Desempenho e Optimização na Presença de Jitter

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1 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 Capítulo 7 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter 7.- Introução Neste capítulo iremos estuar o problema a análise e esempenho e optimização e sistemas e comunicação ópticos baseaos em solitões, teno em consieração o jitter temporal o sinal recebio e a interferência entre símbolos, resultante o processamento ao nível o receptor. Grane parte os trabalhos isponíveis sobre a análise e esempenho em sistemas baseaos em solitões, baseiam-se no pressuposto que o efeito ominante é o ruío e emissão espontânea amplificao. No entanto, como foi emonstrao por J. P. Goron e L. Mollenauer [] e como referimos no capítulo 5, o jitter poe ser o factor ominante. No trabalho apresentao por J. P. Goron e L. Mollenauer é consierao um moelo gaussiano para o jitter, porém conforme foi sugerio por C.R. Menyuk [], T. Georges [3] 7

2 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro e por nós próprios no trabalho [4], frequentemente o jitter apresenta uma istribuição não gaussiana, essencialmente evio à interacção entre solitões. Na secção 7. incluiremos o efeito o jitter temporal, na escrição analítica o receptor apresentaa no capítulo 6, e avaliaremos o esempenho o sistema na presença e jitter não gaussiano. Finalizaremos esta secção com uma análise comparativa entre os resultaos obtios usano o moelo não gaussiano para o jitter erivao no capítulo 5, e os resultaos obtios por J. P. Goron e L. Mollenauer usano o moelo gaussiano. A secção 7.3 será eicaa à análise o papel a resposta impulsional o receptor na etecção e sequências e impulsos na presença e ruío e jitter temporal. A etecção e sequências e impulsos introuz um factor extra na egraação o esempenho os sistemas, conhecio por interferência entre símbolos, que iremos analisar em etalhe. Iremos igualmente verificar como é possível optimizar o esempenho os sistemas com uma escolha criteriosa o filtro eléctrico o receptor Impacto o jitter No capítulo 5 analisámos o problema a incerteza o tempo e chegaa, em sistemas baseaos em solitões, focano a nossa atenção nas origens físicas e caracterização estatística o jitter. Apresentámos um moelo, capaz e escrever estatisticamente a flutuação o instante e chegaa e impulsos o tipo solitão, na presença e interacções múltiplas e e ruío e emissão espontânea amplificao. Nesta secção iremos concentrarnos na avaliação e esempenho e optimização o receptor quano os impulsos recebios estão afectaos por jitter temporal. Na secção 7.., iremos esenvolver um moelo analítico capaz e quantificar os esvios temporais, que originam erros na etecção. Usano os resultaos apresentaos no capítulo 5, relativos à caracterização estatística o jitter, e a formulação entretanto esenvolvia, iremos obter uma escrição analítica o esempenho o receptor, que nos vai permitir efectuar um estuo quantitativo a egraação o esempenho, provocaa pelo jitter em sistemas baseaos em solitões. Iremos aina comparar a formulação

3 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 esenvolvia, com resultaos e outros autores apresentaos na literatura especializaa, nomeaamente com o trabalho [] e [5] e J. P. Goron e L. F. Mollenauer. Na secção 7.., iremos analisar o problema a eterminação o instante e ecisão óptimo e o papel o filtro eléctrico o receptor na reução a egraação o esempenho evio ao jitter. Iremos aina aplicar a formulação esenvolvia na secção 7.., à análise e esempenho e sistemas práticos. Na secção 7..3 vamos combinar os resultaos obtios no capítulo 6, relativos à egraação evia ao ruío, com os resultaos obtios para o jitter e analisaremos o problema a optimização simultânea os sistemas relativamente ao ruío e ao jitter Formulação analítica Com o objectivo e analisarmos o esempenho e sistemas, em que o instante e chegaa os impulsos flutua em torno e um ao valor, ou seja na presença e jitter, vamos começar por eterminar o atraso e o avanço máximo que o sistema é capaz e tolerar antes e efectuar uma ecisão erraa. De moo a analisarmos o efeito o jitter na etecção, vamos introuzir uma variável aleatória δ, que quantifica o esvio temporal os impulsos. Obtém-se então para a potência óptica e um impulso epois o pré - amplificaor óptico o receptor, ponto A a figura 6., a seguinte expressão t δ T hp( t δ Tbit ) = Pp sech T0 bit (7.) em que P p é a potência e pico o impulso epois o pré-amplificaor óptico o receptor. Supono a ausência total e ruío e e campos ispersivos, na ausência e um impulso óptico o sinal à entraa o circuito e ecisão é nulo. Na presença e um impulso, o sinal será ao pela convolução o sinal eléctrico, resultante a etecção, com a resposta impulsional o filtro eléctrico o receptor, ou seja 9

4 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro + (, ) = ( ) ( ) j t δ ρ q h r t τ h p τ δ Tbit τ (7.) Notemos que a função j(t, δ) é função o tempo t e o esvio temporal δ. A variável ecisória será aa por J = j(t, δ), ou seja será aa pelo valor a função j(t, δ) no instante e ecisão t. Assumino que os símbolos lógicos são equiprovaveis, o BER será então ao pela expressão (7.3), one I é o nível e ecisão. Notemos que assumino como única perturbação o jitter, a probabiliae e erro o sistema é apenas evia à probabiliae e erro na etecção os símbolos corresponentes ao valor lógico "", pois os símbolos corresponentes ao valor lógico "0" não têm jitter. BER = P( J < I ) (7.3) De acoro com a expressão (6.5), e porque na ausência e um impulso a variável ecisória assume sempre o valor zero, somos levaos a concluir que a regra e ecisão que minimiza o BER é assumir a presença e um impulso sempre que a variável ecisória J seja maior que zero, ou seja consierar o nível e ecisão igual a zero. Notemos porém que este resultao foi obtio numa situação extremamente irrealista, pois assumimos uma ausência completa e ruío e e energia ispersiva. Na prática mesmo que a relação SNR seja muito elevaa teremos sempre algum ruío, e alguma energia ispersiva. Iremos por agora colocar o nível e ecisão a metae o valor máximo a função j(t, δ) na ausência e jitter, pois este valor é mais realista. Notemos que esta artificialiae, introuzia na eterminação o nível e ecisão, irá esaparecer logo que seja consierao o efeito simultâneo o jitter e o ruío. De moo a eterminarmos o BER, expressão (7.3), temos que calcular o valor a probabiliae a variável ecisória J, assumir um valor menor que o nível e ecisão. Designano por δ + e δ -, respectivamente, o avanço e o atraso que fazem com que a variável ecisória assuma o valor o nível e ecisão temos 30

