1 ELEMENTOS DO PRISMA

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1 Matemática Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL III 1 ELEMENTOS DO PRISMA 2.2 Quanto ao formato da base Prisma é um poliedro convexo com duas faces sendo polígonos quaisquer, congruentes e situados em planos paralelos. As duas faces paralelas são denominadas bases e todas as outras faces são paralelogramos, sendo denominadas faces laterais. Além disso, cada aresta da base é denominada aresta da base (claro) e cada aresta de face lateral (com extremidades nas duas bases) é denominada aresta lateral. Finalmente, a altura do prisma é a distância entre os dois planos das bases. Está ilustrado na figura abaixo: Um prisma é triangular se a sua base é um triângulo; Um prisma é quadrangular se a sua base é um quadrilátero; Um prisma é pentagonal se a sua base é um pentágono; Um prisma é hexagonal se a sua base é um hexágono; E assim por diante. Observação: Um prisma é denominado regular quando for reto e a sua base for um polígono regular. Figura 1 elementos do prisma 2 CLASSIFICAÇÃO DE PRISMAS 2.1 Quanto à inclinação das arestas laterais Se as arestas laterais são perpendiculares às bases, o prisma é denominado reto. Em caso contrário, o prisma é denominado oblíquo. 3.1 Área lateral Figura 3 prisma regular hexagonal 3 ÁREAS DO PRISMA A área lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais. Como cada face lateral é um paralelogramo, essa área é o produto de um lado da base pela aresta lateral do prisma. Somando todas as áreas, tem-se que a área total é o produto do perímetro da base pela aresta lateral do prisma: 3.2 Área da base É a área de um dos polígonos da base 3.3 Área total Figura 2 prisma reto e prisma oblíquo Observação: Num prisma reto, as faces laterais são retângulos e as arestas laterais têm a mesma medida da altura A área total de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das bases. Como além das faces laterais, o prisma possui duas bases, essa área é a área lateral mais o dobro da área da base : 1 Geometria CASD Vestibulares

2 4 VOLUME DO PRISMA O volume de um prisma é o produto da área da base pela sua altura : 7 CUBO É o paralelepípedo retângulo cujas faces são todas quadradas. Nesse caso,, então dizemos que o cubo tem aresta. 5 PARALELEPÍPEDO É o prisma no qual todas as faces são paralelogramos (incluindo as bases) Figura 4 paralelepípedo reto e paralelepípedo oblíquo 6 PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO É o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos: as suas dimensões são, e. Quando a base é um retângulo de comprimento e largura, a altura do paralelepípedo é. A diagonal da base liga vértices opostos da base, enquanto a diagonal do paralelepípedo liga vértices opostos do paralelepípedo. Figura 6 cubo de aresta Fazendo nas fórmulas do paralelepípedo retângulo, tem-se: Área lateral do prisma: 8 RESUMO Área total do prisma: Figura 5 paralelepípedo retângulo de dimensões,, Aplicando o Teorema de pitágoras, tem-se: Paralelepípedo retângulo Cubo Como a área da base é e a altura é : CASD Vestibulares Geometria 2

3 Exercício Resolvido 1: (UFJF 12) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões por, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida. Exercício Resolvido 2: (UEL 11) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir. Figura 7: figura do exercício resolvido 1 a) Calcule o volume da embalagem. b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde? Resolução: a) A área da base do prisma é a área do retângulo menos vezes a área do triângulo: Figura 9: figura do exercício resolvido 2 A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? Resolução: O volume da peça será dado pela diferença de volumes entre o prisma maior e o menor, assim: Lembrando que a área de um hexágono será seis vezes a área de um dos triângulos equiláteros que o compõem (ou seja, ),tem-se: Figura 8: cálculo da área da base do prisma Portanto, o volume do prisma será: Resposta: O volume da embalagem é b) Se o volume inicial do sorvete líquido, então: Resposta: O volume máximo ocupado pelo sorvete no estado líquido é Resposta: O volume da peça é 3 Geometria CASD Vestibulares

