Projeto 6 Um curso introdutório sobre Trigonometria

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1 Projeto 6 Um curso introdutório sobre Trigonometria João de Deus Oliveira Júnior

2 Um curso introdutório sobre Trigonometria João de Deus Oliveira Júnior Montes Claros/MG

3 Presidência da República Federativa do Brasil Ministério da Educação Secretaria de Educação a Distância Ministro da Educação Aloizio Mercadante Presidente Geral da CAPES Jorge Almeida Guimarães Diretor de Educação a Distância da CAPES João Carlos Teatini de Souza Clímaco Governador do Estado de Minas Gerais Antônio Augusto Junho Anastasia Vice-Governador do Estado de Minas Gerais Alberto Pinto Coelho Júnior Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia e Ensino Superior Nárcio Rodrigues Reitor da Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes João dos Reis Canela Vice-Reitora da Unimontes Maria Ivete Soares de Almeida Pró-Reitora de Ensino Anete Marília Pereira Diretor do Centro de Educação a Distância Jânio Marques Dias Coordenador Administrativo Fernando Guilherme Veloso Queiroz Coordenadora de Projetos CEAD Unimontes Maria Ângela Lopes Dumont de Macedo Coordenadora Pedagógica Zilmar Santos Cardoso Coordenadora TICs Unimontes Patrícia Takaki Neves

4 REITOR João dos Reis Canela VICE-REITORA Maria Ivete Soares de Almeida DIRETOR DE DOCUMENTAÇÃO E INFORMAÇÕES Huagner Cardoso da Silva CONSELHO EDITORIAL Maria Cleonice Souto de Freitas Rosivaldo Antônio Gonçalves Sílvio Fernando Guimarães de Carvalho Wanderlino Arruda REVISÃO DE LÍNGUA PORTUGUESA Arlete Ribeiro Nepomuceno Aurinete Barbosa Tiago Carla Roselma Athayde Moraes Luci Kikuchi Veloso Ubiratan da Silva Meireles DESIGN INSTRUCIONAL Elpídio Rocha Neto Emília Murta Moraes Frederico Antônio Mineiro Lopes Gisléia de Cássia Oliveira Viviane Margareth Chaves Pereira Reis DESIGN EDITORIAL E CONTROLE DE PRODUÇÃO DE CONTEÚDO Adão Soares dos Santos Andréia Santos Dias Camilla Maria Silva Rodrigues Clésio Robert Almeida Caldeira Hugo Daniel Duarte Silva Magda Lima de Oliveira Marcos Aurélio de Almeida e Maia Sanzio Mendonça Henriques Tatiane Fernandes Pinheiro Tátylla Ap. Pimenta Faria Vinícius Antônio Alencar Batista Wendell Brito Mineiro Catalogação: Biblioteca Central Professor Antônio Jorge - Unimontes Ficha Catalográfica: 2012 Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. EDITORA UNIMONTES Campus Universitário Professor Darcy Ribeiro s/n - Vila Mauricéia - Montes Claros (MG) Caixa Postal: CEP: Correio eletrônico: editora@unimontes.br - Telefone: (38)

5 Sumário Apresentação... 6 Palavra do professor conteudista Mapa de atividades Aula 1 - Trigonometria no Triângulo Retângulo (5h/a) Trigonometria no triângulo retângulo Aula 5 - Formulas para as razões trigonométricas em soma e subtração de arcos Fórmula de adição (subtração) de dois arcos Referências Aula 2 - Circulo trigonométrico (5h/a) Medidas de ângulos Circulo trigonométrico Cossecante, Secante e Cotangente Aula 3 - Arcos Côngruos e Redução ao 1º Quadrante (5h/a) Arcos côngruos Redução do 2º quadrante para o 1º quadrantes Redução do 3º quadrante para o 1º quadrantes Redução do 4º quadrante para o 1º quadrantes Aula 4 - Funções Trigonométricas (5h/a) Função Seno Função Cosseno Função Tangente Função Cossecante Função Secante Função Cotangente

6 Apresentação Mensagem Inicial Prezado(a) Acadêmico(a), É com muita satisfação que apresentamos a você o nosso material didático do curso de nivelamento de que participará! Estamos todos orgulhosos por você ter confiado em nosso projeto e, mais ainda, por ter tido a iniciativa de buscar, de forma autônoma e comprometida, não só o seu aprendizado, como também a sua própria capacitação. Participar de um curso a distância requer mais do que simplesmente realizar as atividades solicitadas pelos professores e tutores. É preciso uma postura que estabeleça um diálogo entre tecnologia e aprendizagem, pois estão em jogo novas habilidades e competências que estes cursos podem lhe proporcionar. Nessa medida, estamos preparando para você diversos cursos que visam a repassar conteúdos, em geral próprios do ensino médio, muito importantes para o seu sucesso acadêmico e profissional, independentemente de sua área de conhecimento. O projeto conta com uma equipe de professores que acompanharão todos os cursos de nivelamento que podem ser acessados sempre que necessário. Então, não hesite em fazer suas críticas, sugestões e comentários em geral! Saiba que a sua opinião é muito importante para nós, pois visamos a uma melhoria contínua. Além de contribuir com o seu aprendizado, esperamos que você reconheça nas Tecnologias de Informação e Comunicação (doravante, TIC) as possibilidades de aprender a aprender e que esta experiência seja a primeira de muitas outras em que você estará aliando tecnologia e construção do conhecimento! Aproveite! Coordenação Geral da Proposta Institucional: Uso e Disseminação das TIC no Ensino Superior Presencial da Unimontes e Colaboradores do Projeto 6 6

