Modelo de Avaliação de uma opção de venda de tipo Americano: solução quasifechada

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1 Modelo de Avaliação de ua opção de veda de tipo Aeicao: olução quaifechada Citia Viega Faculdade de Ecooia da Uiveidade do Algave e CEFAGE-UE colivei@ualg.pt Joé Azevedo Peeia Itituto Supeio de Ecooia e Getão da Uiveidade Técica de Liboa jpeeia@ieg.utl.pt

2 Modelo de Avaliação de ua opção de veda de tipo Aeicao: olução quaifechada Reuo Ete etudo deevolve ua olução quae aalítica paa o valo de ua opção de veda de tipo Aeicao e paa o epectivo peço cítico. São apeetada dua vaiate: dividedo cotate e dividedo popocioai ao peço da acção. Paa a ituação de dividedo cotate, o valo da put Aeicaa é dado po ua olução fechada. No cao de dividedo popocioai ao valo da acção ó é poível alcaça ua olução quae fechada, ua vez que o peço cítico ó é paível de e ecotado ueicaete. O pocedieto utilizado é uualete cohecido coo étodo da liha coidea-e ua foulação a qual o tepo é diceto, e vez de cotíuo. Dete odo, a equação difeecial popota po Black e Schole (97) é tafoada ua equação difeecial odiáia ão hoogéea. Neta equação a deivada da fução peço da opção e ode ao tepo é ubtituída po ua difeeça fiita e a deivada e ode ao peço do activo ubjacete atê-e ialteada. Co vita a elhoa a qualidade do eultado obtido, é aplicada a extapolação de Richado, facto que peite acelea a covegêcia do output paa valoe póxio da ealidade. Palava-chave: Avaliação de opçõe, opçõe Aeicaa, oluçõe aalítica

3 . Itodução O valo de ua opção de tipo Euopeu é facilete deteiado atavé da aplicação da fóula deduzida e Black e Schole (97). Po ua vez, a valoização de ua opção de veda de tipo Aeicao afigua-e ua taefa uito ai coplexa. A poibilidade de execício atecipado po pate do deteto dete tipo de opçõe cotitui o picipal obtáculo à deteiação de ua olução fechada. É eceáio deteia o peço cítico do activo ubjacete, abaixo do qual a opção deve e execida iediataete. Ete cálculo epeeta u do picipai poblea a obteção de ua olução fechada. Dete odo ão quae iexitete o tabalho que apeeta oluçõe fechada, paa o valo dete tipo de opçõe. Dua excepçõe ão Zhu (006) e Zhao ad Wog (00). Zhu (006) deivou ua olução foa fechada paa o valo da opção de veda de tipo Aeicao e a ua foteia de execício óptio, baeado o étodo de aálie de hootopia. Zhao ad Wog (00) ivetigou a avaliação aalítica de opçõe Aeicaa egudo poceo de difuão geal, utilizado a aálie de hootopia. Gade pate do tabalho que tê apeetado oluçõe aalítica paa o peço da opção ecoe a étodo uéico paa deteia o peço cítico do activo ubjacete. Po exeplo, tabalho coo i (990), Jacka (99) e Ca, Jaow e Myei (99), coidea que o valo da opção Aeicaa coepode ao valo da opção Euopeia acecido de u péio que é dado pelo valo actualizado do gaho poteciai ieete ao execício atecipado. Ete péio é dado po ua equação itegal, edo a foteia de execício deteiada atavé de u pocedieto uéico eveivo. Po ua vez, tabalho coo Geke e Joho (984), Buch e Joho (99), Ho, Stapleto e Subahaya (994), Huag, Subahaya e Yu (996) e Lee e Paxo (00), deevolve apoxiaçõe aalítica paa o peço da opção de veda de tipo Aeicao atavé do cálculo do valo de cojuto de opçõe co data de execício diceta. A difeeça ete ete etudo eide fudaetalete o úeo e a data de execício da opçõe utilizada paa o cálculo da opção de veda de tipo O valo da opção Euopeia é deteiado de acodo co a fóula dada e Black e Schole (97).

