UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSIUO DE ECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉRICA PROJEO DE UM CONROLADOR AMORECEDOR ROBUSO APLICADO A UM SISEMA DE POÊNCIA SUJEIO A INCEREZAS PARAMÉRICAS LEILIANE BORGES CUNHA DM: 8/6 UFPA / IEC / PPGEE Cmpu Uvetáo o Gumá Belém-Pá-Bl 6

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3 II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSIUO DE ECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉRICA LEILIANE BORGES CUNHA PROJEO DE UM CONROLADOR AMORECEDOR ROBUSO APLICADO A UM SISEMA DE POÊNCIA SUJEIO A INCEREZAS PARAMÉRICAS DM: 8/6 UFPA / IEC / PPGEE Cmpu Uvetáo o Gumá Belém-Pá-Bl 6

4 III UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSIUO DE ECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉRICA LEILIANE BORGES CUNHA PROJEO DE UM CONROLADOR AMORECEDOR ROBUSO APLICADO A UM SISEMA DE POÊNCIA SUJEIO A INCEREZAS PARAMÉRICAS Detção umet à Bc exmo o Pogm e Pó- Gução em Egeh Elétc UFPA p oteção o gu e Mete em Egeh Elétc áe e tem e eeg UFPA / IEC / PPGEE Cmpu Uvetáo o Gumá Belém-Pá-Bl 6

5 IV Do Iteco e Ctlogção--Pulcção CIP Stem e Blotec UFPA Cuh, Lele Boge, 986- Pojeto e um cotolo moteceo outo plco um tem e potêc ujeto cetez pmétc / Lele Boge Cuh - 6 Oeto: Wlte B Juo Detção Meto - Uvee Feel o Pá, Ittuto e ecolog, Pogm e Pó-Gução em Egeh Elétc, Belém, 6 Cotoloe elétco Cotole outo Stem e eeg elétc - tete 4 Pogmção le I ítulo CDD e 67

6 V

7 VI Àquele que cotuím mh v, meu cáte e meu futuo: Meu p!

8 VII AGRADECIMENOS À Deu, que me eu v tvé peo que empe etvem o meu lo me poo e empe lutm p gt que eu chege té qu, meu p Alfeo e M Ao meu p, po me teem o eucção, vloe e po me teem eo uc et, e uc exou e me m, em e cof em mm Ao meu p, meu mo eteo e cocol À você que, mut veze, eucm o eu oho p que eu puee elz o meu, ptlho leg ete mometo Ao meu mão, que empe me cetvm e eteem mão o mometo m fíce Ao meu oeto e pofeo Wlte B Juo, pelo eo e oetção que ece ute too o cuo, que e popô me oet, coloo gfctvmete p elzção ete tlho O pezo fo goo p mh v pofol e peol Muto og!!! Ageço epeclmete o Pofeo Joé Auguto Lm Beo, pel pole, coloção e emeto que ece ee meu geo o cuo Ao meu mgo o lotóo, Re Lu, Cleoo, Mcu Co, Floo, Aeo Slv, Eck, pelo o mometo e toc e expeêc ute fe e tete e mulção, pel pole em t mh uv quo pece A too, que fom mpotte p m e coqut: meu mgo e fmle Muto og!!!

9 VIII SUMÁRIO LISA DE FIGURAS XI LISA DE ABELAS XIII RESUMO XIV ABSRAC XV CAPÍULO 7 INRODUÇÃO 7 Motvção pequ 9 Revão logáfc 9 Ojetvo pequ Ojetvo ge Ojetvo epecífco 4 Etutu etção CAPÍULO 4 ESABILIDADE EM SISEMAS ELÉRICOS DE POÊNCIA 4 Itoução 4 O polem etle em tem elétco 4 Moelgem o tem elétco e potêc 7 Máqu íco 7 Regulo Automátco e eão RA Etlzo e Stem e Potêc PSS 4 Moelo le e Heffo-Phllp 4 4 Cocluão 7 CAPÍULO 9 PROBLEMAS DE OIMIZAÇÃO CONVEXA 9 Itoução 9 Defção ác 4 Cojuto covexo e Hull covexo 4 Poltopo, poto extemo e vétce 4 Poltopo e polômo 4 Polem e otmzção 4

10 IX 4 Polem e otmzção covex fom pão 4 5 Polem e Pogmção Le PL 44 6 eoem e Cheyhev 45 7 Cocluão 46 CAPÍULO 4 48 CONROLE ROBUSO: 48 EORIA E APLICAÇÃO NO PROJEO DE CONROLADORES ROBUSOS 48 4 Itoução 48 4 Fumeto teo e cotole outo 49 4 Etle Rout ER 5 4 Etle D-out 5 4 Deempeho Routo DR 5 44 ete e etle out: eoem e Khtoov 54 4 Cotole outo v locção e polo 56 4 Alocção out e polo Cocluão 67 CAPÍULO 5 68 PROJEO DE ESABILIZADORES DE SISEMAS DE POÊNCIA 68 5 Itoução 68 5 Pojeto o ESP covecol 68 5 Do o pojeto 68 5 Alocção e polo v Equção Doft 69 5 Pojeto o ESP outo 7 54 Cocluão 76 CAPÍULO 6 77 RESULADOS E SIMULAÇÕES 77 6 Itoução 77 6 Aále etle o tem tvé o eoem e Khtoov 78 6 Avlção e eempeho o tem máqu ft 78 6 Sem petução 79 6 Com petução 86 6 Vção o poto e opeção 9 64 Cocluão 95

11 X CAPÍULO 7 96 CONCLUSÃO 96 REFERÊNCIAS 97

12 XI LISA DE FIGURAS Fgu Stem etável Fgu Stem tável peóco Fgu Stem tável ocltóo Fgu 4 Dgm e loco p equçõe wg o oto máqu íco 6 Fgu 5 Fgu 5 Dgm e loco o RA 7 Fgu 6 Etutu ác o PSS 8 Fgu 7 Dgm equemátco o tem e potêc cluo ção o ESP Fgu 8 Equemátc o tem e potêc com elmetção âmc e í Fgu 9 Moelo e Heffo e Phllp p um Stem Máqu B Ift Fgu Exemplo e cojuto covexo e ão covexo 7 Fgu Cojuto ão covexo e eu cojuto Hull covexo 8 Fgu Exemplo luttvo e um poltopo 9 Fgu 4 Ceto e o e Cheyhev ol B 4 Fgu 4 Regão D p locção out o polo 5 Fgu 4 Stem SISO com cotolo e pojeto 56 Fgu 6 Deempeho âmco o l e í o Stem e l e cotole p um vção e % potêc mecâc máqu 8 Fgu 6 Deempeho âmco o l e í o Stem e l e cotole p um vção e 5% potêc mecâc máqu 8 Fgu 6 Fução cuto o l e í o tem e o l e cotole 85 Fgu 64 Deempeho âmco o l e í o Stem e l e cotole p um petução e 5 pu e mpltue 87 Fgu 65 Deempeho âmco o l e í o Stem e l e cotole p um petução e pu e mpltue 89 Fgu 66 Fução cuto o l e í o tem e o l e cotole 9

13 XII Fgu 67 Deempeho âmco o l e í o Stem e l e cotole p um petução e pu e mpltue Fgu 68 Fução cuto o l e í o tem e o l e cotole 9 94

14 4 XIII LISA DE ABELAS el 5 Poto e opeção oml o tem exteo el 5 Do om lh e tmão e o tfomo el 5 Do om o RA el 54 Do om o geo el 55 Epecfcçõe e eempeho eejo oml 69 el 56 Regão e eempeho eej el 6 Ríze o polômo e Khtoov 7 78

15 5 XIV RESUMO Ete tlho peet o pojeto e um Etlzo p o motecmeto oclçõe eletomecâc em tem elétco e potêc uo técc e cotole outo e em cetez pmétc f Ee tem ão epeeto po moelo que peetm cetez em eu pâmeto, efeete à vçõe coçõe e opeção A metoolog e pojeto é etutu e fom foece um etlzo que foeç o máxmo motecmeto o tem, epecfco po um poltopo e polômo ccteítco P o, u-e técc e locção out e polo e o teoem e Cheyhev, tego à olução e técc e pogmção le, p o pojeto o cotolo Et técc pemte copo etçõe o eempeho o tem, coepoeo à cetez peete o tem, exo o pojeto o cotolo m outo Compçõe o cotolo outo com um cotolo tcol ão fet fm e vl o eulto oto e vl vtge o uo e cotoloe outo O eulto e compçõe ão elzo em mete e mulção uo o oftwe MALAB/SIMULINK, que pemte moel e mul too o tpo e tem âmco PALAVRAS CHAVES: Etle out, Deempeho outo, ESP, Pogmção le e eoem e Cheyhev

