Programa Olímpico de Treinamento. Aula 3. Curso de Geometria - Nível 2. Teorema de Tales e Aplicações. Prof. Rodrigo Pinheiro

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1 Programa Olímpio de Treinamento Curso de Geometria - ível 2 Prof. Rodrigo Pinheiro ula 3 Teorema de Tales e pliações. Divisão Harmônia Dizemos que os pontos e dividem harmoniamente o segmento quando = Como = k =, os pontos e dividem o segmento na mesma razão. Estes pontos são hamados onjugados harmônios de na razão k. Prolema 1. Prove que em uma divisão harmônia om k > 1, temos que: 2 = = = ( ) = ( ).. = = = Prolema 2. Prove que em uma divisão harmônia om k < 1, temos que: 2 = 1 1 Prolema 3. Sendo O o ponto médio de em uma divisão harmônia, prove que: O 2 = O.O

2 POT Geometria - ível 2 - ula 3 - Prof. Rodrigo Pinheiro O = Como O = O, temos que: O +O O O = O +O O O (O +O)(O O) = (O +O)(O O) O.O O.O+O.O O 2 = O.O O.O +O 2 O.O O 2 = O.O Prolema 4. Sejam e onjugados harmônios na razão k > 1 do segmento = l. Qual é a distânia entre os divisores harmônios de? = l = a = = Portanto, = k 1 a = k 1 a = a.k a = 1 a k +1 = k 1+ = k 1+ =.k a = 1 k 1 = a+ = 2k.l k 2 1 Prolema 5. Sejam e onjugados harmônios na razão k < 1 do segmento = l. Qual é a distânia entre os divisores harmônios de? Teorema de Tales Teorema 1. Se um feie de retas paralelas é ortado por duas retas transversais, r e s, então a razão entre quaisquer dois segmentos determinados em r é igual a à razão entre os segmentos orrespondentes em s. 2

3 POT Geometria - ível 2 - ula 3 - Prof. Rodrigo Pinheiro E F d C G e D H Se,, d e e são retas paralelas ortadas pelas transversais r e s, então: EF = C FG = CD GH = C EG = D FH = D EH Teorema da issetriz interna Teorema 2. issetriz interna de um ângulo interno de um triângulo determina sore o lado oposto ao ângulo dois segmentos proporionais aos lados adjaentes. ssim, por eemplo, a issetriz interna do ângulo do triângulo C divide o lado C em dois segmentos e y tais que: D C y = y Demonstração. Traçamos por C um reta paralela a issetriz interna D, e seja E a interseção dessa paralela om o prolongamento da reta. Pela propriedade de paralelismo, temos que D = EC e DC = CE, omo D é issetriz, onluímos que CE = EC, portanto CE é isóseles, om E = C =. Sendo assim, pelo teorema de tales, temos que: = y 3

4 POT Geometria - ível 2 - ula 3 - Prof. Rodrigo Pinheiro E D C y Teorema da issetriz eterna Teorema 3. issetriz eterna de um ângulo de um triângulo determina sore o lado oposto ao ângulo dois segmentos proporionais aos lados adjaentes. ssim, por eemplo, a issetriz eterna do ângulo do triângulo C determina sore o lado C dois segmentos e y tais que: = y D y C Demonstração. nalogo ao teorema da issetriz interna. Prolema 6. Seja C um triângulo tal que = 6, C = 7 e C = 8. Tome S C onde S é issetriz do ângulo e tome I S tal que CI é issetriz do ângulo C, determine a razão I IS. 4

5 POT Geometria - ível 2 - ula 3 - Prof. Rodrigo Pinheiro I S C Seja SC =. Temos então que S = 7. Pelo teorema da issetriz interna no triângulo C temos que: 6 8 = S SC = 7 6 = 56 8 = 4 Pelo teorema da issetriz interna no triângulo SC, temos que: I IS = 8 = 2 Prolema 7. Seja C um triângulo retângulo em, om hipotenusa C = 30 e C = 6. Calule o omprimento da issetriz S. Seja C = e = y, então temos que: y = 6 e 2 +y 2 = 900 pelo teorema de pitágoras. Isolando na primeira equação e sustituindo na segunda, teremos que: (y +6) 2 +y 2 = 900 y 2 +6y 432 = 0 onde teremos as raízes 18 e 24, portanto, y = 18, assim = 24, omo S é issetriz, pelo teorema da issetriz interna, teremos que: = S 24 S S = 9 Pelo teorema de pitágoras, teremos que: S 2 = S = S C Prolema 8. Sendo S e P issetrizes dos ângulos internos e eternos em, determine o valor de CP, saendo que S = 8 e CS = 6. 5

6 POT Geometria - ível 2 - ula 3 - Prof. Rodrigo Pinheiro Prolema 9. Seja C um triângulo de lados a,, opostos aos vérties,, C, respetivamente. Se D C tal que D é issetriz interna, mostre que D = a a + e CD = +. Prolema 10. O inentro do triângulo C divide a issetriz interna do ângulo na razão I : ID = 2 : 1. ostre que os lados do triângulo estão em progressão aritmétia. Prolema 11. (Círulo de polonius) Seja k um número real positivo, k 1. ostre que o lugar geométrio dos pontos P do plano tais que P : P = k é uma irunferênia ujo entro pertene à reta. Prolema 12. Em um triângulo C, C = 7, C ao lado a saendo que ela é máima. = 3. Calule o valor da altura relativa Prolema 13. Em um triângulo C, C = 16 e a altura relativa ao lado C é 8. Calule a razão C saendo que ela é máima. Prolema 14. Os omprimentos dos lados de um triângulo são os inteiros 1, e +1 e seu maior ângulo é o doro do menor. Determine o valor de. Prolema 15. Em um triângulo C, de lados = 12, C = 8 e C = 10, enontre o maior segmento que a issetriz interna de determina sore C. 6