PROJETO 6 Introdução aos conjuntos

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1 PROJETO 6 Introdução aos conjuntos Luiz Carlos Gabriel Filho

2 Introdução aos conjuntos Luiz Carlos Gabriel Filho Montes Claros/MG

3 REITOR João dos Reis Canela VICE-REITORA Maria Ivete Soares de Almeida DIRETOR DE DOCUMENTAÇÃO E INFORMAÇÕES Huagner Cardoso da Silva CONSELHO EDITORIAL Maria Cleonice Souto de Freitas Rosivaldo Antônio Gonçalves Sílvio Fernando Guimarães de Carvalho Wanderlino Arruda REVISÃO DE LÍNGUA PORTUGUESA Arlete Ribeiro Nepomuceno Aurinete Barbosa Tiago Carla Roselma Athayde Moraes Luci Kikuchi Veloso Ubiratan da Silva Meireles DESIGN INSTRUCIONAL Elpídio Rocha Neto Emília Murta Moraes Frederico Antônio Mineiro Lopes Gisléia de Cássia Oliveira Viviane Margareth Chaves Pereira Reis DESIGN EDITORIAL E CONTROLE DE PRODUÇÃO DE CONTEÚDO Adão Soares dos Santos Andréia Santos Dias Camilla Maria Silva Rodrigues Clésio Robert Almeida Caldeira Hugo Daniel Duarte Silva Magda Lima de Oliveira Marcos Aurélio de Almeida e Maia Sanzio Mendonça Henriques Tatiane Fernandes Pinheiro Tátylla Ap. Pimenta Faria Vinícius Antônio Alencar Batista Wendell Brito Mineiro Catalogação: Biblioteca Central Professor Antônio Jorge - Unimontes Ficha Catalográfica: 2012 Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. EDITORA UNIMONTES Campus Universitário Professor Darcy Ribeiro s/n - Vila Mauricéia - Montes Claros (MG) Caixa Postal: CEP: Correio eletrônico: editora@unimontes.br - Telefone: (38)

4 Presidência da República Federativa do Brasil Ministério da Educação Secretaria de Educação a Distância Ministro da Educação Aloizio Mercadante Presidente Geral da CAPES Jorge Almeida Guimarães Diretor de Educação a Distância da CAPES João Carlos Teatini de Souza Clímaco Governador do Estado de Minas Gerais Antônio Augusto Junho Anastasia Vice-Governador do Estado de Minas Gerais Alberto Pinto Coelho Júnior Secretário de Estado de Ciência, Tecnologia e Ensino Superior Nárcio Rodrigues Reitor da Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes João dos Reis Canela Vice-Reitora da Unimontes Maria Ivete Soares de Almeida Pró-Reitora de Ensino Anete Marília Pereira Diretor do Centro de Educação a Distância Jânio Marques Dias Coordenador Administrativo Fernando Guilherme Veloso Queiroz Coordenadora de Projetos CEAD Unimontes Maria Ângela Lopes Dumont de Macedo Coordenadora Pedagógica Zilmar Santos Cardoso Coordenadora TICs Unimontes Patrícia Takaki Neves

5 Sumário Palavra do professor conteudista... 8 Projeto instrucional... 9 Aula 1 - Conjuntos e subconjuntos Conjuntos e notações Conjuntos finitos e infinitos Igualdade de conjuntos Avaliação Referências Currículo do professor conteudista Aula 2 - Subconjuntos e conjunto vazio Subconjuntos e Conjunto Vazio Conjuntos de conjuntos Aula 3 - Conjunto das partes e conjuntos disjuntos Conjunto das partes, conjuntos disjuntos Diagramas de Venn-Euler Atividades de Aprendizagem Resumo Aula 4 - Operações básicas entre conjuntos Operações entre conjuntos Atividades de aprendizagem Aula 5 - Diferença e complemento de conjuntos Diferença Complemento Atividades de Aprendizagem Resumo

6 Apresentação Mensagem Inicial Prezado(a) Acadêmico(a), É com muita satisfação que apresentamos a você o nosso material didático do curso de nivelamento de que participará! Estamos todos orgulhosos por você ter confiado em nosso projeto e, mais ainda, por ter tido a iniciativa de buscar, de forma autônoma e comprometida, não só o seu aprendizado, como também a sua própria capacitação. Participar de um curso a distância requer mais do que simplesmente realizar as atividades solicitadas pelos professores e tutores. É preciso uma postura que estabeleça um diálogo entre tecnologia e aprendizagem, pois estão em jogo novas habilidades e competências que estes cursos podem lhe proporcionar. Nessa medida, estamos preparando para você diversos cursos que visam a repassar conteúdos, em geral próprios do ensino médio, muito importantes para o seu sucesso acadêmico e profissional, independentemente de sua área de conhecimento. O projeto conta com uma equipe de professores que acompanharão todos os cursos de nivelamento que podem ser acessados sempre que necessário. Então, não hesite em fazer suas críticas, sugestões e comentários em geral! Saiba que a sua opinião é muito importante para nós, pois visamos a uma melhoria contínua. Além de contribuir com o seu aprendizado, esperamos que você reconheça nas Tecnologias de Informação e Comunicação (doravante, TIC) as possibilidades de aprender a aprender e que esta experiência seja a primeira de muitas outras em que você estará aliando tecnologia e construção do conhecimento! Aproveite! Coordenação Geral da Proposta Institucional: Uso e Disseminação das TIC no Ensino Superior Presencial da Unimontes e Colaboradores do Projeto 6 6

