Anais do IX Congresso Brasileiro de Redes Neurais / Inteligência Computacional (IX CBRN) Ouro Preto de Outubro de 2009

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1 PREVISÃO DA ARRECADAÇÃO FEDERAL COM REDES NEURAIS FÁBIO DAROS DE FREITAS, PATRICK MARQUES CIARELLI, ALBERTO FERREIRA DE SOUZA Secretaria da Receita Federal do Brasil Pietrâgelo de Biase 56 sala 308. cetro Vitória, E.S., Brazil Programa depós Graduação em Egeharia Elétrica, Uiversidade Federal doespíritosato Departameto de Iformática, Uiversidade Federal do EspíritoSato Av. Ferado Ferrari, , Vitória- ES, Brazil s: Abstract The reveue forecast is a mai role of the tax admiistratios ad a essetial tool i govermet plaig ad decisio makig, with profoud impacts o the effectiveess of public policies. I Brazil, the forecast of federal reveue is performed by Secretariat of the Federal Reveue of Brazil, the Secretaria da Receita Federal do Brasil, with a methodology developed for this purpose. I recet years, alterative methods for reveue forecastig have bee proposed. This paper presets two methods based o artificial eural etworks for reveue forecastig: the Autoregressive Neural Network ad the Probabilistic Neural Network. Our experimetal results employig these eural predictors i predictig the mothly federal reveue showed that they ca outperform the traditioal methods, ad achieved predictio errors 21% lower tha the method used by Secretaria da Receita Federal do Brasil ad 14% lower tha the ARIMA model, while presetig low predictio bias ad superior predictive capability with respect to aïve predictor. Keywords Reveue forecast, time-series predictio, Autoregressive Neural Network, Probabilistic Neural Network. Resumo A previsão de receitas é uma atribuição das admiistrações tributárias e um istrumeto fudametal o plaejameto e o processo decisório da gestão goverametal, com profudos impactos a eficácia das políticas públicas. A previsão da arrecadação federal é realizada pela Secretaria da Receita Federal do Brasil, que utiliza uma metodologia própria desevolvida para esta fialidade. Nos últimos aos, métodos alterativos para a previsão da arrecadação federal têm sido propostos. Este trabalho apreseta dois métodos baseados em redes eurais artificiais para a previsão da arrecadação federal: a Rede Neural Auto-regressiva e a Rede Neural Probabilística. Nossos resultados experimetais com o emprego destes métodos a predição da arrecadação federal mesal mostraram que os preditores eurais podem superar o desempeho dos métodos tradicioais, e alcaçaram erros de predição 21% meores que o método utilizado pela Secretaria da Receita Federal do Brasil e 14% meores que o modelo ARIMA, exibido um baixo viés de predição e capacidade preditiva superior à do preditor igêuo. Palavras-chave Previsão da arrecadação, predição de séries temporais, Rede Neural Auto-regressiva, Rede Neural Probabilística. 1 Itrodução A previsão de séries temporais ecoômico-fiaceiras é um istrumeto fudametal o plaejameto e o processo decisório da gestão corporativa. Nos orgaismos estatais, especialmete as admiistrações tributárias das três esferas de govero, a previsão de receitas públicas é uma atribuição determiada pelo Art. 11 da Lei Complemetar o 101, de 4 de maio de 2000 a Lei de Resposabilidade Fiscal. A previsão de receitas itegra o Regimeto Itero da Secretaria da Receita Federal do Brasil (RFB), que atribui ao órgão a fialidade de realizar a previsão, o acompahameto, a aálise e o cotrole das receitas sob sua admiistração. Diversas técicas de previsão de receitas têm sido propostas e