GEOMETRIA PLANA INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA

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1 GOMTRI PLN INSTRUIONIS MTMÁTI QURO SÍNTS O ONTÚO PROGRMÁTIO Unidade de Programa Ojetivos I. Geometria ngular Traalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência. II. Semelhança Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras. III. Triângulo Retângulo eduzir e saer aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras. IV. Área alcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito. ONTXTULIZÇÃO ISIPLIN: o elaorarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, uscamos aordar os conceitos ásicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os estudos das Geometrias Plana e spacial. Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos devam limitar-se aos conceitos que listamos. Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas de cursos e da Internet para complementar seu estudo. Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria ngular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área. speramos que este material seja útil no desenvolvimento de seus traalhos e no seu aprendizado. Prof. José arlos Morais de raújo 1

2 GLOSSÁRIO: UNI I... 3 I Ângulos... 3 II lassificação... 3 III onsiderações Importantes... 3 IV Teorema ngular de Tales... 5 V Ângulo externo de um Triângulo... 5 VI lassificação dos Triângulos... 6 XRÍIOS... 8 VII Polígono VIII Soma dos Ângulos de um Polígono IX iagonal... 1 XRÍIOS X Relação entre rcos e Ângulos XRÍIOS UNI II SMLHNÇ I Proporção II efinição de semelhança II Semelhança de Triângulos XRÍIO... 1 UNI III... 3 TRIÂNGULO RTÂNGULO... 3 I Introdução... 3 XRÍIOS... 5 XRÍIOS... 6 II Lei dos ossenos... 8 XRÍIOS... 9 UNI IV I. ÁR II Principais áreas: III Polígono Regular... 3 IV - írculo XRÍIOS:... 34

3 UNI I ÂNGULOS I Ângulos Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. O e O são semi-retas O O ponto O, origem comum às semiretas, é o vértice do ângulo. Notação: Usamos Ô = Ô, o vértice Ô ou simplesmente. II lassificação 1) Seja um ângulo qualquer. O ângulo pode ser classificado como: < 90º gudo = 90º Reto Otuso > 90º ) Sejam e β dois ângulos quaisquer. izemos que e β são: β β omplementares: + β = 90º Suplementares: + β = 180º Os: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x. III onsiderações Importantes 1) issetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais) 3

4 ) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em comun) que formam ângulos retos. enotamos por: s r s: r perpendicular a s r 3) uas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades. β β r r s: r é paralela a s Oserve que + β = 180º β β s sses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. estacamos: lternos internos olaterais externos orrespondentes Oserve que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se souermos a medida de pelo menos um deles. xemplos. 140 o 5x 50º β 4x Nas figuras acima temos: = 50º, β = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 0º. 4

5 s relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem referências aos ângulos do triângulo. IV Teorema ngular de Tales Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º. + + = 180º Traçando uma reta paralela ao lado passando pelo ponto podemos visualizar essa propriedade. V Ângulo externo de um Triângulo hamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo tem 3 ângulos externos. Ângulo externo Oserve que: + = 180º e + + = 180º ntão: + = + + = + onclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. a + c a a + a c c Lemre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro. +c 5

6 VI lassificação dos Triângulos Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados. 1) Quanto aos Ângulos cutângulo Retângulo Otusângulo Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo otuso ) Quanto aos Lados scaleno Isósceles qüilátero Vale estacar: 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter lados iguais. = = São iguais os ângulos opostos aos lados iguais. ssa é a condição mínima para um triângulo ser classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) tamém representa um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: = = = 60º ) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares β + β = 90º 6

7 3) omo conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: θ r c β s a Se r // s então, θ = + β Nesse quadrilátero côncavo = a + +c Justificativas: θ é ângulo externo ao triângulo é ângulo externo θ r c β s a + c Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um prolema que envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir: Na figura seguinte, = =. alcule, saendo que o ângulo mede 5º. conselho que você anote na figura as informações que foram dadas. partir daí, o ângulo = 5º, dado o triângulo ser isósceles. O ângulo é externo a esse triângulo então, = 50º. omo o triângulo tamém é isósceles ( = ) temos o ângulo = 50º. Oserve agora o triângulo : o ângulo é externo a ele, portanto = +, ou seja, = 50º + 5º. Logo = 75º. 5º 7

