Identificação de parâmetros da equação de radar de tempo para um evento de precipitação a partir da formulação de um problema inverso

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1 Identfcação de parâmetros da equação de radar de tempo para um evento de precptação a partr da formulação de um problema nverso Romulo da Slvera Paz 1 Fabíola de Souza Slva 1 Jaquelne Núba de Queroz 1 Larssa Galdno Tertulano 1 Zaqueu Ernesto da Slva 2 José Carlos Fgueredo 3 1 Unversdade Federal de Campna Grande, UFCG, PB, Brasl romulo@dca.ufcg.edu.br fabola.sslva@hotmal.com jaquelnenuba@hotmal.com galdno.met@gmal.com 2 Unversdade Federal da Paraíba,UFPB, PB, Brasl zaqueu@les.ufpb.br 3 Unversdade Estadual Paulsta,UNESP, SP, Brasl fgueredo@pmet.unesp.br Abstract. An attempt to ft the weather radar equaton by usng radar data of the Radar C band localzed on Bauru, São Paulo, Brazl, n the operatonal center of the Insttute of Meteorologcal Researches, IPMet/UNESP, s performed as nverse problem to dentfcaton of parameters. Several values emprcal to the coeffcents a and b from e Z R relaton coeffcents,.e., the radar measurements and the ranfall rate values, have been purposed. The IPMet radar use the values determned by Marshal-Palmer (1948), a = 200, b = 1, 6, for the stratform ran. Frst, a drect theoretcal model relatng radar return to ranfall rates measured from rangauge localzed n Botucatu cty far 55 km from radar poston, s presented. Second, the nverse algorthm of Levenberg Marquardt used to retreve parameters of the radar returns model s descrbed and ts applcaton s dscussed. Thrd, a senstve analyss as the performed to test the nfluence of the parameters nvolved n the nverse method. The senstve analyss allows for establsh the applcaton condtons of the method. Last, a evaluatng of de method s provde, through usng ranfall data and reflectvty measured to retreve a andb parameters values. The study case confrms the utlty of the proposed method and ts hablty to provde a better performance of the studed model. Key Words: reflectvty, ranfall rate, meteorologcal radar 7385

2 1. Introdução A nformação do Radar meteorológco é usada para detectar a presença de chuva e para estmar sua ntensdade a partr do eco recebdo. Os dstntos modelos e formas de apresentação auxlam os meteorologstas a dentfcar stuações de tempo partculares devdo a capacdade de estmação da ntensdade de precptação sobre extensas áreas. O Radar desempenha, assm, um mportante papel no montoramento das stuações de tempo que podem resultar em séras conseqüêncas resultantes de precptações severas. O radar tem habldade para relâmpagos a uma dstanca de 100 km e ndcar a possbldade de tempestade severa a 250 km ou mas, lmtado, prncpalmente pela curvatura. Város valores empírcos para os coefcentes a e b, da relação Z-R, sto é, a medda do radar e os valores de taxa de precptação, tem sdo propostos. O radar do IPMet usa os valores determnados por Marshal-Palmer (1948), a = 200, b = 1, 6, para chuva estratforme. Calheros and Zawadzk (1987), usaram um método de soma de probabldades para ajustar a relação Z R do conjunto de dados coletados pelo radar de Bauru (banda C) em chuva convectva. Eles apresentaram dferentes valores para os parâmetros a,b, dependendo da posção do radar e da localzação da precptação. Aspectos mcrofíscos relaconados a Z foram dscutdos por Stener et al (2004) a partr do uso de métodos nversos. Eles defnram três condções mcrofíscas para a dstrbução do tamanho das gotículas. A prmera condção defne que toda varabldade da dstrbução é controlada pela varação do número de concentração. A segunda, o controle depende das característcas do tamanho das gotículas e, fnalmente, o controle é nfluencado por ambas condções. Eles concluíram que mesmo usando técncas matemátca e estatístca modernas, como a análse nversa, as ncertezas da medda serão sempre nfluencadas pelas lmtações no que concerne a comparação da medda do radar e a medda do pluvômetro. Fser (2004), usando dados de radar coletados durante um ano a cdade de Praga, Repúblca Tcheca, tentou melhorar a relação Z-R usando le de potênca e polnômo de segunda ordem. Ele concluu que, embora sem chegar a um melhor desempenho da equação do radar de tempo, o uso de técnca de comparação da dstrbução do tamanho da gotícula com a chuva coletada conduz a uma melhor estmação da precptação. Paz et al (2008) utlzou dados do radar de Bauru, referentes aos meses de janero e feverero de 1994 a 2004, para dentfcar os parâmetros da equação de radar de tempo a partr de um problema nverso. Neste trabalho, a mesma metodologa é seguda, porém lmtado a um evento de precptação, buscando um melhor ajuste da relação Z-R, em relação a pratcada no centro de operação do Insttuto de Pesqusas Meteorológcas, IPMet/UNESP. Assm, é efetuado como um problema nverso de dentfcação de parâmetros. Prmero, um problema dreto relaconando o retorno do radar a taxa de precptação medda no pluvômetro, localzado na cdade de Botucatu, a 95 km da posção do radar, é apresentado. Segundo, o algorítmo nverso de Levenberg Marquardt, dsponível em bblotecas computaconas (Press et al., 1992), usado para dentfcar parâmetros, é descrto e sua aplcação, dscutda. Tercero, uma análse de sensbldade aos parâmetros, segundo, Beck and Arnold (1977), para testar a nfluênca dos parâmetros sobre a precptação calculada pelo modelo. A análse da sensbldade permte estabelecer as condções de aplcação do método. Fnalmente, uma avalação do método é apresentada, através do uso de dados precptação e meddas da refletvdade para recuperar os valores dos parâmetros. 2. Dados e metodologa O estudo vnculou-se a análse de um evento de precptação ocorrdo no mês de janero 7386