16 6 XV ABSRAC h wok peet the eg of Stlze fo the mpg of the electomechcl ocllto electc powe ytem ug out cotol techcl e o ffe pmetc ucette hee ytem e epeete y moel tht hve ucette you pmete, eltg to chge opetg coto he poject methoology tuctue to pove tlze tht pove the mxmum mpg to the ytem, pecfe y polytope of chctetc polyoml Fo th, t ue pole out llocto techque Cheyhev' theoem, tegte to the oluto of le pogmmg techque, fo the cotolle eg h techque llow copotg etcto o ytem pefomce, coepog to the ucette peet the ytem, mkg the cotolle eg moe out Compo of the out cotolle wth clc cotolle e me oe to evlute the eult vlte the vtge of the ue of cotolle ege y the techque popol he eult compo e pefome multo evomet ug MALAB / SIMULINK oftwe, whch llow to moel multe ll k of ymc ytem KEYWORDS: Rout Stlty, Rout Pefomce, PSS, Le Pogmmg Cheyhev' heoem

17 7 CAPÍULO INRODUÇÃO Defe-e um tem elétco e potêc SEP como um cojuto e equpmeto que opem e fom cooe p o foecmeto cotíuo e eeg elétc, oeeceo ceto põe e qule e cofle, o qu exgem que o SEP tlhe e fom egu p um gm v e poto e opeçõe, lém e e cpz e upot eveto eejáve, como petução e cg, cuto ccuto, ete outo Ee feômeo mpõem etçõe coçõe opeco o tem elétco, exo-o m vuleável à oclçõe e x fequêc, com coequete eução e u mgem e etle, o que lev ecee o uo e veo potvo e cotole e poteção tuo em veo poto o tem Com telgção o tem elétco e potêc, opeção o memo toou-e m complex e o fez ug peocupção com opeção equ o memo e o fucometo coeto o potvo e cotole e poteção, o que motvou pequ em váo mo egeh elétc, como o etuo etle eletomecâc o tem elétco e potêc Com e o, tem-e eevolvo ve técc e pojeto e cotole p tem elétco e potêc, e um pcp peocupçõe p to tem o oclçõe e x fequêc, que lmtm tfeêc e potêc ete tem, lém e cu pe e como o geoe, levo-o à tle De fom, ão pojeto Etlzoe e Stem e Potêc ESP, cujo ojetvo é melho etle ocltó o tem elétco, que lém e etee o lmte e tfeêc e potêc em coçõe ttó, popocom um opeção etável e egu o memo, quo umeto à peque petuçõe OLIVEIRA, 5 Ete cotoloe evem tfze lgu equto e cotole, como etle o tem, máxmo motecmeto eejo p o moo eletomecâco omte, tempo e epot tftó e outez te cetez peete opeção o tem elétco e à petuçõe e cg BHAACHARYYA et l, 995 Am, pe tecolog extete em pojeto e ESP, ão otáve o polem elcoo à etle ocltó e x fequêc em tem elétco, e um cu é opeâc ou mu jute ete cotoloe, que ão pojeto po

18 8 técc clác, que coem moelo lezo em too e um poto e opeção em coe cetez peete opeção o tem, lmto etle o tem e o eempeho outo o cotoloe ROGERS, Ee polem fez ug ecee e e ot técc e cotole que pemtem copo quetão cetez peete o tem o pojeto e cotoloe, e um fom e fze o é tvé o uo e técc e cotole outo com êfe em cetez pmétc, que pemtem pojet cotoloe outo cpze e mte etle e eempeho e tem fete à poíve vçõe em u coçõe opeco e à petuçõe e cg Com o, ete tlho popõe plcção e um técc e cotole outo teg à fomulção e pogmção le p o pojeto e um etlzo e tem e potêc, cujo ojetvo é o máxmo motecmeto oclçõe eletomecâc e um Stem Máqu B Ift, com cetez pmétc f A pt ete tlho, lgu tgo fom pulco, t como: Pojeto e cotolo outo v pogmção le- DINCON-5 Autoe: Lele Boge Cuh, Aeo e Fç Slv, Joé Auguto e Lm Beo, Atôo Slv Slve e Wlte B Juo Sythe oute ly of mpg cotol ytem uject to pmetc ucette- UNCERAINIES 6 Autoe: Lele Boge Cuh; Eck Melo Roch; Aeo e Fç Slv; Wlte B Juo e Joé Auguto Lm Beo Pojeto e vlção expemetl e um cotolo outo tevl otmzo p egulção e veloce e um tem e geção em ecl euz - SBAI 5 Autoe: Aeo Slv, Cleyo Cot, Atôo Slve, Lele Cuh e Wlte B Juo Itevl type- fuzzy clfe fo mmzto of the fult etfcto eo- UNCERAINIES 6 Autoe: Eck Melo Roch, Lele Boge Cuh, Áe Cé Sto Beze, Wlte B J, Clo ve Cot J e Joé Auguto Lm Beo

19 9 Motvção pequ O pojeto e etlzoe e tem e potêc po técc coveco coem moelo lezo em too e um poto e opeção, fzeo com que o eempeho ee etlzoe epe gfctemete o poto e opeção o tem elétco, que vm cottemete o logo o A vção coçõe opeco o tem elétco fcult oteção e um eempeho eejo p o cotoloe pojeto po t técc, um vez que c um gu e cetez o pâmeto o tem, o qul ão é levo em coeção o pojeto ee etlzoe, too-o opete ou ml juto p coçõe opeco feete p o qul fo pojeto Além o, tem elétco que peetm pâmeto ceto ão fíce e tlh uo técc coveco, um vez que et cetez poem cet etçõe pocu e oluçõe ótm Po o, ão plc técc e cotole outo, po et pemte copo cetez o pojeto e cotoloe, geo cotoloe m outo e com mo mgem e etle e que tfzem etçõe e eempeho o tem elétco Potto, o pojeto e um cotolo outo que popocoe um om eempeho em ve coçõe e opeção o tem e fcle em l com cetez pmétc peete ee tem, uo técc e cotole outo, motvou o eevolvmeto e pequ A pcp cotuçõe et pequ ão ále e vlção plcle técc teg à fomulção olução e pogmção le p o pojeto e um etlzo e tem e potêc, que lém e ge cotoloe que umetm mgem e etle o tem, mmz fluêc cetez e petuçõe tute o memo Revão logáfc A ecee e cotol e fom m efcete e egu o tem elétco e potêc fez ug po pte e pequoe e empe, pequ volt o etuo e ov técc e cotole c vez m pec e ef, que pemtem copo

20 outez o pojeto e cotoloe p mpl mgem e etle o tem elétco, fete à vçõe pmétc Nete cotexto, váo tgo, lvo, etçõe e tee têm o elz et áe e utlz como efeêc o eevolvmeto et etção Po exemplo, em Keel 997, é popot um metoolog e pojeto e cotoloe outo v pogmção le tvé e um ále poltopc cetez pmétc o tem oto cetez ão epeet po tevlo e fecho, que pemtem fomulção e um cojuto e equçõe utlz como etçõe olução e pogmção le Em Keel 999, é fet um ále o etuo etle e eempeho outo e cotoloe e oem fx, o qu ão pojeto po técc e cotole outo p um plt le e vte o tempo que peet cetez em eu pâmeto, m como é popoto em Olve et l 5, cuj técc é plc p pojet cotoloe multojetvo p o motecmeto oclçõe eletomecâc em tem elétco e potêc No memo tlho, técc e cotole ot coe cetez efeete à vçõe coçõe e opeção o tem elétco e potêc É utlz como ojetvo metoolog e pojeto, mpoção e um lmte upeo p eeg í o tem em mlh fech e o pocometo egol e polo A etutu metoolog ot pemte ge cotoloe que tem váo equto pátco o polem e oclçõe eletomecâc em tem elétco e potêc Am, etuo volto p áe e cotole outo com êfe ále tevl, oe o pâmeto o tem ão epeeto po tevlo e fecho, tom-e tte pomoe, como em Loelo 4, cujo tlho o ále e o pojeto e cotoloe outo po locção out e polo v equção Doft, teg à fomulção e um polem e pogmção le A le tevl tvé equção Doft tmém é eevolv em Cot, cujo tlho vetg expemetlmete um ettég e cotole outo, e le tevl, p o motecmeto oclçõe eletomecâc em um geo e kva Em Po 6 é eevolvo um pojeto e cotole outo po locção e polo e em ále tevl mol tvé elmetção out e eto Nete tlho, é moto que quo epecfcçõe e eempeho p locção e polo ão

