Para calcular o polinómio de Lagrange noutros pontos Ficheiro polagrangeval.m

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1 Análise Numérica LEC Help 13 Interpolação Método de Lagrange Ficheiro polagrange.m Determina o polinomio interpolador de Lagrange que aproxima a tabela (x,y). c=polagrange(x,y)- determina so as coordenadas do polinomio na base de Lagrange [c,p]=polagrange(x,y,a) - determina tambem o valor do polinomio em a (escalar). x e y devem ser vectores coluna com a mesma dimensao. Se kt existir e for 1 entao tambem escreve o resultado. x=[-1 0 3]'; y=[8-2 4]'; [c,p]=polagrange(x,y,-0.5,1); Para calcular o polinómio de Lagrange noutros pontos Ficheiro polagrangeval.m p=polagrangeval(x,c,a) Calcula em p o valor do polinomio interpolador de Lagrange em a que passa nos pontos de abcissas x, c sao os coeficientes ja conhecidos. x e c devem ser vectores coluna com a mesma dimensao. Se a for um vector deve ser um vector linha. x=[-1 0 3]'; c=[ ]'; p=polagrangeval(x,c,[-0.5,x']) Ficheiro polagval.m [p,polpi]=polagval(x,c,a) Calcula em p o valor do polinomio interpolador de Lagrange em a que passa nos pontos de abcissas x, c sao os coeficientes ja conhecidos e polpi e' o polinomio pi_n+1(a). NOTA: se algum dos valores de a for um ponto xi tabelado aparece em p NaN. x e c devem ser vectores coluna com a mesma dimensao. Se a for um vector ou matriz as operaçoes sao feitas elemento a elemento e p e polpi tem a mesma dimensao de a. x=[-1 0 3]'; c=[ ]'; p=polagval(x,c,[-0.5,x'])

2 Análise Numérica LEC Help 14 Método de Newton ( para a frente) Calculo das diferenças divididas Ficheiro difdiv.m d=difdiv(x,y,kt) Diferenças divididas da tabela (x,y) em d. d tem na 1a. linha a 1a. diagonal da tabela que e escrita se kt=1, na 2ª linha a 2a. diagonal... Os coeficientes do polinomio de Newton para a frente estao numa linha de d. A 1a. coluna de d e y. x e y vectores coluna. Nota: a tabela que e escrita e apresentada com um formato predefinido (nao e feita a analise dos erros). Na tabela que e dada (d) vem com toda a precisao da maquina. Se a tabela nao for exacta vai precisar de analisar o erro de propagaçao do erro da tabela. x=[ ]'; y=sin(x);tab=difdiv(x,y,1); Calculo do polinómio Ficheiro polnewtval.m p= polnewtval (x,c,a) Calcula em p o valor do polinomio interpolador de Newton em a que passa nos pontos de abcissas x, c sao os coeficientes ja conhecidos. x e c devem ser vectores coluna com a mesma dimensao. Se a for um vector ou matriz as operaçoes sao feitas elemento a elemento e p tem a mesma dimensao de a. x=[ ]'; c=[ ]; p=polnewval(x,c,[1:0.1:0.9]) Nota: c=tab(1, :) fornecido por difdiv. Se não usar todos os pontos deverá usar os elementos de tab convenientes.

3 Análise Numérica LEC Help 15 Função Matlab interp1 One-dimensional data interpolation (table lookup) Syntax yi = interp1(x,y,xi) yi = interp1(y,xi) yi = interp1(x,y,xi,method) yi = interp1(x,y,xi,method,'extrap') yi = interp1(x,y,xi,method,extrapval) Description yi = interp1(x,y,xi) returns vector yi containing elements corresponding to the elements of xi and determined by interpolation within vectors x and Y. The vector x specifies the points at which the data Y is given. If Y is a matrix, then the interpolation is performed for each column of Y and yi is length(xi)-by-size(y,2) (=2ª dimensão de Y). yi = interp1(y,xi) assumes that x = 1:N, where N is the length of Y for vector Y, or size(y,1) for matrix Y. yi = interp1(x,y,xi,method) interpolates using alternative methods: 'nearest' Nearest neighbor interpolation 'linear' Linear interpolation (default) 'spline' Cubic spline interpolation 'pchip' Piecewise cubic Hermite interpolation 'cubic' (Same as 'pchip') 'v5cubic' Cubic interpolation used in MATLAB 5 (ver pchip para ver a diferença entre spline e pchip) For the 'nearest', 'linear', and 'v5cubic' methods, interp1(x,y,xi,method) returns NaN for any element of xi that is outside the interval spanned by x. For all other methods, interp1 performs extrapolation for out of range values. yi = interp1(x,y,xi,method,'extrap') uses the specified method to perform extrapolation for out of range values. yi = interp1(x,y,xi,method,extrapval) returns the scalar extrapval for out of range values. NaN and 0 are often used for extrapval.... Examples Example 1. Generate a coarse sine curve and interpolate over a finer abscissa. x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10;

