Dimensionamento Ótimo de Blocos sobre Estacas

Transcrição

1 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs Acley Gbriel d Silv Tomz 1 Élcio Cssimiro Alves 2 Resumo As fundções êm imporânci fundmenl no compormeno ds esruurs. A deerminção do ipo de fundção, rs ou profund, depende do perfil geoécnico do solo. o cso de fundções profunds o projeo pode ser em escs ou ubulões, dí necessidde d concepção de blocos de coromeno em concreo rmdo. Ess escolh depende d crg do projeo esruurl e ds crcerísics do solo. Ese rblho presen formulção pr o problem de oimizção de blocos sobre escs com exemplos de plicção. Como resrições serão imposos os prâmeros definidos pel BR 6118:2014. Pr resolução do problem de oimizção será uilizdo o Méodo dos Ponos Ineriores uilizndo-se o sofwre Mlb. Plvrs-chve: Bloco, Escs, Oimizção. 1 Inrodução O dimensionmeno de esruurs de concreo rmdo busc enconrr um solução que end os requisios de resisênci, uilizção e durbilidde. Denre s possíveis soluções exise um solução óim pr cd necessidde como um menor cuso, menor peso, menor przo de execução enre ouros. Usulmene o dimensionmeno é relizdo prir de um pré-definição d geomeri do elemeno, são obids s solicições e verific-se se geomeri dod ende ods s condições esbelecids. Cso não end lgum ds condições do-se um nov geomeri é que ods s condições sejm endids. O projeis com su experiênci define se irá mner solução ou se irá lerá-l em busc de um melhor solução. Esse processo não grne que solução enconrd sej óim denre s possíveis. O dimensionmeno de bloco sobre escs esá enre os elemenos de esruur de concreo rmdo que normlmene são dimensiondos com esse procedimeno. Os blocos sobre escs são elemenos de volume que êm finlidde de rnsmiir s solicições provenienes do pilr pr s escs. Su inegridde é de exrem imporânci pr segurnç d esruur como um odo, porém, por serem elemenos que ficm bixo do nível do solo gerlmene não permiem um inspeção visul regulr. o Brsil uilizm-se dois modelos de cálculo pr bloco rígido sobre escs: o méodo ds Biels (BLÉVOT, 1967) e o méodo do CEB-FIP (1970). 1.1 Méodo ds Biels O Méodo ds Biels pr blocos de coromeno é bsedo nos ensios de BLÉVOT e FRÉMY (1967), e consise em se dmiir um reliç espcil no in erior do bloco compos por brrs rcionds e comprimids, unids por meio de nós. Com um modelo de reliç isosáic s forçs ds biels e irnes são clculds por meio do equilíbrio enre forçs inerns e exerns; s forçs de compressão ns biels são resisids pelo concreo, s de rção que um ns brrs horizonis d reliç pel rmdur. O méodo consise no cálculo d forç de rção, que define áre necessári de rmdur, e n verificção ds ensões de compressão ns biels, clcu lds ns seções siuds juno o pilr e às escs. As ensões limies form deerminds experimenlmene por BLÉVOT (1967). O méodo ds bie ls e irnes é recomenddo pr ções cenrds, e ods s escs devem esr igulmene fsds do cenro do pilr. Pode ser empregdo no cso de ções que não são cenrds, desde que se dmi que ods s escs comprimids esão submeids à mior forç rnsferid (OLIVEIRA, 2009). 1 Aluno do Mesrdo em Engenhri Civil, Universidde Federl do Espirio Sno. 2 Professor Douor, Deprmeno de Engenhri Civil d Universidde Federl do Espírio Sno. Av. Fernndo Ferrri, 574 Goibeirs Vióri ES.

