Mestrado em Engenharia Informática e de Computadores Ambientes de Visualização Tridimensional. Curves and Surfaces
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- Bento Vilaverde Antas
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1 Mesrado em Engenharia Informáia e de Compuadores Ambienes de Visualização Tridimensional Curves and Surfaes Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
2 Summary Curves and Surfaes Inroduion Curve Represenaion arameri Curves arameri Surfaes Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
3 Curves and Surfaes Curve Represenaions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
4 Mahemaial Represenaion of Curves Explii Implii arameri y f(x), z g(x) f(x, y, z) xx(), yy(), zz() Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
5 Curves and Surfaes arameri Curves Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
6 arameri Curve Naural definiion of a urve made hrough onrains oisiion, angeny, urvaure, onrol poins Inerpolaion versus Approximaion Curve Segmens and Junion oins Smoohness oninuiy in junion poins derivaives of parameri funions Loal Conrol Changing a single onrol poin should be refleed loally No in he whole urve Allows beer ineraiviy in urve definiion Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
7 arameri olynomial Curve Q ( ) k k olynomial degree k Low flexibiliy in shape definiion Small number of oefiiens olynomial degree k> Higher number of oefiiens Shapes wih osilaions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
8 arameri Cubi Curve Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL nz ny nx n T C,, ) ( Q ) ( n n n Q i.e.: Wih:
9 arameri Cubi Curve Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL T [ ] T z y x z y x z y x z y x C Q() T C Given by: Wih:
10 Singular ase (seldomly used) Curve inerpolaes 4 poins p, p, p, and p. Consider inerval equally spaed, /, /, Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL A arameri Cubi Curve kz ky kx k p p p p A p p p p A C
11 A arameri Cubi Curve Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL ( ) ( ) ( ) ( ) M p C A M A Therefore
12 Blending Funions M: Basis marix Transforms geomeri onsrains (border ondiions) ino polynomial oeffiiens and araerize he urve Q() T C T M p Q() b() p wih b() T M b() marix wih polynomial blending funions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
13 Blending Funions Q() b() p wih b() T M b() marix wih polynomial blending funions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( where, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b b b b b p b p b p b p b p b p() T i i i
14 Blending Funions In he sudied ase: Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u u u u u u u u u u u u u b u b u b u b u b T
15 Blending Funions roblems of sudied ase Zeros of blending funions are in inerval [, ] Only fairly smooh urve Suffers from osilaions More serious in higher order polynomials No derivaive oninuiy in junions Conlusion: seldomly used in CG Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
16 Curve Types Differen blending funions and geomeri onsrains differen ypes of urve are defined: Hermie: Defined by posiion and angens a exremiies Bézier: Defined by posiion of exremiies and of wo addiional onrol poins (spefiy he angen) B-Spline: Generalizaion of Bézier. Consrus a urve, approximaed o exremiy poins, bu wihou passing on hem. This degree of freedom guaranees C and C oninuiy in junions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
17 Curve Types Hermie Bézier Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL M H R R G 6 M B 4 G Q() [ x() y() z() ] T M G
18 Hermie Cubi Curve Le s define he basis marix! s : idenify he geomeri onsrains nd : deermine four equaions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
19 Hermie Cubi Curve Consrains Q() Q() Q'() R Q'() R Q + ( ) + + Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
20 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Hermie Cubi Curve Four Equaions '() '() () () R Q R Q Q Q ) ( Q R R
21 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Hermie Cubi Curve Inverse basis marix R R [ ] T h h h h T R R G A M C A G G M C C T G M T Q() A h
22 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Hermie Cubi Curve Basis marix A h A M h h
23 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Hermie Cubi Curve Basis Marix M H Geomery Veor R R G Defined by: Two exremey poins, Two veors (urve angens in hose poins) R, R No longer a magi marix! We have jus deermined i.
24 Hermie Cubi Curve Blending Funions M h : Basis marix Transforms geomeri onsrains (border ondiions) ino polynomial oeffiiens and araerize he urve Q() T T C T T M h G h Q() b h () T G wih b h () M ht T b h () marix wih polynomial blending funions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
25 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL T T M b T h h ) ( Hermie Cubi Curve Blending Funions
26 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Hermie Cubi Curve Blending Funions ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b b b b b T
27 Bézier Cubi Curves Le s define he basis marix! s : idenify he geomeri onsrains nd : deermine four equaions Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
28 Bézier Cubi Curves Crieria Funions inerpolae urve a iniial and final poins of onrol polygon Dire onrol of urve exremeies Tangen veores are given by ( ) and ( ) Dire onrol of urve slopes a exremiies revious propery should be generalized o higher derivaives Allows onrol of oninuiy a junions Funions mus have symeri behavior wr () and (-) Allows inversion of verex order in onrol polygons wihou hanges in urve Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
29 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Bézier Cubi Curves Consrains wr Hermie h h h h R R 4 4 ) ( ) ( 4 R R h h h h
30 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Bézier Cubi Curves Basis Marix wr Hermie hb h b b bh h bh M M M G M M T Q M ) (
31 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL Bézier Cubi Curves Basis Marix 6 b bh h b M M M M
32 Curves and Surfaes Surfae Represenaion Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
33 Represenação de Superfíies Malhas oligonais Manipulação menos versáil roessameno mais simples Dependende de Armazenameno efiaz Ténia de represenação da malha Superfíies aramérias Modelação de Objeos Deformáveis Failiada Melhores aproximações a smooh surfaes Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