praticadas pela admiistração pública, abragedo modelos ecoométricos, modelos de séries temporais e procedimetos ad-hoc (dos Satos et al., 2008). A RFB realiza suas previsões de receitas atra- Este trabalho apreseta somete dados e iformações tributárias de domíio público. As opiiões emitidas este trabalho são de exclusiva e de iteira resposabilidade dos autores, ão exprimido, ecessariamete, o poto de vista da Secretaria da Receita Federal do Brasil. vés do procedimeto deomiado método dos idicadores (Melo, 2001). Este método é baseado as idetidades cotábeis relacioadas à arrecadação dos tributos e obtém a previsão da receita futura de um tributo através da aplicação à sua receita atual das estimativas das variações de gradezas relacioadas à sua arrecadação, os idicadores do efeito-preço, efeito-quatidade, efeito-legislação e efeito-residual. O método dos idicadores produz resultados satisfatórios, pricipalmete se cosiderarmos a simplicidade da sua abordagem, e a sua formulação matemática está sempre correta expost (dos Satos et al., 2008). Nos últimos aos, modelos alterativos para a previsão da arrecadação federal têm sido propostos(melo, 2001; Siqueira, 2002). Estes trabalhos apresetam resultados superiores ao método dos idicadores, tipicamete empregado métodos de decomposição, alisameto expoecial e variações do modelo ARIMA (Makridakis et al., 1997; Box ad Jekis, 1970). Cotudo, examiado os resultados apresetados por Siqueira (2002), cosiderado por dos Satos et al. (2008) o trabalho mais importate desta literatura, verificamos que apesar dos métodos propostos domiarem o método dos idicadores em quase todas as séries estudadas, os er-

2 c 11 w 1,1 c 12 w 1,2 p 1(A) c 13 1 c 14 c 21 1 C(A). w 2,1. c 15 c 16 Â t+1 (p 1) w 2,2 p 2(A) (p 1) c 17 c 18 (E) (P) (S) (D) Figura 2: Exemplo de Rede Neural Probabilística. Figura 1: Exemplo de Rede Neural Auto-regressiva. ros de predição da arrecadação aual para a maioria das séries superaram os sete potos percetuais. As redes eurais artificiais têm superado os modelos de séries temporais e de regressão a predição de séries ecoômico-fiaceiras (Kohzadi et al., 1996; Amiia et al., 2006). Neste trabalho, ós ivestigamos a aplicação de preditores eurais a previsão da arrecadação federal. Nossos resultados mostraram que estes preditores podem superar o desempeho do método dos idicadores da RFB e de alterativas propostas a literatura. Após esta itrodução, apresetaremos os preditores eurais utilizados este trabalho a Seção 2. Em seguida, descreveremos ossos métodos experimetais a Seção 3 e apresetaremos os resultados obtidos a Seção 4. Por fim, ossas coclusões e perspectivas de trabalhos futuros serão apresetadas a Seção 5. 2 Predição da Arrecadação com Redes Neurais A predição da arrecadação federal para um período à frete é aqui defiida como o processo o qual se utiliza a série de N observações passadas da arrecadação, (N 1),..., 1,,paraobterumaestimativadoseu valor futuro, Â t+1. Nós implemetamos este processo de previsão através dos preditores eurais que serão apresetados a seguir. 2.1 Rede Neural Auto-regressiva (RNAR) A RNAR é uma rede eural feedforward totalmete coectada que utiliza eurôios do tipo McCulloch-Pitts com fução de trasferêcia sigmoidal. Suas etradas são o valor atual e os p 1 valores passados da arrecadação,, 1,..., (p 1), e o seu eurôio de saída forece a predição do valor futuro da arrecadação, Â t+1. AFig.1mostraumexemplodeRNARcomuma úica camada oculta com oitoeurôios (c 11 ac 18 ). O método de treiameto da RNAR é selecioado coforme a topologia utilizada, sedo o algoritmo backpropagatio a escolha padrão. A RNAR implemeta um modelo de regressão múltipla ão-liear para a série histórica (Makridakis et al., 1997), e seus parâmetros são estimados pelo algoritmo de treiameto utilizado. 