AULA 01. Tarefa Mínima NÚMEROS PROPORCIONAIS. c d onde: a, d = extremos b, c = meios. a = b. Tarefa Complementar. c f. b d. b 1.

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1 AULA 0 NÚMEROS PROPORCIONAIS. Razões e Proporções Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade. Então, dados dois números a e b, denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por b a Obs.: a razão b a é usualmente lida assim: a está para b. A igualdade entre duas razões é uma proporção. Representação: a = b c d onde: a, d = extremos b, c = meios a c A expressão = lê-se assim: a está para b assim como c b d está para d Observações: Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem. 0) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos para o curso de Odontologia. Sabendo que foram fornecidas 00 vagas, qual a razão do número de candidatos em relação ao número de vagas? 0) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 60 e que a razão entre eles é. 3 03) Determinar os valores de x e y sendo: x y = 0 e y = x 3 04) Se (, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = e y = 6 b) x = e y = c) x = e y = d) x = 4 e y = 05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos números, 3, 4 e 6. Tarefa Complementar A e B são diretamente proporcionais se: a b c = = = k d e f k é a constante de proporção. Propriedade: a d = b e = c f a + b + c = d + e + f A e B são inversamente proporcionais se: a. d = b. e = c. f = k Propriedade: a. d = b. e = c. f = 0) Um automóvel percorre 60km em horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 0) Determine dois números, sabendo que a soma deles é 4 e que a razão entre eles é 03) a) Dividir 50 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7. a d 3 4. = b e = c f b) Dividir 4 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. 06) Divida o número 0 em partes inversamente proporcionais aos números 3 4, e ) A diferença entre as idades de duas pessoas é 5 anos e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas. 08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 0) sejam diretamente proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade x 5 = 8 0 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9 y ser respectivamente: a) e 36 b) =, os valores de x e y devem 4 e 5 c) e 5 d) 5 e 35 e) n.d.a. 09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a,, 5) e (3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a + mb = 0, então m é igual a: a) 0,4 b),0 c),0 d),5 e) 5,0 0) p é inversamente proporcional a q +. Sabendo que p = quando q = 4, quanto vale p quando q =? a) b) 0 c) 0,5 d) e) 3 ) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 8 e que x y z = 3 4 =, o valor de x é:

2 Inclusão para a Vida ) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 7 m. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é: 3) ( UFBA ) Sabe-se que das 50 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas, e 9, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é: Ângulo Reto Ângulo Obtuso 4 4 a) b) c) d) e) n.d.a ) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m. x y p m 8 5) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 5 litros de gasolina. Determinar as razões das medidas. Dois ângulos α e β podem ser: a) complementares: α + β = 90º b) suplementares: α + β = 80º c) replementares: α + β = 360º 3. Ângulos opostos pelo vértice a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura AULA 0 Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes GEOMETRIA PLANA 4. Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal. Ângulos Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice). O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice. Unidades angulares Sistema Sexagesimal (Grau) 5. Triângulos Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC. grau é da circunferência. 360 Submúltiplos do Grau: = 60 e = 60 Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura. Ângulo Agudo Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC

3 Quanto aos ângulos b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo equilátero. CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos: a < b + c triângulo acutângulo a = b + c triângulo retângulo a > b + c triângulo obtusângulo 6. Ângulos num Triângulo A + B + C = Triângulo Equilátero 0) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x 40 e 6x 0. O valor do ângulo é: a) 80 b) 70 c) 40 d) 0 e) 0 0) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede: a) 45 b) 35 c) 00 d) 75 03) Determine o valor de x na figura abaixo: 5º r// s 30º Se AB = BC = AC então A = B = C = 60 x s 6.. Triângulo Retângulo 04) Nas figuras abaixo, o valor de x é: a) b) 0) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 0 e x Um deles mede: 0) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse ângulo mede: c) a) 30 b) 45 c) 60 d) 80 e) 5 03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x. a) r //s d) PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3

4 05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então: Inclusão para a Vida 0) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo y, em graus, é: a) y = 3x b) y = x c) x + y = 80 d) x = y e) 3x = y Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em graus, do arco x é: ) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 7. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 4 b) 44 c) 48 d) 50 e) 5 ) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo mede 45 e o ângulo mede 55. A medida, em graus, do ângulo 3 é: 07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede: a) 00 b) 44 c) 36 c) 80 e) n.d.a. 08) ( UFSC ) Dados os ângulos: a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 00 Â = 3'5'' B = 7 49'47'' C = 75 0'5'' D = 3 44'0'' 3) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim com está para 5, calcule em graus, a medida do ângulo Calcular o valor, em graus, da expressão: A + C B D + 4) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 60 r 09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da diferença x y é: r // s // t 70 Y s 3 o r 5) Na figura, o valor de x é: y o x s t PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4

5 AULA 03 ESTUDO DOS POLÍGONOS. Elementos Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/ é o número de diagonais que passam pelo centro. Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro. POLÍGONOS REGULARES. Classificação Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são: Triângulos - 3 lados Quadriláteros - 4 lados Pentágono - 5 lados Hexágono - 6 lados Heptágono - 7 lados Octógono - 8 lados Eneágono - 9 lados Decágono - 0 lados Undecágono lados Dodecágono - lados Pentadecágono 5 lados Icoságono - 0 lados Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa circunferência. Nomenclatura é o lado do polígono R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema Triângulo Equilátero h Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais) 3. Número de Diagonais O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão: Quadrado 4. Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n 3) é dado pela expressão: Hexágono Regular 5. Soma dos ângulos externos A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n 3) é sempre igual a 360 Observações Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5