21 epeet po cojuto epect e polômo tevle, o polem o pojeto poe e completmete fomulo e eolvo o cotexto ále tevl Com o, v técc e cotole outo teg out técc e cotole já extete têm o extevmete etu e plc o últmo o, ofeeceo um cmpo em mplo p l com tem ujeto à cetez em eu pâmeto, como é feto em B J Nete tlho, é popot um ettég fuzzy plc à melho etle eletomecâc, utlzo o coceto e ee e cotoloe loc p compe pe e to evo à ocoêc e vçõe coçõe e opeção o tem Em Nogue, ão peeto p um tem e geção e ecl euz e kva o pojeto e mplemetção e um ESP gtl outo pt e ettég e cotole LPV le pmete vyg Ojetvo pequ Ojetvo ge O ojetvo gel ete tlho cote em pojet um etlzo e tem e potêc com etutu fx, uo um técc e cotole outo p etemção o eu pâmeto outo l cotolo eve e cpz e tfze o equto e outez e eempeho eejo p o motecmeto oclçõe eletomecâc em tem elétco e potêc, o tpo máqu ft, ujeto cetez em eu pâmeto A metoolog e pojeto é e em um técc e cotole outo que copo cetez o pojeto o cotolo e tvé olução e pogmção le, fomul-e um cojuto e etçõe efeete à cetez peete o tem, polto, com o, uc e um olução ótm p o pâmeto o cotolo, eulto em um cotolo etável e outo O cotolo eve e etável o eto e foece um om eempeho em temo e motecmeto oclçõe o moo omte, e outo p pemt que o tem ej cpz e mte o eempeho eejo, memo ocoêc e petuçõe que levem o tem um coção e opeção feete ou muç coçõe opeco o memo

22 Ojetvo epecífco O ojetvo epecífco ete tlho ão: Ale etle out tvé o teoem e Khtoov, com plcçõe em SEP; Pojeto e um ESP eo em locção tevl e polo; Compção e eempeho e um ESP outo em elção o eempeho o ESP covecol; 4 Etutu etção Ete tlho etá etutuo egute fom: O cpítulo peet o polem etle eletomecâc em tem elétco e potêc, moelgem o compoete o tem elétco e potêc e o moelo le e Heffo e Phllp Algum mplfcçõe em elção à moelgem o tem ão fet ete cpítulo com o ojetvo e euz complexe o tem No cpítulo ão peeto lgu coceto teóco e mtemátco o polem e otmzção covex, como poltopo, vétce Além o, é peet fomulção o polem e pogmção le e o teoem e Cheychev No cpítulo 4 é peet teo e plcção técc e cotole outo p o pojeto e cotoloe, que ge o fumeto teo e cotole outo, t como etle out, eempeho outo, tete e etle out, tvé o teoem e Khtoov Além o, é eevolv técc e cotole outo popot p o pojeto o ESP, plco epecfcmete o Stem Máqu B Ift, m como etutu o pogm computcol eevolvo p computção o vloe ótmo e outo o cotolo pojeto No cpítulo 5 é eevolvo o pojeto e etlzoe e tem e potêc, que clu o pojeto e um etlzo covecol, tvé técc e locção e polo uo equção Doft, e o pojeto o etlzo outo, popoto et etção, tvé técc e cotole outo O cpítulo 6 peet o tete elzo p vl o eulto e vl vtge o uo e cotoloe outo em elção o cotolo covecol A fução ISE é u p compov efcêc o cotolo outo

23 Flmete, o cpítulo 7 ão peet cocluõe f o tlho, fzeo um lço o eempeho o cotolo outo, lém e peet lgum ugetõe p tlho futuo

24 4 CAPÍULO ESABILIDADE EM SISEMAS ELÉRICOS DE POÊNCIA Itoução O tem elétco é compoto po váo compoete, t como lh e tmão, máqu íco, tem e exctção, eguloe utomátco e teão, etlzoe e tem e potêc, ete outo A moelgem ee tem é fet cofome ecee o etuo e elzo No co e etuo e etle eletomecâc, fze eceáo peet moelgem o tem elétco e fom m etlh e pec, p que o etuo feto peetem eulto cofáve No etto, evo u úme telgçõe e o úmeo compoete que o compõem, moelgem o tem e to m complex, ugo ecee e ecoe à poxmçõe mtemátc e à hpótee coe mplfco, e fom que pemt mplfc moelgem o tem elétco, too- m póxm poível moelgem el, e e cog epeet e fom pec u âmc, popocoo o etuo etle eletomecâc o tem Am, ete cpítulo peet clmete o polem etle em tem elétco Em egu, peetm-e hpótee coe mplfco e moelgem vul o pcp compoete o tem elétco e moelgem complet e um tem efeo ltetu como Stem Máqu B Ift SMBI e lgmete u o etuo etle eletomecâc e tem e potêc KUNDUR, 994 O polem etle em tem elétco A etle o tem elétco e potêc é cpce que o memo tem em eevolve foç etuo gu ou moe o que foç e celeção ou eceleção, em um etem coção opecol, p mte o eto e equlío o tem epo que ete fc ujeto um petução fíc, e fom mte o como ete máqu íco tecoect KUNDUR, 994 No eto e egme pemete, exte um equlío ete o toque mecâco e o toque elétco em c máqu íco, fzeo com que veloce o oto pemeç

25 5 cotte Quo o tem é petuo, ee equlío é efeto, ugo toque e celeção m > e ou eceleção e > m A equção epeet melho ee coceto SAADA, m e Oe, m e e ão, epectvmete, o toque e celeção, o toque mecâco e o toque elétco em Nm, plco o exo máqu íco O ão cotole ee toque poe lev o tem à tle Quo o oto ocl em um fequêc, o toque elétco tee comph e oclção mem fequêc, e ecompoo em u compoete otogo: um popocol à vção gul e out popocol à vção veloce gul o oto, cofome motm equçõe à 4 Relt-e que e ecompoção é extemmete útl p cctez o feômeo etle à peque petuçõe e S D K S S K 4 D D Oe e é vção o toque elétco A pcel S é compoete e toque e como, epoável pelo evo ttâeo o toque elétco em fe com o evo o âgulo o oto, eo K S, o coefcete e toque e como A pcel D é compoete e toque e motecmeto, epoável pelo evo o toque elétco em fe com o evo ttâeo veloce gul, eo K D, o coefcete e toque e motecmeto A equção mot que etle o tem epee extêc e ufcete toque e como e e motecmeto p mte o equlío o tem pó ocoe um petução, ou ej, um tem e potêc é etável quo S >, p que e po gt muteção o como ete máqu o tem, e tmém quo D >, p que e po egu um motecmeto equo oclçõe eletomecâc o otoe máqu íco, cofome lut Fgu

26 6 Fgu -Stem etável Fote: Apto e Kuu 994 A ufcêc e qulque um ee toque to tável opeção o tem A flt e toque e como eult em um tle mfet tvé e um evo peóco e pogevo o âgulo o oto, cofome lut Fgu Po outo lo, uêc e toque e motecmeto eult em tle o tpo ocltó BARRA JR,, como mot Fgu Fgu -Stem tável peóco Fote: Apto e Kuu 994 Fgu -Stem tável ocltóo Fote: Apto e Kuu 994

27 7 A ufcêc e toque e como ocoe poque máqu etá opeo com tem e exctção e cmpo cotte e po o ão coegue jut teão teml máqu Nete cotexto, uge o tem e exctção com lt veloce e epot e gho elevo, cpz e up e jut utomtcmete coete e cmpo o geo, mteo teão teml máqu em um vlo e jute equo quo poíve petuçõe ocoem, melhoo o coefcete e toque e como No etto, o gho elevo o tem e exctção mplc eução o motecmeto tul máqu, povoco oclçõe o tem elétco Nete cotexto, ot-e que etle o tem elétco é um feômeo que evolve o etuo oclçõe eletomecâc, poeo e e peque ou e ge mpltue e te efeto e cut ou log ução oe o tem, lém e pou um moelgem tte complex com evee petuçõe Po o, p fclt compeeão o mpcto e t petuçõe oe etle o tem elétco, mem fo clfc em u ctego: etle peque petuçõe ou etle âmc e etle ge petuçõe ou etle ttó KUNDUR, 994 Moelgem o tem elétco e potêc P fclt moelgem o compoete o tem elétco, ão ot lgum hpótee coe mplfco Am, ão: Coeção pe o efeto ttóo o tem elétco o etuo etle, epezo-e o efeto o eolmeto moteceoe o etuo mem; Supõe-e que máqu ão lce e ão ofem tuçõe; Não há lmtoe o eguloe utomátco e teão; Auêc e eguloe e veloce o tem elétco; Máqu íco A máqu íco ão um o compoete m mpotte o tem elétco, po fomm pcpl fote e eeg elétc KUNDUR, 994 Po o, moelgem

