INSTITUTO FEDERAL DE B RASILIA 6ª Lis ta. Nome: DATA: 31/10/2016 1) Resolva as inequações abaixo (com x ), justificando sua resposta.

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1 INSTITUTO FEDERAL DE B RASILIA 6ª Lis ta FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Nome: DATA: 31/10/016 1) Resolva as inequações abaixo (com x ), justificando sua resposta. a) x 5 b) x 5 c) x 5 d) x 5 ) A demanda de um produto químico no mercado é de D toneladas quando o preço por tonelada é igual a p (em milhares de reais). Neste preço, o fabricante desse produto oferece F toneladas ao mercado. Estudos econômicos do setor químico indicam que D e F variam em função de p, de acordo com as seguintes funções: 3p 1p 5p 10 D(p) e F(p) 4 p 3 Admitindo-se p 1 e sabendo que , determine o valor de p para o qual a oferta é igual à demanda desse produto. Em seguida, e ainda admitindo-se p 1, determine o intervalo real de variação de p para o qual a demanda D(p) do produto é positiva. x 4x 3 3) A desigualdade 0 se verifica para x 7x 10 todos os números reais x tais que a) 1 x ou 3 x ou x 5. b) x 1ou x 3 ou x 5. c) 1 x ou 3 x 5. d) x 1ou x 5. e) 1 x 3 ou x 5. 4) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da inequação x 5x 3 1 é o intervalo a) ], 3[ b), 7 3 c), 7 d) ] 3, [ 5) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% 1 foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do públicoalvo. Proposta III: vacinação de 88,% do públicoalvo. Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do públicoalvo. Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas. A proposta implementada foi a de número a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 6) Um supermercado vende dois tipos de sabão líquido para lavagem de roupas: o sabão C, mais concentrado, e o sabão D, mais diluído. Para cada lavagem de roupas com o sabão C, Sofia gasta 30 m do produto; usando o sabão D, ela gasta 100 m. O sabão C é vendido apenas em vasilhames de 600 m, custando 1 reais cada vasilhame. O sabão D é vendido apenas em vasilhames de 3 litros, custando 4 reais cada vasilhame. Na compra de n vasilhames do sabão D, o supermercado dá um desconto de 3n% no preço de cada vasilhame desse sabão, quando 1n 10. Quando n 10, esse desconto é de 30%. Sofia resolve comprar n vasilhames do sabão D. Calcule

