FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ O Colégio que ensina o aluno a estudar. Simulado de Matemática ITA. ALUNO(A): N o TURMA:

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1 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo CEARÁ 7 DE SETEMBRO FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ O Colégio que ensina o aluno a estudar Central de Atendimento: o Ensino Médio Simulado de Matemática ITA ALUNO(A): N o TURMA: TURNO: MANHÃ N o QUESTÕES: 0 PROFESSORES: Max e Onofre DATA: /06/007 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA VESTIBULAR SIMULADO / 007 CEARÁ. Esta prova tem duração de quatro horas. PROVA DE MATEMÁTICA INSTRUÇÕES. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material escolar.. Esta prova é composta de 0 questões de múltipla escolha (numeradas de 0 a 0) e de 0 questões dissertativas (numeradas de a 0). 5. As 0 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes. 6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questões está completo. 7. Numere seqüencialmente de a 0, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada página corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno de soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato. 8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta. 9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de a 0, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos. 0. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradas de 0 a 0. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites.. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma folha extra com o cabeçalho devidamente preenchido.. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida com um simples traço a lápis, durante a realização da prova.. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato. 5. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar. SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ Av. do Imperador, 0 SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ Rua Henriqueta Galeno, 0 SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ Av. do Imperador, 055

2 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÃO 0 Determine o número de pares ordenados (x; y) de inteiros tais que ( x ) + ( y ) < 5. A) 8 8 E) 5 QUESTÃO 0 Seja U um conjunto não-vazio e A, B, C subconjuntos não-vazios de U. Sobre as afirmações: I. (A C = A (B II. (A C = A (B III. A (B = (A (A podemos afirmar que: A) todas as afirmações estão corretas; só existe uma afirmação correta; as afirmações I e II estão corretas; as afirmações II e III estão corretas; E) as afirmações I e III estão corretas. QUESTÃO 0 Considere o conjunto A = {x R; x 0 e x x }, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. A. II. n(a Z) =. III. Se a; b A, então a + b A. Podemos armar que: A) todas as afirmações estão erradas; só existe uma afirmação correta; as afirmações I e II estão corretas; as afirmações I e III estão corretas; E) as afirmações II e III estão corretas. QUESTÃO 0 Seja f : R* R uma função definida por f(x) = x +. Podemos então concluir que: x A) f é injetora, mas não sobrejetora; f é sobrejetora, mas não injetora; f é bijetora; f não é injetora nem sobrejetora; E) a imagem de f é R.

3 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) QUESTÃO 05 Dadas as funções f : R R, estritamente crescente, e g : R R, estritamente decrescente, tais que a função f o g : R R seja sobrejetora, considere as afirmações: I. f é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente crescente. II. g é sobrejetora, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. III. f o g é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. Sobre as afirmações acima, podemos afirmar que: A) apenas I é verdadeira. apenas II é verdadeira. apenas II e III são verdadeiras. todas são falsas. E) todas são verdadeiras. QUESTÃO 06 Determine a imagem da função f(x) = A) R [ ;+ ) ( ; ] ( ; ) E) ( ; ) (;+ ) x + + x. x + + x + QUESTÃO 07 Sobre os lados AB, BC eac do triângulo ABC, respectivamente, tomamos pontos D, E e F tais que as razões AD/DB, BE/ECeCF/FA formam uma progressão geométrica de razão q. A razão entre a área do triângulo DEF e a área do triângulo ABC é igual a: A) q + q (q + ) q + q+ q q+ q q (q + ) E) q + QUESTÃO 08 No triângulo ABC, as medidas dos seus lados são inteiros consecutivos e a mediana relativa ao lado BC é perpendicular a bissetriz interna do ângulo ABC. Qual maior valor possível para o perímetro do triângulo ABC? A) E) 6

4 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) QUESTÃO 09 Se x, y e z são três números reais positivos tais que xyz(x + y + z) =, o menor valor possível da expressão (x + y)(y + z) é igual a: A) E) QUESTÃO 0 Se (x + x ) + (x 5x + ) = (x x ) então a diferença entre a maior e a menor raiz real desta equação é igual a: A) 5 6 E) 7 QUESTÃO O valor da expressão tg0º + tg80º + tg0º é: A) E) QUESTÃO Seja ( + x + x ) 0 = A 0 + A x + A x + A x A 0 x 0. Assinale a alternativa na qual consta o valor de A + A + A A 9. A) E)

