RACIOCÍNIO LÓGICO PARA A POLÍCIA CIVIL

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1 2016 RACIOCÍNIO LÓGICO PARA A POLÍCIA CIIL GRÁTIS PROESSOR JOSELIAS

2 RACIOCÍNIO LÓGICO 1. Estruturas lógicas. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compostas. Tabelasverdade. Equivalências. Leis de De Morgan. Diagramas lógicos. LÓGICA eremos nas próximas linhas a definição do que vem a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissas ou conclusões. LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSIÇÃO Chamaremos de proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. a) O Lula é o presidente do Brasil. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. c) Elvis não morreu. As proposições devem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: O João é mais novo que o Pedro, ou podemos expressar também por O Pedro é mais velho que o João. Concluímos que as proposições estão associadas aos valores lógicos: verdadeiro () ou falso (). Se a proposição p = O Lula é o presidente do Brasil é verdadeira então representaremos o valor lógico da proposição p por AL(p) =. Se a proposição p = O Lula não é o presidente do Brasil é falsa então representaremos o valor lógico da proposição p por AL(p) =. Sendo assim a frase Parabéns! não é uma proposição, pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto também não serão proposições as seguintes expressões: Exclamações: Oh!, Que susto!. Interrogações: Tudo bem?, Que dia é hoje?, ocê é professor?. Imperativos: Seja um bom marido., Estude para concursos. Paradoxos: Esta sentença é falsa. Teremos dois princípios no caso das proposições: PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto é, é verdadeira () ou falsa (), não podendo ter outro valor. PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Logo, voltando ao exemplo anterior temos: a) O Lula é o presidente do Brasil. é uma proposição verdadeira. b) O Rio de Janeiro fica na Europa. é uma proposição falsa. c) Elvis não morreu, é uma proposição falsa. As proposições serão representadas por letras do alfabeto: A, B, C,... As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas, através de operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou compostas). forma: CONECTIOS Os conectivos serão representados da seguinte corresponde a não (Alguns autores usam o símbolo ~, para representar a negação). corresponde a e (conjunção) corresponde a ou (disjunção) corresponde a se... então... (condicional) corresponde a...se e somente se... (bi-condicional) corresponde a... ou..., ou..., mas não ambos (disjunção exclusiva) Assim podemos ter: Negações: ~ p (lê-se: não p) Seja a proposição p = Lógica é difícil. A proposição Lógica não é difícil poderá ser representada por ~ p. Conjunções: p q (lê-se: p e q) Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho e estudo Disjunções: p q (lê-se: p ou q) Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho ou estudo Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Se trabalho então estudo 1

3 Bi-condicionais: p q (lê-se: p se e somente se q) Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Trabalho se e somente se estudo Disjunção exclusiva: p q ((lê-se: ou p, ou q, mas não ambos) Sejam p e q proposições tal que: p = Trabalho q = Estudo, então temos que: p q = Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos PRIORIDADES DOS CONECTIOS Podemos usar parênteses para evitar ambiguidades, considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente: (A prioridade mais alta) (A prioridade mais baixa) TABELA ERDADE O valor lógico de cada proposição composta depende dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma regra para formar o valor lógico da proposição composta, conforme a descrição abaixo. a) Tabela verdade da negação (p) (não p) Se a proposição é verdadeira, sua negação será falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: p p b) Tabela verdade da disjunção (pq) (p ou q) (ou p, ou q) A disjunção será falsa quando todas as proposições simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim teremos a seguinte tabela: p q p q c) Tabela verdade da conjunção (pq) (p e q) A conjunção será verdadeira quando todas as proposições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. Assim teremos a seguinte tabela: p q pq d) Tabela verdade da condicional (p q) (Se p, então q) A condicional somente será falsa quando p for verdadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira. p q p q e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) (p se e somente se q) A bi-condicional será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso contrário será falsa. p q p q f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p q) A disjunção exclusiva será verdadeira quando as proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferentes, caso contrário será falsa. Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições compostas pelas proposições simples p e q: p q p q 2

4 TABELA ERDADE p q p pq pq p q p q p q Sejam as proposições p e q, tal que: p = Corre q = O bicho pega Descrever as seguintes proposições abaixo: a) p b) p q c) p q d) p q e) p q f) p q : a) p = Não corre b) p q = Corre ou o bicho pega c) p q = Corre e o bicho pega d) p q = Se corre, então o bicho pega e) p q = Corre se e somente se o bicho pega f) p q = Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos p q p q pq pq p q p q P Q R P Q R (P Q) Logo o AL(R (P Q)) = (ST-2008) ilho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue o itens seguintes como certo(c) ou errado(e). a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. Errado. A sentença não é proposição. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. Certo. A sentença A resposta branda acalma o coração irado é uma proposição simples. Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo : p q p q pq p q p q p q Exemplo Determinar o valor verdade da proposição R (P Q), sabendo-se que AL (P) =, AL (Q) = e AL (R) =. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, formando uma proposição simples. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Errado. A sentença Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade apresenta apenas o conetivo condicional. Sabendo que a proposição se A, então B é falsa, podemos concluir que: a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. d) a proposição A é falsa e B é falsa. e) A proposição A é sempre falsa. Teremos se verdade, então falso. Logo A é verdadeira e B é falsa. Resposta: B 3