4 Aeicao, be coo o étodo de extapolação utilizado co o ituito de obte ua apoxiação atifatóia paa o valo da opção. No etato, tata-e tabé de tabalho que ão deteia aaliticaete o valo cítico do activo ubjacete. Paalelaete, exite tabalho que, apeetado foulaçõe aalítica paa o peço da opção de veda Aeicaa, deteia, explicitaete, o peço cítico do activo ubjacete. Meece paticula aliêcia ete doíio, o tabalho de Ca e Faguet (996), Ca (998) e Buch e Joho (000), que apeeta avaço igificativo o cálculo do valo da opção de veda Aeicaa ediate o ecuo a oluçõe quai-explícita. Po exeplo, a deivação de ua expeão paa o chaado peço cítico do activo ubjacete de ua opção de veda Aeicaa cotitui u do picipai objectivo de Buch e Joho (000). Ua vez deteiado o valo deta vaiável, o autoe utiliza-o a deteiação do valo da opção de veda Aeicaa, ediate a utilização do étodo popoto e Huag, Subahaya e Yu (996). Ipota, o etato, efei que a olução de Buch e Joho (000) é apea válida paa opçõe de veda de tipo Aeicao cujo activo ubjacete ão ditibui dividedo. Outo doi tabalho de efeêcia ete doíio ão o de Ca e Faguet (996) e de Ca (998). Ete doi tabalho tafoa a equação difeecial pacial geal ua equação difeecial odiáia ão hoogéea. Eta paage peupõe a ubtituição da deivada da fução peço e ode ao tepo po ua difeeça fiita. O peupoto bae paa a aplicação dete pocedieto ão difeete o doi atigo. Ai, Ca (998) jutifica o eu pocedieto atavé da claificação do tepo coo aleatóio e coideado que o eo egue ua ditibuição de Elag ou ditibuição gaa. Já Ca e Faguet (996) efee que a obteção de ua olução aalítica peupõe a aplicação do étodo da liha, o que igifica que a copoete tepo do odelo deixa de e cotíua paa paa a e diceta. Nete doi últio atigo efeido, apea do peupoto iiciai do odelo ee difeete, o Exite tabalho que utiliza extapolação liea equato outo ecoe à extapolação expoecial. Tata-e da equação dada po Black e Schole (97) e que eviu de bae à deteiação do valo da opção Euopeia obe ua acção.

5 eultado fiai ão equivalete. Ai, ão deteiado o valoe da opção de veda Aeicaa e do peço cítico do epectivo activo ubjacete. Ete atigo te po objectivo o deevolvieto de ua olução aalítica capaz de avalia ua opção de veda Aeicaa, coideado que o activo ubjacete ditibui dividedo. Tata-e de ua áea de ivetigação elevate, tato devido ao elevado úeo de taacçõe de opçõe de tipo Aeicao obe difeete activo ubjacete (acçõe, oeda, ecadoia, ete outo), coo pelo facto dete tipo de avaliação te aplicaçõe a deteiação do valo de outo activo fiaceio 4. Nete tabalho é eguido o étodo da liha, ito é, coidea-e ua foulação a qual o tepo é diceto, e vez de cotíuo. Ete étodo foi utilizado a avaliação de opçõe po Ca e Faguet (996) e po Meye e J. va de Oeck (997). O pieio tabalho utilizou ete étodo coo ua foa de gea fóula explícita paa o valo apoxiado de ua opção Aeicaa e paa o coepodete peço cítico. O egudo tabalho ecioado dicute coo ete étodo pode e utilizado paa etuda a avaliação uéica da opçõe Aeicaa e paa deteia a foteia de execício atecipado. A ogaização dete tabalho é a eguite. A ecção itoduz o tea, objecto de etudo ete tabalho. A ecção deevolve u odelo de avaliação de opçõe de veda de tipo Aeicao e que o activo ubjacete ditibui dividedo, edo alcaçada ua olução fechada paa o cao de dividedo cotate e ua olução quae fechada quado o dividedo ão popocioai ao valo do activo ubjacete. Na ecção ão apeetado, uéica e gaficaete, o eultado obtido co a aplicação da fóula deduzida a ecção ateio e o eo ão cofotado co outo valoe, alcaçado po difeete autoe, que tê apeetado tabalho eta áea de ivetigação. Fialete, é apeetada a cocluão, icluido ugetõe paa futuo deevolvieto. 4 Po exeplo, Viega e Azevedo-Peeia (00) deevolve u odelo de valoização de hipoteca ecoedo ao picípio ubjacete à avaliação de opçõe de tipo Aeicao.

6 . Modelo de avaliação de ua opção de veda de tipo Aeicao. Solução aalítica paa o valo de ua opção de veda de tipo Aeicao. O odelo apeeta dua vaiate: dividedo cotate,, e dividedo popocioai ao peço da acção, δ. Paa a ituação de dividedo cotate, o valo da opção de veda de tipo Aeicao é dado po ua olução fechada, equato que paa dividedo popocioai ao valo da acção, ó é poível alcaça ua olução ei-explícita, ua vez que o peço cítico ó é paível de e ecotado ueicaete. No cao de dividedo cotate é peupoto que o valo iicial do peço da acção é paível de e decopoto atavé da eguite expeão, eguido Roll (977): S ( e ) () ode o egudo teo coepode ao valo actualizado, e tepo cotíuo, da copoete fixa do fluxo futuo de dividedo a ecebe o peíodo e epeeta o oatóio do valo actualizado, da copoete vaiável de dividedo a ecebe o peíodo co o valo actualizado de todo o dividedo cujo ecebieto é epeado poteioete a ee peíodo. Na foulação deevolvida ete tabalho o tepo é coideado diceto, pelo que () paa a te a eguite cofiguação: S () O egudo teo da expeão epeeta o valo actualizado dua eda co teo cotate, o que igifica que o valo cotíuo da copoete fixa do dividedo foi ubtituída po valoe diceto iguai a tepo ete doi teo coecutivo igual a. cada, co peíodo de O peíodo de tepo total de poe do