7 Apresentação da Proposta Institucional O crescente uso das TIC na educação tem favorecido sobremaneira o acesso à educação a milhares de pessoas ao redor do mundo. Nessa medida, a educação presencial tem se apropriado das TIC em constante evolução. Esse fato é especialmente constatado no contexto da UAB/Unimontes, uma vez que o crescente grau de inovação, característico dessa modalidade de educação, tem conquistado cada vez mais docentes da educação presencial de todas as áreas. A efetividade de seus propósitos e a diversidade de suas soluções têm contribuído com a credibilidade e o reconhecimento destes recursos por toda a comunidade acadêmica. Essa Proposta Institucional da Unimontes, além de inovadora e desafiadora, almeja formar novas gerações comprometidas com o aperfeiçoamento e a sistematização do uso de novas TIC no ensino superior do país. Ações dessa natureza desenvolvem nos acadêmicos a habilidade de manusear os recursos tecnológicos existentes em favor de sua formação e atualização. Por conseguinte, desenvolvem a competência destes futuros profissionais de conceber ações pragmáticas em direção ao bem-estar social. Os sete projetos que integram essa Proposta se complementam e se inter-relacionam para que o objetivo do Edital 15 CAPES/DED/2010 seja cumprido, ou seja, para que de fato seja promovido o Uso e Disseminação das TIC no Ensino Superior Presencial da Unimontes. Um dos projetos, intitulado Inserção das TIC como recurso didático nos cursos de graduação da Unimontes: Artes Visuais, Artes Teatro, Artes Música, Geografia, Matemática, Odontologia e Sistemas de Informação, consiste na definição de que até oito disciplinas de cada um dos sete cursos de graduação diretamente envolvidos para serem contempladas pelas atividades e pelos recursos deste projeto. Estas disciplinas, e seus docentes, terão a oportunidade de elaborarem materiais didáticos de qualidade e de usufruírem da prerrogativa de oferecer até 20% de suas cargas horárias na modalidade a distância. Além desses sete cursos de graduação presenciais, serão atendidos os acadêmicos de todos os demais cursos superiores da Unimontes de todos os campi. Isso será possível, pois o projeto Oferecimento de Cursos de Nivelamento para os Cursos de Graduação Presenciais da Unimontes pretende oferecer cursos de nivelamento de forma irrestrita a toda a comunidade acadêmica. Tal demanda se faz necessária tendo em vista as formações 7

8 por vezes heterogêneas dos alunos recém-chegados do ensino médio. Assim, os conteúdos previstos nestes cursos de nivelamento impactam diretamente na efetividade da aprendizagem de alunos de todas as áreas do conhecimento, bem como no desenvolvimento de habilidades e competências deles. O impacto e os resultados esperados dessas ações são determinantes para a criação de uma cultura acadêmica de autonomia sobre o autoaprendizado, na busca pela construção do conhecimento, além de favorecer a institucionalização de atitudes pragmáticas por todos aqueles que podem contribuir para uma sociedade ainda mais justa, democrática, desenvolvida e tecnológica. Profa. Patrícia Takaki Neves Coordenação Geral da Proposta Institucional 8

9 Apresentação do Projeto 6 Você participará de um curso de nivelamento oferecido no âmbito do Projeto 6, intitulado Oferecimento de Cursos de Nivelamento para os Cursos de Graduação Presenciais da Unimontes. Nesse projeto, como já vimos, serão contemplados acadêmicos de todos os cursos superiores presenciais da Unimontes, de forma irrestrita, incluindo todos os campi. Esta dinâmica de oferecer cursos de nivelamento, embora inédita na graduação presencial da Unimontes, é, de certa forma, comum em várias instituições de ensino superior no Brasil e no mundo. Essa iniciativa é de grande importância para o sucesso dos estudantes nas disciplinas ao longo de sua vida acadêmica e profissional. Nesse contexto, em geral, os cursos de nivelamento abordarão conteúdos do ensino médio, embora a abordagem própria do ensino superior esteja presente nos materiais didáticos. As áreas prioritárias são: Língua Portuguesa, Língua Estrangeira, Matemática, Informática e Filosofia. Vale ressaltar que novas áreas também poderão ser atendidas conforme as pesquisas por novas demandas forem identificando. Os professores e tutores envolvidos na produção dos materiais e na execução desses cursos a distância serão todos capacitados metodológica e tecnologicamente. Da mesma forma, todos os alunos também serão devidamente capacitados para utilizar ambiente virtual de aprendizagem da Unimontes/Virtualmontes e demais TIC disponíveis. O projeto 6 conta com uma equipe própria de professores que irão acompanharão toda a dinâmica prevista para o oferecimento dos cursos, incluindo seus docentes, discentes e tutores. A avaliação de todo o processo, também realizada por estes professores, permitirá controlar melhor as ações e conduzir o projeto em direção à consecução de seus objetivos. Desse modo, esperamos que o projeto contribua com a sua aprendizagem, ao trabalhar com conteúdos básicos indispensáveis para o seu bom desempenho durante toda a sua trajetória acadêmica. Por fim, o projeto de oferecimento de cursos de nivelamento, alinhado com a Proposta Institucional, está fazendo a sua parte para melhorar ainda mais a qualidade da educação superior oferecida pela Unimontes, criando oportunidades para que a comunidade acadêmica esteja inserida no contexto das TIC na educação. Coordenação Geral da Proposta Institucional e Colaboradores do Projeto 6 9