7 Apresentação da Proposta Institucional O crescente uso das TIC na educação tem favorecido sobremaneira o acesso à educação a milhares de pessoas ao redor do mundo. Nessa medida, a educação presencial tem se apropriado das TIC em constante evolução. Esse fato é especialmente constatado no contexto da UAB/Unimontes, uma vez que o crescente grau de inovação, característico dessa modalidade de educação, tem conquistado cada vez mais docentes da educação presencial de todas as áreas. A efetividade de seus propósitos e a diversidade de suas soluções têm contribuído com a credibilidade e o reconhecimento destes recursos por toda a comunidade acadêmica. Essa Proposta Institucional da Unimontes, além de inovadora e desafiadora, almeja formar novas gerações comprometidas com o aperfeiçoamento e a sistematização do uso de novas TIC no ensino superior do país. Ações dessa natureza desenvolvem nos acadêmicos a habilidade de manusear os recursos tecnológicos existentes em favor de sua formação e atualização. Por conseguinte, desenvolvem a competência destes futuros profissionais de conceber ações pragmáticas em direção ao bem-estar social. Os sete projetos que integram essa Proposta se complementam e se inter-relacionam para que o objetivo do Edital 15 CAPES/DED/2010 seja cumprido, ou seja, para que de fato seja promovido o Uso e Disseminação das TIC no Ensino Superior Presencial da Unimontes. Um dos projetos, intitulado Inserção das TIC como recurso didático nos cursos de graduação da Unimontes: Artes Visuais, Artes Teatro, Artes Música, Geografia, Matemática, Odontologia e Sistemas de Informação, consiste na definição de que até oito disciplinas de cada um dos sete cursos de graduação diretamente envolvidos para serem contempladas pelas atividades e pelos recursos deste projeto. Estas disciplinas, e seus docentes, terão a oportunidade de elaborarem materiais didáticos de qualidade e de usufruírem da prerrogativa de oferecer até 20% de suas cargas horárias na modalidade a distância. Além desses sete cursos de graduação presenciais, serão atendidos os acadêmicos de todos os demais cursos superiores da Unimontes de todos os campi. Isso será possível, pois o projeto Oferecimento de Cursos de Nivelamento para os Cursos de Graduação Presenciais da Unimontes pretende oferecer cursos de nivelamento de forma irrestrita a toda a comunidade acadêmica. Tal demanda se faz necessária tendo em vista as formações 7

8 por vezes heterogêneas dos alunos recém-chegados do ensino médio. Assim, os conteúdos previstos nestes cursos de nivelamento impactam diretamente na efetividade da aprendizagem de alunos de todas as áreas do conhecimento, bem como no desenvolvimento de habilidades e competências deles. O impacto e os resultados esperados dessas ações são determinantes para a criação de uma cultura acadêmica de autonomia sobre o autoaprendizado, na busca pela construção do conhecimento, além de favorecer a institucionalização de atitudes pragmáticas por todos aqueles que podem contribuir para uma sociedade ainda mais justa, democrática, desenvolvida e tecnológica. Profa. Patrícia Takaki Neves Coordenação Geral da Proposta Institucional 8

9 Apresentação do Projeto 6 Você participará de um curso de nivelamento oferecido no âmbito do Projeto 6, intitulado Oferecimento de Cursos de Nivelamento para os Cursos de Graduação Presenciais da Unimontes. Nesse projeto, como já vimos, serão contemplados acadêmicos de todos os cursos superiores presenciais da Unimontes, de forma irrestrita, incluindo todos os campi. Esta dinâmica de oferecer cursos de nivelamento, embora inédita na graduação presencial da Unimontes, é, de certa forma, comum em várias instituições de ensino superior no Brasil e no mundo. Essa iniciativa é de grande importância para o sucesso dos estudantes nas disciplinas ao longo de sua vida acadêmica e profissional. Nesse contexto, em geral, os cursos de nivelamento abordarão conteúdos do ensino médio, embora a abordagem própria do ensino superior esteja presente nos materiais didáticos. As áreas prioritárias são: Língua Portuguesa, Língua Estrangeira, Matemática, Informática e Filosofia. Vale ressaltar que novas áreas também poderão ser atendidas conforme as pesquisas por novas demandas forem identificando. Os professores e tutores envolvidos na produção dos materiais e na execução desses cursos a distância serão todos capacitados metodológica e tecnologicamente. Da mesma forma, todos os alunos também serão devidamente capacitados para utilizar ambiente virtual de aprendizagem da Unimontes/Virtualmontes e demais TIC disponíveis. O projeto 6 conta com uma equipe própria de professores que irão acompanharão toda a dinâmica prevista para o oferecimento dos cursos, incluindo seus docentes, discentes e tutores. A avaliação de todo o processo, também realizada por estes professores, permitirá controlar melhor as ações e conduzir o projeto em direção à consecução de seus objetivos. Desse modo, esperamos que o projeto contribua com a sua aprendizagem, ao trabalhar com conteúdos básicos indispensáveis para o seu bom desempenho durante toda a sua trajetória acadêmica. Por fim, o projeto de oferecimento de cursos de nivelamento, alinhado com a Proposta Institucional, está fazendo a sua parte para melhorar ainda mais a qualidade da educação superior oferecida pela Unimontes, criando oportunidades para que a comunidade acadêmica esteja inserida no contexto das TIC na educação. Coordenação Geral da Proposta Institucional e Colaboradores do Projeto 6 9

