Grupo A: Ana Catarina Aperta, Daniel Peixeiro, Pedro Antunes

Transcrição

1 Grupo A: Ana Catarina Aperta, Daniel Peixeiro, Pedro Antunes b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 1, α = 1, β = 0 com a(t) = b(t) = (t + 1) 1, z(x) = x 2 ), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = sin( x A), e outra, construa uma aproximação f h (x) = f(xij )ψ ij (x), usando as funções base definidas em b), e variando h 0, apresente resultados gráficos da aproximação e do erro, comentando esses resultados. d) Para f(x) = 0, g(x) = e x1 sin(x 1 ) + x 2 e uma outra escolha, considere o problema de 1

2 Grupo B: Bruno Coelho, Catarina Vaz, Raquel Escola b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 2, α = 1, β = 0 com a(t) = b(t) = (t 2 + 1) 1, z(x) = sin 2 (πx/4)), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = ( x A) cos(x 1 ), e uma outra, construa uma aproximação d) Para f(x) = 0, g(x) = x 2 1 x 2 2 e uma outra escolha, considere o problema de Dirichlet { 2

3 Grupo C: Américo Ambrósio, Damiano Pasetto, Pedro Silvério b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 3, α = 3, β = 0 com a(t) = b(t) = (t 2 sin 2 (4t) + 1) 1, z(x) = cos 2 (x 2 9)), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = ( x A) 2 cos(x 1 x 2 ), e uma outra, construa uma aproximação d) Para f(x) = 0, g(x) = e 2x1 sin(2x 2 ) e uma outra escolha, considere o problema de 3

4 Grupo D: Ana Maia, Rita Cadimas, Sofia Araújo b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 1, α = 3, β = 0 com a(t) = b(t) = (t 3 + 1) 1, z(x) = cos 2 (x 2 1)), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = ( x A) cos(2x 2 ), e uma outra, construa uma aproximação d) Para f(x) = 0, g(x) = e x1 sin(x 2 ) e uma outra escolha, considere o problema de 4

5 Grupo E: Marta Carreteiro, Rodrigo Borba b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 1, α = 1, β = 0 com a(t) = b(t) = (t 2 + 1) 1, z(x) = cos(x 2 1)), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = ( x A) cos 2 (x 1 ), e uma outra, construa uma aproximação d) Para f(x) = 0, g(x) = x x 1 x 2 x 2 2 e uma outra escolha, considere o problema de 5

6 Grupo F: Mohamed Agwa, Filipe Cal, Kathrin Armbrecht b) Para valores C, T, α, β e funções a, b, z escolhidas (inclua um caso C = 2, α = 4, β = 0 com a(t) = b(t) = (t 2 sin 2 (t) + 1) 1, z(x) = sin( πx/4)), apresente resultados numéricos de instabilidade, e também convergência, quando N, M. c) Para a função f(x) = sin( x A) cos(x 1 x 2 ), e uma outra, construa uma aproximação f h (x) = f(x ij )ψ ij (x), usando as funções base definidas em b), e variando h 0, apresente d) Para f(x) = 0, g(x) = e 2x 1 cos(2x 1 ) + x 2 1 x 2 2 e uma outra escolha, considere o problema de 6

7 English Version 2nd Computational Work - ANEDP Group F: Mohamed Agwa, Filipe Cal, Kathrin Armbrecht 1. Consider the evolution equation for (x, t) ( C, C) [0, T ] with initial conditions u(x, 0) = z(x) and conditions on the limits u( C, t) = a(t) e u(c, t) = b(t). Consider h x = 2C/N, h t = T/M. a) Take fixed values α, β 0. Implement an explicit and an implicit scheme to calculate the solution u(x, t), presenting criteria for the convergence of the adopted schemes. b) For chosen values C, T, α, β and functions a, b, z (include the case C = 2, α = 4, β = 0 with a(t) = b(t) = (t 2 sin 2 (t) + 1) 1, z(x) = sin( πx/4)), present numerical results of instability and also of convergence, when N, M. 2. Consider the set B with 6 finite elements (E k, P, N ) where E k are 6 disjoint rectangle triangles with a common vertex y 0 = (0, 0) all with two sides of length h. The nodal variables N are defined by the linear forms where y k,j (j = 1, 2, 3) are the vertex of the triangle E k, and y k,j (j = 4, 5, 6) are the middle points on the sides of the triangle E k. a) Let P = P 2 the set of degree 2 polynomials. Determine the shape functions φ k,1,, φ k,6 P dual of the nodal variables in each triangle. Present the plots (Plot3D) of the basis functions in B, obtained with those shape functions, choosing b) Considering P = P 1 and using only the 3 vertex of each triangle as nodes, define the central basis functions ψ 0 in the set B. Considering the domain Q =] A, A[ 2, and points x ij = (i, j)h, equally spaced at a fixed distance h = 2A/N (vertical and horizontal), define a mesh based on the triangles E k, with a translation from B. For each internal point x ij there will be 6 adjacent triangles (except at 2 corners of the square Q). Present the basis functions ψ ij which are translations from ψ 0 centered not in (0, 0) but in the point x ij. (Choose a value for A). c) Considering the function f(x) = sin( x A) cos(x 1 x 2 ), and another (at your choice), build an approximation f h (x) = f(x ij )ψ ij (x), using the basis functions defined in b). Varying h 0, present graphical results of the approximation and of the error. Comment the results. d) Consider f(x) = 0, g(x) = e 2x1 cos(2x 1 )+x 2 1 x 2 2 and another choice, for the Dirichlet problem { Present the discrete variational formulation, using the basis functions ψ ij. Define the system to be solved and present graphical results for the solution of the problem, showing the variation as h 0. Comment on the error. 7