6 Inclusão para a Vida b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo 0) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais? a) 7 b) 63 c) 36 d) 7 e) 8 0) Em um icoságono regular ABCDE... calcule: c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo 03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 3 cm, determine: a) altura do triângulo b) raio da circunferência circunscrita c) raio da circunferência inscrita 04) Num quadrado de lado 0cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, em cm, é igual a: a) 5 b) 0 c) 0 d) 0 e) 3 05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: a) 3 b) c),5 d) 3 c) 4 0) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe 0) Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 30 b) 30 c) 44 d) 8 e) 50 03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono 04) Dado uma círculo de raio 0cm. Determine: a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência mede 6 cm. Determine a medida da altura do triângulo. a) b) c) 3 d) e) n.d.a. 06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 0cm, é: a) 0cm b) 40cm c) 30cm d) 0 cm e) 80 cm Tarefa Complementar 07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede.440 tem exatamente: a) 5 diagonais b) 0 diagonais c) 5 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais 08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é /3. 09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono regular medem 0. Então o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 04 c) 9 d) 35 e) 5 0) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede: A B a) a b) a c) a 3 d) a 3 e) a 3 6

7 ) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é: Conseqüências a) b) 3 c) d) 3 e ) 3 ) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é: a) 90 b) 00 c) 0 d) 0 e) 50 3) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono Regular. Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo..3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior 4) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? 5) Determinar em função do raio R, o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R. AULA 04. Elementos CIRCUNFERÊNCIA.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência Raio: segmnento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.. Ângulos da circunferência.. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência. 3. Segmentos Tangentes.. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na circunferência. 4. Teorema de Pitot Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois: Propriedade: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7

8 Inclusão para a Vida SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS TRIÂNGULO RETÂNGULO Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temse: c) b) x 0 O Se : Â = Dˆ Bˆ = Ê então Ĉ = Fˆ a b c = = = k d e f k é a constante de proporção ou constante de semelhança Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer. Triângulo Retângulo relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo em A. 0) Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo: x 40 03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB=8, AC=9 e BC=7. Então x vale: A Seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. Relações Métricas Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: a = b + c (teorema de Pitágoras) a.h = b.c b = a.n c = a.m h = m.n 0) Determine o valor de x em cada caso abaixo: a) B P C x a),5 b),8 c) 3,0 d) 4,6 e)5,0 04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e A Bˆ D são congruentes. Então o valor de x é: a) 4 b) 3 c) d) 60 e) 0 0) Nas figuras abaixo, determine o valor de x PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8

9 0) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é: C A 3x O 50 08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 0. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo. B a) 5 b) 30 c) 50 d) 75º e) 00 03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos arcos (AC) mede: C 09) Na figura, PA = 6 cm e A, B e C são pontos de tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS. A 40 B 04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é: 0) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono abaixo, calcule x + y. x 3 0 ) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir: x+ 05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. Nessas condições, determine o valor de x + y. C 0 E 5 0 A y D 8 B Tarefa Complementar 06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: x 3x 3x + x ) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 4cm e 6cm b) 6cm, 4cm e 8cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 0cm, 3cm e 5cm e) 5cm, 4cm e 9cm 3) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD mede 3cm e as retas BB e CC são paralelas a DD. Determine os comprimentos dos segmentos AB, B C e C D 07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é: 4) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é: C Q P A M N B a) 4 b) 8 c) d) 4 e) 6 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9

10 Inclusão para a Vida 5) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 5cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule, em centímetros, a medida do segmento CD. AULAS 05 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Círculo e suas partes Círculo Triângulos Quaisquer A = πr Coroa Circular A = π (R r ) Setor Circular Triângulo Equilátero απr A = 360 Quadriláteros PARALELOGRAMO 0) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 05 m. O lado do quadrado EFGD mede, em m: A E D 0 F A = a.h B C a) 4 b) 5 c) 5 d) 5 e) 6 0) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é: a),5π b) 5π c) 4π d) π e) 8π PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 0

11 Tarefa Complementar 0) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é: C 06) ( FUVEST ) No triângulo ABC, AB = 0cm, BC = 5cm e o ângulo ABC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango de área 8cm A 4 0 B 3 A M P a) 3 b) 3 c) 3 d) 4 3 e) 6 0) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio é igual a: a) 3 3 cm b) 3 cm c) 3 cm d) cm e) n.d.a. 03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 0cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é: B A medida, em graus, do ângulo BNP é: a) 5 b) 30 c) 45 c) 60 d) 75 N C 07) ( CESGRANRIO ) A base de um retângulo de área S é aumentada de 0% e sua altura é diminuída de 0%. A área do novo retângulo formado é: a),04 S b),0 S c) S d) 0,98 S e) 0,96 S 08) ( CESCEM-SP ) O quadrilátero ABCD é um retângulo, e os pontos E, F, G dividem a base AB em quatro partes iguais. A razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo é: D C A E F G B 04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C. B C a) /6 b) /7 c) /8 d) /9 e) /0 09) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero ABC de lado 6cm é igual a: A A Com base nessas informações, é correto afirmar: 0. A soma das áreas de A, B e C é 7m. 0. A área de A é /6 da área de C. 04. A área de A é 4m. 08. Um dos lados de A mede m. 6. Um dos lados de C mede 8m. B O C 0) ( MACK-SP ) No círculo da figura, de centro O e raio, a área do setor assinalado é: 05) ( UFSC ) Na figura, a seguir, a área hachurada é de 6 π cm. Sabendo-se que a diferença entre os dois raios é cm, determine o valor numérico do produto desses raios. 7π a) 9 5π d) 9 7π b) 8 8π e) 9 5π c) 8 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC

12 Inclusão para a Vida ) ( UEM ) Considere o triângulo ABC, com base BC medindo 6cm e com altura 5cm. Um retângulo inscrito nesse triângulo tem o lado MN paralelo a BC, com x cm de comprimento. Qual o valor de x, em cm, para que a área do retângulo seja máxima? ) ( VUNESP ) Um cavalo se encontra preso num cercado de pastagem, cuja forma é um quadrado, com lado medindo 50m. Ele está amarrado a uma corda de 40m que está fixada num dos cantos do quadrado. Considerando π = 3,4, calcule a área, em metros quadrados, da região do cercado que o cavalo não conseguirá alcançar, porque está amarrado. a) 44 b) 56 c) 4 d) 44 e) 444 Poliedros Regulares Possuem todas as faces como polígonos regulares iguais e ângulos formados pelas faces iguais. 3) ( UFRGS ) Se o raio de um círculo cresce 0%, sua área cresce: a) 4% b) 4,4% c) 40% d) 44% e) 44% 4) ( UFSC ) Considere as circunferências C de raio r e C de raio R. A circunferência C passa pelo centro de C e lhe é tangente. Se a área do circulo, limitado pela circunferência C, é igual a 4 centímetros quadrados, calcule em cm, a área do círculo limitado pela circunferência C. 5) ( FUVEST-003 ) No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 0. Calcule AB. AULAS 06 GEOMETRIA ESPACIAL POLIEDROS Figuras tridimensionais limitadas por polígonos planos. 0) Um poliedro possui cinco faces triangulares, cinco faces quadrangulares e uma pentagonal, determine as arestas, faces e vértices. 0) Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces quadrangulares, face pentagonal e face hexagonal. Determine o número de vértices. 03) Calcule a área total e o volume de um octaedro regular de aresta l Relação de Euler: V + F = A + Soma dos ângulos internos: Si = 360º (v ) onde v é o número de vértices. Qual a quantidade de vértices, arestas e faces de um poliedro limitado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais? PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 0) (FISS RJ) Um poliedro convexo é formado por 0 faces triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) b) 5 c) 8 d) 0 e) 4

13 0) (CEFET PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: a) 340º b) 3640º c) 3840º d) 4000º e) 4060º 03) (PUC PR) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse polígono, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? AULAS 07. Definição PRISMAS Prismas são poliedros que possuem duas faces paralelas e congruentes denominadas bases e as demais faces em forma de paralelogramos. a) 6 b) 4 c) 5 d) 3 e) 8 04) (PUC PR) Um poliedro convexo de 0 vértices possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. Qual o número total de faces desse poliedro? a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 05) (PUCCAMP SP) Sobre as sentenças: I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. II. Um dodecaedro regular tem faces pentagonais. III. Um icosaedro regular tem 0 faces triangulares. É correto afirmar que apenas: a) I é verdadeira b) II é verdadeira c) III é verdadeira d) I e II são verdadeiras e) II e III são verdadeiras. Tarefa Complementar 06) Some as alternativas corretas: 0. Um poliedro convexo que tem 7 faces e 5 arestas possui 0 vértices. 0. Um poliedro convexo que tem 6 faces triangulares e somente faces triangulares possui 9 arestas. 04. Um poliedro que possui 0 vértices triédricos possui 5 arestas. 08. Um poliedro que possui 6 vértices triédricos e quatro vértices pentaédricos possui faces. 6. Todo poliedro convexo que tem o número de vértices igual ao número de faces possui um número par de arestas.. Elementos BASES: são os polígonos A B C D E e ABCDE FACES LATERAIS: São os paralelogramos ABA B ; BCB C; CDC D ; ARESTAS LATERAIS: são os segmentos AA ; BB ; CC ; DD e EE ALTURA: A distância EH entre as duas bases é denominada altura do Prisma ARESTAS DAS BASES: são os segmentos A B ; B C ; C D ; D E e E A 3. Nomenclatura O nome do prisma dá-se através da figura da base. Prisma Triangular: As bases são triangulares. Prima Quadrangular: As bases são quadriláteros. Prisma Hexagonal: As bases são hexágonos Observação: Se o polígono da base for regular, o prisma também será chamados de Regular. 07) (UFPR) Um poliedro convexo de 9 vértices possui somente faces triangulares e faces hexagonais. Quantas faces tem o poliedro se o número de faces triangulares é a metade do número de faces hexagonais? 08) (CESGRANRIO RJ) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: a) 80 b) 360 c) 540 d) 70 e) ) (UFRGS) Um octaedro regular possui: a) mais diagonais do que vértices; b) mais faces que arestas; c) mais vértices do que faces; d) menos diagonais que faces; e) igual número de vértices e de arestas. 4. Classificação De acordo com sua inclinação um prisma pode ser: Reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos da base. Oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos da base. 0) (PUC PR) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 440º, então o número de arestas desse poliedro é: a) b) 8 c) 6 d) 0 e) 4 No prisma reto tem-se que as arestas laterais são iguais a altura. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3

14 4. Fórmulas Considere um prisma reto regular com n lados da base. Tarefa Complementar Inclusão para a Vida 05) ( PUC-SP ) Se a área da base de um prisma diminui 0% e a altura aumenta 0%, o seu volume: a) aumenta 8% b) aumenta 5% c) aumenta 08% d) diminui 8% e) não se altera 06) ( UFCE ) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8 cm e 4cm, respectivamente. Se a altura do prisma é de 6cm, então o volume desse prisma, em cm 3, é: 07) ( ITA-SP ) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e com área total de 80m. O lado dessa base quadrada mede: 0) Dado um Prisma triangular regular com aresta lateral igual a 7cm e aresta da base igual a cm. Determine: 08) ( FCC-SP ) Na figura abaixo, tem-se um prisma reto de base triangular. Se AB = 7cm, AE = 8 cm e ED = 4 cm, a área total desse prisma, em cm, é: a) 85 b) 06 c) 96 d) 680 e) 508 a) a área total do prisma b) o volume do prisma 0) ( UFSC ) O volume de um prisma hexagonal regular de cm de aresta da base é 4 3 cm 3. A medida, em cm, da área lateral desse prisma é: 09) ( UFSC-005 ) Na figura a seguir, o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC tem os lados medindo cm, 0cm, 5cm e 5cm, assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão situados em planos paralelos que distam 4cm um do outro. Calcule o volume (em cm 3 ) do sólido limitado pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois trapézios. 0) ( ACAFE ) Um prisma de 8dm de altura tem por base um quadrado de dm de lado. O volume do prisma é: 0) ( UFSC ) Um prisma triangular regular tem uma área total de ( ) cm. Sabe-se que a aresta da base mede cm. A medida, em centímetros, da altura do prisma é: 03) ( PUC-PR ) O volume do prisma reto de 3 m de altura, cuja base é um hexágono de m de lado, é: a) 3 m 3 b) 3 3 m 3 c) 9 m 3 d) 3 m 3 e) 8 3 m 3 AULAS 08 TIPOS ESPECIAIS DE PRISMAS Paralelepípedo reto retângulo Paralelepípedo é o prisma no qual as seis faces são paralelogramos a as faces opostas são retângulos congruentes. 04) ( Mack-SP ) Num prisma de base triangular, a altura é 6 e os lados da base são 5, 6 e 7cm. O volume é em cm 3 : PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 4