8 XRÍIOS 01. etermine nas seguintes figuras: 0. Nas figuras, Ô = 80 o e Ô = alcule a medida do ângulo saendo-se que OX é issetriz de Ô. 03. medida de um ângulo é igual a /3 da medida de seu complemento. alcule a sua medida. 04. ois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10 o e x + 50 o. alcule o valor de cada um deles. 05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 06. etermine o ângulo cujo suplemento excede em 6 o o quádruplo do seu complemento. 07. ois ângulos suplementares são proporcionais ao números e 3. etermine-os. 08. Quatro semi-retas O, O, O e O formam, em torno de um ponto, quatro ângulos cujas medidas são proporcionais aos números, 3, 5 e 8. etermine os ângulos. 8

9 09. Na figura r e r são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 7 o, calcule o ângulo. 10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 11. O triângulo é isósceles com =. etermine e β. 70 o 70 o β 1. Na figura seguinte, = =. alcule, saendo que = 30º. 13. alcule em cada figura, saendo-se que é um quadrado e é um triângulo eqüilátero. 14. m um triângulo otusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo otuso. alcule este ângulo, saendo que um ângulo agudo é o doro do outro. 9

10 15. O triângulo da figura é isósceles de ase. Sendo 4 o a medida do ângulo e 0 o a medida do ângulos, calcule a medida do ângulo. 16. Na figura, =, = e F = 60 o. alcule a medida do ângulo. F o 17. Na figura, sae-se que = 90, M = M, S é issetriz de o e que S = 16. Pede-se o ângulo. ica: Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa. S M 18. Na figura, sendo congruente a, congruente a, calcule a medida do ângulo ), dado ) = 48 o. 19. Na figura aaixo, = e ˆ = ˆ. alcule a medida do ângulo. 3 10

11 VII Polígono ntendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos. x.: Pentágono onvexo ôncavo VIII Soma dos Ângulos de um Polígono 1) Ângulos internos Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. S i = 180º S i = 180º. S i = 180º. 3 S i = 180º.4 Um polígono de gênero n terá para soma dos ângulos internos: S i = 180º ( n ) ) xternos omo cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos: S i + S e = 180º. n ntão: S e = 180º. n S i S e = 180º. n 180º ( n ) S e = 180º. n 180º n +360º ntão, S e = 360º. soma dos ângulos externos é constante. É mais fácil, portanto, determinar caso os ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais a medida do ângulo externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno. 11

12 Oservação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em quilátero (lados iguais), qüiângulo (ângulos iguais) e Regular. qüiláteros qüiângulos Regular Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais. Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão: 180º ( n ) i = e e = n 360º n * Procure pesquisar que nomes receem polígonos de 3, 4, 5, 6,... lados e quais são as medidas de seus ângulos. IX iagonal hamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como extremos dois vértices não consecutivos do polígono. No polígono...,, e são exemplos de diagonais nesse hexágono. F Oserve que, de cada vértice de um polígono de gênero n partem (n 3) diagonais. n(n 3) Num total de: d = xemplo: O decágono regular possui d = 10.(10 3), ou seja, 35 diagonais. Seu ângulo externo será e = O ângulo interno do decágono regular mede 144º. 360 o = 36º e seu ângulo interno será i = 180º - 36º. 10 1

13 XRÍIOS 01. alcule o maior ângulo de um pentágono convexo, saendo-se que: + =, =, = e que = onsidere um eneágono regular e calcule: a) soma dos ângulos internos. ) soma dos ângulos externos. c) Seu ângulo externo. d) Seu ângulo interno. 03. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 160º? 04. etermine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo externo. 05. é um polígono regular e FG é um quadrado. etermine a medida do ângulo. G F G F 06. Na figura tem-se um octógono regular. etermine a medida do ângulo : (a) o 30 () 30 o (c) 45 o (d) 60 o (e) 90 o 07. Num polígono regular... as retas que contém os lados e formam um ângulo de 60º. etermine que polígono é esse. 13

14 08. figura seguinte, e F são polígonos regulares. alcule o ângulo formado pelos prolongamentos de e F. G F 09. Seja... um polígono regular. etermine o seu gênero saendo-se que as diagonais e G formam um ângulo de 80º. 10. alcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440 o. 11. figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de gênero sete. Trata-se de um Heptágono. a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice? ) Quantas diagonais este polígono possui? 1. Num polígono regular... a diagonal forma com o lado um ângulo de 0 o. alcule o gênero e o número de diagonais desse polígono. 13. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. alcule o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro. 14. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a - 4a, onde a é o número de lados do polígono. Qual é o nome desse polígono? 14

