SUGESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO I LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA I

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1 SUGESTÕES PARA O DESENVOLVIMENTO I LISTA DE EXERCÍCIOS DE FÍSICA I CAPÍTULO I MEDIÇÃO 1 - Os prefixos (micro, pico, nano,...) são dados em tabela para pronta referência na página principal do site. a) Como 1 km = m e 1m = 1 x10 6 µm, 1km =10 3 m = (10 3 m)( 10 6 µm/m) =10 9 µm. A medida é dada como 1,0 km (dois algarismos significativos), o que implica o nosso resultado deverá ser escrito como 1, µm. b) Calculando o número de mícrons em 1 centímetro. Desde que 1 cm = 10-2 m, 1 cm = 10-2 m = (10-2 m) (10 6 µm / m) = 10 4 µm. Conclui-se que a fração de um centímetro igual a 1,0 µm é de 1, c) Consultando a tabela de fatores de conversão (na página principal), temos que 1 yd = (3 ft) (0,3048m/ft) = 0,9144 m e 1,0 yd = (0,91 m) (10 6 µm / m) = 9, µm. 2 - Usando os dados fornecidos de fatores de conversão, encontramos: a) a distância d em varas 201,168m 1vara d = 4,0 estádios x =160 varas estádio 5,0292 m b) a distância em cadeias de ser 201,168m 1cadeia d = 4,0 estádios x = 40 cadeias estádio 20,117 m 3 - a) Substituindo, temos R = 6, m x 10-3 km/m = 6, km. O comprimento da circunferência é dado por C = 2πR =2π x 6, km = 4, km. b) A area da superfície da Terra é dada por: A = 4πR 2 = 4π x (6, km) 2 = 5, km 2. c) O volume da Terra: V = π R = π (6,37x V = 1, km 3. 3 km) O volume de gelo é dado pelo produto da área da superfície semicircular pela espessura (altura). A área do semicírculo é A = πr 2 /2, onde r é o raio. Portanto, o volume é onde z é a espessura do gelo. Uma vez que existem 10 3 m em 1 km e 10 2 cm em 1 m,

2 temos Nestas unidades, a espessura torna-se: Portanto, 5 - Usamos os fatores de conversão dados, temos: 1 Acre-pé = ( ft 2 ) x ft = ft 3. Desde que 2 in. = (1 / 6) ft, o volume de água que caiu durante a tempestade é : V = (26km 2 ) (1 / 6) ft = (26 km 2 ) (3281 ft/ km) 2 (1 / 6 ft) = 4, ft 3. Deste modo, 6 - A diferença percentual é, portanto: = 52,6 min 7 - Utilizamos os fatores de conversão e prefixos SI apresentados nas tabelas úteis disponíveis no site. Aqui, ns representa nanosegundo, ps representa picosegundo, e assim por diante. a) 1m = 3,281 ft e 1 s = 10 9 ns. Deste modo, b) Utilizando 1m = 10 3 mm e 1 s = ps, encontramos = 0,30 mm/ps 8 - Nós convertemos metros para unidades astronômicas e, segundos a minutos, utilizando 1000 m = 1 km 1UA = 1, km 60 s = 1min. Assim, 3, m/s se torna:

3 9 - O último dia dos 20 séculos é maior do que o primeiro dia, por (20 séculos) x (0,001 s / século) = 0,02 s. A média diária durante os 20 séculos é (0 + 0,02) / 2 = 0,01 s mais longo do que o primeiro dia. Desde que o aumento ocorre de maneira uniforme, o efeito cumulativo T é T = (média de aumento na duração de um dia) (número de dias) ou cerca de aproximadamente duas horas. 10 Se M E é a massa da Terra, m é a massa média de um átomo na Terra, e N é o número de átomos e, em seguida, ME = N m ou N = M E / m. Nós convertemos massa m para kg utilizando o dado do problema 1 u = 1,661 x kg. Deste modo, 11 - Nós introduzimos o conceito de densidade (o que os alunos terão provavelmente visto em outros cursos): e convertemos para unidades SI: 1 g = 1 x 10-3 kg. Para a conversão de volume, encontramos 1 cm 3 = (1 x 10-2 m) 3 = 1 x 10-6 m 3 Assim, a densidade em kg/m 3 é : Assim, a massa de um metro cúbico de água é de 1000 kg Nós dividimos a massa de água pelo tempo necessário para drená-la. A massa é encontrado a partir de M = ρv (o produto do volume de água pela sua densidade): M = (5700m 3 ) x (1 x 10 3 kg/m 3 ) = 5,70 x kg. O tempo é t = (10 h) (3.600 s / h) = 3,6 x 10-4 é, de modo que a taxa de escoamento de massa R é 13 - Nós introduzimos o conceito de densidade (o que os alunos terão provavelmente visto em outros cursos): e converter para unidades SI: 1000g = 1 kg, e 100 cm = 1 m. a) A densidade de uma amostra de ferro é, pois,

4 que gera ρ = 7870 kg/m 3. Se ignorarmos os espaços vazios entre as esferas atômicas e, então, a densidade de cada um átomo de ferro será a mesma que a densidade de qualquer amostra de ferro. Isto é, se M é a massa e V é o volume de um átomo, então b) Nós tomamos o volume da esfera atômica como V = 4π R 3 / 3, onde R é o raio de um átomo. Resolvendo para R, encontramos: A distância de centro-a-centro entre átomos é duas vezes o raio, ou 2,82 x m. CAPÍTULO II MOVIMENTO RETILÍNEO PROBLEMAS 1 - Assumindo que a velocidade horizontal da bola é constante, o deslocamento horizontal é x = v t, onde x é a distância horizontal percorrida, t é o tempo, e v é a velocidade(horizontal). Convertendo v para metros por segundo, temos 160 km/h = 44,4m/s. Deste modo 2 - Durante um tempo t c quando a velocidade continua a ser uma constante positiva, a velocidade instantânea é equivalente a velocidade média e a distância é equivalente ao deslocamento, com x = v t c. a) Durante a primeira parte do movimento, o deslocamento é x 1 = 40 km e o intervalo de tempo é Durante a segunda parte, o deslocamento é x 2 = 40 km e o intervalo de tempo é Ambos os deslocamentos são no mesmo sentido, de modo que o deslocamento total é x = x 1 + x 2 = 40 km + 40 km = 80 km. O tempo total para a viagem é t = t 1 + t 2 = 2,00 h. Consequentemente, a velocidade média é b) Neste exemplo, o resultado numérico para a velocidade escalar média é a mesma que a velocidade média: 40 km/h. (c) Para poupar espaço, descrevemos sucintamente o gráfico (com posição em quilômetros e tempo em horas): uma linha contínua com dois segmentos, o primeiro com uma inclinação de 30 e ligando a origem em (t 1,x 1 ) = (1,33; 40) e o segundo com uma inclinação de 60 e ligando (t 1,x 1 ) a (t, x) = (2,00; 80). A velocidade média, a partir do ponto de vista gráfico, é a inclinação de uma linha traçada desde a origem até (t, x). 3 - a) indicando o tempo de viagem e distância de San Antonio a Houston como T e D, respectivamente, a velocidade escalar média é:

5 que deve ser arredondado para 73 km/h (2 algarismos significativos). b) usar o fato de que o tempo = distância / velocidade, quando a velocidade é constante, nós achamos que deve ser arredondado para 68 km/h. c) A distância total percorrida (2D) não deve ser confundido com o líquido deslocamento (zero). Obtemos para as duas partes da viagem: d) Uma vez que o deslocamento líquido é nulo, a velocidade média para a viagem em sua totalidade é nula também. e) descrever brevemente o gráfico (com posição em quilômetros e tempo em horas): uma linha contínua com dois segmentos, o primeiro com uma inclinação de 55 e ligando a origrem em (t 1, x 1 ) = (T/2, 55T/2) e o segundo, com uma inclinação de 90 e de ligando (t 1, x 1 ) a (T, D), onde D = ( ) T/2. A velocidade média, a partir do ponto de vista gráfico, é a inclinação de uma linha traçada desde a origem até (T, D). 4 - Usando x = 3t - 4t 2 + t 3 com unidades SI a) Ligar em t = 1 s temos x = 3(1) 4 (1) = 0. Com t = 2 s temos x = 3(2) 4 (2) = -2 m. Do mesmo modo, para t = 3 s temos x = 3(3) 4 (3) = 0 e para t = 4 s temos x =3(4) 4 (4) = 12 m. Para referência posterior, também nota-se que a posição em t = 0 é x = 3(0) 4 (0) =0. b) A posição em t = 0 é subtraída da posição em t = 4 s para encontrar o deslocamento x = 12 0 = 12 m. c) A posição em t = 2 s é subtraída da posição em t = 4 s para fornecer o deslocamento x = 12 ( 2) = 14 m. Logo, temos: d) O eixo horizontal é 0 t 4, com unidades SI. A resposta para parte (c) é a inclinação da reta vermelha que liga o ponto em (t, x) = (2, -2) ao mais alto ponto mostrado (na t = 4 s). 5 - A velocidade (tanto magnitude como o sinal) é determinado pela inclinação da curva x versus t, logo:

6 (a) O tatu está à esquerda da origem do eixo quando sua posição é negativa (x < 0): entre t = 2,0 s e t = 4,0 s. (b) A velocidade é negativa entre t = 0 e t = 3,0 s (inclinação negativa). (c) A velocidade é positiva entre t = 3,0 s e t = 7,0 s (inclinação positiva). (d) A velocidade é zero no mínimo da função do gráfico (em t = 3,0 s). 6 - A velocidade da partícula é dada por: Assim, em t = 1,0 s, a velocidade é v = (1) = - 6,0 m / s. (b) Uma vez que v <0, ela está se movendo no sentido negativo de x em t = 1 s. (c) Em t = 1 s, a velocidade é v = 6,0 m/s. (d) Para 0 < t < 2 s, v diminui até que ele desapareça. Para 2 < t < 3 s, v aumenta de zero ao valor que tinha em (c). Então, v é maior que o valor para t > 3 s. (e) Sim, uma vez que v muda suavemente de valores negativos (em t = 1,0 s) para positivos (note que, como t +, temos que v + ). Pode-se verificar que v = 0 quando t = 2,0 s. (f) Não. Na verdade, a partir de v = t, sabemos que v > 0 para t > 2 s. 7 - trabalhamos com distâncias em centímetros e tempo em segundos. (a) para t = 2,00 s, temos que x 2 = 9,75 + 1,50x(2) 3 = 21,75 cm e para t = 3,00 s temos que x 3 = 9,75 + 1,50x(3) 3 = 50,25 cm, respectivamente. A velocidade média durante o intervalo de tempo t 2,00 3,00 s é: que produz v MED = 28,5 cm / s. (b) A velocidade instantânea é, que produz v = (4,5) (2,00) 2 = 18,0 cm/s no instante t = 2,00 s. (c) Em t = 3,00 s, a velocidade instantânea é v = (4,5) (3,00) 2 = 40,5 cm/s. (d) Em t = 2,50 s, a velocidade instantânea é v = (4,5) (2,50) 2 = 28,1 cm/s. (e) Seja t m o instante em que a partícula está no meio do caminho entre x 2 e x 3 (isto é, quando a partícula está em x m = (x 2 + x 3 ) / 2 = 36 cm). Portanto, x m = 9,75 + 1,5t 3, de onde temos: tm = 2,596 s Assim, a velocidade instantânea, neste momento é v = 4,5 (2,596) 2 = 30,3 cm/s. (f)