10 Indicação de ícones Os ícones são elementos gráficos utilizados para ampliar as formas de linguagem e facilitar a organização e a leitura hipertextual. Atenção: indica pontos de maior relevância no texto. Saiba mais: oferece novas informações que enriquecem o assunto ou curiosidades e notícias recentes relacionadas ao tema estudado. Glossário: indica a definição de um termo, palavra ou expressão utilizada no texto. Mídias integradas: possibilita que os estudantes desenvolvam atividades empregando diferentes mídias: vídeos, filmes, jornais, ambiente AVEA e outras. Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes níveis de aprendizagem para que o estudante possa realizá-las e conferir o seu domínio do tema estudado. 10

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12 Palavra do professor conteudista Neste curso abordamos o conceito introdutório de conjuntos. A linguagem de conjuntos permeia toda a matemática, e neste sentido, é essencial conhecermos os conceitos fundamentais envolvendo conjuntos, uma vez que tal entendimento torna claro novos conceitos matemáticos que, vira e mexe aparecem em nossa vida. Estudamos o conceito de conjunto, a forma de representá-los e fazer operações entre eles. Cada abordagem dos tópicos é acompanhada de vários exemplos a fim de facilitar o entendimento. O estudante que tenha certa familiaridade com conjuntos numéricos e uma noção das operações de subtração, divisão, adição e multiplicação, não encontrará dificuldades em acompanhar o texto. Sugerimos que o leitor acompanhe as explicações dos tópicos procurando criar seus próprios exemplos, ou seja, além dos conceitos e exemplos fornecidos, procure imaginar situações diferentes. É um bom exercício para a imaginação e uma forma simples de fixar ideias. A imaginação é uma grande aliada da matemática. Como dizia Voltaire, Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes que na de Homero. Pensar sobre a matemática requer paciência, mas ela nos recompensa tornando mais claro o entendimento de novos conceitos. Esta é a filosofia de nosso Curso introdutório sobre conjuntos. Espero que gostem da abordagem dos tópicos e que procurem perceber a noção de conjuntos em diferentes áreas da matemática. Seja onde você estiver, na profissão que escolher, no curso que estiver estudando, havendo algum tema matemático, veja que no fundo existe a noção primordial de conjuntos. Bons estudos! Luiz Carlos Gabriel Filho 12

13 Projeto instrucional Disciplina: Curso introdutório sobre conjuntos (carga horária: 30 h). Ementa: Noções de conjuntos; relações entre conjuntos e operações. 1. Conjuntos e subconjuntos 2. Subconjuntos e conjunto vazio AULA 3. Conjuntos das partes e conjuntos disjuntos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Aprender as noções básicas de conjuntos, notações utilizadas. Manipular conjuntos através do diagrama de Venn Operar entre conjuntos, utilizando a forma tabular e os diagramas de Venn Representar conjuntos a partir dos diagramas de Venn-Euler. Processo de contagem de subconjuntos de um conjunto 4. Operações básicas entre conjuntos Operar entre conjuntos a partir dos conceitos de união e interseção. Utilizar as diferentes representações de conjuntos nestas operações 5. Diferença e complemento de conjuntos Operar entre conjuntos a partir do conceito de diferença e complemento. 6. Avaliação Tem a intenção de revisar todo o conteúdo visto, motivada por questões que tratam dos conceitos estudados no curso. MATERIAIS CARGA HORÁRIA 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 5h/a 13

14 Conjuntos e subconjuntos Neste momento vamos estudar a definição de conjuntos e a notação utilizada em nosso curso. Além disso, veremos as maneiras usadas para representar conjuntos e as relações existentes entre os objetos que compõem um conjunto. Estudamos também os conceitos primitivos, ou seja, os conceitos que não são definidos na matemática. Objetivo Aprender as noções básicas de conjuntos e notações utilizados. 1.1 Conjuntos e notações Em matemática conjunto é um ente primitivo, ou seja, conjunto se encontra na classe dos conceitos não definidos, assim como a noção de ponto, reta e plano em geometria. Mas podemos entender por conjunto uma coleção ou lista de objetos bem definidos. A coleção ou lista de objetos podem ser um cacho de uvas, uma matilha de lobos, um bando de pombos, etc. A esta coleção ou lista de objetos chamamos de elementos de um conjunto. Exemplo Abaixo listamos alguns exemplos de conjuntos e na frente relacionamos seus elementos. 1. Os Estados do Sudeste do Brasil: São Paulo, Rio de Janeiro, Espírito Santo e Minas Gerais. 2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o, u. 3. As capitais da Europa: Paris, Lisboa, Atenas, Madrid, etc. Nos três exemplos acima, vemos alguns exemplos de conjuntos. No primeiro, o conjunto dos estados do Sudeste do Brasil, onde São Paulo é um elemento deste conjunto, e, no total, este conjunto possui quatro elementos. Representamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, X, Y, etc. Os elementos de um conjunto representamos por letras minúsculas a, b, c, d, etc. Podemos representar um conjunto de duas maneiras: na forma tabular, ou por uma regra geral. Na forma tabular separamos os elementos por vírgulas, compreendidos entre chaves { }. Usando uma regra geral, todos os elementos devem satisfazer as propriedades determinadas pela regra. 14