15 X Relação entre rcos e Ângulos O = O ângulo formado por dois raios de um círculo é chamado de Ângulo central. Intuitivamente, oservamos que o arco representa da circunferência, tanto quanto o ângulo Ô representa de uma volta completa em torno do centro do círculo. medida do ângulo Ô é igual a medida angular do arco. Usando o ângulo central podemos mostrar outras relações. 1) Ângulo inscrito: Ângulo formado por duas cordas consecutivas. P P a a + a a + = a + = / = / ) Ângulo Interno: Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior do círculo. é ângulo externo ao triângulo P portanto, P P = + + = ) + P = 3) Ângulo xterno: Ângulo formado por duas secantes que cortam-se fora do círculo. O ângulo é externo ao triângulo P portanto, P ) P = P + = então: = 15

16 Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, isto é, podemos admitir uma circunferência tanto contendo seus vértices quanto tangenciando seus lados. TRIÂNGULO INSRITO QURILÁTRO IRUNSRITO Prolemas que envolvam polígonos regulares podem ser tamém resolvidos, e as vezes com mais facilidade, quando desenhamos o polígono inscrito em um círculo. Oserve o prolema 06 que fora proposto na lista anterior. proposta era determinar a medida do ângulo na figura saendo que o octógono é regular. 90º 45º O octógono regular divide a circunferência em 8 arcos iguais, portanto cada arco tem 45º. omo o ângulo é um ângulo externo, em relação ao círculo: = 90 o 45 o = º 45 XRÍIOS 01. Os polígonos a seguir são regulares. alcule a medida do ângulo. a) ) c) d) 0. alcule o ângulo formado pelas diagonais e de um pentágono regular. 16

17 03. Num polígono regular... a diagonal forma com o lado um ângulo de 10 o. alcule o gênero desse polígono. 10 o 04. Num polígono regular... os prolongamentos dos lados e são perpendiculares. etermine que polígono é esse. 05. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. alcule a soma dos ângulos mostrados na figura. β 06. Num polígono regular... os prolongamentos dos lados e formam um ângulo de 60 o. etermine que polígono é esse. 60 o 07. Num polígono regular... a diagonal forma com o lado um ângulo de 100 o. alcule o número de diagonais desse polígono. 17

18 UNI II SMLHNÇ I Proporção Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. iz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a e quando, x, y, a e formam uma proporção, nesta ordem. X a = ou ainda X : Y :: a : Y X Oserve que: Se x e y são proporcionais a e 3 isto significa que =. Y 3 No entanto, x = 4 e y = 6 ; x = 6 e y = 9; x = 8 e y = 1; x = 10 e y = 15; e tantas outras opções são possíveis soluções, para x e y, pois: = = = = L = Portanto, somente a informação de que x e y são proporcionais a e 3 não define, efetivamente, quais são os valores de x e y. No entanto, podemos chamar x e y, respectivamente, de a e 3a. ssim x a temos = =. y 3a 3 xemplo: Suponhamos que um segmento = 0cm seja dividido pelo ponto P de tal forma que P e P sejam, respectivamente, proporcionais a e 3. ntre outras resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer: x 1ª Resolução: x + y = 0 0 cm P e x = y 3 ssas equações e as variáveis levam você à resolução de um sistema. y = 0 x x ntão: = 3x = 40 x 0 x 3 5x = 40 x = 8 Logo: P = 8cm e P = 1cm y 0 cm a 3a P ª Resolução: hamemos P = a e P = 3a ntão a + 3a = 0 5a = 0 a = 4 Logo: P = 8cm e P = 1cm 18

19 II efinição de semelhança ados dois polígonos... e... de mesmo gênero, diz-se que esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições: i) seus ângulos são respectivamente iguais: = ; = ; = ;... ii) Seus lados são respectivamente, proporcionais: '' = ' ' = '' = L *uas figuras semelhantes têm exatamente o mesmo formato. razão k = '' = '' = L representa quanto um polígono vale do outro. é chamada RZÃO SMLHNÇ. ssa razão II Semelhança de Triângulos São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos, no entanto, no caso de triângulos, uma condição é necessária e suficiente para que a outro se verifique, isto é, os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais se, e somente se, seus lados são respectivamente, proporcionais. Logo, para garantirmos a semelhança de dois triângulos, asta que uma dessas condições esteja satisfeita. =, = e = Δ é semelhante ao Δ = = Δ é semelhante ao Δ '' '' '' omo a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, asta que dois ângulos sejam, respectivamente iguais, para afirmarmos a semelhança entre dois triângulos. 19

