Matemática I - Capítulo 07 Função Polinomial do 1 Grau

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1 Nome: Nº Curso: Controle Ambiental Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /2016 Matemática I - Capítulo 07 Função Polinomial do 1 Grau Função Constante Denominamos função constante toda função polinomial cuja lei é do tipo f(x) = k, onde k R. Para qualquer valor de x, a imagem da função f(x) = k será sempre k. D = R e Im = {k} O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas Função polinomial do 1º grau Chamamos de função polinomial do primeiro grau, ou função afim, toda função cuja representação matemática é um polinômio de grau 1. Genericamente, uma função de 1º grau está representada na forma: f(x) = ax + b, com a, b R e a 0 A condição a 0 deve-se ao fato de que se a for igual a zero temos uma função constante. Os números representados por a e b são chamados coeficientes, enquanto x é a variável independente. Veja alguns exemplos de funções desse tipo: f(x) = x + 1 a = 1 e b = 1 f(x)= -5x + 23 a = -5 e b = 23 f(x) = 9x a = 9 e b = 0 Observações: Quando a função polinomial do 1º grau tem o coeficiente b igual a 0, ou seja, f(x) = ax, ela é chamada de função linear. Se uma função linear tem o coeficiente a igual a 1, ou seja, f(x) = x, ela é chamada de função identidade. Exercícios de Fixação Funções Geral 01. (Pucpr 2015) Seja a uma função afim f(x), cuja forma é f(x) ax b, com a e b números reais. Se f( 3) 3 e f(3) 1, os valores de a e b, são respectivamente: a) 2 e 9 b) 1 e 4 c) 1 3 e 3 5 d) 2 e 7 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 2 e) e (Espm 2014) A função f(x) ax b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) 2b e f(b) 2a. O valor de f(3) é: a) 2 b) 4 c) 2 d) 0 e) (Uepb 2013) Uma função f definida de R em R satisfaz à condição f(5x) 5f(x) para todo x real. Se f(25) 125, f(1) é: a) 6 b) 1 c) 25 d) 5 e) 4 GABARITO 01 E 02 C 03 D Elementos da Função Polinomial do 1 Grau Zero ou raiz da função Para descobrirmos o ponto em que a reta intercepta o eixo x, basta calcularmos o número real x tal que f(x) = 0. Esse número é chamado de zero ou raiz da função polinomial do 1º grau Coeficiente linear Para descobrirmos o ponto em que a reta intercepta o eixo y, basta calcularmos o valor de f(0), observe: f(x) = ax + b f(0) = a.0 + b f(0) = b A ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y sempre será o coeficiente b. Em razão disso, este coeficiente chama-se coeficiente linear Coeficiente angular O coeficiente a é denominado coeficiente angular. Se a > 0 a função é crescente, se a < 0 a função é decrescente. Exercícios de Fixação Funções Geral Lei de Formação 01. (Enem 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. Número de bolas (x) Nível da água (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm Disponível em: Acesso em: 13 jan (adaptado). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 2

3 Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2. c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. e) y = 0,07x (Pucrs 2007) Responder à questão com base na tabela a seguir, que apresenta dados sobre as funções g, h, k, m e f. A função cujo gráfico está sobre uma mesma reta é a) g b) h c) k d) m e) f 03. (G1 - cftmg 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa na superfície, em g/m 2, conforme registrado na tabela seguinte. x(g/m 2 ) t(x) ( C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função a) y = 0,006x + 7,18. b) y = 0,06x + 7,18. c) y = 10x + 0,06. d) y = 10x + 7,14. GABARITO 01 E 02 C 03 A IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 7.4 - Gráfico de uma função polinomial do 1º grau Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1º grau, atribuímos valores do domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens. Exemplo Construa o gráfico da função real f dada por f(x) = 2x + 1: Resolução x y (x, y) -2 y = 2.(-2)+1 = -3 (-2, -3) -1 y = 2.(-1)+1 = -1 (-1, -1) 0 y = = 1 (0, 1) 1 y = = 3 (1, 3) 2 y = = 5 (2, 5) Como você pode perceber nos exemplos, o gráfico de cada uma destas funções é uma reta. A representação no plano cartesiano de qualquer função polinomial do 1º grau é uma reta. Sendo assim, conhecendo dois quaisquer dos pontos dessa reta podemos traçá-la. Exercícios de Fixação - Gráficos 01. (Ueg 2015) Considere o gráfico a seguir de uma função real afim f(x). A função afim a) b) c) d) f(x) 4x 1 f(x) f(x) 0,25 x 1 f(x) 4x 4 f(x) 0,25 x 3 é dada por 02. (Unicamp 2016) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 03. (Enem 2014) No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular.uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico. Essa pessoa pretende gastar exatamente R$30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A b) B c) C d) D e) E 04. (Fgv 2012) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? a) 1740 b) 1750 c) 1760 d) 1770 e) 1780 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 05. (Ufsm 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em < Acesso em: 7 jun (adaptado) O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 06. (Espcex (Aman) 2012) Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função real g(x), g x f x 1 1. definida por O valor de a) 3 b) 2 c) 0 d) 2 e) 3 1 g 2 é GABARITO 01 B 03 C 05 B 02 B 04 B 06 D IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6

