Teste de Modelos Estatísticos para a Estrutura a Termo no Brasil

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1 Teste de Modelos Estatístcos para a Estrutura a Termo no Brasl Autora: Gyorgy Varga Apresentamos os prncpas modelos de auste estatístco da estrutura a termo da taxa de uros e testamos alguns deles para dados do mercado fnancero braslero. Entre esses modelos, o conhecdo modelo de Nelson e Segel se destaca como o melhor. Para nossa surpresa, esses modelos são procedmentos adotados nternaconalmente por pratcantes e autordades monetáras mas desconhecdos na lteratura local. Também dscutamos a convenênca e as falhas da nterpolação de taxas de uros com taxas a termo constantes conhecdo como flat forward. Esse procedmento largamente utlzado no Brasl tem pouco sentdo econômco e pode nclusve gerar oportundades de arbtragem. Como resultado dos testes, concluímos que o modelo de Nelson e Segel é o que melhor austa a estrutura a termo braslera entre todos os modelos testados. Sugermos fortemente a adoção de tas modelos nas avalações de polítca monetára e mesmo a marcação a mercado de títulos. A ET costuma ser representada por um conunto de pontos no espaço taxa uros versus prazo. Cada ponto é obtdo com base em algum título negocado no mercado, e esse conunto raramente é completo e o que se tem são pontos esparsos. Ocorre que a avalação de títulos (marcação a mercado) demanda esse conunto completo e faz-se um auste de uma curva com base nos pontos dsponíves de modo a se ter o conunto completo. Exstem dos grupos de modelos usados para austar a estrutura a termo das taxas de uros (ET). O prmero, relatvamente smples, busca austar o conunto de taxas dsponíves por alguma função, em geral, um polnômo. O segundo trata a evolução de varáves fundamentas à explcação das taxas de uros e com argumentos de equlíbro ou arbtragem chega-se à ET. Neste trabalho, tratamos apenas do prmero grupo que é amplamente utlzado por autordades e pratcantes do mercado fnancero na avalação dos preços de títulos e na gestão de rscos. Os modelos estátcos buscam austar uma curva a um conunto de pontos no espaço de taxas versus prazos que defne a ET. Eles podem ter, como varável obeto, a taxa de uros spot, a taxa a termo ou o preço dos títulos, uma vez que todas essas varáves estão dretamente relaconadas e são retradas dos mesmos atvos fnanceros. Deve-se avalar qual a varável mas aproprada para fns do modelo e, obvamente, qual o melhor modelo. Na busca do melhor modelo város problemas devem ser superados:. trbutação dferente, exstente sobre o ganho de captal e uros; 2. dferença de rsco de lqudez; 3. dferença de rsco de crédto; 4. não-sncronsmo nos dados; 5. efeto clentela. O problema () faz com que títulos com os mesmos rscos de mercado, crédto e lqudez tenham preços dferentes, mas esse é um problema nexstente no Brasl, pos a trbutação é a mesma. O (2) é de dfícl avalação e trata do dferente grau de lqudez. O (3) é superado fazendo-se a análse para títulos com mesma qualdade de crédto. O (4) depende de uma boa coleta de nformações. O (5) trata da demanda especfca por títulos de certo prazo. A ET bem defnda é fundamental para o cálculo dos preços dos títulos em mercado e, pratcamente, qualquer estudo que envolva o mercado fnancero. Modelos smplfcados de auste da ET vêm sendo usados desde a década de 30 do século passado, mas, apenas com o trabalho de McCulloch (97), as técncas mas sofstcadas passaram a serem empregadas no desenho da ET. Uma descrção detalhada dos métodos e aplcações recentes para a modelagem da ET pode ser encontrada em Anderson et al. (996).. Modelos estatístcos O obetvo geral dos modelos estatístcos da ET é o de crar uma função que lgue todos os pontos dsponíves de modo que se tenha uma taxa spot para cada prazo possível. O problema do ponto de vsta matemátco é mapear um conunto de números reas (prazos) em um conunto de números também reas, representados pelas taxas de uros spot. De qualquer curso de análse numérca (Burden e Fares 996), sabemos que a classe de polnômos algébrcos do tpo

