UNIDADE 1. Tarefa Mínima

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1 UNIDADE 1 NÚMEROS PROPORCIONAIS RAZÕES E PROPORÇÕES Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade. Então, dados dois números a e b, denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por b a Obs.: a razão a é usualmente lida assim: a está para b. b A igualdade entre duas razões é uma proporção. Representação: a c b d onde: a, d = extremos b, c = meios a c A expressão lê-se assim: a está para b, assim como b d c está para d. Observações: Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem. A e B são diretamente proporcionais se: a b c k d e f k é a constante de proporção. Propriedade: a d b e c a b c f d e f A e B são inversamente proporcionais se: a. d = b. e = c. f = k Propriedade: a. d = b. e = c. f = Exercícios de Sala 1. Um automóvel percorre 160km em horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrêla é:. Determine dois números, sabendo que a soma deles é 3 4 e que a razão entre eles é a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7. b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. a 1 d b 1 e c 1 f Tarefa Mínima 4. Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas? 5. Determine dois números, sabendo que a soma deles é 60 e que a razão entre eles é Determine os valores de x e y sendo: x y = 10 e y 1 x 3 7. Se (, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 b) x = e y = 1 c) x = 1 e y = 1 d) x = 4 e y = 8. Divida o número 360 em partes proporcionais aos números, 3, 4 e 6. Tarefa Complementar 9. Divida o número 0 em partes inversamente proporcionais aos números 3 4, e A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas. 11. (PUC-SP) Se (9, x, 5) e (y, 8, 0) sejam diretamente proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade 9 x 5 y 8 0, os valores de x e y devem ser respectivamente: a) e 36 d) 5 e 35 b) 1 1 e e) n.d.a. 4 5 c) e 5 1. (F.Carlos Chagas) Se as sequências (a,, 5) e (3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a + mb = 10, então m é igual a: a) 0,4 c),0 e) 5,0 b) 1,0 d),5 13. p é inversamente proporcional a q +. Sabendo que p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? a) c) 0,5 e) 3 b) 0 d) Pré-Vestibular da UFSC 1

2 14. (UFMG) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que x y z 3 4, o valor de x é: 15. (UFSC) O perímetro de um terreno é 7 m. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é: 16. (UFBA) Sabe-se que das 50 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas, e 9, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é: a) b) c) d) e) n.d.a (FUVEST) Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m. x Y 1 p m Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 5 litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura UNIDADE Ângulo Agudo Ângulo Reto Ângulo Obtuso Dois ângulos e podem ser: a) complementares: + = 90º b) suplementares: + = 180º c) replementares: + = 360º ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL GEOMETRIA PLANA ÂNGULOS Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice). Triângulos O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC. UNIDADES ANGULARES Sistema Sexagesimal (Grau) 1 1 grau é da circunferência. 360 Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados Submúltiplos do Grau: 1 = 60 e 1 = 60 Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura. Pré-Vestibular da UFSC

3 Quanto aos ângulos Tarefa Mínima 4. (ACAFE) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x 40 e 6x 0. O valor do ângulo é: a) 80 b) 70 c) 40 d) 0 e) 10 CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos: a < b + c triângulo acutângulo a = b + c triângulo retângulo a > b + c triângulo obtusângulo ÂNGULOS NUM TRIÂNGULO 5. Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede: a) 45 b) 135 c) 100 d) Determine o valor de x na figura abaixo: 5º r// s Triângulo Equilátero A + B + C = º x s 7. Nas figuras abaixo, o valor de x é: a) Se AB = BC = AC então A = B = C = 60 Triângulo Retângulo b) Exercícios de Sala c) 1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10 e x Um deles mede: d). Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então, esse ângulo mede: a) 30 c) 60 e) 15 b) 45 d) Em cada figura abaixo, determine o valor de x. a) r //s b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo equilátero. 8. (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Então: a) y = 3x c) x + y = 180 e) 3x = y b) y = x d) x = y Pré-Vestibular da UFSC 3

