Assíntotas verticais. lim f lim lim. x x x. x 2 x 2. e e e e e. lim lim

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1 Assínos vericis ) lim f lim lim i i) é riz dos polinómios e Uilizndo regr de Ruffini pr os decompor, conclui-se que: 1 e que e e e e e lim f lim 0 e e 1 0 Logo, re de equção é ssíno vericl do gráfico de f. Como função f é conínu em \, o seu gráfico não em mis ssínos vericis. Assínos horizonis Qundo : lim f lim lim lim 0 Logo, re de equção y 0 é ssíno horizonl do gráfico de f, qundo. Porno, o gráfico de f não em qulquer ipo de ssínos. Qundo : e e e lim f lim lim lim e e e 1 1 e i) e 0 e e e e i) Se lim p p (limie noável), enão lim 0, com 1 e p. e Logo, re de equção y é ssíno horizonl do gráfico de f, qundo. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 1

2 e e 1.. Pr,, f. Assim: e e e e e 1 e e f e e e e e 1 e e Porno, g f e e e e 1 e e e 1 e 4. g e 4 e 1 e 4 1 e g 0 e 0 e 0 0 Eq. impossível Fzendo um qudro de vrição do sinl d função g, vem: n.d. 0 i) g g n.d. p.i. i) Observ que o sinl de g depende pens do sinl de porque e 0,. O gráfico d função g em concvidde vod pr bio em,, em concvidde vod pr cim em, e em pono de infleão em Dus hors e quren minuos pós o Pulo er omdo o medicmeno, corresponde minuos são dois erços de um hor). Assim: 8 (40 8 0,45 1, 10 10, P 9 A su concenrção de medicmeno n correne snguíne do Pulo, dus hors e quren minuos pós o er omdo, er de, proimdmene,,59 mg/l. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin

3 lim lim 10 lim lim 0 0,4 1.. F 0,4 10 0,4 i) 10 i) Se lim p p (limie noável), enão lim 0, com 1 e p. Nese cso 0,4 10 e 0, Com o pssr do empo su concenrção de medicmeno n correne snguíne do Frncisco ende pr ) Tem-se: 0,45 0,4 0,45 0,4 0,45 0,4 P F ,45 0,4 0,45 0, ,4 0 0,4 0,45 0, ,45 log 0 0,05 log 0 9,54 0,05 A concenrção de medicmeno ns correnes snguínes do Pulo e do Frncisco vol ser igul, pssds 9 hors e minuos, proimdmene, iso é, às 18 hors e minuos ( 0,54 60 ). b) 0,4 0,4 0,4 F 10 0,410 ln ,4 ln10 F 0,4 0, ,4 ln ,4 ln10 0 Eq. impossível 0 0, 4ln10 0 ln10 0 ln10 0, ln ln10 ln ln100 Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin

4 Fzendo um qudro de vrição do sinl d função F, vem: 0 i) F 15 ln F 0 má. i) Observ que o sinl de F depende pens do sinl de 0,4 ln10 porque 0,4 10 0,. 15 A função F em um máimo bsoluo em,57. A concenrção de medicmeno n correne snguíne ln100 do Frncisco foi máim às 1 hors e 15 minuos, proimdmene ( 0, ). c) Preende-se deerminr os vlores de, com 0, que verificm inequção P F 0,. Uilizndo o edior de funções d clculdor, define-se y P F 0,15 0,. Logo, P F 0, 0, b,15 b 6,457 ( 0,15 )., com 0,68 e 1 e y 0, n jnel de visulizção y y P F Assim, diferenç de concenrção n correne snguíne do Pulo e do Frncisco é inferior 0, mg/l, durne 15 b 9,5 hors. Porno, o efeio é semelhne. O b Págin Tem-se que 1,8 milhões de hbines corresponde 15 % d populção ( 1, ). Assim: 1 P e e e e e e 0, Fzendo y e, vem 85y 85y 7 0 y 0,0906 y 0,9094 FR.. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 4

