ( ) 0..( ) x 3. 4.( ) x x 3 3 x 3 3 x 3 = b) B.A = ( ).(3).() 3.(4) =.() 0.(0) 4.( ).(3) 0.() 4. 4 x x 0 ( 3) 4 0 ( 4) Conclusão: Verificmos que A.B B.A x x x = 8. Mtriz Invers: ' Dd um mtriz A, qudrd, de ordem n, se existir um mtriz A, de mesm ordem, tl ' ' ' ' ' que A. A = A.A = I n, então A é mtriz invers de A. (Em outrs plvrs: Se A. A = A.A = I n, ' isto implic que A é mtriz invers de A, e é indicd por A ).

64 Notção: A Exemplo: Sendo A = x, vmos determinr mtriz invers de A, se existir. Solução: dus etps: Existindo, mtriz invers é de mesm ordem de A. ' Como, pr que exist invers, é necessário que A. A = ' A.A = I n, vmos trblhr em o ' Psso: Impomos condição de que A. A = I n e determinmos ' A : A. ' A = I n x..c..c c c. b c d x 0.b.d -.b.d b d - b d x 0 0 = x 0 x 0 0 x x A prtir d iguldde de mtrizes, resolvemos o sistem cim pelo método d dição e chegmos à: c (-) c 0-4c c 0 5c c 5 - c

65 5 b 5 b - d b - 5 d 5d d b - 0 4d b d b (-) 0 d b Assim temos: ' A =. x d c b = x o Psso: Verificmos se ' A A = I : ' A.A = x x = x x x I Portnto temos um mtriz ' A, tl que: A. ' A = ' A.A = I Logo, ' A é invers de A e pode ser representd por: A = x DETERMINANTES

66 Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd. Aplicções dos determinntes n mtemátic: - Cálculo d mtriz invers; - Resolução de lguns tipos de sistems de equções lineres; - Cálculo d áre de um triângulo, qundo são conhecids s coordends dos vértices. Determinnte de primeir ordem Dd um mtriz qudrd de ordem M=, chmmos de determinnte ssocido à mtriz M o número rel. Notção: det M ou = Exemplos:. 5 det M 5 ou 5 5 M. 3 det M 3ou M Determinnte de segund ordem Dd mtriz M= ssocido ess mtriz, ou sej, o determinnte de, de ordem, por definição, temos que o determinnte ordem é ddo por: det M Assim: Exemplo: Sendo M= det M, então: det M= Logo: det M = - Conclusão: O determinnte de um mtriz de ordem é ddo pel diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. Regr de Srrus

67 Dispositivo prático pr clculr o determinnte de 3 ordem. Exemplo : Clculr o seguinte determinnte trvés d Regr de Srrus. D= Solução: Psso: Repetir dus primeirs coluns o ldo d 3 : Psso: Encontrr som do produto dos elementos d digonl principl com os dois produtos obtidos com os elementos ds prlels ess digonl. OBS.: A som deve ser precedid do sinl positivo, ou sej: Psso: Encontrr som do produto dos elementos d digonl secundári com os dois produtos obtidos com os elementos ds prlels ess digonl. OBS.: A som deve ser precedid do sinl negtivo, ou sej: Assim: D OBS.: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinnte de 3 ordem com o uxílio do teorem de Lplce, verímos que s expressões são idêntics, pois representm o mesmo número rel. Exemplo : Clculr o vlor do seguinte determinnte: ) Solução: )

68 D SISTEMAS LINEARES Equção liner É Tod equção d form: x x n x n b onde x, x,,,, n são números reis que recebem o nome de coeficientes ds incógnits x n e b é um número rel chmdo termo independente. OBS: Qundo b = 0, equção recebe o nome de liner homogêne. Exemplos: Equções Lineres Equções Não-Lineres ) 3x y + 4z = 7 ) xy 3z + t = 8 ) x + y 3z - 7 t = 0 (homogêne) ) x - 4y = 3t - 4 3) x + 4z = 3t y + 4 3) x - y + z = 7 Sistem Liner Definição: Um conjunto de equções lineres d form: x x x m x x m x 3 3 x 3 x m3 3 x n 3 n x n x mn n b x b n b é um sistem liner de m equções e n incógnits. m Solução do Sistem Liner

69 Chmmos de solução do sistem n-upl de números reis ordendos r, r,, r n que é, simplesmente, solução de tods equções do sistem. Mtrizes ssocids um Sistem Liner Mtriz incomplet É mtriz A, formd pelos coeficientes d incógnits do sistem. Exemplos: Sej o sistem: Mtriz incomplet: x 3y z 0 4x y z 7 x y z 4 A= 4 3 Mtriz Complet É mtriz B, que obtemos o crescentrmos à mtriz incomplet um últim colun formd pelos termos independentes ds equções do sistem. Assim mtriz complet referente o sistem nterior é: B = Regr de Crmer Todo sistem norml tem um únic solução dd por x D i i, onde i,, 3,,n D, D= deta é o determinnte d mtriz incomplet ssocid o sistem e D i é o determinnte obtido trvés d substituição, n mtriz incomplet, d colun i pel colun formd pelos termos independentes. Exemplo: Resolver com o uxílio d Regr de Crmer, os seguintes sistems: ) x y 7 x 3y 3 Solução: Temos: m = n = (ª condição) e D (ª condição) Portnto, como o sistem é norml, podemos utilizr Regr de Crmer pr resolvê-lo. º Psso: Clculr D x e Dy

70 - Substituindo, n mtriz incomplet 3, colun c pel colun formd pelos termos independentes, encontrmos: x D - - Substituindo, gor, c pel colun dos termos independentes, encontrmos: y D º Psso: Encontrr x e y: Assim: D D y D D x y x Logo, (x, y) = (3, ) é solução do sistem ddo. b) 9 7 z y x z y x z y x ou z y x z y x z y x Solução: D mneir como é presentdo o sistem não é liner. Assim, pr torná-lo liner, fzemos s substituições: c b y x z e,, obtendo: 9 7 c b c b c b Agor temos um sistem liner com 3 equções e 3 incógnits (m = n) e determinnte d mtriz incomplet diferente de zero, vej: D

71 º Psso: Clculr c D e, b D D substituindo s coluns, e 3, respectivmente, pelos termos independentes: D b D c D Portnto, por Crmer vem: D D 0 0 b D D b 0 0 D D c c Voltndo trnsformção feit nteriormente (finl queremos os vlores de x, y e z) temos: 4 x x x x y b y y y 0 0 z c z z z Logo, (x, y, z) = (,, 0) é solução do sistem ddo. c) z y x z y x z y x Solução: Temos m = n = 3 e D Portnto, como o sistem é norml, presentndo um únic solução e, lém do mis, o sistem é homogêneo, est solução únic será solução trivil (0, 0, 0). Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0).

72 3. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS Inicilmente devemos sempre lembrr que qundo nos referimos plvr medir estmos sempre fzendo um comprção com um grndez pdrão. A necessidde d pdronizção ds medids no mundo e d crição de um sistem mis preciso derm origem o Sistem Métrico Deciml em 79. Porém mis trde o mesmo for substituído pelo- Interntionl System of Units (SI) -conhecido por nós como Sistem Interncionl de Uniddes. Medid pdrão de Comprimento: É representdo simbolicmente pel letr m (lê-se metro) Unidde no SI: m Tbel.0 km hm dm m dm cm mm X0 X0 X0 Múltiplos do Metro: dm : Decâmetro -> equivle 0 vezes grndez pdrão m hm: Hectômetro -> Equivle 0 vezes grndez pdrão m km: Quilômetro -> Equivle 0 3 vezes grndez pdrão m Submúltiplos do Metro: dm: Decímetro -> Equivle 0 - (/0) vezes grndez pdrão m cm: Centímetro -> Equivle 0 - (/00) vezes grndez pdrão m mm: Milímetro -> Equivle 0-3 (/000) vezes grndez pdrão m Medid pdrão de mss: É representdo simbolicmente pel letr g (lê-se o grm) Unidde no SI: Kg kg (Quilogrm) hg (Hectogrm) dg (Decgrm) g (grm) dg (Decigrm) cg (Centigrm) X0 X0 X0 mg (Miligrm) Obs: ton=000kg Medid pdrão de superfície ou áre: É representdo simbolicmente por m (lê-se metro qudrdo). Consider-se um unidde derivd do metro.

