SCE-201 Computação Gráfica. Representação de Objetos Tridimensionais Modelos Poligonais

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1 INSTITUTO DE CIÊNCIAS MATEMÁTICAS DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA SCE-201 Computação Gráfica Representação de Objetos Tridimensionais Modelos Poligonais Cenas gráficas podem conter muitos tipos diferentes de objetos e materiais: árvores, flores, nuvens, pedras, tecidos, utensílios, móveis, peças, água, tijolos, madeira, borracha, papel, mármore, aço, vidro, plástico,... apenas para mencionar alguns. Portanto, não é surpreendente que não exista um único método que possa ser usado para descrever objetos e que seja capaz de representar adequadamente todas as características destes diferentes objetos e materiais. E para produzir visualizações realísticas de cenas, é necessário usar representações capazes de modelar adequadamente as características dos objetos. Polígonos e superfícies quádricas fornecem descrições precisas para objetos Euclideanos simples, como poliedros e elipsóides; superfícies spline e técnicas construtivas são úteis para projetar asas de aviões, engrenagens e outras estruturas de engenharia com superfícies curvas; métodos procedimentais, como fractais e sistemas de partículas, permitem uma representação adequada para nuvens, grama e outros objetos naturais ; métodos de modelagem físicos usando sistemas de forças interagindo podem ser usados para descrever o comportamento não rígido de um pedaço de tecido; octrees são usadas para representar a estrutura interna de objetos, como os obtidos de imagens médicas geradas por CT; e isosuperfícies, renderings volumétricos e outras técnicas de visualização são aplicadas a conjuntos de dados tridimensionais discretos para obter representações visuais dos dados. Os esquemas de representação para objetos sólidos são geralmente divididos em duas categorias, apesar de nem todas as representações se enquadrarem exatamente em uma delas. Representações por fronteira (B-reps - Boundary Representations) descrevem um objeto tridimensional como um conjunto de superfícies que separam o interior dos objetos do meio externo. Exemplos típicos de representação por fronteira são superfícies poligonais e superfícies spline. Representações por particionamento espacial (Space partitioning Representations) são usadas para descrever propriedades interiores, particionando a região espacial que contém um objeto em um conjunto de pequenos sólidos adjacentes não sobrepostos (geralmente cubos). Superfícies Poligonais

2 A representação por fronteira mais usada para descrever objetos gráficos 3D é um conjunto de superfícies (ou faces) poligonais que definem a fronteira do objeto. Muitos sistemas gráficos armazenam todas as descrições de objetos como conjuntos de superfícies poligonais. Isso simplifica e acelera o rendering das superfícies e a visualização dos objetos, uma vez que todas as superfícies são descritas por equações lineares (ou seja, a equação do plano que contém o polígono). Por esta razão, representações poligonais são geralmente chamadas de "objetos gráficos padrão". Em alguns casos, uma representação poligonal é a única disponível, mas muitos pacotes permitem que objetos sejam descritos por outros esquemas, como superfícies spline, que são posteriormente convertidas para representações poligonais para posterior processamento. Para um poliedro, uma representação poligonal define precisamente as características da superfície, mas outros objetos precisam ser decompostos (tesselated, ou tiled) para produzir uma representação poligonal aproximada (como no caso de um cilindro, ou de qualquer outro objeto curvo). Representações aproximadas por malhas poligonais são comuns em aplicações de design e modelagem de sólidos, pois uma representação visual tipo fio-de-arame pode ser gerada rapidamente para dar uma indicação da superfície do objeto. Renderings realísticos são produzidos interpolando valores de tonalização ao longo das superfícies poligonais para eliminar ou reduzir a presença das fronteiras entre as arestas dos polígonos, que se visualizadas dão uma aparência facetada ao objeto. Outra maneira de melhorar a aparência visual da aproximação poligonal para um objeto é subdividir a superfície do objeto em faces poligonais menores. Figura 1: Cilindro aproximado por malha poligonal. Representação fio-de-arame com remoção de faces ocultas. Tabelas de Polígonos Especificamos uma superfície poligonal com um conjunto de coordenadas de vértices e atributos associados. A medida que são fornecidas informações sobre cada polígono, os dados são colocados em tabelas que são usadas para o subsequente processamento, visualização e manipulação dos objetos da cena. Tabelas de dados poligonais podem ser

