Funções. Parte I. Página 1

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1 Funções Parte I 1. (Uerj 01) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 1 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é Determine o tempo x 0, em horas, indicado no gráfico.. (Unicamp 013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 5, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 1 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 3,8 cm 7,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) = 5(x 0) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo que a numeração dos calçados n k forma uma progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n 1 = 5, em que n k = f (c k ), com k natural, calcule o comprimento c (Insper 013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. c) Página 1

2 . (Ufsm 013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 01, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em < Acesso em: 7 jun. 01. (adaptado) O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 010 e a expectativa/projeção para 01 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a sete milhões, sessenta mil e seiscentos. sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 5. (Ucs 01) O custo total, por mês, de um serviço de fotocópia, com cópias do tipo A, consiste de um custo fixo acrescido de um custo variável. O custo variável depende, de forma diretamente proporcional, da quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que esse serviço fez cópias do tipo A, seu custo total com essas cópias foi de reais, enquanto em um mês em que fez cópias o custo total foi de reais. Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por página do tipo A que reproduz, supondo que ele seja o mesmo nos dois meses mencionados? 0,06 0,10 c) 0,05 0,08 0,1 6. (Enem 01) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: Q O = 0 + P Q D = 6 P em que Q O é quantidade de oferta, Q D é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando Q O e Q D se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 5 11 c) (Pucmg 007) Uma pessoa encontra-se no aeroporto (ponto A) e pretende ir para sua casa (ponto C), distante 0 km do aeroporto, utilizando um táxi cujo valor da corrida, em reais, é calculado pela expressão V(x) = 1 + 1,5 x, em que x é o número de quilômetros percorridos. Se B = 90, C = 30 e o táxi fizer o percurso AB + BC, conforme indicado na figura, essa pessoa deverá pagar pela corrida: R$ 0,50 R$ 8,00 c) R$ 5,50 R$ 56,00 Parte II 1. (Espcex (Aman) 01) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x 0x 0. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a Página

3 lotes. 5 lotes. c) 6 lotes. 7 lotes. 8 lotes.. (Fgv 013) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x+ 70y ( x + y ) exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? Nas condições do item (, quantos exemplares a editora estima vender no total? Considerando o custo de R$,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao proprietário é: R$ 5,00 R$ 5,5 c) R$ 5,50 R$ 5,75 R$ 6,00 5. (Insper 013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. 3. (Pucrj 013) O retângulo ABCD tem dois vértices na x 11 parábola de equação y= x+ 3 e dois vértices no 6 6 eixo x, como na figura abaixo. O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede. Determine as coordenadas do ponto A. Determine as coordenadas do ponto C. c) Calcule a área do retângulo ABCD.. (Ibmecrj 013) Uma lanchonete vende, em média, 00 sanduíches por noite ao preço de R$6,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$0,10 que diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 0 sanduíches. Página 3

4 c) c) f(x) = x + 6x+ f(x) = x 6x+ f(x) = x + 6x f(x) = x + 6x+ f(x) = x + 6x 9. (Ufsj 013) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola, conforme a figura a seguir. 6. (Ibmecrj 013) O gráfico da função quadrática definida por ( ) f x = x + 5x+ 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é 7/8 7/16 c) 7/3 7/6 7/18 7. (Ufpr 013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 0 t t, sendo que 0 t 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) N. = + Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 300 milhares de reais? 8. (Mackenzie 013) A função quadrática f, de R em R, representada graficamente, com raízes reais x 1 e x, tais que log0,6 = x1 e log0,6 = x é definida por: 1,5 5 3 Nessa trajetória, a altura máxima, em metros, atingida pelo corpo foi de 0,5m. 0,6m. c) 0,58m. 0,6m. 10. (Fgv 013) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 00,00, comparecem 10 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? R$ 0,00 R$ 30,00 c) R$ 0,00 R$ 50,00 R$ 60,00 Página

5 11. (Enem 013) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê? 13. (Enem 013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a t expressão T(t) = + 00, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? 19,0 19,8 c) 0,0 38,0 39,0 A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano 3 da figura, é dada pela lei f(x) = x 6x+ C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é 1.. c) (Fgv 013) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 01. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Preço de venda Quantidade vendida R$ 100,00 30 R$ 90,00 0 R$ 85,00 5 R$ 80,00 50 Parte III 1. (Insper 01) Um leitor enviou a uma revista a seguinte análise de um livro recém-lançado, de 00 páginas: O livro é eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada página terminada, mais rápido eu lia a próxima! Não conseguia parar! Dentre os gráficos apresentados abaixo, o único que poderia representar o número de páginas lidas pelo leitor (N) em função do tempo (t) de modo a refletir corretamente a análise feita é Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y a x b, = + em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? Página 5