2.2 Rede Neural Probabilística (RNP) A RNP implemeta um classificador que produz um mapeameto ão liear etre suas etradas e saídas próximo ao modelo de decisão ótima de Bayes, sedo origialmete proposta por Specht (1990). A RNP é composta por quatro camadas: a camada de etrada (E), a camada de padrões (P), a camada de soma (S) e a camada de decisão (D). O treiameto da RNP é realizado em um úico passo, cosistido em associar cada exemplo de treiameto k da classe i ao seurespectivoeurôiow k,i dacamadadepadrões,que é coectado ao eurôio i da classe de soma. A Fig. 2 mostra uma RNP com p etradas e duas classes com dois exemplos de treiameto cada w 1,1 e w 2,1 para aclasse 1ew 1,2 ew 2,2 para aclasse2, Durateaoperação,asaídadoeurôiow k,i dacamada de padrões é calculada para cada vetor de etrada A como: F k,i (A) = 1 (2πσ 2 ) p e(at A wk,i 1)/σ 2, (1) ode F k,i (A) é a saída do eurôio w k,i para a etrada A; σ é o desvio padrão da Gaussiaa, que determia o seu campo receptivo; p é a dimesão de A; A T é o vetor trasposto de A; e A wk,i é o k-ésimo exemplo de treiameto da classe i, com 1 k N i (úmero de eurôios da classe i a camada de padrões). Os vetoresdeetradasãoormalizadostalquea T A =1e A T w k,i A wk,i =1. Em seguida, a camada de soma calcula a probabilidade da etrada A pertecer a cada classe i dos seus eurôios como: p i (A) = N i k=1 F k,i (A). (2) Por fim, a camada de decisão associa a etrada A à classec(a)que apresetar o maior valor de p(a). 3.1 Dados 3 Métodos Nossos estudos foram baseados a série histórica Arrecadação das receita federais receita bruta R$ (mi-

3 lhões), divulgada pelo Istituto de Pesquisa Ecoômica Aplicada (Ipea) 1, utilizado 176 observações mesais da arrecadação federal brasileira etre julho de 1994 e fevereiro de Nós avaliamos o desempeho dos preditores eurais em duas situações distitas. No primeiro cojuto de experimetos, ós realizamos 12 predições mesais da arrecadação federal etre jaeiro e dezembro de 2001, com o objetivo de comparar o desempeho dos preditores eurais com os resultados apresetados por Siqueira (2002) para o método dos idicadores da RFB e para a modelagem ARIMA 2. No segudo cojuto de experimetos, ós realizamos 38 predições mesais da arrecadação federal para o período de jaeiro de 2006 a fevereiro de 2009, com o objetivo de avaliar o desempeho dos preditores eurais ates e durate a crise ecoômica mudial deflagrada em setembro de Todos os experimetos utilizaram o logaritmo atural dos valores da série histórica como mecaismo de liearização de séries de crescimeto (Makridakis et al., 1997), e ão foram utilizados métodos de detecção e remoção de outliers. Os preditores eurais utilizaram auto-regressão de décima seguda ordem (p = 12) para coaduar com a estrutura de autocorrelaçãoesazoalidadede12mesesverificadaasérieda arrecadação federal por Siqueira (2002). 