Extensões de distribuições com aplicação à analise de sobrevivência

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1 Exensões de disribuições com aplicação à analise de sobrevivência Yolanda Magaly Gómez Olmos Tese apresenada ao Insiuo de Maemáica e Esaísica da Universidade de São Paulo para obenção do íulo de Douor em Ciências Programa: Esaísica Orienador: Prof. Dr. Heleno Bolfarine Durane o desenvolvimeno dese rabalho a auora recebeu auxílio nanceiro de Conicy (Comisión Nacional de Invesigación, Ciencia y Tecnología - Chile) São Paulo, Fevereiro de 2017

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3 Exensões de disribuições com aplicação à analise de sobrevivência Esa ese coném as correções e alerações sugeridas pela Comissão Julgadora durane a defesa realizada por Yolanda Magaly Gómez Olmos em 09/02/2017. O original enconra-se disponível no Insiuo de Maemáica e Esaísica da Universidade de São Paulo. Comissão Julgadora: ˆ Prof. Dr. Heleno Bolfarine (orienador) - IME-USP ˆ Prof. Dr. Reinaldo Boris Arellano Valle - PUCCH-Exerno ˆ Prof. Dr. Mário de Casro Andrade Filho - ICMC-USP ˆ Prof. Dr. Josemar Rodrigues - ICMC-USP ˆ Prof. Dr. Alexandre Galvão Parioa - IME-SUP

4 i E disse ao homem: Eis que o emor do Senhor é a sabedoria, e aparar-se do mal é a ineligência. Jó 28:28 Y dijo al hombre: He aquí que el emor del Señor es la sabiduría, Y el apararse del mal, la ineligencia. Job 28:28

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6 Agradecimenos A meus pais (Neveka e Hécor), por seu apoio incondicional desde o primeiro momeno que decidi fazer o douorado, longe da minha cidade, de meu país. Suas consanes mensagens e ligações, ornaram suporável minha esadia. A meus irmãos (Belén e Josué) por alegrar minha vida, eu amo muio vocês. A meu marido Diego, por odo seu apoio e paciência, muio especialmene na eapa nal. A minha princesinha Larissa, por chegar a mudar oda minha vida, por esar no momeno da minha qualicação na barriga dando-me apoio, e agora já na eapa nal. Eu amo muio vocês meus amores. Ao professor Heleno, por er aceiado orienar-me e pelas valiosas sugesões ao longo dese rabalho. Aos professores do IME, que foram fundamenais no meu crecimeno académico, ais como os professores Carlos Bragança Pereira, Denise Aparecida Boer, Lucia Pereira Barroso, Silvia Ferrari, Marcia D'Elia Branco, Gisela Tunes, Gilbero Paula, Anonio Carlos Predroso. Ao professor Barry Arnold, por sua paricipação como co-auor no desevolvimeno do capíulo 4 desa ese. Á banca julgadora, por suas correções e sugesões. Ceramene ajudaram a melhorar a apresenação dese rabalho. Aos amigos que conheci no IME, Elizabeh González, Fran Lima, Alejandra Tapia, Manuel González, especialmene a minha amiga Naalia Milla, por odo seu apoio no começo do dourorado, por car a meu lado cada vez que senia saudade, pelas palavras de encorajameno, por isso e muio mais, muio obrigada! Finalmene, agradeço o apoio nanceiro por pare da CAPES (Coordenação de aperfeiçoameno de pessoal de nivel superior) que foi fundamenal para minha chegada ao Brasil e para o nanciameno dos vários congressos que assisi. Também agradeço a CONICYT (Comisión Nacional de Invesigación, Ciencia y Tecnología) aravés de seu programa BECAS CHILE para Douorado no esrangeiro, por er nanciado a coninuação dese Douorado. iii

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8 Resumo Nesa ese serão esudadas diferenes generalizações de algumas disribuições bem conhecidas na lieraura para os empos de vida, ais como exponencial, Lindley, Rayleigh e exponencial segmenada, enre ouras, e compará-las com ouras exensões com supore posiivo. A nalidade dessas generalizações é exibilizar a função de risco de modo que possam assumir formas mais exíveis. Além disso, preende-se esudar propriedades imporanes dos modelos proposos, ais como os momenos, coecienes de curose e assimeria e função quanílica, enre ouras. A esimação dos parâmeros é abordada aravés dos méodos de máxima verossimilhança, via algorimo EM (quando for possível) ou ambém, do méodo dos momenos. O comporameno desses esimadores foi avaliado em esudos de simulação. Foram ajusados a conjunos de dados reais, usando uma abordagem clássica, e compará-los com ouras exensões na lieraura. Finalmene, um dos modelos proposos é considerado no conexo de fração de cura. Palavras-chaves: Análise de sobrevivência, Fração de cura, Máxima verossimilhança. v

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10 Absrac The main focus of his hesis is he sudy of generalizaions for some posiive disribuions widely known in he lieraure of lifeime analysis, such as he exponenial, Lindley, Rayleigh and segmened exponenial. Comparisons of he proposed exensions and alernaive exensions in he lieraure such as he generalized exponenial disribuion, are repored. Moreover, of ineres is also he sudy of some properies of he proposed disribuions such as momens, kurosis and asymmery coeciens, quanile funcions and he risk funcion. Parameer esimaion is approached via maximum likelihood (using he EM-algorihm when available) and he mehod of momens as iniial parameer esimaors. Resuls of simulaion sudies are repored comparing he performance of hese esimaors wih small and moderae sample sizes. Furher comparisons are repored for real daa applicaions, where he proposed models show saisfacory performance. Keywords: Survival analysis, Cure rae, Maximum Likelihood. vii

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12 Sumário Lisa de Abreviauras Lisa de Figuras Lisa de Tabelas xi xiii xv 1 Moivação Inrodução Objeivos Organização da Tese Preliminares Conceios básicos em análise de sobrevivência Função de sobrevivência Função de risco ou função de axa de falha Principais disribuições com supore posiivo Algumas exensões de disribuições conhecidas Half-normal generalizada [Cooray e Ananda [2008]] Exponencial generalizada [Gupa e Kundu [1999]] Uma exensão do modelo exponencial [Nadarajah e Haghighi [2011]] Principais eses de bondade de ajuse Tese de Kolmogorov-Smirnov Tese da razão de verossimilhanças (TRV) Teses Anderson-Darling e Cramér-von Mises Criérios de informação Criério de informação de Akaike Criério de informação de Akaike consisene Criério de informação Bayesiano Disribuição exponencial esendida Moivação Funções de densidade e propriedades Principais propriedades Formas Função quanílica Enropia de Shannon Inferência ix