4 Tarefa Complementar 9. (UFSC) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, do arco x é: a) 50 c) 60 e) 100 b) 55 d) (UECE) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: 15. Sabendo que o complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim com está para 5, calcule em graus a medida do ângulo: 16. Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. a) 100 c) 36 e) n.d.a. b) 144 d) r 11. (UFSC) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença x y é: r // s // t 70 Y s 3 o r 17. Na figura, o valor de x é: y s 11 o x t 1. (UFSC) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo y, em graus, é: UNIDADE 3 ESTUDO DOS POLÍGONOS ELEMENTOS 13. (Cesgranrio) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 7. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 14 c) 148 e) 15 b) 144 d) (Fuvest-SP) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45 e o ângulo mede 55. A medida em graus do ângulo 3 é: CLASSIFICAÇÃO Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são: Pré-Vestibular da UFSC 4 Triângulos - 3 lados Quadriláteros - 4 lados Pentágono - 5 lados Hexágono - 6 lados Heptágono - 7 lados Octógono - 8 lados

5 Eneágono - 9 lados Decágono - 10 lados Undecágono 11 lados Dodecágono - 1 lados Pentadecágono 15 lados Icoságono - 0 lados Triângulo Equilátero h Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais). NÚMERO DE DIAGONAIS O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão: Quadrado SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n 3) é dado pela expressão: SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n 3) é sempre igual a 360 Hexágono Regular Observações Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações: Exercícios de Sala Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/ é o número de diagonais que passam pelo centro. Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro. POLÍGONOS REGULARES Um polígono é regular quando tem lados e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência. Nomenclatura é o lado do polígono R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema 1. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 7 b) 63 c) 36 d) 7 e) 18. Em um icoságono regular ABCDE... calcule: a) a soma dos ângulos internos. b) a soma dos ângulos externos. c) cada ângulo interno e externo 3. (UFSC) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro lados consecutivos medem 0 cm, 13 cm, 15 cm e 3 cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do hexágono. E 0 D F C A 3 B Pré-Vestibular da UFSC 5

6 4. Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, em centímetros, é igual a: a) 5 d) 0 b) 10 e) 3 c) (VUNESP) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: a) 3 c) 4 e),5 b) d) 3 Tarefa Mínima 6. O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono d) heptágono b) pentágono e) não existe c) triângulo 7. Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 30 c) 144 e) 150 b) 130 d) 8 8. Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono d) Heptágono b) Pentágono e) Hexágono c) Octógono a) b) c) 3 d) e) n.d.a. 11. (ACAFE) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 0cm, é: a) 10cm b) 40cm c) 30cm d) 0 cm e) 80 cm Tarefa Complementar 1. (UNICamp) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede tem exatamente: a) 15 diagonais d) 30 diagonais b) 0 diagonais e) 35 diagonais c) 5 diagonais 13. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/ ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono regular medem 0. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 d) 135 b) 104 e) 15 c) (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede: A 9. Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo B a) a c) a 3 b) a d) a 3 e) a 3 b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo 10. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 6 cm. Determine a medida da altura do triângulo. 16. (ACAFE) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: a) c) e ) 3 b) 3 d) (FUVEST) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: a) 90 c) 110 e) 150 b) 100 d) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono Regular. 19. Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? Pré-Vestibular da UFSC 6

7 0. Determinar em função do raio R, o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior UNIDADE 4 CIRCUNFERÊNCIA ELEMENTOS Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior Raio: segmento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB. ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência. Quadrilátero Inscrito na circunferência Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na circunferência. SEGMENTOS TANGENTES Propriedade: Consequências TEOREMA DE PITOT Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois: Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo. Pré-Vestibular da UFSC 7

8 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temos: Exercícios de Sala 1. Determine o valor de x em cada caso abaixo: a) b) Se : Â Dˆ Bˆ Ê Ĉ Fˆ então a b c k d e f x 0 O k é a constante de proporção ou constante de semelhança. Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer. c) Triângulo Retângulo relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.. Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo: x Seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações Métricas Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: a = b + c (teorema de Pitágoras) a.h = b.c b = a.n c = a.m h = m.n 3. A circunferência está inscrita no triângulo ABC ( AB=8, AC=9 e BC=7 ). Então, x vale: A 40 B P C x a) 1,5 c) 3,0 e)5,0 b),8 d) 4,6 Pré-Vestibular da UFSC 8