2 P n n ( x) = a x a x a x a0 n n n L (), em que n é um ntero não-negatvo e a 0,..., a n são constantes, permte mapear os pontos dsponíves tão próxmo quanto for deseável. Um dos mas smples polnômos é o que gera uma nterpolação lnear. Defnmos ( x) a b x P =. Com apenas dos pontos e a equação acma, temos um sstema de duas equações e duas ncógntas do qual retramos os parâmetros a e b. Como é óbvo, trata-se de uma nterpolação muto pobre que só atende bem as relações lneares entre as varáves. Podemos adconar mas graus à função de nterpolação até chegar a um auste tão bom quanto deseável. Exemplo. Tomando um conunto com quatro pontos: x f(x),00 0,20 2,00 0,30 3,00 0,8 4,00 0,32 Interpolamos, com base em um polnômo de grau (auste lnear), 2 (auste quadrátco) e 3 (auste cúbco), com os resultados no gráfco abaxo. Para calcular os parâmetros dos polnômos, precsamos escolher dos pontos, para o quadrátco três e para o cúbco quatro. 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,5 f(x) Lnear Quadrátco Cúbco 0,0 0,05 -,0,4,8 2, 2,5 2,9 3,3 3,6 4,0 Gráfco. Interpolação lnear, quadrátca e cúbca exata. O polnômo cúbco passa por todos os quatro pontos. Se tvermos um número maor de pontos, gerados por uma função contínua, também podemos obter um polnômo que passe por todos eles. O teorema da aproxmação de Weerstrass mostra que, para uma função contínua f, defnda em um conunto fechado [a,b] e qualquer ε > 0, exste um polnômo P(x) que satsfaz f ( x) P( x) <, x em [ a, b] ε. (2) Além de tornar possível a obtenção de uma função que passa por todos os pontos, as dervadas e ntegras dos polnômos também são fáces de calcular, o que torna anda mas atraente seu uso. Por sso os polnômos são muto empregados na nterpolação. Alguns métodos permtem gerar os polnômos, são 2

3 eles os seguntes: aproxmação de Taylor, nterpolação com polnômo de Lagrange, dferenças dvddas e nterpolação de Hermte, entre outras. A natureza osclatóra dos polnômos de alto grau e as altas flutuações eventualmente geradas restrnge o seu uso. Uma abordagem alternatva é a aproxmação polnomal secconada (pecewse) também chamado de splne, que consste em dvdr o domíno em ntervalos e construr uma aproxmação polnomal para cada um deles. Com sso, chega-se a um auste com város polnômos de ordem relatvamente baxa e, conseqüentemente, pouca flutuação na curva, além de permtr curvaturas bem dferentes em cada regão da ET. O mas smples deles é a nterpolação lnear secconada, que consste em untar todos os pontos [( x, f ( x )), ( x2, f ( x2 )), K,( xn, f ( x n ))] por uma sére de lnhas retas. Nesse caso o polnômo pode ser descrto por P ( x) a b ( x x ) = para cada =,...,n-. (3) A obtenção dos parâmetros a e b é feta gualando os extremos da função (3) dentro de cada ntervalo aos valores f(x), para os quas se austar a função. A sua desvantagem, em geral, é não haver dferencabldade nos vértces (ou nós), de modo que a função aproxmada não evolu suavemente. Adconando um grau à aproxmação lnear secconada, temos uma aproxmação polnomal secconada quadrátca: P ( x) a b ( x x ) c ( x x ) 2 =. (4) Para obter os parâmetros a, b e c para cada ntervalo ncado em, temos duas restrções dadas pelo nco e pelo fm do ntervalo. Podemos adconar uma tercera, obrgando que a prmera dervada sea contínua na passagem de um ntervalo para outro. Nesse caso, consegumos a contnudade da prmera dervada, mas anda não da segunda dervada, que é mportante nas aplcações fnanceras. Com mas um grau, temos a aproxmação polnomal secconada cúbca: P ( x) a b ( x x ) c ( x x ) d ( x x ) 3 2 =. (5) Esse é um dos procedmentos de nterpolação mas comuns, pos permte chegar à contnudade também da segunda dervada. Nesse sentdo, buscamos um polnômo do tpo (5), que satsfaça as seguntes condções: 5a. P( x ) = f ( x ) para cada =,..., n, 5b. P ( x ) = P ( x ) para cada =,..., n 2, 5c. P' ( x ) = P' ( x ) para cada =,..., n 2, 5d. P ( x ) P" ( x ) para cada =,..., 2, " = n 5e. Um dos seguntes conuntos de condções deve ser satsfeto: e. P "( x ) = P" ( xn ) = 0 ou e2. P ( x ) = f '( x ) e P' ( x ) = f '( x ). ' n n A condção e caracterza o chamado splne cúbco natural, usado quando não se conhecem as dervadas segundas nos pontos ncal e fnal. Exemplo 2. Tomando os mesmos dados do exemplo ncal dessa seção, mostramos, no gráfco abaxo, a nterpolação secconada lnear, quadrátca e cúbca. Nas últmas aproxmações, usamos, arbtraramente, a condção e para solução do sstema necessáro ao cálculo dos parâmetros. 3

