Lista de exercícios: Funções de 2º Grau Problemas Gerais Prof.º Fernandinho. Questões:

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1 Lista de exercícios: Funções de 2º Grau Problemas Gerais Prof.º Fernandinho Questões: 01.(UNESP) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas 1,5 9,4 e 3, , onde t indica o tempo em semanas, t 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era de 35,6 cm. 02.(GV) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características: - O vértice é o ponto (4, - 1). - Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). Qual é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas? 03.(UNESP) Qual é a expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado abaixo? 04.(GV) O comprimento do segmento determinado pelos pontos de intersecção das parábolas de equações 8 3 e é: a) 2 37 b) 3 41 c) 3,5 43 d) 2,5 39 e) (ESPM) Se 3 e 0, o valor de é igual a: a) 1 b) 3 c) 6 d) 2 e) 4 06.(UNICAMP) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja, a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. a) Determine os valores de a, b e c. b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.

2 07.(ESPM) Estima-se que a distância D, em metros, percorrida por um automóvel desde o momento em que seus freios são acionados até a parada definitiva é dada pela função, para velocidades V em km/h. De acordo com essa função, um automóvel que freia a 60 km/h vai parar após ter percorrido uma distância de: a) 45 m b) 57 m c) 32 m d) 50 m e) 63 m 08.(UNICAMP) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando, além de outros gases e resíduos poluentes. a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de a cada litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de ele emitiu em uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b) A quantidade de produzida por quilometro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de, em g/km, com relação à velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por uma função do segundo grau. Determine essa função com base nos dados da tabela abaixo. 09.(UNICAMP) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha de gol, a bola estava a 3m do chão, qual foi a altura máxima por ela alcançada? 10.(UNESP) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água. a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por 6 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.

3 11.(GV) A área de um segmento parabólico, sombreado na figura a seguir, pode ser calculada por meio da fórmula:.., sendo V o vértice da parábola. Sendo b um número real positivo, a parábola de equação 0,5, determina, com o eixo x do plano cartesiano, um segmento parabólico de área igual a 18. Sendo assim, b é igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 12.(FUVEST) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) (UNICAMP) Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas 2 2 e 2 3. Determine os possíveis valores inteiros de a para que as parábolas não se interceptam. 14.(ESPM) A parábola da figura abaixo representa o gráfico da função 3 4. O valor da área do retângulo sombreado é: a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

4 15.(GV) Seja :, tal que, com b sendo uma constante real positiva. Sabendo que a abscissa do ponto de mínimo do gráfico dessa função é igual a ordenada desse ponto, então, b é igual a: a) 5,5 b) 5 c) 4,5 d) 4 e) 3,5 16. (PUC) A figura indica um bombeiro lançando um jato de água para apagar o fogo em um ponto de uma torre retilínea e perpendicular ao chão. A trajetória do jato de água é parabólica, e dada pela função 2 3, com x e y em metros. Sabendo que o ponto de fogo atingido pelo jato de água está a 2 metros do chão, então, p q, em metros, é igual a: a) 2 2 b) 1 2 c) d) 3 2 e) (UNICAMP) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 18.(PUC) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação na figura abaixo. 3 e dois vértices no eixo x, como Sabendo que D = (3, 0), responda o que se pede: a) Determine as coordenadas do ponto A. b) Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD. 19.(GV) Segundo um analista de mercado, nos últimos 7 anos, o preço médio dos imóveis por metro quadrado (em R$100) pode ser representado pela equação ç (em que t representa o tempo, em anos, variando de t = 3 em 2004 a t = 3 em 2010). De acordo com o analista, houve uma crise no mercado imobiliário nesse período, em um ano em que o preço dos imóveis por metro quadrado atingiu o valor Máximo, decaindo no ano seguinte. Em que ano ocorreu a referida crise?