7 título é igual a. A expeão () pode, aida, apeeta ua cofiguação ai iple: S () Apó eta coideaçõe iiciai, elativa à foa coo a copoete fixa do fluxo futuo de dividedo a ecebe o peíodo deve e ecaada o poceo de avaliação, iicia-e o deevolvieto da etodologia que peite deteia o valo de ua put de tipo Aeicao obe u activo que ditibui dividedo. A pati daqui, a fóula a apeeta coidea, e alteativa, dividedo cotate,, ou dividedo popocioai ao peço da acção, δ. Ou eja, paa dividedo cotate te-e δ 0 e 0, equato que paa dividedo popocioai, e coidea 0 e δ 0. Po outo lado, toda a foulação utilizada paa ete fi é fução de, ou eja do peço da acção deduzido do valo actualizado da copoete fixa do dividedo cujo ecebieto é epeado duate o peíodo. O poceo a deevolve aeta a técica utilizada paa a avaliação de fluxo cotigete. Coidea-e que o valo da opção depede de ua úica vaiável etocática: o peço da acção. A evolução deta vaiável é defiida de acodo co o eguite poceo etocático: (4) Ode epeeta a taxa de juo e ico de cuto pazo, a taxa de ditibuição de dividedo, o devio padão itatâeo e o poceo de Wiee padão. Coideado que o valo da opção,,, depede da vaiável etocática, peço da acção, e que a ea egue o poceo defiido e (4), é deduzida a equação difeecial pacial: P (, ) P(, ) P(, ) δ σ S P (, ) 0 e (5)

8 ode coepode ao valo cítico, do peço da acção, deduzido do valo actualizado da copoete fixa do dividedo cujo ecebieto é epeado duate o peíodo. Note-e que, tal coo o peço da acção, tabé o peço cítico e veifica a eguite igualdade: S (6) O étodo a deevolve aeta a tafoação da equação difeecial pacial geal ua equação difeecial odiáia ão hoogéea. Eta paage é feita atavé da aplicação do deoiado étodo da liha. Tata-e de ubtitui a deivada da fução peço, e ode ao tepo, po ua difeeça fiita equato que a deivada e elação ao peço do activo ubjacete peaece ialteada. Dete poceo eulta ua equêcia de equaçõe difeeciai odiáia ão hoogéea que é eceáio eolve. Quato eo fo o itevalo de tepo coideado a difeeça fiita aio qualidade poue o eultado alcaçado co eta alteação. Nete tabalho ubdivide-e o tepo u úeo elativaete pequeo de itevalo, quato 5 o cao, e poteioete aplica-e a extapolação de Richado 6 co o ituito de acelea a covegêcia do eultado obtido paa valoe póxio da ealidade. Dete odo a equação (5) paa a te a eguite cofiguação geal, paa : dp d ( ) ( ) d P ( δ σ P ) ( ) ( P ) P S e d (7) Tata-e de ua equação difeecial odiáia ão hoogéea e que o peço da opção paa a e fução de ua úica vaiável. 5 Na valoização de ua put Aeicaa, a ubdivião do tepo total de poe da opção e quato itevalo coduz a etiativa uito aceitávei; veja-e po exeplo Ca e Faguet (996). 6 A extapolação de Richado te ido aplicada e tabalho da áea co uceo; veja-e po exeplo Ca (998).

9 Paa a deteiação de é eceáio cohece a expeão de, pelo que eta equação deve e eolvida paa,,,4 7 O valo da put Aeicaa deve veifica (7) cojutaete co a eguite codiçõe de foteia: 0 li P (8) ( ) S li P (9) dp li d (0) Ode coepode ao peço de execício. Paa a poecução do objectivo de deteia o valo da put Aeicaa, atavé da eolução de (7), ujeita à etiçõe (8), (9) e (0), aplica-e o pocedieto utilizado e tabalho coo Huag, SubahayaeYu (996), ode o valo da opção Aeicaa coepode ao valo da opção Euopeia acecido de u péio eultate da poibilidade de execício atecipado da opção. Dete odo, obté-e: P ( ) ( ) ( p p ) e () ode p e epectivaete. ( p ) coepode ao valo da put Euopeia e ao valo do péio, foteia: Po ua vez a put Euopeia deve veifica (7) e a eguite codiçõe de ax ( S,0) paa 0 p () 7 coepode ao úeo de ub-peíodo e elação ao úeo total de itevalo de tepo, 4, coideado o odelo. Ai, é deteiada a expeão do valo da put Aeicaa, elativa a peíodo de tepo, co,,,4 e.