9 4. Na figura abaixo os ângulos CÂD e A Bˆ D são congruentes. Então, o valor de x é: 9. (UFSC) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas condições, determine o valor de x + y. C 10 E x A y D 18 B a) 4 c) 1 e) 10 b) 3 d) 60 Tarefa Mínima Tarefa Complementar 10. (FUVEST) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: 5. Nas figuras abaixo, determine o valor de x: 6. (ACAFE) Na figura a seguir, o valor de x é: C 11. (FUVEST) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida em graus do ângulo é: A 3x O 150 B a) 5 c) 50 e) 100 b) 30 d) 75º 7. (PUC-SP) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos arcos (AC) mede: C 1. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 0. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo. A 40 B 13. Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS. 8. (FUVEST) O valor de x na figura a seguir é: x Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono abaixo, calcule x + y. Pré-Vestibular da UFSC 9

10 15. Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: x+1 x 3x UNIDADE 5 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS TRIÂNGULOS QUAISQUER 3x (ACAFE) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm d) 10cm, 13cm e 15cm b) 6cm, 14cm e 18cm e) 5cm, 14cm e 19cm c) 3cm, 7cm e 9cm 17. (UNICAMP) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD mede 13cm e as retas BB e CC são paralelas a DD. Determine os comprimentos dos segmentos AB, B C e C D TRIÂNGULO EQUILÁTERO 18. ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: C QUADRILÁTEROS Paralelogramo Q P A M B N a) 4 b) 8 c) 1 d) 14 e) 16 A = a.h 19. Na figura abaixo as circunferências de centros A e B têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 5cm. A reta t é uma tangente interior as circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD. Pré-Vestibular da UFSC 10

11 Círculo e suas partes Círculo A = R Coroa Circular 5. (CEFET-PR) A área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio é igual a: a) 3 3 cm d) cm b) 3 cm e) n.d.a. c) 3 cm 6. (UFSC) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é: A = (R r ) Setor Circular A = Exercícios de Sala απr (UFPR) Um retângulo de 6m por 1m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C. 1. (FCC-SP) O retângulo ABCD tem área 105 m. O lado do quadrado EFGD mede, em m: A E D B A C 10 Com base nessas informações, é correto afirmar: F B a) 4 b) 5 c) 5 d) 5 e) 6 C 01. A soma das áreas de A, B e C é 7m. 0. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 4m. 08. Um dos lados de A mede m. 16. Um dos lados de C mede 8m.. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é: a),5 b) 5 c) 4 d) e) 8 3. (UFSC) Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 1cm de comprimento e um quadrado em que uma das diagonais coincida com uma das alturas desse triângulo. Nessas condições, determine a área (em cm ) do quadrado. Tarefa Mínima 4. A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: C 8. (UFSC) Na figura a seguir, a área hachurada é de 16 cm. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é de cm, determine o valor numérico do produto desses raios. Tarefa Complementar 9. (FUVEST) No triângulo ABC, AB = 0cm, BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm A 4 10 P M B A 3 a) 3 b) 3 c) 3 d) 4 3 e) 6 B N C Pré-Vestibular da UFSC 11

12 A medida, em graus, do ângulo BNP é: a) 15 c) 45 e) 60 b) 30 d) (CESGRANRIO) A base de um retângulo de área S é aumentada de 0% e sua altura é diminuída de 0%. A área do novo retângulo formado é: a) 1,04 S d) 0,98 S b) 1,0 S e) 0,96 S c) S 11. (CESCEM-SP) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: D C a) 144 c) 14 e) 1444 b) 156 d) (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 0%, sua área cresce: a) 14% c) 40% e) 144% b) 14,4% d) 44% 17. (UFSC) Considere as circunferências C1 de raio r e C de raio R. A circunferência C1 passa pelo centro de C e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C1, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm a área do círculo limitado pela circunferência C. 18. (FUVEST) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. A E F G B a) 1/6 c) 1/8 e) 1/10 b) 1/7 d) 1/9 1. A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a: A UNIDADE 6 GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS O Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos. B C 13. (MACK-SP) No círculo da figura, de centro O e raio 1, a área do setor assinalado é: 7π a) 9 5π d) 9 7π b) 18 8π e) 9 5π c) (UEM) Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima? 15. (VUNESP) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando = 3,14, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar porque está amarrado. Relação de Euler: V + F = A + Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v ) onde v é o número de vértices. Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais? Poliedros Regulares Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais. Pré-Vestibular da UFSC 1