3 de Os dados usados neste trabalho foram coletados pelo radar doppler localzado na cdade de Bauru (Alttude 620 m, Lattude 22 o 35 S e Longtude 49 o 03 W, Fgura 1). Este radar pertence ao IPMet (Insttuto de Pesqusas Meteorológcas) e faz parte a rede de dos radares doppler, sendo operado contnuamente com varreduras de 7,5 a 15 mn, ocorrendo precptação, com um alcance de 240 km, compreendendo 11 PPIs entre 0.3 o e 34.9 o de elevação. A largura do rao é de 2 o e a resolução de 1 km 2 no ntervalo de 1 o de azmute. Fgura 1. Mapa do estado de São Paulo, mostrando as prncpas cdades, ros e localzação do radar de Bauru (BRU) com 240 e 450 km de alcance. (Fonte: Levenberg-Marquartd a técnca de Levenberg-Marquartd é um padrão vrtual em otmzação não lnear, que efetua de forma efcente os métodos do gradente conjugado e gradente descendente para problemas de tamanho médo. É um pseudo método de segunda ordem, ou seja, ele trabalha apenas com funções de avalação e nformação do gradente mas estma a matrz de Hessan usando a soma de outros produtos do gradente. Para a função de mérto χ 2 : ( γ β) 2 Onde, Y é um valor expermental da varável Y, N 2 Y η, χ ( β) = (1) = 1 σ σ corresponde ao desvo padrão, η ( γ, β) valores da varável calculada pelo modelo teórco e β=(β 1,β 2,β 3,...β m ) os parâmetros conhecdos do modelo, Press et al (1992). d 7387