10 li p 0 ( ) () 0 li p (4) O epectivo péio, deve veifica (7) e a eguite codição: 0 li p (5) Co a utilização dete pocedieto, a olução fechada geal paa o valo da put Aeicaa ve dada po difeete expeõe, de acodo co o itevalo de vaiação do peço do activo ubjacete. Ai, paa Euopeia ve:,,,, 4,,,, 4 e, o valo da opção put p [ ] ( ) δ β a 4 0 σ l 5 σ a l a 9σ l l σ σ l 4 a 6 0 σ e (6) Ode: a i 0 paa i 0 e i,, O eo aciocíio é eguido paa deteia o valo do péio, o qual deve veifica a codição de foteia defiida e (5). Ai, paa,,,, 4,,,,4 e, ve:

11 Ode: p ( ) δ β σ d d 4 0 σ l 5 d l σ 9σ l l σ l 4 d 6 0 σ e (7) d i 0 paa i 0 e i,, Dete odo já é poível apeeta a olução geal, elativa ao valo da put de tipo Aeicao, quado e,,, 4 : [ ] ( ) [ ] ( ) ( p p ) P e (8) Na egião, o valo da put Aeicaa tabé coepode à opção Euopeia acecida do péio, co a paticulaidade de, eta zoa, o valo da opção Euopeia a deteia e odacall 8, edo poteioete aplicada a paidade put-call paa obte a expeão da put Euopeia. Po ua vez, o valo do péio, te a cofiguação defiida e (7). Nete teo, o valo da put Euopeia, eta zoa, co,,,4,,,, 4 e, é dado pela eguite expeão 9 : 8 A pieia etapa a eolução de (7) copeede a deteiação do valo da opção o téio do cotato. Ete valo coepode ao payoff da opção, o qual é igual a zeo a zoa out-of-oeyde ua opção Euopeia. Ai, a zoa e paa 0, o valo da call Euopeia é igual a zeo. 9 Mai ua vez o valo da put Euopeia deve veifica a codiçõe de foteia defiida e (), () e (4).

12 [ ] e b b b b p δ σ σ σ σ σ σ β δ l l 9 l 0 0 l l e (9) Ode:,, e 0 paa 0 i i b i Pelo que a expeão geal elativa ao valo da opção put de tipo Aeicao, quado e 4,,,, ve dada po: [ ] [ ] p p P e (0) Paa, o valo da opção é dado po difeete expeõe de acodo co o itevalo de vaiação do peço da acção. Ai paa, 4,,, 4,, e, ve:

13 [ ] l l l l y y y z z z P σ σ δ σ σ σ β δ σ β δ e () Ode:, e 0 0 paa e 0 i i z y i i Po ua vez, paa, 4,, 4, e,a fóula paa o valo da put Aeicaa é a eguite:

14 [ ] x x w w P σ δ σ σ β δ σ β δ l l e () Ode: e 0 0 paa e 0 i i x w i i Relativaete à zoa 4, 4 e 4 o valo da opção coepode a: [ ] 4 σ β δ σ β δ δ v u P e 4 () Po últio, paa, co 4,,, e, a put é execida iediataete, pelo que o eu valo coepode a: [ ] S P e (4)

15 Eta difeete expeõe paa o valo da put Aeicaa cotê u cojuto de paâeto cujo valo é deteiado atavé da eolução de u itea de equaçõe. Paa,,, 4,,,, 4, e : p [ ] ( ) [ ] ( ) p dp [ ] ( ) [ ] ( dp ) d d (5) d p [ ] ( ) [ ] ( d p ) d Paa,,,, 4 e : d [ ] ( ) [ ] ( ) P P (6) Paa,, 4,,, 4, e : P [ ] ( ) [ ] ( ) P dp [ ] ( ) [ ] ( ) dp d d (7) Paa,, 4,,, 4, e [ ] ( ) [ ] ( ) P P (8) Paa, 4,, 4, e P [ ] ( ) [ ] ( ) P dp [ ] ( ) [ ] ( ) dp d (9) d

16 Paa 4, ve: [ ] P [ ] 4 4 d dp (0) Paa a deteiação do valo, é eceáio eolve a eguite equação, paa e,,,4: [ ] d dp () Paa 0 δ o valo de é dado iplicitaete e te que e ecotado ueicaete. Paa 0 δ e 0, o valo de é dado pela eguite expeão: b e β β σ l 4 l () Pelo que o valo cítico é igual a: S () Po ua vez, paa,,,4 e,,4 o valo de é deteiado atavé da eolução da eguite equação:

17 [ ] ds dp (4) Só é alcaçada ua expeão explícita quado e coidea 0 e 0 δ, coo já havia acotecido, a dedução ateio, paa. Paa 0 δ, o valo de é deteiado ueicaete. Nete teo paa 0 e 0 δ, ve: e β β γ σ l 4 l (5) Ode: paa ve z γ, paa ve w γ, paa 4 ve u γ. E cofoidade co o que te ido afiado, o valo cítico é igual a: S (6) Relativaete à equaçõe apeetada ateioete, ve: 8 4 σ σ δ δ σ paa 4,,, σ β