4 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,5 f(x) Lnear Quadrátco Cúbco 0,0 0,05 -,0,4,8 2, 2,5 2,9 3,3 3,6 4,0 Gráfco 2. Interpolada lnear, quadrátca e cúbca exata. A obtenção dos parâmetros das equações (3), (4) e (5) vem da solução de um sstema de equações smultâneas gerados pelas condções de contorno do tpo 5a-5e. Para o cálculo dos parâmetros do splne cúbco dos exemplos apresentados, aqu usamos o algortmo apresentado em Burden e Fares (pg 30). Nos casos acma, o auste sempre fo exato no sentdo de untar todos os pontos dsponíves. Um outro camnho é buscar a curva (representada, por exemplo, por um polnômo) que melhor descreve um conunto de pontos, agora sem a exgênca de que a curva passe por todos os pontos. O crtéro pode ser a mnmzação dos erros quadrátcos, em que o erro é a dferença entre o valor gerado pelo polnômo e o valor observado. Os coefcentes são gerados de modo a mnmzar a soma dos resíduos. O polnômo pode ser secconado ou não e o número de observações (pontos) deve ser maor do que o número de vértces. Uma descrção detalhada desse método pode ser vsta em Porer (973). Mas á frente, mostramos a aplcação desse método com base em polnômos secconados quadrátcos e cúbcos. O prmero passo para a aplcação desses procedmentos na avalação da ET é defnr se o obeto da nterpolação é a taxa spot, a taxa a termo ou o preço dos títulos, uma vez que estão todas nterrelaconadas. Em geral, os modelos estatístcos têm como obeto o preço dos títulos por se tratar de uma função bem comportada, porquanto é monótona decrescente e evolu suavemente com o prazo. O segundo passo é defnr os vértces relevantes que podem ou não concdr com as taxas dsponíves. Se concdrem exatamente com as taxas dsponíves, temos uma nterpolação exata, senão algum método de busca do melhor auste deve ser aplcado. A utlzação desses procedmentos de nterpolação no tratamento da ET se ncou com o trabalho de McCulloch (97), que fez uma nterpolação por regressão quadrátca secconada. Ele defnu vértces e buscou um conunto de polnômos quadrátcos que gerassem o melhor auste entre os vértces, segundo o crtéro dos mínmos quadrados ordnáros (MQO). A aplcação é feta sobre a função valor atual (δ) e não dretamente sobre a taxa: ( m) = a f ( m) δ, (6) = buscamos os parâmetros a de funções base f pré-defndas. O preço de mercado de cada título é escrto como: n P = c δ l= () l F δ ( n), (7) em c é o cupom de uros pago na data l, e n é a data de vencmento do título. Substtundo (6) em (7), chegamos ás equações de regressão: 4

5 y = = a x, (8) em que y = P nc F n x = c f l= () l F f ( n). A função base f é determnada pelo polnômo a ser usado e por condções do tpo 5a-e. Na sua prmera aplcação, McCulloch (97) usou o polnômo quadrátco, mas um problema dentfcado nessa aplcação é o de que a sua segunda dervada é descontínua levando a taxas a termo, com prmera dervada descontínua que equvale a uma evolução pouco suave das taxas a termo. Para superar tal problema, McCulloch (975) usou uma nterpolação cúbca secconada com auste por MQO, em que os vértces são undos de forma que as taxas a termo evoluam suavemente. Em ambos os casos, McCulloch defnu os vértces colocando um número gual de títulos entre eles e tomou o preço dos títulos como varável obeto da nterpolação. Uma aplcação da nterpolação cúbca exata pode ser vsta em Varga (2003). Mostramos, a segur, a nterpolação por splne cúbco, secconado exato e por regressão. Exemplo 3. Tomando um conunto de prazos e taxas de uros spot e com base nos algortmos mostrados em Burden e Fares (pg 30) e em McCulloch (975), comparamos a aplcação da nterpolação cúbca secconada exata e por regressão. O prmero passo é transformar as taxas de mercado em preços para se fazer a regressão de (8). As funções f