Matemática Módulo 2 Função Exponencial 3-10 Função Logarítmica 11-22

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1 Módulo M7 Função Eponencial - M8 Função Logarímica - M9 Noções de Financeira - 8 M Progressões 9 - M Trigonomeria no Ciclo 7-8

2 TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Função Eponencial (Uniderp-MS) Se n, 7 ς são ais que n n n 7 9 n 9 a) c) 9 n b) d) 7 9 n, enão é igual a: n e) M7 Caderno de Aividades (MACK-SP) Se e são números reais posiivos, ais 9 8 que, enão o produo 9 é igual a: 9 79 a) c) e) b) d) n 9 n n n n 9 n n n ( ) n 9 7 n (FGV-SP) Num concurso que consa de duas fases, os candidaos fizeram uma prova de múlipla escolha, com quesões de alernaivas cada uma. Na segunda fase, oura prova coninha quesões do ipo falso ou verdadeiro. Chamando de n o número dos diferenes modos de responder à prova da a fase e de n, o número dos diferenes modos de responder à prova da a fase, em-se que: a) n n c) n n e) n 9 n b) n n d) n 9 n (UESPI) A equação eponencial dada por admie duas soluções, e. O valor da soma ( ) é: a) b) c) d) e) ( ) [( ) ] ( ) ( ) Logo: ( ) ou Se, na a fase, o candidao deve escolher apenas uma das quaro alernaivas de cada quesão, enão: n faores Na a fase, o número de maneiras de responder é: n faores Enão, n n n n 9 n. n

3 M7 Função Eponencial Em quesões como a, a resposa é dada pela soma dos números que idenificam as alernaivas correas. (UEPG-PR) A equação 9 admie como soluções os números a e b, com a. b. Enão, assinale o que for correo: () b a () a 9 b é um número par. () a. e b, (8) a b, () a b é um número naural.. Incorreo Subsiuindo, emos: Logo: Θ Θ a Θ b b a. Correo ab 9. Incorreo a. e b. 8. Correo a b,. Correo a b Porano: 8 (UCDB-MS) O conjuno verdade da equação eponencial 9 é: a), c), e) {, } b), d) {, } Subsiuindo, emos: 9 Θ Logo: Se, emos: Θ. Porano: S {, } Se, emos: Θ. 7 (UESPI) O conjuno verdade da equação ( ) é igual a: a) {, } c) {, } e) { } b) {, } d) {, } ( ) Θ Subsiuindo, emos: ou Porano: S {, }

4 8 (UFSM-RS) Um pisciculor consruiu uma represa para criar raíras. Inicialmene, colocou raíras na represa e, por um descuido, solou 8 lambaris. Suponha-se que o aumeno das populações de lambaris e raíras ocorra, respecivamene, segundo as leis L() L e T() T, em que L é a população inicial de lambaris, T, a população inicial de raíras, e, o número de anos que se conam a parir do ano inicial. Considerando-se log,, o número de lambaris será igual ao de raíras depois de quanos anos? a) b) 8 c) d) e) L() T() anos Função Eponencial M7 (UCDB-MS) Cera subsância radioaiva de massa M, no insane, ende a se ransformar em oura subsância não radioaiva. Para cada insane >, dado em segundos, a massa da subsância radioaiva resane obedece à lei M() M. Nessas condições, o empo necessário, em segundos, para que a massa da subsância radioaiva seja reduzida a um erço da massa inicial, é igual a: a) b), c), d) e), Devemos er M() M() M 9 M M 9 ou, s M. Logo: 9 (UFPB) Sendo a e k consanes reais e sabendo-se que o gráfico da função f() a k passa pelos ponos A(, ) e B(, ), o valor da epressão a k é: a) b) c) d) e) Como o gráfico passa pelos ponos A e B, emos: A(, ) Θ a 9 k 9 Θ a 9 Θ a B(, ) Θ a 9 k 9 Θ a 9 k Subsiuindo a em, vem: 9 k k k Logo: a k 9 (Vunesp-SP) Considere a função dada por f() m 9. a) Quando m, deermine os valores de para os quais f(). b) Deermine odos os valores reais de m para os quais a equação f() m não em solução real. f() m 9 f() 9 m 9 f() 9 ( ) m 9 ( ) a) m Θ f() Θ 9 ( ) 9 ( ) ± ou ou b) f() m Θ 9 ( ) m 9 ( ) m 9 ( ) m 9 ( ) m Fazendo, resula a equação: m 9 m. Essa equação não em soluções reais se, e somene se, suas raízes e não forem reais ou se ambas forem reais negaivas. As raízes e não são reais Θ m m, Θ, m,. Para que as raízes e sejam ambas reais e negaivas, devemos er >, m < e. m >, que se verifica apenas para m. Concluímos, enão, que, m <.