18 . A aplicação da extapolação de Richado o odelo de valoização de ua opção de veda de tipo Aeicao Nete atigo, apea de e coidea o tepo dividido u úeo de ub peíodo elativaete eduzido, é poível obte ua boa etiativa paa o valo de ua put Aeicaa, atavé da aplicação da extapolação de Richado. Nete âbito, coidee-e que o valoe elativo à put Aeicaa obtido a pati da equaçõe deteiada ateioete, paa,,, 4, ão fuçõe do ubpeíodo de tepo aplicado e cada cao, ito é, de Deige-e ea fuçõe po P( ) ˆ, co,,, 4.,,,, epectivaete. 4 De acodo co Ca (998), a utilização da extapolação de Richado é adequada ua vez que a fução P( ) Laui: Pˆ ode Pˆ ( 0) Pˆ' ( 0) ˆ pode e epeetada atavé da éie de Mac- ( ) ( Pˆ ) O Pˆ' '( 0)... 0!! O epeeta o eo da apoxiação, que tede paa zeo quado o tede paa ifiito. O valo extapolado da put Aeicaa coepode à olução de ˆP ( 0). Paa que tal eultado eja poível de alcaça, coidee-e: Pˆ ˆ P( 0) Pˆ' ( 0) ( 0) ( 0) (7) Pˆ' ' Pˆ' '' (8)!! Coideado,, e 4, (9) é tafoada u itea de quato equaçõe, co quato vaiávei, P ˆ( 0), Pˆ' ( 0), P ˆ' '( 0) e P ˆ' ''( 0) itea peite ecota o valo extapolado da put Aeicaa: Pˆ ( 0) Pˆ Pˆ 4Pˆ Pˆ. A eolução dete 7 4 (9) 6 O eo tipo de aciocíio deve e aplicado paa a deteiação do valo cítico extapolado do activo ubjacete:

19 Sˆ ( 0) Sˆ Sˆ 4Sˆ Sˆ (40) 6 Co a aplicação da extapolação de Richado, ão deteiado o valoe extapolado do peço cítico, S ( 0) e da put Aeicaa, ˆP ( 0) ˆ4, o que peite obte ua apoxiação uito atifatóia paa o valo deta fuçõe, eboa e coidee o tepo dividido, oete, e quato itevalo.. Aálie de eultado do odelo de avaliação de ua opção de veda de tipo Aeicao Eta ecção apeeta e dicute, uéica e gaficaete, o eultado popocioado pelo odelo geal de valoização de ua opção de veda de tipo Aeicao, ateioete deevolvido. Eta aálie é efectuada atavé da apeetação de gáfico, epeetativo da evolução do valo da opção, ai coo de tabela ode ão apeetado valoe uéico paa o valo da put Aeicaa. Petede-e, ai, ota que a fóula aqui deevolvida, elativa à avaliação da opção put Aeicaa, epeeta ua boa etiativa paa o valo da opção, copaativaete co o que te ido apeetado outo etudo da áea. Dete odo, o eultado obtido paa a put Aeicaa, ecoedo à fóula deduzida ete tabalho, ão cofotado co outo valoe que tê ido alcaçado, po difeete autoe, co tabalho deevolvido eta áea de ivetigação. Na tabela eguite, paa alé de e apeetado o valo da put Aeicaa, é tabé deteiada a aiz quadada da édia do quadado do eo elativo, RMSRE 0 : RMSRE [ ( P( A) i Pi )/ Pi] (4) i 0 Exite tabalho, oeadaete Ju (998), que deteia a aiz quadada da édia do quadado do eo aboluto. Nete tabalho, e eguido Lee e Paxo (00) é deteiada a aiz quadada da édia do quadado do eo elativo, o que igifica que é feita a podeação do eo aboluto pelo valo da opção.