estão em McCulloch (97), (975), para os casos de polnômo secconado quadrátco e cúbco respectvamente. Prazo Taxa de mercado Preço Varável dependente Dependentes f Modelo cúbco y f f 2 f 3 f 4 f 5 Preço Taxa 0,2 6,70% 0,9696 (0,0304) 0,0067 0, ,2000 0,9696 6,7% 0,4 7,00% 0,939 (0,0609) 0,0453 0, ,4000 0,9392 6,97% 0,6 7,30% 0,9087 (0,093) 0,60 0, ,6000 0,909 7,2% 0,8 7,40% 0,8796 (0,204) 0,207 0, ,8000 0,8795 7,4%,0 7,50% 0,85 (0,489) 0,323 0, ,0000 0,8504 7,59%,2 7,70% 0,8224 (0,776) 0,6000 0,667 0,0000 -,2000 0,8225 7,69%,4 7,77% 0,7953 (0,2047) 0,6000 0,2853 0,003 -,4000 0,7949 7,82%,6 7,90% 0,7684 (0,236) 0,6000 0,4360 0,007 -,6000 0,7682 7,92%,8 8,05% 0,748 (0,2582) 0,6000 0,607 0,0360 -,8000 0,7423 8,00% 2,0 8,5% 0,764 (0,2836) 0,6000 0,803 0,0853-2,0000 0,772 8,08% 2,2 8,20% 0,6922 (0,3078) 0,6000,0000 0,667 0,0000 2,2000 0,6928 8,6% 2,4 8,25% 0,6688 (0,332) 0,6000,2000 0,2853 0,003 2,4000 0,6690 8,24% 2,6 8,30% 0,6460 (0,3540) 0,6000,4000 0,4360 0,007 2,6000 0,6458 8,3% 2,8 8,32% 0,6244 (0,3756) 0,6000,6000 0,607 0,0360 2,8000 0,6235 8,38% 3,0 8,35% 0,6032 (0,3968) 0,6000,8000 0,803 0,0853 3,0000 0,6020 8,43% 3,2 8,40% 0,5825 (0,475) 0,6000 2,0000,0000 0,667 3,2000 0,583 8,47% 3,4 8,45% 0,5623 (0,4377) 0,6000 2,2000,2000 0,2853 3,4000 0,566 8,49% 3,6 8,50% 0,5428 (0,4572) 0,6000 2,4000,4000 0,4360 3,6000 0,5427 8,50% 3,8 8,55% 0,5238 (0,4762) 0,6000 2,6000,6000 0,607 3,8000 0,5243 8,52% 4,0 8,60% 0,5054 (0,4946) 0,6000 2,8000,8000 0,803 4,0000 0,5064 8,54% 4,2 8,70% 0,4868 (0,532) 0,6000 3,0000 2,0000,0000 4,2000 0,4886 8,59% 4,4 8,80% 0,4686 (0,534) 0,6000 3,2000 2,2000,2000 4,4000 0,4709 8,67% 4,6 8,82% 0,4524 (0,5476) 0,6000 3,4000 2,4000,4000 4,6000 0,453 8,78% 4,8 8,90% 0,4356 (0,5644) 0,6000 3,6000 2,6000,6000 4,8000 0,4354 8,9% 5,0 8,90% 0,4208 (0,5792) 0,6000 3,8000 2,8000,8000 5,0000 0,476 9,08% No gráfco 3, colocamos os resultados da regressão cúbca e da nterpolação exata. Também ncluímos as taxas de mercado de modo a se ter uma noção da dspersão e qualdade do auste gerado. 5

6 9,5% 9,0% 8,5% 8,0% 7,5% 7,0% Regressão cubca Taxa de mercado Splne cubco exato Vértces 6,5% 0,0 0,4 0,8,2,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 Gráfco 3. ET nterpolada por regressão cúbca e splne cúbco exato. O splne exato passa por todos os vértces seleconados sem levar em conta qualquer taxa de outro prazo. A regressão cúbca busca mnmzar o erro entre todas as taxas observadas e as geradas por um splne cúbco secconado com os mesmos vértces seleconados. Um crtéro para estabelecer o melhor método é a suavdade da evolução das taxas a termo geradas pelo método de auste. Conforme mostram Langeteg e Smoot (989), eventuas saltos nas taxas a termo nterpoladas contraram a noção de efcênca de mercado por permtr oportundades de arbtragem entre as taxas a termo em vértces adacentes. Em geral, qualquer descontnudade ou salto tende a ser rapdamente elmnada por arbtradores. Outros métodos estatístcos conhecdos são o () exponencal splne; (2) B-splnes; (3) métodos de suavzação máxma e (4) splne exponencal com a taxa a termo. No () exponencal splne secconado aplcado ncalmente por Vasce e Fong (982), cada ntervalo é tratado por uma função exponencal aplcada sobre o preço do título: P αm 2αm 3αm ( m) a b e c e d e =. (9) Segundo Vasce e Fong, tal forma funconal expressa mas felmente a natureza exponencal da função preço (valor atual) e, por conta dsso, devera gerar uma melhor aproxmação para a ET. Entretanto Shea (985) mostra que tal suposção não vale emprcamente e que o resultado gerado é tão bom quanto o da aproxmação polnomal. O método (2) B-splne (Shea 984, Langeteg e Smoot 989) busca bases ortogonas com o obetvo de superar um problema de colneardade, que leva a estmatvas nacuradas na aplcação do MQO para os métodos anterores. O método (3), aplcado ncalmente por Fsher et al. (995) austa a ET, regulando o grau de suavdade das taxas a termo. O grau de suavdade é regulado pelo número de parâmetros utlzados. Alguns problemas emergem da utlzação dos splnes: eventualmente levam a taxas a termo com formas totalmente rreas, podendo