73 Unidde no SI: m Km Hm Dm M Dm Cm Mm X00 X00 X00 ATENÇÃO: Pr convertermos gor devemos ver que é necessário pulrmos de dus em dus css. Observe: 4m =40000cm dm =0,0m Medid pdrão de volume ou cpcidde: É representdo simbolicmente por m 3 (lê-se metro cúbico). Consider-se um unidde derivd do metro. Km 3 Hm 3 Dm 3 M 3 Dm 3 Cm 3 Mm X000 X000 X000 Obs:dm 3 =L ATENÇÃO: Pr convertermos devemos ver que é necessário pulrmos de três em três css. Observe: m 3 =000 dm (000 Litros) dm 3 = 0,00000 dm 3 4. TRIGONOMETRIA Noções de trigonometri Trigonometri no Triângulo Retângulo A plvr trigonometri signific medid dos três ângulos de um triângulo e determin um rmo d mtemátic que estud relção entre s medids dos ldos e dos ângulos de um triângulo. Cont históri d mtemátic que Tles foi um grnde estudioso desse rmo d mtemátic, ms não podemos firmr que este foi seu inventor. A trigonometri não foi obr de um só homem, nem de um povo só. Seno, Cosseno e Tngente de um Ângulo Agudo Observe o triângulo retângulo bixo, onde é hipotenus (ldo oposto o ângulo de 90º), b e c são os ctetos do triângulo retângulo(ctetos são os ldo que formm o ângulo de 90º)

74 Lembre-se, os ctetos vrim de nome de cordo com posição do ângulo. Seno: seno de y = cteto oposto hipotenus seno y = b Cosseno: cosseno de y = cteto djcente hipotenus cós y = c Tngente: tngente de y = tg y = b c cteto oposto cteto djcente Cotngente: Cotngente de y = cteto djcente cteto oposto cotg y = c b Rzões Trigonométrics Especiis

75 Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tngentes e cotngentes, se encontrm em um tbel chmd tbel trigonométric. Exemplo:. Clcule o vlor de x n figur bixo.(observe n tbel sen 30º) Teorem de Pitágors O qudrdo d hipotenus é igul som dos qudrdos dos ctetos. 5. GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL Geometri Pln: Nesse estudo sobre Geometri Euclidin ou Pln, serão borddos os principis conceitos e um pouco d históri desse rmo d mtemátic milenr que desempenh tão grnde representtividde n vid d humnidde. Não há dúvids d importânci d Geometri n vid humn. O conhecimento geométrico revolucionou o sber, tornndo-se o seu estudo, necessário à relizção de grndes feitos ns áres d construção e n prtilh de terrs. Se dividirmos plvr Geometri conseguimos chegr o seu significdo etimológico: geo (terr) + metri (medid), portnto Geometri signific medid de terr. Psseio pel Históri O conhecimento geométrico como conhecemos hoje nem sempre foi ssim. A geometri surgiu de form intuitiv, e como todos os rmos do conhecimento, nsceu d necessidde e d observção humn. O seu início se deu form nturl trvés d observção do homem à nturez. Ao rremessr um pedr num lgo, por exemplo, observou-se que o hver contto del com águ, formvm-se circunferêncis concêntrics centros n mesm origem. Pr designr esse tipo de contecimento surgiu Geometri Subconsciente. Conhecimentos geométricos tmbém form necessários os scerdotes. Por serem os coletores de impostos d époc, eles er incumbid demrcção ds terrs que erm devstds pels enchentes do Rio Nilo. A prtilh d terr er feit diretmente proporcionl os impostos pgos. Enrizd ness necessidde purmente humn, nsceu o cálculo de áre. Muitos contecimentos se derm, ind no cmpo d Geometri Subconsciente, té que mente humn fosse cpz de bsorver proprieddes ds forms ntes vists intuitivmente. Nsce com esse feito Geometri Científic ouocidentl. Ess geometri, vist ns instituições de ensino,

76 incorpor um série de regrs e sequêncis lógics responsáveis pels sus definições e resoluções de problems de cunho geométrico. Foi em 300.C. que o grnde geômetr Euclides de Alexndri desenvolveu grndiosos trblhos mtemático-geométricos e os publicou em su obr intituld Os Elementos. Ess foi, e continu sendo, mior obr já publicd - desse rmo - de tod históri d humnidde. A Geometri pln, como é populrmente conhecid nos dis tuis, lev tmbém o título de Geometri Euclidin em homengem o seu grnde mentor Euclides de Alexndri. Cálculo de Áres Conhecer sobre áre é conhecer sobre o espço que podemos preencher em regiões poligonis convexs qulquer segmento de ret com extremiddes n região só terá pontos pertencentes est. O cálculo de áres tem muit plicbilidde em diferentes momentos, sej em tividdes purmente cognitivs, ou té mesmo trblhists. Um exemplo de profissionl que fz uso dess ferrment pr tornr possível o desempenho do seu trblho é o pedreiro. É trvés do conhecimento de áre que é possível estimr quntidde de cerâmic necessári pr pvimentr um determindo cômodo de um cs, por exemplo. O qudrdo O qudrdo é um figur geométric pln regulr em que todos os seus ldos e ângulos são iguis. Vej um exemplo de qudrdo n figur seguir: Pr clculr áre de um qudrdo bst que se multipliquem dois dos seus ldos l entre si.

77 Exemplo Pr pvimentr sl de su cs D. Crmem comprou 6 m de piso. Sbendo que sl tem o formto qudrngulr e que um dos ldos mede 5 m, dig se o piso comprdo por D. Crmem será suficiente pr pvimentr su sl. A sl tem o formto qudrngulr; O seu ldo mede 5 m; A áre do qudrdo é A = l. Com bse nos ddos cim temos: Conclui-se então que o piso comprdo por D. Crmem será suficiente pr pvimentr su sl e ind sobrrá m. Lembrete: unidde de medid de áre mis utilizd é o metro qudrdo (m ), porém em lguns csos us-se o km, cm, etc. O retângulo O retângulo é um figur geométric pln cujos ldos opostos são prlelos e iguis e todos os ângulos medem 90º. Confirm o retângulo bixo: Pr clculr áre do retângulo, bst que se multipliquem seu comprimento c pel lrgur l. Exemplo Num cmpeonto de futebol equipe orgnizdor do evento está providencindo o grmdo que será plntdo em tod áre do cmpo. Pr comprr s grms, equipe precis sber áre do cmpo, pois grm é vendid por metro qudrdo. Sbendo que o cmpo tem 5 m de

78 comprimento por 75 m de lrgur e ind que o cmpo tem o formto retngulr, jude equipe solucionr o problem, dig quntos metros qudrdos de áre tem o cmpo de futebol? O triângulo O triângulo é um figur geométric pln formd por três ldos e três ângulos. A som dos seus ângulos internos é igul 80º. Pr clculr áre do triângulo multiplic-se bse b pel ltur h e divide o resultdo por (metde d áre do retângulo). Exemplo 3 Encontre áre de um triângulo cuj bse mede 8, cm e ltur 3,6 cm.