13 7. (PUC PR) Um poliedro convexo de 10 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 c) 8 e) 1 b) 6 d) (PUCCAMP SP) Sobre as sentenças: I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II - Um dodecaedro regular tem 1 faces pentagonais. III - Um icosaedro regular tem 0 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras. Tarefa Complementar Exercícios de Sala 1. Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices.. Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices. 3. Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta l. Tarefa Mínima 4. (FISS-RJ) Um poliedro convexo é formado por 0 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) 1 c) 18 e) 4 b) 15 d) 0 5. (CEFET PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 340º c) 3840º e) 4060º b) 3640º d) 4000º 9. Some as alternativas corretas: 01. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 15 arestas possui 10 vértices. 0. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas. 04. Um poliedro que possui 10 vértices triédricos possui 15 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui 1 faces. 16. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas. 10. (UFPR) Um poliedro convexo de 9 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais? 11. (CESGRANRIO) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 180 c) 540 e) 900 b) 360 d) (UFRGS) Um octaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas. 13. (PUC PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) 1 b) 8 c) 6 d) 0 e) 4 6. (PUC PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? a) 6 c) 5 e) 8 b) 4 d) 3 Pré-Vestibular da UFSC 13

14 UNIDADE 7 da base. PRISMAS DEFINIÇÃO Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases, e as demais faces em forma de paralelogramos. No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura. Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base. ELEMENTOS BASES: são os polígonos A B C D E e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA B ; BCB C; CDC D ; ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA ; BB ; CC ; DD e EE ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma. ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A B ; B C ; C D ; D E e E A NOMENCLATURA O nome do prisma se dá através da figura da base. Prisma Triangular: As bases são triangulares. Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos Exercícios de Sala 1. Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a cm. Determine: Observação: Se o polígono da base for regular, o prisma também será chamados de Regular. CLASSIFICAÇÃO De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base. a) a área total do prisma b) o volume do prisma. (UFSC) O volume de um prisma hexagonal regular de cm de aresta da base é 4 3 cm 3. A medida, em cm, da área lateral desse prisma é: Tarefa Mínima 3. (ACAFE) Um prisma de 8dm de altura tem por base um quadrado de dm de lado. O volume do prisma é: 4. (UFSC) Um prisma triangular regular tem uma área total de ( ) cm. Sabe-se que a aresta da base mede cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é: 5. (PUC-PR) O volume do prisma reto de 3 m de altura, cuja base é um hexágono de m de lado, é: a) 3 m 3 d) 3 m 3 Pré-Vestibular da UFSC 14

15 b) 3 3 m 3 e) 8 3 m 3 c) 9 m 3 6. (Mack-SP) Num prisma de base triangular, a altura é 6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm 3 : Tarefa Complementar 7. (PUC-SP) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 0%, o seu volume: a) aumenta 8% d) diminui 8% b) aumenta 15% e) não se altera c) aumenta 108% 8. (UFCE) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm 3, é: 9. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m. O lado dessa base quadrada mede: 10. ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB = 17cm, AE = 8 cm e ED = 14 cm, a área total desse prisma, em cm, é: UNIDADE 8 TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos e as faces opostas são retângulos congruentes. Possui três dimensões: comprimento (a) largura (b) altura (c) Fórmulas Área Total: ST = (ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D = a + b + c RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c) = D + ST Cubo Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. a) 185 c) 96 e) 508 b) 1016 d) (UFSC) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo cm, 10cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm 3 ) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios. Todas as faces são quadrados Fórmulas Área Total: ST = 6 Volume: V = 3 Diagonais: d = D = 3 Exercícios de Sala 1. (UFSC) O volume de um paralelepípedo retângulo é 4 m 3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo. Pré-Vestibular da UFSC 15