2 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs 1.2 Méodo do CEB-FIP (1970) O projeo de blocos sobre escs considern dose o processo do CEB-FIP (1970) indic verificções de segurnç pr ensões normis e ngenciis, com solicições deerminds em seções rnsversis priculres. A roin é plicd blocos considerdos rígidos, com disânci enre fce do pilr é o eixo d esc mis fsd, vrindo enre um erço e mede d lur do bloco. Pr o dimensionmeno d rmdur principl do bloco o méodo sugere um verificção à flexão considerndo-se um seção de referênci inern pln, norml à superfície do bloco. Ess seção esá siud enre s fces do pilr um disânci de 0,15 p, onde p design medid do ldo do pilr no senido perpendiculr à seção considerd. Pr verificção d resisênci à forç corne defini-se um seção de referênci disne d fce do pilr de um comprimeno igul à mede d lur do bloco, e no cso de blocos sobre escs vizinhs o pilr, em que lgums escs ficm siuds um disânci d fce do pilr inferior mede d lur úil do bloco, seção é considerd n própri fce. A forç de referênci é igul componene norml à superfície de poio d resulne ds forçs plicds sobre um ou our ds pres do bloco limids pel seção de referênci (MUHOZ, 2004). essencilmene por biels de compressão, de form e dimensões complexs; c) ção por cislhmeno mbém em dus direções, não presenndo ruíns por rção digonl, e sim por compressão ds biels. Pr o dimensionmeno dos blocos são ceios modelos ridimensionis, lineres ou não lineres, e modelos biel-irne ridimensionis. O bloco deve er lur suficiene pr permiir ncorgem d rmdur de rrnque dos pilres. 2 Dimensionmeno de blocos sobre escs (Méodo ds Biels) 2.1 Bloco sobre dus escs A Figur 1 presen o esquem de cálculo de um bloco sobre dus escs, bem como sequênci lógic pr verificção dos ermos que influencim o seu dimensionmeno, e limições imposs por norm. 1.3 BR 6118:2014 Bloco sobre escs De cordo com BR 6118:2014 blocos são esruurs de volume usds pr rnsmiir às escs e os ubulões s crgs de fundção, podendo ser considerdos rígidos ou flexíveis. Qundo se verific expressão seguir, ns dus direções, o bloco é considerdo rígido. Cso conrário o bloco é considerdo flexível: ( p ) h (1) 3 onde h lur do bloco; dimensão do bloco em um deermind direção; p dimensão do pilr n mesm direção; O compormeno esruurl do bloco rígido se crceriz por: ) ção d flexão ns dus direções, ms com rções essencilmene concenrds ns linhs ds escs; b) forçs rnsmiids do pilr pr escs Figur 1 Bloco sobre dus escs: esquem de forçs. Áre de ço: 2 d gα = e gα = R s e p 2 4 R A = sd s f yd 2e p R = (2) s 8 d 57

3 Acley Gbriel d Silv Tomz, Elcio Cssimiro Alves Verificção d biel: 2.2 Bloco sobre rês escs Por geomeri pr bloco de rês escs em-se: e 3 0,9 p R = (7) s 9 d Figur 2 Áre d biel A b de concreo comprimido. o pilr: R A = sd (rmdur principl) s f yd A ensão n biel (pilr) é similr à do bloco de dus escs. A p A = senα (3) b 2 esc: A = A senα (4) b e onde A b áre d biel; A p áre do pilr; A e áre d esc Tensão n biel (pilr): σ = d cd, b, pil A sen 2 α p (5) Tensão n biel (esc): σ = d cd, b, es 2 A sen 2 α e (6) Figur 3 Bloco sobre rês escs: esquem de forçs. Tensão n biel (esc): 58 Tensões limies ds biels comprimids (MUHOZ, 2004): σ = 1, 4 f (pilr) pil cd σ = 0,85 f (esc) es cd σ = d cd, b, es 3 A sen 2 α e (8) Tensões limies ds biels comprimids (MUHOZ, 2004): σ = 1, 75 f (pilr) (9) pil cd

4 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs σ = 0,85 f (esc) (10) es cd Tensão n biel (esc): 2.3 Bloco sobre quro escs Por geomeri pr bloco de quro escs em-se: 2e 12 p R = (11) s 16 d σ = d cd, b, es 4 A sen 2 α e (12) Tensões limies ds biels comprimids (MUHOZ, 2004): σ = 2,1 f (pilr) pil cd pr pilr rengulr subsiuir por = b p p, eq p p e pr rmdur principl em-se R A = sd s f yd Tensão n biel (pilr) similr o bloco de dus escs (Expressão 6). Figur 4 Bloco sobre quro escs: esquem de forçs. σ = 0,85 f (esc) es cd 3 Oimizção Enende-se como problem de oimizção quele no qul se procur mximizr ou minimizr um função numéric com cero número de vriáveis, sujeis cero conjuno de condições que resringem o espço ds soluções do problem (LIMA, 2007). Em problems de engenhri o processo convencionl é prir de um pré-definição d geomeri do elemeno, ober s solicições e verificr se geomeri dod ende à ods condições esbelecids. Cso não end lgum ds condições do-se um nov geomeri é que ods s condições sejm endids. A seguir projeis com su experiênci define se irá mner solução, ou se irá lerr em busc de um solução melhor. Esse processo não grne que solução óim foi enconrd. O projeo óimo consise n deerminção sucessiv de configurções do elemeno, no qul nov solução é obid prir d nerior com o uso de écnics memáics. Assim cd configurção é resuldo de lerções no conjuno ds vriáveis de projeo, e solução óim é finlizção idel desse processo. A Figur 5 mosr um represenção sisemáic do projeo óimo. Exisem diversos méodos pr enconrr solução óim de um deermindo problem, dependendo ds vriáveis que esão sendo considerds, do ipo de resrições e ds crcerísics do problem em si. Descm-se dus linhs dos processos de oimizção, os heurísicos e progrmção memáic. Sej qul for o méodo ser uilizdo um problem de oimizção em: ) um conjuno de vriáveis que são lerds em busc d solução óim; b) um função objeivo; c) um conjuno de resrições serem respeids. 59