79 O trpézio O trpézio é um figur pln com um pr de ldos prlelos (bses) e um pr de ldos concorrentes. Pr clculr áre do trpézio dicion-se bse mior c à bse menor, o resultdo d som multiplic-se ltur, e por fim, divide-se o resultdo finl por. Exemplo 4 Um fzendeiro quer sber áre de um lote de terr que cbr de comprr. O lote tem o formto de um trpézio. Sbendo que frente mede 00 m, o fundo, 85 m e distânci d frente o fundo é de 50 m. Determine áre do lote.

80 Conclusão A necessidde geométric perpssou o tempo e está impregnd em nosss vids nos dis tuis. O conhecimento d Geometri Pln (Euclidin) é tão importnte que não é possível o cminhr seprdo d su prátic e do seu entendimento. GEOMETRIA ESPACIAL Fórmuls de Geometri Espcil Prlelepípedo Cubo A. b A B A b bc c A 4 T V. b. c A D b c V d fce T F L 6 3 D 3 cubo

81 Pirâmides A p. p p h K A A A p V L F H G I K J T L B AB. h h R 3 Cilindro V A. h r h A r A rh A r rh A L T S B rh Equilátero h r B Cone

82 AB. h r h V AB r 3 3 A rg A rh L A r rg g r h T Equilátero g r S 6. ESTATÍSTICA - Objeto d esttístic Esttístic é um ciênci ext que vis fornecer subsídios o nlist pr coletr, orgnizr, resumir, nlisr e presentr ddos. Trt de prâmetros extrídos d populção, tis como médi ou desvio pdrão. A esttístic fornece-nos s técnics pr extrir informção de ddos, os quis são muits vezes incompletos, n medid em que nos dão informção útil sobre o problem em estudo, sendo ssim, é objetivo d Esttístic extrir informção dos ddos pr obter um melhor compreensão ds situções que representm. Qundo se bord um problemátic envolvendo métodos esttísticos, estes devem ser utilizdos mesmo ntes de se recolher mostr, isto é, deve-se plnejr experiênci que nos vi permitir recolher os ddos, de modo que, posteriormente, se poss extrir o máximo de informção relevnte pr o problem em estudo, ou sej pr populção de onde os ddos provêm. Qundo de posse dos ddos, procur-se grup-los e reduzi-los, sob form de mostr, deixndo de ldo letoriedde presente. Seguidmente o objetivo do estudo esttístico pode ser o de estimr um quntidde ou testr um hipótese, utilizndo-se técnics esttístics convenientes, s quis relçm tod potencilidde d Esttístic, n medid em que vão permitir tirr conclusões cerc de um populção, bsendo-se num pequen mostr, dndo-nos ind um medid do erro cometido. - Populção e mostr Qulquer estudo científico enfrent o dilem de estudo d populção ou d mostr. Obvimente terí-se um precisão muito superior se fosse nlisdo o grupo inteiro, populção, do que um pequen prcel representtiv, denomind mostr. Observ-se que é imprticável n grnde miori dos csos, estudr-se populção em virtude de distâncis, custo, tempo, logístic, entre outros motivos. A lterntiv prticd nestes csos é o trblho com um mostr confiável. Se mostr é confiável e proporcion inferir sobre populção, chmmos de inferênci esttístic. Pr que inferênci sej válid, é necessári um bo mostrgem, livre de erros, tis como flt de determinção corret d populção, flt de letoriedde e erro no dimensionmento d mostr. Qundo não é possível estudr, exustivmente, todos os elementos d populção, estudm-se só lguns elementos, que dmos o nome de Amostr. Qundo mostr não represent corretmente populção diz-se enviesd e su utilizção pode dr origem interpretções errds. 3- Recensemento

83 Recensemento é contgem oficil e periódic dos indivíduos de um Pís, ou prte de um Pís. Ele brnge, no entnto, um leque mis vsto de situções. Assim, pode definir-se recensemento do seguinte modo: Estudo científico de um universo de pessos, instituições ou objetos físicos com o propósito de dquirir conhecimentos, observndo todos os seus elementos, e fzer juízos quntittivos cerc de crcterístics importntes desse universo. 4- Esttístic descritiv e esttístic indutiv Sondgem Por vezes não é viável nem desejável, principlmente qundo o número de elementos d populção é muito elevdo, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudr um ou mis crcterístics prticulres dess populção. Assim surge o conceito de sondgem, que se pode tentr definir como: Estudo científico de um prte de um populção com o objetivo de estudr titudes, hábitos e preferêncis d populção reltivmente contecimentos, circunstâncis e ssuntos de interesse comum. 5- Amostrgem Amostrgem é o processo que procur extrir d populção elementos que trvés de cálculos probbilísticos ou não, consigm prover ddos de inferêncis d populção-lvo. Não Probbilístic Tipos de Amostrgem Acidentl ou conveniênci Intencionl Quots ou proporcionl Desproporcionl Probbilístic Aletóri Simples Aletóri Estrtificd Conglomerdo Não Probbilístic A escolh de um método não probbilístico, vi de regr, sempre encontrrá desvntgem frente o método probbilístico. No entnto, em lguns csos, se fz necessário opção por este método. Fonsec (996), lert que não há forms de se generlizr os resultdos obtidos n mostr pr o todo d populção qundo se opt por este método de mostrgem. 5.- Acidentl ou conveniênci Indicd pr estudos explortórios. Freqüentemente utilizdos em super mercdos pr testr produtos. Intencionl O entrevistdor dirige-se um grupo em específico pr sber su opinião. Por exemplo, qundo de um estudo sobre utomóveis, o pesquisdor procur pens oficins. 5.- Quots ou proporcionl N relidde, trt-se de um vrição d mostrgem intencionl. Necessit-se ter um prévio conhecimento d populção e su proporcionlidde. Por exemplo, desej-se entrevistr pens indivíduos d clsse A, que represent % d populção. Est será quot pr o trblho. Comumente tmbém substrtific-se um quot obedecendo um segund proporcionlidde Desproporcionl Muito utilizd qundo escolh d mostr for desproporcionl à populção. Atribui-se pesos pr os ddos, e ssim obtém-se resultdos ponderdos representtivos pr o estudo.