13 x SUMÁRIO Esimação pelo méodo dos momenos Esimadores de máxima verossimilhança(emv) Ilusração Filamenos de Kevlar 49/epoxy a um de nível de esresse de 74.8% Observações nais O modelo Rayleigh-Lindley Moivação O modelo Funções de densidade e sobrevivência Principais propriedades Momenos e medidas complemenares Vida média residual Esimação Méodo dos momenos Algorimo EM para dados censurados Esudo de simulação Ilusração Tempos de sobrevivência de cobaias Tempos de falha de componenes Observações nais Disribuição exponencial segmenada poência Moivação Modelo exponencial segmenado poência Principais propriedades Inferência A função de log-verossimilhança A função escore Mariz de informação observada Função de log-verossimilhança com presença de censura à direia Esudo de simulação Aplicações Filamenos de Kevlar 49 /epoxy a 90% de nível de esresse (exemplo sem censuras) Esudo de radioerapia (dados censurados) Observações nais Disribuição half-normal poência Moivação Disribuição half-normal poência Principais propriedades Caracerizações da disribuição PHN Momenos

14 SUMÁRIO xi Enropia de Shannon Inferência Esimadores de momenos A função de log-verosimilhança Função escore Mariz de informação de Fisher Esudo de simulação Ilusração Dados de vulcões Dados de Engenharia Observações nais Modelo geomérico half-normal poência com fração de cura Moivação Formulação do Modelo Momenos Inferência Esudo de simulação Ilusração Observações nais Conclusões Considerações nais Sugesões para pesquisas fuuras A Apêndice 81 A.1 Conjuno de Dados Referências Bibliográcas 83

15 xii SUMÁRIO

16 Lisa de Abreviauras f.d.a. f.d.p. E.Q.M. i.i.d. K-M EMV v.a.('s) função de disribuição acumulada função de densidade de probabilidade erro quadráico médio independenes e idenicamene disribuídos(as) (esimador de) Kaplan-Meier esimador de máxima verossimilhança variável(variáveis) aleaória(s) xiii

17 xiv LISTA DE ABREVIATURAS

18 Lisa de Figuras 2.1 Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de forma α, na disribuição Weibull Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) do modelo exponencial segmenado com a = (2, 4) Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) do modelo gamma Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala σ do modelo log-normal Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala λ do modelo log-logísico Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala σ, da disribuição half-normal Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo Lindley Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo HNG Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo EG Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo ENH Grácos da função de densidade(esquerda) e função de disribuição acumulada(direia) para α = 1, e β = 0, 1, 6, 20 do modelo EE Grácos da função de sobrevivência(esquerda) e função de risco(direia) para α = 1, e β = 0, 1, 6, 20 do modelo EE Algumas caracerísicas da disribuição EE para diferenes conjunos dos parâmeros. Painel superior esquerdo: média. Painel superior direio: variância. Painel inferior esquerdo: coeciene de assimeria. Painel inferior direio: coeciene de curose Modelos ajusados com a abordagem de máxima verossimilhança para o conjuno de dados de resisência à rupura (esquerda) e fda empírica (direia) para o modelo EE Gráco das funções de densidade e axa de risco para a disribuição RL Gráco dos coecienes de assimeria e curose para o modelo RL Função de disribuição acumulada para os modelos ajusados aos dados dos empos de sobrevivência de cobaias Gracos de dispersão e boxplo dos dados xv

19 xvi LISTA DE FIGURAS 4.5 Função de disribuição acumulada para os modelos ajusados no conjuno de dados de empos de falhas Função de densidade (esquerda) e função de risco (direia) para uma parição de empo em que L = 2 e a 1 = 2 para vários valores de λ 1, λ 2 e α Algumas caracerísicas da disribuição ESP para valores diferenes dos parâmeros. Painel superior esquerdo: média. Painel superior direio: variância. Painel inferior esquerdo: coeciene de assimeria. Painel inferior direio: coeciene de curose. Em odos os casos L = 2 e a 1 = Função de risco cumulaivo Função de disribuição empírica e funções de disribuição cumulaiva esimada para alguns modelos do conjuno de dados kevlar 49/epoxy (sem o pono nal dos dados). O painel à direia é um desaque Função de risco cumulaivo esimado para dados do esudo de radioerapia Função de sobrevivência esimado para os dados do esudo de radioerapia sob o modelo ESP(2), ES(2) e WE Perl de log-verossimilhança para λ 1, λ 2 e α no modelo ESP com observações censuradas no conjuno de dados do esudo de radioerapia Função de densidade de T para σ = 1, α = 0.5, 0.8, 1, 1.2, 2. (esquerda) e função de disribução para σ = 1 e α = 0.5, 1, 1.2, 4, 10.(direia) do modelo PHN Função de sobrevivência T para σ = 1 e α = 0.5, 0.8, 1, 1.2, 2.(direia) e função de risco para σ = 1 e α = 0.5, 0.8, 1, 1.2, Algumas caracerísicas da disribuição PHN para um conjuno diferene de parâmeros. Painel superior esquerdo: média. Painel superior direio: variância. Painel inferior esquerdo: coeciene de assimeria. Painel inferior direio: coeciene de curose Hisograma para conjunos de dados de aluras do vulcão, linhas represenam disribuições ajusadas uilizando esimadores de máxima verossimilhança(esquerda) e funções de sobrevivência e a sobrevivência empírica(direia) Hisograma para conjunos de dados de engenharia, linhas represenam disribuições ajusadas uilizando esimadores de máxima verossimilhança(esquerda) e funções de sobrevivência e a sobrevivência empírica(direia) Grácos das funções densidade(esquerda) e sobrevivência(direia) da disribuição geomérica half-normal poência para σ = 1.5,, e α = Grácos das funções de risco da disribuição Geomérica Half-Normal Poência para σ = 1.5, α = 0.5(esquerda),α = 1.5(direia) Grácos da assimeria da disribuição geomérica half-normal poência (esquerda) e a curose (direia) Esimador de Kaplan-Meier Grácos dos resíduos do modelo (esquerda), e do ajuse do esimador Kaplan-Meier para os pacienes com ulceração e considerando a media do espessor (direia)