6 c) c) 3. (Unicamp 01) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.. (Ufpr 01) Suponha que um líquido seja despejado, a uma vazão constante, em um recipiente cujo formato está indicado na figura abaixo. Sabendo que inicialmente o recipiente estava vazio, qual dos gráficos abaixo melhor descreve a altura h, do nível do líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado no recipiente? O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a c). 1.. (Ufpr 013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 0 t t, sendo que 0 t 10. Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por C(N) N. = + Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora. Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 300 milhares de reais? Página 6

7 5. (Ufrgs 013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f( x) = x e g( x) = 1 x, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é 0,15. 0,5. c) 0, (Enem 013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100g, três de 00g e uma de 350g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios: 6. (Ufrgs 013) Se é o gráfico da função f definida por y= f( x ), então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, definida por z= f( x ), é O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de 8,35. 1,50. c) 1,0. 15,35. 18,05. Parte IV: como cai na UFJF 1. (Ufjf 01) Uma construtora, para construir o novo prédio da biblioteca de uma universidade, cobra um valor fixo para iniciar as obras e mais um valor, que aumenta de acordo com o passar dos meses da obra. O gráfico abaixo descreve o custo da obra, em milhões de reais, em função do número de meses utilizados para a construção da obra. c) Obtenha a lei y = f( x ), para x 0, que determina o gráfico. Página 7

8 Determine o valor inicial cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca. c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a construção demorou 10 meses para ser finalizada?. (Ufjf 011) Seja f: R R uma função dada por f(x) =µ x + 10x+ 5, onde µ 0. Sabendo que f(x) > 0 para todo x R, é correto afirmar que µ pertence ao intervalo: 0, + ] [ ] 5, + [ c) ] 0,10 [ ], 0[ ], 0[ ] 0, + [ 3. (Ufjf 007) Considere a função f : IR IR, f (x) = - x + bx - 6, onde b IR. Para quais valores de b IR a função f admite pelo menos uma raiz real? Na figura a seguir está representada uma parábola, na qual A, B e C são os pontos de interseção da mesma com os eixos coordenados. Sabendo-se que a área do triângulo ABC, hachurado, é de 6 unidades, determine o único valor de b, para que a função f tenha como gráfico esta parábola.. (Ufjf 007) Seja f : IR IR, dada por f(x) = ax - 8 e tal que f (f(1)) >1. O menor valor inteiro positivo possível para a é: um número impar. um número primo. c) um múltiplo de 3. um múltiplo de 5. um múltiplo de (Ufjf 006) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por: f(t) = - 10t + 0t Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando? c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? 7. (Ufjf 003) Um ônibus de 5 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é: 16.. c) (Ufjf 00) Considere uma função f: IR IR dada pela expressão f(x) = -x + bx + c, onde b e c são reais, e cujo gráfico tem eixo de simetria na reta x=1 e módulo da diferença entre as raízes igual a. Um esboço que pode representar o gráfico de tal função é: 5. (Ufjf 007) Abaixo, encontram-se representados os gráficos das funções f : IR IR e g : IR IR. Sabendo que f possui inversa f -1 : IR IR, o valor de f o g o f -1 () é: c) (Ufjf 00) Para desencorajar o consumo excessivo de água, o Departamento de Água de certo município aumentou o preço deste líquido. O valor mensal pago em reais por uma residência, em função da quantidade de metros cúbicos consumida, é uma função cujo gráfico é a poligonal representada a seguir. Página 8

9 De acordo com o gráfico, quanto ao pagamento relativo ao consumo mensal de água de uma residência, é CORRETO afirmar que se o consumo: for nulo, a residência estará isenta do pagamento. for igual a 5 m 3, o valor pago será menor do que se o consumo for igual a 10 m 3. c) for igual a 0 m 3, o valor pago será o dobro do que se o consumo for igual a 10 m 3. exceder 5 m 3, o valor pago será R$ 16,70 acrescido de R$ 3,60 por m 3 excedente. for igual a m 3, o valor pago será R$ 15,00. Página 9