28 8 mem to-e e vtl mpotâc o etuo e etle eletomecâc à peque petuçõe Nete cotexto, coee equção 5 como um equção lez em too e um poto e opeção ANDERSON, 977 J t m m e 5 Oe ω m é veloce gul mecâc o oto em o mecâco po eguo; J é o mometo e éc como pte gte máqu íco e tu em Kgm Suttuo-e equção em 5, tem-e equção 6 J t m m K K D e 6 Seguo Kuu 994, equção 6 epeet âmc lez máqu íco e é uulmete coheco ltetu como equção le e oclção ou Equção Swg máqu íco Det fom, ot-e que u etle epee cotte e motecmeto eete K D, cuj eução povoc oclçõe o tem elétco, eom e Oclçõe Eletomecâc ANDERSON, 977 Coe-e equção 7 e equção 8 eo, epectvmete, cotte e éc máqu, ef como zão ete eeg cétc pte gte, veloce oml e otção máqu, e o vlo potêc e S e o tem, e elção ete veloce gule mecâc ω m e elétc ω o oto H J S e mo 7 m 8 mo o Oe ω m e ω ão epectvmete, veloce gul íco em o mecâco po eguo e veloce gul íco em o elétco po eguo Suttuo equção 7 equção 6 e coeo-e elção equção 8, tem-e equção 9, que epeet equção e oclção máqu íco, em pu H o t m K K D 9

29 9 Ago, coee δ poção gul o oto máqu em o me em elção um fo e efeêc go veloce íco ω Em egme pemete, o âgulo δ eve e cotte, ou ej, o oto eve g veloce íco ω = ω BARRA JR, A vção lez e δ o tempo em eguo é clcul cofome equção, em que t etá em eguo o o t Potto, moelgem âmc o oto máqu íco é gove pelo cojuto e equçõe feec, expe equçõe 9 e e poem e epeet tvé e gm e loco Fgu 4 Fgu 4-Dgm e loco p equçõe wg o oto máqu íco Fote: Apt Ugte, 7 O moelo mtemátco máqu íco o omío fequêc é moto equção, oe Δδ é í e Δ m, et o G H KD K m So H H

30 Regulo Automátco e eão RA O Regulo Automátco e eão RA tem fução e cotole e poteção A fução e cotole é epoável po mte teão teml e geção e potêc etv máqu o ível eejo peeç e petuçõe A fução e poteção egu que o lmte e cpce máqu íco e e outo compoete ão ejm exceo KUNDUR, 994 Po o, ão peáve p mte etle máqu íco e, coequetemete, o tem elétco O RA é moelo como um tem le e pme oem, cofome lut equção A oção ee moelo é jutfc pelo xo cuto computcol e pole e elev o gho o egulo e teão com peque cotte e tempo, foço pção e moo eletomecâco táve, o que jutfc ção o ESP mlh e cotole o tem e exctção e ecee e ote pâmeto equo p o memo K V V E ef t f E f Oe: ΔE f vção teão e cmpo máqu íco; ΔV ef Vção teão e efeêc etelec p o RA; ΔV t Vção teão teml máqu íco; K gho o Regulo Automátco e eão; cotte e tempo o Regulo Automátco e eão; O gm e loco o Regulo Automátco e eão é moto Fgu 5 Fgu 5 - Dgm e loco o RA

31 Etlzo e Stem e Potêc PSS A utlzção e Reguloe Automátco e eão e tução áp e com elevo gho e toou comum em máqu íco No etto, o uo cotte ee potvo oco à coçõe e lto cegmeto e tem e tmão eletcmete fco poe ul ou té memo to egtvo compoete e toque e motecmeto, eetemete peete em tem elétco, povoco oclçõe e x fequêc, poeo levá-lo à tle ocltó KUNDUR, 994 P evt polem como ete, uge ecee e touz-e toque e motecmeto à oclçõe eletomecâc P o, é utlzo o Etlzo e Stem e Potêc ESP, epeeto po um mlh e cotole col e efeec e teão o RA com fução e touz toque e motecmeto col oclçõe eletomecâc o tem elétco Su etutu ác e covecol é mot Fgu 6, e é compoto po um loco etátco K ESP, um loco whout e o loco le-lg O loco etátco K ESP é juto cofome o motecmeto eejo e teuo à lt fequêc p lmt o efeto o uío; o loco whout fuco como um flto p-lt com um cotte e tempo W, ef p que o ESP ão tue em egme pemete, m omete em coçõe ttó O o loco le-lg ão loco e vço e to e fe, utlzo p compe ccteítc e gho e fe o tem e exctção, geo e ee elétc, chmo e GEP, cuj equção é mot equção FURINI, Coe-e = e = 4 Fgu 6- Etutu ác o PSS Fote: Kuu 994 ESP GEP V ESP

32 Oe Δ ESP e ΔV ESP ão, epectvmete, compoete e toque elétco plco o exo tu, pouz excluvmete pelo etlzo, e vção o l e teão moul pelo ESP Relt-e que GEP elco o l e í o ESP e compoete e cojugo elétco e é cluí o gm e loco e elção poque ete tem pec te u ccteítc e gho e fe compe pelo etlzo A pt Fgu 6, ext-e fução e tfeêc o ESP covecol o omío fequêc, cofome lut equção 4 W ESP KESP 4 W 4 N ocoêc e um petução, ute o eto ttóo, veloce o oto máqu tee e ft veloce íco e otção, fzeo com que o âgulo o oto ocle E oclção cu um evo ete teão e efeec o RA e teão teml máqu íco, geo um compotmeto e to e fe GEP fx e fequêc e teee O to e fe é compeo pelo ESP, po o memo tu coo um l que compe o evo e teão ou ej, ccteítc e gho e fe o tem tvé o loco le-lg e pouz um compoete e toque elétco em fe com vção veloce gul o oto Δω p umet o toque e motecmeto Am, p ote máxm efcêc o motecmeto oclçõe eletomecâc o oto máqu íco é eceáo co qulque l e et o ESP que epeete e fom pec t oclçõe P o, o etlzo poe utlz como e et veloce gul o oto, fequêc o tem, potêc elétc, ete outo No etto, o cto tul p o l col e uo como et o ESP e utlzo et etção é vção veloce gul Δω Nete cotexto, elção ete fução e tfeêc o ESP e fução e tfeêc GEP e cluão e elção o gm e loco que epeet o tem e potêc é lut Fgu 7 SILVA,

33 Fgu 7- Dgm equemátco o tem e potêc cluo ção o ESP Fote: Apto LARSEN & SWANN, 98 Not-e pel Fgu 7 que o toque elétco plco o exo tu é ecompoto em u compoete, um compoete pouz pelo etlzo tvé moulção teão e efeêc o RA e out compoete eultte e to out cotuçõe A elção et ete compoete e toque elétco plco o exo tu pouz excluvmete pelo etlzo e vção veloce gul o oto máqu íco foece um fução e tfeêc que clu tto âmc GEP quo à o ESP e é eom e GESP, como mot equção 5 G ESP ESP ESP VESP GEP ESP V ESP 5 Potto, cluão mlh e cotole o ESP o tem e potêc é fet tvé elmetção âmc í plt que epeet o tem, como lut Fgu 8

34 4 Fgu 8- Equemátc o tem e potêc com elmetção âmc e í Seguo Le e Sw 98, o ESP tu mlh e elmetção o tem elzo o pocometo equo o polo ee tem o plo complexo, ou ej, o ojetvo o ESP é eloc etemo polo o tem, o qu e ecotm em poçõe eejáve o plo complexo que ão o polo que cum tle o tem ou que povocm oclçõe ml motec, p poçõe com mo gu e motecmeto 4 Moelo le e Heffo-Phllp N eçõe teoe fo peet moelgem âmc máqu íco, o RA e o ESP No etto, p polt elzção e etuo e etle eletomecâc e o pojeto o ESP, é eceáo ote um moelo completo máqu íco, po meo e um cojuto e equçõe feec e lgéc, que cotlze tto o efeto o feômeo elétco e eletomgétco máqu quto u teção com ee elétc exte e ção mlh e cotole o RA e o ESP P o, fo eevolvo o moelo completo e Heffo e Phllp ou Stem Máqu B Ift SMBI, uo p etuo e etle eletomecâc Su epeetção em gm e loco é mot Fgu 9