84 Probbilístic Pr que se poss relizr inferêncis sobre populção, é necessário que se trblhe com mostrgem probbilístic. É o método que grnte segurnç qundo investig-se lgum hipótese. Normlmente os indivíduos investigdos possuem mesm probbilidde de ser seleciondo n mostr Aletóri Simples É o mis utilizdo processo de mostrgem. Prático e eficz, confere precisão o processo de mostrgem. Normlmente utiliz-se um tbel de números letórios e nomei-se os indivíduos, sortendo-se um por um té completr mostr clculd Um vrição deste tipo de mostrgem é sistemátic. Em um grnde número de exemplos, o pesquisdor depr-se com populção ordend. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em seqüênci o que dificult plicção ext dest técnic. Qundo se trblh com sorteio de qudrs de css por exemplo, há um regr crescente pr os números ds css. Em csos como este, divide-se populção pel mostr e obtém-se um coeficiente (y). A primeir cs será de número x, segund será de número x + y; terceir será de número x + 3. y. Supondo que este coeficiente sej 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será O terceiro será O qurto será , e ssim sucessivmente. Aletóri Estrtificd Qundo se desej gurdr um proporcionlidde n populção heterogêne. Estrtific-se cd subpopulção por intermédio de critérios como clsse socil, rend, idde, sexo, entre outros Conglomerdo Em corriqueirs situções, torn-se difícil coletr crcterístics d populção. Nest modlidde de mostrgem, sortei-se um conjunto e procur-se estudr todo o conjunto. É exemplo de mostrgem por conglomerdo, fmílis, orgnizções e qurteirões. 6- Dimensionmento d mostr Qundo desej-se dimensionr o tmnho d mostr, o procedimento desenvolve-se em três etps distints: Avlir vriável mis importnte do grupo e mis significtiv; Anlisr se é ordinl, intervlr ou nominl; Verificr se populção é finit ou infinit; Vriável intervlr e populção infinit Vriável intervlr e populção finit Vriável nominl ou ordinl e populção infinit Vriável nominl ou ordinl e populção finit Obs.: A proporção (p) será estimtiv d verddeir proporção de um dos níveis escolhidos pr vriável dotd. Por exemplo, 60% dos telefones d mostr é Noki, então p será 0,60. A proporção (q) será sempre - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representdo por d. Pr csos em que não se tenh como identificr s proporções confere-se 0,5 pr p e q. 7- Tipos de ddos Bsicmente os ddos, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qulquer vlor entre dois limites quisquer, tl como um diâmetro. Portnto trt-se de um vlor que pode ser "quebrdo". São ddos contínuos, questões que envolvem idde, rend, gstos, vends, fturmento, entre muits outrs.

85 Qundo fl-se em vlores discretos, bord-se um vlor exto, tl como quntidde de peçs defeituoss. Comumente utiliz-se este tipo de vriáveis pr trtr de numero de filhos, stisfção e escls nominis no gerl. O tipologi dos ddos determin vriável, el será portnto contínu ou discret. Isto quer dizer que o definir-se um vriável com contínu ou discret, futurmente já definiu-se que tipo de trtmento se drá el. De cordo com o que dissemos nteriormente, num nálise esttístic distinguem-se essencilmente dus fses: Um primeir fse em que se procur descrever e estudr mostr: Esttístic Descritiv e um segund fse em que se procur tirr conclusões pr populção: ª Fse Esttístic Descritiv Procur-se descrever mostr, pondo em evidênci s crcterístics principis e s proprieddes. ª Fse Esttístic Indutiv Conhecids certs proprieddes (obtids prtir de um nálise descritiv d mostr), expresss por meio de proposições, imginm-se proposições mis geris, que exprimm existênci de leis (n populção). No entnto, o contrário ds proposições deduzids, não podemos dizer que são flss ou verddeirs, já que form verificds sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portnto não são flss, ms não form verificds pr todos os indivíduos d Populção, pelo que tmbém não podemos firmr que são verddeirs! Existe, ssim, um certo gru de incertez (percentgem de erro) que é medido em termos de Probbilidde. Considerndo o que foi dito nteriormente sobre Esttístic Indutiv, precismos qui d noção de Probbilidde, pr medir o gru de incertez que existe, qundo tirmos um conclusão pr populção, prtir d observção d mostr. 8- Ddos, tbels e gráficos Distribuição de freqüênci Qundo d nálise de ddos, é comum procurr conferir cert ordem os números tornndo-os visulmente mis migáveis. O procedimento mis comum é o de divisão por clsses ou ctegoris, verificndo-se o número de indivíduos pertencentes cd clsse.. Determin-se o menor e o mior vlor pr o conjunto:. Definir o limite inferior d primeir clsse (Li) que deve ser igul ou ligeirmente inferior o menor vlor ds observções: 3. Definir o limite superior d últim clsse (Ls) que deve ser igul ou ligeirmente superior o mior vlor ds observções: 4. Definir o número de clsses (K), que será clculdo usndo. Obrigtorimente deve estr compreendido entre Conhecido o número de clsses define-se mplitude de cd clsse: 6. Com o conhecimento d mplitude de cd clsse, define-se os limites pr cd clsse (inferior e superior) Distribuições simétrics A distribuição ds frequêncis fz-se de form proximdmente simétric, reltivmente um clsse médi Cso especil de um distribuição simétric Qundo dizemos que os ddos obedecem um distribuição norml, estmos trtndo de ddos que distribuem-se em form de sino.

86 Distribuições Assimétrics A distribuição ds freqüêncis present vlores menores num dos ldos: Distribuições com "cuds" longs Observmos que ns extremiddes há um grnde concentrção de ddos em relção os concentrdos n região centrl d distribuição. 9- Medids de tendênci Centrl As mis importntes medids de tendênci centrl são médi ritmétic, médi ritmétic pr ddos grupdos, médi ritmétic ponderd, medin, mod, médi geométric, médi hrmônic, qurtis. Qundo se estud vribilidde, s medids mis importntes são: mplitude, desvio pdrão e vriânci. Medids Médi ritmétic Médi ritmétic pr ddos grupdos Médi ritmétic ponderd Medin Mod Médi geométric ) Se n é impr, o vlor é centrl, ) se n é pr, o vlor é médi dos dois vlores centris Vlor que ocorre com mis freqüênci. Médi hrmônic Qurtil Sendo médi um medid tão sensível os ddos, é preciso ter cuiddo com su utilizção, pois pode dr um imgem distorcid dos ddos. Pode-se mostrr, que qundo distribuição dos ddos é "norml", então melhor medid de loclizção do centro, é médi. Sendo Distribuição Norml um ds distribuições mis importntes e que surge com mis freqüênci ns plicções, (esse fto justific grnde utilizção d médi). A médi possui um prticulriddebstnte interessnte, que consiste no seguinte: se clculrmos os desvios de tods s observções reltivmente à médi e somrmos esses desvios o resultdo obtido é igul zero. A médi tem um outr crcterístic, que torn su utilizção vntjos em certs plicções: Qundo o que se pretende representr é quntidde totl express pelos ddos, utiliz-se médi.

87 N relidde, o multiplicr médi pelo número totl de elementos, obtemos quntidde pretendid. 9.- Mod Define-se mod como sendo: o vlor que surge com mis freqüênci se os ddos são discretos, ou, o intervlo de clsse com mior freqüênci se os ddos são contínuos. Assim, d representção gráfic dos ddos, obtém-se imeditmente o vlor que represent mod ou clsse modl Est medid é especilmente útil pr reduzir informção de um conjunto de ddos qulittivos, presentdos sob form de nomes ou ctegoris, pr os quis não se pode clculr médi e por vezes medin. 9.- Medin A medin, é um medid de loclizção do centro d distribuição dos ddos, definid do seguinte modo: Ordendos os elementos d mostr, medin é o vlor (pertencente ou não à mostr) que divide o meio, isto é, 50% dos elementos d mostr são menores ou iguis à medin e os outros 50% são miores ou iguis à medin Pr su determinção utiliz-se seguinte regr, depois de ordend mostr de n elementos: Se n é ímpr, medin é o elemento médio. Se n é pr, medin é semi-som dos dois elementos médios. 9.3-Considerções respeito de Médi e Medin Se se representrmos os elementos d mostr ordend com seguinte notção: X:n, X:n,..., Xn:n então um expressão pr o cálculo d medin será: Como medid de loclizção, medin é mis robust do que médi, pois não é tão sensível os ddos. - Qundo distribuição é simétric, médi e medin coincidem. - A medin não é tão sensível, como médi, às observções que são muito miores ou muito menores do que s restntes (outliers). Por outro ldo médi reflete o vlor de tods s observções. Como já vimos, médi o contrário d medin, é um medid muito influencid por vlores "muito grndes" ou "muito pequenos", mesmo que estes vlores surjm em pequeno número n mostr. Estes vlores são os responsáveis pel má utilizção d médi em muits situções em que teri mis significdo utilizr medin. A prtir do exposto, deduzimos que se distribuição dos ddos:. for proximdmente simétric, médi proxim-se d medin. for enviesd pr direit (lguns vlores grndes como "outliers"), médi tende ser mior que medin 3. for enviesd pr esquerd (lguns vlores pequenos como "outliers"), médi tende ser inferior à medin. 0 - Medids de dispersão Introdução No cpítulo nterior, vimos lgums medids de loclizção do centro de um distribuição de ddos. Veremos gor como medir vribilidde presente num conjunto de ddos trvés ds seguintes medids: 0.- Medids de dispersão Um specto importnte no estudo descritivo de um conjunto de ddos, é o d determinção d vribilidde ou dispersão desses ddos, reltivmente à medid de loclizção do centro d mostr. Supondo ser médi, medid de loclizção mis importnte, será reltivmente el que se define principl medid de dispersão - vriânci, presentd seguir. 0.- Vriânci Define-se vriânci, como sendo medid que se obtém somndo os qudrdos dos desvios ds observções d mostr, reltivmente à su médi, e dividindo pelo número de observções d

