Sistemas de coordenadas tridimensionais

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1 Sistemas de coordenadas tridimensionais Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal

2 Sistema de coordenadas Tridimensionais no espaço Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 04 Z p cota z p X O y p p x p ordenada abcissa Y

3 Posicionamento espacial dos pontos p e q p Formam-se 8 octantes Z z p x p p y p O y q x q q Y z q X q

4 x y z Máquina de medição tridimensional

5 Sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais Z Z o Y o X X Y Sistema dextrógiro Sistema levógiro

6 Sistema de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais e coordenadas polares z distância espacial p ângulo vertical v d op cota z p o A op y x y p p x p p ordenada ângulo horizontal (azimute) abcissa

7 Transformação de coordenadas cartesianas em polares p z v d o p v z p o v d o p A op p z p p y x p o d h p x y p p d h = d op x sen v z p = d op x cos v

8 Transformação de coordenadas cartesianas em polares o A op y p p x p x z o v y p d o p A op p p z p p x p y x p = d op x sen v x sen A op y p = d op x sen v x cos A op p x p = d h x sen A op y p = d h x cos A op

9 sistema dextrógiro x p = d op sen V sen A op y p = d op sen V cos A op z p = d op cos V sistema levógiro x p = d op sen V cos A op y p = d op sen V sen A op z p = d op cos V no plano com V= 90 o, resultando: x p = d op sen A op y p = d op cos A op z p = 0

10 As coordenadas cartesianas ortogonais do ponto P são: x p = -40m y p = +20m e z p = +40m. Que tipo é o sistema dextrógiro ou levógiro? Z P +40 z p y p X P x p Y -40

11 Uma linha reta no espaço pode agora ser observada como a que liga o ponto P ao ponto Q. Z P reta no espaço +40 z p y p X P Y x p x q z q Q y q

12 A distância espacial PQ é fornecida analiticamente pela expressão: d = [(x p - x q ) ² + (y p -y q ) ² + (z p -z q ) ² ] Assim se ponto P possuí coordenadas em metros P(-40; 20; 40) e o ponto Q possui coordenadas em metros Q( 60;40;-20), a distância espacial entre eles é fornecida da seguinte forma: d = [(-40-60) ² + (20-40) ² + (40+20) ² ] d = d m

13 A equação de uma reta no espaço é obtida pela solução do determinante: x p y p z p x q y q z q = 0 x y z As coordenadas dos pontos P(-40; 20; 40) e Q( 60;40;-20) resultam na equação: = 0 x y z ou, -1600z + 400x y 1600x 1200z + 800y = x y -2800z = 0

14 Exercício: Utilizou-se uma estação total, com um sistema de coordenadas ortogonal tridimensional situado em seu centro óptico, com a seguinte orientação, o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, o eixo x com sentido positivo para leste e o eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zenite (ponto situado no infinito acima da estação). Mediu-se as direções horizontais (A op ), direção vertical (V) e a distância inclinada d op ao ponto alvo (P), obtendo-se as seguintes medidas: A op = ; V = ; d op = 125,632m. Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do alvo neste sistema. Solução: Z P x p = d op sen V sen A op y p = d op sen V cos A op z p = d op cos V X o y p V d op A o p P z p x p P Y x p = 125,632 x sen sen y p = 125,632 x sen cos z p = 125,632 x cos x p = 56,071m y p = 112,229m z p = 6,639m

15 Transformação de coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais x p, y p e z p em coordenadas esféricas polares sistema dextrógiro tg op = x p y p z p V = arc cos [ ] (x p + y p + z p d op = (x p + y p + z p

16 Problema direto do posicionamento tridimensional Z B V d AB A z B z A P B Y x B y A A x A A AB Q X y B B

17 PROBLEMA DIRETO DE POSICIONAMENTO TRIDIMENSIONAL Dadas ou conhecidas de um levantamento anterior: coordenadas tridimensionais do ponto A x A, y A, z A Mede-se: azimute da direção AB = A AB distância entre A e B = d AB direção zenital ou distância zenital = V Pede-se: coordenadas tridimensionais do ponto B x B, y B, z B

18 Triângulos retângulos APB e A B Q Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia Aula 04 B A y B y A Q d AB V z B z A = d AB cos V A AB d AB sen V x B x A A d AB senv P B Z x B x A = d AB sen V sen A AB y B y A = d AB sen V cos A AB z B z A = d AB cos V A z A V x A d AB B P B Y z B x B = x A + d AB sen V sen A AB y B = y A + d AB sen V cos A AB z B = z A + d AB cos V X x B y A y B A A AB B Q

19 Problema inverso do posicionamento no espaço tridimensional Cálculo da distância espacial entre os pontos A e B d AB = [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do ângulo zenital entre A e B z B z A V = arc cos [(x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2 ] 1/2 Cálculo do azimute entre os pontos A e B x B x A A AB = arc tg y B y A

20 Exercício: A listagem com o resultado de um rastreio GPS apresenta as coordenadas Tridimensionais geodésicas de dois vértices P01 e P02 fornecidas as seguir: PO1 x 1 = ,17745 PO2 x 2 = ,79868 y 1 = ,98370 y 2 = ,08810 z 1 = ,51292 z 2 = ,20840 Calcular a distância entre os vértices, o azimute do vértice P01 para P02 e a distância zenital de P01 para P02. Solução: Distância P01 P02 d 12 = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/2 d 12 = , ,17745) 2 +( , ,98370 ) 2 + ( , ,51292 ) 2 d 12 = d 12 = m

21 Azimute P01 P02 A 12 = arc tg x 2 x 1 y 2 y 1 A 12 = arc tg A 12 = arc tg , , , , , ,105 A 12 = arc tg 1, A equação apresenta duas soluções no primeiro quadrante e no terceiro quadrante. Solução no primeiro quadrante: A 12 = No terceiro quadrante: A 12 = A 12 =

22 Como a solução pode estar no 1 ou no 3 Quadrante. A tabela abaixo esclarece a obtenção de quadrantes. Quadrante numerador denominador 1 Q Q Q Q - + Neste caso, como o denominador e o numerador da divisão resultaram negativos adota-se o 3 Quadrante, assim: A 12 =

23 Distância zenital P01 P02 V = arc cos V = arc cos V = arc cos z 2 z 1 [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ] 1/ , , ,696 V = arc cos 0, A solução encontra-se no segundo ou no terceiro quadrante, neste caso adota-se o segundo quadrante pois convenciona-se a distância zenital menor ou igual a 180. Solução no primeiro quadrante: V = Solução no segundo quadrante V = V = Neste caso a distância zenital vale: V =

24 Exercício proposto: Determinou-se as coordenadas tridimensionais do vértice PO1 obtendo-se: x 1 = ,17745 y 1 = ,98370 z 1 = ,51292 Mediu-se a partir do vértice P01 em direção ao vértice P02 d 12 = m A 12 = V = Calcular as coordenadas cartesianas ortogonais tridimensionais do vértice P02. Resposta: x 2 = ,79868 y 2 = ,08810 z 2 = ,20840