5 TAUTOLOGIA São as proposições compostas sempre verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição composta. Exemplos: a) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. p p p p b) A proposição (p p) é uma tautologia, pois é verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. p p p c) A proposição (p) p é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. d) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. e) A proposição (p q) (q p) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. amos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. p (p) (p) (p) p p q pq p pq (pq) (pq) A tautologia (p q) (q p) é conhecida como contrapositiva. f) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. amos deixar para o leitor a verificação pela tabelaverdade. A tautologia (p q) (p q) é conhecida como tautologia de Morgan. g) A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. amos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. A tautologia (p q) (p q) também é conhecida como tautologia de Morgan. h) A proposição (pq) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposições p e q. amos deixar para o leitor a verificação pela tabelaverdade. LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS a) (p p) b) (p p) c) (p p) (Identidade) d) (p q) (p q) e) (p q) (q p) (Contra-positiva) f) (p q) (p q) (Morgan) g) (p q) (p q) (Morgan) h) (p) p (Negação dupla) i) (p q) (p q) CONTRADIÇÕES São as proposições compostas sempre falsas, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradição basta fazer a tabela verdade da proposição composta. A proposição (p p) é uma contradição, pois é sempre falsa para qualquer valor lógico da proposição p. p p p p CONTINGÊNCIA São as proposições compostas em que os valores lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos uma contingência. 4

6 A proposição (p q) é uma contingência, pois a proposição pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos de p e q. p q q (p q) Exemplos: a) (p p) (p p) é uma tautologia, pois a proposição composta é sempre verdadeira. b) (p p) (p p) é uma contradição, pois a proposição composta é sempre falsa. Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia é: a) se filosofamos, então filosofamos. b) se não filosofamos, então filosofamos. c) Lógica é fácil, mas é difícil. d) ele é feio, mas para mim é bonito. e) eu sempre falo mentira. A única proposição sempre verdadeira é se filosofamos, então filosofamos, pois é a tautologia (p p). Resposta: A NÚMERO DE LINHAS DA TABELA ERDADE O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta com n proposições simples é 2 n. Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com uma proposições simples possui 2 1 = 2 linhas. 20 Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com duas proposições simples possui 2 2 = 4 linhas. 21 Observe que a tabela verdade de uma proposição composta com três proposições simples possui 2 3 = 8 linhas. p p q p q r Exercícios propostos 1) (2013-ESA-Analista Técnico-Administrativo M) Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ P é: a) uma tautologia. b) equivalente à proposição ~ P P. c) uma contradição. d) uma contingência. e) uma disjunção. 2) (2014 IBC - Qualquer Nível Médio SEPLAG/SEDS- MG) De acordo com os conectivos lógicos podemos afirmar que: a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p conjunção q é verdade. b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p disjunção q é verdade. c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p condicional q é verdade. d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor lógico de uma proposição q for falso, então p bicondicional q é verdade. 3) (ESA 2009 EPPGG - MPOG) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é: a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da rança. b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da rança. c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança ou Paris é a capital da rança. d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da rança ou Paris é a capital da Inglaterra. e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra. 4) (2014 IBC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração UNED-MG) Com relação aos conectivos lógicos, a única alternativa incorreta é: a) o valor lógico da conjunção (e) entre duas proposições é falso se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for falso. b) o valor lógico da disjunção (ou) entre duas proposições é verdade se pelo menos um dos valores lógicos de uma das proposições for verdade. c) o valor lógico do condicional (se, então) entre duas proposições é verdade se ambos os valores lógicos das proposições forem falsos. d) o valor lógico do bicondicional (se, e somente se) entre duas proposições é falso se ambos os valores lógicos das proposições forem falsos. 5

