MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS / MATEMÁTICA GEOMETRIA PLANA

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1 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 1 GEOMETRI PLN 1.0 INTROUÇÃO Na geometria, os conceitos de ponto, reta e plano são denominados de primitivos e por isso são aceitos sem definição. O ponto é representado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto enquanto a reta por uma letra minúscula. Já o plano é denotado por uma letra grega minúscula. Ponto Reta r s Plano 2.0. RET Levando-se em consideração o axioma: Por dois pontos distintos (não-coincidentes) e, passa uma única reta podemos representar essa reta pelo símbolo Semirreta Qualquer ponto pertencente a uma reta determina sobre a mesma duas semirretas. ; lê-se semirreta 2.2. Segmento de reta ados dois pontos distintos e de uma reta, chama-se de segmento de reta, e denota-se por, a união dos pontos e com todos os pontos da reta que estão entre e. Obs.: ois segmentos de medidas iguais são chamados de congruentes.

2 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Tipos de segmentos oplanares: são aqueles contidos no mesmo plano. olineares: são aqueles contidos na mesma reta. onsecutivos: São aqueles que possuem extremidade em comum. djacentes: São dois segmentos colineares e consecutivos com um único ponto em comum ÂNGULOS 3.1. efinição É qualquer uma das duas reuniões do plano limitadas por duas semirretas de mesma origem. Ô =. O 3.2. Unidade de medidas a) Grau b) Radiano Obs.: Existe também o grado que consiste em dividir a circunferência em 400 partes, porém não é importante para o nosso trabalho. Existe uma proporção para a transformação de grau para radianos: 180º daí, X = 180º X 3.3. Tipos de Ângulos Quanto à abertura: I- gudo: 0º 90º II- Reto: = 90º III- Obtuso: 90º 180º IV - Raso ou meia-volta = 180º Quanto à soma: omplementares: quando a soma dos dois é igual a 90º. Suplementares: quando a soma dos dois é igual a 180º. Replementares: quando a soma dos dois é igual a 360º. notações: Um ângulo O dobro de um ângulo terça parte de um ângulo O complemento de um ângulo O suplemento de um ângulo

3 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 3 O replemento de um ângulo O complemento do dobro de um ângulo O dobro do complemento de um ângulo O triplo do complemento do dobro de um ângulo O complemento do suplemento de um ângulo O dobro do suplemento do triplo do complemento da quinta parte de um ângulo- O quíntuplo do replemento do quádruplo do suplemento da terça parte do complemento do dobro de um ângulo Testes de sala 01. Sejam os segmentos, e indicados na figura, cujas medidas são = 20, = 12 e = 10. Qual a medida de? 02. Os pontos, e são colineares. Sabe-se que = 8 E = 12. etermine M, sendo M um ponto situado entre e tal que M M 2M. 03. Três pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podemos formar? 04. ois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é igual ao dobro do outro. alcule o suplemento do menor: 05. O dobro do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento do mesmo. alcule a medida desse ângulo. 06. ois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nessa ordem é 8 1. etermine esses ângulos. 07. O suplemento do complemento de um ângulo é igual ao quíntuplo desse ângulo. Qual a medida desse ângulo? 3.4. issetriz É a semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes entre si. O 3.5. Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) São ângulos que tem como lados retas concorrentes. =

4 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Ângulos de duas retas paralelas cortadas por uma transversal b c a d f g e h Ângulos alternos Ângulos colaterais orrespondentes internos externos internos externos Testes de sala 01. onsidere os ângulos adjacentes O e O. Se o segundo é o dobro do primeiro e o ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos dados mede 45º, calcule a medida de O e O. 02. alcule o valor de x de acordo com a figura a seguir. 3x x + 17

5 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI etermine a medida de x de acordo com a figura a seguir. r//s 100 o 30 o r 20 o s 04. alcule x na figura: x = 110 o r r//s 40 o s 4.0 TRIÂNGULOS 4.1. efinição reunião de três pontos,, não colineares é chamada de triângulo Elementos Vértices:, e Lados:, e Ângulos internos: a, b, e c Ângulos externos:, e

6 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 6 tenção: Soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180 o a + b + c = 180 o Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele Segmentos notáveis r x x H M H altura relativa ao lado M mediana relativa ao lado r bissetriz do ângulo 4.4. lassificação dos triângulos Quanto aos lados: Triângulo escaleno é aquele que não possui dois lados congruentes. Triângulo isósceles é aquele que possui dois lados congruentes. Triângulo equilátero é aquele que possui três lados congruentes.