20 onseqüência disso é que toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro. r Se r //, então: Δ ~ Δ r xemplos: 1) Nas figuras seguintes, a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados do triângulo permite que calculemos os valores de x, y e z. 4 z 3 4 x y x = 6x = y y + 4 = 6 8 8y = 6y + 4 z 3 = 8z = ntão x = 4 ntão y = 4 y = 1 15 ntão z = 8 ) Na figura seguinte os triângulos e são semelhantes, pois são triângulos retângulos e possuem o ângulo, como um ângulo comum. 8 6 x x 14 6 = x + 5x = 84 x + 5x 84 = 0 x + 5 Resolvendo a equação do º grau temos: x = 7 5 0

21 XRÍIOS 01. Na figura, = = = = F = FG. alcule as razões: F G a) G ) G G c) G 0. Na figura, P = P 7 3. etermine a razão entre os segmentos e P. 03. Oserve a figura. Nessa figura, os segmentos e são paralelos, = 8, = 3 e = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas e, calcule a medida do segmento P. 04. alcule o perímetro do paralelogramo, saendo-se que o triângulo F tem lados = 4 cm, F = 18 cm, F = 3 cm e = 8 cm F 05. Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. alcule a razão r 1

22 06. Na figura aaixo, é um retângulo e M, um triângulo equilátero. alcule a medida de IM saendo-se que = 30 cm? M I 07. Nas figuras seguintes calcule as medidas dos segmentos x, y e w, assinalados: 6 w 6 y 8 10 x Um trapézio de ases 6m e 8cm tem 1 cm de altura. alcule, a que distância da ase maior: (a) ortam-se suas diagonais? () ortam-se os prolongamentos dos lados olíquos? 09. etermine o comprimento do segmento MN paralelo às ases do trapézio seguinte: 7 a ica: Por esse ponto trace uma reta paralela ao outro lado olíquo do trapézio. a M 16 N 10. Os catetos do triângulo seguinte medem 4 e 1 centímetros. alcule a medida do lado do quadrado.

23 UNI III TRIÂNGULO RTÂNGULO I Introdução Seja um triângulo retângulo em. Isso implica que = 90º, que e são os catetos e que é a hipotenusa. c a Traçando a altura do vértice em relação à hipotenusa, dividiremos o triângulo em dois outros semelhantes. h c m H n a ΔH ~ Δ ~ ΔH hamemos: 1) a altura relativa à hipotenusa H, de h; ) as projeções dos catetos sore a hipotenusa H e H, de m e n. Usando a semelhança dos três triângulos temos: 1) O quadrado de um cateto é sempre o produto da hipotenusa por sua projeção. h c m = ² = a.m a m a h c c c a = c² = a. n n c n a 3

24 ) O quadrado da altura (relativa à hipotenusa) é igual ao produto das projeções dos catetos. h h c h m = h² = m.n n h m n 3) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. h c h = ah = c c a m a 4) Principal relação: Teorema de Pitágoras Mostramos que ² = am e que c² = na, então ² + c² = am + an = a(m + n) omo (m + n) = a ² + c² = a. a a² = ² + c² Ou seja: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. xemplo: Isso equivale dizer: área do quadrado construído sore a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sore os catetos. 5 5 = diagonal do quadrado e altura do triângulo eqüilátero são duas importantes aplicações desse teorema. 1) iagonal do Quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado l. l d² =l ² + l² l d l d² = l² l d²= l ² então d = l 4

25 ) ltura do Triângulo qüilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado l l h l l l/ xemplos/aplicações: l h² + = l² l² h² = l² 4 3l² h² = 4 h = 1. m um trapézio retângulo de ases 5 e 3, a altura é igual a. Quanto mede o lado olíquo às ases? 3 o traçarmos a altura construímos um triângulo retângulo. ntão: x x = + x = 8 3l² 4 h = l 3 3 ntão x = 8. Logo x = 5. figura a aixo é formada pelo quadrado e pelo triângulo equilátero cujo lado é a diagonal do quadrado. Se o lado do quadrado é 6cm, quanto mede o segmento? Oservemos que os pontos, e são colineares, ou seja, estão sore uma reta. omo as diagonais do quadrado cortam-se ao meio, parte da altura do triângulo equilátero é a metade da diagonal do quadrado. Portanto, + O = O = O O O ntão: = = aso seja necessário diremos 5,61 3. alcule a altura de um triângulo isósceles de ase igual a 8cm e cujos lados congruentes medem 6cm. 6 h 6 No triângulo isósceles, a altura traçada do vértice formado pelos lados iguais, coincide com a mediana e issetriz, portanto, cada triângulo retângulo otido tem h e 4 como catetos e hipotenusa igual a ntão: h + 4 = 6 h = h = 0 h = 0 h = 5 5

