POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO UD 2 - MÉTODOS POR SOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS

Transcrição

1 UD 2 - MÉTODOS POR SOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS

2 Conhecidos alguns elementos de um triângulo ângulos e comprimentos de lados determinar as coordenadas de um dado ponto. Interseção (a vante): Sobre duas estações de coordenadas conhecidas, determinar as coordenadas de um objeto, sem precisar ocupá-lo; Interseção a ré: Com o aparelho estacionado sobre o ponto cujas coordenadas serão calculadas, aponta-se para dois pontos de coordenadas conhecidas. Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos, justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice. Trilateração: semelhante à triangulação, porém o levantamento será efetuado através da medição dos lados.

3 INTERSEÇÃO À VANTE C b γ a β B A α c Leituras realizadas sobre pontos de coordenadas conhecidas (A e B); Visada para o ponto C, inacessível; Leituras angulares apenas (α e β);

4 c = [(X B X A ) 2 + (Y B - Y A ) 2 ] 1/2 γ = 180º -α-β a = c senγ / senα b = c senγ / senβ Az BA = tg -1 [(X A X B ) / (Y A Y B )] Az AB = tg -1 [(X B X A ) / (Y B Y A )] Az AC = Az AB α Az BC = Az BA + β X C = X A + bsenaz AC Y C = Y A + bcosaz AC X C = X B + asenaz BC Y C = Y B + acosaz BC

5 Exemplo β = 64º 32' 28" α = 81º 17' 38 " POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO Coords B: X = 3369,287 m Y = 2890,836 m C Coords C: X = 3300,259 m Y = 3082,183 m β a α A B

6 Distâncias a = [(X B X C ) 2 + (Y B Y C ) 2 ] 1/2 = 203,417 m b = a senα/senγ = 358,051m c = a senβ/senγ = 327,050m Azimutes Az BC = ' 47 Az BA = Az BC -α= ' 09 Az CA = Az BC 180º + β = ' 15 γ = Az BA Az CA = 34 09' 54

7 Partindo do Ponto C X A = X C + CA sen Az CA = 3048,389m Y A = Y C + CA cos Az CA = 2827,699m Partindo do Ponto B X A = X B + BA sen Az BA = 3048,389m Y A = Y B + BA cos Az BA = 2827,699m

8 Podem ser realizadas verificações geométricas dos ângulos lidos e/ou calculados no processo, uma vez que são desconsiderados o erro de fechamento do triângulo e o possível excesso esférico. Controle do método se dá por medições com mais uma base que pode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base. Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as direções lidas e o modelo condicionado.

9 Exemplo β 1 = 64º 32' 27,5" Coords B: X = 11054,091 m Y = 9484,370 m α 1 = 81º 17' 37,5 " Coords C: X = 10827,622 m Y = 10112,150 m α 2 = 37º 39' 28,2 " β 2 = 97º 31' 31,1" Coords D: X = 10000,000 m Y = 10000,000 m

10 D β 2 α 2 β 1 C a α 1 A B

11 Azimutes Az BC = ' 48 Az CB = Az BC Az CB = ' 48 Az CA = Az CB + β 1 Az CA = ' 15,4 Az BA = Az BC α 1 Az BA = ' 10,4 γ 1 = Az BA - Az CA γ 1 = 34 09' 54 α 1 + β 1 + γ 1 = 180 (OK) Distâncias BC = 667,380 m CA = a senα 1 /senγ 1 = 1072,991m BA = a senβ 1 /senγ 1 = 1174,699m Coordenadas X A = X C + CA sen Az CA = 10001,283m Y A = Y C + CA cos Az CA = 9277,236m X A = X B + BA sen Az BA = 10001,283m Y A = Y B + BA cos Az BA = 9277,236m

12 Azimutes Az CD = ' 58,5 Az DC = Az CD Az CB = 82 16' 58,5 Az CA = Az CD + α 2 Az CA = ' 30,3 Az DA = Az DC + β 2 Az DA = ' 49,6 γ 1 = Az BA - Az CA γ 1 = 34 09' 54 α 1 + β 1 + γ 1 = 180 (OK) Distâncias BC = 667,380 m CA = a senα/senγ = 1174,719m BA = a senβ/senγ = 723,924m Coordenadas X A = X C + CA sen Az CA = 10002,423m Y A = Y C + CA cos Az CA = 9276,081m X A = X B + BA sen Az BA = 10002,423m Y A = Y B + BA cos Az BA = 9276,081m