subr ou descer ndefndamente, levando nclusve as taxas a termo negatvas; nos austes por regressão também se verfcam fortes dstorções nas partes ncal e fnal da curva e têm parâmetros muto sensíves à localzação e à quantdade de vértces. Uma quantdade muto pequena de vértces pode gerar curvas rreas no sentdo de dexar mutos pontos de fora, mas a nclusão de mutos, ou de todos os pontos dsponíves no desenho da ET (caso do splne exato), possvelmente nclu pontos que deveram estar fora da curva por motvos de lqudez, crédto ou não-sncronsmo. A quantdade e a localzação dos vértces vem sendo tratada de váras maneras. McCulloch (975) defne o número de vértces como gual à raz do número de títulos (pontos) utlzados. Outros autores fxam certos prazos mas negocados, como os vértces. O método (4) trata a taxa a termo como uma função exponencal e ntegra-a para chegar a taxa spot, fazendo com que ela sea uma méda das taxas a termo. Trata-se de um modelo parcmonoso, vsto que a curva é gerada com poucos parâmetros e ndepende de vértces predefndos fo apresentado por 6

7 Nelson e Segel (987)- NS e, posterormente, estenddo por Svensson (995)- NSS. A varável-obeto do modelo NS é a taxa a termo f, que depende exponencalmente do prazo segundo: ( m) ( m ) ( ) ( m ) τ τ β m e τ = β 0 βe, (0) f 2 em que β 0, β, β 2, τ são parâmetros. Com essa especfcação, a ET das taxas a termo pode ter formatos que são muto comuns no mercado fnancero, tas como o monotoncamente crescente, o decrescente e o com corcova. O parâmetro β 0, defne a taxa a termo de longo prazo. O segundo termo é um componente monotoncamente crescente (β negatvo) ou decrescente (β postvo). O tercero permte gerar uma corcova com barrga para baxo, quando β 2 é negatvo ou, para cma, quando postvo. Quando o prazo se aproxma do nfnto, a taxa a termo se aproxma de β 0, quando o prazo é zero, essa taxa é de β 0 β. Para chegar à taxa spot, ntegramos entre a data ncal e data x para a qual queremos obter a taxa spot e temos a segunte fórmula para a taxa spot: r ( m) ( m ) ( m ) τ τ e e ( m ) τ = β 0 β β 2 e. () ( m ) ( m ) τ τ Um únca função explca toda a ET usando apenas os parâmetros β 0, β, β 2 e τ. O modelo pode ser estmado de forma semelhante a (8). mnmzando-se o erro entre o preço de mercado e o do modelo ou, dretamente, pela mnmzação dos erros entre as taxas do modelo (9) e as taxas pratcadas no mercado. Pode-se usar máxma verossmlhança, método generalzado dos momentos ou mínmos quadrados não-lneares. Deve ser tomado algum cudado com a homocedastcdade. Esses parâmetros se relaconam de forma não-lnear mas, segundo Nelson e Segel (987), podem ser obtdos por algum procedmento de mínmos quadrados lneares. Fazendo-se um grd de valores para τ, buscamos por MQO o conunto de {β 0, β, β 2 } que melhor austa as taxas spot dsponíves. Exemplo 4. Para o mesmo conunto de taxas do exemplo 3, aplcamos o modelo NS e chagamos ao resultado apresentado no gráfco 3. 9,5% 9,0% 8,5% 8,0% Taxa modelo NS 7,5% Taxa de mercado 7,0% Splne exato Vértces 6,5% 0,0 0,6,2,8 2,4 3,0 3,6 4,2 4,8 Gráfco 3. ET nterpolada por regressão cúbca e splne cúbco exato. Os valores ótmos obtdos foram os que seguem: τ,200 β 0 7,785% 7

8 β -2,486% β 2-0,08% R2 99% Como esperado, o resultado sobre as taxas de uros a termo são mas suaves quando se utlza o modelo NS. Taxas a Termo 23% 22% 2% 20% 9% 8% 7% 6% Modelo NS Mercado Splne exato Regresão Cúbca 0,2 0,8,4 2,0 2,6 3,2 3,8 4,4 5,0 Gráfco 4. Auste da ET pelos modelos de Nelson e Segel e C-splne exato. No modelo NSS, um novo termo (mas dos parâmetros β 3 e τ 2 ) é adconado à curva de taxas a termo para chegar a uma descrção mas flexível da ET, por meo de uma nova corcova. Segundo Svensson (994), essa forma permte uma descrção melhor da ET especalmente para fns de análse da polítca monetára. A fórmula para a taxa spot é m m m τ τ τ 2 e e e ( ) m = m τ τ 2 r m β 0 β β 2 e β 3 e (2). m m m τ τ τ 2 Outra extensão do modelo NS (Blss 996) consste em mnmzar o erro ponderado pela duração quando se tratar do erro meddo pela dferença entre preços. No Brasl, um método de nterpolação muto usado e conhecdo como flat forward, fxa vértces em taxas conhecdas e busca um auste exato por meo da decomposção da taxa entre os vértces por da útl, segundo o crtéro de uro composto dscreto. Essas taxas a termo dáras são supostas constantes e captalzadas, de modo a se chegar às taxas spot entre os vértces. Formalmente a taxa de qualquer da é a segunte: ( t ) ( ) x ( x ) t t xt =, (3) t xt ( ) t 8