3.2 Treiameto da RNAR Estes preditores foram implemetados com uma rede eural feedforward totalmete coectada, com duas camadas ocultas, fução de ativação sigmoidal o itervalo [ 1, 1] e topologia 12:16:4:1(12 eurôios de etrada, 16 eurôios a primeira camada oculta, quatro eurôios a seguda camada oculta e um eurôio de saída). O treiameto da RNAR utilizou a abordagem de jaelas temporais deslizates, e cada jaela foreceu cojutos de treiameto e validação cotíguos e particioados a proporção de 95% 5% dos pares etradasaída, respectivamete, coforme a heurística descrita porhayki(1999,pp.217). As12prediçõesparaoao de 2001 utilizaram jaelas com 78 observações cada, com a primeira jaela abragedo o período de julho de 1994 a dezembro de 1999 e forecedo 63 pares etrada-saída de treiameto e três pares de validação (as 12 primeiras observações da jaela são utilizadas como etrada da RNAR). As 38 predições etre jaeiro de2006efevereirode2009utilizaramjaelascom138 observações cada, com a primeira jaela abragedo o período de julho de 1994 a dezembro de 2005 e fore- 1 Obtida em tema Fiaças públicas, fote Miistério da Fazeda/SRF. 2 Asérie ReceitaTotalAdmiistradapelaSRF estudadaporsiqueira(2002) ão apreseta os mesmos valores da série que aqui utilizamos. Cotudo, como ambas se referem à mesma variável ecoômica, essas difereças ão prejudicam ossas comparações. cedo 120 pares de treiameto e seis pares de validação. Cada sessão de treiameto para a obteção de uma predição foi coduzida durate épocas utilizado o algoritmo back-propagatio com taxa de apredizadode0,009eiérciade0,95. Asetradasda rede foram ormalizados o itervalo [ 0.8, 0.8] para evitar a saturação dos seus eurôios. Foram utilizadas duas heurísticas de treiameto adicioais (Freitas et al., 2009): o elitismo visou preservar o melhor cojuto de pesos obtido em cada sessão de treiameto, coforme o seu erro RMSE (ver Eq. 6) calculado o cojuto de validação; e uma variação da validação cruzada ão-liear (Moody, 1994) visou absorver a iformação mais recete dispoível os dados através de um treiameto adicioal utilizado o cojuto de validação durate um pequeo úmero de épocas dez épocas o osso caso. Estes parâmetros de treiameto e pré-processameto foram determiados empiricamete de forma a balacear o compromisso etre a qualidade da covergêcia e o tempo computacioal gasto em cada sessão de treiameto. 3.3 Treiameto da RNP Estes preditores utilizaram RNP com 12 etradas, e o seu treiameto cotou com as mesmas jaelas temporais deslizates descritas a Seção 3.2, porém, particioadas de forma distita. As 12 predições para o ao de 2001 utilizaram 42 pares etrada-saída o cojuto de treiameto e, coseqüetemete, cotaram com 42 eurôios a camada de padrões, equato as 38 predições etre jaeiro de 2006 e fevereiro de 2009 utilizaram 114 pares e, coseqüetemete, 114 eurôios a camada de padrões. Nos dois casos foram utilizados 24 pares o cojuto de validação. Em cada sessão de treiameto, a determiação do σ da Eq. 1 foi obtida com o Algoritmo Geético (AG) proposto por Houck et al. (1995), utilizado os valores padrões dos seus parâmetros e o erro MAPE (ver Eq.5)docojutodevalidaçãocomofuçãodedesempeho. Todas as etradas da rede foram ormalizadas pela orma euclidiaa. Para obter o valor predito da arrecadação com a RNP da Fig. 2 ós empregamos o seguite procedimeto. Cada eurôio da camada de padrões é associado ao seu respectivo vetor auto-regressivo do cojuto de treiameto. Estes vetores cotém as observações,..., 12, 1,..., 13, e assim sucessivamete. Dada uma etrada A, o AG selecioa os N a eurôios com os maiores íveis de ativação da camada de padrões, que correspodem aos N a vetores autoregressivos do cojuto de treiameto que são mais similares a A. Assim, o valor predito da arrecadação futura é obtido somado-se ao seu valor atual o icremeto médio observado estes vetores auto-regressivos etre suas observações mais recetes o tempo e cada