20 Lisa de Tabelas 2.1 Relação enre as funções de ineresse na análise de sobrevivência Função de densidade, função de sobrevivência e axa de falha para algumas disribuições função de densidade, função de sobrevivência e axa de falha para algumas disribuições Esaísicas descriivas para o conjuno de dados de vida de fraura por faiga As esimaivas dos parâmeros para os modelos EG, ENH, Lindley e EE para o conjuno de dados de vida de fraura por faiga Esudo de simulação para os EMV's no modelo RL Esudo de simulação para esimadores de momenos do modelo RL Esaísicas descriivas para os empos de sobrevivência de cobaias Esimaivas dos parâmeros, desvíos padrões(d.p.) e valor da função log-verossimilhança para os modelos R, W, G e RL para os empos de sobrevivência de cobaias Teses de bondade de ajuses para o modelo RL Esaísicas descriivas para o conjuno de dados dos empos de falha de componenes Esimaivas dos parâmeros e os valores da log-verossimilhança para os modelos R, W, G e RL para o conjuno de dados dos empos de falha Teses de bondade de ajuse para o modelos RL para o conjuno de dados dos empos de falha Médias empíricas e desvios-padrões para esimadores de máxima verossimilhança de λ 1, λ 2, λ 3 e α As esimaivas dos parâmeros (com (DP) indicando o desvio padrão) e as disribuições ajusadas para o conjuno de dados compleos de kevlar As esimaivas dos parâmeros (com (DP), indicando desvio padrão) e disribuições ajusadas (dados kevlar sem observação 101) Criério de AIC para o conjuno de dados de radioerapia Parâmeros esimados para o modelo ESP Médias empíricas e desvios padrão para diferenes valores de α As esaísicas descriivas para o conjuno de dados das aluras do vulcões Esimaivas dos parâmeros dos modelos HNG e PHN para o conjunos de dados dos Vulcões e suas correspondenes esaísicas AIC, CAIC e BIC Teses de bondade de ajuse Esaísicas descriivas para os dados de Engenharia xvii

21 xviii LISTA DE TABELAS 6.6 Esimaivas dos parâmeros do modelo para o conjuno de dado de engenharia e suas correspondenes esaísicas AIC, CAIC e BIC Teses de bondade de ajuse Momenos para algumas combinações de parâmeros da disribuição GHNP Médias das esimaivas de máxima verossimilhança (EMVs), desvios padrões (DP) e a raiz quadrada dos erros quadraicos médios ( EQM) da fração de cura p (0) 0 e p (1) 0 para dados simulados do modelo de fração de cura HNP Esimação por Máxima Verossimilhança para os paramêros esimados para os modelos MPHN e GPHNfc

22 Capíulo 1 Moivação 1.1 Inrodução Exensões de disribuções de probabilidade conínuas êm sido muio esudadas nas úlimas décadas. Uma das razões para generalizar uma disribuição conhecida é porque a sua forma generalizada pode exibilizar a disribuição de al forma que se possa acomodar formas da função de axa de falha que sejam não monóonas. Como um exemplo, emos a família das disribuições poência, cuja função de densidade de probabilidade (fdp) é da forma ϕ F (; α) = αf(){f ()} α 1, α R +, (1.1) proposa por Lehmann [1953] no caso de α ineiro ou racional e Durrans [1992] no caso de α real, em que F () é a função de disribuição acumulada (fda) e f() é a fdp de uma variável aleaória(v.a.) não negaiva. Por essa razão, uma linha de pesquisa imporane na área de sobrevivência é propor novas disribuições que permiam caracerizar dados de sobrevivência com função de axa de falhas monóona, unimodal e na forma de banheira. Desde enão, diversos rabalhos com novas disribuições de probabilidade vêm sendo desenvolvidos. Por exemplo, Rogers e Tukey [1972], Moseller e Tukey [1977], Eugene e al. [2002], Nadarajah e Koz [2006a] e Pescim e al. [2010], enre ouros. A análise de sobrevivência é uma das áreas da esaísica que mais cresceu nas úlimas décadas. A razão desse crescimeno é a uilização de écnicas em conjuno com compuadores cada vez mais ecienes que permiem conduzir análise de dados, levando em cona a informação de observações censuradas (Colosimo e Giolo [2006]). No conexo de análise de sobrevivência, as disribuições clássicas associadas à variável resposa mais usuais são a disribuição exponencial, a disribuição Weibull, a disribuição log-normal e a disribuição log-logísica. Conudo, em algumas siuações práicas, Aarse [1987] e Mudholkar e al. [1996] vericaram que a função de axa de falha pode assumir formas não monóonas, ou seja, na forma de banheira ou unimodal. Nesse caso, a disribuição Weibull e a disribuição exponencial não podem ser uilizadas, pois não apresenam essa caracerísica. Por ouro lado, a disribuição log-normal e a disribuição log-logísica são apropriadas apenas em siuações nas quais a função de axa de falhas é unimodal. Por essa razão, generalizar disribuições de probabilidade conínuas em sido uma proposa enfaizada na lieraura, com a nalidade de fornecer maior exibilidade às disribuições ransformadas e permiir que a função de axa de falha possa descrever formas do ipo monóona, unimodal e de banheira. Além disso, a disribuição modicada pode ser uilizada para discriminação enre modelos, pois possui como caso paricular a disribuição a qual lhe deu origem (Hashimoo e al. [2013]). 1