15 Possui três dimensões: comprimento (a) largura (b) altura (c) Fórmulas Área Total: ST = (ab + ac + bc) Volume: V = a.b.c Diagonal: D = a + b + c RELAÇÃO AUXILIAR: (a + b +c) = D + ST Cubo Hexaedro Regular Cubo é um paralelepípedo com as dimensões iguais. Todas as faces são quadrados Fórmulas Área Total: ST = 6 Volume: V = 3 Diagonais: d = D = 3 0) ( UFSC ) O volume de um paralelepípedo retângulo é 4 m 3. Sabendo-se que suas dimensões são proporcionais aos números 4, 3 e, calcule, em metros quadrados, a área total desse paralelepípedo. 0) No cubo da figura, área da secção o ABCD é 8 cm. Calcule o volume do cubo. 03) ( FGV-SP ) Um cubo tem 96m de área total. Em quanto deve ser aumentada a sua aresta em metros, para que seu volume se torne igual a 6 m 3? 04) ( UFSC ) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões cm e 6cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm 3, é: 05) ( UFSC ) Num paralelepípedo retângulo, as medidas das arestas estão em progressão aritmética de razão 3. A medida, em CENTÍMETROS, da menor aresta desse paralelepípedo, sabendo que a área total mede 3 cm, é: Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 376 m e as suas dimensões são proporcionais aos números 3, 4 e 5. Determine a décima parte do volume desse paralelepípedo. Depois, passe o resultado para o cartão resposta. 07) ( Fatec-SP ) As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo formam uma P.G. Se a menor das arestas mede / cm e o volume de tal paralelepípedo é 64cm 3, então a soma das áreas de suas faces é: a) 9cm b) 98cm c) 96cm d) 94cm e) 90cm 08) ( UEPG ) Sobre três cubos idênticos de aresta dm agrupados conforme mostra a figura abaixo, assinale o que for correto. 0) ( UFSC ) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8( + ) cm. Calcule o volume do cubo em cm A área do triângulo ABC é dm. 0. AD = 6 dm. 04. O triângulo ABC é retângulo isósceles. 08. O volume do sólido formado pelos três cubos é de 3 dm 3 6. O perímetro do triângulo BCD vale 4 dm. 09) ( UFSC ) Um tanque, em forma de paralelepípedo, tem por base um retângulo de lados 0,50m e,0m. Uma pedra, ao afundar completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,0m. Então, o volume da pedra, em decímetros cúbicos, é: 0) ( UFSC ) Considerando que uma das dimensões de um paralelepípedo retângulo mede 6dm, e as demais dimensões são diretamente proporcionais aos números 8 e, e que a soma de todas as arestas é 44dm, calcule, em dm, a área total desse paralelepípedo. 0) ( UNICAMP ) Ao serem retirados 8litros de água de uma caixa d água de forma cúbica, o nível da água baixa 0 cm. a) calcule o comprimento das arestas da referida caixa b) calcule sua capacidade em litros PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5

16 AULA 09. Definição PIRÂMIDES Pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal ABCDEF e as faces são regiões triangulares. Uma pirâmide se diz regular quando for reta (projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base) e a figura da base for regular Inclusão para a Vida aresta da base - l aresta lateral -al altura h apótema da base ab apótema da pirâmide ap Raio da circunferência circunscrita R Para uma pirâmide de regular com n lados da base vale as seguintes relações: Área da Base: SB = é a área do Polígono que está na base Área Lateral : SL = n..ap Área Total: ST = SB + SL Volume V = SB.h 3. Nomenclatura Dá-se o nome da pirâmide através do polígono da base. Observe alguns exemplos. Pirâmide Triangular a base é um triângulo Relações Auxiliares na Pirâmide ap = H + ab a = ap + a = H + R Pirâmide quadrangular a base é um quadrado 0) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4 m de altura e a aresta da base mede 6m. Determine a área total dessa pirâmide. 0) Qual o volume de uma pirâmide regular hexagonal, cuja altura mede 3 3 m e o perímetro da base mede m? Pirâmide Pentagonal a base é um pentágono 3. Pirâmides Regulares Se a base de uma pirâmide reta for um polígono regular, a pirâmide é regular. Elementos e Formulário 03) ( UFSC-006 ) A base quadrada de uma pirâmide tem 44 m de área. A 4 m do vértice traça-se um plano paralelo à base e a secção assim feita tem 64 m de área. Qual a altura da pirâmide? 0) ( UFSC ) Uma pirâmide regular, de base quadrada, tem aresta da base 8cm e apótema da pirâmide 5cm. Determine, em cm 3, o volume dessa pirâmide. 0) ( UFSC ) A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede 4cm e sua altura mede 3 cm. Determine a área total, em cm, dessa pirâmide. 03) ( UFSC ) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5cm e a altura mede 4cm. O volume, em cm 3, é: 04) ( Cescem-SP ) Em uma pirâmide com cm de altura, tendo como base um quadrado de lado igual a 0 cm, a área lateral é: a) 40cm b) 60cm c) 340cm d) 400cm e) n.d.a. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 6