5 Acley Gbriel d Silv Tomz, Elcio Cssimiro Alves De cordo com s equções ds resrições e função objeivo é deermindo o possível méodo ser uilizdo. Problems de oimizção com equções lineres podem ser resolvidos com méodos mis simples como o Simplex. Os problems onde s equções não são lineres exigem écnics mis complexs, como por exemplo o méodo dos ponos ineriores. Pr o problem de bloco de fundções exisem resrições não lineres, o que proporcionou escolh do méodo dos Ponos Ineriores nese rblho. 3.1 Méodo dos Ponos Ineriores O méodo dos Ponos Ineriores em como crcerísic gerr um sequênci de ponos no inerior d região viável que converge pr solução do problem. Um vngem desse méodo é que cd um dos ponos inermediários em vlores decrescenes d função objeivo, ou sej, se por lgum moivo convergênci não for lcnçd o pono finl é sempre viável. A prir de um projeo inicil x 0 define-se um pono no espço veoril R m. A prir desse pono, o lgorimo ger um sequênci de configurções. o limie o pono de cumulção sisfz s condições de oimlidde de Krush Kuhn Tucker. A configurção x k+1 é obid clculndo-se um direção de busc d k, n qul o pono x k pode se mover. Fz-se enão um busc liner nes direção d k e en conr-se um psso α, que define o quno o pono x k vi se deslocr n direção d k é o pono x k+1. Dess form o processo ierivo prosseguirá é que sejm sisfeios os criérios de convergênci (AMARAL, 2004). O lgorimo bsei-se n plicção do méodo de ewon pr solução do sisem de equções não-lineres obids prir d plicção ds condições de Kuhn-Tucker do problem de oimizção (HERSKOVITZ, 1995). Considere o problem de oimizção: minimizr f x, sujeio c ( x) 0 i = 1... m i Pr esse problem s condições de Kuhn- Tucker são: m g+ λ = 0 i i i = 1 (13) λ * c ( x * ) = 0 (14) i i 60 Figur 5 Comprção esquemáico enre o procedimeno: () convencionl de projeo; (b) projeo óimo. (ALMEIDA, 2001).

6 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs c ( x * ) 0 (15) i λ * 0 (16) i Sendo A mriz dos grdienes ds resrições e C um mriz digonl conendo os vlores ds resrições, s dus primeirs equções podem ser escris como: g +Α λ = 0 (17) Cλ = 0 (18) Aplicndo-se o méodo de ewon pr resolver o problem ds equções 13 16, obém-se o sisem: d W Α 0 g = ΛΑ C λ 0 0 (19) Esse procedimeno fz com que direção originl sej defleid, de um vlor proporcionl ρ, pr o inerior d região viável. Como flech é proporcionl ρ, e d 0 é um direção de decréscimo de f, é possível enconrr limies em ρ pr que d mbém sej um direção de decréscimo. Esse objeivo pode ser ingido impondo-se que: gd kgd (22) o Pr k (0; 1). Em gerl, x de decréscimo de f o longo de d é menor que o longo de d 0. o enno esse é o óbice pr se ober um direção de decréscimo viável. Considerndo-se o sisem uxilir: mosr-se d W Α 1 g = ΛΑ C λ 0 1 (23) Equção 17 Λ é um mriz digonl pr qul Λ λ ii = i, d é direção de busc do λ é 0 0 esimiv dos muliplicdores de Lgrnge. Pode-se demosrr que d 0 é um direção de decréscimo de f e que d 0 = 0 se x for um pono escionários (PARETE, 2000). A direção n busc fornecid pelo sisem d expressão 19 nem sempre é um direção viável. Expndindo-se um equção d pre inferior do sisem, cheg-se : λ d + cλ = 0 (20) i i 0 i oi Ess equção implic que d = 0 pr odo i i 0 l que C i = 0. Geomericmene isso signific que d o é ngene às resrições ivs, indicndo que direção pon pr for d região viável. Um solução pr evir esse efeio é dicionr um consne negiv do ldo direio d equção 20: e d = d + ρd (24) o 1 λ = λ 0 + ρd 1 (25) Subsiuindo-se expressão 24 n expressão 25 em-se: ρ gd ( k 1) 0 (26) gd 1 Definid direção de busc d, é necessário relizr um busc liner resri o longo dess direção, de form grnir que o pono gerdo esej no inerior d região viável. Além disso é necessário ulizr os vlores dos muliplicdores de Lgrnge de mneir ssegurr convergênci pr solução corre (PEREIRA, 2002). Esse méodo esá implemendo no pcoe de funções do Mlb onde segue seguine formulção: onde λ d + cλ i i i i = ρλ (21) i λ i é nov esimiv de λ. i min f (x) l que cx ( ) 0 ceq( x) = 0 Ax. b Aeq x = beq lb x ub, 61