15 Exemplo De acordo com o exemplo 1.1.1, podemos escrever o item 1 de duas formas distintas: 1. A = {São Paulo, Rio de Janeiro, Espírito Santo, Minas Gerais}. 2. A = { x; x é estado do Sudeste do Brasil}. A primeira representação é tabular, pois seus elementos são representados entre chaves e separados por vírgulas. A segunda representação é lida da seguinte forma: A é o conjunto dos elementos x, tais que x é estado do Sudeste do Brasil. Assim, as duas representações são idênticas. A vantagem da segunda representação está quando temos muitos elementos num conjunto, como é o caso do terceiro item do exemplo Podemos representá-lo da seguinte forma: B = {x; x é capital da Europa}. O terceiro caso pode ser escrito da seguinte forma C = {x; x é vogal do alfabeto}. Estabelecemos também entre um conjunto e seus elementos uma relação de pertinência. Se um objeto x pertence a coleção que está considerando um conjunto A, escrevemos x A, e lemos: x pertence ao conjunto A. Naturalmente, se um objeto não está na coleção que está considerando um conjunto A, escrevemos x A, que lemos da seguinte forma: x não pertence ao conjunto A. Assim, dado o conjunto B = {x; x é capital da Europa}, o elemento x = Las Vegas, não pertence a B, uma vez que Las Vegas é cidade dos Estados Unidos. E neste caso, escrevemos x B. Nos conjuntos acima, temos que Goiás A = {x; x é estado do Sudeste do Brasil}, e z C={x; x é vogal do alfabeto}. 1.2 Conjuntos finitos e infinitos Um conjunto é chamado de finito quando podemos contar seus elementos, e este processo de contagem chega a um final. Por outro lado, se contarmos os elementos de um conjunto, e este processo de contagem não chega a um final, dizemos que o conjunto é infinito. Exemplo Glossário A palavra pertinência significa aquilo que concerne a um assunto, pertença. 1. C = {a, b, c, d} é um conjunto Saiba mais finito, pois podemos contar Segundo o site do IBGE, o censo e chegamos a um fim da de 2010 aponta o Brasil com uma população aproximada de contagem habitantes. 2. D = {x Ν; x é par} = {2, 4, 6, 8,...} é um conjunto infinito. Podemos contar seus elementos, no entanto, 15 nossa contagem nunca chega a um fim.

16 3. E = {x; x é um Brasileiro} é um conjunto finito, podemos contar o número de brasileiros (mesmo sendo difícil), e chegarmos a um final da contagem. 1.3 Igualdade de conjuntos Dizemos que um conjunto A é igual ao conjunto B, quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Quando isto ocorrer, indicamos por A = B, que lemos: A é igual a B. Naturalmente, quando isto não ocorrer, indicamos por A B, que lemos: A é diferente de B. Exemplo Sejam X = {a, b, c, d} e Y = {c, d, b, a}. Neste caso todo elemento de X pertence a Y, e todo elemento de Y pertence a X. Portanto X=Y. 2. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Neste caso 1 A, mas 1 B. Ainda 5 B, mas 5 A. Portanto, A B. a) A é o conjunto dos x, tal que x ao quadrado é igual a dezesseis. b) B é o conjunto dos x, tal que x menos 1 é igual a 7. 2) Quais dos seguintes conjuntos abaixo são finitos? a) As pessoas que habitam a China. b) A = {x; x é par}. c) Os planetas do sistema solar. d) O conjunto dos números naturais. 3) Dentre os conjuntos abaixo, obtenha os conjuntos que são iguais. A = {x Ν; x = 2n e n = 1, 2, 3, 4}; D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; C = {x Ν; 1 x 9}; E = {1/n; n = 1, 2, 3, 4, 5}; F = {1/2, 1/3, 1/4, 1/5}; B = {2, 4, 6, 8}. Atividades de aprendizagem 1) Reescreva as seguintes frases abaixo usando a forma tabular de conjuntos: 16

17 Subconjuntos e conjunto vazio Objetivo Operar entre conjuntos, utilizando a forma tabular e os diagramas de Venn. 2.1 Subconjuntos e Conjunto Vazio Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é um elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B, ou que B contém A, e escrevemos: A B (A está contido em B) ou B A (B contém o conjunto A). Se todo elemento de A não pertence a B, dizemos que A não é subconjunto de B. Neste caso, escrevemos A B (A não está contido em B) ou B A (B não contém A). Exemplo Sejam C = {1, 3, 5} e D = {6, 5, 4, 3, 2, 1}. Observamos que todo elemento de C é elemento de D. Assim, C D. Podemos também escrever D C (D contém C). Sejam X = {x Ν; x é par} e Y = {y Ν; y é ímpar}, ou seja, X = {2, 4, 6, 8,...} e Y = {3, 5, 7, 9,...}. Observamos que todo elemento de X não é elemento de Y. Neste caso X Y, ou podemos escrever Y X (Y não contém X). Da mesma forma, temos que Y X e X Y. Neste caso, ainda dizemos que X Y. 2. Sejam E = {2, 4, 6} e F = {6, 2, 4}. Temos que E F, pois todo elemento de E é elemento de F. Observamos também que F E, ou seja, todo elemento de F é elemento de E. Assim, concluímos que E = F, pela definição de igualdade de conjuntos. Pelo exemplo 2.1.1, estamos em condições de estabelecer a igualdade de conjuntos a partir da definição de subconjuntos acima. Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B, e escrevemos A = B, se e somente se, A B e B A. Assim, se A = B, então vai ocorrer as inclusões, A B e B A. E ocorrendo as inclusões A B e B A, teremos a igualdade A = B. Usamos a notação para indicar um conjunto que não possui elementos. Ele é chamado de conjunto vazio e tem a propriedade de ser um subconjunto de qualquer conjunto. De fato, se houvesse algum conjunto do qual não fosse subconjunto, este deveria ter algum elemento que não pertenceste àquele, o que é impossível por não Saiba mais O conjunto dos números naturais é definido como o conjunto Ν = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Fonte: Elon Lages Lima (2007). 17