17 05) ( Osec-SP ) Uma pirâmide quadrada tem todas as arestas medindo. Então, a sua altura mede: a) b) c) 3 d) 4 e) n.d.a. Tarefa Complementar 06) ( UFPA ) Uma pirâmide triangular regular tem 9 cm 3 de volume e 4 3 cm de altura. Qual a medida da aresta da base? 07) ( Uece-CE ) Se o volume de um cubo de 6cm de aresta é igual ao volume de uma pirâmide regular que tem para base de um quadrado de 6cm de lado, então a altura da pirâmide, em cm, é: 08) O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiperímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de 8 metros de raio. Calcule a área total da pirâmide. ( Divida o resultado obtido em m por dez ) 09) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm b) 8 3 cm c) 3 cm d) 6 3 cm e) 4 3 cm 3) ( PUC-PR ) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e o apótema dessa pirâmide, 4cm. A área de uma das faces laterais desta pirâmide mede, em m. a) b) c).0-4 d).0 - e) ) ( EE Volta Redonda ) A base de uma pirâmide tem 5 cm de área. Uma secção paralela à base, feita a 3cm do vértice, tem 36cm de área. A altura da pirâmide é: a) 4,5 cm b) 7,5 cm c),5 cm d) 9,5cm e) 3,5cm AULAS 0 CILINDRO, CONE e ESFERA. Cilindro de Revolução Cilindro de revolução é o sólido obtido quando giramos em torno de uma reta, uma região retangular. Também é chamado de cilindro circular. Elementos 0) ( ACAFE-SC ) A figura abaixo mostra a planificação de um sólido. O volume desse sólido é de: Se as geratrizes forem perpendiculares ao plano da base dizemos que o cilindro é reto, caso contrário, é dito cilindro oblíquo. No caso do cilindro reto, temos que g = h Fórmulas Considere um cilindro reto. a) 5cm 3 b) 440cm 3 c) 384cm 3 d) 00cm 3 e) 40cm 3 ) ( VUNESP ) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: a) V b) V c) V d) V e) V ) ( UEPG-PR ) Calcule a área total de um tetraedro regular de aresta igual a 4 cm. a) 4 3 cm b) 8 3 cm c) 3 cm d) 6 3 cm e) 4 3 cm Área da Base: SB = πr Área Lateral: SL = πrh Área Total: ST = SB + SL Volume: V = πr h Secção Meridiana: A secção feita no cilindro reto por um plano que contém o seu eixo denomina-se secção meridiana do cilindro. A secção meridiana é um retângulo de área: r.h. Quando a secção é um quadrado temos um cilindro eqüilátero (g = h = r) h R PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 7

18 . Cone de Revolução Cone de revolução é o sólido obtido quando giramos um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Este cateto é a altura do cone o outro é o raio do cone, e a hipotenusa é a geratriz do cone. Fórmulas da esfera Inclusão para a Vida superfície esférica: As = 4πR volume: V = 4 3 πr 3 0) ( ACAFE-SC ) O volume de um cone circular reto é de 7π dm 3 e a altura é de 9 dm. O raio da base é: a) 4dm b) 9dm c) dm d) 5dm e) 3dm 0) ( UFSC ) Determinar π do volume em m3 de um cone de Fórmulas Área da Base: SB = πr Área Lateral: SL = πrg Área Total: ST = SB + SL Volume: V = Relação auxiliar: g = h + r Secção Meridiana πr h No cone reto temos a secção sendo um triângulo isósceles. Quando a secção meridiana for um triângulo eqüilátero teremos um cone eqüilátero ( G = R ) 3 revolução cujo diâmetro da base mede 8m e a área lateral, 0π m. 03) ( UFES ) Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 0cm e raio da base r = cm com esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. O volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: h g a) 0 π 3 cm3 b) 80 π 3 cm3 c) 40 π cm 3 d) 60 cm 3 e) 80 π cm 3 R 3. Esfera Esfera é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. A esfera também pode ser considerada um sólido determinado pela rotação de um círculo em torno de um de seus diâmetros. 0) ( UFSC ) A área lateral de um cilindro eqüilátero é de 36πm. O valor, em m 3, de do volume desse cilindro é: π Secção de uma esfera Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina como secção plana um círculo de raio r. 0) ( UFSC ) Derrete-se um bloco de ferro, de forma cúbica, de 9cm de aresta, para modelar outro bloco, de forma cônica, de 5 π cm de altura e cm de raio da base. O volume, em cm 3, de ferro que sobrou após a modelagem, é: 03) UDESC ) Uma caixa d água de forma cilindrica tem,5 m de diâmetro e capacidade de 7065 litros. A altura da caixa é: a) 3, m b) 3,6 m c) 4,0 m d) 4,8 m 04) ( SUPRA ) Um pedaço de cano de 30cm de comprimento e 0 cm de diâmetro interno encontra-se na posição vertical e possui a parte interna vedada. Colocando-se dois litros de água em seu interior, a água: d é a distância entre o plano α e o centro da esfera. R é o raio da esfera. r é o raio da secção. Relação: R = r + d a) ultrapassa o meio do cano b) transborda c) não chega ao meio do cano d) enche o cano até a borda e) atinge exatamente o meio do cano PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 8