7 7.5 - Proporcionalidade na Função Linear Analisemos o gráfico da função y = -2x, onde destacamos os pontos (-1, 2), (-2, 4), (-3, 6) e (- 7 / 2, 7): Como vimos na página sobre grandezas proporcionais, "duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza igualmente aumenta o mesmo número de vezes. Quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui". Tendo isto em mente vamos analisar os pontos (-1, 2) e (-2, 4) pertencentes a função. Observe que se multiplicarmos tanto a abscissa -1 do primeiro ponto, quanto a sua ordenada 2 pelo mesmo valor 2, iremos obter exatamente o ponto (-2, 4). Se tomarmos os pontos (-1, 2) e (- 7 / 2, 7) e realizarmos os mesmos procedimentos, só que agora multiplicando por 3,5, novamente iremos obter o segundo ponto. O mesmo ocorrerá se pegarmos, por exemplo, os pontos (-2, 4) e (-3, 6), onde a razão entras as abscissas é igual a razão das ordenadas: Note que temos uma proporção. Isto ocorre pois dado um ponto qualquer (x, y) pertencente a função, se multiplicarmos x e y por uma mesma constante k, iremos encontrar o ponto (kx, ky) que também pertence à função. Quando aumentamos ou diminuímos x um número de k vezes, o valor de y será igualmente aumentado ou diminuído este mesmo número de vezes, portanto k é a constante de proporcionalidade. Exercícios de Fixação Proporcionalidade na Função Linear 01. (Upe-ssa ) Everton criou uma escala E de temperatura, com base na temperatura máxima e mínima de sua cidade durante determinado período. A correspondência entre a escala E e a escala Celsius (C) é a seguinte: E C Em que temperatura, aproximadamente, ocorre a solidificação da água na escala E? a) 16 E b) 32 E c) 38 E d) 51 E e) 58 E IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7

8 02. (G1 - ifsp 2016) O gráfico abaixo apresenta informações sobre a relação entre a quantidade comprada (x) e o valor total pago (y) para um determinado produto que é comercializado para revendedores. Um comerciante que pretende comprar total de: a) R$ 4.700,00. b) R$ 2.700,00. c) R$ 3.175,00. d) R$ 8.000,00. e) R$ 1.175, unidades desse produto para revender pagará, nessa compra, o valor 03. (G1 - cftmg 2013) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa a) 140. b) 180. c) 220. d) (G1 - ifpe 2012) As escalas de temperatura mais conhecidas são Célsius ( C) e Fahrenheit ( F). Nessas escalas, o ponto de congelamento da água corresponde a 0 C e 32 F, e o ponto de ebulição corresponde a 100 C e 212 F. A equivalência entre as escalas é obtida por uma função polinomial do 1 grau, ou seja, uma função da forma f(x) = ax + b, em que f(x) é a temperatura em grau Fahrenheit ( F) e x a temperatura em grau Célsius ( C). Se em um determinado dia a temperatura no centro do Recife era de 29 C, a temperatura equivalente em grau Fahrenheit ( F) era de: a) 84 F b) 84,02 F c) 84,1 F d) 84,12 F e) 84,2 F 05. (Enem PPL 2012) A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a Produção de resíduos domiciliares por habitante em um país ANO kg IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8

