26 Corpos redondos Banco de questões

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1 UNIDADE V I I I geometria CAPÍTULO 6 Corpos redondos Banco de questões 1 (Cesgranrio RJ) Na figura, os cinco círculos têm o mesmo raio e o quadrado tem seus vértices nos centros de quatro deles. Se o quinto círculo é tangente aos outros quatro, qual a razão entre a área sombreada e a área não sombreada no interior dos círculos? Se a altura do tronco é 10 cm, a medida da sua geratriz, em cm, é igual a: a ) 101 b ) 10 c ) 10 d ) 6 e ) 105 a ) 1 4 b ) 1 c ) 5 d ) e ) 5 4 (FGV SP) Uma caixa aberta, em forma de cubo com 0 cm de aresta, está cheia de esferas de 1 cm de diâmetro. Estime quantas esferas contém essa caixa. (FGV SP) Inclinando-se em 45 um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base, 6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a figura. 5 (FGV SP) Uma garrafa de base e boca circulares está parcialmente cheia de água. Com a boca tampada, a garrafa foi virada para baixo e, em seguida, a água foi derramada, sem desperdício, no interior de um recipiente esférico de volume igual ao da garrafa, como mostra a seqüência de figuras: Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual do líquido contido inicialmente no copo de: a ) 48% b ) 6% c ) 8% d ) 4% e ) 18% 4 (FGV SP) Um tronco de cone circular reto foi dividido em quatro partes idênticas por planos perpendiculares entre si e perpendiculares ao plano da sua base, como indica a figura a seguir. a ) Sendo PQ a geratriz de um cilindro circular reto, calcule o volume de água contida na garrafa na situação inicial, em cm. b ) Sendo C o centro da circunferência da boca da garrafa, AB o diâmetro do círculo determinado pelo nível de água na esfera e ABC um triângulo eqüilátero, calcule a altura h da calota de ar na esfera, em cm. 6 (UEPB PB) A área de um círculo máximo de uma esfera vale 81π dm. O volume dessa esfera é igual a: a ) 97π dm b ) 916π dm c ) 79π dm d ) 6π dm e ) 4π dm

2 7 (UESC BA) Se o lado do quadrado da figura mede x cm, então a área, em cm, da região sombreada é igual a: a ) x 1 π b ) x 1 + π c ) x 1 π d ) x 4 + π e ) x 4 π 8 (UESC BA) Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área lateral, em cm, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a: a ) 4π b ) 14π c ) 1π d ) 4 e ) 1 9 (Uespi PI) A área da superfície de um lago é estimada em 6060 m. Um estudo realizado aponta que todo o volume de água que caiu nesse lago, nos 15 primeiros dias de julho, foi de litros. Imaginando que toda essa água de chuva fosse colocada no interior de um cilindro, cuja área da base fosse metade da área da superfície do lago, a medida inteira mais próxima da altura que o nível da água alcançaria, em milímetros, é: a ) 18 b ) 19 c ) 0 d ) 1 e ) 10 (Uespi PI) Em um baú de base retangular, cujas medidas estão expressas em metros, representado pela figura abaixo, considere o polígono ABEF como um quadrado, BC = 1, 0 m e EGF um semicírculo de diâmetro EF. Sabendo-se que o volume desse baú é de 1056, m, é correto afirmar que sua altura AF, em centímetros, é igual a: (Para efeito de cálculos, considere π =.) c ) 49 cm d ) metade do comprimento BC e ) três quartos do comprimento BC 11 (UFBA BA) Considere um prisma reto triangular regular de altura igual a 10 cm e um cilindro circular reto de raio da base igual a r, medido em cm, inscrito nesse prisma. Em função de r: deduza a expressão do lado do triângulo, base do prisma; determine o volume da região exterior ao cilindro e interior do prisma. 1 (UFC CE) Os centros de três esferas não são colineares. Assinale a opção que corresponde ao maior número possível de planos tangentes a todas elas. a ) b ) 4 c ) 6 d ) 8 e ) 10 1 (UFG GO) A figura abaixo representa uma seringa no formato de um cilindro circular reto, cujo êmbolo tem 0 mm de diâmetro. Esta seringa está completamente cheia de um medicamento e é usada para injetar doses de 6 ml desse medicamento. Com base nessas informações, determine quantos milímetros o êmbolo se desloca no interior da seringa ao ser injetada uma dose. 14 (UFMA MA) A figura abaixo representa uma ampulheta construída com dois troncos de cone circular reto de bases paralelas e mesmas dimensões. a ) um número primo b ) dois terços do comprimento BC Sabe-se que R = u.c. e r = 1 u.c. No momento inicial, o tronco inferior está vazio e o tronco superior possui uma quantidade de água no seu interior de forma que r 1 mede u.c. Assim, no momento final, quando o tronco superior estiver vazio e toda a água estiver no tronco inferior, o valor de r será: a ) u.c. c ) 0 u.c. e ) u.c. b ) 15 u.c. d ) 1 u.c.