19 05) ( FUVEST ) Uma superfície esférica de raio 3cm é cortada por um plano situado a uma distância de cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência, em cm, é: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 Tarefa Complementar 06) ( UFSC ) Um cilindro reto tem 63πcm 3 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a sua altura. 07) ( UFCE ) O raio de um cilindro circular reto é aumentado de 0% e sua altura é diminuída de 5%. O volume deste cilindro sofrerá um aumento de: a) % b) 4% c) 6% d) 8% e) n.d.a. 08) ( PUC-PR ) Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, gira em torno de um dos catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado? a) 3 cm 3 b) 9 π cm 3 c) 8 π cm 3 d) 7 π cm 3 e) /3 π cm 3 09) Uma esfera de raio 8cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcule o raio (em cm)da secção. a) 39 b) 36 c) 3 d) 65 e) n.d.a. 0) ( UFSC ) A razão entre o volume de um cubo e sua área total é. O valor de cubo, é: do volume da esfera, inscrita nesse 3π ) ( UFSC ) O volume, em cm 3, de um cubo circunscrito a uma esfera de 6π cm de superfície é: AULA PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Conceitos Iniciais Vamos considerar a seqüência (a n ) onde a n = 3n +, sendo n inteiro positivo. Temos: a = 4, a = 7, a 3 = 0, a 4 = 3 e assim por diante. (4, 7, 0, 3,...) Observe que a diferença entre cada termo e seu antecessor mantém-se igual a 3. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas.. Definição Chama-se progressão aritmética uma seqüência em que, a partir do segundo elemento, a diferença entre cada elemento e seu antecessor é constante. Essa constante é denominada razão da P.A. e é indicada por r. Veja que para a seqüência a.a.a 3...a n ser uma P.A. é necessário que: a a = a 3 a =... a n a n =... = r Veja os exemplos: a) a seqüência (, 5, 8,...) é uma P.A., pois 5 = 8 5 =... Sua razão é igual a 3. b) a seqüência (, 4, 5,...) não é P.A., pois Classificação da P.A. Uma P.A. pode ser classificada de acordo com valor da razão. Observe o quadro abaixo: ) ( F.Porto-Alegrense-RS ) Se um cone e uma esfera têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o triplo do raio da esfera, então a razão entre o raio da esfera e a altura do cone é: a) 9/4 b) 9/ c) 3/4 d) /3 e) 3) ( Santa Casa -SP ) O raio da base de um cone eqüilátero mede 6 3 cm. O volume da esfera inscrita nesse cone, em cm 3, é: a) 44π b) 5π c) 9π d) 88π e) 30π 4) ( UFRGS ) Uma panela cilíndrica de 0 cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 6cm. O número de doces em formato de bolinhas de cm de raio que se podem obter com toda a massa é: a) 300 b) 50 c) 00 d) 50 e) 00 5) ( UFSC ) A geratriz de um cone eqüilátero mede 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm, multiplique o resultado por 3 e assinale o valor obtido no cartão-resposta. r > 0 P.A. crescente (, 4, 6, 8, 0) r = r < 0 P.A. decrescente (0, 7, 4,, -) r = 3 r = 0 P.A. constante (3, 3, 3, 3, 3) r = 0 4. Fórmula do Termo Geral da P.A. Considere a seqüência (a, a, a 3...a n ). Partindo da definição temos: a = a + r a 3 = a + r = a + r + r = a + r a 4 = a 3 + r = a + r + r = a + 3r.. a n = a + (n ).r Importante: Se a n e a k são dois termos quaisquer de uma P.A., da fórmula do termo geral temos: a n = a + (n )r () a k = a + (k )r () Subtraindo-se () de () vem: a n a k = (n )r (k )r a n a k = (n k + ) r a n = a k + (n k)r PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 9

20 Logo, para dois termos quaisquer a n e a k, podemos escrever: a n = a k + (n k).r Exemplos: a = a 3 + 9r; a 0 = a 6 + 4r; a 8 = a + 6r Representações Especiais Para facilitar a resolução de problemas em P.A. podemos utilizar os seguintes artifícios: Três termos em P.A. : x r. x. x + r Quatro termos em P.A : x 3r. x r. x + r. x + 3r Cinco termos em P.A. : x r. x r. x. x + r. x + r Propriedades da P.A. Dada um Progressão Aritmética qualquer, de n termos e razão r, podemos observar as seguintes propriedades: Um termo qualquer, excetuando os extremos é a média aritmética entre o termo anterior e o posterior a + a a n n+ n = Exemplo: (, 5, 8,, 4, 7, 0, 3) Inclusão para a Vida 0) A seqüência (9 6x, + 4x, + 6x) são termos consecutivos de uma P.A. Então o valor de x é: 0) Em uma P.A., a 5 = 30 e a 6 = 8. Calcular a razão da P.A. 03) ( UFSC ) Marque no cartão resposta a ÚNICA proposição correta. A soma dos múltiplos de 0, compreendidos entre e995, é ) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as seqüências representem três números consecutivos em P.A. a) (3x -, x + 3 e x + 9 ) b) (x 3, x +, 3x + ) c) (x + 4), (x ), (x + ) 0) ( FGV-SP ) A seqüência ( 3m; m + ; 5 ) é uma progressão aritmética. Sua razão é: 03) ( PUC-SP ) Se o quarto e o nono termos de uma P.A. são respectivamente, 8 e 3, então a razão da progressão é: = ) Calcular a razão de uma P.A sabendo que a soma do terceiro termo com o oitavo é 74 e a soma do quinto com o décimo segundo é 0. Numa P.A. limitada, a soma dos termos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos. Observação: Se dois termos a p e a q são eqüidistantes dos extremos tem-se: p + q = n + Com essa igualdade é possível saber se dois termos quaisquer são eqüidistantes dos extremos ou não. Por exemplo, numa seqüência de 50 termos, a 6 e a 35 são eqüidistantes dos extremos, pois = Interpolação Aritmética Interpolar, inserir ou intercalar m meios aritméticos entre a e b significa formar uma P.A. de extremos a e b com m + elementos. Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.A. 4. Soma dos Termos da P.A. a + a S n n =.n 05) ( LONDRINA ) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 0 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo quinto termo vale: 06) ( PUC-SP ) Três números positivos estão em PA. A soma deles é e o produto 8. O termo do meio é: 07) ( U.F OURO PRETO ) A soma dos n primeiros números naturais ímpares é dada por: a) n b) n c) n/ d) n e) n 3 08) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 0 filas de modo a formar um triângulo, com formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é: a) 400 b) 40 c) 40 d) 800 e) 840 Tarefa Complementar 09) ( UFSC ) Numa P.A. decrescente de 7 termos, a soma dos termos extremos é 9, e a diferença entre os dois primeiros termos é 5. O valor do º termo é: 0) O número de múltiplos de 5 compreendidos entre e 63 é: PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 0