7 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 7 Quanto aos ângulos: Triângulo acutângulo é aquele que possui três ângulos internos agudos. Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto. Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo interno obtuso. Observação: b c a (maior lado) Se a 2 > b 2 + c 2 então: triângulo obtusângulo Se a 2 = b 2 + c 2 então: triângulo retângulo Se a 2 < b 2 + c 2 então: triângulo acutângulo Testes de sala: 01. Na figura seguinte, sabe-se que = = e =. etermine 02. lassifique, se possível, quanto aos lados e quanto aos ângulos. a) 3, 4 e 5 b) 5, 6 e 6 c) 3, 5 e 6 d) 7, 8 e nalise as alternativas e classifique em verdade ou falso: ( ) Existe triângulo retângulo isósceles. ( ) Existe triângulo obtusângulo equilátero. ( ) Todo triângulo equilátero é acutângulo. ( ) Não existe triângulo acutângulo escaleno. ( ) 3, 7, 9, são medidas dos lados de um triângulo. ( ) 3, 7, 12, são medidas de triângulo escaleno. ( ) Se 8 e 10 são medidas de dois lados de um triângulo, então a medida do terceiro x lado é, tal que 2 x 18.

8 VILS, 7, 12, são medidas de triângulo escaleno. ( ) Se MTEMÁTI 8 e 10 são medidas E SUS de TENOLOGIS dois lados de um / MTEMÁTI triângulo, então a medida do 8 terceiro x lado é, tal que 2 x Qual o valor do ângulo x da figura abaixo, em graus? a) Qual o valor do ângulo x da figura abaixo, em graus? b) 20 2x c) 15 a) 45 d) 30 b) 20 e) não existe valor para x c) 15 d) 30 2x + y 70 e) não existe valor para x 3y Na figura, os segmentos e E são paralelos, enquanto E e são perpendiculares. Nestas circunstâncias o valor do ângulo x é: circunstâncias o valor do ângulo x é: a) a b + 90 b) a + b - 90 c) 90 - a + b d) a b e) a + b E a) a b + 90 a b) a + b - 90 x c) 90 - a + b d) a b e) a + b b 06. Exprimindo o ângulo x da figura abaixo em função de a e b encontramos: a) x = a + b - 90 b) x = ½ (a + b) a c) x = a b d) x = 2/3 (a + b) e) x = 45 + ½ (a + b) b. x

9 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Semelhança de triângulo Teorema de tales: Se um feixe de retas paralelas é cortado por transversais, então os segmentos encontrados são proporcionais. r s t r//s//t ' ' ' ' ' ' ois triângulos são semelhantes se possuem ângulos congruentes. Vale lembrar que se dois ângulos forem congruentes, o 3 o também será. Testes de sala 01. alcule x na figura, sabendo r//s//t. x + 6 x r s 4 3 t 02. alcule 3x 2y, sendo r//s//t. x 24 r 2 3 s 18 y t

10 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Na figura abaixo, = 5, = 6 e E = 3. área do triângulo E é: 15 a) 8 15 b) 4 15 c) 2 d) 10 e) área do retângulo EF é: a) 120 b) 24 c) 20 d) 160 e) Relações métricas no triangulo retângulo

11 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 11 emonstração em sala: 4.7. plicações do teorema de Pitágoras iagonal do quadrado Seja um quadrado de lado L. L L d L L plicando o teorema de Pitágoras no triângulo, obtém-se: L 2 + L 2 = d 2 daí: d = L 2 ltura de triângulo equilátero Seja um triângulo equilátero de lado L. h H plicando o teorema de Pitágoras no triângulo H, obtém-se: L 2 +(L/2) 2 = h 2 daí: h = L 2 3 Testes de sala 01. alcule a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 10cm. 02. etermine o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede 12cm.

12 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI etermine o valor de x no trapézio abaixo: 8 x x ÍRULO e IRUNFERÊNI 5.1. efinição enominamos circunferência ao lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de um ponto chamado centro. írculo é a união da circunferência com seu interior 5.2 Elementos do círculo e da circunferência O: centro : diâmetro da circunferência O = O = O: raio S: flecha E: corda E: arco O S E 5.3. Ângulos na circunferência Ângulo central: é aquele cujo vértice coincide com o centro de um círculo. O Ângulo inscrito: è aquele cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados contém duas cordas. O

13 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 13 Ângulos excêntricos: Interior: O Exterior: Testes de sala 01. alcule x na figura: x + 40 o 3x + 10 o 02. Na figura a seguir, as medidas dos arcos e são, respectivamente, 120º e 40º. Qual o valor de? 03. Qual a medida do ângulo x, sendo e tangentes à circunferência? x 30 o

