ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

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1 SCOLA POLITÉCNICA DA UNIVSIDAD D SÃO PAULO Deprmeno de ngenhri Mecânic PM-50MCÂNICA DOS SÓLIDOS II Profs.: Celso P. Pesce e. mos Jr. Prov /0/0 Durção: 00 minuos Quesão (5,0 ponos): A figur io ilusr um chp de pequen espessur( / << ) sumeid pens esforços em seu plno que são esicmene equivlenes momenos fleores de mgniude M plicdos em sus seções erems. Como ese é um eemplo de esdo plno de ensões em que há um disriuição siméric de ensões em relção o eio z (rnsversl o plno d figur), podemos considerr seguine função de ensão pr solução do prolem:. ln +.. ln +. M M Pede-se: ) Indique qul requisio memáico deve ser sisfeio pr que um função, poss ser usd como um função de ensão. Qul o significdo físico que esá ssocido ese requisio? ) Mosre que função cim é, de fo, um função de ensão e deermine s disriuições de ensões plns ssocids el; c) Considerndo s condições de conorno nos dois ordos semi-circulres d chp (iso é, em, e em ) e mém ns seções erems (s considerr um dels, por eemplo, seção em que 0), deermine s equções necessáris pr deerminção ds consnes A, B e C d função indicd (não é necessário resolver o sisem!). Formulário: + + +

2 SCOLA POLITÉCNICA DA UNIVSIDAD D SÃO PAULO Deprmeno de ngenhri Mecânic PM-50MCÂNICA DOS SÓLIDOS II Profs.: Celso P. Pesce e. mos Jr. Prov /0/0 Durção: 00 minuos Quesão (5,0 ponos): I. nuncie s hipóeses fundmenis do prolem de orção uniforme de Sin Venn, considerndo (não é necessário equcionmeno ilusrções podem ser incluíds): ) A geomeri do elemeno esruurl; ) O meril consiuine do elemeno; c) O ipo de crregmeno e s condições de conorno; d) A cinemáic, no que nge deslocmenos e deformções. II. Considere dus rrs prismáics, feis do mesmo meril e que êm comprimenos e pesos idênicos. Ams esão sujeis orção pur e uniforme, so orque de inensidde T. Um ds rrs em seção elípic de semi-eios e, com rzão de eselez α π. A our rr em seção rengulr com lrgur c e lur. Admie-se válid eori de orção de Sin Venn. Pede-se (os su-índices e designm seções de forms elípic e rengulr, respecivmene): ) Deduzir, em função d rzão de speco d seção elípic, α π, um epressão que relcione os prâmeros de rigidez à orção ds dus secções, rengulr e elípic ( / ). ) De form nálog, deduzir epressão ( β / β ) que relcione os respecivos ângulos de giro por unidde de comprimeno ocorrenes ns rrs; c) Deduzir epressão que relcione s inensiddes ds máims ensões de cislhmeno ( τ m / τ m) ocorrenes ns dus seções, indicndo esquemicmene s posições onde ocorrem; d) Preservndo o meril e o comprimeno, pergun-se qul seri lrgur d de um chp de espessur (/d<<) que, clndrd em form circulr, porém er, presensse o mesmo vlor de ensão máim de cislhmeno d seção rengulr. Compre os pesos correspondenes. c Formulário: Momenos de inérci resisenes à orção: Secção elípic: I π ; Secção rengulr: 6 I c,6 +. c c Tensões de cislhmeno máims: T T (c +,8 ) Secção elípic: τ m ; Secção rengulr: τ m. π

3 PM-50 Mecânic dos Sólidos II Prov /0/0 Grio Solução: Quesão GABAITO ) Pr que um função, poss ser uilizd como um função de ensão n solução de prolems idimensionis (PT ou PD) em coordends polres é preciso que el sej i-hrmônic, ou sej, que end à condição:, 0, 0 O significdo físico que há por rás des condição é que, des form, grne-se compiilidde de deformções no plno, um vez que é possível mosrr que únic equção de compiilidde de deformções que res (no plno) pode ser memicmene epress pel relção cim, um vez definids s ensões plns, e conforme io: + ) Vmos deerminr inicilmene s ensões e, que, somds, já fornecem o lplcino d função de ensão. Temos: Assim: Des form:, finlmene, mosr-se que: +. ln +.. ln +. + ln , + ln + +, + + ln + +, Ou sej, função propos é i-hrmônic, e pode ser usd como um função de ensão n solução de prolems idimensionis (PT ou PD) em coordends polres. es pens deerminr disriuição ds ensões de cislhmeno. Porém, como função presend independe de, resul: 0 (,0 po)

4 PM-50 Mecânic dos Sólidos II Prov /0/0 Grio c) As equções necessáris pr deerminção ds consnes A, B e C são oids simplesmene oservndo s condições de conorno, conforme eplicdo no enuncido. Assim: m, devemos er: + ln m, devemos er: + ln + + 0, em 0, devemos er: Levndo :, pós inegrção : Ou ind: /.. / () + + ln () + (,0 po) ln () + ln + ( ) A solução do sisem liner formdo pels rês equções cim permie deerminção dire ds incógnis A, B e C. se psso não será considerdo n solução.