5 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 { + } { ( + ) ( )} BER P ( J I = < ) = P ( δ > δ ) + P ( δ < δ ) = F + δ δ F δ δ (7.4) em que F δ (δ) é a função e probabiliae acumulaa a variável aleatória δ, ou seja x F ( x) f ( ) δ δ δ δ (7.5) = em que f δ (δ) é a função ensiae e probabiliae o jitter. Ao escrevermos a expressão (7.4) estamos a assumir que a função j(t, δ) assume um valor maior que I no intervalo ]δ - ; δ + [ e menor que I sempre que δ assume um valor menor que δ - ou maior o que δ +. Notemos que δ + é um avanço logo assume um valor positivo e δ - é um atraso assumino por isso um valor negativo. Devemos ter aina em consieração que δ + e δ - são soluções a equação ( ) j t,δ = I (7.6) Nesta secção iremos focar a nossa atenção no estuo o jitter evio à propagação não linear, que conforme vimos no capítulo 5 e apresentámos no trabalho [4], poe ser caracterizao por uma istribuição resultante a aição e cinco gaussianas escentraas, seno a função ensiae e probabiliae e δ aa por fδ δ f δ f δ t ( ) = (, ) + (, ) g GH g GH + fg( δ + t, GH) + fg( δ t3, GH) + fg( δ + t3, GH) (7.7) one f g (t, GH ) é ao por f g t, GH = exp π GH (7.) GH ( t ) e GH é igual a 3

6 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro 3 / a eff 0 3 I sp GH Q L A T 9 L ) (G h D n n T = (7.9) Na equação (7.7), t e t 3 são aos respectivamente por t T a L L D T 0 = ln cos (7.0) e t T a L L D T 3 0 = ln cos (7.) seno a = exp(-t bit / (T 0 )). Integrano a função ensiae e probabiliae e δ, expressão (7.7), no intervalo ]- ; δ], obtemos e imeiato a função e probabiliae acumulaa e δ, aa por ( ) F Q Q t Q t Q t Q t GH GH GH GH GH δ δ δ δ δ δ δ = (7.) em que a função Q() é efinia e acoro com a expressão (6.6). Substituino a expressão (7.) em (7.4), e ateneno à simetria a função gaussiana, obtemos para o BER a expressão BER Q Q t Q t Q t Q t GH GH GH GH GH = δ δ δ δ δ Q Q t Q t Q t Q t GH GH GH GH GH δ δ δ δ δ (7.3) Comparano a formulação analítica aqui apresentaa com os trabalhos e J. P. Goron e L. Mollenauer [] e [5], a primeira grane iferença é que no nosso caso não é necessário introuzir a noção e janela o receptor à prior, o conceito a janela o receptor irá aparecer naturalmente na erivação analítica e ficará clara a sua relação com a resposta

7 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 impulsional o filtro equalizaor o receptor. No resultao e J. P. Goron e L. Mollenauer é aceite o pressuposto que o receptor vai eciir erraamente sempre que o esvio temporal coloque o impulso fora a janela o receptor. Assumino que o jitter tem uma istribuição gaussiana, J. P. Goron e L. Mollenauer, chegaram à seguinte expressão para o BER evio ao jitter temporal T BER = Q r GH (7.4) one T r é a janela o receptor. O mesmo raciocínio foi seguio por outros autores, nomeaamente T. Georges, que em [3] assume uma janela temporal o receptor cujo valor é 75% o períoo o bit. Embora simples, este tratamento tem o inconveniente e introuzir a figura a janela temporal o receptor uma forma a hoc. De facto a janela o receptor é estabelecia por ajuste os resultaos teóricos a aos experimentais. Notemos que embora não seno inispensável, usano a nossa formulação, a janela o receptor, seguno o conceito e J. P. Goron e L. Mollenauer, poe ser calculaa teoricamente seno aa por T r = δ + δ (7.5) one δ + e δ - são aos por (7.6), ou seja a janela o receptor é a iferença entre o avanço e o atraso máximo que o receptor é capaz e tolerar antes e proceer a uma ecisão erraa. O resultao e J. P. Goron e L. Mollenauer, poe ser visto como uma situação particular a formulação aqui apresentaa, em que o jitter tem uma istribuição gaussiana e em que o valor absoluto o atraso e o avanço máximo que o receptor é capaz e tolerar são iguais. como seno De facto, assumino que δ + é igual ao simétrico e δ -, poemos rescrever (7.3) 33

8 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro BER Q T r Q T r t Q T r + t Q T r t Q T r + = + + t (7.6) GH 4 GH 4 GH 4 GH 4 GH em que T r é ao por (7.5). Consierano que o efeito ominante para o jitter é o efeito e Goron-Haus e que a interacção entre solitões é esprezável, ou seja que o jitter tem uma istribuição gaussiana e é originao pelas flutuações a frequência central os solitões inuzias pelo ruío e emissão espontânea amplificao, temos que t e t 3 são nulos reuzino-se a expressão (7.6) à expressão (7.4), ou seja ao resultao e J. P. Goron e L. Mollenauer Análise e esempenho O problema que usualmente se coloca na optimização e sistemas e comunicação baseaos em solitões relativamente ao jitter, é eterminar qual será a resposta impulsional o receptor, que minimiza a egraação provocaa pelo jitter, e qual será o instante e ecisão óptimo. Notemos que por simples manipulação a expressão (7.4) poemos rescrever a expressão o BER a forma seguinte δ+ BER = { P( < < + )} = f ( ) δ δ δ δ δ δ δ (7.7) Da expressão (7.7), somos levaos a concluir que o BER será mínimo quano o integral a função ensiae e probabiliae e δ, no intervalo ]δ - ; δ + [, for máximo. Fazeno tener o atraso e o avanço máximo, que o receptor poe tolerar para infinito, temos que o integral a função ensiae e probabiliae e δ tene para um e o BER para zero. Ou seja, se a janela o receptor for infinita a taxa e erros evia às flutuações o instante e chegaa é nula. Este resultao é e pouco interesse prático, pois usualmente estamos interessaos em etectar uma sequência e impulsos, fazeno com que a partir e um ao valor não compense mais aumentar a janela o receptor, pois que os ganhos conseguios 34