5 M7 Função Eponencial (UFPel-RS) A função eponencial serve de modelo maemáico para resolver várias siuações do coidiano. Um eemplo é o de uma culura de bacérias inicialmene com elemenos, conados a parir do insane zero, na qual a população dobra a cada hora. Essa siuação é represenada pela função f() 9, em que é o empo decorrido. Com base na função acima, em seus conhecimenos, considerando ς o conjuno dos números reais, analise as afirmaivas abaio. I. O domínio da função é o conjuno dos números reais. II. O domínio da função é D { 7 ς \ > }. III. O domínio da função é D { 7 ς \ > }. IV. A imagem da função é Im { 7 ς \ > }. V. A imagem da função é Im { 7 ς \ > }. Esão correas somene as afirmaivas: a) I e IV c) II e IV e) III e IV b) III e V d) I e V f) I.R. Sendo 9, emos: I. Incorrea O domínio é D { 7 ς \ > }, pois a população dobra a cada hora. II. Incorrea III. Correa IV. Correa O gráfico de 9 é: Se f() 9, sendo o empo medido em dias e f() o número de indivíduos do grupo, enão: f() f() f() f() Enre o o e o o dia, o número de indivíduos do grupo aumenará em eaamene 9 unidades. (UFMA) Se a curva da figura abaio represena o gráfico da função, o valor da área sombreada é: a) b) c) 8 d) e) Im { 7 ς \ > } V. Incorrea Se: Θ Θ Θ Θ A área sombreada é igual a: A 9 9 Θ A (MACK-SP) O número de indivíduos de um cero grupo é dado por f() 9, sendo o empo medido em dias. Desse modo, enre o o e o dia, o número de indivíduos do grupo: a) aumenará em eaamene unidades. b) aumenará em eaamene 9 unidades. c) diminuirá em eaamene 9 unidades. d) aumenará em eaamene 9 unidades. e) diminuirá em eaamene 9 unidades. (UFSM-RS) A solução da equação eponencial ( ) : a) perence ao inervalo (, [. b) perence ao inervalo ], + ). c) perence ao inervalo ], [. d) é um número par. e) é um número irracional. Subsiuindo, vem: ( ) Θ Se Θ Θ Se Θ Θ Ξ 7 ς Como, perence ao inervalo ], [.