4 Exercício Resolvido 3: (UNEMAT 10) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em, o seu volume aumentará em: a) b) c) d) e) Exercício Resolvido 5: (UFU 09) No cubo considere o ponto na aresta satisfazendo. Sabendo que mede, calcule o volume do cubo. Resolução: Volume de um cubo de aresta : Volume de um cubo de aresta : Aumento do volume do cubo: Figura 12: figura do exercício resolvido 5 Seja a porcentagem do aumento : Resolução: Observe o triângulo retângulo : Resposta: Alternativa A Exercício Resolvido 4: (UFRGS - 10) Considere um cubo de aresta e um segmento que une o ponto, centro de uma das faces do cubo, ao ponto, vértice do cubo, como indicado na figura a seguir. Qual é o valor de? Figura 13: figura 12 com o triângulo destacado Seja a aresta do cubo. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo, tem-se: Resolução: Figura 10: figura do exercício resolvido 4 Colocando os valores das medidas no desenho, temos: Além disso, na aresta, tem-se: Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo, obtemos: ( ) Figura 11: figura 10 atualizada com as medidas do enunciado : Usando Pitágoras no triângulo que aparece: ( ) Calculando o volume do cubo: Resposta: O valor de é Resposta: O volume do cubo é CASD Vestibulares Geometria 4

5 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4. (FATEC - 13) O sólido da figura é formado por cubos de aresta os quais foram sobrepostos e/ou colocados lado a lado. 1. (ENEM - 10) A siderúrgica Metal Nobre produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue. Para se completar esse sólido, formando um paralelepípedo retângulo com dimensões, são necessários cubos de aresta. O valor mínimo de é a) b) c) d) e) O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. b) volume. c) superfície. d) capacidade. e) comprimento. 2. (ENEM - 10) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede e a do cubo menor, que e interno, mede. 5. (UEPB - 13) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede tem capacidade igual a: a) litros b) litros c) litros d) litros e) litros 6. (UNEB - 14) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna. (BREWER. 2013, p. 72). De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em, é igual a a) b) c) d) e) O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) b) c) d) e) 3. (ENEM - 10) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem de largura, de comprimento e de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a 7. (UFSJ - 12) Uma caixa de dimensões precisa ser montada com o menor número possível de cubos construídos com papel cartão. Sabendo que cada folha de papel cartão mede, aproximadamente, a quantidade de folhas necessária para a construção dos cubos, a fim de montar a caixa, é a) b) c) d) 8. (UERJ - 12) Para transportar areia, uma loja dispõe de um caminhão cuja caçamba tem de altura e a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada. A maior distância entre dois pontos desse paralelepípedo é igual a. Determine a capacidade máxima, em metros cúbicos, dessa caçamba. a) b) c) d) e) 5 Geometria CASD Vestibulares

6 9. (ENEM - 12) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura. 12. (UNICAMP - 09) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques - rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de? a) O nível subiria, fazendo a água ficar com de altura. b) O nível subiria, fazendo a água ficar com de altura. c) O nível subiria, fazendo a água ficar com de altura. d) O nível subiria, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria, fazendo a água transbordar. 10. (UFMG - 08) Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são de comprimento, de largura e de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa de litros por segundo. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para se encher completamente esse reservatório, serão necessários a) Um grupo de peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie consome de ração por refeição e que um peixe da espécie consome por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte peixes adultos da espécie considerada? 13. (ENEM - 10) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem, conforme indicado na figura. A essa medida denominase "rodo" da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em a partir da medida do rodo e da altura da árvore. a) b) c) d) 11. (UERJ - 12) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: a) b) c) d) Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo toras da espécie, com de rodo, de comprimento e densidade toneladas ; toras da espécie, com de rodo, de comprimento e densidade toneladas. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, a) toneladas. b) toneladas. c) toneladas. d) toneladas. e) toneladas. CASD Vestibulares Geometria 6

7 Nível II 14. (UNESP - 10) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. 16. (UNIFESP - 09) Um cubo de aresta de comprimento vai ser transformado num paralelepípedo reto-retângulo de altura menor, preservando-se, porém, o seu volume e o comprimento de uma de suas arestas. A diferença entre a área total (a soma das áreas das seis faces) do novo sólido e a área total do sólido original será: a) b) c) d) e) 17. (UFSM - 13) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, porém causam muitos danos ao meio ambiente. Algumas empresas começaram a investir em alternativas para evitar a poluição causada pelo plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, componentes de celulares e autopeças. Uma embalagem produzida com bioplástico tem a forma de um prisma hexagonal regular com de aresta da base e de altura. Qual é o volume, em cm 3, dessa embalagem? Sabendo que milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de litros de água em uma superfície plana horizontal de metro quadrado, determine a profundidade da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de desse volume. a) b) c) d) e) 15. (UNICAMP - 12) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a a) b) c) d) 7 Geometria CASD Vestibulares