10 Indicação de ícones Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual. Atenção: indica pontos de maior relevância no texto. Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou curiosidades e notícias recentes relacionadas ao tema estudado. Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão utilizada no texto. Mídias integradas: possibilita que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, ambiente AVEA e outras. Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado. 10

11 Palavra do professor conteudista Neste curso abordamos o conceito trigonometria. A palavra trigonometria significando medida dos triângulos (ela é formada pelos radicais gregos: trigo que significa triângulo e metron significa medida). Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, Navegação e Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 ac. 125 ac.), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc. Iniciaremos o estudo de trigonometria sobre o triângulo retângulo, estudaremos as formas de medir ângulos e em seguida partiremos para um estudo mais profundo sobre trigonometria. Ou seja, partiremos de um curso introdutório a fim de concluir um curso avançado sobre trigonometria. Quero lembra que este material não contem o curso completo. Durante o curso iremos adicionar e simplificar alguns conteúdos (exemplo, exercícios e avaliações). Espero que gostem da abordagem que fizemos e que procurem perceber a trigonometria no dia a dia. Bons estudos! João de Deus Oliveira Júnior. 11

12 Mapa de atividades Disciplina: Curso introdutório sobre Trigonometria Carga horária: 30h/a Ementa: Trigonometria no triângulo retângulo, circulo trigonométrico (medidas de ângulos, eixo dos seno, cosseno e tangente), rações trigonométricas, arcos côngruos e redução ao 1º Quadrante, funções trigonométricas, fórmulas de soma de arcos e relações fundamentais. AULA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM MATERIAIS CARGA HORÁRIA 1. Trigonometria no triângulo retângulo, Círculo Trigonométrico e medida de ângulo. 2. Circulo trigonométrico, cossecante, secante e cotangente. 3. Arcos côngruos e redução para o 1º quadrante. 4. Funções trigonométricas. 5. Formulas para as razões trigonométricas em soma e subtração de arcos. 6. Avaliação Aprender o significado das medidas de ângulos e a interpretar o valor de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Aprender operar no circulo trigonométrica. Compreender as definições de cossecante, secante e cotangente. Simplificar os cálculos das razões trigonométricas como os arcos côngruos e redução para o 1º quadrante. Visualizar o comportamento das razões trigonométricas conforme aplicamos os ângulos e interpretação de gráficos. Deduzir a fórmulas das funções trigonométricas da soma e diferença de arcos. Revisar todo o conteúdo visto, motivada por questões que tratam dos conceitos estudados no curso. 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 12

13 Trigonometria no Triângulo Retângulo (5h/a) Objetivo Aprender o significado das medidas de ângulos e a interpretar o valor de seno, cosseno e tangente de um ângulo. cateto oposto. Se estivermos operando com o ângulo β, então o lado b é o cateto adjacente e o lado c e o cateto oposto indicado por a, é o cateto oposto. Introdução Como forma introdutória, iniciaremos o estudo da trigonometria através do triângulo retângulo. Já sabemos que um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos medindo noventa graus (90º). Mas qual é o significado de 90? Teremos a resposta na seção 2.1 do próximo Capítulo. 1.1 Trigonometria no triângulo retângulo Em um triângulo retângulo os seus lados recebem nomes especiais. Esses nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto: o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Os catetos também recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise: se estivermos operando com o ângulo α, então o lado c é o cateto adjacente e o lado b e o Figura 1: Triângulo retângulo Fonte: PAIVA, Manoel. Matemática - Volume 1 Definimos as razões trigonométricas tangente, seno e cosseno nos quais denotamos por tg, sen e cos, respectivamente, relativas aos ângulos α e β por: tg α = cateto oposto = b e tg β = cateto oposto = c cateto adjacente c cateto adjacente b sen α = cateto oposto = b e sen β = cateto oposto = c hipotenusa a hipotenusa a cos α = cateto adjacente = c e cos β = cateto adjacente = b hipotenusa a hipotenusa a 13

14 Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, então a soma com β é 90, ou seja, são ângulos complementares, assim α + β = 90 daí α = 90 - β e β = 90 - α. Veja que das razões trigonométricas acima temos: sen β = cos α = cos (90 - β); cos β = sen α = sen (90 - β). Então, para ângulos agudos complementares (α+β=90 ), temos que o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno de seu complementar e o cosseno de um ângulo agudo é igual ao seno do seu complementar. Atividades de aprendizagem Exercício 1.1.1: Calcule as razões trigonométricas do triângulo da Figura 2. Resolução: Usando as razões trigonométricas temos, tg α = 3; sen α = 3; cos α = 4 e tg β = 4; sen β = 4; cos β = Note que, Ainda no triângulo retângulo da Figura 1, pelo Teorema de Pitágoras (a 2 =c 2 +b 2 ) temos: sen 2 α + cos 2 α = (b) 2 + (c) 2 = b 2 + c 2 = b 2 + c 2 = 1. a a a 2 a 2 = a 2 Assim a equação sen 2 α + cos 2 α = 1 é chamada de relação entre seno e cosseno de um ângulo agudo. Observe também que b sen α = a = b = tg α, ou seja, tg α = sen α cos α c c cos α a Exercício Encontre o valor de x: a) c) Figura 2: Triângulo do Exercício Figura 3: Triângulo do Exercício a Figura 4: Triângulo do Exercício b 14