13 Resumo: Base A-B: X = 10001,283m Y = 9277,236m Base B-C: X = 10002,423m Y = 9276,081m = 1,62m NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!! Ajust: X = 10002,445m Y = 9277,390m

14 Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites 91752, de coordenadas UTM (688025,661; ,596) e de coordenadas (688042,312; ,057). Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritas na caderneta a seguir: Estação Visada Leitura P P

15 Interseção à ré: também conhecido como resseção ou problema de Pothenot. O equipamento é posicionado no ponto a determinar. P α β y C p b B = Az BC - Az BA x a A a = [(X B X A ) 2 + (Y B - Y A ) 2 ] 1/2 b = [(X B X A ) 2 + (Y B - Y A ) 2 ] 1/2

16 P α β y C p b A x a B = Az BC - Az BA p/senx = a/senα; p/seny = b/senβ; senx/seny = bsenα / asenβ; (A)

17 P C β y α p b A x a φ = Az BC - Az BA B α+β = (x + y + φ) = R; x = R y; (B) sen x/sen y = sen (R y)/sen y = (senrcosy senycosr)/seny

18 R = φ α β; (B) B C x φ y A α β P

19 sen x = (senrcosy senycosr) ( senrseny) sen y seny ( senrseny) sen x/sen y = senr(cotgy cotgr) = senrcotgy cosr (C) (A) = (C) senrcotgy cosr = bsenα / asenβ senrcotgy = bsenα / asenβ + cosr cotgy = (bsenα / asenβ + cosr)/senr = tg y= asenβsenr / (bsenα + asenβcosr) y = arc tg [asenβsenr /(bsenα + asenβcosr)] x = R y (E) (D)

20 Exemplo C α = 95º 45' 21" β = 78º 18' 16 " b y β α P A: X = ,02m B Y = ,02m B: X = ,03m a x Y = ,17m C: X = ,12m A Y = ,62m

21 a = [(X B X A ) 2 + (Y B Y A ) 2 ] 1/2 = m b = [(X C X B ) 2 + (Y C - Y B ) 2 ] 1/2 = m Az BA = tg -1 [(X A X B ) / (Y A Y B )] = ' 5 Az BC = tg -1 [(X C X B ) / (Y C Y B )] = 28 03' 33 B = Az BA Az BC = 88º 49' 32" R = 360 (95º 45' 21" + 78º 17' 16" + 88º 49' 32") = 97º 07' 51" senr = 0, cosr = -0,

22 y = tg -1 [asenβsenr /(bsenα + asenβcosr)] y = tg -1 { sen(78º 18' 16 ")sen(97º 07' 51") / [(818.67sen(95º 45' 21") sen(78º 18' 16 ")cos(97º 07' 51")]} y = 60 50' 55 x = R y = 36 16' 57 X P = X B + psenaz BP p = bseny/senβ = 730,18m Az BP = Az BC + (180 -β-y) = Az BA (180 -α x) Az BP = 68 55' 23 X P = X B + psenaz BP = ,45m Y P =Y B + pcosaz BP = ,21m

23 Podem ser calculadas as coordenadas do ponto pelo irradiamento com base nos três pontos de coordenadas conhecidas, permitindo um controle grosseiro dos resultados. Controle do método se dá por medições com mais uma base que pode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base. Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as direções lidas e o modelo condicionado.