3 15 (UFMA MA) A figura abaixo representa uma esfera S metálica de raio R, da qual foi retirada uma outra esfera S 1 de raio r < R, concêntrica a S. A relação entre r e R para que com esse material sejam construídas 7 esferas de raio r é: a ) r R = 4 R b ) r = 4 R c ) r = d ) r R = 7 e ) r R = 16 (UFMT MT) Na figura ao lado estão representadas duas seringas, I e II, modelo padrão utilizado na administração de medicamentos injetáveis, que se diferenciam apenas pela capacidade volumétrica. As partes sombreadas, nas seringas, representam o volume de medicamento a ser injetado e possuem a forma de um cilindro circular reto. A seringa I possui diâmetro interno d e a II, diâmetro interno D; o volume do medicamento na seringa II é quatro vezes o da seringa I e a altura do medicamento nas duas seringas é H. A partir dessas informações, pode-se afirmar que a relação entre D e d é: a ) D = d d ) D = + d b ) D = 4d c ) D = d e ) D = d 17 (UFPR PR) Um cavalo está preso por uma corda do lado de fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura abaixo. Determine a área total da região em que o animal pode se deslocar: a ) ( 75π + 4) m b ) 88π m c ) 0π m m d ) 100π 4 e ) 176π m 18 (UFPR PR) Maria produz pirulitos para vender na feira ao preço unitário de R$ 0, 80. Ela usa formas com formato interno de cone circular reto e costuma fazer os pirulitos colocando o doce nessas formas até a borda. Tendo recebido uma encomenda de minipirulitos para uma festa infantil, decidiu fazê-los colocando o doce até a metade da altura da forma. Para manter o preço diretamente proporcional à quantidade de doce utilizado para produzir o pirulito, ela deve vender cada minipirulito por: a ) R$ 0, 10 c ) R$ 0, 0 e ) R$ 0, 16 b ) R$ 0, 40 d ) R$ 0, 5 19 (UFPR PR) O serviço de encomendas da Empresa de Correios impõe limites quanto ao tamanho dos objetos a serem postados. Considere que somente sejam permitidos para postagem objetos dentro dos limites descritos abaixo. Caixa Embalagem em forma de rolo Dimensões da embalagem A soma (comprimento + largura + altura) não deve ser superior a 150 cm. A face de endereçamento não deve ter medidas inferiores a 11x16 cm. Altura mínima: cm. A soma (comprimento + dobro do diâmetro) não deve ser superior a 104 cm. O comprimento do rolo não deve ser maior que 90 cm. Com base nessas informações, considere as afirmativas abaixo a respeito da postagem de uma barra cilíndrica rígida de 95 centímetros de comprimento e um centímetro de diâmetro. 1. Não é possível postar essa barra embrulhada em forma de rolo.. É possível postar essa barra dentro de uma caixa de papelão em forma de paralelepípedo retangular reto, com 80 cm de comprimento, 60 cm de largura e 7 cm de altura.. É possível postar essa barra dentro de uma caixa de papelão em forma de prisma reto com 90 cm de altura e base quadrada com 0 cm de lado. Assinale a alternativa correta: a ) Somente a afirmativa é verdadeira. b ) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. c ) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. d ) Somente a afirmativa é verdadeira. e ) Somente as afirmativas e são verdadeiras.

