o anglo resolve a provas do IBMEC novembro de 2008

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1 o anglo resolve a provas do IBMEC novembro de 008 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do nglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. Seleciona 00 alunos para o curso de dministração de Empresas e 0 alunos para o curso de Economia, ambos diurnos e com duração de anos. São duas provas em um único dia: primeira, iniciada às 8h, consta de questões objetivas de nálise Quantitativa Objetiva (0), nálise Verbal (), Língua Inglesa (0) e Conhecimentos Gerais História e Geografia (). Cada questão vale ponto. segunda, iniciada às h, consta de 0 questões de nálise Quantitativa Discursiva, valendo, ponto cada, e de uma Redação, que vale pontos. Opcionalmente pode ser utilizado um décimo da nota objetiva do ENEM. Serão desclassificados os candidatos que não obtiverem pontuação em qualquer das disciplinas ou cujo total de pontos seja menor que 0. média para a classificação final é obtida pela somatória dos pontos em cada prova, respeitando-se os pesos correspondentes. Para o candidato que não tenha nota do ENEM, a pontuação é multiplicada por 00 e dividida por 90.

2 E NÁLI L SE ÓG IC QUNTI DIS CU TT VI RS VI Questão Renato decidiu aplicar R$ ,00 em um fundo de previdência privada. O consultor da empresa responsável pela administração do fundo sugeriu que essa quantia fosse dividida em três partes x, y e z, que seriam aplicadas em três investimentos, B e C, respectivamente. Em seguida, mostrou a Renato duas simulações do desempenho da aplicação, considerando dois cenários distintos, para um período de anos. Cenário Rendimento previsto para um período de anos Saldo previsto Investimento Investimento B Investimento C após anos Conservador 00% 0% % R$ Otimista 00% 0% 00% R$.000 Com essas informações, determine os valores de x, y e z sugeridos pelo consultor. Do enunciado, temos o sistema: x + y + z = x + 0,y + 0,z = x +,y + z = 000 ( ) ( ) e x + y + z = ,y 0,7z = ,y + z = 000 (+) x + y + z = ,y + z = 000 0,z = z = z = , 000 z 000 y = = y = , 0, x = y z x = 0000 Resposta: x = 0000; y = 0000 e z = Questão Considere a função real f, dada pela lei f(x) = log x x x. a) Desenhe o gráfico de f(x). b) Calcule k, k IR, de modo que se tenha 6 f(k) = 0. Se necessário, utilize a aproximação log = 0,0. IBMEC/009

3 Com x 0 e x, temos f(x) = log x x x f(x) = xlog x x f(x) = x a) Resposta: y y = x (x 0 e x ) 0 x b) De f(k) = k e 6 f(k) = 0, temos 6 k = 0 k = 0 log k = log( 0) k log = log + log0 k 0,0 = 0,0 +,k =,6,6 k = k =, Resposta: Questão Seja θ um ângulo maior do que º e menor do que 90º. Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão são, respectivamente, a = tg (θ) e q = sen (θ). a) Determine, em termos de θ, o limite da soma dos termos dessa progressão S = a + a + a +... b) Considere agora que θ é o ângulo dado no triângulo retângulo e não isósceles representado a seguir, cuja hipotenusa mede e cujo cateto menor mede. Calcule o valor numérico do limite da soma obtida no item a. θ IBMEC/009

4 a) Do enunciado temos: a tg S = S = θ q sen θ S = S = sec θ (sec θ ) Resposta: S = sec θ (sec θ ) b) Da figura temos: cosθ = secθ = ssim: S= ( ) S = 7 Resposta: S = 7 sec θ cos θ Questão Considere as transformações C e D entre matrizes, descritas a seguir. a b I. matriz M =, de ordem, é associada pela transformação C a uma matriz C(M), de ordem, de c d acordo com a lei a b a b c d c d C(M) =. a b a b c d c d e f g h i j k l II. matriz N =, de ordem, é associada pela transformação D a uma matriz D(N), de ordem, m n o p q r s t de acordo com a lei D(N) = a) Sendo M =, escreva a matriz D(C(M)). e + g + m + o i + k + q + s f + h + n + p j + l + r + t b) Sabendo que P é uma matriz de ordem cujo determinante é igual a, calcule o determinante da matriz D(C(D(C(P)))). a) Sendo M =, temos C(M) = IBMEC/009