34 Malha poligonal Conjuno de véries, aresas e polígonos Coneados Aresa liga dois véries Sequênia fehada de aresas polígono Cada aresa é parilhada por dois polígonos Represenação da malha pode variar Cada represenação em vanagens e desvanagens Várias represenações simulâneas ara armazenameno exerno ara armazenameno inerno ara manipulação ineraiva Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
35 Represenação de Objeos D Superfíies aramérias Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
36 Superfíies aramérias Realho (pah) é um roço de superfíie om u e v definido no domínio (,). Mana de realhos são usadas para modelar as froneiras de objeos D omplexos: p( u, v) i j b i ( u) b j ( v) p ij Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
37 Superfíies aramérias Biúbias (/) Generalizações das urvas paramérias Q() [ x() y() z() ] T M G ara superfíies: Q(s,) [ x(s,) y(s,) z(s,) ] S M G() Veor geomério G deixa de ser onsane Varia em Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
38 Superfíies aramérias Biúbias (/) Q(s,) Definida S por: M H G() Veor Geomério Onde: G G G G G 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ahes Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
39 Superfíie pah de Hermie (/) Definida por: Onde: T T H H H T M G M S s x x ), ( T T H H H T M G M S s y y ), ( T T H H H T M G M S s z z ), ( (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x s x s x s x s x s x s x s x s x x x x x x x x G x H Exremos da superfíie Veores angenes Twiss Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
40 Superfíie pah de Hermie (/) Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
41 Superfíie pah de Bézier (/) Definida por: x( s, ) S M G M T x B B T B T y( s, ) S M G M T y Usa mariz de 4x4 ponos de onrolo ara deerminar resrições geomérias B z( s, ) S M G M T z B B B T B T B T T G B Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
42 Superfíie pah de Bézier (/) Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
43 Superfíie B-Spline Definida por: x( s, ) S M G M T x Bs Bs T Bs T y( s, ) S M G M T y Bs Bs Bs Bs T Bs z( s, ) S M G M T z T B T T Definição de G Bs semelhane a Curva B-Spline ah de Bézier Conjuno de ponos de onrolo define G Bs Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
44 Normais a Superfíies Biúbias Normais a superfíies são imporanes Sombreameno Reore Deeção de Colisões Conrolo de equipameno de CAM Cálulo de normal a superfíie Usa-se derivada de Q(s,) Compuaionalmene pesado r n( s, ) Q( s, ) Q( s, ) s Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
45 Represenação de Objeos D Sólidos e Volumes Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
46 Tipos de Represenações Insaniação de rimiivas Represenação por Varrimeno Sweep Represenação de Froneira Boundary Represenaion (B-reps) Represenação por arição do Espaço Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
47 Insaniação de rimiivas (/) Baseada em primiivas paramerizadas Exemplo: pirâmide om número de faes laerais variável empregue no CAD engrenagens, poras e parafusos Hierarquizáveis Não assoiáveis novos objeos êm que ser definidos não podem ser omposos Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
48 Insaniação de rimiivas (/) a d a b 6 4, ,6 d b Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
49 Represenação por Varrimeno (/4) Obida por ranslação exrusão roaão Gerais são difíeis de modelar É difíil apliar operações booleanas Inerfae ao uilizador simples mas a armazenagem é normalmene feia nouros ipos de represenação Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
50 Represenação por Varrimeno (/4) Exrusão Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
51 Represenação por Varrimeno (/4) Roação Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
52 Represenação por Varrimeno (4/4) Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
53 Represenação de Froneira (/) Derivam das represenações veoriais Desrevem os objeos Em ermos das suas froneiras véries, aresas e faes odem ser resrias a froneiras planas poligonais Simpliação adiional as faes são polígonos onvexos ou riângulos Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
54 Represenação de Froneira (/) Difíil deerminação do que é uma fae quando as superfíies são urvas mas são aproximáveis por polígonos Geralmene, sisemas usam sólidos Cujas froneiras são -manifolds Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
55 Represenação de Froneira (/) Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
56 Represenação por arição do Espaço Deomposição de élulas Enumeração da oupação espaial Árvore de oanes (ou quadranes) Árvores binárias de deomposição do espaço Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
57 Deomposição em Células Sólido a represenar Represenações a rimiivas b Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
58 Enumeração da Oupação do Espaço Caso espeial da deomposição em élulas Células são idênias Disposas numa grelha fixa e regular Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
59 Árvore de Oanes Variane de enumeração da oupação espaial e das quadrees Dividir para onquisar Subdivisão suessiva em oanes aé que oanes sejam homogéneos odos heios ou odos vazios Aé nível máximo aingido Oanes homogéneos filhos do mesmo pai subsiuídos pelo pai Varrimeno pode ser de ima para baixo de baixo para ima Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
60 Árvore de Quadranes quadree V C C C C C C C V C C C C V V C V V V V C V C V V C V V C V V Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
61 Árvore de arição Binária (/) Cada espaço é subdividido em dois sub-espaços Iniialmene riado para deerminar superfíies visíveis Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
62 Árvore de arição Binária (/) 4 5 ou 6 ou ou in ou in ou 9 ou 5 in ou Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
63 Represenação de Objeos D Consruive Solid Geomery Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
64 CSG Combinam-se primiivas simples Usando operações booleanas ara represenar objeos omplexos Armazenameno Árvore binária Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
65 Operações CSG (/) A A B A B B AB BA Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
66 Operações CSG (/) () () () (4) (5) (6) Resulados: sólido, superfíie, aresa, pono e vazio Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
67 Consruindo om CSG Exemplo: usando rês primiivas: Ring: orus Inside: ylinder Ouside: ylinder Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
68 Corpo doene de / CG&M / DEI / IST / UTL
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