20 ode é o úeo total de opçõe objecto de aálie; P ( A) i coepode ao valo apoxiado da opção i e P i coepode ao valo de efeêcia da opção i. Tabela Copaação de Valoe Relativo a ua Put Aeicaa ( ) () () () (4) (5) (6) (7) (8) ( S ;δ) TRUE MGJ HSY6 LUBA RAN4 EXP MLE(4) (80;0,) 5,6577 5,9487 5,70 5,6568 5,654 5,6570 5,654 (90;0,) 0,08 0,009 0,0905 0,084 0,088 0,087 0,088 (00;0,) 5,498 5,5495 5,500 5,4985 5,4977 5,4970 5,4977 (0;0,),80,86,8,80,8047,80,8047 (0;0,) 8,8856 8,8965 8,89 8,8855 8,8850 8,8850 8,8850 (80;0,08),050,706,49,985,969,084,969 (90;0,08) 6,07 6,506 6,578 6,986 6,967 6,06 6,967 (00;0,08),707,806,77,6988,688,7066,688 (0;0,08) 8,67 8,407 8,56 8,60 8,57 8,695 8,57 (0;0,08) 5,999 5,90 5,9 5,96 5,978 5,9 5,978 (80;0,04) 0,500 0,0000 0,9 0,5 0,499 0,5 0,499 (90;0,04),4968 4,046,460,498,496,5000,496 (00;0,04) 8,948 9,086 8,989 8,944 8,957 8,9474 8,959 (0;0,04) 5,99 5,90 5,969 5,9 5,90 5,946 5,90 (0;0,04),8975,88,884,8980,8870,8997,8870 (80;0,00) 0,0000 0,0000 9,9484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 (90;0,00),6974 0,758,7047,695,70,699,70 (00;0,00) 6,90 6,994 6,909 6,946 6,96 6,946 6,96 (0;0,00) 4,550 4,45 4,897 4,550 4,5 4,57 4,5 (0;0,00),50,4546,550,50,5068,59,5068 RMSRE - 0,05 0,008 0, , , ,00087 O dado deta tabela ão etiado de Ju (998), excepto a últia colua, MLE (4), cujo valoe ão eultate da fóula deduzida ete tabalho. E elação àetate colua te-e: S, o peço do activo ubjacete; δ, a taxa de ditibuição de dividedo cotiua; TRUEvalo de efeêcia; MGJ Buch e Joho (99); HSY6 Huag, Subahaya e Yu (996); LUBA Boadie e Deteple (996); RAN4 Ca (998); EXP Ju (998. Subjacete à cotução deta tabela o valoe do paâeto ão o eguite:, a taxa de juo e ico é 0,08;, o peço de execício é 00;, o tepo paa a atuidade é ao; σ, a volatilidade do peço do activo ubjacete é 0,0.

21 Tabela Copaação de Valoe Relativo a ua Put Aeicaa () δ σ,,,, S () BENCH () BJST (4) IB (5) CEAM (6) MLE(4) (80;,0;0,40;0,06;0,0) (85;,0;0,40;0,06;0,0) (90;,0;0,40;0,06;0,0) (95;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (05;,0;0,40;0,06;0,0) (0;,0;0,40;0,06;0,0) (5;,0;0,40;0,06;0,0) (0;,0;0,40;0,06;0,0) 9,6 6,9 4,80,88, 9,54 8,08 6,76 5,54 9,0 6,77 4,65,7 0,98 9,40 7,95 6,6 5,4 9,0 6,77 4,65,7 0,98 9,9 7,94 6,6 5,40 9, 6,94 4,8,89, 9,49 8,0 6,7 5,50 9,4 6,90 4,77,85,0 9,50 8,05 6,7 5,5 (00;,0;0,40;0,0;0,0) (00;,0;0,40;0,04;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,08;0,0) (00;,0;0,40;0,0;0,0) 5,89,0, 9,7 7,66 5,78,7 0,98 9, 7,54 5,8,7 0,99 9,4 7,55 5,89,0, 9,5 7,6 5,86,6,0 9,5 7,65 (00;,0;0,0;0,06;0,0) (00;,0;0,5;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,45;0,06;0,0) (00;,0;0,50;0,06;0,0) 5,7 8,6, 4,07 6,98 5,04 8,0 0,98,9 6,80 5,06 8,0 0,99,9 6,8 5,9 8,9, 4,06 7,0 5,5 8,,0 4,0 6,9 (00;0,5;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,5;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,5;0,40;0,06;0,0) (00;,0;0,40;0,06;0,0) (00;,5;0,40;0,06;0,0) (00;4,0;0,40;0,06;0,0) (00;4,5;0,40;0,06;0,0) (00;5,0;0,40;0,06;0,0) (00;5,5;0,40;0,06;0,0) 0,7,88 6,7 8,8 9,8,,4,9 4,0 4,76 5,4 0,,78 6,5 8,5 9,69 0,98,08,0,87 4,6 5,6 0,,80 6,6 8,6 9,70 0,99,08,04,87 4,6 5,6 0,6,8 6,5 8,6 9,8,,, 4,06 4,85 5,50 0,6,85 6,4 8,5 9,80,0,0,6,99 4,7 5,9