9 Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020, em kg, será a) 610. b) 640. c) 660. d) 700. e) (Unicamp 2012) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 C em 1995 para 13,8 C em Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de a) 13,83 C. b) 13,86 C. c) 13,92 C. d) 13,89 C. 07. (Fgv 2012) Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone celular é R$ 250,00, são vendidas 1400 unidades por mês. Quando o preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas 1700 unidades mensalmente. Admitindo que o número de celulares vendidos por mês pode ser expresso como função polinomial do primeiro grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço for R$ 265,00, serão vendidas: a) unidades b) unidades c) unidades d) unidades e) unidades 08. (Fgv 2011) O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados abaixo. x y 0 5 m k Podemos concluir que o valor de k + m é: a) 15,5 b) 16,5 c) 17,5 d) 18,5 e) 19,5 09. (Enem 2ª aplicação 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plásticas até Observe o gráfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9

10 De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidos em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 8,0 e) 10,0 10. (Ufpb 2011) Em certa cidade, acontece anualmente uma corrida, como parte dos eventos comemorativos pela sua emancipação política. Em 2000, o comitê organizador da corrida permitiu a participação de 1500 pessoas; e, em 2005, a participação de 1800 pessoas. Devido às condições de infraestrutura da cidade, o comitê decidiu limitar o número de participantes na corrida. Nesse sentido, estudos feitos concluíram que o número máximo n(t) de participantes, no ano t, seria dado pela função afim n(t) = at + b, onde a e b são constantes. Com base nessas informações, conclui-se que, no ano de 2010, o número máximo de participantes na corrida será de: a) 1900 b) 2100 c) 2300 d) 2500 e) 2700 GABARITO 01 D 02 E 03 D 04 E 05 C 06 B 07 C 08 C 09 E 10 B Exercícios de Fixação Funções e Áreas 01. (Ufsj 2012) Os gráficos das funções f(x) 2, g(x) 2x 4 e h(x) x 2 delimitam uma região do plano cartesiano, cuja área, em unidades de área, é a) 6 b) 2 c) 3 d) (Ufrgs 2014) Considere as funções f e g, definidas por f(x) 4 2x e g(x) 2f(x) 2. Representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no ponto B, enquanto a função g intercepta o eixo das ordenadas no ponto D e o eixo das abscissas no ponto C. A área do polígono ABCD é a) 4,5. b) 5,5. c) 6,5. d) 7,5. e) 8,5. GABARITO 01 C 02 E IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10

11 7.6 - Estudo do sinal da função polinomial do 1º grau Estudar o sinal de um função f significa determinar para que valores de x temos f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) =0. Vamos calcular genericamente o zero da função f(x) = ax + b: f(x) = 0 ax + b = 0 ax = -b x = b a Estudaremos o sinal de f(x) em dois casos, quando temos uma função crescente e quando temos uma função decrescente: 1 caso: Função Crescente Neste caso, quanto maiores os valores de x, maiores os valores de f(x). Observando a figura notamos que: 2 caso: Função Decrescente Neste caso, quanto maiores os valores de x, menores os valores de f(x). Observando o gráfico notamos que: Observando a figura notamos que: Exemplo Dada a função f(x) = 4x - 2, determine os valores reais de x para os quais temos f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. Resolução Zero da função: 4x - 2 = 0 x = 1 2 a > 0 função crescente IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11

12 7.7 - Inequações do 1º Grau Denomina-se inequação do 1º grau na variável x toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: (com a, b R e a 0) Sistemas de inequações do primeiro grau O conjunto solução de um sistema de inequações é determinado pela intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema. Exemplo 2x + 6 < 30 Resolva o sistema de inequações { 3x 18 > 0 Resolução Em primeiro lugar, resolvemos separadamente cada inequação do sistema: Fazendo a intersecção das soluções de cada inequação, temos: Inequação-produto As desigualdades que apresentam um produto de polinômios do 1º grau, como nos exemplos abaixo, são denominadas inequações-produto. Para resolver inequações-produto, primeiro estudamos o sinal de cada função que compõe o produto e, posteriormente, determinamos o sinal do produto. Exemplo 1 Resolva em R a inequação (x 1). (2x 3) 0 : Resolução Vamos separar a inequação em duas funções: f(x) = x 1 e g(x) = 2x 3 Estudo de sinais de f(x): Zero da função: x 1 = 0 x = 1 Como f(x) é crescente, temos: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 12