4 respectiva observação subseqüete, coforme a Eq. 3:  t+1 = + 1 N a N a j=1 ( ) Awj,l+1 A wj,l, (3) odeâ t+1 éovalorpreditodaarrecadaçãoparaotempo t +1; é o valor da arrecadação o tempo t; N a é o úmero de eurôios ativos selecioados a camada de padrões;a wj,l éaobservaçãomaisreceteotempodo vetor auto-regressivo A wj do cojuto de treiameto e A wj,l+1 a sua observação subseqüete o tempo (por exemplo, sea wj,l = 3 etão A wj,l+1 = 2 ). 3.4 Métricas Nós avaliamos os desempehos dos preditores através do erro médio (mea error ME), do erro percetual absoluto médio (mea absolute percetage error MAPE), da raiz do erro quadrático médio (root mea squareerror RMSE)edaestatísticaUdeTheil(U), calculados como: ME = 1 MAPE = 1 1 RMSE = U = ( At  t ), (4)  t 100, (5) (  t ) 2, (6) 1 (Ât ) 2 ( At+1 ) 2, (7) ode é o úmero de predições realizadas, é a arrecadação observada o tempo t e  t é a sua predição, realizadaotempot 1. OME éutilizadoparaavaliar o viés (bias) do preditor, o MAPE é uma medida adimesioal para avaliar os erros relativos das predições, ormse éumamedidaquepealizaosgradeserrose ou comparaodesempehodopreditorcomopreditor igêuo (aïve predictor) (Makridakis et al., 1997). Para todas as métricas acima, o valor zero idica um preditor perfeito, e um U = 1 idica um desempeho igual ao do preditor igêuo. 4 Resultados A Tabela 1 mostra os resultados obtidos com os preditores apresetados a Seção 2 a partir dos métodos e métricas descritas a Seção 3. Na parte superior da tabela são mostrados os resultados das 12 predições mesais obtidas para o ao de Os resultados reportados por Siqueira (2002) são apresetados as lihas da tabela para o método dos idicadores (RFB) e para o modelo ARIMA. Na seqüêcia, são apresetados os resultados obtidos com os preditores baseados a Rede Tabela 1: Sumário dos resultados Previsão da Arrecadação Federal mesal: a ME RMSE MAPE U RFB 1261, ,20 8,48 0,81 ARIMA 1130, ,58 7,74 0,77 RNAR 45, ,27 6,79 0,63 RNP 408, ,44 7,87 0,77 Previsão da Arrecadação Federal mesal : a RNAR 54, ,32 7,82 0,65 RNP 1245, ,47 14,39 0,90 Neural Auto-regressiva(RNAR) e a Rede Neural Probabilística (RNP). Coforme mostrado a tabela, a RNAR superou os outros métodos em todas as métricas avaliadas. O RMSE de 1233, 27 apresetado pela RNAR foi 21% iferior aos1560,20dométododosidicadorese14%iferior aos 1433,58 do modelo ARIMA. A RNAR apresetou um MAPE de 6,79 que foi 20% iferior aos 8,48 do método dos idicadores e 12% iferior aos 7,74 do modelo ARIMA. O método dos idicadores e o modelo ARIMA apresetaram forte viés positivo a suas predições, alcaçado ME de 1261, 18 e 1130, 02, respectivamete, equato que a RNP apresetou viés egativo, com um ME de 408,50. A RNAR, por sua vez, apresetou um viés bastate iferior as suas predições, com um ME de 45, 70. A estatísticau de 0,63 obtida pela RNAR mostra que a sua capacidade preditiva foi superior aos demais métodos. A RNP obteve um U de 0,77, que foi igual ao do modelo ARIMA e um pouco superior aos 0,81 do método dos idicadores. Na parte iferior da Tabela 1 são apresetados os resultados das 38 predições mesais obtidas etre jaeiro de 2006 e fevereiro de 2009 para a RNAR e a RNP. O RMSE de 4719,32 da RNAR foi 27% iferior aos 6430,47 da RNP, e a RNAR apresetou um MAPE de 7,82 que foi 46% iferioraos 14,39 darnp. A RNP apresetou forte viés egativo a suas predições, com um ME de 1245,27, equato que o ME de 54,48 da RNAR foi bastate iferior. A estatísticau de 0,65 obtida pela RNAR mostra que a sua capacidade preditiva foi superior à da RNP, que seaproximou do preditor igêuo com umu de0,90. A Fig. 3 mostra o gráfico da série mesal da arrecadação federal (RECADM) etre jaeiro de 2000 e fevereiro de 2009 e das predições realizadas com os preditores eurais. Coforme mostrado a figura, as predições da RNAR foram mais precisas que aquelas da RNP, comportameto evideciado os resultados uméricos da Tabela 1. Cosiderado a difereça da cojutura ecoômica e-