6 (MACK-SP) O menor valor assumido pela função g() ( ) é: Função Eponencial M7 8 (MACK-SP) Dadas as funções f() e g(), se saisfaz f() g(), enão é: a) b) c) 8 d) e) a) 8 b) c) A função eponencial g de base d) e) 8 Se f() e g(), com f() g(), emos: Θ Θ Θ Porano:. é esriamene decrescene. O mínimo valor de g, porano, corresponde ao máimo valor do epoene. O gráfico da função f: ς Θ ς definida por f() é: f() e o máimo valor de f é. O mínimo valor de g é. 9 (UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obidos pelo IBGE, relaivos às aas de analfabeismo da população brasileira de anos ou mais, a parir de 9, foi possível ajusar uma curva de equação k, em que k., represenada a seguir: aa (%) 7 (UFF-RJ) Em um meio de culura especial, a quanidade de bacérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para >, por Q() k k, sendo o empo, em minuo, e k uma consane. A quanidade de bacérias, cuja conagem inicia-se com o cálculo de Q(), orna-se, no quaro minuo, igual a Q(). Assinale a opção que indica quanos bilhões de bacérias esão presenes nesse meio de culura no oiavo minuo: a), b) c), d) e) Pelos dados, emos: se Θ Q() k 9 k 9 k se Θ Q() k 9 k Como Q() 9 Q(), vem: k 9 k 9 k k k k k Porano: Q(8) 9 Q(8) 9 Q(8), 9 8 a) Deermine o valor de k. b) Obenha as aas relaivas aos anos de 9 e (valor esimado), usando o gráfico e a equação anerior. a) Sendo e, emos: 9k Θ k Θ k b) O ano de 9 corresponde a. Logo: 9 Θ 9 Θ % O ano de corresponde a 9. Logo: 9 Θ 9 Θ Λ, % empo (anos) 7

7 M7 Função Eponencial (UEPG-PR) Dadas as funções definidas por f() e g(), é correo afirmar: () Os gráficos de f() e g() não se inercepam. () f() é crescene e g() é decrescene. () g() 9 f() f() (8) f [g()] f() () f( ) g() (EEM-SP) A curva abaio mosra a evolução do número de peças monadas em uma linha de produção por um operário recém-conraado. Admiindo que a curva seja descria pela função Q() A 9 k 9, deermine o número de peças que o operário monará em sua segunda semana de rabalho. Q Fazendo o gráfico das funções, emos: f() g() (semanas). Incorreo, pois os gráficos se inercepam em: Θ Subsiuindo: Θ Σ Se Θ, vem: Os gráficos se inercepam em (, ).. Correo g() Logo: f( ) g() Porano: Se Θ Ξ 7 ς. Incorreo, pois f() é decrescene e g() é crescene.. Correo g( ) f( ) f() Logo: g( ) 9f( ) 9 f() 8. Correo g() f() Se: Θ A 9 Θ A Θ A Θ A 9 k 9 9 k 9 k k k k A função é: Q(). Se semanas, emos: Q() 9 Q() 7 Q() peças (UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real 7 definidas por f() e g(). O valor mínimo de f [g()] é: a) b) c) d) e) 7 Temos f[g()] g(). Assim, quano maior for o valor de g(), menor será o valor de f[g()]. Logo, f [g()] assumirá um valor mínimo quando g() assumir um valor máimo, o que ocorrerá quando g() assumir um valor máimo. Como g(), raa-se de uma função quadráica e, como o coeficiene de é negaivo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baio e, porano, ela assumirá um valor máimo, o qual ocorrerá quando o valor de for igual à abscissa do vérice, iso é, quando 9( ). Assim g() é o valor máimo assumido pela função g e, porano, o valor mínimo da composa será: 7 f[g()] g()

8 (Unipac-MG) A relação P 9 (, ) descreve o crescimeno de uma população P de bacérias, dias após o insane. O valor de P é superior a se, e somene se, saisfizer a condição: a). c). e),, b), d),, Devemos er P.. Logo: (, ). (, ). 9,. 9,. 9,,,,,,,,. dias Função Eponencial M7 (FERJ-SC) A solução da inequação (,7) ( ), (,9) é: a) % d) { 7 ς\, ou. } b) { 7 ς\,, } e) { 7 ς\, ou. } c) { 7 ς\,, } ( ) (,7), (,9) (,7), (,7).. Esudando o sinal, emos: Logo: S { 7 ς\, ou. }. { { } (UFPB) O oal de indivíduos, na enésima geração, de duas populações P e Q é dado, respecivamene, por P(n) P(n) n e Q(n) n. Sabe-se que, quando >, Q(n) a população Q esará ameaçada de einção. Com base nessas informações, essa ameaça de einção ocorrerá a parir da: a) décima geração b) nona geração c) oiava geração d) séima geração e) sea geração n > n n > n n > n > n > A ameaça de einção ocorrerá a parir da a geração. (FGV-SP) O gerene de produção de uma indúsria consruiu a abela abaio, relacionando a produção dos operários com sua eperiência. Eperiência (meses) Produção (unidades por hora) Acredia o gerene que a produção Q se relaciona à eperiência, por meio da função Q() A 9 e k 9, sendo e,7 e k um número real, posiivo. a) Considerando que as projeções do gerene de produção dessa indúsria esejam correas, quanos meses de eperiência serão necessários para que os operários possam produzir unidades por hora? b) Desse modo, qual será a máima produção possível dos operários dessa empresa? a) Supondo que A seja uma consane real e o empo de eperiência em meses, emos: Q() A 9 e Ι A Q() 9 e k 9 e k k k e Ι e Logo, Q() 9. Com Q(), emos: Ι meses b) Como Q(), podemos afirmar que: quano maior for, ano mais Q() se aproimará de ; Q(),. Podemos concluir, enão, que a produção máima possível é de 99 unidades por hora. 9