5 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 5 QUESTÃO Determine a soma de todos os valores de x no intervalo [0, π], que são soluções da equação: π tg x + cotg x = cos x A) E) π π π π 7π QUESTÃO sen A+ sen B= Se A e B são ângulos agudos tal que: sen ( A) sen ( = 0 então A + B é igual a: A) E) π π π 7π 7π 0 QUESTÃO 5 Um segmento de reta desloca-se no plano cartesiano de tal forma que uma de suas extremidades permanece sempre no eixo y e o seu ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma: A) circunferência. parábola. reta. elipse. E) hipérbole. QUESTÃO 6 O número máximo de pontos de intersecção entre 007 circunferências distintas é: A) E)

6 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 6 QUESTÃO 7 Determine o menor inteiro maior que ( + ) 6. A) E) 968 QUESTÃO 8 Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não-consecutivos do decágono? A) E) 5 QUESTÃO 9 Uma prova consta de partes, cada uma com 5 questões. Cada questão, independentemente da parte a que pertença, vale ponto, sendo o critério de correção certo ou errado. De quantas maneiras diferentes podemos alcançar 0 pontos nessa prova, se devem ser resolvidas pelo menos questões de cada parte e 0 questões no total? A) E) 000 QUESTÃO 0 Considere a região do plano cartesiano xy definida pela desigualdade x + x + y y 8 0. Quando esta região rodar um ângulo π de radianos em torno da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície externa total com área igual a: 6 Observação: A área da superfície de uma esfera é dada por πr, onde R é o raio da esfera: A) E) 8π 8π 8π 5 8π 6 8π 7

7 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 7 QUESTÕES DISSERTATIVAS QUESTÃO Seja N = {0,,,...}. Ache todas as funções f : N* N tais que: f(x. y) = f(x) + f(y) f(0) = 0 f(x) = 0 sempre que o algarismo das unidades de x é 7. QUESTÃO Seja A = {,, }. Ache todas as funções injetoras f : A A tais que f() = f() =... = f(007) 007.

8 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 8 QUESTÃO Para quantos valores inteiros de a, com a 007, o sistema de equações = + x y a y = x + a tem solução inteira? QUESTÃO Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito numa semi-circunferência de diâmetro AB. Sejam S o ponto de interseção de AC e BD e T o pé da perpendicular baixada de S a AB. Mostre que ST divide o ângulo CTD ao meio.

9 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 9 QUESTÃO 5 Sejam D e E, respectivamente, pontos sobre os lados BC e AC do triângulo ABC. Seja P o ponto de interseção das cevianas AD e BE. As áreas dos triângulos ABD, ABE e ABP valem, respectivamente, 5 cm, cm e 8 cm. Determine a área do quadrilátero CEPD. QUESTÃO 6 Dada a elipse x + y =, determine o lugar geométrico dos pontos M externos à elipse tais que as tangentes à elipse, traçadas por M, sejam perpendiculares.

10 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) 0 QUESTÃO 7 Determine o conjunto imagem da função f(x) = a. sen x + b. senx. cosx + c. cos x, onde 0 x π e a, b, c R. QUESTÃO 8 Determine em função de n o valor exato da expressão S n n ( ) k k n +, onde n é um número inteiro com n. = k= k + k

11 C/007/MATEMATICA/ITA/IME/MAT.599ita(prova)/ Cleo DE SETEMBRO Prova de Matemática o Ano/EM (SIMULADO ITA/007) QUESTÃO 9 A equação x + y 7xy + x y = 0 representa duas retas. Sendo θ o ângulo agudo formado entre elas, determine: 5 θ+ θ. A) o valor de ( tg cotg ) Determine a área do quadrilátero formado por essas retas e os eixos coordenados. QUESTÃO 0 Quinze questões, numeradas de a 5 foram proposta em um teste. Se N estudantes participaram desse teste, determine o valor máximo de N, sabendo que: I. Nenhum estudante respondeu corretamente dois problemas consecutivos. II. Não existe dois estudantes com a mesma seqüência de respostas corretas. III. Cada estudante respondeu toda a prova, ou seja, não deixou questão sem responder.