7 5) (2009 CESGRANRIO - Engenheiro Civil CAPES) Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições que a compõem. Sejam p e q proposições simples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma das alternativas abaixo, há uma proposição composta, formada por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? (A) p q (B) p ~q (C) (p q) (~p q) (D) (p q) (p q) (E) (p q) (p q) 6) (ESA 2009 APO - SEAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 e = 9 b) Se 3 = 3, então = 9 c) Se 3 = 4, então = 9 d) 3 = 4 ou = 9 e) 3 = 3 se e somente se = 9 7) (2014 IBC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Sejam as proposições p: 15% de 30% = 45% e q: a quarta parte de uma dúzia é igual a 3, e considerando os valores lógicos dessas proposições, podemos afirmar que o valor lógico da proposição composta (p q) ~p é: a) falso b) verdadeiro ou falso c) verdade d) inconclusivo 8) (G) A proposição (p q) (p q) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 9) (G) A proposição (p q) (p q) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 10) (2014 IBC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) Dentre as afirmações, a única incorreta é: a) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico do condicional entre elas é falso. b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico da conjunção entre elas é falso. c) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então o valor lógico da disjunção entre elas é falso d) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico de outra proposição é verdade, então o valor lógico do bicondicional entre elas é falso. 11) A proposição (p q) (p q) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 12) (CESGRANRIO Analista de Planejamento Adm. Escolar - IBGE 2013) Sejam p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 e c proposições verdadeiras. Assim, é ALSA (A) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 c (B) c p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 (C) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 c (D) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 c (E) p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 c 13) A proposição (p q)(q p) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 14) (2013 IBC - Oficial Administrativo SUCEN) O raciocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito fundamental no estudo da lógica. Dadas as proposições abaixo: p: 16,5% de 200 = 32; q: a quarta parte de 300 é igual a 80 É correto afirmar que: a) a disjunção de p e q ( p v q ) é verdadeira. b) a disjunção de p e q ( p v q ) é falsa. c) Não existe a disjunção das proposições dadas. d) O valor lógico de p é diferente do valor lógico de q. 15) A proposição (p p) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 16) A proposição (p p) representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 17) (2013 IBC - Oficial Administrativo SUCEN) Dentre as afirmações: I. Se duas proposições compostas forem falsas então o condicional entre elas é verdade. II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bicondicional entre elas é falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja verdadeira é necessário que ambas proposições sejam verdadeiras. I. Para que uma conjunção entre duas proposições seja falsa é necessário que ambas proposições sejam falsas. Pode-se dizer que são verdadeiras: 6

8 a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma 18) A proposição (p)p representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 19) A proposição ( (p)) p representa um: a) Contradição b) Contingência c) Tautologia d) Paradoxo e) N.R.A 20) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q? A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) (p q) b) (~p ~q) c) (p ~q) d) (~p q) e) (p q) a) (p q) b) (~p ~q) c) (p ~q) d) (~p q) e) (p q) Gabarito 1 C 2 B 3 C 4 D 5 E 6 C 7 C 8 C 9 C 10 A 11 C 12 C 13 C 14 B 15 C 16 A 17 D 18 C 19 C 20 D 21 E 22 B EQUIALÊNCIA LÓGICA Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas possuem a mesma tabela-verdade. Para verificar se duas proposições são equivalentes devemos comparar as suas valorações. Exemplos: a) A proposição (pq) é equivalente a (qp). p q (pq) (qp) 21) (2009 CESGRANRIO - Agente Administrativo U- NASA) Denomina-se contradição a proposição composta que é SEMPRE ALSA, independendo do valor lógico de cada uma das proposições simples que compõem a tal proposição composta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. (A) p q (B) q ~q (C) p ~q (D) ~p q (E) ~p p b) A proposição (pq) é equivalente a (qp). p q (p q) (q p) c) A proposição (p q) é equivalente a (q p). 22) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q? p q (p q) (q p). A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é 7

9 d) A proposição (p q) é equivalente a (p q). p q (pq) p (pq) LISTA DE ALGUMAS EQUIALÊNCIAS COMUNS a) (p q) é equivalente a (q p) b) (p q) é equivalente a (q p) c) (p q) é equivalente a (q p) d) (p q) é equivalente a (p q) e) (p q) é equivalente a (q p) f) (p q) é equivalente a (p q) g) (p q) é equivalente a (p q) h) (p) é equivalente a p i) (p q) é equivalente a (p q) e) A proposição (p q) é equivalente a (q p). A equivalência entre (p q) e (q p) é chamada de contrapositiva. p q (p q) q p (q p) f) A proposição (p q) é equivalente a (p q). A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equivalência de Morgan. p q (p q) (p q) p q (p q) p q (p q) (p q) p q (p q) g) A proposição (p q) é equivalente a (p q). A equivalência entre (p q) e (p q) é chamada de equivalência de Morgan. Uma sentença lógica equivalente a Se Pedro é economista, então Luisa é solteira. é: a) Pedro é economista ou Luisa é solteira. b) Pedro é economista ou Luisa não é solteira. c) Se Luisa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luisa não é solteira. e) Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista. (Se Pedro é economista, então Luisa é solteira) p 8 q é equivalente(contra-positiva) a q p (Se Luisa não é solteira, então Pedro não é economista) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a ( p q) é a) (p q) b) (p q) c) (p q) d) (p q) e) (~p q) (p q) é equivalente a (p q) é a equivalência de Morgan. Resposta: A Exemplo Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro (André é artista ou Bernardo não é engenheiro) A expressão acima é equivalente a: (Bernardo não é engenheiro ou André é artista) p q é equivalente a p q (Se Bernardo é engenheiroentão André é artista) Resposta: D Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista

10 d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista (Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista) p q é equivalente a p q (Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista) Resposta: A DEDUÇÕES ARGUMENTO; DIAGRAMAS LÓGICOS; RA- CIOCÍNIO LÓGICO ANALÍTICO. Argumentos e Raciocínio Analitico Argumento é um conjunto de proposições em que algumas delas implicam outra proposição. Chamaremos as proposições p1, p2, p3,..., pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Representaremos os argumentos da seguinte maneira: p1 p2 p3... pn q Se chover então fico em casa. Choveu. ico em casa. Todas as mulheres são bonitas. Maria é mulher. Maria é bonita. João ganha dinheiro ou João trabalha João ganha dinheiro. João não trabalha ARGUMENTOS DEDUTIOS E INDUTIOS Os argumentos são divididos em dois grupos: Dedutivos e indutivos. A noção de argumento dedutivo gera a idéias de transportar o geral ao particular, isto quer dizer que a conclusão apenas ratifica o conteúdo das premissas. O argumento abaixo é dedutivo, pois o conteúdo da conclusão é conseqüência apenas das premissas. Todas as mulheres são princesas. Todas as princesas são bonitas. Todas as mulheres são bonitas. A noção de argumento indutivo gera a idéia de transportar o particular para o geral, portanto a conclusão não é derivada apenas das premissas. O argumento abaixo é indutivo, pois o conteúdo da conclusão não é conseqüência apenas das premissas. Segunda-feira choveu. Terça-feira choveu. Quarta-feira choveu. Quinta-feira choveu. Amanhã vai chover. Para os argumentos dedutivos haverá uma classificação como válidos ou não válidos. Os argumentos dedutivos válidos são raciocínio corretos, e os não válidos são raciocínio incorretos. A classificação da validade não se aplica aos argumentos indutivos. Argumentos { Dedutivos { álidos Não válidos Indutivos Pelo princípio do terceiro-excluído temos que uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras implica que sua conclusão também é verdadeira. Portanto um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. No exemplo anterior observamos não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. amos substituir mulheres, princesas e bonitas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos A é B. Todo B é C. Todo A é C ARGUMENTOS DEDUTIOS ÁLIDOS Sabemos que a classificação de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores lógicos das proposições do argumento. Sabemos também que não podemos ter um argumento válido 9

11 com premissas verdadeiras e conclusão falsa. eremos agora alguns argumentos dedutivos válidos importantes. a) Afirmação do antecedente(modus ponens) O argumento válido chamado de afirmação do antecedente possui a seguinte estrutura: Ou Se p, então q. p q p q p q Nesse argumento a afirmação da condição suficiente garante a conclusão da condição necessária. Outro argumento válido é o dilema. Geralmente este argumento ocorre quando a escolha de algumas opções levam a algumas consequências, e nesse caso a conclusão será pelo menos uma das consequências. p ou q. Se p então r. Se q então s. r ou s João estuda ou trabalha. Se João estudar será feliz. Se João trabalhar será rico. João será feliz ou rico. ARGUMENTOS DEDUTIOS NÃO-ÁLIDOS Se ama, então cuida. Ama. Cuida. Se é divisível por dois, então é par. É divisível por dois. Chamaremos de falácias aos argumentos com estruturas não válidas. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão. a) alácia da negação do antecedente Negando o antecedente em uma condicional não podemos obter conclusão, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da negação do antecedente possui a seguinte estrutura: É par. b) Negação do consequente(modus tollens) O argumento válido chamado de negação do consequente possui a seguinte estrutura: p q q p Nesse argumento a negação da condição necessária garante a negação da condição suficiente. Se ama, então cuida. Não cuida. Não ama. Se é divisível por dois, então é par. Não é par. Não é divisível por dois. c) Dilema p q p q Se ama, então cuida. Não ama. Não cuida. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não amar não garante que não cuida. Exemplo Se chover, ficarei em casa. Não está chovendo Não ficarei em casa. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de está chovendo não garante se ficarei ou não em casa. Exemplo Se eu for eleito, acabará a miséria. Não fui eleito. A miséria não acabará Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de não ser eleito não implica que a miséria não acabará. 10