9 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 relativamente ao jitter são perios evio à interferência entre símbolos. O problema a interferência entre símbolos será analisao em etalhe na secção 7.3, contuo convém ese já termos presente que a janela o receptor nunca poerá ser muito maior que o períoo o bit, evio à interferência entre símbolos. Ou seja, para estimar um ao bit o receptor só everá processar a informação contia no períoo o bit respectivo, caso contrário estará a processar informação relativa a bits ajacentes, aumentano a interferência os bits ajacentes na ecisão o bit em questão. Uma outra conclusão que poeremos retirar a expressão (7.7), é que no caso a função ensiae e probabiliae ser simétrica em torno a origem e ecrescer ao afastarmo-nos a origem, é imeiato que o BER é mínimo quano a janela o receptor estiver centraa na origem e neste caso temos que δ + igual a - δ -. Pois ao eslocarmos a janela para qualquer um os laos a iferença entre o acréscimo e área integraa e aquela que eixamos e integrar é sempre negativa. Este resultao poe ser facilmente comprovao consierano um esvio na janela o receptor ao por δ, fazeno δ + igual a -δ - e rescreveno o integral a expressão (7.7) a forma seguinte δ+ + δ δ+ δ+ + δ δ + δ δ δ δ δ δ + δ δ δ+ δ f ( δ) δ = f ( δ) δ + f ( δ) δ f ( δ) δ (7.) Done se poe concluir que se a função ensiae e probabiliae for simétrica em torno a origem, e ecrescer ao afastarmo-nos a origem, o seguno integral é sempre menor que o terceiro integral o lao ireito a expressão (7.), para toos os valores e δ maiores que zero. Fazeno com que a expressão (7.) seja máxima e o BER mínimo quano δ for igual a zero, logo quano δ + for igual a -δ -. Olhano para a função ensiae e probabiliae e δ, expressão (7.7), temos que a função é simétrica em torno a origem, porém conforme poemos constatar na figura 5.9 o capítulo 5, nem sempre ecresce ao afastarmo-nos o ponto e simetria. De facto, evio à interacção entre solitões é possível que a função apresente outros máximos relativos para além a origem. Embora, possível esta situação é pouco provável e, que 35

10 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro tenhamos conhecimento, nunca foi relataa nenhuma experiência na literatura especializaa em que fossem nítios outros máximos relativos para além a origem. Conforme poemos euzir os resultaos apresentaos no capítulo 5, esta situação só ocorreria numa situação e forte interacção entre solitões e muito baixo ruío. Deixano e parte esta situação, temos então que para maximizarmos o BER o instante e ecisão eve ser escolhio e forma a que o valor absoluto o atraso e avanço máximo que o receptor poe tolerar sejam iguais. Obtivemos assim uas conições para optimizar o sistema relativamente ao jitter temporal. A primeira é aumentar a janela o receptor, convém contuo ter presente que o aumento a janela o receptor vai tornar a interferência entre símbolos mais crítica. Notemos aina que conforme vimos na secção 6.4, o aumento a janela o receptor poe levar também a um pior esempenho relativamente ao ruío. Embora menos crítico que o efeito a interferência entre símbolos este efeito everá também ser levao em conta. Uma seguna conição e optimização relativamente ao jitter é escolher o instante e ecisão e moo a fazer com que o atraso e o avanço máximo que o sistema poe tolerar sejam iguais. Esta conição e optimização vai ter consequências relativamente ao ruío, ver expressões (6.0) a (6.). Usualmente só é possível fazer coinciir o instante e ecisão óptimo relativamente ao ruío, com o instante e ecisão que faz com que o atraso e avanço máximo sejam iguais, quano a resposta o filtro equalizaor o receptor é simétrica em torno o instante e ecisão. De seguia vamos apresentar alguns exemplos que ilustram as iferentes situações aqui relataas. Na figura 7. vamos começar por calcular o tamanho normalizao a janela o receptor para iversos filtros equalizaores em função o prouto a largura e bana eléctrica pelo períoo o bit, consierano o valor o instante e ecisão coinciente com o valor máximo a função j( t, δ) na ausência e jitter. Conforme poemos analisar na figura 7., a janela o receptor aumenta com a iminuição a largura e bana o filtro equalizaor o receptor. Notemos que ao iminuirmos a largura e bana o receptor estamos usualmente a tornar mais crítico o efeito a interferência entre símbolos. Temos assim que a optimização o sistema 36

11 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 relativamente ao jitter e à interferência entre símbolos é frequentemente uma solução e compromisso. Figura 7. - Valor normalizao a janela o receptor em função o prouto entre a largura e bana eléctrica e o períoo o bit. Vamos, agora, analisar o efeito o instante e ecisão, calculano a iferença entre o valor absoluto o avanço e o atraso máximo que o sistema é capaz e tolerar antes e efectuar uma ecisão erraa, ver figura 7.. Figura 7. - Diferença entre o valor absoluto o atraso e avanço que o receptor tolera antes e efectuar uma ecisão erraa. 37

12 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro Na figura 7., a origem o eixo as abcissas correspone à situação em que o instante e ecisão coincie com o máximo a função j( t, δ) na ausência e jitter. Notemos que, como referimos anteriormente, o BER será mínimo, consierano apenas o efeito o jitter temporal, quano o valor absoluto o avanço máximo for igual ao valor absoluto o atraso máximo, ou seja quano as curvas a figura 7. assumirem o valor zero. Poemos comprovar, na figura 7., que no caso e filtros com respostas impulsionais simétricas a iferença entre o valor absoluto o avanço e o atraso, que o sistema tolera sem proceer a uma ecisão erraa, é nula quano o instante e ecisão coincie com o valor máximo a resposta o filtro equalizaor, ponto A. Por outro lao no filtro RC, o instante e ecisão óptimo, ou seja o instante e ecisão que faz com que em valor absoluto o atraso e o avanço máximo que o sistema tolera sejam iguais, ponto B, não coincie com o valor máximo a função j( t, δ) na ausência e jitter. Usualmente isto significa que não vamos conseguir optimizar simultaneamente o instante e ecisão em função o jitter e em função o ruío. Esta característica é verificaa no filtro RC porque a resposta este filtro, conforme poe ser comprovao na figura 6.9, não é simétrica em relação ao seu valor máximo. Este resultao mostra o interesse em consierarmos respostas impulsionais simétricas em torno o seu valor máximo. Porém evemos ter presente que para uma resposta impulsional ser realizável esta eve ser causal, tornano ifícil a obtenção e respostas impulsionais simétricas na prática. Vamos agora analisar o efeito a interacção entre solitões na egraação o sistema. Para isso vamos trabalhar com os mesmos sistemas consieraos por J. P. Goron e L. Mollenaur no trabalho [], ou seja sistemas com uma istância total e km, um a operar a.5 Gbit/s e outro a 4 Gbit/s, com uma atenuação e 0.5 B/km, um espaçamento entre amplificaores e km, e em que toos os amplificaores apresentam um ganho e 7 B e um factor e emissão espontânea e.5. Vamos consierar um receptor com as mesmas características o utilizao no trabalho [], e J. P. Goron e L. Mollenaur, ou seja um receptor com uma janela coinciente com o períoo o bit. Para efeitos o calculo a egraação provocaa pela 3