24 Exemplo: POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO A: X = 88237,920m Y = 80232,030m α = 44º 55' 30,5" B: X = 82279,100m Y = 97418,580m β = 5º 56' 19,4" C: X = 81802,350m Y = 98696,210m γ = 19º 56' 18,3" D: X = 80330,690m Y = ,400m

25 D C B β γ α P A

26 ABC: a = [(X B X A ) 2 + (Y B Y A ) 2 ] 1/2 = 18190,26m b = [(X C X B ) 2 + (Y C - Y B ) 2 ] 1/2 = 1363,68m Az AB = tg -1 [(X B X A ) / (Y B Y A )] = ' 40,3 Az BC = tg -1 [(X C X B ) / (Y C Y B )] = ' 12,6 B = Az AB Az BC = 181º 20' 27,6" R = 360 (44º55'30,5"+5º56'19,4"+181º20'27,7") = 127º 47' 42,5" y = tg -1 [asenβsenr /(bsenα + asenβcosr)] y = tg -1 {18190,26.sen(5º 56' 19,4")sen(97º 07' 51") / [(1363,68.sen(44º55'30,5") ,26.sen(5º56'19,4")cos(127º 52' 42,5")]} y = 97 17' 42,4 x = R y = 30 30' 0,1

27 X P = X A + AP.senAzA AP AP=asen(α+x)/senα=24929,653m Az AP =Az AB +x=11 22' 40,3 X P =X B +p.senaz BP =93156,008m Y P =Y B +p.cosaz BP = ,752m X P = X B + BP.senAzA BP BP=asenx/senα=13073,470m Az BP =Az AB +x+α=56 18' 10,8 X P =X B +p.senaz BP =93156,008m Y P =Y B +p.cosaz BP = ,752m X P = X C + CP.senAzA CP CP=bsen(y+β)/senβ=12830,146m Az CP =Az BC -180º-y=62 14' 30,2 X P =X C +p.senaz CP =93156,008m Y P =Y C +p.cosaz CP = ,752m

28 BCD: b = [(X C X B ) 2 + (Y C - Y B ) 2 ] 1/2 = 1363,68m c = [(X D X C ) 2 + (Y D - Y C ) 2 ] 1/2 = 4464,71m Az BC = tg -1 [(X C X B ) / (Y C Y B )] = ' 12,6 Az CD = tg -1 [(X B X A ) / (Y B Y A )] = ' 15,3 B = Az AB Az BC = 178º 46' 57,4" R = 360 (5º56'19,4"+19º56'18,3"+178º 46' 57,4") = 155º 20' 24,9" y = tg -1 [bsenγsenr /(csenβ + bsenγcosr)] y = tg -1 {1363,68.sen(19º 56' 18,3")sen(155º 30' 24,9") / [(4464,71.sen(5º56'19,4") ,68.sen(19º 56' 18,3")cos(155º 20' 24,9")]} y = 78 32' 37,1 x = R y = 76 47' 47,8

29 X P = X B + BP.senAzA BP BP=bsen(β+x)/senβ=13074,358m Az BP =Az BC +x=56 20' 0,5 X P =X B +p.senaz BP =93160,601m Y P =Y B +p.cosaz BP = ,460m X P = X C + CP.senAzA CP CP=bsenx/senβ=12831,748m Az CP =Az BC + x + β =62 16' 19,9 X P =X C +p.senaz CP =93160,601m Y P =Y C +p.cosaz CP = ,460m X P = X D + DP.senAzA DP DP=csen(γ+y)/senγ=12949,396m Az DP =Az CD -180º-γ=82 12' 38,2 X P =X D +p.senaz DP =93160,601m Y P =Y D +p.cosaz DP = ,460m

30 Resumo: ABC: X = 93156,008m Y = ,752m BCD: X = 93160,601m Y = ,460m ABD: X = 93158,414m Y = ,886m ACD: X = 93159,099m Y = ,598m NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!! Ajust: X = 93153,645m Y = ,246m

31 Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites 91752, de coordenadas UTM (688025,661; ,596), de coordenadas (688042,312; ,057) e C, de coordenadas (687955,35; ,631). Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritas na caderneta a seguir: Estação Visada Leitura P C

32 Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos, justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice. É comum o emprego do termo cadeia para as redes de triangulação, uma vez que os vértices calculados geram nova base para cálculo de novos vértices, e assim, sucessivamente, abrangendo grandes áreas. O cálculo simples emprega os conceitos da lei dos senos e irradiamento para definição dos demais lados e azimutes. Uma vez que não são observadas distâncias, o método não se limita ao alcance dos distanciômetros; por outro lado, é necessário intervisibilidade entre as estações, normalmente em cotas elevadas.