16 . No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm. Calcule o volume do cubo. Tarefa Mínima 3. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + ) cm. Calcule o volume do cubo em cm (UFSC) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm, a área total desse paralelepípedo. 5. (FGV-SP) Um cubo tem 96m de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta, em metros, para que seu volume se torne igual a 16 m 3? 6. ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 1cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm 3, é: 7. (UFSC) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 13 cm, é: Tarefa Complementar 01. A área do triângulo ABC é dm. 0. AD 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm O perímetro do triângulo BCD vale 4 dm. 11. (UFSC) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e 1,0m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,01m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é: 1. (UNICAMP) Ao serem retirados 18 litros de água de uma caixa d água de forma cúbica, o nível da água baixa 0 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa. b) calcule sua capacidade em litros. UNIDADE 9 PIRÂMIDES DEFINIÇÃO Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares. Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular 8. (UFSC) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376 m e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta. 9. (Fatec-SP) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede 1/ cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm 3, então a soma das áreas de suas faces é: a) 9cm c) 96cm e) 90cm b) 98cm d) 94cm NOMENCLATURA Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos. 10. (UEPG) Sobre três cubos idênticos de aresta 1 dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto. Pré-Vestibular da UFSC 16

17 Pirâmide Triangular a base é um triângulo Pirâmide quadrangular a base é um quadrado Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono Relações Auxiliares na Pirâmide ap = H + ab a = ap + a = H + R Exercícios de Sala 1. Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta de sua base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide.. Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede 1 m? 3. (UFSC) A base quadrada de uma pirâmide tem 144 m de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m de área. Qual a altura da pirâmide? Tarefa Mínima Pirâmides Regulares Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular. Elementos e Formulário 4. (UFSC) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm 3, o volume dessa pirâmide. 5. (UFSC) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 3 cm. Determine a área total, em cm, dessa pirâmide. aresta da base - l aresta lateral -al altura h apótema da base ab apótema da pirâmide ap Raio da circunferência circunscrita R Para uma pirâmide regular com n lados da base vale as seguintes relações: Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base Área Lateral : SL = n. ap Área Total: ST = SB + SL Volume V = SB.h 3 6. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm 3, é: 7. (Cescem-SP) Em uma pirâmide com 1cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 10 cm, a área lateral é: a) 40cm c) 340cm e) n.d.a. b) 60cm d) 400cm 8. (Osec-SP) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo. Então, a sua altura mede: a) 1 c) 3 e) n.d.a. b) d) 4 Tarefa Complementar 9. (UFPA) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm 3 de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base? 10. (UECE) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 11. O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m por dez ). Pré-Vestibular da UFSC 17

18 1. (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm d) 16 3 cm b) 8 3 cm e) 4 3 cm c) 1 3 cm 13. (ACAFE-SC) A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de: UNIDADE 10 CILINDRO, CONE e ESFERA CILINDRO DE REVOLUÇÃO Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular. Elementos a) 115cm 3 d) 100cm 3 b) 1440cm 3 e) 40cm 3 c) 384cm (VUNESP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h Fórmulas Considere um cilindro reto a) V b) V c) V d) V e) V (UEPG-PR) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm d) 16 3 cm b) 8 3 cm e) 4 3 cm c) 1 3 cm 16. (PUC-PR) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m. a) d) b) e) c) (EE Volta Redonda) A base de uma pirâmide tem 5 cm de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm d) 9,5cm b) 7,5 cm e) 3,5cm c) 1,5 cm Área da Base: SB = r Área Lateral: SL = rh Área Total: ST = SB + SL Volume: V = r h Secção Meridiana: A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro equilátero. (g = h = r) h R CONE DE REVOLUÇÃO Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone, e o outro é seu raio. Já a hipotenusa é a geratriz do mesmo. Pré-Vestibular da UFSC 18