35 5 Fgu 9- Moelo e Heffo e Phllp p um Stem Máqu B Ift N Fgu 9, fc evete o ppel o ESP, que elmet o l e veloce gul o oto, com ev compeção âmc e fe e gho o l o tem e exctção, e moo touz um compoete e toque elétco popocol o evo e veloce o oto, umeto m o motecmeto oclçõe Seguo Sue & P 998 e Kuu 994, váve K K 6 ão clcul cofome equçõe 6 à e ão ev o poceo e lezção o moelo e Heffo e Phlp ' e q e e X X X X R 6 } co ' }{ { } co { ' o e o e o q q o o e o e q q o q R e X X E X X I V R e X X X X V I K 7 o q e o q e e q q o q o q E R I X X R X X X X I I K ' ' ' 8

36 6 ' e q X X X X K 9 co ' 4 o e o e q R e X X X X V K ] co ' [ ] ' co [ 5 o e q o e t o q e o o e q t o e X X V R V X V V X X V e R V X V V K t o q e q t o q e q t o V V X X X V V R X V V K ' 6 A pt Fgu 9, otém-e epeetção em epço e eto o Stem Máqu B Ift O moelo ee tem é le e vte o tempo com um úc et e um úc í tem SISO, o Iglê Sgle-Iput-Sgle-output, cuj et é teão e efeêc ΔV ef o RA e í, vção veloce gul Δω, cofome lutm equçõe e 4 ef o q o o q V K K K K K K K K H K H D H K ' ' 6 ' 5 4 ' ' ef q V ' 4 Seguo equção 5 OGAA,, o moelo o tem poe e epeeto o omío fequêc tvé fução e tfeêc que elco u et e u í, como lut equção 6 D B A I C U Y 5

37 7 V ef 6 Oe o pâmeto o umeo e eomo ão etemo pt equçõe 7 à K ' H o 7 H HK K D 8 6 ' o D 9 ' DK 6K K o K K KK4 KK5K KK6K K KK A mtz e eto equção foece o utovloe o SMBI, que ão o polo fução e tfeêc o memo, mot equção 6 A ccteítc mo ee utovloe pemtão vl mgem e etle o tem e ecee e e pojet etlzoe e tem e potêc Em out plv, e o tem peet utovloe ou polo com pte el potv ou xo fto e motecmeto, to-e mpecível o pojeto e cotoloe p umet o motecmeto oclçõe eletomecâc efeete ee utovloe, melhoo m, mgem e etle eletomecâc à peque petuçõe o tem elétco 4 Cocluão Nete cpítulo, fom peeto lgu coceto teóco e mtemátco o polem etle eletomecâc à peque petuçõe em tem elétco e potêc Com o, otou-e que o umeto tto em tmho quto em complexe o

38 8 tem elétco, umet o polem p um equo plejmeto, opeção e cotole o tem elétco, vto que ee polem, gelmete, etão oco moo eletomecâco pouco moteco, que epeeo fequêc que ele ocoem, poem og veo co e tle eletomecâc e té lev o tem um colpo totl Fo peet tmém moelgem o tem e potêc e o pcp compoete que o compõe p etuo e etle eletomecâc, com mo etque o ESP, po ete e o ojeto e etuo et pequ Po fm, fo peeto o moelo le e Heffo e Phlp, cuj fução e tfeêc pemte elz mulçõe e elz etuo e etle tto o omío o tempo quo o omío fequêc e ote epot âmc o tem, lém e pemt plc técc e cotole

39 9 CAPÍULO PROBLEMAS DE OIMIZAÇÃO CONVEXA Itoução No últmo o, técc que evolvem polem e otmzção covex têm e too um femet computcol em efcete em egeh, gç u hle em oluco polem ujeto etçõe e eempeho, e po o, foecem um olução cofável e ótm, quo extem O temo otmzção efee-e o etuo e polem em que e uc mmz ou mxmz um fução ojetvo, ujet um cojuto e etçõe, tvé ecolh equ e ótm o vloe e váve e eto e um cojuto vável e olução Quo ete cojuto é covexo, etmo te e um tpo epecl e polem e otmzção, eomo e polem e otmzção covex, em que fução ojetvo e o cojuto e etçõe ão mo covexo, po evolve um cojuto e poto covexo O polem e otmzção covex é vo, cmete, em tê pte: otmzção, ále covex e computção uméc Extem veo métoo outo e efcete, como pogmção le, mímo quo, pogmção quátc, métoo e poto teoe, ete outo, que eolvem polem e otmzção covex Nete tlho, é utlz um técc e otmzção covex e em pogmção le p o pojeto e um cotolo e motecmeto plco um tem com etutu cet, cujo polômo fomm poltopo e polômo Potto, o ojetvo ete cpítulo é foece um efção ác teóc e mtemátc o polem e otmzção covex e em pogmção le P o, to-e mpecível fze um evão ác oe teo e ále covex, que clu coceto e cojuto covexo, Hull covexo e poltopo e polômo, coceto mplmete uo o ecoe et etção

40 4 Defção ác Cojuto covexo e Hull covexo Um cojuto covexo X Є R é to covexo, e e omete e, p too x, y Є X e p too θ Є [,], equção é vee, ou ej, o egumeto e et ete quque o poto em X etá coto em X x y X Beo-e e efção, chmmo equção como um comção covex o poto x,, x x x X Oe:,,, A Fgu lut melho o coceto e cojuto covexo Fgu - Exemplo e cojuto covexo e ão covexo O cojuto Hull covexo e um cojuto X Є R mo covexo e ão covexo poe e efo como o cojuto e to comçõe covex e poto em X Em out plv, e o cojuto covexo que cotem X é chmo e X + e mtz e too o X + é chm e S, etão o cojuto Hull covexo é eomo cofome equção cov X X { x x : x X,,,,, ; X S } Como o pópo ome ugee o Hull covexo covx é empe covexo É o meo cojuto covexo que cotém X A Fgu lut efção e Hull covexo

41 4 Fgu - Cojuto ão covexo e eu cojuto Hull covexo Poltopo, poto extemo e vétce Um poltopo P Є R é o Hull covexo e um cojuto fto e poto {p, p,, p m } P e é ecto cofome equção 4 P cov{ p } 4 Qulque poto p ϵ P em um poltopo P = cov{p, p,, p m } poe e ecto como um comção covex e p, ou ej, extem úmeo ecle {λ, λ,, λ m } que to equção 5 vee Relt-e que P = cov{p, p,, p m } é o cojuto e geoe o poltopo P p Oe: m m 5 p 6 Am, e fom m luttv, o poltopo poem e polígoo covexo, poleo covexo, ete out fgu geométc, em R Um exemplo é luto Fgu

42 4 Fgu - Exemplo luttvo e um poltopo Not-e pel Fgu que o poltopo eve clu too o poto o cojuto e geoe Seu poto extemo {p, p, p, p 4, p 6, p 8 } ão quele em que ão poem e oto po comção covex o em poto geoe O poto extemo o poltopo ão tmém chmo e vétce o poltopo e petecem um cojuto mímo e geoe Poltopo e polômo A teo e poltopo é utlz o cotexto e polômo Am, um fmíl e polômo P = {p, q: pϵq} é to e um poltopo e polomo, e p, q tem um etutu cet le fm e Q é o cojuto lmte e cetez Et log é ete p poltopo e coefcete o polômo e poltopo e pâmeto ceto, que ão equvlete A vtgem em utlz poltopo e polômo é fcle em l etle out e um tem ceto pt o eu cojuto e cetez, como eá vto o póxmo cpítulo Polem e otmzção O polem e otmzção tem como otção mtemátc equção 7