22 () () () (4) (5) (6) ( S,, σ,, δ) BENCH BJST IB CEAM MLE(4) (00;,0;0,40;0,06;0,00) 9,85 9,69 9,7 9,85 9,8 (00;,0;0,40;0,06;0,0), 0,98 0,99,,0 (00;,0;0,40;0,06;0,04),49,6,6,47,45 RMSRE - 0,0069 0,0064 0,009 0,005 O dado deta tabela ão etiado de Lee e Paxo(00), excepto a últia colua, MLE(4), cujo valoe ão eultate da fóula deduzida ete tabalho. E elação àetate colua te-e: S, o peço do activo ubjacete;, o tepo paa a atuidade e ao; σ, a volatilidade do peço do activo ubjacete;, a taxa de juo e ico; δ, a taxa de ditibuição de dividedo cotiua; BENCH AitSahlia e Ca (997); BJST Bjekud e Stelad (99); IB Igeoll (998); CEAM Lee e Paxo (00). Subjacete à cotução deta tabela, o valo do peço de execício,, é 00. Na Tabela ão calculado o valoe de ua put Aeicaa paa difeete ívei de peço do activo ubjacete e paa difeete taxa de ditibuição de dividedo. Na Tabela ão calculado o valoe de dua put Aeicaa paa difeete ívei de peço do activo ubjacete, difeete pazo, difeete ívei de volatilidade do peço do activo ubjacete, difeete taxa de juo e difeete taxa de ditibuição de dividedo. De efei que o eultado MLE (4) ão valoe obtido de acodo co o odelo deevolvido ete tabalho, utilizado a extapolação de Richado co 4 itevalo tepoai. Da aálie da tabela cotata-e que a apoxiação deevolvida ete tabalho apeeta ua boa etiativa, copaativaete co o valoe alcaçado po outo tabalho efeeciado a tabela. Atavé da aálie da tabela veifica-e que o valoe alcaçado co o odelo aqui popoto ão idêtico ao obtido co o tabalho de Ca (998), dede que eja coideado o eo úeo de itevalo de tepo. E elação à tabela cotata-e que a apoxiação deevolvida ete tabalho é a que apeeta u eo devio e elação ao valoe de efeêcia. Ete facto aida é ai otóio paa opçõe de pazo ai logo. A Figua apeeta, e tê dieõe, a evolução do valo da opção de veda Aeicaa, o cao de dividedo cotate, quado o peço do activo ubjacete e o tepo paa a atuidade vaia. A upefície co icliação ecta, elativa a valoe ai baixo do activo ubjacete, epeeta a zoa de execício iediato da opção. Po ua vez, a upefície iteédia, covexa e co aio icliação, efee-e à zoa e que o activo ubjacete é ifeio ao peço de execício a upeio ao peço cítico.

23 Outo apecto a efei pede-e co o copotaeto do peço da opção quado o tepo paa a atuidade vaia. Veifica-e ua ligeia tedêcia de aueto do valo da opção à edida que a atuidade aueta. Quado o peço do activo ubjacete e apoxia do valo cítico, o valo da opção é ai eível a vaiaçõe a atuidade. Figua. Valo de ua opção de veda de tipo Aeicao coo fução de S e. Subjacete à cotução deta figua o valoe do paâeto ão o eguite:, o úeo de itevalo de tepo é ;, a taxa de juo e ico é 0,06; σ, a volatilidade do peço da acção é 0,4;, o peço de execício é 00; e, o ível de dividedo cotate é,6. A Figua apeeta o valo da opção, o cao de dividedo cotate, coo ua fução do peço do activo ubjacete e da volatilidade dete peço. Tal coo a Figua, o copotaeto do valo da opção, etá dividido e tê zoa ditita apeetado ua evolução eelhate à efeida ateioete, o que cocee à elação ete o activo ubjacete e o valo da opção. Po outo lado, veifica-e que quato aio fo a volatilidade do peço do activo ubjacete aio é o peço da opção. Eta ituação é ai expeiva quado e etá póxio do valo cítico. Outo apecto que ealta da aálie da figua é que o peço cítico tede a diiui igificativaete à edida que a volatilidade do activo ubjacete aueta. Po outo lado, veifica-e paa o doi gáfico que vaiaçõe poitiva o peço do activo ubjacete povoca ua diiuição o valo da opção.

24 Figua. Valo de ua opção de veda de tipo Aeicao coo fução de S e σ. Subjacete à cotução deta figua o valoe do paâeto ão o eguite:, o úeo de itevalo de tepo é ;, a taxa de juo e ico é 0,06;, a volatilidade do peço da acção é ;, o peço de execício é 00; e, o ível de dividedo cotate é,6. A Figua e 4 apeeta, e dua dieõe, a evolução do peço da put Aeicaa, coo fução do valo do activo ubjacete. Paa a epeetação dete gáfico coideou-e a exitêcia de dividedo popocioai ao valo do activo ubjacete e o tepo dividido e 4 itevalo. Veifica-e que paa valoe do activo ubjacete ifeioe ao peço cítico o valo da opção é epeetado po ua ecta co icliação egativa e, paa valoe upeioe ao valo cítico, a cofiguação do gáfico é ua cuva covexa. Po outo lado, veifica-e que à edida que o peço do activo ubjacete aueta o valo da opção e apoxia de zeo. Da copaação do doi gáfico cotata-e que, quado a taxa de dividedo aueta atedo todo o outo paâeto ialteado, o valo da opção aueta e o peço cítico diiui.