9 M7 Função Eponencial 7 (ECM-AL) O conjuno de odos os valores de para os quais <, 8 é: a) [, [ c) [, [ e) [, [ b) [, 8[ d) [, [ <, 8 II, 8 > II I I, 8 ( ), ( ),,, I Fazendo a inersecção, emos: I S { 7 ς\ <, } [, [ I II II II > > > > 9 (UFF-RJ) a) Ao resolver uma quesão, José apresenou o seguine raciocínio: Como., em-se. e conclui-se 8 que.. Idenifique o erro que José comeeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem comeer o mesmo erro que José, deermine o menor número m, ineiro e posiivo, que saisfaz a inequação: m. m a) José comeeu o erro na úlima eapa de seu raciocínio, uma vez que a função eponencial dada por f() é decrescene, ou seja, à medida que aumenamos o valor de, o valor de f() diminui. b) m m. Θ. Como a base é um número compreendido enre zero e um, a função é decrescene e o sinal da desigualdade muda, ou seja:, m m m, m m m, m m m m m. m 8 (ITA-SP) Seja ε um número real, com, ε,. Assinale a alernaiva que represena o conjuno de odos os valores de ais que ε ε, : a) ], ] [, [ d) ], [ b) ], [ ], [ e) ], [ c) ], [ ( m )( m ). m ( m )( m ) Como m., emos. ( m )( m )., m ou seja, m, ou m.. { { } Conclui-se que o menor número ineiro e posiivo m que saisfaz a inequação é. Do enunciado, emos: ε 9 ε ( ), ε 9 ε, ε 9 ε, ε ε, ε Se, ε,, emos:.. Raízes: Θ ( ) ou Porano:,, ou ], [ { } }

10 TERCEIRÃ TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD ERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Função Logarímica Em quesões como a, a resposa é dada pela soma dos números que idenificam as alernaivas correas. (UEPG-PR) Sendo: () p q log 8 log r log 7 É correo afirmar que: () p, r, q () q. p () r, q (8) p. r () r, p, q. Correo p p p p Função Logarímica M8 (Vunesp-SP) O valor de na equação log é: a) c) b) log ( ) ( ) d) Caderno de Aividades e) log r r log 7 q log 8 q 8 q q q Logo:. Correo. Correo 8. Incorreo. Incorreo,, p, r, q.. q. p, r, q, p, r, r, p Porano: 7 (UFG) Suponha que o oal de sapaos produzidos por uma pequena indúsria é dado, aproimadamene, pela função S() log ( ), em que é o número de anos e S o número de sapaos produzidos, conados a parir do início de aividade da indúsria. Deermine: a) o número de sapaos produzidos no primeiro ano de aividades da indúsria; b) o empo necessário para que a produção oal seja o riplo da produção do primeiro ano. a) Após o primeiro ano de aividade, emos que ; enão: S() log ( ) Θ S() log Θ S() ; porano, foram produzidos pares de sapaos no primeiro ano. b) Se no primeiro ano a produção é de pares de sapaos, o riplo será pares, ou seja: S() log ( ) Θ log ( ) Θ Θ Θ 8 Θ 7; enão, depois de 7 anos, a produção oal será o riplo da produção do primeiro ano.