21 ) ( U.CAXIAS DO SUL ) Sabendo que a seqüência ( 3x, x, x + ) é uma P.A, então o décimo termo da P.A. (5 3x, x + 7,.) é: a) 6 b) 40 c) 5 d) 89 e) 56 ) ( PUC ) Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A, nessa orden. O lado do quadrado mede: a) b) - c) + d) 4 e) 3) ( CEFET-PR ) O número de inteiros compreendidos entre 00 e 500, que são divisíveis por 5 e não são divisíveis por 5, é: a) 00 b) 39 c) 4 d) 59 e) 80 4) ( POLI ) Inscrevendo nove meios aritméticos entre 5 e 45, qual é o sexto termo da P.A. 5) ( Unicamp-SP ) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 50, determine a soma dos lados do triângulo. 6) ( UFSC ) As medidas dos lados de um triângulo são números inteiros ímpares consecutivos e seu perímetro mede 9 decímetros. Calcule em decímetros a medida do maior lado desse triângulo. 7) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 50, determine o raio da circunferência inscrita nesse triângulo. 8) ( UFSC ) A Soma dos sete termos interpolados na P.A. cujo primeiro termo e último termos são respectivamente, 7 e 7 é: 9) ( UFSC ) A soma dos 0 primeiros termos de uma P.A., na qual o primeiro termo é igual a razão e a 3 + a 8 = 8 é: 0) ( UFSC ) Qual deve ser o número mínimo de termos da seqüência ( 33, 6, 9,...) para que a soma de seus termos seja positiva. AULA. Definição PROGRESSÃO GEOMÉTRICA É uma seqüência de números não nulos em que cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da PG. Representação: :: a : a : a 3 :... :a n onde a é o primeiro termo a é o segundo termo a 3 é o terceiro termo an é o enésimo ou último termo n é o número de termos q é a razão da P.G. a a 3 a 4 a q = = = = a a a a n 3 n. Classificação da P.G. º caso: a > 0 º caso: a < 0 Se q > 0 P.G. crescente (, 6, 8, 54,...) Se q = P.G. constante ( 5, 5, 5, 5,...) Se 0 < q < P.G. decrescente ( 56, 64, 6,...) Se q > 0 P.G. decrescente (-, -0, -50,..) Se q = P.G. constante ( -3, -3, -3,...) Se 0 < q < P.G. crescente ( -40, -0, -0,...) Observação: São denominadas P.G. alternantes aquelas em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando q < Termo Geral Considere a seqüência (a, a, a 3,..., a n ). Partindo da definição temos: a = a.q a 3 = a.q = a.q.q = a.q a 4 = a 3.q = a.q.q = a.q 3.. an = a.q n - Assim, como na P.A., podemos relacionar dois termos quaisquer de uma P.G. Ou seja, dados dois termos de uma P.G. a m e a k, podemos dizer que: a m = a k.q m - k. Representação de três termos em P.G.. Propriedades ª Propriedade: x x x q q,, Dada uma P.G com três termos consecutivos (a, a, a 3 ), podemos dizer que o termo central é a média geométrica entre o anterior (a ) e o seu posterior (a 3 ), ou seja: a = a.a 3 ou a n = a n -.a n + ª Propriedade Numa P.G. limitada o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes dos extremos. Veja a P.G. (, 4, 8, 6, 3, 64 ). Observe que:.64 = 4.3 = 8.6 = 8 3. Interpolação Geométrica Interpolar, inserir ou intercalar m meios geométricos entre a e b significa formar uma P.G. de extremos a e b com m + elementos. Para determinarmos os meios aritméticos, devemos calcular a razão da P.G. PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC

22 3. Soma dos termos de uma P.G. finita. A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. finita é dada pela expressão: n a( q ) an. q a Sn = = q q Observação: Se a razão da P.G. for igual a, temos uma P.G. constante, e a soma dos termos dessa P.G será dada por: S n = n. a 4. Soma dos termos de uma P.G. infinita. Dada uma P.G. com: n e a n 0, sua soma pode ser calculada pela expressão: a S = 0 < q < q 5. Produto dos termos de uma P.G. finita O produto dos termos de uma P.G. finita é dado pela expressão: P n = n ( a. an) 0) ( UEL-PR ) A seqüência (x + 5, x +, x,...) é uma progressão geométrica de termos positivos. O décimo terceiro termo dessa seqüência é: a) b) 3-0 c) 3 d) 3 0 e) 3 0) ( MACK-SP ) Em uma progressão geométrica o primeiro termo é e o quarto é 54. O quinto termo dessa P.G. é: a) 6 b) 68 c) 6 d) 68 e) ) Numa P.G. de 0 termos, sabe-se que S 0 = 3069 e que a razão vale, o valor do quinto termo é: a) 46 b) 47 c) 48 d) 4 e) 56 x x x 04) A solução da equação: x = é: 0) Em cada caso abaixo, determinar o valor de x para que as seqüências representem três números consecutivos em P.G. a) (x + ; x + 4; x + 0) b) (4x, x +, x ) 0) Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é e o último é 486. Calcular a razão dessa P.G. Inclusão para a Vida 03) ( Fuvest-SP ) Numa P.G. de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão. 04) ( UFES-ES ) Qual a razão de uma P.G. de três termos, onde a soma de seus termos é 4 e o produto 64? a) 4 b) c) ou / d) 4 ou 05) ( UFCE ) A solução da equação x x x x = 60 é: a) 37 b) 40 c) 44 d) 50 e) 5 06) A soma dos termos da P.G. (, 6,..., 486) é: a) 567 b) 670 c) 78 d) 0 e) n.d.a. Tarefa Complementar 07) ( UFPA ) A seqüência (a, ab, 3a), com a 0, é uma P.G. Então, o número b é: a) o triplo de a. b) a terça parte de a. c) racional d) irracional e) n.d.a. 08) ( UFPA ) A razão da P.G. obtida ao somarmos um mesmo número a,3 e, nessa ordem é a) -/ b) / c) d) - e) -/3 09) ( FGV-SP ) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e área formam, nessa ordem, uma P.G. de razão 8. Então a medida da base vale: 0) ( UFSC ) Em uma progressão geométrica o 3º termo é 6/9 e o 7º termo é 44. Determine o 5º termo. ) ( UFSC ) Na progressão geométrica ( 0,, 5,,... ), a posição do termo 5 65 é: ) Um artigo custa hoje R$ 00,00 e seu preço é aumentado, mensalmente, em % sobre o preço anterior. Se fizermos uma tabela de preços desse artigo mês a mês, obteremos uma progressão: a) aritmética de razão b) aritmética de razão 0, c) geométrica de razão d) geométrica de razão, e) geométrica de razão 0, 3) ( UFSC ) Numa P.G. de 6 termos a razão é 5. O produto do º termo com o último é 500. Determine o valor do 3º termo. Obs.: Considere a P.G. de termos positivos. 4) ( Santo André -SP ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 583, obtém-se uma seqüência. Determine o 5º termo dessa seqüência. a) 648 b) 78 c) 0 d) 354 e) 45 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC

23 5) ( UFSC ) Sejam x, 6, y uma progressão aritmética onde x e y são dois números positivos. A sucessão x, 0, y + 40 é uma progressão geométrica. O valor numérico de y - 7x é: 6) ( UDESC ) Um quadrado tem 4 cm de lado. Unem-se os meios dos lados desse quadrado e obtém-se outro quadrado. Unem-se os meios dos lados desse outro quadrado e obtémse um novo quadrado, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os quadrados obtidos. 7) ( IME ) Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura de h metros. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Determine a distância (em metros ) total percorrida pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. 8) ( FGV-SP ) O conjunto solução da equação a) { x x x x x... = 3 9 7, } b) { d) {, - 4} e) {, } é:, } c) {, 4} 3 4 9) Considere a expressão A = em que os numeradores formam uma P.A. e os denominadores formam uma P.G. Determine o valor de A 0) ( UFSC ) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 0. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e O valor de x que satisfaz a equação (x + ) + (x + 4) + (x + 7) (x + 8) = 55 é x = 04. O oitavo termo da P.G. (,,...) é a 8 = A soma dos termos da P.G. 4 3, 9, 7,... é igual a. GABARITO MAT C AULA ) 34,50 cand/vaga ) 4 e 36 3) x = 5 e y = 5 4) c 5) 48, 7, 96, 44 6) 7, 64, 84 7) 35 anos e 0 anos 8) a 9) d 0) d ) 04 ) 0 3) a 4) p = m = ± 5), 5 5 6, 6 AULA 3 ) b ) c 3) c 4) a) 0 3 b) 0 c) 0 5) c 6) d 7) e 8) quadrado e dodecágono 9) d 0) d ) a ) d 3) 40 o 4) 5) 5 R AULA 4 ) a) 43 b) 50 c) 75 ) a 3) a 4) 3/5 5) 9 6) a 7) c 8) 50 9) 3 0) 5 ) 0 ) b 3),6; 3,9; 6,5 4) b 5) 0 AULA 5 ) c ) a 3) 4) 3 5) 5 6) b 7) e 8) c 9) 9π cm 0) b ) 03 ) a 3) d 4) 6 5) 0 AULA 6 ) a ) a 3) a 4) e 5) e 6) 3 7) 8 8) d 9) d 0) a AULA 7 ) 3dm 3 ) 6 3) c 4) 36 5) a 6) 96 7) 04 8) d 9) 7 AULA 8 ) 64 ) 68 3) 0 4) 64 5) 0 6) 48 7) a 8) 3 9) 06 0) a) 80 b) 5 AULA 9 ) 64 ) 48 3) 4 4) b 5) b 6) 03 7) 8 8) 64 9) d 0) c ) d ) d 3) a 4) b AULA 0 ) 54 ) 09 3) c 4) a 5) e 6) 07 7) d 8) b 9) a 0) 96 ) 64 ) a 3) d 4) d 5) 09 AULA ) a) b) 4 c) -9/8 ) 07 3) 0 4) 06 5) 54 6) 04 7) a 8) a 9) 6 0) 0 ) d ) b 3) b 4) 30 5) 60 6) 99 7) 0 8) 35 9) 90 0) 40 AULA ) a) b) /8 ) 03 3) 03 4) c 5) b 6) c 7) d 8) a 9) 6 0) 6 ) 06 ) d 3) 50 4) a 5) 96 6) 3 7) 3h 8) a 9) 09 0) 5 AULA ) c ) b 3) 75 4) a) 0 b) 44 c) 0 d) 30 o 5) a 6) 85 7) a 8) 47 9) 0) 80 ) b ) e 3) 30 4) 30 5) 0 PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 3