5 e e ye 0,0906 0,9094 ln 0,0906 ln 0,9094 ln 0,0906 ln 0,9094 1,406 0,576 Pssdos, proimdmene, quro dis ( 0, ). P e e e e 0, Tem-se, Fzendo y e, vem 85y 85y 17 0 Cálculo Auilir: Recorrendo à fórmul resolvene, vem 85y 85y 17 0 y 0,764 y 0,76 Como função s soluções d inequção f y 85y 85y 17 é qudráic e o seu gráfico em concvidde vold pr bio, enão 85y 85y17 0 são os vlores de y is que 0,764;0,76 y. 0,764 0,76 y f y 85y 85y 17 Assim, 85y 85y 17 0 y 0,764 y 0,76 e 0,764 e 0,76 ye ln 0,764 ln 0,76 e e e e ln 0,764 ln 0,76 ln 0,764 ln 0,76 7,149 1,797 Porno, P 5 1,797;7,149. Logo, s medids complemenres esiverm em vigor durne 7,149 1,797 5,466 semns, iso é, durne, proimdmene, cinco semns e dois dis ( 0,466 7 ) Recorrendo o esudo do sinl de P em-se: P 85 e 0,6e 15, e 0,6e 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 e 0,6 P 0 15,e 0,6e 0 0,6e 15,e e 0,6 15, e Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 5

6 ln e ln Fzendo um qudro de vrição do sinl d função P, vem: 0 ln P 0 P mín. má. ln A função P em máimo bsoluo em,8508, ou sej, o pior momeno do suro de gripe ocorreu pssds, proimdmene, rês semns e seis dis ( 0, ). Ness lur, percengem de populção infecd foi de 9,5%: P ln 8 85 e ln ln 0,6 1 ln ln ln ln e 8 85e e 8 85 e e , Tem-se: f 0,5 0,5 0,5 0,5 16e 16e 16e 16 e 0,5 0,5 0,5 6 4e 1 6 4e 4 4e 4 4 0, e 1 1 e 0,5 0,5 4e e 0,5, f e e e e 1 8e 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 15 1,5 4 1, ,5 5 ln ,5 ln, ,5 0,5 e O número de livros vendidos foi de o fim de, proimdmene, rês meses quro dis ( 0, ). Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 6

7 15.. A velocidde de crescimeno ds vends do livro começ diminuir qundo celerção é nul, iso é, qundo 0 f. Assim: 0,5 e 0,5 e 0,5 e 0,5 18e 0,5 18e ,5 16 f 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 160,5 e 18e 16e 18e 80,5 e f 0,5 1 8e e e 8e 1 8e 18e 1 8e e 8e 1 8e 1 8e 16e 4 4 0,5 0, ,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 8e 18e 0,5 1 8e 0,5 0,5 Assim: 8e 18e f e e e 0,5 0,5 0,5 0,5 0, ,5 1 8e Condição universl 1 1 8e 0 18e 0 8e 1 e 0,5 ln ln 8 Eq. impossível 8 8 0,5 0,5 0,5 0,5 1 ln8 ln8 ln 8 ln 64 4,159 A velocidde de crescimeno ds vends do livro começ diminuir pssdos, proimdmene, quro meses e cinco dis ( 0, ) Pssdos meses, o vlor ol recebido pelo Mnuel é ddo por f h deerminr o vlor de de modo que f h 5. Uilizndo o edior de funções d clculdor, define-se y1 f h 0,400,8. e porno, preende-se e y 5 n jnel de visulizção Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 7

8 Logo, f h 5, com 8,6 y 5 Pr o Mnuel receber euros, erão de pssr, proimdmene, dois nos e cinco meses y f h 8,6 meses são 4 meses (dois nos), mis 4,6 meses, e 4,6 meses são proimdmene cinco meses. O ) Tem-se que lim g lim f. Assim: lim lim e e e g 0,5 0, lim lim 4 1 8e 1 8e 1 8e f 0,5 0,5 Porno, 4 1. b) Tem-se: 4 1 f g 0,5 0,5 e e e e 18e 10e 0,5 0,5 0,5 0, ,5 0,5 0,5 0,5 96e 10e e 10e 8 0 Fzendo y e 0,5, vem: 0,5 0,5 96y 10y 8 0 y 0,0707 y 1,179 e 0,0707 e 1,179 FR.. 0,5 ye 0,5 ln 0,0707 0,5 ln 1,179 ln 0,0707 ln 1,179 10,597 0,6597 0,5 0,5 O número de eemplres vendidos é igul, pssdos, proimdmene, 10,597 meses, ou sej, em dezembro de Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 8

