MATERIAL MATEMÁTICA I

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1 MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO III DERIVADA Curso: Aministração

2 DERIVADA. Introução A iferenciação é uma técnica matemática que possui muitas aplicações, entre elas, estacam-se o traçao e curvas, os problemas e otimização e funções e a análise e taas e variação. O ramo a matemática que estua a erivaa é conhecio como Cálculo. Observemos um problema e taa e variação e uma função:! Se a função é linear (º grau), sua taa e variação em relação à variável inepenente é igual ao coeficiente angular a reta que representa a função no plano.! Se a função não for linear, sua taa e variação em relação à variável inepenente continua seno a inclinação o gráfico mas, neste caso, ela é meia pelo coeficiente angular a reta tangente ao gráfico no ponto consierao. Como o gráfico não é uma reta, essa taa e variação passa a varia ponto a ponto. Então, o ieal é conseguirmos calcular o coeficiente angular a tangente à curva em certo ponto ao. Lembre-se que, tangente à curva em um ponto é a reta que passa por este ponto e que inica a ireção a curva. Def..: Derivaa f () eprime o coeficiente angular a reta tangente à curva y = f() em função a coorenaa o ponto e tangência. E poemos enotála as seguintes formas: f (), y, f(), y Uma função é ita iferenciável em = a se possui erivaa neste ponto. Uma função que possui erivaa em toos os pontos e seu omínio recebe o nome e função iferenciável. Os gráficos e funções iferenciáveis evem ser suaves, ou seja, não poem ter vértices nem escontinuiae.. TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO.. Derivaa e uma constante Seja c R (uma constante) (c) = 0

3 .. Derivaa a Potência (n ) = n n E. ) Derive: a) y = y = = b) y = 0 0 y = 0 = c) y = 0 y = y = 0 0 = 0 ) y = y = / y = / = e) y = y = / y = / = y = / = f) y = y = 0 = / =.. Derivaa a Constante Multiplicaa (cf()) = cf () E. ) Derive: a) y = y =. 4 y = 4 b) y = 4 y = 4 y = c) y = y = y = ( ) = =..4 Derivaa a Soma ou a Diferença (f + g) = f () + g () (f g) = f () g () E. ) Derive: a) y = y = 6 b) y = + y = 4 0 c) y = y = ) y = + y' = + e) y = y' =

4 4 6 + f) y = + 7 y' = g) y = y' = EXERCÍCIOS ) Derive as funções abaio: a) y = + b) y = c) y = ) y = e) y = f) y = + g) y = 4 + h) y = + + i) y = j) y = k) y = l) y = m) y = n) y = + o) y = p) y = q) y = r) y = s) y = t) y = RESPOSTAS a) y = 6 b) y = + 4 c) y = ) y = 7 e) y = f) y = 6 g) y = 4 + h) y = + + i) y = + 4 j) y = k) y = l) y = m) y = + n) y = o) y = 4 p) y = q) y = 0 r) y = s) y = 7 u) y =

5 .. Derivaa a Potência (Regra a Caeia) [f()]n = n f () [f()] n. E. Derive as funções abaio: a) y = ( + ) 0 f = + f = y = 0..( + ) 9 y = 0( + ) 9 b) y = y = ( ) / f = f = /..( ) y = y = EXERCÍCIOS Derive as funções abaio: ) y = ) y = + ) y = ) y = (4 ) ) y = ( ) 8 6) y = + 7) y = ( 4 ) 8) y = + + 9) y = ( 4 7) 8 0) y = (8 7) ) y = ( ) 4 ) y = ( ) ) y = (8 + 9) RESPOSTA 0 ) y = ( ) ) y = ) y = ( ) 4) y = (4 ) 4 ) y = 8( )( ) 7 6) y = + 7) y = (8 )( 4 ) + 8) y = + + 9) y = 8( 4 )( 4 7) 7 0) y = 40 (8 7) 6 ) y = 4 (4 6)( ) 6 ) y = ( ) 4 ) y = (6)(8 + 9)