7 Acley Gbriel d Silv Tomz, Elcio Cssimiro Alves onde x veor ds vriáveis do problem; b veor respos do sisem de inequções lineres; beq veor respos do sisem de equções lineres; lb e ub veores de limie superiores e inferiores do vero ds vriáveis; A mriz do sisem de inequções lineres; c (x) veor que coném s inequções não lineres do problem; ceq (x) veor que coném s equções não lineres do problem; f (x) função objeivo do problem; x o veor com um solução inicil viável do problem. 3.2 Formulção pr oimizção de blocos sobre escs Uilizndo-se o méodo s biels pr o dimensionmeno de blocos sobre escs, e dequndo-o pr formulção de problem de oimizção em-se sisemáic seguine. Vriáveis do problem: x 1 lur úil do bloco D x 2 áre de ço principl A s Função objeivo (minimizr): 4 Exemplos Os exemplos seguir form obidos em projeos esruuris fornecidos pel Projes Engenhri de blocos sobre escs de um obr indusril consruíd em Os ddos geris dos problems nlisdos esão mosrdos seguir. Resisênci dos meriis: f ck = 30 MP. f yk = 500 MP. Cuso dos meriis (vlores obidos d bel SIAPI d Cix Econômic Federl, pr o mês de Abril/2014, referene à cidde de Vióri ES): cuso do concreo 30 MP: R$345,30/m³ pc; cuso do ço: R$ 7,81/Kg p; cuso d form: R$ 51,37/m² pf. Bloco sobre dus escs Ddos do problem: diâmero d esc de = 50 cm; disânci enre escs e = 130 cm; lrgur do bloco em x A = 210 cm; lrgur do bloco em y B = 80 cm; lrgur do pilr em x = 45 cm; lrgur do pilr em y b = 45 cm; crregmeno Vericl P = 244 f. f ( x) = Vb pc + Af pf + As γ p (cuso do bloco) (27) Resrições: A c(1) = h 3 c(2) = 45 θ c(3) = θ 55 c(4) = σ σ c(5) = σ σ Rsd ceq(1) = As f yd cd, b, pil cd, b,lim, pil cd, b, es cd, b,lim, es 62 onde Vb volume do bloco pc preço por mero cúbico do concreo Af áre de form do bloco pf preço por mero qudrdo d form γ peso específico do ço p preço por quilo do ço Figur 6 Bloco de dus escs: geomeri e crgs.

8 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs Solução pelo procedimeno convencionl Foi dodo um lur inicil de h = 80 cm ( ) de cordo com experiênci do clculis e pós s verificções do elemeno foi mnid lur inicil. Solução pelo méodo dos ponos ineriores uilizndo o sofwre Mlb Foi forneci um solução inicil de prid, função objeivo (cuso) e s resrições. Após o processmeno do progrm obeve-se os resuldos mosrdos n Tbel 1. Bloco sobre rês escs Ddos do problem: diâmero d esc de = 50 cm; disânci enre escs e = 130 cm; disânci fce esc é fce do bloco c = 15 cm; lrgur do pilr em x = 55 cm; lrgur do pilr em y b = 55 cm; crregmeno vericl P = 360 f. Os resuldos esão mosrdos n Tbel 2. Tbel 1 Resuldos do exemplo de bloco sobre dus escs. Convencionl Solução Óim Diferenç Resrições h (cm) 80,0 67,5 18,5% h ³ 55 cm 52,5 46,9 11,9% cb,b,pil (MP) 19,1 22,6-15,5% cd,b,lim,pil = 37,5 cb,b,es (MP) 9,8 11,6-15,5% cb,b, lim,es = 18,2 As (cm 2 ) 24,8 28,9-14,2% CUSTO (R$) 1412, ,70 1,4% Figur 7 Gráfico cuso X lur. Tbel 2 Resuldos do exemplo de bloco sobre rês escs. Convencionl Solução Óim Diferenç Resrições h (cm) 90, ,5% h ³ 55 cm 58,0 47,7 11,9% cb,b,pil (MP) 17,4 22,8-23,7% cd,b,lim,pil = 37,5 cb,b,es (MP) 7,9 10,4-24,0% cb,b, lim,es = 18,2 As (cm 2 ) 16,2 23,5-31,1% CUSTO (R$) 3162, ,90 4,6% 63