5 D(C(M)) = D(C(M)) = Resposta: a b b) P = C(P) = c d D(C(P)) = C(D(C(P))) = D(C(D(C(P)))) = a c 6a 6c a c a c b d b d b d a c a c 6b 6d b d b d Sendo x o determinante dessa matriz, temos: x = a c a c b d b d a c a c b d b d 6a 6c 6b 6d x = 6 a c b d b Como a =, temos: x = 6 c d Resposta: 8 x = 6 6 x = 8 6 Questão Um rolamento, peça largamente utilizada na indústria, pode ser descrito de maneira bem simplificada como um conjunto de dois cilindros de bases concêntricas e mesma altura, além de várias esferas idênticas, colocadas entre as superfícies laterais dos dois cilindros. figura ao lado mostra o esquema de um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros medem r e R, respectivamente, e as esferas são tangentes entre si e também tangentes às superfícies laterais dos cilindros. s esferas ocupam todo o espaço entre os cilindros, mas apenas cinco delas estão desenhadas na figura. a) Determine, em função de r e R, a medida do raio de cada esfera. b) Determine o total de esferas existentes em um rolamento em que r = mm e R = 7mm, usando, se necessário, as aproximações fornecidas na tabela. α º 0º º 0º º senα R r IBMEC/009 6

6 a) Sendo x a medida do raio de cada esfera, temos a figura: ssim, r + x + x = R R r x = R r x = Resposta: R r 7 b) Do enunciado e do item a, segue que x =, ou seja, x = 7mm. ssim, temos a figura: P C R x C x B r O B αα OC = OB + BC OC = + 7 OC = 0mm O No triângulo retângulo OCP, temos: PC 7 senα = senα = α = 0º OC 0 Seja n o total de esferas existente nesse rolamento. inda da figura, segue que: n α = 60º n 0º = 60º n = 8 Resposta: 8 Questão 6 B C Na figura: BCD representa um quadrado de lado ; M é ponto médio de D e N é ponto médio de CD; C é uma diagonal do quadrado; o arco que passa por P e Q é um arco de circunferência com centro em D. a) Calcule a medida do segmento BQ. b) Calcule a área da região sombreada. Se necessário, considere que o ângulo cujo seno vale 0,6 é aproximadamente 6º. Q M P N D a) Do enunciado, temos a figura ao lado: No triângulo retângulo MB temos: (BM) = + BM = Da semelhança dos triângulos QCB e QM, vem: QB CB x = = x = QM M x Resposta: B x º Q º M C D IBMEC/009 7

7 b) Considere a figura ao lado, em que a medida da diagonal BD é igual a. Da congruência dos triângulos QDO, PDO, PBO e QBO, temos: DQ = DP = BP = BQ =. No triângulo retângulo BOQ, temos: (QO) + ( ) = QO = ssim, PQ = QO, ou seja, PQ =. área S do triângulo BQP é tal que: S = PQ BO S = S = Por outro lado, temos: S = BQ BP senα = senα senα = = 0,6 α = 6º B α O N Q α M P C D B C P N Seja S a área do setor circular DPQ. Então, S = 6 60 π Q 6º S = π 9 M D área S pedida é tal que S = S (S S ) S = S S π S = 9 π S = 9 π Resposta: 9 Questão 7 Resolva as equações que se seguem. a) (x 8x + )(x 8x + )(x 8x + ) = 0 b) t 8t t 8t = 0 a) x 8x + = 0 x = ou x = 6 x 8x + = 0 x = ou x = x 8x + = 0 x = ou x = 6 Logo, (x 8x + )(x 8x + )(x 8x + ) = 0 se, e somente se, x =, ou x = 6, ou x =, ou x =, ou x = 6. Resposta: {,,, 6, 6} IBMEC/009 8

8 b) De t 8t + 6 = v e t 8t t 8t = 0, temos v 9 v + + = 0 ( v ) 9 v + = 0 Com v = x, temos x 8x + = 0. Logo, x = ou x = 6. De v = ou v = 6, temos v = ou v =. De t 8t + 6 =, temos t 8t + = 0 e, portanto, t = ou t =. De t 8t + 6 =, temos t 8t + = 0 e, portanto, t = ou t = 6. Resposta: {,,, 6} Questão 8 embalagem mostrada na figura ao lado contém iogurte na parte de baixo e cereais na parte de cima. parte de baixo é um cilindro circular reto de raio R e altura H, e a de cima é R um tronco de cone circular reto de raio maior R, raio menor e altura h. Sabendo que o volume da parte reservada ao iogurte é o quádruplo do volume H do compartimento dos cereais, determine a razão. h h H h R/ h h R H ) Da figura, o volume destinado ao iorgute é π R H ) Da figura temos ainda que o volume do tronco de cone destinado aos cereais é πr h π R h 7πR = h ssim, do enunciado, temos: π R 7πR H = h 7 H = h H = h 7 Resposta: 7 IBMEC/009 9