2 a) quantos centavos de reais Sofia gastaria com o sabão C em cada lavagem de roupas, se o comprasse; b) o valor mínimo de n para que Sofia gaste menos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas; c) o número máximo de vasilhames do sabão D que Sofia pode comprar com 18 reais. 7) Uma função consiste na associação de dois conjuntos A e B de números reais, por meio de uma lei f. O subconjunto dos elementos de A que corresponde a um, e somente um, elemento de B é denominado domínio da função D(f). Considerando que a expressão f(x) (x 8)(x x 6) x x 3 é uma função, determine o domínio de f(x). a) D {x x 1;x e x 3} b) D {x x 1;x e x 3} c) D {x x 1;x e x 3} d) D {x x 1;x e x 3} e) D {x x 1;x e x 3} 8) A empresa Alpha dedica-se exclusivamente à digitalização de documentos. Um funcionário leva 4 horas para digitalizar um documento, a empresa opera durante 50 dias por ano e não há estoque de documentos antigos para digitalizar. Em 014, os funcionários têm uma jornada de trabalho de 8 horas diárias, mas têm exatamente horas de ociosidade por dia. Em relação a 014, o número de novos documentos que chegam para serem digitalizados aumentará por ano nos próximos três anos. Sem novas contratações, em 017, os funcionários precisarão trabalhar 8 horas por dia sem qualquer tempo ocioso para conseguir processar toda a demanda de 017. a) Qual é o número atual de funcionários da empresa? b) Quantos documentos deverão ser digitalizados em 015? c) Representando o ano de 014 como x 0, 015 como x 1, 016 como x, e assim por diante, é possível expressar Y (demanda da empresa, em número de documentos para digitalização) em função de x, para o período de 014 a 017, como Y(x) a bx. Nesta expressão, a representa o número de documentos digitalizados em 014. Determine o valor de b. 9) De acordo com Agilar e Fioreze (011), o modelo que melhor representa a concentração de álcool para indivíduos do sexo masculino que ingerem uma lata de cerveja por hora, durante 5 horas, é: C(t) 0,0 0,007 (t 1), para 1 t 5 C(t) 0,050 0,016 (t 5), para 5 t 8,15) t tempo decorrido após a ingestão da primeira lata de cerveja. Suponha que um indivíduo tenha chegado à Oktoberfest às 0 horas, permanecido na festa por 5 horas e que tenha bebido uma cerveja por hora. Sabendo-se que a Lei Seca não permite que o indivíduo apresente um valor positivo de concentração de álcool ao dirigir, é CORRETO afirmar que esse motorista poderá começar a dirigir novamente a) antes das 4h do dia seguinte. b) somente depois das 8h15min e 30s do dia seguinte. c) às 4h1min e 5s do dia seguinte. d) somente depois das 6h do dia seguinte. 10) Na função f(x) mx (m n), m e n. Sabendo que f(3) 4 e f(), os valores de m e n são, respectivamente a) 1 e 1 b) e 3 c) 6 e 1 d) 6 e 3 11) Everton criou uma escala E de temperatura, com base na temperatura máxima e mínima de sua cidade durante determinado período. A correspondência entre a escala E e a escala Celsius (C) é a seguinte: E C Em que temperatura, aproximadamente, ocorre a solidificação da água na escala E? a) 16 E b) 3 E c) 38 E d) 51 E e) 58 E 1) A função f(x) que representa o gráfico a

3 seguir, onde k é uma constante não nula, é dada por: k x, se 0 x a) f(x) k, se x 5 k, se 0 x b) f(x) 3k, se x 5 k, se 0 x c) f(x) kx, se x 5 kx, se 0 x d) f(x) k, se x 5 k x, se 0 x e) f(x) k, se x 5 13) A função f: satisfaz as condições: f(1) e f(x 1) f(x) 1 para todo número real x. Os valores f(14), f(36), f(10) formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é a) 1,5. b),0. c),5. d) 3,0. 14) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela companhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de água consumida (em m 3 ) Até 10 Mais do que 10 Valor a ser pago pelo consumo de água (em reais) R$18,00 R$18,00 + (R$,00 por m 3 que excede 10 m 3 ) Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por 17 se x 10 Bx, em que x representa,1x 4 se x 10 a quantidade de água consumida (em m 3 ) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a) Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A. b) Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A? 15) Em 1º de junho de 009, João usou R$ ,00 para comprar cotas de um fundo de investimento, pagando R$ 1,50 por cota. Três anos depois, João vendeu a totalidade de suas cotas, à taxa de R$,10 cada uma. Um apartamento que valia R$ ,00 em 1º de junho de 009 valorizou-se 90% nesse mesmo período de três anos. (Nota: a informação de que a valorização do apartamento foi de 90% nesse período de três anos deve ser usada para responder a todos os itens a seguir). a) Se, ao invés de adquirir as cotas do fundo de investimento, João tivesse investido seu dinheiro no apartamento, quanto a mais teria ganhado, em R$, no período? b) Para que, nesse período de três anos, o ganho de João tivesse sido R$ 0.000,00 maior com o fundo de investimento, na comparação com o apartamento, por quanto cada cota deveria ter sido vendida em 1º de junho de 01? c) Supondo que o regime de capitalização do fundo de investimento seja o de juros simples, quanto deveria ter sido a taxa de juros simples, ao ano, para que a rentabilidade do fundo de investimento se igualasse à do apartamento, ao final do período de três anos? Apresente uma função que relacione o valor total das cotas de João (Y) com o tempo t, em anos. 16) Em um triângulo equilátero de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um retângulo de modo que um de seus lados fique sobre um dos lados do triângulo. Observe a figura: Admitindo que o retângulo possui a maior área possível, determine, em centímetros, as medidas x e y de seus lados. 3