18 possuir nenhum elemento. Muitas vezes um conjunto é visto como elemento, como vemos no seguinte exemplo: Exemplo Seja A o conjunto dos habitantes da terra com mais de 300 anos. De acordo com as estatísticas conhecidas, A =. Exemplo Seja B = {x; x é uma letra antes de a no alfabeto}. Como a é a primeira letra do alfabeto, o conjunto B não contém elementos. Portanto, B =. 2.2 Conjuntos de conjuntos Pode ocorrer que os elementos de um conjunto são conjuntos. Nestas situações, os conjuntos passam a ser elementos. Assim, é importante não fazer confusão com os símbolos e. Saiba mais Podemos entender a nossa galáxia, a Via Láctea como um grande conjunto, com seus planetas, estrelas etc. E o sistema solar como outro conjunto, onde a terra é um elemento. Exemplo Seja o conjunto A = {{1, 2}, {4, 5}, {8, 9}}. Neste caso, escrevemos {1, 2} A, {4, 5} A e {8, 9} A, ou seja, os elementos de A são conjuntos e a relação entre eles é de pertence. Por outro lado, tomando A = {1, 6, 9}, temos que 1 A e {1, 6} A, isto é, 1 é elemento e {1, 6} é subconjunto de A. Atividades de aprendizagem 1) Dentre os conjuntos abaixo, quais são conjuntos vazios? Justifique sua resposta. a) F = {x; x x}; b) G = {x; x - 2 = 3 e x + 1 = 4}; c) H = {x; x - 2 = 3 ou x + 1 = 4}; d) I = {x; x + 8 = 8}; e) J = {x; x é uma letra depois de z no alfabeto}. 2) Como se prova que um conjunto A não é subconjunto de um conjunto B? Prove que A = {2, 3, 4, 5} não é subconjunto de B = {x; x é ímpar}. 3) Dados os conjuntos V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b} e Z = {a, b, d}. Marque V para os itens certos e F para os itens errados. 18

19 ( ) Y X; ( ) W Z; ( ) Z X; ( ) X = W; ( ) V X; ( ) V Y; ( ) W Y; ( ) W V; 4) Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso: a) {a} {1, 2, a, b}; b) {a, 1, 2} {1, 2}; c) a {1, 2, a, b}; d) {1, 2, 3, 4}; e) { } {, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}; f) {1, 2, 3, 4} {x Ν; 1 x 4}; g) {x; x é letra da palavra viola} {x; x é letra da palavra violino}. 19

20 Conjuntos das partes e conjuntos disjuntos Objetivo Representar conjuntos a partir dos diagramas de Venn-Euler. Processo de contagem de subconjuntos de um conjunto. 3.1 Conjunto das partes, conjuntos disjuntos Chamamos a lista de todos os subconjuntos de um conjunto X de conjunto das partes de X, indicado por P(X), como sendo o conjunto de todos os subconjuntos de X. Em outras palavras, P(X) denota as partes do conjunto X. Exemplo Seja o conjunto C = {a, e, {i, u}}. Este conjunto possui apenas três elementos que são as letras a, e e o conjunto {i, u}. O conjunto {i, u} é um elemento de C. Note ainda que i C e u C. Os subconjuntos de C são {a, e, {i, u}}, {a, e}, {a, {i, u}}, {e, {i, u}}, {a}, {e}, {{i, u}} e. Exemplo Seja A = {x, y, z, k}. Os subconjuntos de A são: {x}, {y}, {z}, {k}, {x, y}, {x, z}, {x, k}, {y, z}, {y, k}, {z, k}, {x, y, z}, {x, y, k }, {x, z, k}, {y, z, k}, {x, y, z, k},. Ou seja, o conjunto A possui oito elementos. Se X é um conjunto finito, ou seja, se X possui n elementos, podemos mostrar que X possui 2 n elementos. No exemplo 3.1.1, temos que C possui 3 elementos. Assim, o total de subconjuntos formados a partir conjunto C é de 8 elementos. Basta substituir n por 3. No exemplo 3.1.2, fazendo n = 4 temos dezesseis elementos no conjunto A. Sejam A e B dois conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum. Ou seja, não há um elemento de A em B, e não há um elemento de B em A. Quando isto ocorrer, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Exemplo Sejam A = {1, 2, 6, 8} e B = {2, 4, 7, 9}. Neste caso, A e B não são disjuntos. Pois 2 A e 2 B. Por outro lado, os conjuntos F = {x, y, z} e K = {r, s, t} são dois conjuntos disjuntos, pois não há elemento comum entre F e K. Em nosso estudo, todos os conjuntos serão subconjuntos de um conjunto determinado. Por exemplo, o conjunto A = {1, 2, 3} é subconjunto de um conjunto maior, que é o conjunto dos números naturais Ν = {1, 2, 3, 4, 5,...}. A este conjunto maior, que contém subconjuntos, chamamos conjunto universo, que denotamos simplesmente por U. No caso acima, o conjunto A é subconjunto do conjunto universo Ν. 20