88 mostr menos um Desvio-pdrão Um vez que vriânci envolve som de qudrdos, unidde em que se exprime não é mesm que dos ddos. Assim, pr obter um medid d vribilidde ou dispersão com s mesms uniddes que os ddos, tommos riz qudrd d vriânci e obtemos o desvio pdrão: O desvio pdrão é um medid que só pode ssumir vlores não negtivos e qunto mior for, mior será dispersão dos ddos. Algums proprieddes do desvio pdrão, que resultm imeditmente d definição, são: o desvio pdrão será mior, qunt mis vribilidde houver entre os ddos. 7. PROPABILIDADE Noções de Probbilidde A históri d teori ds probbiliddes, teve início com os jogos de crts, ddos e de rolet. Esse é o motivo d grnde existênci de exemplos de jogos de zr no estudo d probbilidde. A teori d probbilidde permite que se clcule chnce de ocorrênci de um número em um experimento letório. Experimento Aletório É quele experimento que qundo repetido em iguis condições, podem fornecer resultdos diferentes, ou sej, são resultdos explicdos o cso. Qundo se fl de tempo e possibiliddes de gnho n loteri, bordgem envolve cálculo de experimento letório. Espço Amostrl É o conjunto de todos os resultdos possíveis de um experimento letório. A letr que represent o espço mostrl, é S. Conceito de probbilidde Se num fenômeno letório s possibiliddes são igulmente prováveis, então probbilidde de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lnçmento de um ddo, um número pr pode ocorrer de 3 mneirs diferentes dentre 6 igulmente prováveis, portnto, P = 3/6= / = 50% Dizemos que um espço mostrl S (finito) é equiprovável qundo seus eventos elementres têm probbiliddes iguis de ocorrênci. Num espço mostrl equiprovável S (finito), probbilidde de ocorrênci de um evento A é sempre:

89 Exemplo: Um urn tem 30 bols, sendo 0 vermelhs e 0 zuis. Se ocorrer um sorteio de bols, um de cd vez e sem reposição, qul será probbilidde de primeir ser vermelh e segund ser zul? Resolução: Sej o espço mostrl S=30 bols, bolinhs e considerrmos os seguintes eventos: A: brnc n primeir retird e P(A) = 0/30 B: pret n segund retird e P(B) = 0/9 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 0/30.0/9 = 0/87 Exemplo: Um urn tem 30 bols, sendo 0 vermelhs e 0 zuis. Se sortermos bols, de cd vez e respondo sorted n urn, qul será probbilidde de primeir ser brnc e segund ser pret? Resolução: Como os eventos são independentes, probbilidde de sir vermelh n primeir retird e zul n segund retird é igul o produto ds probbiliddes de cd condição, ou sej, P(A e B) = P(A).P(B). Or, probbilidde de sir vermelh n primeir retird e 0/30 e de sir zul n segund retird 0/30. Dí, usndo regr do produto, temos: 0/30.0/30=/9. Observe que n segund retird form considerds tods s bols, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fto de sir bol vermelh n primeir retird não influenciou segund retird, já que el foi repost n urn. Exemplo: Se dois ddos, zul e brnco, forem lnçdos, qul probbilidde de sir 5 no zul e 3 no brnco? Considerndo os eventos: A: Tirr 5 no ddo zul e P(A) = /6 B: Tirr 3 no ddo brnco e P(B) = /6 Sendo S o espço mostrl de todos os possíveis resultdos, temos: n(s) = 6.6 = 36 possibiliddes. Dí, temos:p(a ou B) = /6 + /6 /36 = /36 Exemplo: Se retirrmos letorimente um crt de brlho com 5 crts, qul probbilidde de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espço mostrl de todos os resultdos possíveis, temos: n(s) = 5 crts. Considere os eventos: A: sir 8 e P(A) = 8/5 B: sir um rei e P(B) = 4/5 Assim, P(A ou B) = 4/5 + 4/5 0 = 8/5 = /3. Note que P(A e B) = 0, pois um crt não pode ser 8 e rei o mesmo tempo. Qundo isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutumente exclusivos. 8. ANÁLISE COMBINATÓRIA Foi necessidde de clculr o número de possibiliddes existentes nos chmdos jogos de zr que levou o desenvolvimento d Análise Combintóri, prte d Mtemátic que estud os métodos de contgem. Esses estudos form inicidos já no século XVI, pelo mtemático itlino Niccollo Fontn ( ), conhecido como Trtgli. Depois vierm os frnceses Pierre de Fermt (60-665) e Blise Pscl (63-66).

90 A Análise Combintóri vis desenvolver métodos que permitm contr - de um form indiret - o número de elementos de um conjunto, estndo esses elementos grupdos sob certs condições. - Ftoril Sej n um número inteiro não negtivo. Definimos o ftoril de n (indicdo pelo símbolo n! ) como sendo: n! = n.(n-). (n-) pr n ³. Pr n = 0, teremos : 0! =. Pr n =, teremos :! = Exemplos: ) 6! = = 70 b) 4! = = 4 c) observe que 6! = 6.5.4! d) 0! = e) 0! = ! f ) 0! = 0.9.8! 3 - Princípio fundmentl d contgem - PFC Se determindo contecimento ocorre em n etps diferentes, e se primeir etp pode ocorrer de k mneirs diferentes, segund de k mneirs diferentes, e ssim sucessivmente, então o número totl T de mneirs de ocorrer o contecimento é ddo por: T = k. k. k k n Exemplo: O DETRAN decidiu que s plcs dos veículos do Brsil serão codificds usndo-se 3 letrs do lfbeto e 4 lgrismos. Qul o número máximo de veículos que poderá ser licencido? Solução: Usndo o rciocínio nterior, imginemos um plc genéric do tipo PWR-USTZ. Como o lfbeto possui 6 letrs e nosso sistem numérico possui 0 lgrismos (de 0 9), podemos concluir que: pr ª posição, temos 6 lterntivs, e como pode hver repetição, pr ª, e 3ª tmbém teremos 6 lterntivs. Com relção os lgrismos, concluímos fcilmente que temos 0 lterntivs pr cd um dos 4 lugres. Podemos então firmr que o número totl de veículos que podem ser licencidos será igul : que result em Observe que se no pís existissem veículos, o sistem de códigos de emplcmento teri que ser modificdo, já que não existirim números suficientes pr codificr todos os veículos. Perceberm? 4 - Permutções simples