12 b) alácia da afirmação do consequente Afirmando o consequente em uma condicional não podemos obter conclusão sobre a afirmação do antecedente, sendo assim o argumento não válido conhecido como falácia da afirmação do consequente possui a seguinte estrutura: p q q p As proposições podem ser classificas como afirmativas ou negativas. Nenhuma mulher é vaidosa é universal negativa e simbolizamos por nenhum S é P. Algumas mulheres não são vaidosas é particular negativa e simbolizamos por algum S não é P. Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos: Todo S é P, algum S é P, algum S não é P e nenhum S é P. Se ele ama, então cuida. Ele cuida. Ele ama. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de ele cuidar não garante que ele ama. Se chover, ficarei em casa. iquei em casa Choveu. Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato ficar em casa não garante que choveu. Exemplo Se eu for eleito, acabará a miséria. Acabou a miséria. ui eleito Observe que o raciocínio é incorreto, pois fato de acabar a miséria não implica que fui eleito. PORPOSIÇÕES CATEGÓRICAS PROPOSIÇÕES UNIERSAIS E PARTICULARES Podemos classificar algumas sentenças como proposições universais ou particulares. Nas proposições universais o predicado refere-se a totalidade do conjunto. Todas as mulheres são vaidosas é universal e simbolizamos por todo S é P. SILOGISMO Silogismo categórico de forma típica O silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) será argumento formado por duas premissas e uma conclusão, tal que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ). O silogismo categórico de forma típica apresenta os seguintes termos: Termo menor sujeito da conclusão. Termo maior predicado da conclusão. Termo médio é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. Exemplo Todos os brasileiros são alegres. Todos os alegres são felizes. Todos os brasileiros são felizes. Termo menor: os brasileiros Termo maior: felizes Termo médio: os alegres Premissa menor: Todos os brasileiros são alegres. Premissa maior: Todos os alegres são felizes. A mulher é sábia é universal e simbolizamos por todo S é P. Nas proposições particulares o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Algumas mulheres são vaidosas é particular e simbolizamos por algum S é P. DIAGRAMAS LÓGICOS a) Universal afirmativa (A) Todo S é P Proposições afirmativas e negativas Observação: 11

13 - A negação de Todo S é P é Algum S não é P. b) Universal negativa (E) Nenhum S é P c) algum B não é A. d) nenhum B é A. e) todo A é B. A negação da proposição Nenhum A é B é Algum A é B. Resposta A. Observação: - Nenhum S é P é equivalente a Nenhum P é S. - A negação de Nenhum S é P é Algum S é P. c) Particular Afirmativa (I) Algum S é P Observação: - Algum S é P é equivalente a Algum P é S. - Algum S é P é equivalente a Pelo menos um S é P. - A negação de Algum S é P é Nenhum S é P. d) Particular negativa (O) Algum S não é P Observação: - A negação de Algum S não é P é Todo S é P. A negação da sentença Todas as crianças são levadas é: a) nenhuma criança é levada. b) existe pelo menos uma criança que não é levada. c) não existem crianças levadas. d) algumas crianças são levadas. c) existe pelo menos uma criança levada. A negação da sentença Todas as crianças são levadas é Algumas crianças não são levadas, que é equivalente a existe pelo menos uma criança que não é levada. Resposta B. A negação da proposição Todas as mulheres são bonitas é: a) Nenhuma mulher é bonita. b) Todos os homens são bonitos. c) Algumas mulheres são bonitas. d) Algumas mulheres não são bonitas. e) Todas as mulheres não são bonitas A negação da proposição Todas as mulheres são bonitas é Algumas mulheres não são bonitas. Resposta D. Para que a afirmativa Todo matemático é louco seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) Algum louco não seja matemático. d) Algum matemático seja louco. e) Algum matemático não seja louco. A negação de todos pode ser Algum..., Existe um..., Pelo menos um... etc. Sendo assim para que a afirmação Todo matemático é louco seja falsa basta que Algum matemático não seja louco. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C Pelas premissas podemos ter, por exemplo, o diagrama abaixo: A negação da proposição Todo A é B é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) nenhum A é B. c) algum B é A. d) nenhum B é A. e) algum A não é B. A negação da proposição Todo A é B é Algum A não é B. Resposta A. A negação da proposição Nenhum A é B é, no ponto de vista lógico, equivalente a: a) algum A é B. b) algum A não é B. Assim concluímos que algum A é C. Resposta: C Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que: a. Ele é pobre mas me ama. b. Ele é rico mas é pão duro. c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e. Ele não me ama e não casa comigo. Suponhamos que todas as premissas são verdadeiras. Então temos: 12