8 18. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos e. 20. (ENEM - 13) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de (a altura é indicada na figura como o segmento ). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos e poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano: a) b) c) d) e) 19. (ENEM - 09) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a Utilizando como valor aproximado para tangente de e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que b) entre e c) entre e d) entre e e) maior que 21. (ENEM CANCELADO - 09) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são de comprimento, de largura e de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar caixas na forma de cubo com de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte? a) viagens. b) viagens. c) viagens. d) viagens. e) viagens. a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 8

9 22. (UFRGS - 13) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta de maneira que dois de seus vértices, e sejam os pontos médios respectivamente das arestas e e os vértices da face superior desse sólido coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo. 25. (UFPR - 13) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede: a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque comportará? b) Obtenha uma função que expresse o volume de água no tanque como função da altura. O volume desse sólido é a) b) c) d) e) 23. (UFG - 14) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo. Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 26. (UNICAMP - 08) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura a seguir. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem, a base maior tem e as arestas laterais têm de comprimento. Supondo que um trecho de de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem de comprimento, de largura e de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita? 27. (UNESP - 12) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo com base quadrada de aresta e altura em centímetros. 24. (ESPCEX - 14) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é. Aumentando-se a aresta da base em e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de. O volume do prisma original é a) b) c) d) e) A distância, em centímetros, do vértice à diagonal vale: a) b) c) d) e) 9 Geometria CASD Vestibulares

10 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. O volume de um paralelepípedo é o produto do seu comprimento, sua largura e sua altura 8. Seja o lado do quadrado. Então, as dimensões da caçamba são,,. Como a maior distância entre dois pontos do paralelepípedo é a sua diagonal,. Então, tem-se: 2. O volume do porta-lápis é a diferença entre o volume do cubo maior e o volume do cubo menor 3. Se é a aresta do cubo, então 4. Como cada cubo tem aresta, o volume de cada cubo é. O volume do paralelepípedo é: Na figura, aparecem cubos. Então, para completar o sólido, o número de cubos que faltam é 5. Seja a aresta do cubo. Como a diagonal vale, tem-se: O volume do cubo é: Note que equivale a litros 6. Seja a aresta do cubo. Como a área total do cubo é (que é a área da superfície da pele), tem-se: 7. Seja a aresta de cada cubo. Como cada dimensão da caixa deve ser múltipla de, é divisor de, e. Como o número de cubos é o menor possível, o valor de deve ser o maior possível. Logo Como, na dimensão cabem cubos Como, na dimensão cabem cubos Como, na dimensão cabem cubos Logo, o total de cubos é cubos. Cada cubo tem uma área total de. Como são cubos, a área total é O volume da caçamba é 9. O nível inicial do tanque é. Então o volume inicial do tanque é. Como o volume final do tanque é o volume inicial do tanque somado com o volume do objeto, o volume final do tanque é. A área da base do tanque é. Seja o nível final do tanque. Então, tem-se: 10. O comprimento do paralelepípedo é, a sua largura é e a sua profundidade é. Logo o volume do reservatório é. Como litro equivale a, o reservatório é bombeado a uma taxa de por segundo. Logo, o tempo necessário para encher o reservatório é 11. Seja a razão de semelhança entre as os paralelepípedos. Então, a razão entre os seus volumes é. Como o volume do pacote maior é o dobro do volume do pacote menor,. A razão entre as áreas é 12. No item a), seja o número de peixes da espécie e o número de peixes da espécie. Como o total de peixes é,. Como um peixe da espécie consome de ração por refeição e um peixe da espécie consome por refeição, e ao todo eles consomem por refeição, tem-se que. No item b), note que o volume mínimo do tanque é. Logo, se o comprimento e a largura medem, então 13. O volume de cada tora da espécie é: O volume de cada tora da espécie é: Não se esqueça de que a densidade é a razão entre a massa e o volume, logo a massa de cada tora é o produto entre o volume e a densidade. Assim, a massa total é.. CASD Vestibulares Geometria 10