7 A resposta da parte (a) é dada pela inclinação da reta entre t = 2 e t = 3, no gráfico x = f(t) As respostas às partes (b), (c), (d) e (e) correspondem à inclinações da reta tangente (não mostrado mas facilmente imaginado) para a curva nos pontos adequados. 8 - Uma vez que v = dx/dt, então x = v dt, o que corresponde à área sob o gráfico de v =f(t). Dividindo a área total em retângulos (A R = base x altura) e triângulos (A T = base altura/2), temos com unidades SI. Desta forma, obtemos x = 100 m. 9 - Nós representamos o primeiro sentido de seu movimento como a direção +x, de modo que v 0 = 18 m/s e v = -30 m/s (quando t = 2,4 s). Utilizando a definição de aceleração média encontramos que indica que a aceleração média tem magnitude 20 m/s 2 e está na direção oposta a da velocidade inicial da partícula Nesta solução, fazemos uso da notação x (t) para o valor de x em um determinado t. Assim, x (t) = 10t t com unidades SI (metros e segundos). (a) A velocidade média durante os primeiros 3 s é dada por (b) A velocidade instantânea no tempo t é dado por v = dx/dt = t, em unidades SI. Em t = 3,0 s, v = 50 + (20) (3,0) = 110 m / s. (c) A aceleração instantânea no instante t é dado por a = dv/dt = 20 m/s 2. Ela é constante, logo a aceleração, em qualquer instante, é 20m/s 2. (d) e (e) Os gráficos abaixo mostram as coordenadas x e velocidade v como funções do tempo, com unidades SI. A linha pontilhada marcado com (a) no primeiro gráfico é executado a partir de t = 0, x = 0 para t = 3,0 s, x = 240 m. A sua inclinação é a velocidade média durante os primeiros 3 s de movimento. A linha pontilhada marcada com (b) x é tangente à curva em t = 3,0 s. A sua inclinação é a velocidade instantânea em t = 3,0 s.

8 11 - Nesta solução, fazemos uso da notação x (t) para o valor de x em um determinado t. As notações v (t) e a(t) têm significados semelhantes. (a) Uma vez que a unidade de ct 2 é de comprimento, a unidade de c deve ser de comprimento/tempo 2, ou m/s 2 no SI. Desde bt 3 tem unidade de comprimento, b deve ter uma unidade de comprimento/tempo 3, ou m/s 3. (b) Quando a partícula atinge a sua coordenada máxima (mínima) a sua velocidade é zero. Desde o que a velocidade é dada por v = dx/dt = 2ct - 3bt 2, v = 0 ocorre para t = 0 e para Para t = 0, x = x 0 = 0 e para t = 1,0 s, x = 1,0 m > x 0. Desde que nós procuramos o máximo, rejeitamos a primeira raiz (t = 0) e aceitamos a segunda (t = 1s). (c) Nos primeiros 4 s a partícula se move desde a origem até x = 1,0 m, gira ao seu redor, e retorna à x (4 s) = (3,0m/s 2 ) (4,0 s) 2 - (2,0m/s 3 ) (4,0 s) 3 = -80m. O comprimento total do caminho que se percorre é 1,0 m + 1,0 m + 80 m = 82m. (d) Seu deslocamento é dado por x = x 2 - x 1, onde x 1 = 0 e x 2 = -80 m. Assim, x = - 80 m. (e) A velocidade é dada por v = 2ct - 3bt 2 = (6,0m/s 2 ) t - (6,0m/s 3 ) t 2. Deste modo v (1 s) = (6,0m/s 2 ) (1,0 s) - (6,0m/s 3 ) (1,0 s) 2 = 0 v (2 s) = (6,0m/s 2 ) (2,0 s) - (6,0m/s 3 ) (2,0 s) 2 = -12 m / s v (3 s) = (6,0m/s 2 ) (3,0 s) - (6,0m/s 3 ) (3,0 s) 2 = - 36m / s v (4 s) = (6,0m/s 2 ) (4,0 s) - (6,0m/s 3 ) (4,0 s) 2 = - 72m / s. (f) A aceleração é dada por a = dv/dt = 2c - 6b = 6,0m/s 2 - (12 m/s 3 ) t. Deste modo a(1 s) = (6,0m/s 2 ) (12 m/s 3 )(1,0 s) = 6,0m/s 2 a(2 s) = (6,0m/s 2 ) (12 m/s 3 ) (2,0 s) = 18m/s 2 a(3 s) = (6,0m/s 2 ) (12 m/s 3 )(3,0 s) = 30m/s 2 a(4 s) = (6,0m/s 2 ) (12 m/s 3 ) (4,0 s) = 42m/s A condição de aceleração constante permite a utilização da equação de Torricelli. (a) Definindo v = 0 e x 0 = 0, em v 2 = v a (x - x 0 ), encontramos:

9 Desde que o múon está desacelerando, a velocidade inicial e a aceleração devem ter sinais opostos. (b) Abaixo estão os gráficos posição x e a velocidade v em função do tempo do movimento do muon a partir do momento que ele entra na região de aceleração até o instante em que ele pára. O cálculo da parte (a) não fez qualquer referência ao tempo, usamos outras equações (como v = v 0 + at e x = v 0 t + at 2 /2) foram utilizados na realização destes gráficos. O eixo do tempo está em nanosegundos (1 ns = 10-9 s) e o eixo vertical do segundo gráfico está em megâmetros por segundo (1Mm = 10 6 m) Nós usamos v = v 0 + at, com t = 0 como o instante, quando a velocidade é igual a 9,6 m/s. (a) Uma vez que queremos calcular a velocidade antes de fóruns tempo t = 0, definimos t = - 2,5 s. Assim, temos: v = (9,6 m/s) + 3,2m/s 2 ( - 2,5 s) = 1,6 m / s. (b) Agora, t = 2,5 s e encontramos v = (9,6 m/s) + 3,2m/s 2 (2,5 s) = 18 m/s A aceleração constante declarada no problema permite o uso das equações de M.R.U.V. (a) ResoIvemos v = v 0 + at, para o tempo: que é equivalente a 1,2 meses. (b) Calculamos em x = x 0 + v 0 t + at 2 /2, com x 0 = 0. O resultado é 15 - Admitindo aceleração constante podemos usar as equações do M.R.U.V. Resolvemos v 2 = v a (x - x 0 ) com x 0 = 0 e x = 0,010 m. Deste modo,

10 16 A afirmação do problema (ver parte (a)) indica que aceleração é constante, o que nos permite utilizar as equações do M.R.U.V. (a) Tomamos x 0 = 0, e resolvemos x = v 0 t + at 2 /2 para a aceleração: a = 2 (x - v 0 t) / t 2. Substituindo x = 24,0m, v 0 = 56,0 km/h = 15,55m/s e t = 2,00 s, encontramos O sinal negativo indica que a aceleração é oposta ao sentido do movimento do carro. O carro está desacelerando. (b) Nós calculamos v = v 0 + at, como segue: v = 15,55m/s 3,56m/s 2 (2,00 s) = 8,43 m/s o que é equivalente a 30,3 km/h Assumimos os períodos de aceleração (duração t 1 ) e desaceleração (duração t 2 ) são períodos de aceleração constante e as equações do M.R.U.V. podem ser utilizadas. Tomando a direção do movimento a ser seguida como + x, então a = + 1,22 m/s 2 e a 2 = - 1,22 m/s 2. Usamos unidades SI de forma que a velocidade em t = t 1 é v = 305/60 = 5,08 m/s. (a) Nós denotamos x como a distância percorrida durante t 1, e usamos: que nos fornece x = 10,59 10,6 m. (b) Utilizando v = v 0 + at, temos O tempo de desaceleração t 2 acaba por ser igual ao da aceleração (t 2 = t 1 ). Portanto o tempo total gasto com aceleração é t 1 + t 2 = 8,33 s. As distâncias percorridas nos intervalos t 1 e t 2 são os mesmos, assim a distância percorrida com aceleração é 2 x (10,59) = 21,18 m. Isto implica que, para uma distância de ,18 = 168,82 m, o elevador está viajando a velocidade constante. O tempo gasto no movimento com velocidade constante é Portanto, o tempo total é de 8, ,21 41,5 s. 18 Desprezando a resistência do ar justifica tomar a = - g = = - 9,8 m/s 2 (se estabelecendo que a nossa direção y é para baixo) durante a queda. Esta aceleração é constante no movimento, e nós podemos usar as equações do M.R.U.V. (a) Utilizando a equação de Torricelli e tomando a raiz negativa (desde que a velocidade final é para baixo), temos: em unidades SI. Sua magnitude é, portanto, 183 m/s. (b) Não, mas é difícil fazer uma análise convincente, sem mais estudos. Estimamos que a massa de uma gota de chuva deverá ser de cerca de um grama ou menos, de modo que a sua massa e a velocidade (da parte (a)) seria inferior a de uma bala típica, o que é uma