26 XRÍIOS 01. Nas figuras seguintes, calcule os valores assinalados: a) ) c) 0. alcule o valor de x em cada uma das figuras aaixo: x 1 x x 7 18 x alcule o lado do quadrado inscrito no semicírculo de raio 8 centímetros Na figura, é um quadrado, = 3 cm e P = 1 cm. alcule a medida do lado desse quadrado. P 05. área do triângulo retângulo da figura é: a) 18 ) 0 c) d) 30 e)

27 06. alcule o raio do círculo circunscrito do triângulo isósceles de ase 6cm e altura 8cm. 07. Na figura, é um quadrado, calcule seu lado saendo que M é ponto médio de e que P mede 8cm. alcule a medida do lado desse quadrado. M P Oserve que os triângulos M, MN e NP são semelhantes. N 08. No quadrado de lados iguais a 8 cm, calcule o raio do círculo que passa pelos vértices e e tangencia o lado. 09. Num círculo de raio 10 cm traça-se uma corda de 16 cm. alcule a distância da corda ao centro. ( distância de um ponto até uma reta é sempre um segmento perpendicular a reta) 10. soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 3 cm. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo? 11. Na figura seguinte os segmentos,,,, e F todos têm medidas iguais a 1 cm e cada um deles é perpendicular a seu antecedente. ntão, o segmento F mede: (a) 5 () 3 F (c) (d) 6 (e) 7 7

28 II Lei dos ossenos Seja um triângulo qualquer. Tracemos a altura relativa ao lado e chamemos, de m, o segmento H, projeção do lado sore o lado. c a ntão, H = m. m H h m Não estamos admitindo o triângulo como triângulo retângulo, portanto aqui NÃO vale a relação h = m.(-m). omo Δ H é retângulo. Temos: a² = h² + ( m) ² a² = h² + ² + m² - m a² = ² + h² + m² - m m omo: h² + m² = c² e ainda, cos = (o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto c adjacente a esse ângulo, e a hipotenusa) m = c. cos Sustituindo na relação anterior temos a² = ² + c² - c cos Ou seja: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, diminuído do duplo produto desses dois lados, pelo cosseno do ângulo formado por eles. Oserve que caso = 90º, isto implica que cos = 0 e a relação fica reduzida ao teorema de Pitágoras. a² = ² + c² - c.0 a² = ² + c² xemplo: alcular o cosseno do ângulo na figura seguinte. 1 omo o triângulo não é retângulo, o cosseno não pode ser calculado por cateto adjacente dividido pela hipotenusa. ntão, apliquemos a lei dos cossenos. ( ) = cos = cos 3 4.cos = 3 ntão: cos = 4 8

29 XRÍIOS 01. alcule as medidas assinaladas nas figuras aaixo: a 8 x 7 y O o 60 o o 0. onsidere na figura aaixo dois triângulos equiláteros de lados 6cm e 8cm, respectivamente. alcule o segmento. 03. alcule o cosseno do ângulo  num triângulo onde = 1, = 14 e = 8 centímetros. 04. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 centímetros mede 10 o. alcule a maior diagonal desse paralelogramo. 05. Na figura, o triângulo M é equilátero e é um quadrado de lado 6cm. alcule a medida do segmento M. M 06. Oserve a figura. Nessa figura, o trapézio tem altura 3 e ases = 4 e = 1. alcule a medida do lado. 60 o ica: Trace uma reta pelo ponto paralela ao lado. 9

30 07. Seja M o ponto médio da altura H de um triângulo equilátero de 8 cm de lado. alcule a medida do segmento M. M H 08. No triângulo equilátero tem-se M = M = centímetros e N = 1 cm. alcule a medida do segmento MN. M N 09. No quadrilátero da figura, = = 3 cm, = cm, = 60 e = 90. medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: a) 11 ) 1 c) 13 d) 14 e) 15 Para calcular o lado, que está faltando, você talvez tenha que resolver uma equação do º grau. 10. No quadrado de lado 3cm, os pontos P e Q dividem a diagonal em três partes iguais. alcule a distância do ponto P ao vértice. Q P 30