5 Arrecadação federal em bilhões de R$ RECADM RNAR 2001 RNAR RNP 2001 RNP Figura 3: Previsão da Arrecadação Federal mesal. tre o ao de 2001 e o período de 2006 a 2009, fortemete acetuada pela crise ecoômica mudial deflagrada em setembro de 2008, e também cosiderado a difereça de escala da arrecadação federal mesal etre estes istates (R$ 18 bilhões em dezembro de 2001 e R$42bilhõesemdezembrode2008),opreditorRNAR coseguiu mater o mesmo perfil de desempeho as métricas ME, MAPE e U estas duas situações otadamete distitas. 5 Coclusão Neste trabalho, ós apresetamos dois métodos baseados em redes eurais artificiais para a previsão da arrecadação federal: a Rede Neural Auto-regressiva e a Rede Neural Probabilística. Estes preditores eurais foram empregados a predição da série histórica mesal da arrecadação federal, e seus desempehos foram comparados ao do método dos idicadores praticado pela Secretaria da Receita Federal do Brasil e ao do modelo ARIMA. Nossos resultados experimetais mostraram que a Rede Neural Auto-regressiva superou os demais métodos em todas as métricas avaliadas, alcaçado um RMSE 21% meor que o do método dos idicadores e 14% meor que o do modelo ARIMA proposto a literatura, exibido um baixo viés de predição e capacidade preditiva bastate superior à do preditor igêuo. Nossos trabalhos futuros icluem o emprego de métodos evolutivos a otimização da topologia e parâmetros de treiameto das redes eurais, icluido a determiação das defasages temporais (time lags) ótimas, e a utilização de combiação de preditores (pool of forecasts). Referêcias Amiia, F., Suarez, E., Amiia, M. ad Walz, D. (2006). Forecastig ecoomic data with eural etworks, Computatioal Ecoomics 28(1): Box, G. E. P. ad Jekis, G. M. (1970). Time Series Aalysis: Forecastig ad Cotrol, 1 ed, Holde-Day, Sa Fracisco. dos Satos, C. H., Ribeiro, M. B. ad Gobetti, S. W. (2008). A evolução da carga tributária bruta brasileira o período : Tamaho, composição e especificações ecoométricas agregadas, Techical report, IPEA, Brasília. IPEA Textopara Discussão o Freitas, F. D., De Souza, A. F. ad Almeida, A. R. (2009). Predictio-based portfolio optimizatio model usig eural etworks, Neurocomputig 72(10 12): Hayki, S. (1999). Neural Networks: A Comprehesive Foudatio, 2 ed, Pretice-Hall, Ic. Houck, C. R., Joies, J. A. ad Kay, M. G. (1995). A geetic algorithm for fuctio optimizatio: A matlab implemetatio, Techical Report NCSU-IE-TR-95-09, North Carolia State Uiversity, Raleigh, NC. Kohzadi, N., Boyd, M. S., Kermashahi, B. ad Kaastra, I. (1996). A compariso of artificial eural etwork ad time series models for forecastig commodity prices, Neurocomputig 10(2): Fiacial Applicatios,Part I. Makridakis, S. G., Wheelwright, S. C. ad Hydma, R. J. (1997). Forecastig: Methods ad Applicatios, 3 ed, Joh Willey & Sos. Melo, B. S. V. (2001). Modelo de previsão para arrecadação tributária, VI Prêmio Tesouro Nacioal 2001, Brasília. Moody, J. (1994). Predictio risk ad architecture selectio for eural etworks, i V. Cherkassky, J. H. Friedma ad H. Wechsler(eds), From Statistics to Neural Networks: Theory ad Patter Recogitio Applicatios, Spriger, NATO ASI Series F. Siqueira, M. L. (2002). Melhorado a previsão da arrecadação tributária federal através da utilização de modelos de séries temporais, VII Prêmio Tesouro Nacioal 2002, Brasília. Specht, D. (1990). Probabilistic eural etworks, Elsevier Sciece Ltdvol. 3(issue1):