15 b) d) Exercício Determine o intervalo de variação do seno e do cosseno. O seno e o cosseno têm valor máximo e mínimo? Figura 4: Triângulo do Exercício c Figura 5: Triângulo do Exercício d Exercício Quando o ângulo de elevação do sol é de 65º, a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. (sen 65º = 0,9063, cos 65º = 0,4226 e tg 65º = 2,1445). Exercício Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32º. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32º = 05299, cos 32 = 0,8480 e tg 32º = 0,6249) a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m 15

16 Circulo trigonométrico (5h/a) Objetivos Aprender operar no círculo trigonométrica. Compreender as definições de cossecante, secante e cotangente. 2.1 Medidas de ângulos Iremos trabalhar com duas medidas de ângulo: Grau e Radiano: O Grau mede a abertura de um ângulo (arco de circunferência). É obtido dividindo a circunferência (circunferência que contem o arco a ser medido) em 360 partes, ou seja, o ângulo correspondente a uma dessas partes é chamado de um de ângulo de 1 grau onde denotaremos por 1º. Definimos a medida em radianos (simbolizado por rad) de um ângulo de um arco como a razão entre o comprimento S do arco pelo raio r da circunferência que o contém. Ou seja, rad é a medida de em radiano. Assim quando um arco mede um radiano (1rad), significa que o arco tem comprimento igual ao raio da circunferência que o contém. Figura 6: Arco em radiano. Fonte: Disponível em: < -raiz-quadrada-romboedro-reta.html>. Figura editada. A relação entre as unidades graus e radianos pode ser estabelecida através do comprimento de uma circunferência de raio r. De fato, como o comprimento da circunferência de raio r é 2πr e um radiano é equivalente a 1r (1 rad = r), assim 2πr = 2π.1 rad = 2π rad Ou seja, uma circunferência possui 2π rad. Mas uma circunferência também possui 360º, então 360 = 2π rad => 1 rad = (180) e 1 = ( π ) rad. π 180 Portanto, para converter de grau para radiano, basta dividir o valor do grau por 180 e multiplicar por π, por exemplo: 360 = (360) π rad = 2π rad, = (180)π rad = π rad, = ( 90 )π rad = (π)rad

17 Para converter de radiano para grau, basta fazer o processo inverso, ou seja, multiplicar o valor do grau por 180 e por dividir π, veja isso nos exemplos acima. Atividades de aprendizagem Exercício 2.1.1: converta os seguintes ângulos em radianos: a) 0 e) 120º i) 225º m) 330 b) 30 f) 135º j) 240 c) 45º g) 150 k) 270 d) 60º h) 210 l) 300 Com os eixo coordenados x e y o circulo trigonométrico fica divido em quatro quadrantes (veja a Figura 3) e dado um ponto P no circulo obtemos um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 1 tal que o eixo x (cateto adjacente) assumi valores para o cosseno e o eixo y (cateto oposto) assuma valores do seno (veja a Figura 8). Na figura abaixo temos alguns valores do seno, cosseno e da tangente no circulo trigonométrico, com seus respectivos eixos: 2.2 Circulo trigonométrico Denomina-se circulo trigonométrico a circunferência cujo raio é igual a 1 unidade de comprimento na qual o sentido positivo é o anti-horário. Figura 7: Circulo de raio 1 com seus quadrantes. Fonte: Disponível em: < Figura editada. Figura 8: Circulo trigonométrico. Fonte: Disponível em: < 17

18 Observe que no 1º e 2º quadrante o seno e positivo e no 3º e 4º o seno e negativo, pois o seno está representado no eixo y. E como o cosseno está representado no eixo x temos que o cosseno é positivo no 1º e 4º quadrante e negativo no 2º e 3º quadrante. Atividades de aprendizagem Exercício 2.2.1: Verifique como ficam os valores da tangente com relação aos quadrantes. Com o circulo trigonométrica montamos a seguinte tabela: Tabela 1 Seno, cosseno e tangente Exercício Verifique o intervalo de variação de tg x. Exercício Calcule os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º. Exercício Quando o ângulo de elevação do sol é de 60º, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando. Exercício Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de a) 2 km b) 3 km c) 4 km d) 5 km Exercício Qual é a área do triângulo ABC da figura, na qual AB = 4 cm e BC = 2 cm? Fonte: PAIVA, Manoel. Matemática - Volume 1 Assim, com o circulo trigonométrica fica fácil de verificar que o valor máximo do seno e do cosseno é 1 e o valor mínimo do seno e cosseno é -1. Ou seja, -1 sen x 1 e - 1 cos x 1. Figura 9: Triângulo do exercício