11 M8 Função Logarímica (MACK-SP) Se log b 7 log b log b,, b ϑ, o valor de b é: a) c) 9 b) d) 9 log b 7 9 log b log b log ( ) log b b log b log 9 b Ι log b b Ι b e) 8 7 (MACK-SP) Se a. e b., considere as afirmações: I. log (ab) log a log b II. log (a b) (log a) 9 (log b) III. log Enão: a) I, II e III são correas. b) I, II e III são incorreas. c) apenas I e II são correas. d) apenas II e III são correas. e) apenas I e III são correas. I. Correa. log (a 9 b) log a log b II. Incorrea. log (a b) (log a) 9 (log b) Para a b, por eemplo, emos: log (log ) 9 (log ) III. Correa. log, pois. (Furg-RS) Sendo a solução da equação log log, o valor de é: a) b) c) d) e) 8 log log Θ log log Θ log Θ Assim: ( ) (UFOP-MG) Resolva o sisema: 9 8 Θ 9 Θ log 8 Θ 8 Θ Resolvendo o sisema, obemos: e Θ ou e 9 8 log 8 8 (MACK-SP) Se a e b são números reais não-nulos, ais que a + b 8ab, enão, adoando-se log de log a) 7 (a b) ab é: b) c) d) 7 Sendo dados a b 8ab e log, emos: (a b) a b ab 8ab ab ab log (a b) ab log log ab log log ab 7, o valor e) 7

12 9 (EEM-SP) Sendo log a, calcule: log 8 log. Usando as propriedades, emos: log 8 log log 8 log log log (9 9 ) log log ( 9 ) log 9 log log (log log ) log log log log log log log a (UERJ) Segundo a lei do resfriameno de Newon, a emperaura T de um corpo colocado num ambiene cuja emperaura é T obedece à seguine relação: T T ke c Nessa relação, T é medida na escala Celsius, é o empo medido em horas, a parir do insane em que o corpo foi colocado no ambiene, e k e c são consanes a serem deerminadas. Considere uma ícara conendo café, inicialmene a )C, colocada numa sala de emperaura )C. Vine minuos depois, a emperaura do café passa a ser de )C. a) Calcule a emperaura do café minuos após a ícara er sido colocada na sala. b) Considerando ln,7 e ln,, esabeleça o empo aproimado em que, depois de a ícara er sido colocada na sala, a emperaura do café se reduziu à meade. a) Subsiuindo os dados: T )C, T() )C e T )C na relação T T ke c, enconraremos: e c c e Desenvolvendo, emos: e C. Como queremos T, basa observarmos que T 8 e c , )C b) Pela lei do resfriameno, eremos 8e c, ou seja, e c 8. Como e c, eremos Usando logarimos:. 8 ln ln, ln, h 9 min Λ min Função Logarímica M8 (Vunesp-SP) Numa planação de cera espécie de árvore, as medidas aproimadas da alura e do diâmero do ronco, desde o insane em que as árvores são planadas aé complearem anos, são dadas respecivamene pelas funções: alura: H() (,8) 9 log ( ) diâmero do ronco: D() (,) 9 7 com H() e D() em meros e em anos. a) Deermine as medidas aproimadas da alura, em meros, e do diâmero do ronco, em cenímeros, das árvores no momeno em que são planadas. b) A alura de uma árvore é, m. Deermine o diâmero aproimado do ronco dessa árvore, em cenímeros. a) No momeno em que elas são planadas,. Assim: H() (,8) 9 log ( ) H(),8 9 log H(),8 9 H() m D() (,) 9 7 D() (,) 9 D(), m ou D() cm b) Se H(), m, emos:,8 9 log ( ),,8 9 log ( ), log ( ) 8 7 anos Porano: 7 D(7), 9 7 D(7), 9, m ou cm (Unifesp-SP) Uma droga na correne sangüínea é eliminada lenamene pela ação dos rins. Admia que, parindo de uma quanidade inicial de Q miligramas, após horas a quanidade da droga no sangue fique reduzida a Q() Q (,) miligramas. Deermine: a) a porcenagem da droga que é eliminada pelos rins em hora; b) o empo necessário para que a quanidade inicial da droga fique reduzida à meade. Uilize log,. a) Q() Q 9, Após hora, há % da quanidade inicial da droga no sangue; porano, em hora, % da droga é eliminada pelos rins. b) De Q() Q, emos: Q 9, 9 Q log, log log log ( log log ) log (,8 ), Ι, hora ou h min