6 6. Eercícios sobre TAXA DE VARIAÇÃO. Avalia-se que aqui a t anos, a circulação e um jornal local será aa pela função C(t) = 00t + 400t eemplares. a) Deuza a epressão a taa e variação a circulação o jornal aqui a t anos. b) Qual será a taa e variação a circulação aqui a anos? A circulação aumentará ou iminuirá? c) Qual a percentagem e variação a circulação o jornal aqui a anos?. Um estuo sobre a eficiência o turno a manhã e uma fábrica inica que um operário méio, chegano ao trabalho às 8 horas, monta f() = ráios. a) Deuza a epressão a taa à qual o operário montará os ráios após horas e trabalho. b) A que taa o operário estará montano ráios às 9 horas a manhã? c) Qual será o percentual e variação o número e ráios montaos às 9 horas a manhã?. Certo estuo ambiental em uma comuniae urbana inicou que, aqui a t anos, o nível méio e monóio e carbono no ar será e Q(t) = 0,0t + 0,t +,4 partes por milhão. a) Daqui a ano, qual será a taa e variação, em relação ao tempo, o monóio e carbono? E o percentual e variação? b) Qual será a taa e variação o monóio e carbono este ano? E o percentual e variação? 4. Estima-se que, aqui a t anos, a população e uma certa comuniae suburbana será e P(t) = 0 6 t + milhares e habitantes. a) Deuza a epressão a taa e variação a população, em relação ao tempo, aqui a t anos. b) Qual será a taa e crescimento a população aqui a ano? c) Qual será a taa e crescimento a população aqui a 9 anos? ) O que você observa na taa e crescimento populacional urante too este tempo?. Estima-se que a proução semanal e uma certa inústria seja aa pela seguinte função Q() = +.00 uniaes, one é o número e operários empregaos. a) Use análise marginal para estimar o efeito na proução semanal ao se empregar um operário aicional. b) Estime o efeito na proução semanal ao empregar o º operário. c) Qual a variação percentual a proução semanal ao empregar o º operário?

7 7 6. Suponha que o custo total e fabricação e q uniaes e certo prouto seja ao pela função C(q) = q + q + 00 reais. a) Use análise marginal para estimar o custo e fabricação a 4ª uniae b) Qual a variação percentual o custo ao fabricar a 4ª uniae? 7. O ganho total mensal proveniente a fabricação e eterminao prouto é e R(q) = 40q + 0,0q reais, one q representa o número e uniaes prouzias no mês. Atualmente, o fabricante prouz 80 uniaes por mês e pretene elevar este número, aumentao e uma uniae a proução mensal. a) Use análise marginal para analisar o ganho aicional prouzio pela proução e vena a 8ª uniae. b) Qual a variação percentual o ganho ao fabricar e vener a 8ª uniae? 8. O lucro bruto anual e uma companhia é e L(t) = 0,t + 0t + 0 milhões, one t representa o número e anos transcorrios ese a funação a companhia, em 990. a) Qual foi a taa e crescimento o lucro bruto a companhia, em relação ao tempo, em 990? b) Qual a porcentagem e crescimento o lucro bruto, em relação ao tempo, em 999? 9. Calcula-se que, aqui a t anos, a população e eterminaa ciae será aa pela função P(t) = t + 00t habitantes. a) Epresse a taa e variação a população em função o tempo. b) Qual será a taa e variação a população, em relação ao tempo, aqui a 0 anos? c) Qual será a porcentagem e variação a população aqui a 0 anos?.4 Eercícios sobre Máimo e Mínimo e Funções em Intervalos Fechaos Para resolver problemas e máimo e mínimo quano a função está restrita a intervalos fechaos, evemos: º) Calcular a erivaa a função; º) Achar os pontos críticos (pontos one a erivaa vale zero ou a erivaa não eiste); º) Testar os pontos críticos e os etremos o intervalo: o maior valor será o máimo e o menor valor será o mínimo.. Calcule os pontos e máimo e mínimo absolutos nos intervalos especificaos: a) f() = + ; 4 b) f() = 7 4 ; 0