23 2 MOTIVAÇÃO Objeivos O objeivo geral desa ese é esender diversos modelos de disribuições com supore posiivo, mediane écnicas descrias na lieraura(como, por exemplo, a composição de disribuições) para ober disribuições com maior exibilidade. Com ese objeivo em mene apresenamos a seguir as principais meas para esa ese: ˆ Propór uma exensão do modelo exponencial, com a nalidade de que a função de risco, seja não monóona, e seja uma alernaiva para o modelo exponencial generalizado, proposo por Gupa e Kundu [1999] e para a exensão do modelo exponencial proposa por Nadarajah e Haghighi [2011]; ˆ Propór uma exensão do modelo half-normal, com a nalidade de exibilizar a função de risco, e que seja uma alernaiva ao modelo half-normal generalizado proposo por Cooray e Ananda [2008]; ˆ Esender o modelo exponencial segmenado desenvolvido por Friedman [1982] com o objeivo de exibilizar a função de risco, que é consane em cada um dos inervalos da parição considerada; ˆ Desenvolver um modelo (denominado Rayleigh/Lindley), que resula da composição das disribuições Rayleigh e Lindley discrea; ˆ Considerar em alguns dos modelos anes mencionados a presença de censura; ˆ Considerar um conexo de regressão para alguns dos modelos anes proposos. 1.3 Organização da Tese A ese de douorado envolve os seguines capíulos: ˆ Capíulo 2: Apresenamos algumas disribuições imporanes desenvolvidas na lieraura que dão supore aos desenvolvimenos desa ese. ˆ Capíulo 3: Consideramos uma exensão da disribuição exponencial com base em misuras de disribuições posiivas. Esudamos as principais propriedades desa nova disribuição, com ênfase especial em seus momenos, função geradora de momenos e algumas caracerísicas relacionadas aos esudos de conabilidade e análise de sobrevivência. Discuimos ambém a esimação de parâmeros considerando as abordagens por máxima verossimilhança e momenos. Finalmene, ajusamos o modelo desenvolvido a um conjuno de dados reais. ˆ Capíulo 4: Nese capíulo é inroduzida a disribuição Rayleigh-Lindley (RL), que é obida compondo as disribuições Rayleigh e Lindley discrea, em que o procedimeno de composição segue a mesma forma que a uilizada por Adamidis e Loukas [1998]. A disribuição resulane é um modelo de dois parâmeros compeiivo com ouros modelos parsimoniosos como as disribuições gama e Weibull. Esudamos algumas propriedades dese novo modelo como os momenos e a vida média residual. A esimação dos parâmeros foi abordada aravés dos méodos de máxima verossimilhança via algorimo EM e os esimadores de momenos. O comporameno desses esimadores foi esudado em um esudo de simulação. Finalmene, são descrias duas ilusrações com dados reais, a m de mosrar o desempenho do modelo frene a ouros dois modelos de dois parâmeros. ˆ Capíulo 5: Propomos uma exensão da disribuição exponencial segmenada. Propriedades de sua função densidade e função de risco são invesigadas. Inferência por máxima verosimilhança é discuida e a mariz de informação de Fisher é obida. Os resulados de duas aplicações com dados reais são relaadas, em que o modelo é ajusado usando máxima verosimilhança. As aplicações ilusram o melhor desempenho da nova disribuição quando comparada com ouros modelos alernaivos, proposos recenemene na lieraura.

24 1.3 ORGANIZAÇÃO DA TESE 3 ˆ Capíulo 6: Propomos uma exensão da disribuição half-normal com base na disribuição do máximo de uma amosra aleaória. Mosra-se que esa disribuição perence à família de disribuições bea half-normal generalizada. Propriedades de sua função densidade são invesigadas, esimadores de máxima verossimilhança são discuidos e a mariz de informação de Fisher é derivada para a siuação de dados compleos. Na presença de censuras, usa-se-a a mariz de informação observada. Uma ilusração com dados reais é apresenada e comparações com exensões alernaivas da disribuição half-normal serão invesigadas. ˆ Capíulo 7: Será apresenado o modelo proposo acima, no conexo de modelos de longa duração, iso é, adicionado um parámero associado à cura, considerando a disribuição geomérica para o número de causas iniciais proposo por Rodrigues e al. [2009]. Procuramos ambém desenvolver esudos de simulação e uma aplicação com dados reais. ˆ Capíulo 8: Apresenamos as principais conclusões e conribuições desa ese. Apresenamos ambém algumas direções para pesquisas fuuras. Pare dese rabalho já foi aceio em periódicos de circulação inernacional (Gómez e al. [2014], Gómez e Bolfarine [2015] e Gómez e Bolfarine [2016]).

25 4 MOTIVAÇÃO 1.3

26 Capíulo 2 Preliminares 2.1 Conceios básicos em análise de sobrevivência Função de sobrevivência A função de sobrevivência corresponde à probabilidade de um indivíduo sobreviver além do empo (experimenando o eveno após o empo ) é denida como S() = P(T > ) = f(x)dx. em que T é a variável aleaória que represena o empo de falha. Noe que f() = S() No conexo de falhas de equipameno ou de um arigo fabricado em uma linha de produção, S() represena a função de conabilidade. Se T é uma variável aleaória conínua, segue que S() é uma função conínua, esriamene decrescene. A função de sobrevivência é o complemeno da função de disribuição cumulaiva, iso é, S() = 1 F (), em que F () = P(T ), (, ). Muios ipos de funções de risco podem ser consideradas, mas elas em as mesmas propriedades básicas. Elas são funções monóonas não crescenes do empo quando ese se aproxima de innio. A sua axa de declínio, nauralmene, varia de acordo com o risco de sofrer o eveno no empo, mas é difícil deerminar a essência de um padrão de falhas olhando simplesmene para a curva de sobrevivência. No enano, esa quanidade coninua a ser uma descrição popular de sobrevivência na lieraura aplicada e pode ser muio úil para a comparação de dois ou mais padrões de moralidade Função de risco ou função de axa de falha A quanidade básica, fundamenal na análise de sobrevivência, é a função de risco. Esa função ambém é conhecida como a axa condicional de falha em ermos de conabilidade, a força de moralidade em demograa, a função de inensidade em processos esocásicos, a axa de falha especíca à idade em epidemiologia, ou simplesmene como a axa de risco. A função de risco é denida por h() = lim 0 Se T é uma variável aleaória conínua, pode-se vericar que h() = f() S() P( T < + T ). (2.1) log(s()) =. Uma quanidade relacionada é a função de risco acumulada H(), denida por Assim, chega-se ao resulado H() = S() = exp( H()) = exp 0 h(u)du = log(s()). ( 0 ) h(u)du. 5