9 Questão 9 Em um determinado concurso público, um candidato passa para a ª fase se, e somente se, for aprovado nas provas de Matemática e Português. Juliana, que prestará esse concurso, dedicará x% de seu tempo de estudo para Matemática, e o restante para Português, sendo 0 x 00. s aprovações de Juliana nas provas de Matemática e Português são independentes entre si, e suas probabilidades dependem do seu tempo de dedicação a cada matéria, valendo, respectivamente, x % e 96 x %. a) Se Juliana dedicar 0% de seu tempo de estudo para Matemática, qual a probabilidade de que ela não passe para a ª fase do concurso? b) Determine a porcentagem de seu tempo de estudo que Juliana deverá dedicar à Matemática para que a probabilidade de que ela passe para a ª fase do concurso seja a maior possível. a) probabilidade de que ela não passe é igual a menos a probabilidade de que seja aprovada. Para x = 0, a probabilidade se ser aprovada em Matemática é 0% e em Português é 66% ssim, sendo P a probabilidade pedida, temos: P = = 80,% Resposta: 80,% b) probabilidade p de que ela passe no concurso, em função de x, é: x p(x) = 96 x p(x) = x 7 + x, com 0 x probabilidade será a maior possível no vértice do arco da parábola. ssim: x = = porcentagem de seu tempo dedicada ao estudo da Matemática deverá ser 6%. Resposta: 6% Questão 0 Considere que /M /ano X e /M /ano X são duas sextas-feiras consecutivas de um mesmo ano X e seja ψ o número de dias entre essas duas datas, sem contá-las. Por exemplo, /0/09 e /07/09 são duas sextas-feiras consecutivas de um mesmo ano, porque /0/09 e /06/09 não são sextas-feiras e, nesse caso, ψ = 90 é a quantidade de dias começando a contar do sábado /0/09 até a quinta-feira /07/09. a) Determine o menor valor possível de ψ e explique em que situação acontece. Ou seja, determine a menor quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam. b) Determine o maior valor possível de ψ e explique em que situação acontece. Ou seja, determine a maior quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam. a) Note que 9 é múltiplo de 7, logo ψ é da forma 7n, com n IN. O menor valor de ψ é 7 (8 ). Isso ocorre quando a ª sexta-feira cai no mês de fevereiro de um ano que não é bissexto. Resposta: ψ = 7. Isso ocorre quando a ª sexta-feira cai no mês de fevereiro de um ano não bissexto. IBMEC/009 0

10 b) Caso o ano não seja bissexto e a ª sexta-feira ocorra no mês de janeiro, a primeira vez que ocorrerá novamente será quando o dia corresponder a uma data que ocorre 7k, k IN, dias após /0/ano X. Observe a tabela: dia/mês Total de dias decorridos ocorre em uma ψ da ª sexta-feira sexta-feira? /0 0 sim /0 0 não /0 9 8 não / não /0 0 9 não /06 0 não / não /08 não /09 não /0 7 7 sim / 0 0 não / não ssim, o número máximo de dias entre duas sextas-feiras consecutivas é ψ = 7, e isso ocorre nos meses de janeiro e outubro de um ano não bissexto. Resposta: 7 dias. Janeiro e outubro de um ano não bissexto. IBMEC/009