13 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 interacção entre solitões, precisamos e estimar o comprimento e ispersão, para isso assumimos o valor e.5 ps/nm/km para a ispersão. Na figura 7.3 apresentamos o esempenho os sistemas em função a largura o solitão. A cheio poemos ver os resultaos apresentaos por J. P. Goron e L. Mollenauer, expressão (7.4), ou seja esprezano a interacção entre solitões, a tracejao poemos observar o resultao obtio com a nossa formulação, expressão (7.3). Notemos que para o sistema a operar a.5 Gbit/s os resultaos são coincientes, no entanto para o sistema a operar a 4 Gbit/s as curvas ivergem consieravelmente para larguras os impulsos superiores a 30 ps. Isto eve-se ao efeito a interacção entre solitões, que é obviamente mais critico no sistema a 4 Gbit/s o que no sistema a.5 Gbit/s. Notemos que no sistema a.5 Gbit/s o períoo o bit é e 400 ps e no sistema a 4 Gbit/s o períoo o bit é e 50 ps. Figura Desempenho o sistema em função a largura o solitão, a cheio apresentamos os resultaos obtios por J. P. Goron e L. Mollenaeuer, expressão (7.4), a tracejao apresentamos os resultaos obtios com a nossa formulação, expressão (7.3). Conforme poemos comprovar ao aumentarmos a largura os solitões iminuímos o efeito e Goron-Haus, no entanto aumentamos a interacção entre solitões. No sistema a 4 39

14 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro Gbit/s a partir e um ao ponto assistimos a um ponto e inflexão, este ponto não é visível nos resultaos e J. P. Goron e L. Mollenauer e eve-se ao facto a interacção entre solitões passar a assumir um papel ominante. Seguno os resultaos e J. P. Goron e L. Mollenauer seria possível tornar as peras e esempenho evias ao jitter tão pequenas quanto esejássemos aumentano a largura os solitões. Porém iversos resultaos experimentais mostram a existência e um limiar para a iminuição as peras e esempenho e alguns autores, nomeaamente C.R. Menyuk em [] e T. George em [3], referiram-se à necessiae e corrigir o cálculo o esempenho os sistemas baseaos em solitões e moo a ter em conta os esvios a istribuição gaussiana o jitter, originaos pela interacção entre solitões. Notemos aina que a partir e uma aa largura os impulsos, á-se a colisão os solitões ajacentes antes o receptor. A análise e sistema a operarem para além a istância e colisão está fora o âmbito esta tese, por isso no gráfico a figura 7.3 apresentamos apenas os resultaos para larguras os impulsos inferiores a 50 ps, no sistema a 4 Gbit/s, e moo a garantir que estamos a operar fora este regime Efeito simultâneo o ruío e o jitter Na figura 7.3 consierámos apenas o efeito o jitter na análise e esempenho o sistema. Vamos agora consierar também o efeito o ruío, supono um filtro equalizaor no receptor o tipo integrate an ump. De moo a incluirmos o efeito o ruío vamos usar a formulação esenvolvia no capítulo 6. Conforme tínhamos concluío na secção 6.3. e poemos comprovar na figura 7.4, ao aumentarmos a largura os impulsos estamos a iminuir a energia o solitão, tornano mais penalizante o efeito o ruío e emissão espontânea amplificao. Por outro lao estamos a iminuir o efeito Goron-Haus e a aumentar a interacção entre solitões. Notemos que na figura 7.4, as curvas relativas ao jitter foram obtias com base nas expressões (7.3), curva a tracejao, e (7.4) curva a cheio, a curva relativa ao ruío foi obtia com base nas expressões (6.46), (6.49) e (6.50). 40

15 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 Figura Desempenho o sistema em função a largura o solitão, consierano isolaamente o efeito o jitter e o ruío. Na figura 7.4, poemos igualmente comprovar como a interacção entre solitões, ver curva a tracejao, poe ser um factor eterminante no esempenho os sistemas. Notemos que se esprezássemos o efeito a interacção entre solitões, seriamos levaos a concluir que a largura óptima o solitão no sistema a 4 Gbit/s seria e aproximaamente 40 ps, porém ao consierarmos a interacção entre solitões verificamos que a largura óptima é inferior, assumino um valor próximo os 35 ps e que o esempenho o sistema é consieravelmente pior. Poemos ientificar três zonas istintas, na figura 7.4, relativamente ao sistema a 4 Gbit/s, uma em que a egraação o sistema é evia ao jitter, quanto T 0 é inferior a 30 ps, outra em que o efeito ominante é o ruío, quanto T 0 é superior a 50 ps, e finalmente uma zona interméia, em que quer o jitter quer o ruío são eterminantes no esempenho o sistema. Notemos aina que uma uniae na escala logarítmica o BER significa uma orem e graneza numa escala linear, ou seja o BER total na zona em que o jitter é ominante poe ser aproximao com algum rigor pela expressão (7.3), e igual moo, na zona em que o ruío é ominante poe ser aproximao pelas expressões (6.46), (6.49) e (6.50). 4

16 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro Porém a tentativa e optimizar os sistemas leva-nos invariavelmente a operar na zona interméia, ou seja na zona one não poemos efinir com rigor o efeito ominante, fazeno com que tenhamos que consierar simultaneamente os ois efeitos. Com esse fim em vista, vamos consierar a variável ecisória como seno aa pela soma e uas variáveis aleatórias, uma que inclui o efeito o ruío e outra que inclui o efeito o jitter. Temos então que a variável ecisória, que vamos esignar por Y, será aa por Y = X + J j( t, 0 ) (7.9) one X é a variável aleatória consieraa no capítulo 6 que inclui o efeito a etecção o sinal aicionao o ruío e J é a variável aleatória que inclui o efeito o jitter. Notemos que subtraímos o valor a variável ecisória J na ausência e jitter, pois a contribuição o sinal está incluía em X. O BER é neste caso ao por [ ( ) ( ) ] BER = p0 I + p I (7.0) com + p I W y y (7.) 0 ( ) = X ( ) I Y0 e em que W ( y) e W ( y) Y0 I ( ) = X ( ) p I W y y (7.) Y Y são, respectivamente, a função ensiae e probabiliae a variável ecisória conicionaa à etecção o símbolo lógico "0" e "". Notemos que na ausência e um impulso Y 0 assume o valor e X 0, ou seja a egraação o esempenho o sistema é apenas evia ao ruío, logo o problema reuz- 4