25 > δ Figua. Valo de ua Put Aeicaa coo fução de S paa. Subjacete à cotução deta figua o valoe do paâeto ão o eguite:, o úeo de itevalo de tepo é 4;, o tepo paa a atuidade é ao;, a taxa de juo e ico é 0,08; σ, a volatilidade do peço da acção é 0,0;, o peço de execício é 00; S 4, o peço cítico é 79,66;δ, a taxa de ditibuição de dividedo é 0,0; e,, o valo do dividedo cotate é 0,0. Figua 4 Valo de ua Put Aeicaa coo fução de S paa < δ Subjacete à cotução deta figua o valoe do paâeto ão o eguite:, o úeo de itevalo de tepo é 4;, o tepo paa a atuidade é ao;, a taxa de juo e ico é 0,08; σ, a volatilidade do peço da acção é 0,0;, o peço de execício é 00; S 4, o peço cítico é 48,4;δ, a taxa de ditibuição de dividedo é 0,4; e,, o valo do dividedo cotate é 0,0.

26 A apeetação e copaação do eultado uéico peitia cotata que a olução fechada ou quae fechada, aqui deevolvida, cotitui ua alteativa cedível paa a valoização dete tipo de deivado fiaceio. 4. Cocluão O objectivo cetal dete tabalho coite o deevolvieto de u odelo de avaliação de opçõe de veda de tipo Aeicao, capaz de elhoa o actual etado da ate. O cecieto acetuado dete tipo de cotato, a últia dua década, jutifica o iceeto do efoço acadéico colocado o deevolvieto de odelo adequado à epectiva valoização. A liteatua elativa a eta atéia te, a aioia do cao, apeetado apea oluçõe uéica, paa ete tipo de equadaeto de avaliação. E ode a obte eta ea oluçõe uéica, é eceáio ecoe a coplexa técica de coputação, facto que toa o poceo deaiado ooo e dipedioo. O odelo deevolvido ao logo dete tabalho apeeta dua vaiate. Paa a ituação de dividedo cotate, é obtida ua olução fechada paa o valo da opção e paa o epectivo peço cítico. No cao de dividedo popocioai ao valo da acção, é obtida ua olução quae fechada, ua vez que o peço cítico é deteiado ueicaete. Ete eultado, paa alé de peitie deteia apidaete o valo da opção e do peço cítico, poibilita a epeetação gáfica e dua e tê dieõe do valo da opção coo fução de outa copoete do odelo. Eta aálie uéica e gáfica peitiu coclui que o odelo aqui popoto apeeta eultado que ão coeete co a ealidade fiaceia. Ete tabalho petede da u cotibuto ua áea de ivetigação fiaceia pouco exploada até ao peete: o deevolvieto de oluçõe fechada paa a avaliação de opçõe de veda de tipo Aeicao. Tedo po bae ete tabalho, é poível apota u cojuto de ugetõe paa deevolvieto futuo. A foulação deevolvida ao logo do tabalho coidea o tepo dividido e quato itevalo, aquado da alteação do tepo de cotíuo paa diceto. Seia deejável deevolve ua fóula geal que poa e aplicada a qualque úeo de itevalo de tepo. Outo elhoaeto, ai abicioo, que pode e ugeido coite o

27 deevolvieto de u odelo, paa a dua vaiate do odelo, o qual o valo da opção e do peço cítico eja dado po ua olução aalítica e tepo cotíuo. Nua ituação dete tipo, eia deeceáia a aplicação da extapolação de Richado. Bibliogafia AitSahlia, F. e P.Ca (997) Aeica Optio: A copaio of ueical ethod, i L.C.G. Roge ad D. Talay (ed.), Nueical Method i Fiace, Cabidge: Cabidge Uiveity Pe, Bjekud, P. e G. Stelad (99) Cloed-fo appoxiatio of Aeica optio, Scadiavia Joual of Maageet, 9, Black, F. e M. Schole (97) The picig of optio ad copoate liabilitie, Joual of Political Ecooy, 8,, Boadie, M. e J. Deteple (996) Aeica optio valuatio: ew boud, appoxiatio, ad a copaio of exitig ethod, Review of Fiacial Studie, 9, -50. Buch, D. e H. Joho (99) A Siple ad Nueically Efficiet Valuatio Method fo Aeica Put Uig a Modified Geke-Joho Appoach, Joual of Fiace, 47, Buch, D. e H. Joho (000) The Aeica Put Optio ad It Citical Stock Pice, Joual of Fiace, 55, 5, -56. Ca, P. (998) Radoizatio ad the Aeica Put, The Review of Fiacial Studie,,, Ca, P. e D. Faguet (996) Valuig fiite-lived optio a pepetual, Moga Staley, Wokig Pape. Ca, P., R. Jaow e R. Myei (99) Alteative Chaacteizatio of Aeica Put Optio, Matheatical Fiace,, Geke, R. e H. E. Joho (984) The Aeica Put Valued Aalytically, Joual of Fiace, 9, 5-54.

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