14 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI etermine x tendo em vista a figura a seguir o arco = 120º. E x 80 o 5.4. álculos envolvendo círculos e circunferência: - omprimento da circunferência: - omprimento de um arco: - Área do círculo: - Área do setor: E- Área da coroa:

15 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 15 Testes de sala 01. Qual a área pintada na figura abaixo? 12 cm 60 o 12 cm 02. Qual a área da figura abaixo, sabendo que o raio dos três círculos é igual a 2cm? 03. alcule a área pintada, sabendo que a área do quadrado é igual a 16cm Relações métricas na circunferência (Potência de ponto) 1 o - Relação das cordas P 2 o - Relação das secantes P

16 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 16 3 o - Relação da secante com a tangente P T onsequências: 1 - Teorema das tangentes P 2 Teorema de Pitot: em qualquer quadrilátero circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois. Testes de sala 01. alcule os raios dos círculos inscritos e circunscritos a um triângulo retângulo de lados 6cm, 8cm e 10cm. 02. menor distância do ponto P à circunferência mede 4cm. P T alcule o raio dessa circunferência, sabendo que PT = 8cm.

17 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI figura representa os quadrados e EFGH circunscrito e inscrito, respectivamente, à circunferência de centro O. Se o lado do quadrado maior vale 6, então pode-se afirmar que: I- o lado do quadrado menor vale 4; II- a área do quadrado maior é o dobro da área do quadrado menor; III- a razão entre a diagonal do quadrado maior e a diagonal do quadrado menor é um número racional; IV- a área da parte sombreada da figura vale 9 ( π 2 ); V- a área do quadrado EFGH é um múltiplo de Quadriláteros 6.1. efinição: todo polígono convexo que possui 4 lados lassificação: a) Trapézio: é o quadrilátero que possui dois lados paralelos chamados base. Tipos de Trapézios Retângulo: possui um lado perpendicular as bases. + = 180 o = = 90 o Isósceles: Possui lados não paralelos congruentes. = = e = + = 180 o e + = 180 o

18 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 18 Escaleno: lados não paralelos não são congruentes. + = 180 o e + = 180 o b) Paralelogramo: Todo quadrilátero que possui lados opostos congruentes. Todo paralelogramo possui como propriedades: 1 os ângulos opostos congruentes. 2 os lados opostos congruentes. 3 as diagonais cortam-se no ponto médio 4 dois ângulos de vértices consecutivos são suplementares. // e // = e = = e = + = 180 o e + = 180 o Tipos de Paralelogramos Retângulo: paralelogramo com os quatro ângulos internos retos e as diagonais congruentes. = = = = 90 o e = Losangos: Paralelogramo que possui os quatro lados congruentes, suas diagonais se cruzam perpendicularmente e coincide com as bissetrizes dos vértices. = = = Quadrado: Paralelogramo que possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes. = = = = = = = 90 o

19 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 19 aí podemos concluir que: P Quadriláteros T1 Rx Q L T Trapézio P Paralelogramo R Retângulo L Losango Q Quadrado 7.0. Polígonos Polígono é a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de retas, com a sua região interna Elementos do polígono. r : vértice : lado a i : ângulo interno a e : ângulo externo E: diagonal E a i a e 7.2. Nomenclatura n o de lados nome do polígono 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 ecágono 11 Undecágono 12 odecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Obs.: Os demais polígonos não possuem nomes em especial. São tratados como, por exemplo, polígono de 17 lados, 13 lados, 22 lados e assim por diante Soma dos ângulos internos S i = (n - 2)180º

20 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Soma dos ângulos externos S e = 360º 7.5. Polígonos Regulares É todo polígono que possui ângulos e lados congruentes. aí, podemos calcular cada ângulo interno e externo do polígono, se ele for regular Ângulo interno a i = Ângulo externo a e = Número de diagonais d = n(n - 3) 2 Testes de sala 01. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º? 02. etermine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados. 03. etermine o número de diagonais de um polígono regular convexo cujo ângulo externo vale 24º. 04. umentando-se o número de lados de um polígono em 3 unidades, seu número de diagonais aumenta em 21 unidades. etermine o número de diagonais desse polígono Polígonos inscritos e circunscritos a) Triângulo equilátero R r L 3 h = 2 h r = 3 2h R = 3

21 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 21 b) Quadrado r R d = L 2 L 2 R = 2 L r = 2 c) Hexágono r R R = L L 3 r = 2 TESTES E S 01) (UF-/2000)

22 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 22 02) (UF-/2007) 03) (UF- / 2001) 04) (UF-/2003)

23 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 23 05) (UF-/2004) 06) (UF-/2008) 07) (FUVEST/2009)

24 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 24 08) (FUVEST/2009) Na figura,, e são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto é exterior a ela. lém disso, (1), e e, O e são colineares; (2) = O; (3) Ô mede α radianos. Nessas condições, a medida de O, em radianos, é igual a? a) π - α /4 d) π - 3α /4 b) π - α /2 e) π - 3α /2 c) π - 2α /3 09) (FUVEST/2009) figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a?