17 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 se ao caso tratao no capítulo 6. Vamos por isso concentrar-nos apenas na eterminação a probabiliae e erro associaa ao símbolo "", ou seja na presença e um impulso. Para estimarmos o valor e p ( I ) necessitamos e eterminar a função ensiae e probabiliae e Y. A variável ecisória Y é o resultao a soma e uas variáveis aleatórias, uma que quantifica o efeito o ruío X, e outra que quantifica o efeito o jitter J. A variável J, que quantifica o efeito o jitter, é uma função não trivial e δ, ver expressão (7.). Vamos por isso tentar aproximar J = j(t, δ) por uma função mais facilmente tratável. Uma primeira aproximação poe ser obtia expanino a função j(t, δ) em série e McLaurin, obteno-se j j j n J = j( t, δ) = j( t, 0) + δ + δ + + n δ +(7.3) δ δ n! δ δ= 0 δ= 0 δ= 0 n De moo a calcular (7.3) precisamos e calcular as sucessivas erivaas na origem a função j(t, δ). Como a expressão (7.3) tem um número infinito e parcelas, vamos ter que a aproximar por um somatório com um número finito e termos. Vamos consierar uma aproximação baseaa nos três primeiros termos, ou seja uma aproximação e seguna orem a função j( t, δ) em orem a δ. Temos então j( t, δ) D + D δ + D δ 0 (7.4) em que ( ) D 0 = j t, 0 (7.5) D = j (7.6) δ δ = 0 e D = j (7.7) δ δ = 0 43

18 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro Teno em consieração a expressão (7.) temos n r n ( T ) n + j h p τ δ bit = ρ q h ( t τ) n τ δ (7.) δ Consierano um impulso o tipo solitão, h p (τ)=p p sech (τ / T 0 ), obtemos j δ + Tbit τ = ρ q h r ( t τ) hp ( τ) tanh τ T T (7.9) δ= e δ j + Tbit τ = ρq hr ( t τ) hp( τ) 3 τ tanh (7.30) T0 T0 δ= 0 Usano as expressões (7.5) a (7.7), (7.), (7.9) e (7.30), poemos imeiatamente calcular os valores e D 0, D e D. Figura Aproximação a resposta normalizaa o filtro integrate an ump, baseaa na aproximação em série e McLaurin e ª e ª orem. Notemos que ao consierarmos uma aproximação e seguna orem para a função j(t, δ), estamos a aproximar a função por uma parábola invertia, conforme poemos verificar na figura 7.5 para o filtro integrate an ump. 44

19 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 Conforme poemos constatar na figura 7.5, usano a aproximação e seguna orem a janela o receptor aproximaa é substancialmente superior à janela o receptor exacta. Na figura 7.6 calculámos o esempenho o sistema consierao na figura 7.3, consierano a aproximação e seguna orem e comparámos os resultaos com a solução exacta. Figura Desempenho o sistema em função a largura o solitão, a tracejao apresentamos os resultaos obtios com a aproximação e ª orem e a cheio a solução exacta, ou seja usano as expressões (7.3) e (7.4). Ateneno a que o cálculo a pera e esempenho evio ao jitter é calculao com base na janela o receptor, obtivemos, na figura 7.6, esvios substâncias entre o esempenho o sistema obtio com a aproximação e seguna orem e o esempenho obtio com base nas expressões (7.3) e (7.4). Vamos por isso procurar outra aproximação para a resposta o filtro equalizaor. Uma alternativa possível é aproximar a resposta o filtro equalizaor por uma parábola invertia, e tal forma que se mantenha a mesma janela o receptor, ou seja calcular D 0, D e D através as seguintes equações 45

20 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro D δ + D δ + D0 = I (7.3) ( ) D 0 = j t, 0 (7.3) Em que as soluções a equação o seguno grau, equação (7.3), são igualaas a δ + e δ -, seno δ + e δ - obtios a equação ( ) j t,δ = I (7.33) em que I é o nível e ecisão. Obtém-se então o seguinte sistemas e equações para a eterminação e D e D. ( ) δ + = D + D 4 D D0 I D ( ) δ = D D 4 D D0 I D (7.34) (7.35) Notemos que esta aproximação é epenente o nível e ecisão, ou seja evemos voltar a calcular D e D sempre que alterarmos o nível e ecisão, pois ao alterarmos o nível e ecisão estamos a alterar δ + e δ -, nas expressões (7.34) e (7.35), ver expressão (7.33). Se δ + for igual a -δ - resulta imeiatamente e (7.34) e (7.35) que D é igual a zero e D D = 0 I δ + (7.36) Aplicano a aproximação baseaa na parábola invertia obtia através as equações (7.3) a (7.35), novamente ao filtro integrate an ump, e consierano o nível e ecisão a metae o valor máximo a resposta o filtro equalizaor o receptor obtemos os resultaos a figura 7.7. Ateneno às figuras 7.5, 7.6 e 7.7 e evio ao papel a janela o receptor no calculo e esempenho o sistema na presença e jitter, somos levaos a concluir que a 46

21 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 aproximação baseaa na parábola invertia, fixano a janela o receptor, ará o mesmo valor a solução exacta, no caso e consierarmos apenas o jitter e ará uma melhor aproximação o esempenho o sistema quano consierarmos simultaneamente o efeito o jitter e o ruío, sempre que o valor o esvio parão o jitter for comparável com o períoo o bit. Figura Aproximação a resposta normalizaa o filtro equalizaor por uma parábola invertia, fixano a janela o receptor. Notemos que a aproximação e McLaurin á uma melhor precisão numa vizinhança próxima a origem, fazeno com que, se o valor o esvio parão o jitter for muito menor que o períoo o bit, esta seja a aproximação aequaa. Esta foi a aboragem usaa por L. B. Ribeiro em [6] para estuar o efeito o jitter o sinal e relógio na etecção. Contuo ao contrário os valores o esvio parão consieraos em [6], muito inferiores ao períoo o bit, nesta tese estamos a liar com valores o esvio parão o jitter comparáveis com o períoo o bit, logo a aproximação mais aequaa é a aproximação a parábola invertia fixano a janela o receptor. Poemos então rescrever Y como seno Y X + D δ + D δ (7.37) 47

22 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro em que D e D são calculaos a partir e (7.34) e (7.35). Consierano o caso anteriormente estuao, ou seja quano D é igual a zero, obtém-se para a função geraora e momentos a variável ecisória Y a expressão sy sx s Dδ (, ) = { } { } { } = X ( ) ( ) M s t E e E e E e M s M s D Y δ (7.3) Ao escrevermos a expressão (7.3) estamos a assumir que a variável aleatória X é inepenente e δ o que em rigor não é correcto. Recoremos que a variância e X vai epener o nível o sinal evio ao batimento sinal - ruío, ver a expressão (6.45), e o nível o sinal é epenente o jitter, logo X epenente e δ. Para ultrapassarmos este facto, vamos assumir a pior situação, ou seja, vamos assumir no calculo a variância e X que o sinal assume o seu valor máximo. Notemos que e moo a obtermos a função geraora e momentos e Y, expressão (7.3), necessitamos e calcular a função geraora e momentos e X e δ. Conforme vimos no capítulo 6, a variável X poe ser aproximaa com bastante rigor por uma istribuição gaussiana, obteno-se [7] M X ( s, mx, X ) = exp mx s + X s (7.39) seno m X ao por (6.0) e X por (6.). A função ensiae e probabiliae e δ é aa por (7.7), ou seja pela soma e cinco istribuições gaussianas escentraas, one se obtêm que a função ensiae e probabiliae e δ é aa pela soma e três funções chi-quaraas escentraas com um grau e liberae []. Seno a função geraora e momentos e δ aa por M ( s) Mchi ( s GH) M chi ( s t GH) M chi ( s t GH) δ =, 0, +,, +, 3, (7.40) 4 4 com [] 4