14 Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo não vou trabalhar () ou trabalhar Como a terceira premissa é verdadeira temos: () Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não vou trabalhar () () Temos que a segunda premissa é verdadeira e o seu consequente(não vou trabalhar) é falso, sendo assim temos que o antecedente(ele casa comigo) tem que ser falso. Logo temos: Ele me ama ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não vou trabalhar () Conseqüentemente obtemos: Ele me ama Ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não vou trabalhar () () () Temos que a primeira premissa é verdadeira e o seu conseqüente(ele casa comigo) é falso, sendo assim temos que o antecedente(ele me ama) tem que ser falso. Logo temos: Ele me ama Ele casa comigo () Ele casa comigo ou trabalhar não vou trabalhar () () Podemos então encontrar as proposições verdadeiras do argumento válido, que serão as conclusões: ou trabalhar.() Ele não casa comigo.() Ele não me ama.() Exercícios propostos 1) (2013 IBC - Oficial Administrativo SUCEN) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é: I. Todo aluno desta escola é inteligente. Marcos é um aluno desta escola. Logo, Marcos é inteligente. II. Todo x é y. Logo, todo y é x. a) I e II são argumentos válidos. b) Apenas II é um argumento válido. c) Apenas I é um argumento válido. d) Nenhum dos dois argumentos é válido. 2) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma proposição lógica. (A) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! (B) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. (C) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! (D) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? (E) Instruções especiais para perito criminal. 3) (2014 IBC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) A frase O candidato foi aprovado ou escolheu o curso errado equivale logicamente a: a) O candidato não foi aprovado ou não escolheu o curso errado b) Se o candidato foi aprovado então escolheu o curso errado c) Se o candidato não foi aprovado, então escolheu o curso errado d) O candidato não foi aprovado e escolheu o curso errado 4) (2014 IBC - Qualquer Nível Médio SEPLAG/SEDS- MG) A frase Osvaldo anda de bicicleta ou Ana não comprou uma T equivale logicamente a: a) Se Ana comprou uma T, então Osvaldo não anda de bicicleta. b) Se Osvaldo não anda de bicicleta, então Ana comprou uma T. c) Ana comprou uma T e Osvaldo não anda de bicicleta. d) Se Ana comprou uma T, então Osvaldo anda de bicicleta. 5) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Considere as seguintes proposições, em que o valor lógico da proposição I é verdade e o valor lógico da proposição II é falsidade: I. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento e examina elementos em locais de crime. II. Um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas. III. Se um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas, então um perito criminal examina elementos em locais de crime. I. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento se, e somente se, um cidadão comum manuseia e analisa drogas psicoativas.. Um perito criminal atende ocorrências com vítimas de desabamento ou examina elementos em locais de crime. Os valores lógicos das proposições III, I e são, respectivamente, (A) verdade, falsidade, falsidade. (B) falsidade, falsidade, falsidade. (C) verdade, verdade, verdade. (D) falsidade, verdade, verdade. (E) verdade, falsidade, verdade. 6) (2014 ESA ATA Ministério da azenda) A negação da proposição se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor público é logicamente equivalente à proposição: a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público. b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público. c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público. d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público. e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia. 7) (2014 IBC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração UNED-MG) Dizer que Joaquim é músico ou Sheila é médica é logicamente equivalente a dizer que: a) Se Joaquim é musico, então Sheila é médica. b) Se Sheila não é médica, então Joaquim é músico. c) Joaquim é músico se e somente se Sheila é médica. d) Sheila não é médica e Joaquim não é músico. 8) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Considere a afirmação seguinte: O local do crime não foi violado e o exame pericial foi realizado. Uma negação lógica para essa afirmação está contida na alternativa: 13