9 em que: t é a taxa do período t (vértce t) e anual, ( 0 < < ) defne o período ntermedáro para o qual se quer calcular uma taxa. Em termos de preço dos títulos (P), tal decomposção pode ser escrta como a que segue: Pt Pt Pt =, que é uma méda geométrca dos preços adacentes ao preço que se quer nterpolar. Em termos de taxas a termo (na forma contínua), essa decomposção equvale a supor que a taxa a termo é constante entre os vértces e se faz um splne exponencal para estmar a função preço em cada ntervalo: P = P e f t t t, t = t t t t. em que f x Ln( ) x Ln( ) Tal procedmento á fo apresentado na lteratura por Coleman et al. (992), mas, conforme dscutdo acma e em Varga (2003), sso gera oportundade de arbtragens devdo aos saltos que ocorrem nas taxas a termo. Apesar dsso, esse procedmento é amplamente utlzado no Brasl, sea por acadêmcos (PPE xxxxx), sea pelas autordades monetáras (Banco Central do Brasl (2000)). Aparentemente, fo herdado do período de alta nflação até unho de 994, em que o BCB fxava as taxas dáras dentro de cada mês, de modo que a taxa de uros acumulada em cada mês fosse gual a nflação do mês mas um ganho real, em geral, de valor fxo. Segundo Anderson e Sleath (200), Bolder e Gusba (2002) e mutos outros, os bancos centras vêm aplcando as técncas estatístcas acma nas suas avalações da ET. Outro procedmento smples adotado por pratcantes é o de fazer uma nterpolação lnear smples sobre as taxas spot: = ( ). (4) t t Em termos de taxas a termos, tal procedmento não garante que as taxas a termo seam sempre postvas. Uma questão prátca mportante é a da extrapolação das taxas além dos prazos de que se tem nformação. Dos modelos acma, é fácl avalar os procedmentos que, certamente, não permtem fazer uma extrapolação razoável e o motvo é que levam a taxas ndefndamente crescentes ou negatvas. Em ambos os casos, são taxas que têm sentdo econômco. Como pode ser verfcado acma, modelos de splne cúbco (), exponencal (2) e nterpolação lnear smples sobre a taxa têm essa característca, portanto não são adequados para extrapolação. Já os modelos de suavzação de taxas a termo (3) e (4) e mesmo o flat forward não levam a taxas spot ndefndamente grandes ou negatvas. Além do crtéro da suavdade das taxas a termo, a defnção do melhor modelo depende também da sua aplcação. Para fns de análse macroeconômca, modelos parcmonosos como NS e NSS são extremamente atraentes pela facldade de aplcação. A obtenção das taxas a termo é muto mportante na avalação da polítca monetára (Svensson 994). Para fns de avalar o preço dos títulos em mercado, um modelo que nclua mas nformações pode ser mas aproprado. Portanto a escolha do modelo tem uma componente subetva vnda do ulgamento do usuáro do modelo. O que a análse acma mostra são lmtes na aplcação de dversos modelos. 2. Mercado de títulos O mercado de títulos de renda fxa no Brasl tem uma varedade de títulos ndexados. As técncas aqu apresentadas podem ser aplcadas a qualquer desses títulos, mas, por smplcdade, utlzamos como obeto dos testes desse estudo apenas o conunto de títulos com taxas de uros prefxadas. O título de renda sem rsco de crédto mas conhecdo é a Letra do Tesouro Naconal LTN. Tratase de um título sem pagamento de uros ntermedáros (cupom), com emssão pelo Tesouro Naconal, prazos relatvamente curtos (dos anos no máxmo) e poucos vencmentos smultaneamente negocados. Outro mercado com rsco de crédto, gualmente baxo e com negocação de taxa de uros prefxado, são os contratos futuros de uros DI da BM&F e os SWAPs Pré x DI, também negocados na BM&F (Vea 9