4 0 (UFPR PR) Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. y (UFSC SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as seguintes proposições: Considere L 1 e L, duas latas de forma cilíndrica, de massa de tomate, de mesma marca. A lata L 1 possui o dobro da altura da lata L, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro de L. Se L 1 custa R$ 180, e L R$, 80, então a lata mais econômica é L. Observe a figura abaixo. Se os diâmetros dos semicírculos estão sobre os lados do triângulo retângulo ABC, então Área I = Área II + Área III. x C I Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy, delimitada pelas retas r : y = x, r : x = 0 1 e r : x = 1 e pela circunferência γ : x + y 4 1 =. a ) Utilize os eixos cartesianos para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. b ) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item acima. 1 (UFRJ RJ) Um grupo de cientistas parte em expedição do Pólo Norte e percorre 00 km em direção ao sul, onde estabelece um primeiro acampamento para realizar experiências. Após algum tempo, o grupo percorre 00 km em direção ao leste, onde instala o segundo acampamento para experimentos. Após três dias, o grupo parte em viagem e percorre 00 km em direção ao norte, onde estabelece o terceiro acampamento. Supondo que a superfície da Terra seja perfeitamente esférica, determine a distância entre o terceiro acampamento e o Pólo Norte. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir). (UFRN RN) Um tronco de madeira, em forma de cilindro, de altura H e raio R, é transformado em uma barra de madeira, em forma de paralelepípedo de base quadrada, com aproveitamento máximo da madeira. Sabendo-se que o volume original do tronco era V = π R H, é correto afirmar que o volume da barra é: a ) R b ) R c ) R d ) 4R H H H H II A III A figura abaixo está representando uma pirâmide inscrita num cubo. Se o volume da pirâmide é de 7 m, então a aresta do cubo é igual a 9 m. O octaedro regular é um poliedro que tem 8 arestas. 4 (UFV MG) Com uma chapa de aço na forma de um setor circular AOB, de ângulo central α = AOB radianos e raio r, constrói-se um recipiente na forma de um cone circular reto, unindo os segmentos OA e OB, conforme ilustra a figura abaixo. O volume do cone assim obtido é α r V = 4 π α. Diminuindo em 0% o valor de r e mantendo constante o ângulo central 4π α, a capacidade do recipiente, em porcentagem, diminui em: a ) 51, % b ) 58, 8% c ) 49, 8% d ) 48, 8% e ) 50, % B

5 5 (Unesp SP) Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de 5 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 0 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala). O volume do cilindro, em cm, é: a ) 100π b ) 00π c ) 50π d ) 500π e ) 750π 6 (Unifor CE) A figura abaixo apresenta a logomarca de certa empresa, em que aparecem traçadas duas cordas paralelas entre si e de mesmo comprimento, distantes 4 cm uma da outra. 8 (Fuvest SP) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = ME. Calcule: a ) o volume do tetraedro BCGM b ) a área do triângulo BCM c ) a distância do ponto B à reta suporte de CM 9 (Udesc SC) A geratriz de um cone circular reto de altura 4 cm é 5 cm; então a área da base desse cone é: a ) 9π cm c ) 5π cm e ) 4π cm b ) 16π cm d ) 5π cm 0 (UEL PR) Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 1 cm e também uma esfera com diâmetro de 1 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a: a ) 1 cm e 4 cm b ) 0 cm e 10 cm c ) 4 cm e 8 cm d ) 9 cm e cm e ) 18 cm e 6 cm 1 (UEMG MG) Conforme a figura abaixo, um copo de papelão tem o formato de um cone de 0 cm de altura e 6 cm de diâmetro da base. Se o raio do círculo mede 4 cm, a área da região sombreada, em centímetros quadrados, é: (Use: π =.) a ) b ) 4 + c ) d ) 8 + e ) (Unifor CE) Seja o triângulo cujos vértices são as intersecções das retas de equações x = 0, x 4 y = 0 e x + y 5 = 0. A rotação desse triângulo em torno do eixo das ordenadas gera um sólido cujo volume é: a ) 16 π b ) 64 π c ) 80 π d ) 88 π e ) 9 π Querendo encher esse copo com suco numa quantidade igual a de sua capacidade total, a altura 4 h atingida pelo suco deverá ser de: a ) 10 b ) 15 cm c ) 1 d ) 10 6 cm cm cm