15 (A) O local do crime não foi violado ou o exame pericial foi realizado. (B) O local do crime foi violado e o exame pericial não foi realizado. (C) O local do crime foi violado, mas o exame pericial foi realizado. (D) O local do crime foi violado ou o exame pericial não foi realizado. (E) O local do crime não foi violado, mas o exame pericial não foi realizado. 9) (2014 IBC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tecnologia I - Administração UNED-MG) De acordo com o diagrama abaixo não é correto afirmar que: a) não existe Aster que é Brok. b) há Brok que não é Aster. c) há Aster que não é Brok. d) pode haver Aster que é Brok. 10) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Considere verdadeiras as seguintes afirmações: Se Clóvis é perito criminal, então ele porta arma e dirige viatura. Clóvis porta arma. Clóvis não dirige viatura. Conclui-se corretamente, das afirmações apresentadas, que Clóvis (A) não é perito criminal. (B) não é policial civil. (C) é perito criminal. (D) dirige carro que não seja viatura. (E) é policial civil. 11)) (2014 IBC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa Grande-PB) O argumento válido Se Paulo é motorista então trabalha muito, mas Paulo não trabalha muito implica em: a) Paulo não é motorista. b) Paulo é motorista. c) Paulo pode ser ou não motorista. d) não é verdade que Paulo não é motorista. 12) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Sabe-se que, em determinada região, os policiais civis são funcionários públicos; todo perito criminal é policial civil. Logo, é correto concluir que, nessa região, (A) os peritos criminais são funcionários públicos. (B) os funcionários públicos são peritos criminais. (C) os policiais civis são peritos criminais. (D) os funcionários públicos são policiais civis. (E) algum perito criminal não é funcionário público. 13) (2012 IBC - Administrativo UNED) A negação da frase Celso é médico e Paula é enfermeira é: a) Celso não é médico ou Paula não é enfermeira. b) Celso não é médico e Paula não é enfermeira. c) Se Celso não é médico então Paula não é enfermeira. d) Celso não é médico mas Paula não é enfermeira. 14) (2012 IBC - Administrativo UNED) A proposição composta que é equivalente à proposição Se Marcos está feliz, então Mara foi à escola é: a) Marcos está feliz ou Mara não foi à escola. b) Marcos não está feliz ou Mara foi à escola. c) Marcos não está feliz ou Mara não foi à escola. d) Marcos não está feliz se, e somente se, Mara foi à escola. 15) (2014 unesp Perito Criminal PCSP) Considere a afirmativa: Se André tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele fará a prova de aptidão psicológica. Contém uma equivalente da afirmativa apresentada a alternativa: (A) Se André fará a prova de aptidão psicológica, então ele tirou uma ótima nota na prova preambular. (B) André tirou uma ótima nota na prova preambular e fará a prova de aptidão psicológica. (C) Se André não tirou uma ótima nota na prova preambular, então ele não fará a prova de aptidão psicológica. (D) André fará a prova de aptidão psicológica se, e somente se, ele não tirou uma ótima nota na prova preambular. (E) Se André não fará a prova de aptidão psicológica, então ele não tirou uma ótima nota na prova preambular. 16) (CC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª) Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na cidade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. Se a lávia não for à festa, então a Bruna também não irá. Se a Laura for à festa, então a Paula também irá. Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa. (B) lávia não foi à festa. (C) lávia foi à festa. (D) Renata não foi à festa. (E) Renata foi à festa. 17) (CC-2014-Tec. Jud. Área Adm. Segurança-TRT 2ª) Cinco irmãs, discutindo sobre a festa que aconteceria na cidade no final do mês, fizeram as afirmações abaixo. Se a Paula for à festa, então a Bruna também irá. Se a Renata não for à festa, então a Laura irá. Se a lávia não for à festa, então a Bruna também não irá. Se a Laura for à festa, então a Paula também irá. Sabendo que as quatro afirmações são verdadeiras e que Paula não foi à festa, pode-se concluir que, necessariamente, (A) Bruna não foi à festa. (B) lávia não foi à festa. (C) lávia foi à festa. (D) Renata não foi à festa. (E) Renata foi à festa. 18) (2010 CESGRANRIO - Agente Censitário Municipal IBGE) Z é mais velho que Y, mas tem a mesma idade de X. X é mais novo que W. Desse modo, (A) W é mais novo que Y. (B) W é mais velho que Y. (C) Z é mais velho que W. (D) X é mais novo que Y. (E) Y e W têm a mesma idade. 19) (2014 CESGRANRIO Técnico Científico TI Análise de Sistemas Banco da Amazônia) Considere a seguinte afirmação: Jorge se mudará ou Maria não será aprovada no concurso. Tal afirmação é logicamente equivalente à afirmação: (A) Se Maria não for aprovada no concurso, então Jorge se mudará. (B) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge não se mudará. (C) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge se mudará. (D) Jorge não se mudará ou Maria será aprovada no concurso. (E) Jorge se mudará se, e somente se, Maria não for aprovada no concurso. 14

16 20) (2009-ESA-Assistente Técnico Administrativo(ATA) M) X e Y são números tais que: Se X 4, então Y>7. Sendo assim: a) Se Y 7, então X > 4. b) Se Y > 7, então X 4. c) Se X 4, então Y < 7. d) Se Y < 7, então X 4. e) Se X < 4, então Y 7. Gabarito: 1 C 2 B 3 C 4 D 5 E 6 B 7 B 8 D 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 B 15 E 16 E 17 E 18 B 19 C 20 A 2 - Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Nesse tópico vamos resolver exercícios que envolvem raciocínios quantitativos, tais como aritméticos, geométricos, matriciais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as próximas questões e procurar entender as soluções apresentadas aqui nos próximos exemplos. 1) Em uma turma há 18 homens e 15 mulheres. inte e oito alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um concurso. Quantas mulheres, no mínimo, estão inscritas para participar desse concurso? (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 11 (E) 10 Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que todos os 18 homens se inscrevam. Logo o número mínimo de mulheres inscritas será = 10 mulheres. 2) Uma prova com 240 questões diferentes foi distribuída a três estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante recebeu um bloco com 80 questões distintas. A apresentou 80% de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 90% do seu bloco e C errou 70% de suas questões. Desta forma, o número total de questões erradas, pelos três estudantes, na prova é de: a) 24 b) 48 c) 56 d) 80 e) 192 Temos que: A 16 erradas B 8 erradas C 56 erradas Total: 80 erradas Resposta: D 3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuíam água para 30 dias, porém na noite do sexto dia encontraram um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. Sabendo-se que a água durou apenas mais doze dias, a quantidade de homens no grupo encontrado foi a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 Na noite do sexto dia possuíam água para mais 24 dias. Como a água só durou 12 dias (metade do que deveria), concluímos que o número de homens dobrou. Logo, no grupo encontrado havia 12 homens. Resposta: C 4) Na reunião de um condomínio compareceram homens e mulheres. Após iniciada a sessão, um homem se retirou, e o número de mulheres presentes ficou sendo o dobro do número de homens. Posteriormente, o homem que havia saído retomou. Em seguida, saíram seis mulheres, e o número de homens e mulheres presentes ficou igual. O número de pessoas presentes quando a reunião foi iniciada era (A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22. Início Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Homens x x - 1 x x Mulheres y y y y - 6 y2( x1) x y 6 y2( x1) y x 6 Logo: 2(x-1) = x + 6 2x 2 = x + 6 x = 8 y = 14 Logo o número de presentes na reunião foi 22 pessoas (8 homens e 14 mulheres). 5) Estou matriculado no curso de Administração de Empresas. Para trancar a matrícula em qualquer disciplina, tenho um prazo máximo de 90 dias a contar de hoje, que é terça-feira, vencendo o l.ª dia, portanto, amanhã, 4a feira. Então, esse prazo vencerá em uma (A) segunda-feira. (B) terça-feira. (C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira. 90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto os 90 dias vencem em uma segunda-feira. Resposta: A 6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes opções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um ingrediente de cada tipo, o número de maneiras diferentes que ela poderá montar esse sanduíche será (A) 80. (B) 72. (C) 63. (D) 50. (E) 44. Temos: 2 tipos de patês 3 tipos de queijos 4 tipos de frios 3 tipos de folhas de salada 15