9 Págin Como função A é conínu em 0,, enão mbém o é em 5, logo lim A lim A A 5 Assim: lim A lim 9, 45 e 9, 45 5 e 47, 5 e 47, 5 e 5 5 lim lim , 5 0, 0, 15 1, , ,678 5,678 A e e e e , 15 A 5 9,45 5e 47,5e Porno, e e 47,5e 47,5 e 47,4 e 47,5 5, , , , e 40,1447 ln 47,5 4 0,1447 ln 47,5 0,1447 ln 47, ) Às 14 hors e 0 minuos, inhm pssdo cinco hors e vine minuos ds 9 hors, o que corresponde (0 minuos é um erço de um hor). Assim: , , ,8776 A e e e 6,575 A liude do blão às 14 hors e 0 minuos foi de proimdmene 6,575 km, que corresponde proimdmene 658 meros. b) Tem-se que, pr 0,5, 0,8 0,8 0,8 A 9,45e 9,45 e e 9,45 6,. Assim: Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 9

10 0,8 0,8 9,45 A 0 e 9, 45 6, 0 e 0 9, 45 6, 0 1,5 6, Tem-se que, pr 5,, 1 Eq. impossível 1,678. Assim: A e 1,678 1,678 A 0 1 e 0 e Eq. impossível Fzendo um qudro de vrição do sinl d função A, vem: 0 1,5 5 6 i) A 0 0 A mín. má. mín. ii) má. i) Observ que, pr 0,5, o sinl de A depende pens do sinl de 9,45 6, porque 0,8 e 0, e pr 5,, o sinl de A depende pens do sinl de 1 porque A função A é decrescene em 1,5;5 e em 1,678 e 0,. 6,, é crescene em 0 e em 5 e em máimo relivo em 1,5 e em 6. 0;1,5 e em 5,6, em mínimo relivo em 1,5 0,8 Como A1,5 9, 451,5e 11,61 e foi de, proimdmene, 11,61 km ,678, liude máim ingid pelo blão A 6 e 10,0 ii) Pr efeios do problem esmos ssumir que função é conínu em odo o seu domínio se 1 e porno ssumimos que função A em um mínimo relivo em 5. Todvi, A só é conínu pr um vlor muio próimo de 1, pr Em rigor, pr 1 e que A, função não é conínu. Assim pr verificrmos que 5 0,1447 ln 47, 5 1, A é mínimo relivo de A, erímos de mosrr que A 5 0, como fizemos no eercício Nese cso chegrímos à conclusão que A 5 não é mínimo de A: 5 0 y Tem-se que A5 0(finio) e que A 5, porno 5 A não é mínimo de A O 5 Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 10

11 1,678 lim 1,678 lim lim A lim e e e e 0. c) Com o pssr do empo liude do blão ende pr 0, iso é, o blão vi volr o chão Recorrendo o esudo do sinl de C em-se: 4 5,5 0,5 5 1,5 0,5 1,5 0, C 0,5 0,5 0,5 0,75, ,5 0,75, ,5 0,75, Condição universl em 0, C 0, 75 0, 75 40,5, 5 0,5 Como 0,6, em-se. Fzendo um qudro de vrição do sinl d função C, vem: 0 6 i) C 0 C mín. má. mín. i) Observ que, pr o sinl de C depende pens do sinl de 0,5 0,75,5 porque 51 0, 0,6. A função C em máimo bsoluo em. Porno, o cuso de produção de cd colr foi máimo no di 1 de junho de 01. O vlor desse cuso é ddo C 0,5ln 5 1 0,5 1 0,5ln 4 0,5,01 euros. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 11