6 (UEMG MG) Deseja-se fabricar x bolinhas esféricas maciças de ouro, de 1 cm de raio cada uma, derretendo-se uma barra de ouro, também maciça, em forma de paralelepípedo retangular de 0 cm de comprimento, 10 cm de largura e π cm de altura. O valor de x é igual a: a ) 0 b ) 410 c ) 450 d ) 480 (UEMS MS) Um cilindro de revolução de raio r e altura h = 5 r é cortado por um plano paralelo ao r seu eixo e a uma distância d = desse eixo. A 5 secção retangular formada tem área de 16 cm. 5 (UFPE PE) Um salão de festas quadrangular de área A = 5 m, representado pelo quadrado ABCD, deve ter seu piso pintado nas cores branco e preto, de acordo com a figura abaixo. AB, BC, CD e AD são arcos de circunferências respectivamente tangentes às diagonais do quadrado ABCD nos pontos A e B, B e C, C e D, D e A. A parte central será pintada de preto e as calotas serão pintadas de branco. Sabendo-se que o rendimento da tinta é de 1 galão (,5 L) para cada 5 m de área, julgue as proposições a seguir em verdadeiras ou falsas: A mesma quantidade de tinta preta e de tinta branca. galões de tinta preta e 4 galões de tinta branca. A área preta é maior que a área branca. A tinta preta será o dobro da tinta branca. A área preta é menor que 100 m. Qual a área da base desse cilindro? a ) π b ) π c ) π + 1 d ) π e ) 1 4 (Ufscar SP) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras. Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m, é igual a: ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) a ) 14 + π b ) 14 + c ) 14 d ) 1 e ) 1 6 (UFPE PE) Considere uma semi-esfera, um cone e um cilindro de revolução retos. Sobre estes sólidos, julgue em verdadeiras ou falsas as afirmações: Para que o cilindro e o cone tenham o mesmo volume, é necessário que eles tenham o mesmo raio na base e que o cone seja vezes mais alto. Se o cilindro e o cone têm raio e altura iguais ao raio da semi-esfera, o volume do cilindro é igual aos volumes da semi-esfera e do cone somados. Se o cilindro tem o dobro do volume da semiesfera, dobrando o raio da semi-esfera, obtém-se uma semi-esfera de mesmo volume que o cilindro. Se o cilindro tem o dobro do volume do cone, dobrando a altura do cone, obtém-se um cone de mesmo volume que o cilindro. Se o cone e o cilindro têm a mesma altura, o cone deve ter um raio vezes maior que o do cilindro para que tenham o mesmo volume.

7 7 (UFPE PE) Qual a menor quantidade de fita que deve ser utilizada para enfeitar o mastro de forma cilíndrica (reto) de uma bandeira de 5 m de altura, como na figura abaixo, se são gastos 50 cm para cada volta na superfície do cilindro? O diâmetro do mastro é 15 cm. Qual é o inteiro mais próximo em metros?

8 Respostas do capítulo 6 1 d 109 d 4 b 5 a ) 56 π cm b ) 1 cm 6 a 7 c 8 a 9 d 10 b 11 = r V = 10r π cm solicitado 1 d 1 aproximadamente 19, 1 mm 14 c 15 e 16 c 17 b 18 a 19 c 0 a ) 9 a 0 c 1 d c b 4 e 5 F, V, F, F, V 6 F, V, F, V, V 7 15 b ) V = 8 π 1 A distância é zero. c V, V, F, F 4 d 5 d 6 d 7 c 8 a ) a 6 b ) 5 a 8 c ) 5 a 41 41