25 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 25 10) (FUVEST/2010) Na figura, o triângulo é retângulo com catetos = 3 e = 4. lém disso, o ponto pertence ao cateto, o ponto E pertence ao cateto e o ponto F pertence à hipotenusa, de tal forma que EF seja um paralelogramo. Se E = 3 / 2, então a área do paralelogramo EF vale: a) 63/25 b) 12/5 c) 58/25 d) 56/25 e) 11/5 F 11) (FUVEST/2010) Na figura, os pontos,, pertencem à circunferência de centro O e = a. reta O é perpendicular ao segmento e o ângulo Ô mede π / 3 radianos. Então, a área do triângulo vale : a) a² / 8 b) a² / 4 c) a² / 2 d) 3.a² / 4 e) a² 12) (FLSE/2008) Os lados de um triângulo medem 6 cm, 10 cm e 12 cm; sabe-se que o raio da circunferência inscrita a este triângulo é igual ao raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo equilátero. etermine a área do triângulo equilátero. 13) (FLSE/2008) etermine a área de um trapézio de acordo com as seguintes informações a respeito deste quadrilátero em questão: I base menor é igual a 3 vezes a diagonal de um retângulo cujo perímetro é igual a 30 cm e cujos lados estão entre si como 1 está para 2. II base maior vale o dobro da área de um losango cujo perímetro é igual a 16 cm e a diagonal menor vale 15 cm. III altura é igual a [ 3 : 25 ]. ( dq )² onde dq é a diagonal de um quadrado cuja área vale 4 cm ².

26 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 26 14) (FLSE/2008) etermine a razão entre os apótemas de um quadrado inscrito e um hexágono circunscrito a uma mesma circunferência cujo raio possui a mesma medida do apótema de um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm. 15) (FUVEST) Na figura, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabe-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 2 7. Nessas condições, determine r. GEOMETRI ESPIL 1.0. PRISMS Todo sólido limitado por dois planos paralelos e iguais. Elementos do Prisma base face a l aresta lateral base a b aresta da base

27 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 27 Área da base: as principais bases são: 2 L 3 4 L 3 h 2 2 L 2 L 3 6 x 4 Planificação: Área Lateral: l = nx face ou l = 2p x h Volume: V = b x h TESTE E SL 01. ado um prisma reto quadrangular regular cuja aresta da base mede 3cm e a altura igual a 4cm, determine: a) área da base. b) área lateral. c) área total. d) volume. 1.1 Paralelepípedo: caso especial de paralelepípedo que possui base quadrangular. c a b

28 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 28 Planificação: b b c c a a a a b c c b Área Total: t = 2(ab+ac+bc) Volume: V = abc iagonal: d = a 2 + b 2 + c 2 TESTES E SL 01. Um paralelepípedo retângulo com as dimensões 3m, 4m e 5m, calcule: a) a área total. b) o volume. c) a medida da sua diagonal. 02. Um paralelepípedo retângulo é tal que a maior aresta mede o quádruplo de outra que por sua vez, esta mede o dobro da menor aresta. Se a área total desse paralelepípedo mede 52 cm 2, o volume será: a) 8 cm 3 b) 12 cm 3 c) 16 cm 3 d) 20 cm 3 e) 22 cm ubo: caso especial de paralelepípedo. Possui todas as bases quadradas. Planificação: a a a

29 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 29 Área Total: t = 6 x a 2 Área da base: b = a 2 Volume: V = a 3 iagonal da Face: d = a 2 iagonal do ubo: = a 3 TESTE E SL 01. onsidere um cubo onde a diagonal do sólido mede 6 cm. alcule a área total da superfície desse sólido ilindro Sólido de revolução gerado pela rotação completa de um retângulo em torno de um dos lados. Podemos analisar o cilindro como sendo um prisma de base circular. Elementos: h altura r raio Planificação: Área da base: b = r 2 Área lateral: L = 2rh Área total: t = L + 2 b Volume: V = r 2 h Obs: ILINRO EQUILÁTERO: é todo cilindro que possui secção meridional igual a um quadrado.