43 4 Mmze f x Sujeto à: f x ;,, m h x ;,, p 7 Oe: x é o veto com váve e otmz; f : R é fução ojetvo; f x p f : R R é fução e etção e egule; h = p h : R R é fução e etção e gule; A equção 8 epeet o omío o polem e otmzção equção 7, que efe o cojuto e poto fução ojetvo e e to fuçõe e etção, cujo vlo ótmo é efo pel equção 9 m p D om f om h 8 p* f{ f x / f x,,, m, h x,,, p} 9 Deotmo e x um poto ótmo ecoto tvé equção 7, etão, tem-e: f x* * p O cojuto e too o poto ótmo é chmo e cojuto ótmo e é epeeto pel equção x otmo f{ x / f x,,, m, h x,,, p, f x p*} 4 Polem e otmzção covex fom pão Quo o cojuto e poto é covexo, temo o polem e otmzção covex, que tem u fom pão mot equção

44 44 Mmze f x f x ; x ; Sujeto à:,, m,, p Ou equvletemete à equção : Mmze f x x ; Sujeto à: f x ;,, m Oe: e ão mtze cotte e etçõe; Compo-e equção e com equção 7, ot-e que p u pme equçõe, fução ojetvo f e fuçõe e etçõe e egule f e x evem e covex, fuçõe e etção e gule h = x evem e f Am, em polem e otmzção covex, ó mmzmo fução ojetvo covex oe um cojuto covexo e poto 5 Polem e Pogmção Le PL Quo fução ojetvo e fuçõe e etçõe e um polem e otmzção covex ão lee e f, ete polem tom fom e um polem e pogmção le PL Net coção, o polem e otmzção covex poe e olucoo uo PL, cuj fom pão é ef equção 4 Mmze C x Sujeto à: 4 x ;,, m No uveo e otmzção covex le, quo o pâmeto mtze e vm eto e um cojuto e cetez, o qul cotém o vlo oml, etçõe evem e tfet p too o vloe poíve o pâmeto + e

45 45 + Além o, ete pâmeto po eem ceto ecevem um cojuto covexo que efe um egão poltopc ou um egão elpoe Com o, etmo te e um polem e otmzção le out 6 eoem e Cheyhev Coee P um cojuto e etçõe lee que ecevem um poltopo, cofome mot equção 5 P = {x R / x, =,, m} 5 Um ol B e ceto x e o R é ef pel equção 6, que coepoe um cojuto e too o poto, e tâc eucl R e x B = {x + u/ u R} 6 Am, tem-e o teoem o teoem e Cheyhev eoem eoem e Cheyhev: Pemte ecot um ol B com mo o poível, qul etá cot completmete em P O ceto e efe x é chmo e ceto e Cheyhev o cojuto P e R é o o e Cheyhev, ou ej, x é o ceto mo efe e o R, ct em P, cuj om é eucl A Fgu 4 lut melho o uo o teoem e Cheyhev Fgu 4- Ceto e o e Cheyhev ol B Not que x p too x ϵ B, e e omete e: x u : u R x R u up 7

46 46 Potto, como P é um cojuto covexo e fuçõe e etçõe ão lee, etão x e R tom-e váve e ecão o polem e otmzção covex, que e eume em: váve e ecão, fuçõe e etção e fução ojetvo Logo, temo: Váve e ecão: Ro ol R e veto poção o ceto ol x; Retçõe: x + R, =,, m p x Є R, R Є R; R ; Fução Ojetvo: Mxmz R De fom, o polem e otmzção covex é olucoo uo-e o polem e pogmção le Logo, temo: Mxmze R Sujeto à: 8 g x, R ;,, m Oe: g x, R up f x Ru 9 u E como P é efo po um cojuto e equçõe lee x, =,, m, tem-e equção 57 g x, R up x Ru x R u Se R, etão equçõe 8, 9 e e eumem equção Mxmze R x R Sujeto à: ; R,, m Potto, olução equção foece um olução ótm váve e ecão x e R 7 Cocluão Net eção, fom moto lgu coceto teóco e mtemátco oe o polem e otmzção covex e u exteão p polem e pogmção le É poível pecee, pt e lgu coceto o ete cpítulo, que muto polem e

47 47 otmzção que fcm ujeto v etçõe e eempeho poem e olucoo uo técc e pogmção le Polem e pogmção le ão gelmete utlzo p oluco polem e otmzção covex, que poe e ecto e fom e mxmzção ou mmzção e um fução ojetvo le, ujet um cojuto e etçõe, expeo o fom e equçõe ou equçõe lee Além o, o polem e pogmção le pou hle e foece, quo extem, oluçõe cofáve e ótm, lém e pou um computção mtemátc m equ p polem e otmzção Am, o polem e otmzção covex eo em pogmção le, ão mplmete utlz p oluco polem e egeh, em epecl p oluco polem e cotole, quo o tem e cotolo peet cetez em eu pâmeto, eceveo-o como um tem com pâmeto ceto

48 48 CAPÍULO 4 CONROLE ROBUSO: EORIA E APLICAÇÃO NO PROJEO DE CONROLADORES ROBUSOS 4 Itoução A eo e Stem e Cotole e e em u áe: eo e Cotole Cláco e eo e Cotole Moeo A pme fz uo e técc clác p pojeto e cotoloe e tem e potêc, t como métoo e epot em fequêc Dgm e Boe e Ctéo e Nyqut, etc e o métoo o lug íze técc utlzm moelo lezo e tem p l etle e pojet cotoloe No etto, um o moe polem e pojet cotoloe po técc clác é lezção o tem em too e um poto e opeção, que etge o eempeho o cotolo p quele poto e opeção, muo u efcêc e eu eempeho quo ocoem vção em too o poto e opeção Além o, técc clác ão mtemtcmete complex e ão pemtem otmz opeção o tem e o eempeho o cotolo epeto peeç e cetez coeáve oe o tem Emo ej otável o uo e técc clác p pojeto e cotoloe, out áe que vem gho m epço em Stem e Cotole é áe e cotole moeo, que tem como vetete eo e Cotole Ótmo, eo e cotole Routo, ete out, que pemte otmz opeção o tem e o cotolo eguo lgum ctéo efo A eo e Cotole Routo é um ltetv áe e cotole moeo que pemte umet outez o cotoloe quo o tem fc ujeto à vçõe o eu poto e opeção De fom o cotolo pojeto po tl técc ão etlz omete um plt moelo mtemátco, m um cojuto e plt ge pel moelgem cetez peete o tem, ou ej, ão cpze e mte um eempeho tftóo em tem que peetem cetez em eu pâmeto, tfzeo etle out e lgum ctéo e eempeho p o tem opeo com t cotoloe BHAACHARYYA et l, 995

49 49 Nete cotexto, metoolog e pojeto ot et etção uc etle out o tem elétco tvé e cotoloe outo, cujo pojeto é feto tvé técc e locção out e polo uo moelgem poltopc o tem P o, utlz-e como ctéo e eempeho um egão D que foece o motecmeto eejo p oclçõe eletomecâc o tem A moelgem poltopc é um ltetv p moelgem cetez peete em tem elétco, po pemte lezção ete em váo poto e opeção, que ge o tevlo e cetez, o qu coepoem o vétce o moelo poltopco A técc e locção out e polo pemte loc o polo e mlh fech o tem em poçõe pop o plo complexo, ou ej, p egão D LORDELO, 4 Am, p fclt o etemeto técc plc, em como ále o eulto lcço, ecto em cpítulo poteoe, ete cpítulo peet o fumeto eo e Cotole Routo, t como coceto e etle e eempeho outo, teoem e Khtoov, uo p vl etle e tem com cetez pmétc Flmete, é peet técc e locção out e polo p um tem em mlh fech, peeç e cetez, o tpo tevl, em eu pâmeto 4 Fumeto teo e cotole outo oo tem fíco pou u epeetção mtemátc, que pemte elz etuo e cotole e etle O moelo que epeet um tem fíco gelmete peet complexe, o que lev oção e um ée e hpótee mplfco ou poxmçõe mtemátc, fclto moelgem o tem fíco tto o poto e vt computcol, quto mplce o memo No etto, t poxmçõe levm o tem peet cetez em eu moelo, ecoete e âmc ão moel, uío, lezção, ete outo, que, epeete e u ogem, evem e lev em coeção o pojeto e cotoloe Nete cotexto, epeeo ogem cetez, et poem e clfc em quto ctego: etutu, ão etutu, pmétc e ão pmétc Um cetez é t etutu quo petêc o pâmeto o tem ceto é um epeetção etutu o eo e moelgem e c compoete que o compõe,