27 6 PRELIMINARES 2.1 Função obida Função requerida f() S() h() H() f() - f(u)du f() f(u)du log ( f(u)du ) S() h() ds() d - [ds()/d] S() { h() exp } 0 h(u)du { exp } 0 h(u)du - log S() 0 h(u)du H() dh() d exp { H()} exp { H()} dh() d - Tabela 2.1: Relação enre as funções de ineresse na análise de sobrevivência. A parir da expressão (2.1) pode-se ver que h() pode ser visa como a probabilidade aproximada de um indivíduo com idade igual a unidades de empo experimenar o eveno no insane seguine. Esa função é paricularmene úil para deerminar as disribuições das axas de falhas adequadas uilizando informação qualiaiva sobre o mecanismo de falhas e para descrever o modo como a possibilidade de experimenar o eveno muda com o empo. Exisem muias formas gerais para a axa de risco. A única resrição sobre h() é ser não negaiva, iso é, h() 0, > 0. Por exemplo, pode-se acrediar que a axa de risco para a ocorrência de um eveno em paricular esá aumenando, diminuindo, ser em forma de banheira ou consane ou ainda, unimodal. Modelos com o aumeno das axa de risco podem surgir quando exise envelhecimeno naural ou desgase. Funções de risco decrescenes são muio menos comuns, mas podem ser enconradas ocasionalmene quando há uma probabilidade muio precoce de falha, como em ceros ipos de disposiivos elerônicos ou em doenes com deerminados ipos de ransplanes. Na maioria das vezes, funções de risco em forma de banheira podem ser apropriadas em populações acompanhadas desde o nascimeno. Da mesma forma, alguns equipamenos fabricados podem experimenar falha premaura devido a peças defeiuosas, seguido por uma axa de risco consane que, nas fases poseriores da vida úil do equipameno, aumena. A maioria dos dados de moralidade da população segue ese ipo de função de risco, em que, durane um breve período, as mores resulam, principalmene, de doenças infanis, após a qual a axa de moralidade esabiliza, seguido de um aumeno da axa de risco devido ao processo naural de envelhecimeno. Finalmene, se a axa de risco aumena no início e, evenualmene, começa a diminuir, é denominada em forma de côncavo. Ese ipo de axa de risco é frequenemene usado em modelagem da sobrevivência após uma cirurgia bem sucedida em que há um aumeno inicial em risco devido a infecção, hemorragia, ou ouras complicações apenas após o procedimeno, seguido por um declínio consane em risco quando o paciene se recupera (Klein e Moeschberger [2003]). Noamos que exise uma relação biunívoca enre as funções f(), S(), h() e H() discuidas aneriormene. Desa forma, dada uma delas pode-se enconrar odas as ouras de forma única. A Tabela 2.1 apresena a relação enre as funções mencionadas aneriormene. Disribuições especícas que dão origem a esses diferenes ipos de axas de falhas são apresenadas a seguir.

28 2.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES COM SUPORTE POSITIVO Principais disribuições com supore posiivo Alguns dos modelos imporanes a serem considerados incluem os modelos exponencial, Weibull, log-normal, log-logísica, normal, Rayleigh, half-normal, Lindley e exponencial segmenada. As suas funções de sobrevivência, as axas de risco, as funções densidade e empos de vida esperados esão resumidos na Tabela 2.2.

29 8 PRELIMINARES 2.2 Tabela 2.2: Função de densidade, função de sobrevivência e axa de falha para algumas disribuições. Disribuição Função de densidade de probabilidade Função de sobrevivência Função de risco f() S() h() 1 Exponencial (E) λ exp{ λ } exp{ λ } λ λ > 0, 0 α Weibull (W) λ α, λ > 0, 0 ( λ Rayleigh (R) exp σ 2 σ > 0, 0 ) (α 1) exp { ( λ) α } { } 2 2σ 2 1 Gama (G) σ α Γ(α) α 1 exp { σ α, σ > 0, 0 Log normal (LN) exp[ 1 2 log µ ( ) σ 2 ] (2π) 1/2 σ µ R, σ > 0, 0 α Log logisica (LogL) α 1 λ α, λ > 0, 0 2 Half-normal(HN) σ > 0, 0 Lindley (L) α > 0, 0 } exp{ ( λ exp { } 2 2σ 2 1 Γ(α,/σ) Γ(α) 1 Φ( ) α} α λ log µ σ ) ( λ) α 1 σ 2 α 1 exp{ α } Γ(α) Γ(α,/σ)α σ Γ(σ) (1+λ α ) 2 1+λ α 1+λ α 1 α α 1 λ σ φ ( σ ) α 2 (1+) exp{ α} α+1 Exponencial segmenada (ES) κlλl exp( λl( al 1)) exp λl > 0, [al 1, al) l = 1,..., L 2Φ ( σ (1+α+α) exp{ α} α+1 ( L l=1 f() S() ) 1 f() S() λl l() ) α 2 (1+) 1+α(1+) f() S() em que κl = exp ( l 1 i=1 λi(ai ai 1) ), se l = 2,..., L. e κl = 1, se l = 1. l() = 0, se < al 1, l() = al 1, se al 1 < al, l = 1,..., L. e l() = al al 1, se al.

30 2.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES COM SUPORTE POSITIVO 9 Devido a imporância hisórica, simplicidade maemáica e propriedades imporanes, vamos discuir em primeiro lugar, a disribuição exponencial. Ela é caracerizada por er sua função de axa de falha consane, iso é, h(; λ) = 1 λ. A função de densidade de probabilidade para a variável aleaória, T, com disribuição exponencial é dada por f(; λ) = 1 ( λ exp ), 0, λ em que o parâmero λ em a mesma unidade que o empo de falha,. Iso é, se é medido em horas, λ ambém será medido em horas. A disribuição exponencial possui as seguines propriedades. A primeira, referida como a fala de memória, é dada por P(T + z T > ) = P(T z), que permie a sua raabilidade maemáica, mas ambém reduz a sua aplicabilidade para muias siuações reais. Devido a esa propriedade disribuiva, segue-se que E(T T > ) = E(T ) = λ; iso é, a vida média residual é consane. Isso ocorre porque o empo aé a ocorrência fuura de um eveno não depende da hisória passada. Essa propriedade é às vezes chamada de propriedade de não-envelhecimeno ou a propiedade de ão velho como novo. Essa propriedade ambém é reeida na axa de falha consane da disribuição exponencial. Aqui, a probabilidade condicional de falha em qualquer insane, uma vez que o eveno não ocorreu anes do empo, não depende de. Embora a disribuição exponencial em sido hisoricamene muio popular, sua axa de falha consane parece demasiado resriiva, ano em aplicações indusriais quano para as de saúde. Oura disribuição popular é a disribuição de Rayleigh, homenagem ao físico e maemáico inglês John William Sru, conhecido como o erceiro barão de Rayleigh, é uma disribuição de probabilidade conínua para valores posiivos. Geralmene, essa disribuição é observada quando a magniude global de um veor esá relacionada com os seus componenes de direção. Por exemplo, quando a velocidade do veno é analisada em duas direções, ou seja, um veor de componenes bidimensional. Assumindo que as componenes são independenes e normalmene disribuídas com média zero e variâncias iguais, enão a velocidade geral do veno em um a disribuição de Rayleigh. Veja Siddiqui [1964] para mais dealhes. Um segundo exemplo da disribuição surge no caso de números complexos aleaórios cujos componenes real e imaginário são independenemene e idenicamene disribuídos Gaussiana com média zero e variâncias iguais. Nesse caso, o valor absoluo do número complexo é disribuído Rayleigh. Devido à disribuição exponencial e Rayleigh ser casos especiais da disribuição Weibull, consideramos os parágrafos subseqüenes para revisar algumas ouras propriedades que esão implícias na discussão desa disribuição. Rosin e Rammler [1933] a usaram para descrever as leis que regem a nura do carvão em pó, e Weibull[1939, 1951], propôs a mesma disribuição, que mais arde recebeu seu nome para descrever a duração de vida dos maeriais. Desde enão, a mesma vem sendo frequenemene usada em esudos biomédicos e indusriais. Sua função de sobrevivência é dada por S(; α, λ) = exp{ ( α}, λ) para > 0. Aqui λ > 0 é o parâmero de escala, e α > 0 é o parâmero de forma. Quando α = 1, em-se a disribuição exponencial e, logo a disribuição exponencial é um caso paricular da disribuição de Weibull. Figura 2.1, apresena uma variedade de funções de sobrevivência de Weibull. A sua função de risco em uma forma exível dada por h(; α, λ) = α λ ( ) α 1. (2.2) λ Pode-se ver a parir da Figura 2.1 que a disribuição Weibull é exível o suciene para acomodar axas de falhas crescenes (α > 1), decrescenes (α < 1), ou axas de falhas consanes (α = 1). Ese fao, junamene com as expressões das funções de sobrevivência, risco, e a densidade de probabilidade são quanidades relaivamene simples e de fácil inerpreação que ornaram o modelo muio popular na lieraura esaísica. É evidene que a forma da disribuição Weibull depende do