13 Estudo de sinais de g(x): Zero da função: 2x 3 = 0 x = 3 2 Como g(x) é crescente, temos: Montamos o quadro-produto com os sinais de g(x) e f(x): Observação: As bolinhas cheias ou vazias no quadro-produto dependem da inequação que queremos solucionar. Se na inequação temos ou, as bolinhas são "cheias", pois as raízes estarão incluídas na solução. Se temos > ou <, as bolinhas são "vazias", pois as raízes não estarão incluídas na solução Inequação-quociente As desigualdades que apresentam um quociente de polinômios do 1º grau, como nos exemplos abaixo, são denominadas inequações-quociente. Resolvemos as inequações-quociente da mesma forma que resolvemos as inequações-produto. Vale ressaltar, porém, que independente da desigualdade, a raiz da função do denominador será representada por uma "bolinha vazia" no quadro-quociente, pois o denominador nunca pode ser zero. Exemplo 1 Resolva em R a inequação x 1 x+3 0 : Resolução Vamos separar a inequação em duas funções: f(x) = x 1 e g(x) = -x + 3 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 13

14 Estudo de sinais de f(x): Zero da função: x 1 = 0 x = 1 Como f(x) é crescente, temos: Estudo de sinais de g(x): Zero da função: -x + 3 = 0 x = 3 Como g(x) é decrescente, temos: Como g(x) está no denominador, devemos ter g(x) 0. Representamos 3 por bolinha vazia no quadro-quociente. Montamos o quadro-quociente com os sinais de g(x) e f(x): Exercícios de Fixação Inequações 01. (G1 - cftmg 2015) No conjunto dos números reais, o conjunto solução da inequação 2x 5x 3 1 é o intervalo 3 4 a) ], 3[ 3 b), 7 3 c), 7 d) ] 3, [ IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 14

15 02. (Pucrj 2014) A soma das soluções da inequação a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 x 3 0 2x 1 onde x pertence ao conjunto dos números naturais é: 03. (G1 - cftmg 2013) O número de soluções inteiras da inequação x 1 3x 5 2x 1, é a) 4. b) 3. c) 2. d) (Fgv 2012) O número de soluções inteiras da inequação a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) infinito 2x x é: 05. (Uern 2012) A soma de todos os números inteiros que satisfazem simultaneamente a inequação-produto (3x 7) (x + 4) < 0 e a inequação-quociente 2x 1 0 é 5 x a) 3. b) 5. c) 6. d) (Enem 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) FT(q) CT(q). Considerando-se as funções FT(q) 5q e CT(q) 2q 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) (Col.Naval 2011) No conjunto dos números reais, qual será o conjunto solução da inequação 2 15 a) x / x b) x / 0 x 15 2 c) x / x d) x / x , x? IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 15

16 08. (Pucrj 2008) A soma dos números inteiros x que satisfazem 2x +1 x + 3 4x é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) (G1 - cftce 2006) Considere a inequação (x - 1)(x - 4) 0. Considerando os números inteiros que a satisfazem. É correto concluir que: a) Só dois deles são positivos. b) A soma de todos eles é dez. c) O maior deles é múltiplo de 3. d) O produto de todos eles é zero. e) O produto de todos é um número negativo. 10. (Pucmg 2006) Os possíveis valores de x que verificam a desigualdade -1 3x são tais que a x b. Então o valor de a + b é igual a: a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 11. (G1 - cftmg 2005) O número de soluções inteiras da inequação a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 (1 - x) (x - 8) 2 (x + 4) 3 > 0, é GABARITO 01 B 05 A 09 B 02 A 06 D 10 C 03 B 07 B 11 C 04 C 08 D IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 16