91 4. - Permutções simples de n elementos distintos são os grupmentos formdos com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pel ordem de seus elementos. Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis s seguintes permutções: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA O número totl de permutções simples de n elementos distintos é ddo por n!, isto é P n = n! onde n! = n(n-)(n-)..... Exemplos: ) P 6 = 6! = = 70 b) Clcule o número de forms distints de 5 pessos ocuprem os lugres de um bnco retngulr de cinco lugres. P 5 = 5! = = Denomin-se ANAGRAMA o grupmento formdo pels letrs de um plvr, que podem ter ou não significdo n lingugem comum. Exemplo: Os possíveis ngrms d plvr REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 5 - Permutções com elementos repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, existem elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e ssim sucessivmente, o número totl de permutções que podemos formr é ddo por: Exemplo: Determine o número de ngrms d plvr MATEMÁTICA.(não considere o cento) Solução: Temos 0 elementos, com repetição. Observe que letr M está repetid dus vezes, letr A três, letr T, dus vezes. N fórmul nterior, teremos: n=0, =, b=3 e c=. Sendo k o número procurdo, podemos escrever: k= 0! / (!.3!.!) = 500 Respost: 500 ngrms. 6 - Arrnjos simples 6. - Ddo um conjunto com n elementos, chm-se rrnjo simples de tx k, todo grupmento de k elementos distintos dispostos num cert ordem. Dois rrnjos diferem entre si, pel ordem de colocção dos elementos. Assim, no conjunto E = {,b,c}, teremos:

92 ) rrnjos de tx : b, c, bc, b, c, cb. b) rrnjos de tx 3: bc, cb, bc, bc, cb, cb Representndo o número totl de rrnjos de n elementos tomdos k k (tx k) por A n,k, teremos seguinte fórmul: Obs : é fácil perceber que A n,n = n! = P n. (Verifique) Exemplo: Um cofre possui um disco mrcdo com os dígitos 0,,,...,9. O segredo do cofre é mrcdo por um sequênci de 3 dígitos distintos. Se um pesso tentr brir o cofre, qunts tenttivs deverá fzer(no máximo) pr conseguir bri-lo? Solução: As sequêncis serão do tipo xyz. Pr primeir posição teremos 0 lterntivs, pr segund, 9 e pr terceir, 8. Podemos plicr fórmul de rrnjos, ms pelo princípio fundmentl de contgem, chegremos o mesmo resultdo: = 70. Observe que 70 = A 0,3 7 - Combinções simples 7. - Denominmos combinções simples de n elementos distintos tomdos k k (tx k) os subconjuntos formdos por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos ddos. Observe que dus combinções são diferentes qundo possuem elementos distintos, não importndo ordem em que os elementos são colocdos. Exemplo: No conjunto E= {,b.c,d} podemos considerr: ) combinções de tx : b, c, d,bc,bd, cd. b) combinções de tx 3: bc, bd,cd,bcd. c) combinções de tx 4: bcd Representndo por C n,k o número totl de combinções de n elementos tomdos k k (tx k), temos seguinte fórmul: Not: o número cim é tmbém conhecido como Número binomil e indicdo por:

93 Exemplo: Um prov const de 5 questões ds quis o luno deve resolver 0. De qunts forms ele poderá escolher s 0 questões? Solução: Observe que ordem ds questões não mud o teste. Logo, podemos concluir que trt-se de um problem de combinção de 5 elementos com tx 0. Aplicndo simplesmente fórmul chegremos : C 5,0 = 5! / [(5-0)!. 0!] = 5! / (5!. 0!) = ! / ! = 3003 Agor que você viu o resumo d teori, tente resolver os 3 problems seguintes: 0 - Um coquetel é preprdo com dus ou mis bebids distints. Se existem 7 bebids distints, quntos coquetéis diferentes podem ser preprdos? Resp: Sobre um circunferênci são mrcdos 9 pontos distintos. Quntos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos mrcdos? Resp: Um fmíli com 5 pessos possui um utomóvel de 5 lugres. Sbendo que somente pessos sbem dirigir, de quntos modos poderão se comodr pr um vigem? Resp: 48 Exercício resolvido: Um slão tem 6 ports. De quntos modos distintos esse slão pode estr berto? Solução: Pr primeir port temos dus opções: bert ou fechd Pr segund port temos tmbém, dus opções, e ssim sucessivmente. Pr s seis ports, teremos então, pelo Princípio Fundmentl d Contgem - PFC: N =... = 64 Lembrndo que um desss opções corresponde tods s dus ports fechds, teremos então que o número procurdo é igul 64 - = 63. Respost: o slão pode estr berto de 63 modos possíveis.

94 9. RACIOCÍNIO LÓGICO I. INTRODUÇÃO. Lógic Forml. Embor existm muits definições pr o cmpo de estudo d lógic, esss definições não diferem essencilmente ums ds outrs; há um certo consenso entre os utores de que Lógic tem, por objeto de estudo, s leis geris do pensmento, e s forms de plicr esss leis corretmente n investigção d verdde. Embor tenhm sido encontrdos n Índi, textos sobre esse ssunto, escritos em épocs remots, é trdicionlmente ceito que Lógic tenh nscido n Gréci Antig, por volt do século IV ntes de Cristo. Os primeiros trblhos sobre Lógic são devidos Prmênides, Zenão, e o grupo conhecido como sofists, ms o verddeiro cridor d Lógic é, sem dúvid, Aristóteles, pois foi ele quem sistemtizou e orgnizou esse conhecimento, elevndo-o à ctegori de ciênci. Em su obr chmd Orgnum (que, em trdução livre, signific ferrment ) Aristóteles estbeleceu princípios tão geris e tão sólidos que dominou o pensmento ocidentl durnte dois mil nos, e té hoje são considerdos válidos. Aristóteles tinh como objetivo busc d verdde, e, pr isso, procurv crcterizr os instrumentos de que se servi rzão, ness busc. Em outrs plvrs, Aristóteles se preocupv com s forms de rciocínio que, prtir de conhecimentos considerdos verddeiros, permitim obter novos conhecimentos. Cberi, pois, à Lógic, formulção de leis geris de encdementos de conceitos e juízos que levrim à descobert de novs verddes. Ess form de encdemento é chmdo, em Lógic, de rgumento, enqunto s firmções envolvids são chmds proposições; um rgumento é, pois, um conjunto de proposições tl que se firme que um dels é derivd ds demis; usulmente, proposição derivd é chmd conclusão, e s demis, premisss. Em um rgumento válido, s premisss são considerds provs evidentes d verdde d conclusão. Eis um exemplo de rgumento: Se eu gnhr n Loteri, serei rico Eu gnhei n Loteri Logo, sou rico Como conclusão sou rico é um decorrênci lógic ds dus premisss, esse rgumento é considerdo válido. É preciso deixr clro que Lógic se preocup com o relcionmento entre s premisss e conclusão, com estrutur e form do rciocínio, e não com seu conteúdo, isto é, com s proposições tomds individulmente. Em outrs plvrs, não é objeto d Lógic sber se quem gnh n Loteri fic rico ou não, ou se eu gnhei ou não n Loteri. O objeto d Lógic é determinr se conclusão é ou não um conseqüênci lógic ds premisss. Por esse motivo, por que o objeto d Lógic é form pel qul o rciocínio está estruturdo, Lógic costum receber o nome de Lógic Forml. A vlidde do rgumento está diretmente ligd à form pel qul ele se present, como pode ser mostrdo pelo enuncido bixo, Se eu gnhr n Loteri, serei rico Não gnhei n Loteri Logo, não sou rico