19 Exercícios de Sala 1. (ACAFE) O volume de um cone circular reto é de 7 dm 3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) dm d) 5dm e) 3dm. (UFSC) Determinar 1 do volume em m3 de um cone Fórmulas Área da Base: SB = r Área Lateral: SL = rg Área Total: ST = SB + SL Volume: V = Relação auxiliar: g = h + r πr h Secção Meridiana No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. Quando a secção meridiana for um triângulo equilátero teremos um cone equilátero ( G = R ) 3 de revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 0 m. 3. (UFES) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 0cm e raio da base r = cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: a) 10 3 cm3 b) 80 3 cm3 e) 80 cm 3 h g b) d) 160cm 3 d) 40 cm 3 ESFERA Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros. R 4. (UFSC) O volume, em cm 3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16 cm de superfície é: Tarefa Mínima 5. (UFSC) A área lateral de um cilindro equilátero é de 36m. O valor, em m 3, de 1 do volume desse cilindro é: Secção de uma esfera Qualquer plano que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r. d é a distância entre o plano e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: R = r + d Fórmulas da esfera superfície esférica: As = 4R volume: V = 4 3 πr 3 6. (UFSC) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de 15 cm de altura e 1 cm de raio da base. O volume, em cm 3, de ferro que sobrou após a modelagem, é: 7. (UDESC) Uma caixa d água de forma cilíndrica tem 1,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: a) 3, m c) 4,0 m b) 3,6 m d) 4,8 m 8. (SUPRA) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 10 cm de diâmetro interno se encontra na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água: a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano Pré-Vestibular da UFSC 19

20 9. (FUVEST) Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distância de 1cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é: a) 1 b) c) 3 d) 4 e) 5 Tarefa Complementar 10. (UFSC) Um cilindro reto tem 63cm 3 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura. 11. (UFCE) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 0% e sua altura é diminuída de 5%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de: a) % c) 6% e) n.d.a. b) 4% d) 8% 1. (PUC-PR) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado? a) 3 cm 3 d) 7 cm 3 b) 9 cm 3 e) 1/3 cm 3 c) 18 cm Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm) da secção. a) 39 c) 3 e) n.d.a. b) 36 d) (UFSC) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é. O valor de nesse cubo, é: 1 do volume da esfera, inscrita (UFSC) O volume, em cm 3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 16 cm de superfície é: 16. (F.Porto-Alegrense-RS) Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 9/4 c) 3/4 e) 1 b) 9/ d) /3 17. (Santa Casa-SP) O raio da base de um cone equilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm 3, é: a) 144 c) 19 e) 30 b) 15 d) (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 0 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) 300 c) 00 e) 100 b) 50 d) (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm, multiplique o resultado por obtido no cartão-resposta. UNIDADE 11 3 e assinale o valor PROGRESSÃO ARITMÉTICA CONCEITOS INICIAIS Vamos considerar a sequência (a n ) onde a n = 3n + 1, sendo n inteiro positivo. Temos: a 1 = 4, a = 7, a 3 = 10, a 4 = 13 e assim por diante. (4, 7, 10, 13,...) Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor se mantém igual a 3. Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas. DEFINIÇÃO Chama-se progressão aritmética uma sequência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r. Veja que para a sequência a 1.a.a 3...a n ser uma P.A. é necessário que: a a 1 = a 3 a =... a n a n1 =... = r Veja os exemplos: a) a sequência (, 5, 8,...) é uma P.A., pois, 5 = 8 5 =... Sua razão é igual a 3. b) a sequência (1, 4, 5,...) não é P.A., pois, CLASSIFICAÇÃO DA P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo: r > 0 P.A. crescente (, 4, 6, 8, 10) r = r < 0 P.A. decrescente (10, 7, 4, 1, -) r = 3 r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. Considere a sequência (a 1, a, a 3...a n ). Partindo da definição temos: a = a 1 + r a 3 = a + r = a 1 + r + r = a 1 + r a 4 = a 3 + r = a 1 + r + r = a 1 + 3r a n = a 1 + (n 1).r Importante: Se a n e a k são dois termos quaisquer de uma P.A., da fórmula do termo geral temos: a n = a 1 + (n 1)r (1) Pré-Vestibular da UFSC 0