19 2.3 Cossecante, Secante e Cotangente Cossecante Dado um número real x tal que, x Kπ, para todo KєZ, considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto C e denotamos por cosssec x. Veja que na figura acima temos que os triângulos retângulos e são semelhantes, com isso Mas como é igual a 1 (raio do circulo), é o valor de cos x e pela definição de cossecante, é o valor de cossec x. Então substituindo esses valores temos No circulo trigonométrico temos alguns valores do seno, assim: Figura 10: Construção da cossecante Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3. Figura editada. Atividades de aprendizagem Exercício : Com auxílio do círculo trigonométrico calcule: a) cossec 30 b) cossec 45 c) cossec 60 19

20 2.3.2 Secante Seja x um número real tal que, x π/2 + kπ para todo k є Z, considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto S. Assim, definimos por secante o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto S e dotamos por sec x. Mas como é igual a 1 (raio do circulo), é o valor de cos x e pela definição de secante é o valor sec x. Substituindo esses valores temos, Com auxílio do circulo trigonométrico obtemos o seguinte: Atividades de aprendizagem Figura 11: Construção da secante Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3. Figura editada. Na figura acima, note que os triângulos retângulos OPS e OP 2 S são semelhantes, assim temos que Exercício : Usando o circulo trigonométrico calcule: a) sec 30 b) sec 45 c) sec Cotangente Dado um número real x tal que, para todo KєZ, considerando uma reta d tangente ao circulo trigonométrico no ponto B e seja D o ponto de interseção 20

21 da reta d como o segmento. Definimos por cotangente o módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto D e denotamos por cotg x. Mas note que Com isso, usando o circulo trigonométrico temos o seguinte exemplo: Figura 12: Construção da cotangente Fonte: IEZZI: Fundamento de Matemática Elementar 3. Figura editada. Note que na figura acima os triângulos retângulos OBD e OP 1 P são semelhantes, assim temos que Mas como é igual a 1 (raio do circulo), é o valor de sen x, é o valor de cos x e pela definição de cotangente é o valor cotg x. Substituindo esses valores temos, Ou Atividades de aprendizagem Exercício : Usando o circulo trigonométrico calcule: a) cotg 30 b) cotg 45 c) cotg 60 Exercício : Monte a reta dos valores da cotangente no circulo trigonométrico. 21

22 Arcos Côngruos e Redução ao 1º Quadrante (5h/a) Objetivo Simplificar os cálculos das razões trigonométricas como os arcos côngruos e redução para o 1º quadrante. 3.1 Arcos côngruos Considere um arco AB onde o valor 0 está associado a extremidade A é o valor x (ou é o valor y.π radiano) está associada ao ponto B. Suponha que um ponto, com parte em A, se desloque k voltas inteiras pare no B, o número associado à extremidade do arco AB será descrito por y.π + k.2π ou x +.360, k є Z Atividades de aprendizagem Exemplo 3.1.1: Os seguintes arcos são côngruos: a) 0, 360, 720, pois 720 =, x 2 b) 30, 390º, 750º, pois 390 = e 750 = 360 x Redução do 2º quadrante para o 1º quadrantes Qualquer ângulo do segundo está entre 90 e 180º. Então, dado x um ângulo entre 90 e 180, ou seja, x é um ângulo que satisfaz π < x < π. Note que no circulo trigonométrico, x e simétrico a x em relação ao eixo dos senos. Assim temos, sen x = sen (π - x) cos x = - cos (π - x) Exercício 3.1.2: Escreva o Exemplo usando radiano. Exercício 3.1.3: Determine o menor arco não-negativo côngruo ao arco: a) 1320 b) 19 π/4 rad c) -750 Figura 13: Redução do 2º para 1º. Fonte: EZZI: Trigonometria. Figura editada. Levando em conta as razões trigonométricas temos tg x = sen x = sen (π - x) = - tg (π - x); cos x - cos (π - x) 22

23 cossec x = 1 = 1 = cossec (π - x); sen x sen(π - x) sec x = 1 = 1 = - sec (π - x); cos x - cos (π - x) cotg x = 1 = cos x = - cos(π - x) = - cotg (π - x). tg x sen x sen (π - x) Por exemplo: sen 115 = sen ( ) = sen 65 ; cos 115 = -cos ( ) = -cos 65 ; tg 130 = -tg ( ) = - tg 50 ; cossec 160 = cossec ( ) = cossec 20 ; sec 170 = - sec ( ) = - sec 10 ; cotg 140 = - cotg ( ) = -cotg 40. Atividades de aprendizagem Exercício 3.2.1: Se um ângulo x está entre 90 e 180, use os valores do circulo trigonométrico para confirmar que sen x = sen (π - x) e cos x = - cos (π - x). 3.3 Redução do 3º quadrante para o 1º quadrantes Dado um ângulo x no 3º quadrante do circulo trigonométrico, x é um ângulo entre 180 e 270, ou seja, x é um ângulo que satisfaz π < x < 3π. 2 Veja que no circulo trigonométrico, x e simétrico a x em relação ao centro do circulo. Assim temos, sen x = -sen (x - π) cos x = - cos (x - π). Por consequência temos: tg x = sen x = - sen (x - π) = tg (x - π); cos x - cos (x - π) Figura 14: Redução do 3º para 1º Fonte: IEZZI: Trigonometria. Figura editada. 23