8 8 c) f() = ; 0 ) f() = ;. Certa associação nacional e consumiores foi funaa em 970. Suponha que, anos após sua funação, o número e membros esta associação seja ao pela função f() = 00( ). ) Em que períoo entre 970 e 984 a associação teve mais membros? Quantos eram eles? e) Em que períoo entre 97 e 984 a associação teve menos membros? Quantos eram eles?. Uma estação e ráio e uma ciae, que transmite apenas noticiários, realizou uma pesquisa sobre a preferência os moraores o lugar. A pesquisa revelou que a percentagem a população aulta o local, que ouve a estação horas após as 7 horas, é aa por f() = 8 ( ). c) Em que períoo, entre 7h e meia-noite, é maior o número e ouvintes a ráio? Qual a percentagem os moraores que ouve, então, a ráio? ) Em que períoo, entre 7h e meia-noite, é menor o número e ouvintes a ráio? Qual a percentagem os moraores que ouve, então, a ráio? 4. Um fabricante prouz certo prouto ao custo unitário e R$,00 e calcula que, se venê-los a reais a uniae, os clientes comprarão 0 uniaes por ia. A que preço o fabricante eve vener seu prouto para que seja máimo o lucro obtio?. A função emana e eterminao prouto é D(p) = 60 p, one p representa o preço e vena o prouto. Qual o preço o prouto que torna maior a espesa o consumior? 6. Um fabricante prouz certo prouto ao custo e R$,00 a uniae. O preço e vena o prouto é e R4,00 caa e, neste caso, venem-se u- niaes mensalmente. O fabricante pretene elevar o preço o prouto e calcula que, para caa aumento e R4,00, eiará e vener 400 uniaes. Por quanto o fabricante everá vener seu prouto a fim e obter o lucro máimo? 7. Um jornaleiro aquire certa publicação por R$,00 caa, reveneno-a por R$,00. Nestas conições, ele vene 00 eemplares por mês. O jornaleiro quer estimular a vena essa publicação e pretene reuzir o preço e caa eemplar, calculano que para caa reução e R$,00 sua vena seja aumentaa em 0 eemplares mensais. Por quanto o jornaleiro everá vener esta publicação para que seu lucro seja máimo? 8. Uma companhia e transporte coletivo eseja alugar ônibus para grupos e ou mais pessoas. Caa elemento e um grupo e pessoas pagará R$ 60,00. Em grupos maiores, toos receberão um esconto no preço a pas-

9 9 sagem, seno este e R$ 0,0 por pessoa que eceer as iniciais. Quantas pessoas eve ter caa grupo para que a receita a companhia seja máima? 9. Numa fazena com 60 laranjeiras, a méia a colheita é e 400 laranjas por árvore. Calcula-se que, plantano outras laranjeiras na mesma área, haverá um ecréscimo e 4 laranjas por árvore, para caa árvore aicional plantaa. Quantas árvores aicionais evem ser plantaas para que a proução seja máima? 0. Fazeneiros venem caa fruta por R$,00 no início a colheita em º e junho; epois o preço e caa fruta ecai R$ 0,0 por ia. Num pequeno sítio, um fazeneiro colheu 80 frutas e a colheita cresce, em méia, fruta por ia. Quano eve ser feita a colheita para que a receita o fazeneiro seja máima?. Um fabricante vene certo artigo aos istribuiores a R$ 0,00 a uniae para peios e menos e 0 uniaes. No caso e peios e 0 uniaes ou mais (até 600), o preço unitário goza e um esconto e centavos vezes o número encomenao. Qual o volume a encomena que proporciona maior receita para o fabricante?. O proprietário e um pomar estima que, plantano 4 árvores por are, caa árvore prouzirá 600 maçãs por ano. Para caa árvore aicional plantaa por are, haverá uma reução e 4 maçãs por pé por ano. Quantas árvores ele everá plantar por are e moo a maimizar o número e maçãs?. Uma companhia imobiliária tem 80 apartamentos, toos alugaos a R$ 00,00 por mês. Para caa aumento e R$ 0,00 no aluguel, vagam cinco apartamentos. Qual o aluguel que maimiza a rena total?