21 3.2 Diagramas de Venn-Euler Vimos que podemos representar um conjunto através da forma tabular, ou seja, representamos os elementos de um conjunto entre chaves e separados por vírgulas. Saiba mais John Venn ( ), lógico e matemático britânico, criador dos diagramas de Venn, adotados pela matemática moderna. Leonard Paul Euler ( ), matemático e físico suíço. Calculase que toda sua obra reunida chegue a 60 e 80 volumes. Fez muitas contribuições para a matemática moderna, e muitas notações na matemática são devidas a ele. Fonte: Wikipédia, enciclopédia livre. Outra forma de representar conjuntos é através dos diagramas de Venn-Euler, ou simplesmente, diagramas de Venn. Os diagramas de Venn são representados através de uma área plana, geralmente por um círculo. Exemplo Suponhamos que A B e A B. Em particular, seja A = {a, e} e B = {a, e, i, o, u}, neste caso, A B e A B. Assim, A e B podem ser descritos por qualquer dos diagramas abaixo. Figura 1: Diagrama de Venn. Fonte: Lipschutz, p. 08. Exemplo Suponhamos agora que C = {2, 4, 6} e D = {3, 5, 7}. Neste caso, notamos que C e D não possuem elementos em comum. Ou seja, C e D são disjuntos. A representação de C e D em diagrama é a seguinte: Figura 2: Conjuntos disjuntos. Fonte: Lipschutz, p

22 Exemplo Sejam X = {a, b, c, d} e Y = {c, d, e, f}. Observamos que X e Y possuem elementos em comum. Neste caso, representamos pelo diagrama de Venn da seguinte forma: a) Dois conjuntos A e B, tais que A B e A B; b) Três conjuntos A, B e C, tais que A B e B C; c) Três conjuntos A, B e C, tais que A B e C B, A C e C A. 4) Obtenha todos os subconjuntos do conjunto A={1, {2, 3}}. Figura 3: Interseção entre conjuntos. Fonte: Lipschutz, p. 08. Atividades de aprendizagem 1) Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {x, y, z, k, w, v, t}? 2) Quantos subconjuntos do conjunto F = {a, b, c, d} possui dois elementos? Quantos possuem três elementos? 3) Construa os possíveis diagramas de Venn para os seguintes itens abaixo: 5) Construa o diagrama de Venn-Euler para os conjuntos abaixo: a) A = {a, b, c} e B = {a, b}; b) F = {x, y, z, t}, G = {a, b, c, t} e H = {i, m, u, t}; c) R = {k, l, m} e V = {x, y, t}. Resumo Nas aulas 1, 2 e 3 estudamos conjuntos e as relações existentes entre conjuntos e elementos de um conjunto. Vimos que de um conjunto podemos obter vários outros conjuntos, que chamamos de subconjuntos. Além disso, vimos também que os elementos de um conjunto podem ser conjuntos. Por último, estudamos os diagramas de Venn-Euler, uma outra maneira de representar conjuntos além da forma tabular. 22

23 Operações básicas entre conjuntos Nesta aula vamos alargar nosso conceito sobre conjuntos e utilizar os diagramas de Venn-Euler para facilitar a compreensão de operações entre conjuntos. Assim, a partir da aula anterior, vamos definir operações entre conjuntos, muito parecidas com as operações que utilizamos entre números. Objetivos Operar entre conjuntos a partir dos conceitos de união e interseção. Utilizar as diferentes representações de conjuntos nestas operações. 4.1 Operações entre conjuntos Quando estudamos o conjunto dos números reais, aprendemos as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Na soma de dois números reais, por exemplo, fazemos corresponder a cada par x e y de números reais a sua soma x+y, que também pertence aos reais. De maneira parecida, vamos definir operações entre conjuntos. Ou seja, a cada par de conjuntos A e B, definimos as operações de união, interseção e diferença de conjuntos. Iniciamos com a operação de união entre dois conjuntos União A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A B, formado pelos elementos de A mais os elementos de B. Assim, se x A B, podemos afirmar duas coisas: x A ou x B. A palavra ou aqui significa que pelo menos uma dessas duas alternativas é verdadeira, sem ficar excluída a possibilidade de que ambas o sejam, ou seja, de se ter ao mesmo tempo x A ou x B. No diagrama de Venn abaixo, a união A B é a parte sombreada. Figura 4: União entre conjuntos. Fonte: Lima, p. 06. Assim, escrevemos A B = {x; x A ou x B}, que lemos, A união B é o conjunto dos elementos x, tais que x pertence a A ou x pertence a B. 23

24 Exemplo Sejam X = {a, b, c, d} e Y = {b, d, f, g}. Assim X Y = {x; x X ou x Y}, ou seja, X = {a, b, c, d, f, g}. Para quaisquer conjuntos A e B, temos as seguintes relações, facilmente verificáveis: A A B e B A B. Como no exemplo acima, temos que X X Y e Y X Y. Exemplo Sejam os conjuntos X = {Sabrina, Carla, Josy, Amanda} e Y = {Carla, Débora, Renata, Carol} e Z = {Liliane, Quézia, Carla}. Assim formamos os seguintes conjuntos de mulheres, X Y = {Amanda, Carla, Carol, Débora, Josy, Renata, Sabrina}; X Z = {Amanda, Carla, Josy, Liliane, Sabrina, Quézia}; Y Z = {Carla, Carol, Débora, Liliane, Renata, Quézia} Interseção A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto A B, formado pelos elementos comuns a A e B. Se x A B, significa dizer que, temos ao mesmo tempo x A e x B. Assim, temos A B = {x; x A e x B}. Pode ocorrer de não existir elemento x, tal que x A e x B. Neste caso, escrevemos A B = e dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. No diagrama de Venn abaixo, onde A e B são discos, a interseção A B é a parte sombreada. Figura 5: Interseção entre conjuntos. Fonte: Lima, p. 07. Exemplo Sejam S = {a, b, c, d} e V = {f, b, d, z}. Assim S V = {x; x S e x V}, ou seja, S V = {b, d}. Exemplo Sejam A = {x; x é um número par} e B = {y; y é um número ímpar}. Temos que A B =, uma vez que A e B são conjuntos disjuntos. Exemplo A partir do exemplo da seção anterior, temos que X Y = {Carla}, X Z = {Carla}, Y Z = {Carla}. Para quaisquer conjuntos A e B, temos as seguintes 24