24 cossec x = 1 = 1 = - cossec (x - π) ; sen x - sen(x - π) sec x = 1 = 1 = - sec (x - π); cos x - cos(x -π) cotg x = 1 = cos x = - cos(x - π) = cotg (x - π). tg x sen x - sen (x - π) Por exemplo: sen 215 = -sen ( ) = - sen 35 ; cos 215 =-cos( ) = -cos35 ; tg 230 = tg ( ) = tg 50 cossec 260 = cossec ( ) = -cossec 80 ; sec 250 = - sec ( ) = - sec70 ; cotg 200 = cotg ( ) = cotg 20. Atividades de aprendizagem Exercício 3.3.1: Se um ângulo x está entre 180 e 270, use os valores do circulo trigonométrico para confirmar que sen x = -sen (x - π) e cos x = - cos (x - π). 3.4 Redução do 4º quadrante para o 1º quadrantes Seja x um ângulo no 4º quadrante do circulo trigonométrico, assim x é um ângulo entre 270 e 360, ou seja, x é um ângulo que satisfaz 3π < x < 2π 2 Note que no circulo trigonométrico, x é um ângulo simétrico a x em relação ao eixo do cosseno. Assim temos sen x = - sen (2π - x) cos x= cos (2π - x). Como consequência temos: Figura 15: Redução do 4º para 1º Fonte: IEZZI: Trigonometria. Figura editada. 24

25 tg x = sen x = - sen 2π - x = - tg (2π - x); cos x cos (2π - x) cossec x = 1 = 1 = - cossec (2π - x) ; sen x - sen(2π - x) sec x = 1 = 1 = sec (2π - x); cos x cos(2π - x) cotg x = 1 = cos x = cos(2π - x) = - cotg (2π - x). tg x sen x - sen (2π - x) cotg 320 = cotg ( )=-cotg 40. Atividades de aprendizagem Exercício 3.4.1: Se x for um ângulo entre 270 e 360, use os valores do circulo trigonométrico para verificar que sen x = - sen (2π - x) e cos x = cos (2π - x). Por exemplo: sen 285 = -sen ( )= - sen 75 ; cos 275 = cos( ) = cos85 ; tg 333 = tg ( ) = - tg 27 ; cossec 310 = cossec ( ) = -cossec 70 ; sec 340 = sec ( ) = sec20 ; 25

26 Funções Trigonométricas (5h/a) Objetivo Visualizar o comportamento das razões trigonométricas conforme aplicamos os ângulos e interpretação de gráficos. Introdução As noções de seno e cosseno que já vimos, possibilitam o estudo de funções que estão associadas ao seno e ao cosseno. Essas funções são chamadas de funções trigonométricas ou de funções circulares. No circulo trigonométrico, pode observar que depois de uma volta completa, tanto os valores do seno quanto os valores do cosseno se repetem. Dizemos que uma função f : A B é periódica se existe um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x), para todo x є A. O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado período de f. 4.1 Função Seno Definimos a função seno como a função que associa a cada número real x ao número real sen x. Ou seja, f : R R, dada por f(x) = sen x. No circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função seno ( f(x) = senx ): A imagem da função seno é o intervalo [-1,1]. Pois para qualquer número real x, temos - 1 sen x 1; Se x estiver no primeiro ou no segundo quadrante, então senx é positivo; Se x estiver no terceiro ou no quarto quadrante, então senx é negativo; Quando x percorre o primeiro ou o quarto quadrante, f(x) é crescente; E quando x percorre o segundo ou o terceiro quadrante, f(x) é decrescente; A função seno é uma função periódica com período igual a 2π. De fato: sen (x+k.2π) = sen x, para todo k ϵ Z. Assim, com essas propriedades montamos o seguinte diagrama: Figura 16: Função periódica Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. 26

27 Com isso, obtemos o seguinte gráfico da função seno: No circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função cosseno (f(x) = cosx): A imagem da função cosseno é o intervalo [-1,1], pois para qualquer número real x, temos -1 cos x 1; Figura 17: Função seno. Fonte IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar. Figura editada Essa curva é denominada senóide. Atividades de aprendizagem Exercício 4.1.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - sen x d) f(x) = sen (x/2) b) f(x) = 2.sen x e) f(x) = 1 + sen x c) f(x) = sen 2x f) f(x) = sen x Exercício 4.1.2: Em que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = senx descrito na Figura 19. Se x estiver no primeiro ou no quarto quadrante, então cos(x) é positivo; Se x estiver no segundo ou no terceiro quadrante, então cos(x) é negativo; Quando x percorre o primeiro ou o segundo quadrante, a função cosseno é decrescente; E quando x percorre o terceiro ou o quarto quadrante, f(x) é crescente; A função cosseno é uma função periódica com período igual a 2π. De fato: cos (x + k.2π) = cos x, para todo k ϵ Z. Assim, com essas propriedades montamos o seguinte diagrama: 4.2 Função Cosseno Definimos a função cosseno como a função que associa a cada número real x ao número real cos x. Ou seja, f : R R, dada por f(x) = cos x. 27