4 Este processo é repetdo até a convergênca. Os dos métodos acma descrtos têm problemas. (1) O método do maor passo descendente não tem uma boa forma de determne o comprmento do passo. (2) O método de Newton é baseado na solução de um sstema lnear. Para ser nvertda a matrz tem que ser sngular. (3) Além dsso, o níco é próxmo ao mínmo. O método de Newton às vezes conduz a osclações dvergentes que podem sar de qualquer resposta. Isto é, ele super-dmensona o chute e, então, efetua a sobrecompensação. A formulação nversa é dada pela relação R = f ( Z, a, b) (2) O ajuste da função de mérto S 2 pode ser escrto para a precptação na forma N = 2 R model Rmeasured S ( β ) = (3) 1 d Os dados obtdos foram submetdos a uma análse de consstênca baseado nos crtéros convenconas dentro das normas prátcas da meteorologa operaconal. O processo de dentfcação requer uma prelmnar análse da sensbldade da varável estmada pelo modelo em função dos parâmetros objeto da dentfcação. O coefcente de sensbldade reduzdo é então calculado e grafcamente apresentado para possbltar a satsfatóra aplcação do método. A formulação dreta do problema é representando pela equação empírca (4), que relacona o snal do radar a taxa de precptação, como segue: (4) b Z = ar Onde, Z (dbz) é a refletvdade medda pelo radar e R é a correspondente taxa de precptação (mm.h -1 ) medda pelo pluvômetro. Um códgo em lnguagem FORTRAN fo desenvolvdo para calcular o coefcente de sensbldade. A Fgura 2 mostra menores valores de sensbldade à baxa freqüênca. O coefcente de sensbldade, defndo pela dervada parcal em relação aos parâmetros a e b, aqu representados β,= 1,2,...k, (5) sgnfca a resposta do modelo teórco para calcular a taxa de precptação ( R ), devdo a uma fnta varação dos parâmetros. χ ( β ) R( β ) = β (5) 7388

5 β é um vetor de n componentes, χ ndca a varação de R quando β expermenta uma varação nfntesmal. O coefcente de sensbldade depende dos valores de cada parâmetro. A comparação de valores dferentes de χ deve ser efetuada a partr do coefcente admensonal, defndo como: χ * ( β ) = β χ ( β ) R( β ) = β β (6) 3. Resultados Fgura 2. Coefcentes de sensbldade aos parâmetros a, b. A Fgura 3 mostra os valores observados da taxa de precptação e os valores e modelados antes e após a dentfcação dos parâmetros. Nota-se que o ajuste smultâneo dos parâmetros oferece uma melhor resposta para o ajuste da equação de tempo em relação aos resultados obtdos a partr com os parâmetros de Marshal-Palmer. 7389

6 Fgura 3 Curvas dos valores modelados da taxa de precptação, R, com os parâmetros dentfcados, com os parâmetros de Marshal-Palmer e valores da taxa de precptação meddos com pluvômetro. 4. Conclusão Embora o aparente desvo entre os valores meddos e modelados, decorrentes da lmtação do modelo bem como das ncertezas da expermentação, os resultados se mostraram amplamente satsfatóros, atestando sgnfcatvamente a efcáca da utlzação da análse nversa para o propósto do trabalho. O ajuste smultâneo dos parâmetros resultou nos valores de a = 200 e b = 0, 81. Como já afrmado, levando-se em consderação que as meddas de taxa de precptação por radar e pluvômetro apresentam dferentes característcas nas suas sstemátcas, pode se afrmar, pelo resultado que o mesmo fo bastante sgnfcatvo, ensejando a expectatva de um melhor ajuste em face de esperada dmnução do erro produzdo pela medda do radar. 5. Referêncas CALHEIROS, R. V.; ZAWADZKI, I., 1987: Reflectvty-ran rate relatonshps for radar hydrology n Brazl. Journal of Clmate and Appled Meteorology, Boston, v. 26, p BECK, J. V. ARNOLD, K. J., Parameter estmaton n engneerng and scences, Jonh Wley and Sons, Ney york, FISER, O., 2004: Z-R radar Reflectvty-Ran rate relatonshps derved from Czech dstrometer data. In: EUROPEAN CONFERENCE ON RADAR IN METEOROLOGY AND HYDROLOGY ERAD, 3., 2004, Vsby. Proceedngs Vsby: [s.n.], p MARSHALL, J. S.; PALMER, W. M. K.,1948:The dstrbuton of randrops wth sze. Journal of Appled Meteorology, Boston, v. 5, p

7 PRESS, W. H., TEUKLSKY, S. A., VETTERLING, E., and FLANNERY, P. B., (1992) The art of scentfc computng, second edton, Cambrdge Unversty Press, New York. STEINER, M.; SMITH, J. A.; UIJLENHOET, R., 2004: A mcrophyscal nterpretaton of radar reflectvty-ran rate relatonshps. Journal Atmospherc and Oceanc Technology, v. 61, p