21 a k = a 1 + (k 1)r () Subtraindo-se (1) de () vem: a n a k = (n 1)r (k 1)r a n a k = (n 1 k + 1) r a n = a k + (n k)r Logo, para dois termos quaisquer a n e a k, podemos escrever: a n = a k + (n k).r Exemplos: a 1 = a 3 + 9r; a 0 = a r; a 8 = a + 6r Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios: Três termos em P.A. : x r. x. x + r Quatro termos em P.A : x 3r. x r. x + r. x + 3r Cinco termos em P.A. : x r. x r. x. x + r. x + r Propriedades da P.A. Dada uma Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades: Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior. an a a n1 n1 Exemplo: (, 5, 8, 11, 14, 17, 0, 3) Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual à soma dos termos equidistantes dos extremos. Observação: Se dois termos a p e a q são equidistantes dos extremos temos: p + q = n + 1 Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são equidistantes dos extremos ou não. Por exemplo, numa sequência de 50 termos, a 16 e a 35 são equidistantes dos extremos, pois = INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + elementos. Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A. SOMA DOS TERMOS DA P.A. Exercícios de Sala a a S 1 n n.n 1. A sequência (19 6x, + 4x, 1 + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Logo, o valor de x é:. Em uma P.A., a 5 = 30 e a 16 = 118. Calcule a razão da P.A. 3. (UFSC) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A soma dos múltiplos de 10, compreendidos entre 1e1995, é Tarefa Mínima 4. Em cada caso abaixo, determine o valor de x para que as sequências representem três números consecutivos em P.A. a) (3x - 1, x + 3 e x + 9 ) b) (x 3, x + 1, 3x + 1) c) (x + 4), (x 1), (x + ) 5. (FGV-SP) A sequência ( 3m; m + 1; 5 ) é uma progressão aritmética. Sua razão é: 6. (PUC-SP) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são respectivamente, 8 e 13, então a razão da progressão é: 7. Calcule a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é (LONDRINA) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale: 9. (PUC-SP) Três números positivos estão em PA. A soma deles é 1 e o produto 18. O termo do meio é: 10. (U.F OURO PRETO) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é dada por: a) n b) n c) n/ d) n 1 e) n Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 0 filas de modo a formar um triângulo; com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 formandos na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é: a) 400 b) 410 c) 40 d) 800 e) 840 Pré-Vestibular da UFSC 1

22 Tarefa Complementar 1. (UFSC) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos termos extremos é 9, e a diferença entre os dois primeiros termos é 5. O valor do 1º termo é: 13. O número de múltiplos de 5 compreendidos entre 1e 63 é: 14. (U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a sequência (1 3x, x, x + 1 ) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 3x, x + 7,.) é: a) 6 b) 40 c) 5 d) 89 e) (PUC) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A, nessa ordem. O lado do quadrado mede: a) b) - 1 c) 1 + d) 4 e) 16. (CEFET-PR) O número de inteiros compreendidos entre 00 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 15, é: a) 100 b) 39 c) 41 d) 59 e) (POLI) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da P.A. 18. (Unicamp-SP) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine a soma dos lados do triângulo. 19. (UFSC) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 91 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo. 0. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. 1. (UFSC) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, 7 e 17 é:. (UFSC) A soma dos 10 primeiros termos de uma P.A., na qual o primeiro termo é igual a razão e a 3 + a 8 = 18, é: 3. (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de termos da sequência (133, 16, 119, 11...) para que a soma de seus termos seja positiva. UNIDADE 1 1º caso: a 1 > 0 a é o segundo termo a 3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G. a a 3 a 4 a q a a a a 1 n 3 n1 CLASSIFICAÇÃO DA P.G. Se q > 0 P.G. crescente (, 6, 18, 54,...) Se q = 1 P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < 1 P.G. decrescente ( 56, 64, 16,...) º caso: a 1 < 0 Se q > 0 P.G. decrescente (-, -10, -50,..) Se q = 1 P.G. constante ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < 1 P.G. crescente ( -40, -0, -10,...) Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < 0. TERMO GERAL Considere a sequência (a 1, a, a 3,..., a n ). Partindo da definição temos: a = a 1.q a 3 = a.q = a 1.q.q = a 1.q a 4 = a 3.q = a 1.q.q = a 1.q 3 an = a 1.q n - 1 Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. a m e a k, podemos dizer que: a m = a k.q m - k 1. Representação de três termos em P.G. x x x q q,,. Propriedades 1ª Propriedade: Dada uma P.G com três termos consecutivos (a 1, a, a 3 ), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a 1 ) e o seu posterior (a 3 ), ou seja: a = a 1.a 3 ou a n = a n - 1.a n + 1 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA DEFINIÇÃO É uma sequência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG. Representação: onde a 1 é o primeiro termo :: a 1 : a : a 3 :... :a n ª Propriedade Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos equidistantes dos extremos. Veja a P.G. (, 4, 8, 16, 3, 64 ). Observe que:.64 = 4.3 = 8.16 = Interpolação Geométrica Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + elementos. Pré-Vestibular da UFSC