31 UNI IV I. ÁR Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a Medida de sua superfície. Mais importante do que saer as fórmulas de área é entender o que represente a área de uma região plana. dmitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. Seja u a unidade de área: F 1 área da figura é n se: S (F) = u n Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. h S =.h Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por exemplo, tem 1cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 1 quadrados de lado 1cm. 1 cm 3cm 4cm S = 4.3 ntão S = 1 cm II Principais áreas: Paralelogramo h S =.h 31

32 Triângulo Oserve que o paralelogramo tem área igual ao doro desse triângulo. h ntão: S =.h S =.h Losango Oserve que o losango ocupa a metade do retângulo cujas medidas são suas diagonais. d ntão: S =.d S =.d Trapézio h área do trapézio pode ser otida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais..h.h ntão: S = + S = ( + ). h III Polígono Regular O Polígono regular de gênero n pode ser dividido, a partir do centro, em n triângulos isósceles congruentes. área do polígono será n vezes a área deste triângulo. ntão: S =.a n. l S = ( n. l).a a l a l Mas (n. l) é o perímetro do polígono que representamos por (p) e a, que representa a distância do centro ao lado, é conhecido como apótema do polígono. ntão: S = ( n. l).a p. a S = S = p.a mora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaa sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes. 3

33 IV - írculo onsideremos os polígonos regulares inscritos no círculo, quanto maior é o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Ou seja, aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo, a área do polígono tende ser a área do círculo. Nesse processo, o perímetro do polígono tende a πr (comprimento da circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio r. área do círculo então, pode ser determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema igual a r. Isto é: S = πr.r Logo S = πr Vale ainda ressaltar: 1) Seja um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles. Saemos que S = h c a.h Mas tamém saemos que o sen = h, então: a h =.sen, portanto, S = a. sen ) Radical de Heron. área do triângulo pode ser otida em função de seus lados. a S = p.(p a).(p ).(p c) Onde p é o semi-perímetro do triângulo. c 3) área de um triângulo equilátero de lado l pode então ser determinada por: S = l. l l 3 (multiplicar por é o mesmo que dividir por ) ntão S = 4 33

34 XRÍIOS: 01. alcule as áreas hachuradas, inscritas em quadrados de lados iguais a 6 cm. dmita que os vértices que estão sore seus lados são pontos médios desses lados. a) ) c) d) e) f) 0. Na figura seguinte, é um triângulo equilátero de 1 cm de lado e tem os ângulos retos. alcule, em centímetros quadrados, as áreas dos triângulos e assinaladas nas figuras. (a) () 03. Na figura, o triângulo equilátero tem lado cm e o vértice está sore o lado do retângulo. etermine a área assinalada. P 04. O retângulo, da figura aaixo, está sudividido em 100 quadrados elementares iguais. etermine a área somreada correspondente às letras da sigla UFRJ se: a) a área da letra U é a unidade de área. ) a área do retângulo é igual a uma unidade de área. 05. Suponhamos que uma folha retangular, de 8cm por 5cm, seja dorada segundo as ilustrações a seguir. Quantos cm quadrados terá a área hachurada do retângulo Q? (a) 4 cm () 6 cm (c) 7 cm (d) 9 cm 34

35 06. alcule a área do triângulo na figura seguinte saendo-se que é um quadrado e é um triângulo eqüilátero de 6 centímetros de lado. 07. O decágono da figura ao lado foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, hexágonos regulares e triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: () 14 T + 3 Q () 14 T + Q () 18 T + 3 Q () 18 T + Q 09. onsidere o trapézio da figura e calcule a área do triângulo. 4 cm 6 cm 1 cm 10. alcule as áreas hachuradas. Os arcos pertencem a circunferências com centros nos pontos médios dos lados do quadrado ou nos vértices dos mesmos. Os quadrados têm lados iguais a 6cm. a) ) c) d) e) 11. O círculo seguinte tem 4cm de raio. alcule a área hachurada saendo-se que o ângulo = 30 o. O 35

36 iliografia ROS, João Lucas Marques. Geometria uclidiana Plana. Rio de Janeiro: SM, LIM, Llon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: o Livro Técnico, OL, Osvaldo IZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática elementar. Vol. 9. São Paulo: tual,