17 Logo pelo princípio fundamental da contagem temos = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. Resposta: B 7) Para presentear amigos, uma pessoa irá montar caixas com bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bombons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a R$ 30,00 o kg. O preço médio de um kg de bombom comprado por essa pessoa saiu por (A) R$ 26,00. (B) R$ 27,00. (C) R$ 28,00. (D) R$ 29,00. (E) R$ 30,00. Temos as seguinte quantidades: 0,5kg de bombons com licor R$ 18,00 1,2kg de bombons ao leite R$ 30,00 1,3kg de bombons com recheio de frutas R$ 39,00 Logo: 1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00. R$87, 00 Portanto o kg da caixa será: R$29, 00 3 Resposta: D 8) (unesp-agescigpen ) De mesada, Julia recebe mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês, (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00. (C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00. Pai Mãe 10x + 5x = x = 375 x = x = 25 Logo de sua mãe recebeu R$ 25,00 por mês. Resposta: C 9) (unesp-agescigpen ) aldomiro cronometrou as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir. Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) = min 20 seg = 80 segundos Resposta: A 10) (Concurso Petrobras ) João tem 100 moedas, umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos que João possui é (A) 32 (B) 56 (C) 64 (D) 68 (E) 72 Seja x o número de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o número de moedas de 10 centavos. Temos que 25x + 10(100 x) = x x = x = 1020 x = x = 68 moedas de 25 centavos. Resposta: D 11) (Concurso Petrobras ) Conversando com os 45 alunos da primeira série de um colégio, o professor de educação física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 Seja x o número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei. Resposta: C 36 x + x + 14 x + 4 = x = 45 x = 9 12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um atendente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situação, o tempo utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, é a) inferior a 3 minutos. b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. e) superior a 6 minutos. 240 min min 3 min e 45 seg seg Resposta: B 13) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso somaram 224 dias. Com base nessa situação, é correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empregados foi a) superior a 12 e inferior a

18 b) superior a 16 e inferior a 20. c) superior a 20 e inferior a 24. d) superior a 24. e) inferior a Resposta: A 14) (TRT 15ª REGIÃO CC 2010) Certo dia, Eurídice falou a Josué: - Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos. Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número (A) divisível por 9. (B) menor que 100. (C) maior que 100. (D) quadrado perfeito. (E) múltiplo de 11. Sejam ab e ba as idades. Logo temos: ab = 10a + b ba = 10b + a A soma das idades será: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). (Múltiplo de 11) 15) (BANCO DO BRASIL CC 2010) Em um banco, qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e Economia. Um levantamento forneceu as informações de que I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em Economia. II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ciências Contábeis. III. 10% dos Auditores são formados em Administração e Economia. I. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e Economia. Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a probabilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles cursos citados é (A) 58% (B) 56% (C) 54% (D) 52% (E) 48% A probabilidade será: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% Resposta: B 16) (TRT 15ª REGIÃO CC 2010) Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de (A) Domitila era 15. (B) Casimiro era 24. (C) Casimiro era 18. (D) Domitila era 14. (E) Casimiro era 20. Observe que no total são 32 pessoas, temos que: Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa 2ª Etapa Observe que na 2ª etapa, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fila de Casimiro. Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possuía a metade de pessoas (8 pessoas) Casimiro Domitila Inicialmente 1ª Etapa ª Etapa Observe que na 1ª etapa, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila, logo a fila de Domitila possuía na etapa anterior a metade de pessoas (12 pessoas). Daí temos: Casimiro Domitila Inicialmente ª Etapa ª Etapa Portanto inicialmente, o número de pessoas na fila de Casimiro era % + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + x = 100% 98% + x = 100% x = 2% Substituindo-se os valores temos: 17) (TRT 15ª REGIÃO CC 2010) Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 4 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) 2 horas e 30 minutos. (B) 2 horas e 45 minutos. (C) 3 horas e 20 minutos. (D) 3 horas e 40 minutos