9 Acley Gbriel d Silv Tomz, Elcio Cssimiro Alves Figur 7 Bloco de rês escs: geomeri e crgs. Bloco sobre quro escs Ddos do problem: diâmero d esc de = 50 cm; disânci enre escs e = 130 cm; lrgur do bloco em x A = 210 cm; lrgur do bloco em y B = 210 cm; lrgur do pilr em x = 60 cm; lrgur do pilr em y b = 60 cm; crregmeno vericl P = 450 f. Figur 8 Bloco de quro escs: geomeri e crgs. Os resuldos obidos esão mosrdos n Tbel 3. O méodo dos ponos ineriores foi eficiene n busc do bloco com um cuso mínimo denre s soluções possíveis pr os exemplos nlisdos. o cso do bloco onde o volume de concreo é grnde, fz-se diferenç n redução ns dimensões do bloco, mesmo endo-se Tbel 3 Resuldos do exemplo de bloco sobre quro escs. 64 Convencionl Solução Óim Diferenç Resrições h (cm) 90, ,5% h ³ 55 cm 58,0 47,7 11,9% cb,b,pil (MP) 17,4 22,8-23,7% cd,b,lim,pil = 37,5 cb,b,es (MP) 7,9 10,4-24,0% cb,b, lim,es = 18,2 As (cm 2 ) 16,2 23,5-31,1% CUSTO (R$) 3162, ,90 4,6%

10 Dimensionmeno Óimo de Blocos sobre Escs que umenr x de rmdur. ess siução o modelo com formulção de oimizção orn-se viável pr um solução uomáic do problem. Busc-se prir desses exemplos esudr e desenvolver um modelo de biels e irnes ridimensionl pr nálise generlizd de bloco sobre um número qulquer de escs. 6 Referêncis AMARAL, E. C. (2004). Oimizção de form pr problems de esdo plno uilizndo o méodo dos elemenos de conorno. Disserção (Mesrdo). UEF, Cmpos dos Goyczes, RJ. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE ORMAS TÉC- ICAS. BR 6118:2014 Projeo de esruurs de concreo. Rio de Jneiro. COMITÉ EURO-ITERATIOAL DU BÉTO. CEB-FIP Model Code London, Thoms Telford, LIMA, B. S. (2007). Oimizção de fundções esqueds. Disserção (Mesrdo) Universidde de Brsíli Fculdde de Tecnologi. MUHOZ, F. S. (2004). Análise do compormeno de blocos de concreo rmdo sobre escs submeidos à ção de forç cenrd. Disserção (Mesrdo) Escol de Engenhri de São Crlos, Universidde de São Pulo. OLIVEIRA, L. M. (2009). Direrizes pr projeos de blocos de concreo rmdo sobre escs. Disserção (Mesrdo) Escol Poliécnic d Universidde de São Pulo. SIAS, F. M. (2014). Dimensionmeno Óimo de Pilres de concreo rmdo. Disserção (Mesrdo) Universidde Federl do Espírio Sno. Vióri, ES. HERSKOVITS, J. (1995). A View on onliner Opimizion, Advnces in Srucurl Opimizion. PROBST, R. W.; OLIVEIRA, A. R. (2013). Méodos de ponos ineriores plicdos o problem de prédespcho de um sisem hidroérmico. Revis Elerônic de Pesquis Opercionl pr Desenvolvimeno, Rio de Jneiro, v. 5, p PARETE JR, E. C. (2000) Análise de Sensibilidde e Oimizção de Form de Esruurs Geomericmene ão-lineres. Tese de Douordo. PUC, Rio de Jneiro. PEREIRA, A. (2002). Projeo óimo de póricos plnos com resrição à flmbgem. Disserção (Mesrdo). PUC, Rio de Jneiro. 65