30 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 30 TESTES E SL 01. onsidere um cilindro de revolução gerado pela rotação completa de um retângulo de lados 6 cm e 8 cm em torno do maior lado. alcule: a) a área lateral do cilindro. b) a área total do cilindro. c) a área da secção meridiana. d) o volume. 02. aresta de um cubo e o raio da base de um cilindro circular reto são iguais a 2 cm. área total da superfície do cubo é igual a área lateral do cilindro. Sabendo-se que a altura do cilindro é x π m, determine x ONE Sólido de revolução gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. Elementos: altura h g geratriz rraio Obs: g 2 = r 2 + h 2 Planificação:. o Área da base: b = r 2 Área lateral: l = rg Área total: t = l + b Volume: V = π r2 h 3 Obs: ONE EQUILÁTERO: é todo cone que possui secção meridional igual a um triângulo equilátero.

31 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 31 TESTES E SL 01. Se o raio da base de um cone de revolução mede 3 cm e o perímetro de sua seção meridiana mede 16, então o seu volume, em centímetros cúbicos, mede: a) 15 b) 10 c) 9 d) 12 e) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m 3, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e PIRÂMIE a l h a pp a pb a b Planificação

32 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI 32 Área da base: as principais bases são: 2 L L 6 x 2 L 3 4 L 3 h 2 Área Lateral: l = nx face Área Total: t = l + b Volume: V = πr2 h 3 TESTES E SL 01. Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base e vértice O é: 1 a) 2 1 b) 3 1 c) 4 1 d) 6 1 e) 8 O 02. Uma pirâmide quadrangular regular possui aresta da base igual 6 cm e apótema da pirâmide 8cm. Qual o seu volume?

33 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI Esfera Superfície: S = 4πr 2 Volume: V = 4 3 πr3 TESTES E S 01. (UF-/2001) Um recipiente em forma de um cilindro reto, com dimensões de 20 u.c. de diâmetro e 16 u.c. de altura, está completamente cheio de argila, que deverá ser toda usada para moldar 10x bolinhas com 2 u.c. de raio. alcule x. 02. (UF-/2002) Um tanque, na forma de um cilindro circular reto, deve ser construído de modo que sua área lateral seja 24π u.a., e seu volume seja igual ao de uma esfera cujo raio mede 3 u.c. alcule, em u.c., a altura desse tanque. 03. (UF-/2003) alcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular. 04. (UF-/2004) Uma empresa fabrica copos de plásticos para refrigerantes e café. Os copos tem a forma de tronco de cone e são semelhantes, isto é, um deles pode ser obtido a partir do outro por homotetia. O copo de refrigerante mede 9,5 cm de altura e tem capacidade para 480 ml. Sabendo-se que o copo de café tem 3,8 cm de altura, determine a sua capacidade em mililitros, aproximando o resultado para o número inteiro mais próximo. 05. (UF-/2010) Sendo Ɵ o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1. sen² Ɵ

34 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI (FUVEST/2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a? 07. cisterna é uma tecnologia popular para a captação e armazenamento de água da chuva e representa solução de acesso a recursos hídricos para a população rural do semiárido brasileiro, que sofre com os efeitos das secas prolongadas, que chegam a durar oito meses do ano. Por exemplo, no eará há quase 54 mil cisternas em funcionamento. Popularmente, a cisterna tem formato de um cilindro reto em que a base superior está acoplada um cone reto (veja a figura abaixo). Se o material para a construção do cilindro é de R$ 2,00 por metro quadrado e R$ 3,00 por metro quadrado para o cone, quanto foi gasto para construir cada cisterna? Suponha que os dados são: r = 4m, h1 = 3m, h2 = 1m e = 3,14. a) 138,64 reais. b) 238,64 reais. c) 338,64 reais. d) 438,64 reais. e) 538,64 reais. 08. epois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. pós a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. altura do cone formado pela areia era igual a: a) 3/4 da altura do cilindro. b) 1/2 da altura do cilindro. c) 2/3 da altura do cilindro. d) 1/3 da altura do cilindro.

35 VILS MTEMÁTI E SUS TENOLOGIS / MTEMÁTI (VUNESP) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5mL/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a medicação. pós 4h de administração contínua, a medicação foi interrompida. ado que 1cm 3 = 1mL, e usando a aproximação = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) (VUNESP) Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera de 1 R aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba 6, conforme mostra a figura. a) alcule o raio r da esfera em termos de R. b) ssuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3 4 da altura do cilindro. alcule quantas esferas de aço idênticas à citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.