25 relações, facilmente verificáveis: (A B) A e (A B) B. Para exemplificar, basta tomar o exemplo , onde vemos que (S V) S e (S V) V, como também no exemplo , A B = A e A B = B. Atividades de aprendizagem 1) No diagrama de Venn abaixo, sombreie os seguintes conjuntos: a) A (B C); b) (A B(A C); c) A (B C); d) (A B) (A C); e) A partir dos itens a), b), c) e d), conclua que A (B C) = (A B) (A C) e A (B C) = (A B) (A C). 2) Sejam A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, B = {1, 2, 3, 5, 7} e C = { 5, 6, 7, 8, 9}. Determine: a) A B; b) A C; c) B C; d) A B; e) A C; f) B C. 3) Sejam A, B e C os conjuntos do exercício 2. Obtenha os conjuntos: a) (A B) C; b) A (B C); c) A partir dos itens a) e b), podemos afirmar que (A B) C = A (B C)? 4) Sejam A, B e C os conjuntos do exercício 2. Obtenha os conjuntos: a) (A B) C; b) A (B C); c) A partir dos itens a) e b), podemos afirmar que (A B) C = A (B C)? Figura 6: Diagrama de Venn. Fonte: Lipschutz, p

26 Diferença e complemento de conjuntos 5.1 Diferença A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto A-B, formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Em notação de conjuntos, escrevemos A - B = {x; x A e x B}. De forma análoga, definimos a diferença B - A pela notação B - A = {x; x B e x A}. Na figura abaixo, onde os conjuntos A e B são representados por discos, representamos a diferença A - B e B - A, nas partes sombreadas nas figuras abaixo. Figura 6: Diferença entre conjuntos. Fonte: Lima, p. 09. Figura 7: Diferença entre conjuntos. Fonte: Lima, p. 09. Exemplo Sejam U = {x, y, z, k} e V = {f, y, k, g}. Temos assim os conjunto U - V = {x, z} e V - U = {f, g}. Exemplo Seja Ν o conjunto dos números naturais, ou seja, Ν = {1, 2, 3, 4, 5,...} e X o conjunto dos números pares, ou seja, X = {2, 4, 6, 8, 10,...}, assim, Ν - X = {x; x Ν e x X}, a diferença Ν - X são os números naturais menos o conjunto dos números pares, cujo resultado é o conjunto dos números ímpares. Logo, Ν - X = {1, 3, 5, 7, 9,...}. Dados dois conjuntos A e B, para formar a diferença A - B pode ocorrer de A e B serem disjuntos. Quando isto ocorrer, teremos A - B = A e B - A = B. Para exemplificar, consideremos dois conjuntos, C = {1, 2, 3} e D = {4, 5, 6}, temos que C D =. Assim, temos: C - D = {x; x C e x D} = {1, 2, 3} = C portanto C - D = C. D - C = {x; x D e x C} = {4, 5, 6} = D portanto D - C = D. Outra observação importante é que dados dois conjuntos A e B, temos que os seguintes conjuntos A-B, B-A e A B são dois a dois disjuntos. Para exemplificar, tomemos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4, 5, 7}. Assim, A - B = {2, 3}, B - A = { 5, 7 } e A B = {1, 4}. Em outras palavras, (A - B) (B - A) =, (A - B) (A B) = e (B - A) ( A B) =. 26

27 Saiba mais Nossa população mundial conta com mais de 6 bilhões de pessoas, 5.2 Complemento e aumenta anualmente em 75 milhões de pessoas. Fonte IBGE. Vivemos num grande conjunto O complemento de um conjunto chamado planeta terra, onde A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a A, ou seja, devemos agir com tolerância, para construir um mundo mais harmonioso e pacífico. é a diferença do conjunto universal U por A. Em notação de conjuntos, escrevemos U - A = {x; x U e x A}, que vamos denotar o complementar de A simplesmente por U - A = A. No diagrama de Venn abaixo, sombreamos o complementar de A, isto é, a área fora de A. Figura 8: Complemento do Conjunto A. Fonte: Lipschutz, p. 26. Exemplo Consideremos o conjunto universal U como sendo o conjunto dos números naturais e seja X = {1, 2, 3}. Assim, denotamos por X o complemento do conjunto X, que é o conjunto dos elementos que não pertencem a X, assim, X = {x; x U e x X} = {4, 5, 6, 7, 8,...}. Exemplo Tomando o conjunto universal U como o alfabeto e V = {a, b, c}, temos que V = {d, e, f, g,..., x, y, z}. Dado um conjunto universal U e um subconjunto A U, temos que A A = U, ou seja, a união de qualquer conjunto A com o seu complementar A, é igual ao conjunto universal U. Para exemplificar, vamos considerar o exemplo 5.2.2, onde V V = U, ou seja, a união de V = {a, b, c} com o conjunto V = {d, e, f, g,..., x, y, z}, é igual ao conjunto universal U, que é o alfabeto. Além disso, dado um conjunto A e seu complementar A, temos ainda A A =. Para exemplificar, consideremos o exemplo 5.2.1, onde X = {1, 2, 3} e X = {4, 5, 6, 7, 8,...}, onde X X =. Em outros livros, ao invés da palavra complemento, é comum o uso da palavra complementar. Assim, A é o complementar do conjunto A em relação ao conjunto universo U. 27