11 boa notícia. Mas o fato é que estamos lidando com muitas gotas de chuva, o que nos leva a suspeitar de que este cenário representa uma situação perigosa à saúde. Se nós levarmos em conta a resistência do ar, a velocidade final é menor, é claro, e voltamos para situação relativamente saudável com a qual estamos familiarizados Nós desprezamos a resistência do ar ao longo de toda a duração do movimento (entre o "lançamento" e "retorno"), de forma que a = - g = -9,8 m/s 2 (tomamos o setido descendente como a direção -y). Usamos as equações do MRUV (com y substituindo x), porque aceleração é uma constante no movimento. (a) No ponto mais alto a velocidade da bola se anula. Tomando y 0 = 0, estabelecemos v= 0 em v 2 = v 0 2-2g (y - y 0 ) e resolvemos para a velocidade inicial: Dado que y = 50m encontrarmos v 0 = 31 m/s. (b) Estará no ar a partir do momento em que sai do chão até o momento ele retorna ao solo (y = 0). Aplicando y = f(t) a todo o movimento (a ascensão e a queda, do tempo total para t > 0) temos: que (usando nosso resultado da parte (a)) produz t = 6,4 s. É possível obter isto sem utilizar o resultado da parte (a); nós podemos encontrar o tempo apenas para a subida (a partir do solo para o ponto mais alto) de v = v 0 gt e, em seguida, duplicá-lo. (c) em unidades SI os gráficos são mostrados abaixo. Para poupar de espaço, não mostramos o gráfico de aceleração, que é uma linha horizontal em a = - 9,8m/s Tomando como + y o sentido descendente e y 0 = 0, temos y = v 0 t + gt 2 /2 que (com v 0 = 0), torna-se (a) Para esta parte do movimento, y = 50 m, assim: (b) Para a parte seguinte do movimento, observamos que o deslocamento total é y = 100 m. Assim, o tempo total é A diferença entre esta e a resposta à parte (a) é o tempo necessário para queda da segunda parte dos 50 m: 4,5-3,2 = 1,3 s.

12 21 - Nós desprezamos a resistência do ar, o que justifica a fixação de uma aceleração constante a = -g = -9,8 m/s2 (tomando-se a direção - y para baixo) durante o movimento. Nós podemos utilizar as equações do MRUV (com y substituindo x). O chão é tomado para corresponder à origem do eixo y. (a) Usando y = v 0 t + gt 2 /2, com y = 0,544 m, e t = 0,200 s, encontramos (b) A velocidade com y = 0,544 m é v = v 0 - gt = 3,70 - (9,8) (0,200) = 1,74 m / s. (c) Utilizando v 2 = v 0 2 2gy (com diferentes valores de y e v do que antes), para o qual encontramos valor de y correspondente à altura máxima (onde v = 0).. Assim, o tatu vai 0,698-0,544 = 0,154 m mais alto A velocidade do barco é constante, dado por v b = d/t. Aqui, d é a distância do barco a partir da ponte quando a chave é abandonada (12 m) e t é o tempo que a chave leva em queda. Para calcular t, pusemos a origem do sistema de coordenadas no ponto em que a chave é largada e tomamos o eixo y de ser positivo no sentido descendente. Tomando o tempo para ser zero no instante a chave é abandonada, calculamos o tempo t, quando y = 45m. Desde que a velocidade inicial da chave é igual a zero, a coordenadas da chave é dada por y = gt 2 /2. Deste modo: Portanto, a velocidade do barco é