4 17) Em uma brincadeira, uma bola é arremessada para o alto, e sua altura em relação ao solo, em função do tempo, é dada pela fórmula 1 h(t) (t ) 5, com h em metros e t em segundos. A seguir temos o gráfico de h em função de t. Dessa forma, determine a altura máxima atingida pela bola, e em que instante (tempo) isso acontece. 18) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo. a) Para 0 t 4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x, definida para todo número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r. 19) Um modelo matemático para a propagação de um vírus em uma população isolada de N indivíduos considera que o número aproximado de novos contágios pelo vírus em uma dada semana é proporcional ao número de pessoas já portadoras do vírus na semana anterior e também ao número de pessoas ainda não infectadas, de forma que, denotando-se por p s o número de portadores do vírus na semana s, tem-se p p α p N p s s1 s1 s1 onde considera-se uma aproximação para o número inteiro mais próximo e α é um parâmetro constante. Aplicando-se este modelo à população de uma ilha com 1000 habitantes, considere que, na nona semana de observação, o número de portadores do vírus é 30 e, na décima semana, este número sobe para 405. a) Baseando-se apenas nestes dados e considerando-se o valor do parâmetro α que melhor se ajusta a eles, determine se α é menor ou maior que 0,001. b) Aproximando-se o valor de α para 1/1000, determine em qual semana ocorre o aumento mais expressivo no número de pessoas infectadas pelo vírus. 0) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x 70y x y exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. 4

5 a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total? 1) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação x 11 y x e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo. 3) Em um experimento de laboratório, ao disparar um cronômetro no instante t 0 s, registra-se que o volume de água de um tanque é de 60 litros. Com a passagem do tempo, identificou-se que o volume V de água no tanque (em litros) em função do tempo t decorrido (em segundos) é dado por V t at bt c, com a, b e c reais e a 0. No instante 0 segundos registrou-se que o volume de água no tanque era de 50 litros, quando o experimento foi encerrado. Se o experimento continuasse mais 4 segundos, o volume de água do tanque voltaria ao mesmo nível do início. O experimento em questão permitiu a montagem do gráfico indicado. Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. ) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados sa t t, t 3t 10 sb t t, t 9, respectivamente. Sabendo que os robôs começam a se mover em t 0, a) DETERMINE o instante t em que o robô A se chocará com o robô B. b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja e posição é dada por sc t t, kt 11, em que k é um número real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A. a) Calcule o tempo decorrido do início do experimento até que o tanque atingisse seu menor volume de água. b) Calcule o volume mínimo de água que o tanque atingiu nesse experimento. 5

6 GABARITO Resposta da questão 1: a) S {x x 5 }. b) S {x x 3}. c) S {x x 7}. d) S {x x 47}. Resposta da questão 17: 5 metros Resposta da questão 18: t a) A(t) (t 4). 4 Resposta da questão : p 7 Resposta da questão 3: [B] Resposta da questão 4: [B] Resposta da questão 5: [A] Resposta da questão 6: 30 a) 1 R$ 0,60, 600 b) 9. c) n 6. Resposta da questão 7: [A] Resposta da questão 8: a) 40 funcionários. b) c) b Resposta da questão 9: [C] Resposta da questão 10: [C] Resposta da questão 11: [D] Resposta da questão 1: [A] Resposta da questão 13: [D] b) k. Resposta da questão 19: 1 a) α 101 b) décima primeira semana. Resposta da questão 0: a) R$ 66,00 b) 5445 Resposta da questão 1: a) -1 b) C (8, 0). c) 5 Resposta da questão : 1 5 a) t. b) 1. Resposta da questão 3: a) 1 segundos b) 4 litros Resposta da questão 14: 18 para x 0 a) A(x) 18 (x 10), para x > 10 b) x 0 Resposta da questão 15: a) b) R$ 3,05 c) Y t. Resposta da questão 16: 3 y e x 1. 6