28 Saiba mais Vivemos num grande universo e observamos pelo telescópio Hubble entre 80 e 120 bilhões de galáxias. Habitamos a Via Láctea e dentro da Via Láctea habitamos no sistema solar. E dentro do sistema solar, vivemos na terra, com uma população de aproximadamente 6 bilhões de habitantes. E cada ser humano possui aproximadamente 100 trilhões de células. Nosso universo é fascinante! Figura 9: Diagrama de Venn. Fonte: Lipschutz, p. 35. Atividades de Aprendizagem 1) No diagrama de Venn abaixo, sombreie os seguintes conjuntos: a) A ; b) B ; c) (A-B) ; d) (A B) ; e) A - B; 2) Seja o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}. Determine: a) A - B; b) A - C; c) B - C; d) B - A; e) C - A; f) C - B; g) A ; h) B ; i) C ; j) (A - B) ; k) A - B ; l) A - B; m) A - B ; n) Neste caso, é verdadeira a seguinte igualdade (A - B) = A - B?; o) (A - C) ; p) ((A - C) ) ; q) (A ) (lemos: o complementar do complementar de A ). 28

29 3) Consideremos o conjunto U = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 17, 21, 30}. Obtenha o complementar em U dos seguintes conjuntos: a) {3, 5, 8, 17}; b) {1, 2, 4, 7, 21}; c) {x; x é múltiplo de 3}; d) {x; x é par}. Resumo Nas aulas 4 e 5 aprendemos a fazer operações entre conjuntos, como a união, interseção e diferença. Para isto, utilizamos os diagramas de Venn-Euler para facilitar a compreensão nas operações, que apresentamos ao longo do texto. Além disso, estudamos o conceito de complemento (ou complementar) de um conjunto em relação a um conjunto universo U. A fim de facilitar a compreensão deste conceito também utilizamos alguns exemplos e apresentamos algumas propriedades fundamentais de complemento. Em seguida, exemplificamos cada uma das propriedades a fim de facilitar melhor o entendimento e aplicações destas relações entre conjuntos. Avaliação Os exercícios abaixo são referentes às aulas 1, 2, 3, 4 e 5. E esta avaliação tem como objetivo fixar todas as idéias relativas sobre conjuntos que discutimos até agora. 1) Dado o conjunto V = {x, y, z}, marque V para verdadeiro e F para falso os seguintes itens: a) ( ) z V; b) ( ) z V; c) ( ) {z} V; d) ( ) {z} V. 2) Determine os conjuntos X e Y, que satisfazem as relações abaixo: a) {2, 3} X e X {2, 3, 4, 5, 6}; b) {x, y, z} Y e Y {x, y, z, k, w}. 3) Dados os conjuntos G = {l, m, n, o} e F = {m, o, k}, obtenha todos os conjuntos X, tais que X G e X F. 4) Dado o conjunto universo U = {a, b, c, d, e}, obtenha o complemento de cada um dos seguintes conjuntos: a) {a}; b) {b, c, d}; c) {c, d}; d) {a, b, c, d, e}. 29

30 5) Utilizando os diagramas de Venn, mostre que (A B) C=A (B C). 6) Dados três conjuntos não vazios F, G e H, obtenha o diagrama de Venn para estes três conjuntos, tais que F G, H G e F H =. 7) Demonstre que (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C). 8) Dados os conjuntos A={x; x R e 0 x 3} e B = {x; x R e -1 x 2}, obtenha os seguintes conjuntos: (Observação: R é o conjuntos dos números reais.) a) A B; b) A B. 9) No diagrama de Venn abaixo, hachure os seguintes conjuntos: a) A (B C); b) (A B) (A C). Referências EVARISTO, Jaime & PERDIGÃO, Eduardo. Introdução à Álgebra Abstrata. EDUFAL, Maceió, GOMES, Olimpio Ribeiro & SILVA, Jhone Caldeira. Estruturas Algébricas para Licenciatura. Introdução à Teoria dos Números. 1º edição. Brasília, Edição do Autor, HALMOS, Paul R. Teoria Ingênua dos Conjuntos. Coleção Clássicos da Matemática. Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2001 LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, volume 1. 12º edição. IMPA, LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. Editora McGraw- -Hill do Brasil, Ltda Figura 10: Diagrana de Venn. Fonte: Lipschutz, p

31 Currículo do professor conteudista Luiz Carlos Gabriel Filho Graduado em Matemática, licenciatura, pela Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes. Mestre em Matemática pela Universidade Federal de Viçosa - UFV, cuja área de concentração é Geometria e Topologia. E dentro da geometria, pesquisa a Geometria Hiperbólica, desenvolveu o seguinte trabalho Polígono Fundamental Associado ao Grupo Gerador da Superfície, na Universidade Federal de Viçosa. 31