11 R E DÇ Ã O Considere o trecho abaixo. Pensei que a vida se parece com um quebra-cabeça. Quebra-cabeças: milhares de peças espalhadas sobre a mesa, uma bagunça enorme, que não faz sentido. Mas as caixas dos quebra-cabeças que se compram nas lojas dizem que a bagunça pode se transformar em beleza: elas trazem impresso o modelo, que pode ser um lago, um castelo, um menina (sic) lendo um livro, um jardim, um anjo tocando bandolim... Gastamos então horas e horas (eu já gastei meses...) pacientemente trabalhando para transformar o caos em sentido. Pois eu pensei que a vida é um quebra-cabeça com milhares, milhões de peças. Mas acontece que o quebra-cabeça da vida não vem acompanhado de um modelo. Não sabemos o seu sentido. Não sabemos como é a sua beleza. O modelo precisa ser inventado. E é somente o coração, ajudado pela inteligência, que pode fazer isto. Os dois se põem, então, a trabalhar. Observam as peças, conferem as cores, examinam as formas e, repentinamente, aparece um modelo, produzido pela magia da imaginação. O modelo não foi visto, porque ele não está em lugar algum. Ele é um sonho! Mas, se é que não sabem, que aprendam: a vida é feita com sonhos! Se o sonho nos parecer belo, começaremos a organizar as peças fragmentárias da nossa vida para que o sonho se torne realidade porque desejamos que a vida seja bela. Certezas não há. Mas se o sonho nos seduzir por sua beleza, teremos coragem para apostar nele a nossa vida inteira. (Disponível em cesso em 0/07/008.) Reflita sobre as idéias apresentadas no fragmento anterior e desenvolva uma dissertação em prosa sobre o tema/título: beleza da vida e sua imprevisibilidade Conforme indicado nas folhas de rascunho e de redação, utilize o próprio tema como título de sua dissertação. Lembre-se que sua redação deve ter no mínimo 0 e no máximo 0 linhas. beleza da vida e sua imprevisibilidade nálise da proposta partir de um trecho do escritor e psicanalista Rubem lves, a Banca solicitou um texto dissertativo de, no máximo, 0 linhas sobre um tema explícito: a beleza da vida e sua imprevisibilidade. Em seu texto, o autor compara a vida a um quebra-cabeças. Segundo essa alegoria, ao contrário do que ocorre com os produtos à venda no mercado, não haveria um belo modelo predefinido ao qual todas as peças estejam ajustadas de antemão. Os eventos da trajetória de cada um são caóticos, desorganizados, muitas vezes desprovidos de sentido. Por isso, cabe-nos aplicar coração e inteligência emoção e razão para observar as peças, conferir as cores, examinar as formas e, então, imaginar um modelo coerente que relacione e atribua sentido para acontecimentos, sentimentos e opiniões. Dessa forma, a vida se construiria feliz à medida que o modelo (o sonho) imaginado por cada um fosse belo o suficiente para seduzi-lo e motivá-lo. Disso pode-se concluir que a imprevisibilidade da vida, se não nos condena à infelicidade, tampouco nos assegura a felicidade. É o exercício da capacidade de sonhar, de empregar imaginação e conhecimento na construção de projetos de vida que pode dar sentido ao imprevisível e gerar a realização pessoal, a beleza. falta de qualquer finalidade existencial predeterminada destaca o papel fundamental do imaginário, do desejo e do sonho, ressaltando a liberdade e a variabilidade da existência como fatores constituintes da beleza da vida. Possibilidades de encaminhamento Em se tratando de um tema amplo, de natureza filosófica, é importante que a dissertação seja construída a partir de um ponto de vista claro, bem delimitado, a fim de guiar a reflexão e evitar que ela se perca em meio a comentários vagos ou muito genéricos. lgumas teses possíveis: É possível ao homem ser feliz justamente porque ele pode fazer escolhas. imprevisibilidade, portanto, permitiria à vida seguir as orientações da vontade individual, e não as de um script predefinido. escolha da profissão, das crenças religiosas, das utopias ou dos valores morais dependeria, segundo esse raciocínio, da subjetividade do homem. falta de modelo rígido permitiria um sem-fim de combinações das peças da vida, todas definidas pelos anseios individuais, subjetivos. IBMEC/009

12 Para muitos, entretanto, essa falta de modelos representa um empecilho à felicidade. Desorientados ou aterrorizados pela responsabilidade inerente às escolhas que precisam fazer, preferem seguir modelos de vida definidos pela sociedade. Casar para atender ao gosto dos pais ou escolher um político baseando-se na maioria são exemplos dessa postura passiva diante da própria existência, a qual sinalizaria mais a inabilidade com esse quebra-cabeças sem modelo que um defeito do jogo em si. Na alegoria de Rubem lves, a inexistência de um projeto predeterminado para a vida conduz ao obrigatório exame de peças, cores e formas a fim de atribuir-lhes sentido e beleza. vida, assim configurada, sem ponto de chegada definido, exige postura ativa frente a acontecimentos e pessoas: é necessário imaginação, coerência e ética para que os lances da existência possam ser costurados em benefício da imagem que se deseja formar. Sem o controle sobre isso, as peças da vida continuarão soltas, sem propósito, dando forma a uma existência medíocre. esperança e o otimismo, especialmente em meio a situações adversas, seriam atitudes exigidas pela imprevisibilidade da vida, já que, para Rubem lves, desejamos que a vida seja bela. Mesmo quando há setores da existência em desarmonia, podemos projetar um futuro em que o arranjo das peças do jogo tornese harmônico e belo. Um sertanejo, por exemplo, acredita na chuva e na fartura, mesmo em meio à estiagem, porque tem liberdade para acreditar que sua vida se transformará segundo sua vontade de felicidade, de vitória sobre o sofrimento. Nessa capacidade de vislumbrar o futuro melhor e por ele lutar residiria a beleza da vida. IBMEC/009

13 CO MENT ÁRI O nálise Quantitativa Parabéns à banca examinadora pela prova bem elaborada. IBMEC/009