95 que, embor sej semelhnte o nterior, tem outr form, e, ness form, conclusão não se segue logicmente ds premisss, e, portnto, não é um rgumento válido.. Dedução e Indução. A Lógic dispõe de dus ferrments principis que podem ser utilizds pelo pensmento n busc de novos conhecimentos: dedução e indução, que dão origem dois tipos de rgumentos, dedutivos e indutivos. Os rgumentos dedutivos pretendem que sus premisss forneçm um prov conclusiv d vercidde d conclusão. Um rgumento dedutivo é válido qundo sus premisss, se verddeirs, fornecem provs convincentes pr su conclusão, isto é, qundo for impossível que s premisss sejm verddeirs e conclusão fls; cso contrário, o rgumento dedutivo é dito inválido. Os dois rgumentos citdos nteriormente são do tipo dedutivo, o primeiro válido e o segundo inválido. Os rgumentos indutivos, por outro ldo, não pretendem que sus premisss forneçm provs cbis d vercidde d conclusão, ms pens que forneçm indicções dess vercidde. Vej um exemplo de rgumento indutivo: Joguei um pedr no lgo, e pedr fundou; Joguei outr pedr no lgo e el tmbém fundou; Joguei mis um pedr no lgo, e tmbém est fundou; Logo, se eu jogr um outr pedr no lgo, el vi fundr. Os termos válidos e inválidos não se plicm os rgumentos indutivos; eles costumm ser vlidos de cordo com mior ou menor possibilidde com que sus conclusões sejm estbelecids. Costum-se dizer que os rgumentos indutivos prtem do prticulr pr o gerl, isto é, prtir de observções prticulres, procur estbelecer regrs geris, que, no cso ds ciêncis nturis, devem ser provds por outros meios; os rgumentos dedutivos, por seu ldo, prtem de regrs geris pr estbelecer vercidde de contecimentos prticulres. O desenvolvimento d ciênci tem dependido, em grnde prte, d hbilidde em combinr os dois tipos de rciocínio. 3. Lógic Clássic e Lógic Simbólic. Os rgumentos formuldos em um lingugem nturl, como o inglês ou português, são, muits vezes, de difícil vlição, principlmente por cus d mbiguidde inerente às lingugens nturis, e ds construções às vezes vgs ou confuss dos termos. Em virtude desses ftos, prtir dos trblhos de George Boole, em medos do século XIX, form sendo utilizdos cd vez mis símbolos de origem mtemátic pr expressr os enuncidos e rciocínios d Lógic. A Lógic presentd dess form é chmd Lógic Mtemátic ou Lógic Simbólic, enqunto Lógic bsed em lingugem nturl é chmd Lógic Clássic. À medid que Lógic Simbólic desenvolve su própri lingugem técnic, vem se tornndo um instrumento cd vez mis poderoso pr nálise e dedução dos rgumentos. A utilizção de um simbologi mtemátic jud expor, com mior clrez, s estruturs lógics ds proposições e dos rgumentos, que podem não ficr suficientemente clrs se express em lingugem nturl. Um outr vntgem d utilizção de um lingugem simbólic pr Lógic é possibilidde de utilizção de recursos computcionis no trtmento de enuncidos e rgumentos; os computdores digitis se mostrm bstnte dequdos à mnipulção de símbolos, enqunto presentm extrem dificuldde no trtmento de lingugem nturl. Em 965, um pesquisdor chmdo Robinson desenvolveu um procedimento computcionl pr dedução, chmdo Resolução, evidencindo s vntgens d utilizção de um lingugem simbólic pr Lógic. II. NOÇÕES DE LÓGICA Proposição

96 Denomin-se proposição tod sentenç, express em plvrs ou símbolos, que exprim um juízo o qul se poss tribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois vlores lógicos possíveis: verddeiro ou flso. Somente às sentençs declrtivs pode-se tribuir vlores de verddeiro ou flso, o que ocorre qundo sentenç é, respectivmente, confirmd ou negd. De fto, não se pode tribuir um vlor de verddeiro ou flso às demis forms de sentençs como s interrogtivs, s exclmtivs e outrs, embor els tmbém expressem juízos. São exemplos de proposições s seguintes sentençs declrtivs: O número 6 é pr. O número 5 não é primo. Todos os homens são mortis. Nenhum porco espinho sbe ler. Alguns cnários não sbem cntr. Se você estudr bstnte, então prenderá tudo. Eu flo inglês e espnhol. Mírim quer um sptinho novo ou um bonec. Não são proposições: Qul é o seu nome? Preste tenção o sinl. Crmb! Proposição Simples Um proposição é dit proposição simples ou proposição tômic qundo não contém qulquer outr proposição como su componente. Isso signific que não é possível encontrr como prte de um proposição simples lgum outr proposição diferente del. Não se pode subdividi-l em prtes menores tis que lgum dels sej um nov proposição. Exemplo: A sentenç Cínti é irmã de Murício é um proposição simples, pois não é possível identificr como prte del qulquer outr proposição diferente. Se tentrmos seprá-l em dus ou mis prtes menores nenhum dels será um proposição nov. Proposição Compost Um proposição que contenh qulquer outr como su prte componente é dit proposição compost ou proposição moleculr. Isso quer dizer que um proposição é compost qundo se pode extrir como prte del, um nov proposição. Conectivos Lógicos Existem lguns termos e expressões que estão frequentemente presentes ns proposições composts, tis como não, e, ou, se... então e se e somente se os quis denominmos conectivos lógicos. Os conectivos lógicos gem sobre s proposições que estão ligdos de modo crir novs proposições. Exemplo: A sentenç Se x não é mior que y, então x é igul y ou x é menor que y é um proposição compost n qul se pode observr lguns conectivos lógicos ( não, se... então e ou ) que estão gindo sobre s proposições simples x é mior que y, x é igul y e x é menor que y. Um propriedde fundmentl ds proposições composts que usm conectivos lógicos é que o seu vlor lógico (verddeiro ou flso) fic completmente determindo pelo vlor lógico de cd proposição componente e pel form como ests sejm ligds pelos conectivos lógicos utilizdos, conforme estudremos mis dinte.

97 As proposições composts podem receber denominções especiis, conforme o conectivo lógico usdo pr ligr s proposições componentes. Conjunção: A e B Denominmos conjunção proposição compost formd por dus proposições quisquer que estejm ligds pelo conectivo e. A conjunção A e B pode ser representd simbolicmente como: A B Exemplo: Dds s proposições simples: A: Alberto fl espnhol. B: Alberto é universitário. Se s proposições A e B forem representds como conjuntos trvés de um digrm, conjunção A B corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. A B. Um conjunção é verddeir somente qundo s dus proposições que compõem forem verddeirs, Ou sej, conjunção A B é verddeir somente qundo A é verddeir e B é verddeir tmbém. Por isso dizemos que conjunção exige simultneidde de condições. N tbel-verdde, presentd seguir, podemos observr os resultdos d conjunção A e B pr cd um dos vlores que A e B podem ssumir. Disjunção: A ou B