5 PM-50 Mecânic dos Sólidos II Prov /0/0 Grio Solução: Quesão I. nuncie s hipóeses fundmenis do prolem de orção uniforme de Sin Venn, considerndo (não é necessário equcionmeno ilusrções podem ser incluíds), quno: ) A geomeri do elemeno esruurl: Brr prismáic (re e de seção rnsversl consne). (0,) ) O meril consiuine do elemeno: Meril isóropo, homogêneo e de compormeno mecânico liner-elásico. (0,) c) O ipo de crregmeno e s condições de conorno: Leris descrregds (0,); orção pur e uniforme (momeno de orção não vri o longo do comprimeno d rr) plicd rvés de cmpo de ensões de cislhmeno ns eremiddes nerior e poserior d rr. (0,) d) A cinemáic, no que nge deslocmenos e deformções: mpenmeno livre (usênci de esforços vinculres que impeçm o empenmeno ds seções rnsversis). (0,) II. ) Deduzir, em função d rzão de speco d seção elípic, α π, um epressão que relcione os prâmeros de rigidez à orção ds dus secções, rengulr e elípic ( / ). Uilizndo s fórmuls de momenos de inérci orção pr s seções elípic e rengulr presends no formulário (e lemrndo que o meril ds dus rrs é o mesmo),eremos: 6,6 c c + π c. q.() Como s dus rrs são de mesmo meril (e possuem, porno, mesm mss específic), êm o mesmo comprimeno e o mesmo peso, conclui-se que s áres ds seções rnsversis devem ser iguis, levndo : Susiuindo q.() em q.(), virá: π (c).() π c. (0,5) q.() 6,6 π + π. (0,5) q.() Finlmene, inroduzindo rzão de eselez d elipse, α, eremos: Ou ind: 6,6 πα πα 6,78 0,9 + α α α + α. q.(). (0,5) q.(5) ) De form nálog, deduzir epressão ( β / β ) que relcione os respecivos ângulos de giro por unidde de comprimeno ocorrenes ns rrs. 5

6 PM-50 Mecânic dos Sólidos II Prov /0/0 Grio Como o momeno de orção plicdo é o mesmo, rzão enre ângulos de giro erá o vlor inverso d rzão enre os respecivos produos de rigidez à orção, iso é: β β 6,78 0,9 + α α α. (0,5) q.(6) c) Deduzir epressão que relcione s inensiddes ds máims ensões de cislhmeno ( τ m / τ m ) ocorrenes ns dus seções, indicndo esquemicmene s posições onde ocorrem. Ds equções presends no formulário pr s máims ensões de cislhmeno emos: τ m T (c +,8 ) π. q.(7) τ T m Novmene, susiuindo q.() em q.(6), e simplificndo virá: τ m (c +,8 ), 8 + τ π πα m (0,5) q.(8) Os ponos onde ocorrem s máims ensões de cislhmeno em cd um ds seções esão indicdos ns figurs io. c Fig.. Ponos de máim ensão de cislhmeno ns seções elípic e rengulr. (0,5) d) Preservndo o meril e o comprimeno, pergun-se qul seri lrgur d de um chp de espessur (/d<<) que, clndrd em form circulr, porém er, presensse o mesmo vlor de ensão máim de cislhmeno d seção rengulr. Compre os pesos correspondenes. D eori d orção uniforme de perfis eros de pequen espessur semos que ensão de cislhmeno máim pode ser proimd por T τ. q. (9) d ( m ) C Como pr seção rengulr ensão máim é dd por: T(c +,8 ) τ. q. (0) ( m ) Igulndo s epressões cim segue que: d (0,5) q. () c +,8 Preservndo meril e comprimeno, relção enre os pesos correspondenes será igul à relção enre s áres ds seções, ou sej: P P C d c c c c +,8 c + 0,6. (0,5) q. () Como c ~ O(), enão PC P ~ O( c ) >>. Ou sej, o peso do perfil de seção er de pequen espessur seri muio mior do que o peso d rr de secção rengulr. 6