28 E com esse diagrama, obtemos o seguinte gráfico da função cosseno: Figura 18: Função cosseno. Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3. Figura editada. Essa curva e denominada cossenóide. Atividades de aprendizagem Exercício 4.2.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - cos x d) f(x) = cos (x/2) b) f(x) = 2.cos x e) f(x)= 1 + cos x c) f(x) = cos 2x f) f(x) = cos x Exercício 4.2.2: O que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = sen x descrito na Figura 20? 4.3 Função Tangente Dado um número real x, tal que x π + kπ, para todo k ϵ Z 2 definimos a função tangente como sendo a função que associa a cada número real x ao número real tg x. Ou seja, f: D R, dada por f(x) = tg x, onde D = {x ϵ R x π + kπ, k ϵ Z}. 2 No circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função tangente (f(x) = tg x): A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais. Ou seja, dado um número real y, existe um número real x tal que, y = tg x; Se x estiver no primeiro ou no terceiro quadrante, então tg(x) é positivo; Se x estiver no segundo ou no quarto quadrante, então tg(x) é negativo; Quando x percorre qualquer um dos quadrantes, a função tangente é crescente; A função tangente é uma função periódica com período igual a π Isto é, tg (x + k.π) = tg x, x ϵ R tal que x π + kπ 2 28

29 Assim, com essas propriedades montamos o seguinte diagrama: E com essa tabela, obtemos o seguinte gráfico da função tangente: Atividades de aprendizagem Exercício 4.3.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - tg x d) f(x) = tg (x/2) b) f(x) = 2.tg x e) f(x) = 1 + tg x c) f(x) = tg 2x f) f(x) = tg x Exercício 4.3.2: em que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = tg x descrito na Figura 21? Figura 19: Função tangente. Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. Essa curva é chamada de tangentóide. 4.4 Função Cossecante Seja x um número real tal que x kπ para algum k є Z. Definimos a função cossecante como sendo a função que associa a cada número real x ao número real cossec x. Ou seja, f : D R, dada por f(x) = cossec x, onde D = {x ϵ R x kπ, k ϵ Z}. No circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função cossecante f(x) = cossec x): A imagem da função tangente é o subconjunto de todos os números real y tais que y -1 e y 1. Ou seja, Im f = {y ϵ R y = cossec x = 1, x kπ, k ϵ Z} = R \ ] - 1, 1 [. sen x Se x estiver no primeiro ou no segundo quadrante, então f(x) é positivo; 29

30 Se x estiver no terceiro ou no quarto quadrante, então f(x) é negativo; Quando x percorre o segundo e o terceiro quadrante, a função cossecante é crescente e quando x percorre o primeiro e o quarto quadrante, a função cossecante é decrescente; Como a função seno, a função cossecante é periódica com período igual a 2π. E com essas propriedades, obtemos o seguinte gráfico da função cossecante: Figura 20: Função cossecante Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. Atividades de aprendizagem Exercício 4.4.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - cossec x d) f(x) = cossec (x/2) b) f(x) = 2. cossec x e) f(x) = 1 + cossec x c) f(x) = cossec 2x f) f(x) = cossec x Exercício 4.4.2: Em que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = cossec x descrito na Figura 22? 4.5 Função Secante Dado um número x real tal que x π/2+kπ para algum kєz. definimos a função secante como sendo a função que associa a cada número real x ao número real sec x. Ou seja, f : D R, dada por f(x) = sec x, onde D = {x ϵ R x π + kπ, k ϵ Z}. 2 Com auxílio do circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função secante ( f(x) = sec x ): A imagem da função tangente é o subconjunto de todos os números real y tais que y -1 e y 1. Ou seja, é o conjunto Im f = {y ϵ R y = sec x = 1, x kπ, k ϵ Z} = R \ -1, 1 [. cos x 30

31 Se x estiver no primeiro ou no quarto quadrante, então f(x) é positivo; Se x estiver no segundo ou no terceiro quadrante, então f(x) é negativo; Quando x percorre o primeiro e o segundo quadrante, a função secante é crescente e quando x percorre o terceiro e o quarto quadrante, a função secante é decrescente; Como a função seno, a função secante é periódica com período igual a 2π. Assim, com essas propriedades obtemos o gráfico da função secante: Atividades de aprendizagem Exercício 4.5.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - sec x d) f(x) = sec (x/2) b) f(x) = 2.sec x e) f(x) = 1 + sec x c) f(x) = sec 2x f) f(x) = sec x Exercício 4.5.2: Em que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = cossec x descrito na Figura 23? 4.6 Função Cotangente Seja x um número real tal que x kπ para algum kєz. Definimos a função cotangente como sendo a função que associa a cada número real x ao número real cotg x. Ou seja, f : D R,dada por f(x) = cotg x, onde D = {x ϵ R x kπ, k ϵ Z}. Figura 21: Função secante Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. Com auxílio circulo trigonométrico, obtemos as seguintes propriedades da função cotagente (f(x) = cotg x): A imagem da função cotangente é o conjunto de todos os números real. Se x estiver no primeiro ou no terceiro quadrante, então f(x) é positivo; Se x estiver no segundo ou no quarto quadrante, então f(x) é negativo; 31