31 10 PRELIMINARES 2.2 S() α=0.5,λ=1 α=1,λ=1 α=3,λ=1 α=2,λ= 2 h() α=0.5,λ=1 α=1,λ=1 α=3,λ=1 α=2,λ= Figura 2.1: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de forma α, na disribuição Weibull. valor de α. Esa é a razão para referir-se a ese parâmero como o parâmero de forma. A disribuição de Weibull é uma generalização da disribuição de Rayleigh. Nese exemplo, o parâmero σ esá relacionado com o parâmero de escala Weibull λ : λ = σ 2 e α = 2. Pode-se ver na Figura 2.1 na linha em azul, para o parâmero σ = 1, ou, λ = 2. A disribuição exponencial segmenada foi inroduzida por Feigl e Zelen [1965]. Subseqüenemene, Friedman [1982]esendeu ese modelo com a inclusão de variáveis auxiliares. O modelo de Feigl e Zelen [1965] assume que a função de risco é consane em cada um de um conjuno nio de inervalos de empo. Uma parição conhecida dos empos a = (a 0, a 1,..., a L ) de al modo que 0 = a 0 < a 1 <... < a L 1 < a L = é considerada. A variável T é dia er em uma disribuição exponencial segmenada com veor de parâmeros λ = (λ 1,..., λ L ) e parição a (denoado por T ES(λ, a)) se h(; λ) = λ l, [a l 1, a l ), l = 1,..., L. (2.3) As funções de sobrevivência e de densidade correspondenes são dadas por ( ) L S(; λ) = exp λ l l (), > 0 e (2.4) l=1 com f(; λ) = κ l λ l exp( λ l ( a l 1 )), [a l 1, a l ), l = 1,..., L, (2.5) 1, se l = 1, ( ) κ l = l 1 exp λ i (a i a i 1 ), se l = 2,..., L. i=1 (2.6)

32 2.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES COM SUPORTE POSITIVO 11 e 0, se < a l 1, l () = a l 1, se a l 1 < a l, l = 1,..., L. a l a l 1, se a l, (2.7) S() λ 1 =0.2,λ 2 =0.7,λ 3 =0.2 λ 1 =0.4,λ 2 =0.1,λ 3 =0.4 λ 1 =0.4,λ 2 =0.6,λ 3 =0.8 λ 1 =0.1,λ 2 =0.4,λ 2 =0.9 h() λ 1 =0.2,λ 2 =0.7,λ 3 =0.2 λ 1 =0.4,λ 2 =0.1,λ 3 =0.4 λ 1 =0.4,λ 2 =0.6,λ 3 =0.8 λ 1 =0.1,λ 2 =0.4,λ 2 = Figura 2.2: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) do modelo exponencial segmenado com a = (2, 4). A disribuição exponencial de parâmero λ é o caso paricular da disribuição exponencial segmenada quando λ l = λ, para l = 1,..., L. Os comporamenos das funções de sobrevivência e de risco esão represenadas na Figura 2.2. Na Figura 2.2 pode-se vericar que a função de risco da disribuição exponencial segmenada não é conínua nos ponos do veor a. Isso implica que o conhecimeno do veor a é muio imporane. Porém, esa disribuição permie a modelagem de evenos em que a função de risco não é monóona (crescene, decrescene ou consane) como viso na Figura 2.2 no caso em que λ 1 = 0.4, λ 2 = 0.1, λ = 0.4 e a principal diferença com a Weibull é que a esa úlima disribuição é adequada só nos casos de evenos com função de risco monóona. Na práica, o uso desa disribuição ambém esá associado com o uso de uma abordagem semiparamérica e Bayesiana. Por exemplo, veja-se Pan e Kozakai [2013] e Demarqui e al. [2008]. A disribuição gamma pode ser usada para modelar empos de serviço, empo de vida de objeos e empos de reparo. Uma variável aleaória gamma T com parâmero de escala σ e parâmero de forma α em função de densidade de probabilidade { 1 f(; α, σ) = σ α Γ(α) α 1 exp }, > 0. σ A função de sobrevivência é dada por S(; α, σ) = 1 Γ(α, /σ), (2.8) Γ(α)