12 17.. O lucro, em euros, que Jon obeve durne os primeiros seis meses de cividde é ddo por:,5 L C V Assim, preende-se deerminr os vlores de pr os quis L 50. Uilizndo o edior de funções d clculdor, define-se 0,60,100. Logo, L 50, b, com 0,46 e b 4,89 y1 L e y 50 n jnel de visulizção y Porno, o lucro d Jon foi inferior 50 euros durne 4,89 0,46 4,4, ou sej, durne, proimdmene, quro meses e reze dis ( 0,40 1 ). 5 y L O b Tem-se que 7 B B lim B7. Assim, como: ,6 0 5,76 7, 0,6 0,6 0,6 0,6 B e e e e 0 5,76 7, 5,76 4,8 0 0,6 0,6 e e vem, 7 B B 0,67 0,48 lim B7 e 5,76 7 4,8 7 0 e 88, See hors pós s oio hors, iso é, às 15 hors, o número de bcéris esv diminuir à de, proimdmene, 14 bcéris por hor Qundo o nibióico foi inroduzido, populção de bcéris começou imedimene diminuir, porno, nesse insne função B inge um máimo. Recorrendo o esudo do sinl de C em-se: 0,6 0,6 0 5,76 4, ,76 4,8 0 B e e Eq. impossível Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 1

13 4,8 4,8 4 5, , 76 6 Como 0, em-se 5. Fzendo um qudro de vrição do sinl d função B, vem: 0 5 i) B 0 B mín. má. 0,6 i) Observ que, pr o sinl de B depende pens do sinl de 5,76 4,8 0 porque e 0,. A função B em máimo bsoluo em 5. Porno, o nibióico foi inroduzido pssds cinco hors, ou sej, às 1 hors e 0e 0,6 e lim B lim 16 0,6 0 e lim 16 0 e 0,6 e lim 16e 0e lim lim 16e lim 0e lim 16e 0 0e 0 0 0,6 0,6 e e 0,6 0 i) e e,6 i) Se lim p p 0,6 0,6 (limie noável), enão lim 0, com 1 e p. Nese cso e e e 1. Com o pssr do empo o número de bcéris ende pr 0. Pode dizer-se que o nibióico é eficz m ln 7 40 ln , Qundo foi lnçdo, o preço de vend do MP4 er de 60,96 euros. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 1

14 19.. No inervlo 0,9 função m é conínu pois é composição, o quociene, o produo e diferenç enre funções conínus: um é compos de um função logrímic com um função fim e s ours são funções fim. No inervlo 9, função m é conínu pois é o produo e som enre funções conínus: um é um função eponencil e s ours são funções consnes. Em 9 : 9 9 ln 7 4 ln ln1 lim m lim lim m lim ln 7 49 m A função m é conínu e 9, pois lim m lim m m 9. Logo, função m é conínu em 9 9 porno mbém é conínu em 7,10 0,. 0, e ln 7 47 ln9 m7 4 4, m ,5, Assim, como m é conínu em 7,10 e como m7, m10, pelo eorem de Bolzno: mc c 7,10 :, Eise pelo menos um insne enre séim e décim semn em que o preço de vend do MP4 foi de 0 euros. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 14

15 19... v. m. 0,4 ln 7 44 ln7 4 4 ln 1 ln7 m4 m ln 1 ln ln 1 ln7 0, Ns quro primeirs semns, o preço de vend do MP4 diminuiu em médi, proimdmene, de 4,74 euros por semn Recorrendo o esudo do sinl de m : Tem-se que, pr 0,9 : m ln ln ln Assim, 16 16ln 7 4 m ln Condição uinversl em 0,9 1 7 e e ln Tem-se que, pr 9,, m 51 1 ln 51 ln. Logo, m 0, 9, e 4. Fzendo um qudro de vrição do sinl d função m, vem: 0 7 e 4 i) m n.d. 0 9 m má. mín. má. i) Observ que, pr 0,9, o sinl de m depende pens do sinl de 16 16ln 7 4 porque 7 4 0,. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 15

16 A função m em mínimo relivo em 7 e, que é: 4 7 e ln e 4 m 4 ln 7 7 e e e 4 A função m em máimo relivo em 0, que é m 0,6096, e em 9 ln e 4 4 1,585 e e m 9., que é Porno, o preço mínimo de vend ingido pelo MP4 foi de, proimdmene, 15,85 euros, e o preço máimo de vend ingido pelo MP4 foi de 00 euros (vmos ver n líne seguine que lim m ) m lim lim Com o pssr do empo o preço de vend do MP4 ende pr os 00 euros. Propos de Resolução dos Eercícios do Subcpíulo Cálculo Diferencil II Preprr o Eme Iens de Respos Aber Págin 16