98 Denominmos disjunção proposição compost formd por dus proposições quisquer que estejm ligds pelo conectivo ou. A disjunção A ou B pode ser representd simbolicmente como: A B Exemplo: Dds s proposições simples: A: Alberto fl espnhol. B: Alberto é universitário. A disjunção A ou B pode ser escrit como: A B: Alberto fl espnhol ou é universitário. Se s proposições A e B forem representds como conjuntos trvés de um digrm, disjunção A B corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B. Um disjunção é fls somente qundo s dus proposições que compõem forem flss. Ou sej, disjunção A ou B é fls somente qundo A é fls e B é fls tmbém. Ms se A for verddeir ou se B for verddeir ou mesmo se mbs, A e B, forem verddeirs, então disjunção será verddeir. Por isso dizemos que, o contrário d conjunção, disjunção não necessit d simultneidde de condições pr ser verddeir, bstndo que pelo menos um de sus proposiçoes componentes sej verddeir. N tbel-verdde, presentd seguir, podemos observr os resultdos d disjunção A ou B pr cd um dos vlores que A e B podem ssumir. Condicionl: Se A então B Denominmos condicionl proposição compost formd por dus proposições quisquer que estejm ligds pelo conectivo Se... então ou por um de sus forms equivlentes. A proposição condicionl Se A, então B pode ser representd simbolicmente como: A B

99 Exemplo: Dds s proposições simples: A: José é lgono. B: José é brsileiro. A condicionl Se A, então B pode ser escrit como: A B: Se José é lgono, então José é brsileiro. N proposição condicionl Se A, então B proposição A, que é nuncid pelo uso d conjunção se, é denomind condição ou ntecedente enqunto proposição B, pontd pelo dvérbio então é denomind conclusão ou conseqüente. As seguintes expressões podem ser empregds como equivlentes de Se A, então B : Se A, B. B, se A. Todo A é B. A implic B. A somente se B. A é suficiente pr B. B é necessário pr A. Se s proposições A e B forem representds como conjuntos trvés de um digrm, disjunção A B corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B. Um condicionl Se A então B é fls somente qundo condição A é verddeir e conclusão B é fls, sendo verddeir em todos os outros csos. Isto signific que num proposição condicionl, únic situção que não pode ocorrer é um condição verddeir implicr um conclusão fls. N tbel-verdde presentd seguir podemos observr os resultdos d proposição condicionl Se A então B pr cd um dos vlores que A e B podem ssumir. Bicondicionl: A se e somente se B Denominmos bicondicionl proposição compost formd por dus proposições quisquer que estejm ligds pelo conectivo se e somente se.

100 como: A proposição bicondicionl A se e somente se B pode ser representd simbolicmente A B Exemplo: Dds s proposições simples: A: Adlberto é meu tio. B: Adlberto é irmão de um de meus pis. A proposição bicondicionl A se e somente se B pode ser escrit como: A B: Adlberto é meu tio se e somente se Adlberto é irmão de um de meus pis. Como o próprio nome e símbolo sugerem, um proposição bicondicionl A se e somente se B equivle à proposição compost se A então B. Podem-se empregr tmbém como equivlentes de A se e somente se B s seguintes expressões: A se e só se B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocmente. Se A então B e reciprocmente. A somente se B e B somente se A. A é necessário e suficiente pr B. A é suficiente pr B e B é suficiente pr A. B é necessário pr A e A é necessário pr B. Se s proposições A e B forem representds como conjuntos trvés de um digrm, proposição bicondicionl A se e somente se B corresponderá à iguldde dos conjuntos A e B. A proposição bicondicionl A se e somente se B é verddeir somente qundo A e B têm o mesmo vlor lógico (mbs são verddeirs ou mbs são flss), sendo fls qundo A e B têm vlores lógicos contrários. N tbel-verdde, presentd seguir, podemos observr os resultdos d proposição bicondicionl A se e somente se B pr cd um dos vlores que A e B podem ssumir. Negção: Não A Dd um proposição qulquer A denominmos negção de A à proposição compost que se obtém prtir d proposição A crescid do conectivo lógico não ou de outro equivlente. A negção não A pode ser representd simbolicmente como:

101 ~A Podem-se empregr, tmbém, como equivlentes de não A s seguintes expressões: Não é verdde que A. É flso que A. Se proposição A for representd como conjunto trvés de um digrm, negção não A corresponderá o conjunto complementr de A. Um proposição A e su negção não A terão sempre vlores lógicos opostos. N tbel-verdde, presentd seguir, podemos observr os resultdos d negção não A pr cd um dos vlores que A pode ssumir. Tutologi Um proposição compost formd pels proposições A, B, C,... é um tutologi se el for sempre verddeir, independentemente dos vlores lógicos ds proposições A, B, C,... que compõem. Exemplo: A proposição Se (A e B) então (A ou B) é um tutologi, pois é sempre verddeir, independentemente dos vlores lógicos de A e de B, como se pode observr n tbel-verdde bixo: Contrdição Um proposição compost formd pels proposições A, B, C,... é um contrdição se el for sempre fls, independentemente dos vlores lógicos ds proposições A, B, C,... que compõem.

102 Exemplo: A proposição A se e somente se não A é um contrdição, pois é sempre fls, independentemente dos vlores lógicos de A e de não A, como se pode observr n tbel-verdde bixo: Negção de Proposições Composts Um problem de grnde importânci pr lógic é o d identificção de proposições equivlentes à negção de um proposição dd. Negr um proposição simples é um tref que não oferece grndes obstáculos. Entretnto, podem surgir lgums dificulddes qundo procurmos identificr negção de um proposição compost. Como vimos nteriormente, negção de um proposição deve Ter sempre vlor lógico oposto o d proposição dd. Deste modo, sempre que um proposição A for verddeir, su negção não A deve ser fls e sempre que A for fls, não A deve ser verddeir. Em outrs plvrs, negção de um proposição deve ser contrditóri com proposição dd. A tbel bixo mostr s equivlêncis mis comuns pr s negções de lgums proposições composts: Argumento Denomin-se rgumento relção que ssoci um conjunto de proposições P, P,... Pn, chmds premisss do rgumento, um proposição C qul chmmos de conclusão do rgumento. No lugr dos termos premiss e conclusão podem ser usdos os correspondentes hipótese e tese, respectivmente. Os rgumentos que têm somente dus premisss são denomindos silogismos. Assim, são exemplos de silogismos os seguintes rgumentos: I. P: Todos os rtists são pixondos. P: Todos os pixondos gost de flores. C: Todos os rtists gostm de flores. II. P: Todos os pixondos gost de flores. P: Mírim gost de flores. C: Mírim é um pixond.

103 Argumento Válido Dizemos que um rgumento é válido ou ind que ele é legítimo ou bem construído qundo su conclusão é um conseqüênci obrigtóri do seu conjunto de premisss. Posto de outr form: qundo um rgumento é válido, verdde ds premisss deve grntir verdde d conclusão do rgumento. Isto signific que jmis poderemos chegr um conclusão fls qundo s premisss forem verddeirs e o rgumento for válido. É importnte observr que o discutir vlidde de um rgumento é irrelevnte o vlor de verdde de cd um ds premisss. Em Lógic, o estudo dos rgumentos não lev em cont verdde ou flsidde ds proposições que compõem os rgumentos, ms tão-somente vlidde destes. Exemplo: O silogismo: Todos os prdis dorm jogr xdrez. Nenhum enxdrist gost de ópers. Portnto, nenhum prdl gost de ópers. está perfeitmente bem construído (vej o digrm bixo), sendo, portnto, um rgumento válido, muito embor verdde ds premisss sej questionável. Argumento Inválido Dizemos que um rgumento é inválido, tmbém denomindo ilegítimo, ml construído ou flcioso, qundo verdde ds premissss não é suficiente pr grntir verdde d conclusão. Exemplo: O silogismo: Todos os lunos do curso pssrm. Mri não é lun do curso. Portnto, Mri não pssou. é um rgumento inválido, flcioso, ml construído, pois s premisss não grntem (não obrigm) verdde d conclusão (vej o digrm bixo). Mri pode Ter pssdo mesmo sem ser lun do curso, pois primeir premiss não firmou que somente os lunos do curso hvim pssdo.

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