32 Quando x percorre qualquer um dos quatros quadrante, a função cotangente é decrescente; Como a função seno, a função secante é periódica com período igual a π. Assim, com essas propriedades construímos o gráfico da função cotangente: Atividades de aprendizagem Exercício 4.6.1: Determine o período, a imagem e construa o gráfico das funções f : R R dada por: a) f(x) = - cotg x d) f(x) = cotg (x/2) b) f(x) = 2. cotg x e) f(x) = 1 + cotg x c) f(x) = cotg 2x f) f(x) = cotg x Exercício 4.6.2: Em que diferi os gráficos do Exercício do gráfico da função f(x) = cotg x descrito na Figura 24? Figura 22: Função cotangente Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. 32

33 Formulas para as razões trigonométricas em soma e subtração de arcos (5h/a) Objetivo Deduzir a fórmulas das funções trigonométricas da soma e diferença de arcos. 5.1 Fórmula de adição (subtração) de dois arcos Sejam a e b dois ângulos e considere os ponto A, P, Q e R no circulo trigonométrico tais que, A=(1,0), P=(cos a,sen a), Q=(cos(a+b), sen (a+b)) e R=(cos(-b),sen(-b)). Pelo que já vimos podemos escrever R=(cos b,-sen b). Veja a Figura 17. Assim temos que os arcos AQ e RP têm a mesma medida, com isso as cordas AQ e PR têm o mesmo comprimento. Para dar continuidade ao raciocínio precisamos da fórmula da distância entre dois pontos: Dados dois pontos X e Y a distância entre eles (denotada por d(x,y)) é dada por X = (x 1, y 1 ), Y = (x 2, y 2 ), d(x, Y) = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 Aplicando fórmula da distância entre dois pontos para determinar o comprimento das cordas AQ e PR temos: d(a, Q) 2 = (cos (a + b) - 1) 2 + (sen (a + b) - 0) 2 = cos 2 (a + b) - 2cos(a + b) sen 2 (a + b) = [cos 2 (a + b) + sen 2 (a + b) ] + 1-2cos(a + b) = cos(a + b) = 2-2cos(a + b). Figura 23: Soma de arcos. Fonte: IEZZI, Fundamento de Matemática Elementar 3. Figura editada. d(r, P) 2 = (cos a + (- cos b) 2 + (sen a + sen b) 2 = cos 2 a - 2 cos a. cos b + cos 2 b + sen 2 a + 2 sen a. sen b + sen 2 b =[cos 2 a + sen 2 a]+[cos 2 b + sen 2 b] - 2 cos a.cos b + 2 sen a. sen b = 2-2 cos a.cos b + 2 sen a. sen b. Como as cordas AQ e PR têm o mesmo comprimento, então d(a,q)=d(p,r), com isso temos 2-2 cos (a +b) = 2-2 cos a. cos b + 2 sen a. sen b. 33

34 Assim 2 cos( a + b) = 2 cos a. cos b - 2 sen a. sen b. Portanto cos(a + b) = cos a. cos b - sen a. sen b. É a fórmula do cosseno para a soma de dois arcos. A fórmula do cosseno da diferença de dois arcos é obtida da formula da soma de dois arcos. De fato, como cos(- b) = cos b e sen(-b) = - sen b temos: cos(a - b) = cos(a + (-b)) = cos a. cos(- b) - sen a. sen(- b) = cos a. cos b - sen a. (- sen b) = cos a. cos b + sen a. sen b. Assim, cos(a - b) = cos a. cos b + sen a. sen b é a fórmula do cosseno para a diferença de dois arcos. Para determinar a fórmula do seno para a soma de dois arcos usaremos que sen x = cos(90 - x). Então, sen (a + b) = cos (π - (a + b)) = cos((π - a) - b)) 2 2 = cos (π - a). cos b - sen (π - a). sen b 2 2 = sen a. cos b + cos a. sen b. Logo, a fórmula do seno para a soma de arcos é sen(a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a. Utilizando o conhecimento adquirido até aqui soma seno cosseno e tangente, deduzimos as seguinte formulas de soma e subtração de arcos: A fórmula do seno para a diferença de arcos sen(a - b) = sen a cos b - sen b. cos a; A fórmula do tangente para a soma de arcos tg(a + b) = tg a + tg b; 1-tg a tg b) A fórmula do tangente para a diferença de arcos tg(a - b) = tg a - tg b. 1 + tg a tg b Atividades de aprendizagem Exercício 5.1.1: Usando os conhecimentos sobre seno, cosseno e tangente, demonstre as fórmulas (acima) do seno e da tangente para a soma e subtração de arcos. Exercício 5.1.2: Usando os conhecimentos sobre cossecante, secante e cotangente, deduza as fórmulas da cossecante, da secante e da cotangente para a soma e subtração de arcos. 34

35 Referências [L1] DANTE, Luis Roberto Dante. Matemática, Contexto e Aplicações Vo2. Editora Ática, São Paulo, Currículo do professor conteudista [L2] IEZZI, Gelson. Fundamento de Matemática Elementar 3: Trigonometria. 2º edição. Atual Editora, São Paulo. [L3] PAIVA, Manoel. Matemática - Volume 1. 1ª Edição. Editora Moderna, São Paulo, João De Deus Oliveira Júnior Graduado em matemática, licenciatura, pela Universidade Estadual de Montes Claros (Unimontes). Mestre em matemática pela Universidade Federal de Viçosa (UFV), cuja área de concentração é Geometria e Topologia. 35