Matemática Fascículo 04 Álvaro Zimmermann Aranha

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1 Matemátia Fasíulo 0 Álvaro Zimmermann Aranha

2 Índie Trigonometria Resumo Teório... Exeríios... Dias... 5 Resoluções... 6

3 Trigonometria Resumo Teório Função Seno e Cosseno P P senx = OP 0 x P osx = OP Gráfio de y = senx y senóide 0 x - Gráfio de y = osx y ossenóide 0 x - Relações Fundamentais Relações Fundamentais Conseqüênias x sen x + os x=, x R otgx = tgx senx tgx = osx x + k +tg x = se x otgx = osx ( ) senx x k + otg x = osse x sex = osx x + k os x = + tg x ossex = ( ) senx x k sen x tg x = + tg x k

4 Tabela x senx osx tgx 6 Adição de Aros Fórmula de Adição os(a + b) = os a.osb sena.senb os(a b) = os a.osb+sena.senb sen(a + b) = sen a.osb+senb.osa sen(a b) = sen a.osb senb.osa tg a + tg b tg(a + b) = tg a tg b otg a otg b otg(a + b) = otg b+otg a Fórmulas de Multipliação a. Aros duplos sen a = sen a os a os sen a ou os a = os a ou sen a tg a = tga tg a b. Aros Triplos sena=sena sen a os a = os a os a tga tg a tg a = tg a tg a tg b tg(a b) = + tg a tg b otg a otg b+ otg(a b) = otg b otg a

5 Fórmulas de Divisão sen x = os x ± os x = + os x ± tg x = os x ± + os x Tangente do Aro Metade tg x senx = + tg x tg x tgx = tg x tg x osx = + tg x Fórmulas de Transformação em Produto os p+os q= os p+q os p q os p os q= sen p+q sen p q sen p+sen q= sen p+q os p q sen p sen q= sen p q os p+q tg p+ tg q= sen(p+q) os p os q sen(p q) tg p tgq= os p os q Equações Trigonométrias Fundamentais sen α = sen β α=β+kou α =( β)+k os α = os β α=±β +k tg α =tgβ α=β+k Funções Cirulares Inversas y = ar senx seny=xe y y = ar osx osy=xe0 y y = ar tgx tgy=xe <y<

6 Triângulo Retângulo: Relações Trigonométrias C b sen B$ = a B a b A os B$ = a b tg B$ = Triângulo Qualquer Lei dos Cossenos C A b a B a =b +.b..os  b =a +.a..os B $ =a +b.a.os C $ Lei dos Senos A b B o a R C a b = = = R sen A$ sen B$ sen C$ Exeríios 0.Os números reais sen, sen a e sen5 formam, nesta ordem, uma progressão aritmétia. Então o valor de sen a é: a. b. 6. d. 6 e.

7 0.A figura abaixo mostra parte do gráfio da função: a. sen x b. sen x. sen x d. sen x e. sen x 0. Dentre os números abaixo, o mais próximo de sen 50º é: a. 0, b. 0,. 0,6 d. 0,8 e.,0 0.O menor valor de osx, om x real, é a. 6 b.. d. e. 05.O valor de (tg 0º + otg 0º) sen 0º é a. b.. d. 5 e Sabe se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 0º. Se os outros dois ângulos, xey são tais que os x = +, a diferença entre as medidas de xeyé: os y a. 5º b. 5º. 0º d. 5º e. 0º 07. O número de raízes da equação osx senx =0nointervalo 0 x é a. b.. d. e. 0 Dias 0. Observe que na P.A. (a,a,a ), o termo médio a = a + a em produto, utilizando a fórmula: senp+senq= sen p + q os p q. A seguir, transforme a soma a +a 0. O período da função y = b. sen x (b,>0)édado por p = 0. Comparar sen 50 om sen 5 = é resente. e sen 60 =, sabendo que no.o Quadrante a função seno 5

8 0. Sendo os x, basta atribuir a os x os valores e. 05. Lembrar que tgx = senx osx, otgx = osx senx e senx = senx osx. 06. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 80º, temos que x + y + 0º = 80º ou x = 60º y. Substituindo x na equação dada, obtemos y utilizando a fórmula os(a b) = osa. osb + sena senb Na equação dada, substitua os x por sen x (ver página ).. Calule os valores de senx.. Resolva a equação senx = sena sabendo que: x=a+k senx = sena ou x= ( -a) + k (k Z) Resoluções 0. Alternativa d. Na P.A. sen, sen a, sen 5 temos: sen sen 5 + sena= sen a = sen 5 + sen Como sen p+senq= sen p + q sena= sen os os p q -, vem: sena= sen os 6 sena= sena= 6 6

9 0. Alternativa b. A função y=b.senx(b,>0)temperíodo p = e imagem Im = [- b, b]. Analisando o gráfio, onluímos que p = eb =. De =vem=. Logo, a função é y=.sen x 0. Alternativa d. No.o quadrante, a função seno é resente. Então sen 5º < sen 50º < sen 60º. Sendo 0,7 e 0,87, temos: 0,7 < sen 50º < 0,87. Logo, entre as alternativas, o número mais próximo de sen 50º é 0,8. 0. Alternativa b. Como osx, vem: se osx =, temos: = os x = seosx= temos = = os x ( ) Logo, o menor valor é. 05. Alternativa. Sabendo que tg0º = sen0º os0º, otg0º = os0º sen0º e sen0º = sen. (0º) =.sen0º. os0º vem: (tg0º + otg0º). sen0º = sen0º os0º +. sen0º = os0º sen0º sen 0º + os 0º =. sen0º =. sen0º os0º = sen0º os0º sen0º os0º 06. Alternativa e. Temos x+y+0º = 80º, então x = 60º y () substituindo () em os x os y = +, vem: ( ) os 60º y os y = + os 60º os y + sen 60 sen y + os 60º os y sen 60º sen y = + = + os y os y os y 7

10 + tgy = + tgy= tgy= y = 5º Logo x = 60º 5º x = 5º Como as alternativas são todas positivas, temos a diferença y x=5º 5º=0º 07. Alternativa b. osx senx = 0 ( sen x) senx=0 sen x senx+=0( ) sen x+senx =0 senx = senx = ± ou senx = () senx = = sen x= 6 6 +k ou x = 5 +k 6 ()senx= =sen x= +k Como 0 x, obtemos as soluções: x = 6,x=5 ex= 6 Logo, o número de raízes é. 8