5 20.(GV) Quando o preço do ingresso para uma peça de teatro é p reais, o número de pessoas que comparecem, por apresentação, é x. Sabe-se que p relaciona-se com x mediante a equação p = 800 4x. Nessas condições, qual é a receita máxima que se pode obter, por apresentação? 21.(ESPM) Um comerciante avaliou que, para uma certa mercadoria, o número de unidades vendidas diariamente podia ser calculado pela expressão 100 2, onde x é o preço de venda por unidade. Sabendo-se que cada unidade teve um custo de 10 reais, o preço de venda (x) que garante o maior lucro para ele é: a) 28 reais b) 40 reais c) 30 reais d) 32 reais e) 36 reais 22.(ESPCEX) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. a) 150 b) 250 c) 350 d) 450 e) (FAMERP) Em um estudo controlado de uma nova medicação contra dor, pesquisadores acompanharam um grupo de pessoas submetidas à administração desse medicamento durante alguns dias. A cada novo dia de tratamento, as pessoas tinham que atribuir um número inteiro, de 1 a 10, para o nível de dor que sentiam (1 significando dor desprezível e 10 significando dor insuportável ). A tabela indica a média dos resultados da pesquisa nos primeiros dias, já sugerindo uma modelagem matemática para o estudo. Supondo que nenhum outro fator intervenha no estudo e utilizando a modelagem matemática sugerida, o menor nível médio de dor do grupo foi dado no: a) 18º dia b) 16º dia c) 15º dia d) 20º dia e) 22º dia 24.(GV) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a R$28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 2x cartuchos por mês. a) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho. b) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro. c) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho? d) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro? 25.(GV) Num parque de diversões A, quando o preço do ingresso é R$10,00, verifica-se que 200 frequentadores comparecem por dia e, quando o preço é de R$15,00, comparecem 180 frequentadores por dia. a) Admitindo que o preço (y) relaciona-se com o número de frequentadores por dia (x) através de uma função de primeiro grau, obtenha essa função. b) Num outro parque B, a relação entre y e x é dada por 80 0,4. Qual é o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária?

6 26.(GV) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 200,00, comparecem 120 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? 27.(UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é de R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem é dada pela função , onde x indica o número de lugares vagos (0 x 40). Determine: a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo. b) o faturamento máximo obtido em cada viagem. 28.(UNICAMP) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg? b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? 29.(GV) Uma livraria pode obter da editora o livro Fauna do Pantanal, edição de bolso, por R$ 30,00 cada exemplar, e estima que, se vender o livro por x reais o exemplar, aproximadamente 10.(36 x) exemplares serão vendidos por semana. a) Expresse o lucro semanal da livraria com a venda da edição de bolso em termos de seu preço. b) Que preço a livraria deve cobrar por livro para obter o maior lucro semanal possível? c) Qual é o valor do lucro máximo por semana? 30.(GV) Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de primeira qualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende uma quantidade n = 400 5p quilogramas nesse dia (20 p 60 ). No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos é conhecida, e o gerente paga ao fornecedor a quantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma vendido. a) Determine o lucro que o gerente obtém quando anuncia o preço de R$ 32,00 por quilograma. b) Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo. 31.(GV) A quantidade mensalmente vendida x, em toneladas, de certo produto, relaciona-se com seu preço por tonelada p, em reais, através da equação ,5. O custo de produção mensal em reais desse produto é função da quantidade em toneladas produzidas x, mediante a relação O preço p que deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal é: a) 1400 b) 1550 c) 1600 d) 1450 e) (IBMEC) Uma companhia aérea começa a vender bilhetes para os voos de um dia específico com antecedência de um ano. O preço, em reais, que ela cobra por um determinado trecho vai aumentando conforme se aproxima a data do voo, de acordo com a lei , em que t é o tempo, em dias, que falta para a respectiva data. Considere que a quantidade vendida q em cada um desses dias varia em função do preço e do tempo t, segundo a expressão 0, O valor arrecadado por essa companhia no dia em que a quantidade vendida é máxima é igual a: a) R$ 30000,00 b) R$ 40000,00 c) R$ 50000,00 d) R$ 60000,00 e) R$ 70000,00

7 33.(PUC) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a: a) 100 b) 125 c) 150 d) 175 e) (UNESP) O gráfico da parábola dada pela função indica, para uma determinada população de insetos, a relação entre a população total atual (x) e a população total no ano seguinte, que seria. Por exemplo, se a população atual de insetos é de 1 milhão (x = 1), no ano seguinte será de 2,925 milhões, já que 1 2,925. Dizemos que uma população de insetos está em tamanho sustentável quando a população total do ano seguinte é maior ou igual a população total atual, o que pode ser identificado graficamente com o auxílio da reta. a) Determine a população total atual de insetos para a qual, no ano seguinte, ela será igual a zero (adote 22 4,7). b) Determine aproximadamente a população total atual para qual a sustentabilidade é máxima, ou seja, o valor de x para o qual a diferença entre a população do ano seguinte e do ano atual, nessa ordem, é a maior possível. 35.(GV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê? Resolução 36.(GV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item a, quantos exemplares a editora estima vender no total?

8 Gabarito: g 02. (0, 15) ,1 04. A 05. C , ,6 07. B metros B 12. D 14. B 15. B 16. E ±2 1, , 1 8,0 Á R$ 40000, C 22. D 23. D / 28< <100 $ 64,00 $ 2592, ,25 60 $ 4000, R$ 250, $ 900, $ 18, $ 17, $ 33,00 $ 90, $ 5080,00 $ 45, A B ,4 õ 1,3 õ 35. $ 65,00 ã 36. $ 66,00 ã $ 33,