23 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 sµ Mchi ( s, µ, ) = exp (7.4) s s efinia para valores e s menores que /( ). A variável aleatória Y é então a soma e uas variáveis aleatórias, uma com istribuição aproximaamente gaussiana, a variável X, e outra resultante a soma e três istribuições chi-quarao. A função ensiae e probabiliae a variável ecisória, quano é recebio um impulso, poe ser calculaa através a transformaa inversa a função característica e Y, que se obtém a função geraora e momentos fazeno s = iω. Temos então W Y ( y) i ( m X y X + ω ) ω e = π i GH D ω iωt D iωt 3 D i e GH D i e GH D ω ω ω (7.4) obteno-se p (I ) a partir e (7.). De moo a valiarmos a expressão (7.4) poemos consierar uas situações particulares, uma quano t, t 3 e GH assumem o valor zero e outra quano X igual a zero e a interacção entre solitões é esprezável. Quano t, t 3 e GH são nulos, significa que estamos a esprezar o efeito e Goron-Haus e a interacção entre solitões, e partino e (7.4) obtemos X i m ω WY ( y) X ω i y = e ω e e ω = π π X ( y m X ) + X (7.43) Recoremos que o integral a expressão (7.43) poe ser resolvio recorreno a uma tabela e transformaas e Fourier, ientificano o integral como seno a transformaa inversa e uma função gaussiana. 49

24 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro A expressão (7.43) está e acoro com o esperao, ou seja esprezano o efeito o jitter a variável ecisória apresenta uma istribuição gaussiana. De (7.) e (7.43) obtemos imeiatamente ( y m X ) I p ( I ) e y erfc m I X X = = π X X (7.44) ou seja, obtemos a expressão (6.6), como seria e esperar. Desprezano o ruío e a interacção entre solitões temos que X valor zero e m X é igual a D 0, logo, t e t 3 assumem o W Y ( y) + iω e ( D0 y) i D e GH D = π = ω ω π D D y GH GH D0 y ( ) 0 ( y) U D 0 (7.45) em que U() é a função egrau, ou seja assume o valor um quano o argumento é maior que zero e o valor zero quano o argumento é menor ou igual a zero. O integral a expressão (7.45) poe ser calculao fazeno a transformação D 0 -y = -Y, e notano que o integral resultante correspone à transformaa inversa e Fourier uma função chi-quaraa em Y em que µ=0 e GH = D, ver expressão (7.4). Finalmente, escreveno a função ensiae e probabiliae e Y [7] e fazeno a transformação -Y = D 0 -y obtemos o último membro a expressão (7.45). Ateneno que no nosso caso D assume sempre valores negativos, a expressão (7.45) só assume valores iferentes e zero para valores e y menores que D 0, como seria e esperar. Temos então p ( I ) = I e D0 y GH D GH ( ) π D D y 0 y (7.46) 50

25 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 em que I é menor que D 0. O integral a expressão (7.46) poe ser resolvio fazeno a transformação seguinte y = D 0 + D x (7.47) temos então p ( I ) = ( ) D0 I ( D) x e GH I D x = erfc π D GH 0 GH (7.4) obtemos Notemos que ao substituirmos na expressão (7.4) o resultao a expressão (7.36) p I ( ) = erfc δ + GH (7.49) Ateneno a que estamos a consierar δ + igual a -δ -, a expressão (7.49) é exactamente igual à expressão (7.4), ou seja obtivemos o resultao esperao. Vamos agora estimar a probabiliae e erro para o caso geral, ou seja consierano simultaneamente o efeito o jitter e o ruío. Embora o integral (7.4) aparente não ter uma solução analítica para o caso geral, é possível obter uma bana para o esempenho o sistema. Inferiormente a bana será limitaa pelo calculo exacto a expressão (7.) consierano apenas o efeito mais relevante, isto é o efeito que provoca uma maior egraação o esempenho o sistema. O limiar superior a bana será obtio com o recurso a um majorante. Um majorante conhecio e largamente usao no problemas a eterminação o esempenho e sistemas e comunicação ópticos é o majorante e Chernoff. Este majorante poe ser facilmente erivao efinino uma função C(x) que assume o valor um se x for menor que nível e ecisão I, e zero se x for maior ou igual a I. Temos então que a esperança e C(x) é aa pela expressão 5

26 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro E{ C( x) } = 0 P( x I ) + P( x < I ) = P( x < I ) (7.50) Fazeno coinciir x com a variável ecisória associaa à recepção o "" lógico Y, é imeiato que a esperança e C(x) é igual a probabiliae e erro associaa à recepção e um impulso. Definino uma função majorante G(x), ( ) ( ) = ( ) G x exp ϕ x I, ϕ 0 (7.5) que assume para toos os valores e x e para qualquer valor e ϕ menor ou igual a zero um valor maior ou igual a C(x), resulta que ( ) ( ) { } { ( )} Y ( ) p I E C Y E G Y M e ϕ I = = ϕ, ϕ 0 (7.5) Temos assim que o lao ireito a expressão (7.5) assume, para toos os valores e ϕ menores ou iguais a zero, um valor maior ou igual à probabiliae e erro associaa à etecção o "" lógico. Determinano o mínimo a expressão M ( ) e Y ϕ ϕ I, em orem a ϕ e para ϕ menor ou igual a zero, obtemos o menor majorante a probabiliae e erro associaa à etecção o "" lógico ao por esta expressão. Este majorante esigna-se por majorante e Chernoff. É imeiato que efinino a função C(x) como assumino o valor zero se x for menor que nível e ecisão I, e um se x for maior ou igual a I, e seguino um raciocínio em too análogo ao anterior vamos obter um majorante para a probabiliae e erro associaa à recepção o "0" lógico. ( ) ( ) ϕ I p I M ϕ e, ϕ 0 (7.53) 0 Y0 Aplicano o majorante e Chernoff ao sistema a.5 Gbit/s consierao na figura 7.4, obtemos os resultaos apresentaos na figura 7.. Nesta figura as circunferências corresponem à aplicação o majorante e Chernoff, consierano o efeito simultâneo o jitter e o ruío, ou seja á-nos um limiar superior para o esempenho o sistema. As cruzes corresponem à aplicação o majorante e Chernoff consierano o efeito mais 5