23 Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G. 3. Soma dos termos de uma P.G. finita. A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: n a1( q 1) an. q a Sn q1 q1 Observação: Se a razão da P.G. for igual a 1, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: S n = n. a 1 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. Dada uma P.G. com: n e a n 0, sua soma pode ser calculada pela expressão: a1 S 0 < q < 1 1 q 5. Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: Exercícios de Sala n P n = (a. ) n 1 a 1. (UEL-PR) A sequência (x + 5, x + 1, progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa sequência é: a) b) 3-10 c) 3 d) 3 10 e) x,...) é uma. (MACK-SP) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a) 6 b) 68 c) 16 d) 168 e) Numa P.G. de 10 termos, sabe-se que S 10 = 3069 e que a razão vale, o valor do quinto termo é: a) 46 b) 47 c) 48 d) 4 e) A solução da equação: x x x x 15 é: (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 01. A razão da P.A. em que a 1 = 8 e a 0 = 30 é r=. 0. A soma dos termos da P.A. (5, 8,..., 41) é O primeiro termo da P.G. em que a 3 = 3 e a 7 = 3 é A soma dos termos da P.G ,,,... é Tarefa Mínima 6. Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as sequências representem três números consecutivos em P.G. a) (x + 1; x + 4; x + 10) b) (4x, x + 1, x 1) 7. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é e o último é 486. Calcular a razão dessa P.G. 8. (Fuvest-SP) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão. 9. (UFES) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a soma de seus termos é 14 e o produto 64? a) 4 b) c) ou 1/ d) 4 ou 1 x x x 10. (UFCE) A solução da equação x é: a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) A soma dos termos da P.G. (, 6,..., 486) é: a) 567 b) 670 c) 78 d) 10 e) n.d.a. Tarefa Complementar 1. (UFPA) A sequência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G. Então, o número b é: a) o triplo de a. d) irracional b) a terça parte de a. e) n.d.a. c) racional 13. (UFPA) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo número a 1,3 e, nessa ordem é: a) -1/ b) 1/ c) d) - e) -1/3 14. (FGV-SP) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale: 15. (UFSC) Em uma progressão geométrica o 3º termo é 16/9 e o 7º termo é 144. Determine o 5º termo. 16. ( UFSC ) Na progressão geométrica (10,, 5, 5,...), a posição do termo 65 é: 17. Um artigo custa hoje R$ 100,00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 1% sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão: a) aritmética de razão 1 b) aritmética de razão 0,1 c) geométrica de razão 1 d) geométrica de razão 1,1 e) geométrica de razão 0,1 18. (UFSC) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do 1º termo com o último é Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos. 19. ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 583, obtém-se uma sequência. Determine o 5º termo dessa sequência. a) 648 b) 78 c) 10 d) 354 e) (UFSC) Sejam x, 6 e y uma progressão aritmética onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 10 e Pré-Vestibular da UFSC 3

24 y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de 11y - 7x é: 1. (UDESC) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtém-se um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos.. (IME) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. 3. (FGV-SP) O conjunto solução da equação x x x x 1 x é: 1 a) {, 1} 1 b) {, 1} c) {1, 4} d) {1, - 4} e) {1, } Considere a expressão A =... em que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de 1A 5. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e O valor de x que satisfaz a equação (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) (x + 8) = 155 é x = O oitavo termo da P.G. (,,...) é a 8 = A soma dos termos da P.G é igual a 1. Pré-Vestibular da UFSC 4