10 Varga (2004)). Essas são as prncpas fontes de nformação de taxa de uros prefxada com o menor rsco de crédto que vão nos permtr desenhar a ET prefxada. 3. Metodologa de teste Conforme Blss (996), utlzamos város testes para detectar a especfcação ncorreta da ET tendo, como base, a aleatoredade dos erros dos preços austados. A ET obtda deve capturar a nformação sstemátca proporconada por cada ponto conhecdo da ET a dferença restante é tratada como ruído. Parte desse ruído tem fonte conhecda, tal como está descrto na ntrodução (não-sncronsmo, dferença no rsco de crédto e lqudez, efeto clentela etc.). Na busca de explcar toda a relação sstemátca, Blss faz uma sére de três testes:. examna a matrz de transção dos erros do auste de um período para outro em cada título usado no desenho da ET. Se os erros são de fato ruídos, eles devem ser guas aos erros de toda a população; 2. testa se a ndependênca dos erros da sére de tempo são específcos do método de estmação por meo da comparação da matrz de transção dos erros dos dferentes métodos; 3. regrde os erros contra as váras fontes de ruído sugerdas na lteratura. Isso permte avalar a fonte do erro e verfcar se está relaconado, ou não, com o método escolhdo. Para proceder no teste dos modelos, prmeramente há que se escolherem os modelos a ser testados. Segundo Blss, os modelos de suavzação máxma não geram um bom resultado por serem muto nstáves. O modelo splne exato descrto na seção não deve ser obeto de teste, pos, por defnção, não gera nenhum erro. Os modelos B-splne são muto semelhantes ao auste de regressão por splne cúbco (McCulloch 975). Então, testamos apenas este últmo modelo e o modelo de Nelson e Segel por característcas realmente dstntas. A seleção dos vértces, quantdade e localzação é outra questão mportante e também obeto do teste. Testamos duas alternatvas: vértces gualmente espaçados(ee) e vértces localzados apenas em prazos com negocação volumosa (EF). Por fm, utlzamos o método de máxma verossmlhança para realzar a estmação dos modelos. Os erros (ε) a serem avalados são defndos como [ r( m) ] ε P = g. (5) Tomamos uma amostra dára das taxas de fechamento dos contratos futuros de DI dos anos de 2002 e 2003 e calculamos a méda dos erros dáros gerados por cada um dos três modelos. Os resultados estão na tabela e sugerem a superordade do modelo de Nelson-Segel, sendo o modelo de regressão cúbca com vértces EFÓS de maores erros absolutos Total C-Splne EE 0,043 0,037 0,040 C-Splne EF 0,267 0,56 0,2 Nelson-Segel 0,023 0,00 0,07 Tabela. Erros absolutos médos, gerados por cada modelagem. As observações são separadas por período; na segunda coluna é apresentado o resultado para o prmero ano ; na tercera, o resultado para o segundo ano e, na quarta, para todo o período dsponível amostra. Para testar se o modelo é correto e os erros são realmente aleatóros, testamos se não há relação entre o erro de períodos adacentes. A tabela 2 mostra que há forte autocorrelação postva entre os erros, de tamanho próxmo para todos os três modelos testados, ndcando que tal erro é ndependente do modelo. Frequenca Frequenca condconal ncondconal ε t > 0 ε t < C-Splne EE ε t > 0 53% 77% 23% ε t < 47% 26% 74% C-Splne EF ε t > 0 52% 77% 23% ε t < 48% 25% 75% Nelson-Segel ε t > 0 53% 72% 28% ε t < 49% 27% 73% 0

11 Tabela 3. Matrz de transção para prmero ano, segundo ano e toda a amostra. Para testar se os erros são relaconados entre os métodos adotados, medmos a probabldade de uma observação, com erro postvo (negatvo), gerado pelo fato de um método também gerar um erro postvo (negatvo) em outro método. Frequenca condconal Frequenca C-Splne EF Nelson-Segel ncondconal ε t > 0 ε t < ε t > 0 ε t < C-Splne EE ε t > 0 48% 53% 47% 59% 4% ε t < 52% 54% 46% 40% 60% C-Splne EE Nelson-Segel ε t > 0 ε t < ε t > 0 ε t < C-Splne EF ε t > 0 53% 52% 48% 49% 5% ε t < 47% 53% 47% 52% 48% C-Splne EE C-Splne EF ε t > 0 ε t < ε t > 0 ε t < Nelson-Segel ε t > 0 50% 52% 48% 62% 38% ε t < 50% 55% 45% 43% 57% Tabela 4. Concdênca dos erros. Conforme sugere a tabela menconada os erros são ndependentes entre os modelos, levando a conclur que cada modelo tem erro de especfcação com uma orgem dferente. Para examnarmos a relação entre os erros gerados por cada modelo e as váras característcas que podem explcar tas erros, fazemos uma regressão, tomando essas característcas como varável explcatva. A falta de nformação permte testar apenas o efeto lqudez e o uso como proxy para a lqudez o volume negocado em relação ao volume total. 