50 5 ou ej, upõe-e cohec etutu e oem o moelo e c compoete o tem, cetez o tem totl ee pe o vloe uméco o eu pâmeto A cetez é t ão etutu quo ão e e extmete fote cetez, m u moelgem é fet como eo glol too o tem, e é pe epeeto o efeto fl e eo e moelgem A cetez é t pmétc quo, cohec etutu e oem o moelo, é ect pe pel fx e vção e um cojuto fto e pâmeto plt Co cotáo, cetez é t ão pmétc Nete cotexto, v fcule poem ug o pojeto e cotoloe quo o tem peet cetez, po há mo fcule em moel um tem ceto e em eceve e cetez o pojeto e cotoloe, um vez que el poem cet etçõe uc e oluçõe e um polem e cotole, que evolve o tem oml e um fmíl e polômo ceto em too ele Am, uc e oluçõe, quo e tem tem ceto, e o pojeto e cotoloe que peete eempeho m outo fete à cetez o tem ão lcço tvé écc e Cotole Routo De fom geéc, et ucm mmz fluêc cetez e e petuçõe que tum o tem cotolo São u p: Detem o cojuto e cetez o tem tvé e um epeetção poltopc o moelo ceto; Vefc etle out ER o tem ceto, ou ej, etem e o tem em mlh fech pemece etável p to plt ou moelo que petecem o cojuto e cetez; Vefc o eempeho outo DR, ou ej, etem e epecfcçõe e eempeho ão te p to plt que petecem o cojuto e cetez 4 Etle Rout ER Um tem com cetez pmétc etutu, epeeto po G, é gelmete ecto como um cojuto e vetoe e pâmeto ceto e q, como mot equção 4 BARMISH, 994 q q, q, q,, q ] 4 [ m

51 5 Oe q R m : q q q,,, m 4 Det fom, umo otção G, q p f epeêc e um fução e tfeêc o veto e pâmeto ceto q, cofome lut equção 4 N, q G, q 4 D, q Oe N, q e D, q ão polômo em, com coefcete com epeêc em q, ecto cofome mot equção 44 e equção 45, epectvmete m N, q q 44 D, q q 45 Po coveêc, é comum touz um eguo veto e pâmeto ceto feete e q, que pemte feec o veto e pâmeto ceto o umeo e o eomo plt De fom, q eá o veto e pâmeto ceto o eomo e, um eguo veto oto, eá o veto e pâmeto ceto o umeo Am, equçõe 44 e 45 poem e eect p equçõe 46 e 47 m N, 46 D, q q 47 Em que q ϵ Q e ϵ R Q e R ão cojuto lmte e cetez, epecfco po tevlo e fecho A pt equçõe 46 e 47, ot-e clmete que o coefcete ceto o polômo N, e D, q ão epeete ete, ou ej, há um ecoplmeto e cetez ete o umeo e eomo plt tevl Além o, ee coefcete fcm etto eto e um fx pé-epecfc e tevlo e fecho Potto, po coveêc, equção 4 poe e eect como equção 48

52 5 G m,,, 48, Em que ϵ Q e ϵ R Relt-e que etle e um tem ceto é fluec pe pelo polo e G,,, ou ej, pel íze o eomo o tem ceto, um vez que o zeo ão execem fluêc etle o tem Nete cotexto, efe-e equção 49 como um fmíl e polômo { p, : Q} 49 De coo com teo e tem e cotole, um polômo p, é etável e to u íze ecotm-e o em-plo equeo o plo complexo, ou ej, e to u íze têm pte el egtv Etão, P = {p, : Q é outmete etável e too o eu polômo ão etáve p ceto cojuto e poto e opeção tto o oml, epeto o eu lmte mímo e máxmo KEEL, 997 Com o, eguo Bmh 994, é poível ext u efçõe que cctezm o coceto e etle e fmíl e polômo Defção 4 Etle: Um polômo fxo p é to e etável e to u íze tum-e ettmete o em-plo equeo o plo complexo Defção 4 Etle Rout: Um fmíl e polômo P = {p, : Q é to e outmete etável e, p too R, p, é etável, to é, p too R, to íze e p, tum-e ettmete o em-plo equeo o plo complexo 4 Etle D-out O coceto e etle out é eteo p o coceto e D-etle p pemt oção e um egão m gel p loclzção eej o polo o polômo ceto Am, coe-e D egão et e teee p locção out o polo em mlh fech o tem cotolo, lut Fgu 4

53 5 Fgu 4- Regão D p locção out o polo Nete cotexto, quo o polo fmíl e polômo ecto pel equção 49 petecem à egão D, o tem pou um tx e ecmeto mím, coefcete e motecmeto mímo ξ = ξ, e fequêc motec máxm, que ão epecfcçõe e outez p fmíl e polômo BARMISH, 994 Potto, egão D etelece lmte p o motecmeto máxmo, o tempo e u e o tempo e etmeto o tem em mlh fech OGAA, Com o, extem-e u efçõe que cctez o coceto e D-etle Defção 4 D-Etle: Coee D C e p um polômo fxo, etão p é to e D-etável e e omete e to u íze etveem cot egão D Defção 44 Routmete D-Etável: Um fmíl e polômo P = {p, : Q é to e outmete D-etável e, p too R, p, é D-etável, ou ej, e to íze e p, etveem cot egão D Em um co epecl, quo egão D é o em-plo equeo eto o plo complexo, P é mplemete to e outmete etável, e quo D é um co utáo, P é to e outmete Shu-etável 4 Deempeho Routo DR Em elção à oclçõe eletomecâc, ão é ufcete que o cotolo gt pe etle o tem, po ete poe e etável e peet moo e oclçõe pouco moteco, o que poe epeet um co p o tem elétco, quo o memo fc ujeto vçõe pmétc Nee eto, é mpecível que o

54 54 cotolo foeç tmém o tem um eempeho outo ute ttóo, que é lcço tvé e um om motecmeto o moo e oclçõe eletomecâc Potto, o tem peet eempeho outo quo eu eempeho ão é ego gfctvmete, e fom que epecfcçõe e pojeto ejm te p um fmíl e plt cet, epeet po polômo ceto pt e um tem ogl M, p que o equto e etle e eempeho outo eguem que o tem opee tftomete pe peeç e cetez gfctv, é eceáo que o cotolo ej outo Nete eto, um cotolo é outo quo tem x ele peeç e túo, uío, âmc ão moel, etc É etável oe um tevlo e vçõe pmétc e eu eempeho é mto peeç e um cojuto e muç o pâmeto o tem SANOS, 7 P tet etle out o Stem ceto, é peco exm íze o polômo o eom o tem em mlh fech M, coeo que ete tem ge um fmíl tevl e polômo, é mptcável etem etle out e um umeo fto e polômo Potto, o tete e etle out e tem com cetez tevle poe e elzo pt o eoem e Khtoov BHAACHARYYA et l,995, cuj fomulção mtemátc p tete e etle evolve pe 4 polômo com pâmeto coheco, como eá vto póxm eção 44 ete e etle out: eoem e Khtoov O eoem e Khtoov é um tete utlzo teo e cotole outo p vl etle e um tem âmco com pâmeto que ão ão cohec pecmete, m que vm eto e um tevlo el fecho Com o, tem-e efção o eoem e Khtoov BARMISH, 994 eoem 4 eoem e Khtoov: Um fmíl P e polômo tevle com gu vte é outmete etável e, e omete e, eu quto polômo e Khtoov ão etáve Det fom, ão é eceáo vefc etle e too o polômo fmíl tevl, m omete e quto polômo Po o, o eoem e Khtoov toou-e

55 55 e me mpotâc áe e cotole outo, um vez que mplfc o cálculo p o tete e etle e tem ceto Potto, tem-e egute efção e polômo e Khtoov BARMISH, 994 Defção 45 Polômo e Khtoov: Aoco com um polômo tevl, e oem, como mot equção 4, ão quto o polômo e Khtoov p,, p Q K K K K 44 A coção eceá e ufcete p etle e to fmíl e polômo tevle p,, pt o quto polômo efo equçõe 4 44, é que ete evem e etáve, ou ej, u íze evem et tu o em-plo equeo o plo complexo A, coe-e o polômo tevl equção 5, uttuo váve complex po jω, com ω eo um fequêc oml fx O cojuto e vloe poíve que pjω, poe um à me v oe Q fom um cojuto meol p too o poíve vloe complexo que ugem o plo complexo com e vção, ou ej, pemto que too o coefcete vm oe eu tevlo, geo, com o, um fom etgul, cujo lo ão plelo o exo el e mgáo o plo compexo BARMISH, 994 Do poto e vt mtemátco, et fom etgul é ect pelo ucojuto o plo complexo o pel equção 45 } :, {, Q j p Q j P 45 E é coheco ltetu como Retâgulo e Khtoov p fequêc ω = ω, cujo vétce ão efo pelo quto polômo fxo e Khtoov Com o, uttuo po jω equçõe 4 à 44, têm-e o vétce o etâgulo e Khtoov, como motm equção 46 à 49