27 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 relevante, ou seja na parte esquera o gráfico consierano o efeito o jitter e na parte ireita consierano o ruío. A cheio temos a solução exacta consierano apenas o efeito mais relevante, ou seja temos um limiar inferior para o esempenho o sistema. A tracejao representa-se a aproximação gaussiana consierano os ois efeitos simultaneamente. Notemos que para usarmos a aproximação gaussiana temos que calcular a méia e a variância a variável ecisória, na presença e na ausência e um impulso. A méia e a variância a variável ecisória na ausência e um impulso poem ser calculaas usano as expressões (6.0) e (6.09), na presença e um impulso obtemos a partir a expressão (7.3) os seguintes resultaos m Y M Y ( s) = s s= 0 (7.54) e Y MY ( s) = m s s= 0 Y (7.55) Após alguma manipulação algébrica e teno em consieração as expressões (7.3) a (7.4) obtemos m m D E( ) = + δ (7.56) Y X e ( ( ) ( ) ) Y = X + D E δ E δ (7.57) 4 seno E ( δ ) Mδ ( s) = = GH + t + t s 4 s= 0 ( 3) (7.5) e 53

28 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro E 4 ( δ ) M ( s) δ = = 3 GH + GH t + t 3 + t + t s 4 v= 0 4 ( ) ( ) 3 (7.59) Conforme poemos verificar na figura 7., os resultaos obtios assumino uma istribuição gaussiana aproximam razoavelmente bem o esempenho o sistema quano o efeito mais relevante é o ruío. No entanto, tal não se verifica quano o efeito mais relevante é o jitter. Figura 7. - Desempenho o sistema em função a largura o solitão, consierano o efeito o jitter e o ruío Interferência entre símbolos A interferência entre símbolos quantifica a influência a presença e outros símbolos na variável ecisória relativa a um ao símbolo. Temos assim que a variável ecisória, que vamos esignar por Z, poe ser consieraa como a soma a variável aleatória X, consieraa no capítulo 6, que quantifica o efeito o ruío, a variável aleatória J, consieraa na secção 7., que quantifica o efeito o jitter e a variável aleatória S, que quantifica o efeito a interferência entre símbolos 54

29 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 ( ) Z = X + J j t,0 + S (7.60) Na secção 7.3. iremos caracterizar a variável aleatória S. Posteriormente, na secção 7.3. iremos consierar o efeito simultâneo o ruío, o jitter e a interferência entre símbolos, na análise e esempenho e sistemas baseaos em solitões Formulação analítica A variável aleatória S poe ser efinia, para um ao símbolo e para uma aa sequência, como um somatório infinito, incluino o efeito e toos os símbolos a sequência à excepção aquele que estamos a consierar S = + S k k= k 0 (7.6) Em que a variável aleatória S k quantifica a contribuição o símbolo que ista k símbolos, o símbolo que estamos a consierar. Notemos que o símbolo que ista k símbolos o símbolo que estamos a consierar poe assumir o valor lógico "0" ou "", seno que quano assume o valor "0" lógico a interferência entre símbolos provocaa por esse símbolo é nula, ou seja S = m = 0 (7.6) k, 0 S k, 0 Quano o símbolo k assume o valor lógico "" a interferência entre símbolos será aa pelo valor a caua a resposta o filtro equalizaor o receptor, no instante e ecisão relativo ao símbolo que estamos a etectar, ou seja Sk, = m = ρq h t k T h ( ) Sk, r ( bit τ) p τ τ (7.63) + Ao escrevermos as expressões (7.6) e (7.63) estamos a esprezar o ruío e o jitter, relativo ao símbolo que ista k símbolos o símbolo que estamos a consierar, para efeitos e calculo a interferência entre símbolos. 55

30 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro De moo a eterminarmos o esempenho o sistema temos que consierar a istribuição a variável ecisória Z conicionaa a toas as sequências possíveis. No entanto, para as respostas usuais os filtros equalizaores usaos na prática a egraação provocaa pela ISI eve-se essencialmente aos ois símbolos ajacentes. Poemos por isso aproximar o esempenho o sistema pela expressão [ 0( 000 ) 0( 00 ) 0( 00 ) 0( 0 ) ] BER P Z > I + P Z > I + P Z > I + P Z > I [ P( Z00 I ) P ( Z0 I ) P ( Z0 I ) P ( Z I )] + < + < + < + < (7.64) em que Z ABC representa a variável ecisória associaa à sequência A-B-C em que o símbolo que estamos a consierar é o B. Embora na expressão (7.64) tenhamos consierao apenas a interferência provocaa pelos ois símbolos ajacentes, é imeiato que a mesma formulação poe ser expania e forma a incluir o efeito e mais símbolos. Obviamente que ao consierarmos sequências lógicas com mais k símbolos o número e parcelas a expressão (7.64) vem multiplicao por k, o que torna mais extenso o tratamento analítico. No caso em que a resposta o filtro equalizaor é simétrica em torno o instante e ecisão poemos simplificar a expressão (7.64) ateneno a que ( ) ( ) P Z > I = P Z > I (7.65) e ( ) ( ) P Z < I = P Z < I (7.66) 0 0 Porque estamos a consierar que a interferência entre símbolos originaa pelos "0" lógicos é nula, poemos rescrever a expressão (7.64), consierano uma resposta o filtro equalizaor simétrica em torno o instante e ecisão, na forma seguinte [ 0( 0 ) 0( 00 ) 0( 0 ) ] BER P X > I + P Z > I + P Z > I 56

31 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 [ P( Y I ) P( Z0 I ) P( Z I )] + < + < + < (7.67) em que X 0 e Y representam a variável ecisória conicionaa, respectivamente, ao símbolo "0" e "" lógico, consieraas respectivamente no capítulo 6 e secção Efeito simultâneo o ruío, o jitter e a ISI Amitino que a resposta o filtro equalizaor o receptor é simétrica em torno o instante e ecisão, para calcularmos o esempenho e um ao sistema, consierano simultaneamente o efeito o ruío, o jitter e a interferência entre símbolos, evemos estimar o valor a expressão (7.67). Precisamos pois e calcular a probabiliae associaa à ocorrência e seis eventos istintos, ou seja a probabiliae e X 0 ser maior que I, e Y ser menor que I, e Z 00 ser maior que I, e Z 0 ser maior que I, e Z 0 ser menor que I e e Z ser menor que I. A probabiliae e ocorrência os ois primeiros eventos foi calculaa, respectivamente, no capítulo 6 e na secção 7..3, iremos agora concentrar-nos na probabiliae e ocorrência os últimos quatro eventos. Para isso vamos começar por escrever a variável ecisória conicionaa a caa uma as sequências na forma seguinte Z = X + m S 00 0, (7.6) Z = X + m S 0 0, (7.69) Z = Y + m S 0, (7.70) e Z = Y + m S, (7.7) Done poemos concluir que a função geraora e momentos associaa à variável ecisória conicionaa a caa uma as sequências é aa por ( ) = ( ) ( ) M s M s exp m, s (7.7) Z00 X0 S 57