11 14. Note que a chuva cai sobre o telhado da casa, cuja área é de. Além disso, ao longo de um ano chove de chuva, o que equivale a. Além disso, desse volume equivale a. Assim, o volume da cisterna deve ser Como, o volume da cisterna é Como as suas dimensões são, tem-se: 19. Como o volume da caixa é, tem-se: Como as esferas tem um raio de, elas possuem um diâmetro de. Assim, em cada aresta da caixa podem ser encaixadas duas esferas: 15. Alguns cubos que possuem casca em apenas uma face estão ilustrados abaixo. 20. Considere a vista lateral de uma das torres Puerta de Europa. Os cubos ilustrados na figura acima são os da face da frente, da direita e de cima do paralelepípedo. No entanto, ainda há um número equivalente de cubos nas faces de trás, da esquerda e de baixo do paralelepípedo, então o número total de cubos é 16. O volume do cubo inicial é. Como a altura do novo sólido é, ele precisa de um comprimento para ter o mesmo volume do cubo inicial. Então a diferença entre as áreas totais é: Seja uma das extremidades da torre. Então o ângulo é a inclinação da torre (que é ) No triângulo, tem-se: 17. Seja o lado da base. Como a base é um hexágono regular, a sua área vale: Seja o volume do prisma e a sua altura. Logo. Então, tem-se: 18. A alternativa correta é aquela em que o caminho que liga os pontos e possui comprimento mínimo (lembre-se que o caminho mínimo entre dois pontos é o do segmento que os une). Como a base é um quadrado, a sua área é 21. No comprimento, é possível colocar caixas (com uma folga de ). Na largura, é possível colocar caixas (com uma folga de ). E na altura, é possível colocar caixas (com uma folga de ). Então em uma viagem de caminhão, é possível levar caixas. 22. Note que o sólido é um prisma triangular, cuja base é o triângulo e cuja altura é a aresta lateral O triângulo tem base e altura. Então a área da base do prisma é: Como a altura é a aresta lateral, 11 Geometria CASD Vestibulares

12 23. Note que o iceberg é um prisma cuja altura é e cuja base está ilustrada abaixo: O trapézio tem base maior, e altura. Logo a sua área é: ou. Como, O retângulo tem base e altura. Logo a sua área é: 25. a) Quando o tanque estiver completamente cheio, o seu volume será o de um prisma de altura e cuja base é um triângulo retângulo de catetos e. Nessas condições, a área da base é A área da base do prisma é: O volume do prisma é: O volume do prisma é: Lembre-se que litros b) A figura do problema é a seguinte: Como do volume do bloco foi perdido, perdeu-se. Logo a quantidade de água obtida é 24. Sejam a aresta lateral inicial do prisma, a sua altura inicial, a sua área inicial da base e o seu volume inicial. Como o prisma é reto, a sua altura tem o mesmo comprimento que a sua aresta lateral. Assim, a razão entre a aresta da base e a altura é : Sejam e. Como é paralelo a, os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se: Como o prisma é regular e tem base hexagonal: Se o nível da água é, o volume da água sera o de um prisma de altura e cuja base é o triângulo de catetos e. Nessas condições, a área da base é: Sejam a aresta lateral final do prisma, a sua altura final, a sua área final da base e o seu volume final. Então e O volume do prisma é: CASD Vestibulares Geometria 12

13 26. No item a), note que que, então a seção trapezoidal da estrada está representada na figura abaixo (com as medidas em metros): 27. Usando Pitágoras no triângulo retângulo : Usando Pitágoras no triângulo retângulo : Como as duas arestas laterais são iguais a, o trapézio é isósceles. Então, baixando as perpendiculares e, tem-se que: Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo : Usando Pitágoras no triângulo retângulo : ( ) No triângulo, a figura é a seguinte: Área da seção trapezoidal: O volume de brita gasto é equivalente ao volume de um prisma com área da base igual à área da seção e altura igual ao comprimento da estrada: No item b), note que o volume da parte interna da caçamba é. Então, o número de viagens necessárias é:. Então, tem-se: ( ) ( ) Logo, é um triângulo retângulo de hipotenusa Para encontrar a distância de a, deve-se traçar uma perpendicular a por. Se é o ponto em que essa perpendicular corta, a distância desejada é No triângulo, sejam e. No triângulo, note que e. Então os triângulos e são semelhantes pelo caso A.A. Semelhança entre os triângulos e : : é oposto aos lados (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no ). Então, tem-se: 13 Geometria CASD Vestibulares

14 GABARITO 1. B 2. D 3. B 4. D 5. C 6. D 7. A 8. A capacidade máxima da caçamba é 9. C 10. C 11. B 12. a) peixes da espécie e da espécie b) As dimensões mínimas são 13. A 14. A profundidade é 15. A 16. A 17. C 18. E 19. B 20. E 21. C 22. C 23. A quantidade de água obtida é 23. B 25. a) Quando estiver completamente cheio, esse tanque comportará litros b) 26. a) O volume de brita que será gasto é b) Serão necessárias viagens de caminhão 27. E CASD Vestibulares Geometria 14