33 12 PRELIMINARES 2.2 em que Γ(s, ) represena a função gamma incomplea superior, denida como Γ(s, ) = e a função gama é denida como Γ(s) = Γ(s, ). A função de risco desa disribuição é dada por 0 h(; α, σ) = x s 1 exp( x)dx, s > 0 e > 0 (2.9) α 1 exp( α ) Γ(α) Γ(α, /σ)α σ Γ(σ). (2.10) A funções de sobrevivência e de risco, com algumas combinações de parâmeros são ilusradas na Figura 2.3. S() α=0.8,σ=1 α=1.5,σ=1 α=2,σ=1 α=1.4,σ=2 h() α=0.8,σ=1 α=1.5,σ=1 α=2,σ=1 α=1.4,σ= Figura 2.3: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) do modelo gamma. Por ouro lado, uma variável aleaória T segue uma disribuição log-normal se o seu logarimo Y = log T segue a disribuição normal. Assim como a disribuição de Weibull, a disribuição lognormal é muio uilizada para caracerizar empos de vida de produos e indivíduos. Iso inclui fadiga de meais, semiconducores, diodos e isolameno elérico. Ela ambém é basane uilizada para descrever siuações clínicas, como o empo de vida de pacienes com leucemia. Para dados que dependem do empo, esa disribuição foi popularizada por sua relação com a disribuição normal (amplamene conhecida na lieraura) e porque alguns auores observaram que a disribuição lognormal é uma boa aproximação para a disribuição dos empos de sobrevivência ou para os empos de aparecimeno de deerminadas doenças (Feinleib [1960] e Horner [1987]). Como a disribuição normal, a disribuição log-normal esá especicada por dois parâmeros, µ e σ, a média e variância de Y. Sua função densidade é expressa por φ f(; µ, σ) = ( log µ σ ) [ ] exp 1 log µ 2 ( σ ) 2 = (2π) (1/2), > 0, µ R, σ > 0. (2.11) σ e a sua função de sobrevivência é dada por ( ) log µ S(; µ, σ) = 1 Φ, (2.12) σ

34 2.2 PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES COM SUPORTE POSITIVO 13 S() µ=0,σ=0.3 µ=0,σ=0.5 µ=0,σ=1 µ=0,σ=1.5 h() µ=0,σ=0.3 µ=0,σ=0.5 µ=0,σ=1 µ=0,σ= Figura 2.4: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala σ do modelo log-normal. em que φ( ) e Φ( ) são a fda e a fdp da disribuição normal padrão, respecivamene. A axa de risco da disribuição é unimodal, iso é, o seu valor inicial é zero, aumena aé aingir um máximo e, em seguida, diminui para zero quando se aproxima do innio (veja a Figura 2.4). Ese modelo em sido criicado como uma disribuição de empos de vida, porque a função de risco esá diminuindo para grande o que parece implausível em muias siuações. Uma variável aleaória T em disribuição log-logísica se o seu logarimo Y = log T segue a disribuição logísica, uma disribuição basane semelhane a disribuição normal, mas sua função de sobrevivência é maemaicamene mais raável. A função de densidade para Y é expressa por exp( y µ σ ) σ[1 + exp( y µ < y <, σ )], em que µ e σ 2 são, respecivamene, o parâmero de locação e escala de Y. Podemos escrever esa disribuição no formao de modelo linear, omando Y = µ + σw, em que W segue a disribuição logísica padronizada com µ = 0 e σ = 1. A axa de risco e a função de sobrevivência, respecivamene, para a disribuição log-logísica podem ser escrias usando expressões relaivamene simples e em que α = 1/σ > 0 e λ = exp(µ/σ). h(; α, λ) = αλα λ α (2.13) S(; α, λ) = 1, > 0, (2.14) 1 + λα O numerador da função de risco é o mesmo o da função de risco da Weibull, mas o denominador faz com que a função de risco assuma as seguines caracerísicas: monóona decrescene para α 1. Para α > 1, a função de risco aumena inicialmene para um máximo de [(α 1)/λ] 1/α e, em seguida, decresce para zero quando o empo se aproxima do innio, como mosrado na Figura 2.5. Esa disribuição em similaridades com as disribuições Weibull e exponencial pelas formas

35 14 PRELIMINARES 2.2 S() α=0.2,λ=0.5 α=0.2,λ=1 α=1,λ=0.1 α=2,λ=1 h() α=0.2,λ=0.5 α=0.2,λ=1 α=1,λ=0.1 α=2,λ= Figura 2.5: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala λ do modelo log-logísico. fechadas das funções h() e S(). A sua axa de risco é semelhane a da log-normal, exceo nas caudas, mas em a vanagem de que a sua função de risco é mais simples. A disribuição half-normal é muio imporane na área das disribuições skew-siméricas, uma vez que é uilizada na represenação esócasica do modelo skew-normal, esudado por Azzalini[1985,1986], Henze [1986], enre ouros. Nos úlimos anos, essa disribuição foi usada para modelar dados posiivos e esá se ornando um imporane modelo na eoria de conabilidade. Assim, o ineresse esá focado no esudo do parâmero de escala. Sua função de densidade, é f(; σ) = 2 σ φ ( σ ) = 2 2πσ exp ( 2 2σ 2 ), > 0, (2.15) em que σ é o parâmero de escala. A axa de risco e função de sobrevivência, respecivamene, são e h(; σ) = φ( σ ) σ(1 Φ( σ )) (2.16) ( ( )) S(; σ) = 2 1 Φ. (2.17) σ Os comporamenos das funções de sobrevivência e de risco esão represenadas na Figura 2.6. Finalmene, a disribuição de Lindley foi originalmene proposa por Lindley [1958] no conexo das esaísicas duciais e Bayesianas, com a seguine fdp α 2 f(; α) = (1 + ) exp{ α}, α + 1 > 0, α > 0 (2.18) = pψ 1 () + (1 p)ψ 2 () (2.19) em que p = α α + 1,

36 2.3 ALGUMAS EXTENSÕES DE DISTRIBUIÇÕES CONHECIDAS 15 S() σ=0.5 σ=0.8 σ=1 σ=2 h() σ=0.5 σ=0.8 σ=1 σ= Figura 2.6: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero de escala σ, da disribuição half-normal. ψ 1 () = α exp{ α}, > 0, e ψ 2 () = α 2 exp{ α}, > 0. A fdp em (2.18) revela que a disribuição Lindley é uma misura de dois componenes de uma disribuição exponencial(com escala α) e uma disribuição gamma (com forma 2 e escala α), com proporção de misura p = α/(α + 1). Os comporamenos das funções de sobrevivência e de risco esão represenadas na Figura Algumas exensões de disribuições conhecidas Nesa subseção apresenamos algumas exensões de disribuições apresenadas na subseção anerior proposas na lieraura e que serão uilizadas nos próximos capíulos.