33 Nas triangulações geodésicas a superfície elipsóidica pode ser substituída por uma superfície esférica de curvatura média. Os erros cometidos sobre os lados poderão atingir 1cm, no máximo. Pelo teorema de Legendre, triângulos esféricos com lados pequenos em relação ao raio da Terra podem ser substituídos por triângulos planos com lados de mesma extensão e ângulos reduzidos de um terço do excesso esférico. O excesso esférico de um triângulo geodésico é dado pela relação entre a área desse triângulo suposto plano e o quadrado do raio de curvatura média da região considerada. Pelo teorema de Gauss, o raio médio é dado pela raiz dos raios de curvatura normal e primeiro vertical (M e N).

34 Utiliza-se como figura básica o quadrilátero com duas diagonais observadas ou quadrilátero com um ponto central. Garantem-se os controles de orientação e escala através da introdução dos pontos de LAPLACE, ou azimutes de controle, e das bases. Deve-se introduzir um azimute de controle, a espaços regulares, preferencialmente coincidente com a base.

35 O conceito de rigidez é o mais aceitável para, a priori, se controlar e definir a qualidade do desenvolvimento triangular. Quando o limite estipulado para a classe atingir o valor ΣR1, será necessária a introdução de uma base. No transporte do lado deve-se escolher o melhor caminho, ou seja, aquele que tenha menor coeficiente de rigidez. Para medir-se a rigidez, calcula-se o coeficiente de rigidez, produto de dois fatores: um relacionado à quantidade de observações e equações de condição e outro relacionado aos ângulos observados.

36 Quadrilátero simples com duas diagonais Quadrilátero de ponto central com uma das diagonais observadas. Quadrilátero com ponto central, sem diagonal observada. Pentágono com ponto central

37 Hexágono com ponto central Triângulo com ponto central

38

39 Trilateração: processo de estabelecimento de controle geodésico horizontal através da determinação do comprimento de lados de triângulos. (T34-400) Pode ser empregada nos mesmos casos em que seja viável a triangulação, porém é mais indicada em casos de restrição ou impossibilidade de leitura angular. Em tese, um pentágono ou um hexágono seriam figuras ideais para trilateração devido à quantidade de condições matemáticas; contudo, do ponto de vista prático, é quase impossível estabelecer figuras como essas no campo. As especificações (IBGE) definem as condições mínimas para a formação de figuras, preferindo-se a configuração em quadrados na manutenção da rigidez das cadeias;

40 Pequenas Trilaterações: pequenos triangulos geodésicos podem ser calculados sobre a esfera de curvatura média (teorema de Legendre) fazendo analogia a triângulos planos de lados de mesmo comprimento. Grandes Trilaterações: o cálculo dos triângulos exige a determinação do excesso esferóide, ao invés do excesso esférico. A A' = (ε / 3) [1 + (a 2 + 7b 2 + 7c 2 )/120R 2 ] B B' = (ε / 3) [1 + (b 2 + 7a 2 + 7c 2 )/120R 2 ] C C' = (ε / 3) [1 + (c 2 + 7a 2 + 7c 2 )/120R 2 ] Para triângulos de lados com mais de 300 km, além do cálculo do excesso esferóide, convém levar em conta a variação da curvatura compreendida entre todos os vértices do triângulo.

41 SHORAN (Short Range Navigation): São empregadas aeronaves que medem as distâncias a duas estações pelo tempo de resposta de uma onda eletromagnética. Método vantajoso na ligação entre data geodésicos, e de ilhas afastadas do datum continental. HIRAN (High Precision SHORAN): Permite a medida de distâncias de até 800km, permitindo estabelecer ligação entre territórios separados por grandes massas de água (usado no Canadá e nas ligações Escócia Noruega, Escócia Ilhas Faroe Islândia Groelândia Canadá, Creta Líbia); SHIRAN (S-band HIRAN): Projetado para levantamentos geodésicos, baseia-se na diferença de fase entre o sinal de ida e o de volta. Foi usado no Brasil, aprtindo do datum Chuá até fechar na rede de triangulação do Nordeste.

42 Redes de Trilateração HIRAN e SHORAN