56 56 Vétce : K j Re[ K j ] j Im[ K j ] 46 Vétce : K j Re[ K j ] j Im[ K j ] 47 Vétce : K j Re[ K j ] j Im[ K j ] 48 Vétce 4: K j Re[ K j ] j Im[ K j ] A equçõe 46 à 49 levm ecção fl o Retâgulo e Khtoov, em que c vétce é oco com um úco polômo e Khtoov Em elção o tete e etle out, ume-e que um fmíl e polômo tevle P = {p, : ϵ Q} com gu vte e, o mímo, um polômo etável p, é outmete etável e, e omete e, o etâgulo e Khtoov ão evolvem ogem o plo complexo p fequêc ão egtv, como mot equção 4, ou ej, o poto e vt gáfco, etle e polômo tevle poe e l tvé o etâgulo e Khtoov p j, Q 4 E eg, cohec como coção e excluão o zeo, é muto útl e mpotte p ále e etle out e tem com cetez pmétc etutu 4 Cotole outo v locção e polo Como já vto teomete, e-e que mo o cotoloe e motecmeto é pojeto eguo um ogem clác e o cotole ocoe po meo e um compeo e vço-to e fe, ão hveo gt foml e eempeho tftóo o cotolo quo ocoe vção o poto opecol o tem Det fom, com o ojetvo e gt fomlmete outez e eempeho o cotoloe, utlzou-e teo e etle e eempeho outo oco um moelgem poltopc o tem e potêc p vefcção o fto e motecmeto mímo e too o moo e oclção o tem Um fto e motecmeto mímo ξ é oto como ctéo e eempeho ou, e fom equvlete, como co e mgem e etle o tem à peque petuçõe e é em gel, epecfco po um polômo eejo, que cote

57 57 mpoção o polo o tem em mlh fech em um etem egão D o plo complexo P o, utlz-e técc e locção out 4 Alocção out e polo A técc e locção out e polo tem po fle eloc o polo eejáve, que cum tle o tem, p um poção m equ que pou um mo motecmeto Em out plv, epecfcçõe e eempeho poem e tfet uo elmetção âmc í p loc o polo e mlh fech o tem em poçõe eej o em-plo equeo o plo complexo O pojeto eo et técc cote em etem um fução e tfeêc que epeet âmc o cotolo e, em mlh fech com o tem, eloque o polo o tem p egão D Além o, é poível vefc e o cotolo pojeto gte um eempeho mímo eejo p o tem em mlh fech o poto e opeção coeo Am, coçõe que efem etle e o eempeho o tem poem e lte e fom que ej cluío um ctéo e eempeho eejo egão D p o tem em mlh fech fom e locção out e polo, oteo-e um ov fomulção p o tem e cotole Nete cotexto, coe-e o tem e cotole em mlh fech Fgu 4, oe G é fução e tfeêc e um tem cotíuo e cotolo, le e vte o tempo, com um et e um í SISO, o glê Sgle-Iput Sgle- Output, e oem, e C, fução e tfeêc o cotolo e oem fx, e pojeto, epeeto pel equçõe 4 e 4, epectvmete

58 58 Fgu 4- Stem SISO com cotolo e pojeto D N G G G 4 D N C C C 4 O coefcete o umeo e o eomo e G e C ão epeeto pel equçõe 4 à 46 A po, o pâmeto o tem ão coeo om, ou ej, ão tevle N G 4 D G ; 44 N C 45 D C 46 A pt equção 47, tem-e o tem em mlh fech com o cotolo, epeeto pel equção 48 N N D D D N D N D N D N G C G G C G C G C G C C G G G G mf 47

59 59 D N G mf mf mf 48 Relt-e que o pojeto po locção e polo ão tem ehum efeto oe zeo e G, emo touz ovo zeo fução e tfeêc em mlh fech Po outo lo, o polo o tem em mlh fech G mf, ou e fom equvlete, íze e D mf, ão eloc p poçõe pop o em-plo equeo o plo complexo P f e pojeto, coe-e equção 49 como o veto e pâmeto o cotolo C e equção 4 como o veto e pâmeto plt G : x 49 : y 4 Am, eguo Loelo 4, o polem e locção e polo e eume olução equção Doft, epeet pel equção 4 N N D D D C G C G mf 4 Ou e fom equvlete equção 4,,,, y x y x y x p x D mf 4 Oe: 4 A equção 4 epeet o polômo ccteítco o tem em mlh fech, qul clu âmc o cotolo e pojeto, cujo pâmeto evem e ecolho e fom tee epecfcçõe e eempeho eejo, tuzo em loclzção

60 6 eej o polo o tem em mlh fech, coteo um cojuto e + polo eejo O polômo ccteítco eejo oml e gu +, etável, que coepoe o cojuto e íze eej ccteítc e mlh fech é epeeto pel equção P tee coçõe e etle e eempeho, é eceáo e ufcete tfze coção mot equção 45 D mf 45 Am, uttuo equção 4 e equção 44 equção 45 e oco-e o coefcete com potêc emelhte em, otém-e um tem e + + equçõe lgéc lee fom equção Po coveêc, efe-e m = + + e q = + Det fom, equção 46 poe e eect como um equção le mot equção 47 Ax 47 N qul:

61 6 mxq R A q R x m R Oe A, x e epeetm, epectvmete, o coefcete plt oml G, o cotolo C, e o polômo ccteítco eejo oml δ Quo o tem fc ujeto à petuçõe, o cotolo poe eteo-e e peet um eempeho ão tftóo P evt ee polem, o cotolo eve peet eempeho outo, eguo que eu pâmeto pom e ecolho e tl fom que eteoção o memo pemeç eto e um egão cetável P o, o tmho egão eej eve e em juto p egu que o eempeho o cotolo pemeç tftóo e outo Nete cotexto, com o ojetvo e umet outez o cotolo e, coequetemete, o tem em mlh fech fete à cetez, coe-e que o pâmeto o polômo eejo, ecto pel equção 44, umem vloe t que eu coefcete ão tevle, como mot equção 49, elmto um egão D eej p locção out o polo Ito coepoe à ecolh e um fmíl e polômo eejo, qul clu o polômo eejo oml _ : 48

62 6 Oe: q = [δ + δ + δ ] é o veto e pâmeto e δ Out jutfctv p umet o tmho egão que eceve o polômo ccteítco eejo é que gelmete eu pâmeto ão ecoheco, ão eo poível ecolhe o polo eejo om exto o tem em mlh fech, m teme um e egão D p locção out ee polo Am, eguo Keel 997, uttuo o pâmeto equção 48 equção 46, é poível fomul um cojuto e equçõe lee que etge o coefcete o cotolo t que o tem em mlh fech teh eu polo eto o epço e íze o polômo ccteítco eejo tevl E coção é lut pel equção 49, gto o equto e etle e o eempeho outo LORDELO, D mf 49 Oe RD mf é o cojuto e íze ou polo o polômo D mf e R é o epço e íze fmíl e polômo eejo Logo, o cojuto e equçõe lgéc lee é epeeto pel equção Ou, equvletemete, pel equção Relt-e que equção 44 tom fom pão equção 44

63 6 y C x y A p x p x p x p x,,,, 44 Ago, coe-e o co quo G peet coefcete tevle, ou ej, quo o tem fc ujeto à cetez pmétc, eo, potto, epeet po um fmíl e polômo ccteítco, cofome mot equção 44 G ; ; : 44 Coeo-e que equçõe 48 e 44 peetm coefcete tevle, ume-e que Π e eo poltopo que elmtm o epço ee tevlo, ou ej, o epço o pâmeto e y e q Am, eteeo-e equção 4 p ee coefcete, tem-e equção 444 como eo fmíl e polômo ccteítco o tem em mlh fech, qul cotém o polômo ccteítco oml,,,,, { :, y x y x y x y x y x D mf 444 Not-e que o ojetvo pcpl et etção é pojet um cotolo que tfç coção 49 Eteeo-e e coção p um plt tevl, cujo polômo ccteítco é epeeto pel equção 444, tem-e coção mot equção 445 D mf 445 Oe R eot o epço e íze e Ou e fom equvlete coção 446 F Dmf F 446