37 16 PRELIMINARES 2.3 S() α=0.5 α=0.8 α=1 α=2 h() α=0.5 α=0.8 α=1 α= Figura 2.7: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo Lindley.

38 2.3 ALGUMAS EXTENSÕES DE DISTRIBUIÇÕES CONHECIDAS 17 Tabela 2.3: função de densidade, função de sobrevivência e axa de falha para algumas disribuições. Função de densidade de probabilidade Função de Sobrevivência Função de Risco Auores Disribuição f() S() h() Cooray e Half-normal 2α α 1 σ α φ((/σ) α ) 2(1 Φ(/σ) α ) α α 1 φ(/σ) α σ α (1 Φ(/σ) α ) Ananda (2008) generalizada(hng) α, σ > 0 0 Nadarajah e Exensão do modelo αλ(1 + λ) α 1 exp{1 (1 + λ) α } exp{1 (1 (1 + λ)) α } αλ(1 + λ) (α 1) Haghighi (2011) Exponencial(ENH) α, λ > 0 0 Gupa e Exponencial ασ exp{ σ}(1 exp{ σ}) α 1 1 (1 exp{ σ}) α ασ exp{ σ}(1 exp{ σ}) α 1 1 (1 exp{ σ}) α Kundu (1999) Generalizada(EG) α, σ > 0 0 αθ Nadarajah Gamma λ Γ(λ) λ 1 exp{ θ} e Koz (2006) Exponencializada(GE), θ > 0 α, λ 0 Mudholkar Weibull αθ e Srivasava (1995) Exponencializada(WE) α, λ, θ > 0 0 [ Γ(λ,θ) Γ(λ) ] α 1 ( Γ(λ,θ) Γ(λ) ) α αθ λ Γ(λ) λ 1 exp{ θ} [ Γ(λ,θ) Γ(λ) ] λ ( λ )θ 1 exp ( λ )θ [1 exp ( λ )θ ] α 1 (1 exp (/λ) θ ) α αθ λ ( λ )θ 1 exp ( λ )θ [1 exp ( λ )θ ] Cordeiro Kumaraswamy abfhng(; α, σ)fhng(; ασ) a 1 {1 FHNG(; ασ) a } b 1 (1 FHNG(, α, σ) a ) b abfhng(;α,σ)fhng(;ασ) a 1 {1 FHNG(;ασ) a } e al. (2012) HNG(Kw-HNG) α, θ, c, b > 0 0 em que Γ(s, ) é a função gamma incomplea, denida na expressão (2.9).

39 18 PRELIMINARES Half-normal generalizada [Cooray e Ananda [2008]] A disribuição half-normal generalizada foi proposa por Cooray e Ananda [2008] como uma alernaiva a alguns modelos proposos na Seção 2.2 para o modelagem de empos de vida. A densidade do modelo, que foi moivada no conexo de conabilidade é dada por f(; σ, α) = 2αα 1 σ α φ (( σ ) α ), > 0, (2.20) em que, σ > 0, α > 0, e denoaremos por T HNG(σ, α). Quando α = 1, emos o modelo halfnormal, enunciado na Seção 2.2. A axa de risco e função de sobrevivência, respecivamene, para a disribuição half-normal generalizada são h(; σ, α) = αα 1 φ(( σ )α ) σ α (1 Φ(( σ )α )), (2.21) ( (( ) α )) S(; σ, α) = 2 1 Φ. (2.22) σ S() α=0.4 α=0.6 α=0.9 α=2 h() α=0.4 α=0.6 α=0.9 α= Figura 2.8: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo HNG. O parâmero α afea a forma desa nova disribuição. Em paricular, dependendo dos valores do parâmeros, a função axa de risco pode-se formar variedade de formas, ais como monóona crescene, monóona decrescene, e a forma banheira. As duas guras seguines demosram a forma da função de sobrevivência e a sua função de risco para diferenes valores de parâmeros (Figura 2.8). Uma exensão mais recene dese modelo, foi proposo por Cordeiro e al. [2012], a qual uiliza a função de disribuição acumulada do modelo HNG, no generador Kumaraswamy-G inroducida por Cordeiro e Casro [2015] Exponencial generalizada [Gupa e Kundu [1999]] A densidade do modelo é: f(; α, σ) = ασ exp( σ)[1 exp( σ)] α 1, > 0, (2.23)

40 2.4 PRINCIPAIS TESTES DE BONDADE DE AJUSTE 19 em que, σ > 0, e α > 0, assim denoaremos por T EG(σ, α). Quando α = 1, segue o modelo Exponencial, enunciado na Seção 2.2. A axa de risco e função de sobrevivência para o modelo são, respecivamene: e h(; σ, α) = ασ exp( σ)[1 exp( σ)]α 1 [1 (1 exp{ σ}) α ] (2.24) S(; σ, α) = 1 (1 exp{ σ}) α. (2.25) S() α=0.2 α=0.5 α=1.2 α=2 h() α=0.2 α=0.5 α=1.2 α= Figura 2.9: Função de sobrevivência (esquerda) e de risco (direia) para diferenes valores do parâmero α, do modelo EG Uma exensão do modelo exponencial [Nadarajah e Haghighi [2011]] Consideremos uma exensão do modelo exponencial, onde a fdp do novo modelo é f(; λ, α) = αλ(1 + λ) α 1 exp{1 (1 + λ) α }, > 0, (2.26) em que, λ > 0, e α > 0, que denoaremos por T NHE(λ, α). Quando α = 1, emos como caso paricular o modelo exponencial, enunciado na Seção 2.2. A axa de risco e função de sobrevivência, respecivamene, para o modelo são: e h(; λ, α) = αλ(1 + λ) α 1 (2.27) S(; λ, α) = exp{1 (1 (1 + λ)) α }. (2.28) 2.4 Principais eses de bondade de ajuse Um ese de bondade de ajuse é um ese usado para deerminar com um cero nível de signicância se uma amosra observada 1,..., n, com amanho n, foi obida de uma cera disribuição. Quaro eses de bondade de ajuse serão considerados nesa seção, que são: Kolmogorov-Smirnov, ese da razão de verossimilhança (TRV), Cramér-von Mises e ese de Anderson-Darling. Eses, serão uilizados para vericar se os respecivos ajuses dos modelos aos conjunos de dados que serão esudados são adequados.

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