3 organizadas em dois grupos: tabelas geométricas e tabelas de atributos. Tabelas de dados geométricos contém coordendas de vértices e parâmetros para identificar a orientação espacial das superfícies poligonais. Atributos para um objeto incluem parâmetros especificando o tipo de material do objeto, cor, grau de transparência, reflectividade da superfície, características de textura. Uma organização conveniente para armazenar dados geométricos consiste em utilizar 3 listas: uma tabela de vértices, uma tabela de arestas, e uma tabela de polígonos. As coordenadas de cada vértice no objeto são armazenadas na tabela de vértices. A tabela de arestas contém ponteiros para a tabela de vértices de forma a identificar, para cada aresta, os vértices extremos. E a tabela de polígonos contém ponteiros para a tabela de arestas para identificar as arestas que definem a fronteira de cada polígono (face poligonal). A Figura 2 mostra a representação para 2 polígonos adjacentes na face de um objeto. Poderíamos expandir a tabela de arestas para incluir ponteiros para a tabela de polígonos, de forma que arestas comuns entre os polígonos possam ser identificadas mais rapidamente (Figura 3). Esta informação é útil para procedimentos de rendering. Analogamente, a tabela de vértices poderia ser extendida para apontar para as arestas correspondentes. V 1 Outras informações geométricas geralmente E 6 mantidas nas tabelas de E 1 S 1 E 3 S 2 V 5 dados são as inclinações de cada aresta, e as V 3 E 2 E 4 E 5 coordenadas do menor V 2 V 4 retângulo que engloba cada Vertex Table V 1 : x 1,y 1,z 1 V 2 : x 2,y 2,z 2 V 3 : x 3,y 3,z 3 V 4 : x 4,y 4,z 4 V 5 : x 5,y 5,z 5 EdgeTable E 1 : V 1,V 2 E 2 : V 2,V 3 E 3 : V 3,V 1 E 4 : V 3,V 4 E 5 : V 4,V 5 E 6 : V 5,V 1 Polygon-Surface Table S 1 : E 1,E 2,E 3 S 2 : E 3,E 4,E 5,E 6 face poligonal (retângulo envoltório, ou bounding box). A medida que os vértices são fornecidos, podemos calcular as Figura 2: Tabela de dados geométricos para duas superfícies poligonais adjacentes. inclinações das arestas, e podemos percorrer as

4 tabelas de polígonos e de vértices para identificar os valores mínimo e máximo de x, y e z para cada polígono. Estas informações também são úteis para o rendering das superfícies e algoritmos de remoção de superfícies ocultas. Como as tabelas de dados geométricos podem conter listagens extensas de vértices e arestas para objetos complexos, é importante que estes dados sejam checados para verificar sua consistência e completude. É muito possível a ocorrência de erros nos dados de entrada, principalmente se estes forem fornecidos de maneira interativa. Possíveis verificações são: E 1 : V 1,V 2,S 1 E 2 : V 2,V 3,S 1 E 3 : V 3,V 1,S 1,S 2 E 4 : V 3,V 4,S 2 E 5 : V 4,V 5,S 2 E 6 : V 5,V 1,S 2 Figura 3: Tabela de arestas extendida. (1) se todos os vértices aparecem como pontos extremos de pelo menos duas arestas; (2) que toda aresta pertence a pelo menos um polígono; (3) que todo polígono é fechado; (4) que cada polígono possua pelo menos uma aresta compartilhada; e (5) que se a tabela de arestas contém ponteiros para polígonos, que cada aresta referenciada por um polígono tenha um ponteiro recíproco para o polígono. Equações do Plano Para produzir uma imagem de um objeto 3D, devemos processar os dados de entrada de várias maneiras. Os passos mais comuns incluem: transformar as descrições em coordenadas do mundo para coordenadas de visualização, e a seguir para coordenadas do dispositivo; identificar as superfícies visíveis; aplicar técnicas de rendering. Para alguns destes procedimentos, precisamos de informação sobre a orientação espacial de cada componente da superfície de um objeto. Esta informação é obtida a partir das coordenadas dos vértices e das equações dos planos que contém as faces poligonais. A equação de um plano pode ser expressa na forma: Ax + By + cz + D = 0 onde (x,y,z) é qualquer ponto no plano, e os coeficientes A, B, C, D são constantes que descrevem as propriedades espaciais do plano. Podemos obter os valores de A, B, C, D resolvendo um sistema de 3 equações do plano, usando as coordenadas de 3 vértices não-