4. Resultados Mostramos dversas alternatvas de auste da estrutura a termo das taxas de uros, anda não tratados na lteratura braslera, embora, seam resultados de forte mpacto em problemas prátcos de cálculo do valor dos atvos fnanceros, gerênca de rscos de mercado e análse da polítca monetára. Para nossa surpresa, são procedmentos adotados nternaconalmente por pratcantes e autordades monetáras mas desconhecdos na lteratura local. O procedmento largamente utlzado no Brasl, conhecdo como flat forward tem pouco sentdo econômco e pode, nclusve, gerar oportundades de arbtragem. Como resultado dos testes, concluímos que o modelo de Nelson e Segel é o que melhor austa a estrutura a termo braslera entre todos os modelos testados. Sugermos fortemente a adoção de tas modelos nas avalações de polítca monetára e mesmo marcação a mercado de títulos. Referêncas ADAMS, K. and DEVENTER, D. Van. (994) Fttng Yeld Curves and Forward Rate Curves wth Maxmum Smoothness, Journal of Fxed Income, June, ANDERSON, N.; BREEDON, F.; DEACON, M., DERRY, A. and MURPHY, G. (996) Estmatng and nterpretng the yeld curve John Wley & Sons.FALTAM DADOS AQUI: É LIVRO? É ARTIGO, QUAL O JORNAL/REVISTA?

12 ANDERSON,, N. and SLEATH, J. (200) New estmates of the UK real and nomnal yeld curves, Ban of England, mmeo. ANDIMA. Resenha dára com preços de títulos públcos, dsponível na Internet em Ro de Janero. BANCO CENTRAL DO BRASILE (2000) Nota técnca da crcular 2972 em BLISS, R. (997) Testng Term Structure Estmaton Methods, Advances n Futures and Optons Research 9, BOLDER, D. and GUSBA, S. (2002) Exponentals, Polynomals, and Fourer Seres: More Yeld Curve Modellng at the Ban of Canada, Worng papers no. 29, Ban of Canada. BURDEN, and FAIRES (999) "Numercal Analyss," 7. edton, ITP. Traduzdo por CHAMBERS, D.; CARLETON, W. and WALDMAN, D (984). Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 9 no. 3, DUARTE Jr., A. and WERLANG, S. (995) A Model to Estmate the US Term Structure of Interest Rates, Revsta de Econometra. Eom, Subrahmanyam e Uno (998) Journal of Fxed Income, 8, FISCHER, M.; NYCHKA, D., and ZERVOS, D. (995) Fttng the term structure of nterest rates wth smoothng splnes. Federal Reserve Ban, Fnance and Economc Dscusson Paper 95-, January. LANGETIEG, T. and SMOOT, J. (989) Estmaton of the term structure of nterest rate,.in G. G. Kaufman (ed.) Research n Fnancal Servces: Prvate and Publc Polcy, Vol.. JAI Press, Autumn, pg MCCULLOCH J. (97) Measurng The Term Structure of Interest Rates, Journal of Busness 44, 9-3. MCCULLOCH, J. (975) "An Estmate of the Lqudty Premum,'" Journal of Poltcal Economy, MCCULLOCH, J. (975) The Tax-Adusted Yeld Curve, Journal of Fnance, 30, NELSON, C. and SIEGEL, A. (987) Parsmonous Modelng of Yeld Curves, Journal of Busness, vol 60 no. 4, POIRIER, D. (973) Pecewse regresson usng cubc splne, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, 68, no. 343, SARIG, Oded and WARGA, Arthur (989) "Bond Prce Data and Bond Maret Lqudty," Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, September, SHEA, G. (984) Ptfalls n Smoothng Interest Rate Term Structure Data: Equlbrum Models and Splne Aproxmatons, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, 9, SHEA, G. (985) Interest Rate Term Structure Estmaton wth Exponencal Splnes: A Note, Journal of Fnance 40, SVENSSON, L. (994) Estmatng and nterpretng forward nterest rates: Sweden 992:94, worng paper n0. 487, NBER. VARGA, G. (2003) "Interpolação por Cubc Splne para a Estrutura a Termo Braslera ". In: Gestão de Rscos no Brasl.. VARGA, Gyorgy e DUARTE JR, Antono Marcos. ( Orgs.) Fnancal Consultora Edtora. VARGA, G. (2004) Preço e estratégas com futuro de DI e FRA. Resenha mensal da BM&F, no. 58. VASICEK, O. A. and FONG, H. G. (982) Term Structure Modelng Usng Exponencal Splnes, Journal of Fnance 37,