4 Análise Numérica LEC Help 16 yi = interp1(x,y,xi); plot(x,y,'o',xi,yi) Example 2. Here are two vectors representing the census years from 1900 to 1990 and the corresponding United States population in millions of people. t = 1900:10:1990; p = [ ]; The expression interp1(t,p,1975) interpolates within the census data to estimate the population in The result is ans = Now interpolate within the data at every year from 1900 to 2000, and plot the result. x = 1900:1:2000; y = interp1(t,p,x,'spline'); plot(t,p,'o',x,y) Sometimes it is more convenient to think of interpolation in table lookup terms, where the data are stored in a single table. If a portion of the census data is stored in a single 5-by-2 table, tab = then the population in 1975, obtained by table lookup within the matrix tab, is p = interp1(tab(:,1),tab(:,2),1975) p =

5 Análise Numérica LEC Help 17 Aproximação pelo método dos mínimos quadrados Se, dada uma tabela {(x i, y i ), i=1;...,m), pretender aproximar a tabela por y=a 0 f 0 (x)+a 1 f 1 (x)+...+a n f n (x) pelo métodos dos mínimos quadrados, basta fazer: A(i,:) = [f 0 (x i ), f 1 (x i ),..., f n (x i )] para i=1,...,m E resolver o sistema com o operador \ a= A\y % y vector coluna Exemplo 1 Encontrar o polinómio de grau 4 que aproxima a seguinte tabela pelo método dos mínimos quadrados: x=(-3:0.4:3.2) ; y=sin(x); A=[ones(length(x),1), x, x.^2,x.^3,x.^4]; a=a\y % igual a a=polyfit(x,y,4) ver a seguir xx=-3:0.1:3.2; yy=polyval(a(end:-1:1),xx); % ver à frente a seguir a polyfit plot(x,y,'or',xx,yy,'-b') Exemplo 2 Encontrar o polinómio trigonométrico p(x)=a 0 +a 1 cos(x)+a 2 sin(x) que aproxima a seguinte tabela pelo método dos mínimos quadrados: x=[ ]; y=[ ]; A=[ones(length(x),1) cos(x') sin(x')]; a=a\y' xx=(0:0.1:4.4)'; AA=[ones(length(xx),1),cos(xx),sin(xx)]; yy=aa*a; plot(x,y,'or',xx,yy,'-b') polyfit Polynomial curve fitting Syntax p = polyfit(x,y,n) [p,s] = polyfit(x,y,n) [p,s,mu] = polyfit(x,y,n) Description p = polyfit(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x) of degree n that fits the data, p(x(i)) to y(i), in a least squares sense. The result p is a row

6 Análise Numérica LEC Help 18 vector of length n+1 containing the polynomial coefficients in descending powers p(x)=p 1 x n + p 2 x n p n + p n+1... (ver help polyfit) Para calcular o polinómio polyval Polynomial evaluation Syntax y = polyval(p,x) y = polyval(p,x,[],mu) [y,delta] = polyval(p,x,s) [y,delta] = polyval(p,x,s,mu) Description y = polyval(p,x) returns the value of a polynomial of degree n evaluated at x. The input argument p is a vector of length n+1 whose elements are the coefficients in descending powers of the polynomial to be evaluated. p(x)=p 1 x n + p 2 x n p n + p n+1 x can be a matrix or a vector. In either case, polyval evaluates p at each element of x. Examples The polynomial p(x)=3x 2 + 2x+1 is evaluated at x = 5, 7, and 9 with p = [3 2 1]; polyval(p,[5 7 9]) which results in ans = For another example, see polyfit Ver também poly para gerar o polinómio dadas as raízes ou para gerar o polinómio característico de uma matriz A. polyder para calcular derivadas de polinómios, de produtos de polinómio ou de quocientes de polinómios. polyint para calcular integrais de polinómios. Dá o vector dos coeficientes.