5 colineares no plano (V1, V2, V3). Para isso, podemos escolher 3 vértices sucessivos do polígono, e resolver o seguinte sistema de equações: ( A / D) x + ( B / D) y + ( C / D) z = 1, k = 1, 2, 3 k k k Usando a regra de Cramer, que dá a solução do sistema na forma de determinantes, e expandindo os determinantes, podemos obter a solução A = y ( z z ) + y ( z z ) + y ( z z ) B = z ( x x ) + z ( x x ) + z ( x x ) C = x ( y y ) + x ( y y ) + x ( y y ) D = x ( y z y z ) x ( y z y z ) x ( y z y z ) Assim, a medida que os valores do vértices vão sendo fornecidos, os valores de A, B, C e D são calculados para cada polígono, e armazenados com os outros dados referentes aos polígonos. y N=(A,B,C) A orientação de uma superfície plana no espaço pode ser determinada com o vetor normal ao plano, que tem componentes cartesianas (A,B,C) (os coeficientes da equação do plano). x Como estamos usualmente tratando com superfície poligonais que definem a fronteira de um objeto, é necessário distinguir entre os dois lados (interior e exterior) da superfície. O lado do plano que "vê" o interior do objeto é considerado o lado de dentro, enquanto que o lado visível é o lado de fora. Se os vértices do polígono são especificados no sentido anti-horário quando observados por um observador "no lado de fora" do plano em um sistema de coordenadas da mão-direita, a direção da normal irá apontar "para fora" da superfície do objeto. Figura 4: Vetor normal a um plano descrito pela equação Ax + By + Cz + D = 0. Para determinar as componentes do vetor normal para uma superfície definida pelo quadrilátero que define uma das 6 faces de um cu bo, selecionamos 3 dos 4 vértices ao longo da fronteira do polígono. Os pontos são selecionados no sentido anti-horário quando observados do lado de fora do cubo. As coordenadas destes vértices podem ser usadas para z

6 obter os coeficientes do plano, A = 1, B = 0, C = 0, D = -1. Ou seja, o vetor normal a este plano está na direção do eixo x positivo. Alternativamente, os componentes do vetor normal também podem ser obtidos calculando o produto vetorial de 2 vetores. y Novamente, selecionamos 3 vértices V 1, V 2 e V 3, no sentido anti-horário quando a 1 superfície é observada do lado de fora em um sistema de coordenadas cartesianas da mão direita. Formando 2 vetores, V 1 V 2 e V 1 V 3, 1 1 x o vetor normal é dado por: z N = ( V V ) ( V V ) Figura 5: Equação de uma das faces do cubo: x-1=0, N=(1,0,0). Esta expressão gera os valores para A, B e C. O valor de D pode ser obtido substituindo estes valores e as coordenadas de um dos vértices do polígono na equação do plano, e resolvendo para D. A equação do plano também pode ser expressa na forma vetorial usando a normal N e a posição P de qualquer ponto no plano, como: N P = D As equações do plano também são usadas para identificar a posição de pontos no espaço em relação as superfícies planas da fronteira de um objeto. Para qualquer ponto (x,y,z) que não está no plano com parâmetros A, B, C, D, temos que Ax + By + cz + D 0 Podemos também verificar se um ponto está dentro ou fora do plano que define a superfície do objeto: Se Ax + By + Cz + D < 0, o ponto está dentro Se Ax + By + Cz + D > 0, o ponto está fora

7 Este teste é válido em um sistema de coordenadas da mão direita, desde que os parâmetros do plano, A, B, C, D tenham sido calculados usando vértices selecionados no sentido antihorário quando a superfície é observada de fora. Malhas Poligonais Quando objetos precisam ser decompostos em superfícies poligonais, em geral é conveniente ter uma função que permita a definição de uma malha poligonal, como malhas de triângulos ou de quadriláteros. Quando polígonos são especificados com mais de 3 vértices, pode ocorrer dos vértices não estarem em um mesmo plano. Isto pode ser devido a erros de aproximação numérica, ou erros na seleção das coordenadas dos vértices. Uma maneira de lidar com o problema; e subdividir os polígonos em triângulos (triangulação). Outra abordagem é aproximar os parâmetros A, B, C. Sistemas gráficos tipicamente modelam objetos como malhas poligonais, e definem uma base de dados geométricos e de atributos para facilitar o processamento das faces poligonais. Renderizadores de polígonos implementados em hardware são incorporados a estes sistemas, o que lhes garante capacidade de mostrar milhares ou mais (até alguns milhões) de polígonos tonalizados por segundo (em geral triângulos), incluindo a aplicação de textura e efeitos especiais de iluminação. Figura 6: Superfície definida por malha de triângulois. Figura 7: Superfície formada por malha de quadriláteros. Fonte: D. Hearn e P. Baker. Computer Graphics. Prentice-Hall, 1994 (segunda edição), Cap. 10. Agma J. M. Traina Maria Cristina F. de Oliveira Outubro/1995 Revisado em Março/2000

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