32 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro ( ) = ( ) ( ) M s M s exp m, s (7.73) Z0 X0 S ( ) = ( ) ( ) M s M s exp m, s (7.74) Z0 Y S e ( ) = ( ) ( ) M s M s exp m, s (7.75) Z Y S seno M ( s) aa por X0 M X ( s, mx, X ) = exp mx s X s 0 (7.76) com m X 0 ao por (6.0), X0 por (6.09), M ( s) por (7.3) e m Y S, por (7.63). Obtemos então a seguinte função ensiae e probabiliae generalizaa, para o caso a etecção e um impulso, em que A e C representam os ois símbolos ajacentes ao impulso que estamos a consierar W ZAC ( z) iω m X + m S z + κ, e ω = π i ωgh D X iωt D iωt 3 D i e GH D i e GH D ω ω ω(7.77) em que κ é igual a zero quano A e C assumem o valor lógico "0", é igual a um quano A assume o valor lógico "" e C o valor lógico "0" ou quano A assume o valor lógico "0" e C assume o valor lógico "" e é igual a ois quano A e C assumem ambos o valor lógico "", m X e X são aos respectivamente por (6.0) e (6.) e m S, é ao por (7.63). Para o caso a etecção e um "0" lógico, ou seja na ausência e um impulso, temos X0 WZ A C z = i ω mx + κ ms z ω ω 0 π 0 + ( ) exp (, ) (7.7) 5

33 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 em que κ e m S, são obtios como anteriormente, seno m X 0 e X0 aos respectivamente por (6.0) e (6.09). As expressões (7.77) e (7.7) poem ser resolvias analiticamente, colocano a zero os parâmetros relativos ao jitter na expressão (7.77). Neste caso temos ( z m) + x W ( z) = i ( m z) = e x ZABC ω ω exp ω (7.79) π π x em que B é igual a zero na ausência e um impulso e é igual a um na etecção e um impulso, seno o parâmetro m igual a m X + κ m S,. Notemos que não aparecem explicitamente os ínices zero e um nos parâmetros m X e X, eveno no entanto ser entenio que quano B é igual a zero nos estamos a referir a m X 0 e X0 igual a um nos estamos a referir a m X e X., e quano B é Ateneno a (7.79), obtemos, quano B assume o valor lógico "0", a seguinte expressão para a probabiliae e erro ( z m) + X I m P( za0c > I ) = e 0 z = erfc I X π X 0 0 (7.0) em que m é igual a m + κ m X0 S,. Quano B assume o valor "", obtemos ( z m) I X m I P( zac < I ) = e z = erfc X π X (7.) com m igual a m + κ m X S,. Ateneno a (7.64), (7.0) e (7.) poemos escrever a seguinte expressão para a taxa e erro e bit o sistema, consierano o efeito o ruío e a interferência entre 59

34 Armano Nolasco Pinto Universiae e Aveiro símbolos, e toas as possíveis combinações os ois símbolos ajacentes, e acoro com a expressão (7.67), ( ) I ( mx + m 0, 0 S, ) BER erfc I m I m m X X + 0 S erfc erfc + X X X erfc m I erfc m m I erfc m m I X X S, X S, (7.) X X X Desprezano, agora, o efeito o ruío e a interacção entre solitões temos para a etecção e um impulso que X, t e t 3 assumem o valor zero e m X é igual a D 0, ver expressão (7.5), logo e (7.77) obtemos W ZAC ( z) + iω D0+ κms z, D0+ κms, z GH D e i D e = ω = π ω GH π D D + m z GH ( κ S, ) 0 ( 0 κ S, ) U D + m z (7.3) em que a função U() é a função egrau. O integral a expressão (7.3) foi calculao usano um proceimento análogo ao usao para calcular (7.45). De (7.3) obtemos, quano B é igual a "", fazeno a transformação z = D + κ m, + D x, 0 s ( I ) P z AC < = I D0 κ ms, D x e GH I D κ m x = erfc π D GH GH 0 s, (7.4) Obteno-se por fim, e acoro com a expressão (7.67), e recorano que na ausência e ruío não temos erros na etecção os "0" lógicos, ese que o nível e ecisão seja, simultaneamente, superior a zero e a m S,, I D I D m I D m S S BER erfc erfc erfc D GH + D GH + 0 0, 0, (7.5) D GH 60

35 Desempenho e Optimização na Presença e Jitter e ISI capítulo 7 De moo a calcularmos quer (7.), quer (7.5) necessitamos e eterminar primeiro m S,. Consierano um receptor o tipo integrate an ump, a partir e (7.63), chegamos à seguinte expressão para m S, m = I V (7.6) S, Em que V é um parâmetro que quantifica a percentagem e energia o impulso ajacente que é integraa na etecção o impulso que estamos a consierar, seno ao por, ver apênice E, T bit + T bit + rt bit t / T 0 t V P E T t e = 0 sech = 0 + e s T bit r T bit t T0 T bit T bit + T bit + rt bit / (7.7) rt bit em que r é um factor que quantifica a sobreposição a janela e integração sobre os períoos ajacentes. Na secção 7.., referimos que a optimização os sistemas relativamente ao jitter e à interferência entre símbolos é frequentemente uma solução e compromisso. Na altura, esta afirmação baseou-se na intuição, agora temos as ferramentas analíticas que nos permitem comprovar a afirmação. Para isso vamos traçar no mesmo gráfico a evolução e V e e T r em função a largura e bana eléctrica o filtro equalizaor, consierano um receptor o tipo integrate an ump. Conforme verificámos na secção 7.. quanto maior for T r maior será a tolerância o sistema relativamente ao jitter, por outro lao quanto maior for o parâmetro V maior será a egraação provocaa pela interferência entre símbolos. Conforme poemos comprovar na figura 7.9, ao iminuirmos a largura e bana eléctrica o filtro equalizaor o receptor estamos a aumentar a janela o receptor, ou seja estamos a tornar o sistema mais tolerante relativamente ao jitter, porém estamos a tornar mais crítico o efeito a ISI, fazeno com que usualmente seja possível melhorar o esempenho os sistemas relativamente ao jitter à custa a egraação relativa à ISI e vice-versa. Recoremos que num filtro o tipo integrate an ump iminuir a largura e bana eléctrica correspone a aumentar a janela e integração. 6