13 M8 Função Logarímica (UFES) Um pesquisador consaa que, em um dado insane, eisem ararugas da espécie A e ararugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reserva, a população de ararugas da espécie A diminui a uma aa de % a.a., enquano a população da espécie B aumena a uma aa de % a.a. Deermine, usando duas casas decimais, quano empo é necessário, a parir desse insane, para que as populações sejam iguais. (Considere: log, e log,.) Pelos dados, vem: (,8) (,) (,8) (,) Aplicando logarimo decimal em ambos os membros, vem: log (,8) log (,) log log (,8) 9 log, log 9 log (,8) 9 log, log 9 log 8 log 9 log (log 8 log ) (log log ) log ( log log ) (log log ) Subsiuindo os valores dos logarimos, vem:, ( 9, ) (, ), 9, 9, (,,),,, 7 anos ou seja, anos e (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce % a.a., enquano a segunda cresce % a.a. Admia que essas aas de crescimeno permaneçam consanes nos próimos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a, milhões de habianes, calcule o número de habianes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após deerminado empo, medido em anos. Se 7, deermine o valor de. log a) Logo: 9, habianes b) Em anos as populações serão: subúrbios 9, favelas 9, 9, 9, 9,, log ( 9, ) log (, ) 9 log, 9 log, 9 log,, log,7,7 ano ano ou anos, mês e dias aproimadamene. (UFPel-RS) Um dos moivos que levam as pessoas a enfrenar o problema do desemprego é a busca, por pare das empresas, de mão-de-obra qualificada, dispensando funcionários não habiliados e pagando a indenização a que êm direio. Um funcionário que vivenciou al problema recebeu uma indenização de R$ 7, em rês parcelas, em que a razão da primeira para a segunda é e a razão da segunda para a erceira,. Dados: log,, log,, Com base no eo e em seus conhecimenos, deermine: a) o valor de cada parcela; b) o empo necessário para que o funcionário aplique o valor da primeira parcela, a juro composo, a uma aa de % a.m., para acumular um monane de R$ 78,; c) a aa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, à segunda parcela, para que o funcionário, no final de anos, obenha o monane de R$ 8,. a) Primeira parcela: p Segunda parcela: p Terceira parcela: p p p p 7 p p e p p p De : p De : p p Subsiuindo e em, emos: p p p 7 p p p 8 9p 8 p Logo: p R$, p R$, p R$, b) M C( i) 78 (,),, log, log, log, 9 log,, 9, Λ,88 meses Porano, aproimadamene meses. c) J M C J 8 J 8 ou R$ 8, Daí, emos: C i J i 9 8 i % a.m.

14 (UFAL) Resolva, no universo ς, a equação log log ( ). Da equação, devemos er:. Ι.. Θ. Resolvendo a equação, emos: log ( ) ( ) (não serve) b) a b Função Logarímica log log log 9 9 log 9 log 9, 9 9,,8 anos M8 7 (IBMEC-SP) Zé Munheca e João Gasão são dois irmãos que êm hábios bem diferenes quando se raa de dinheiro. Zé Munheca, sempre muio econômico e aeno aos melhores invesimenos, consegue duplicar, num prazo de anos, qualquer capial que lhe seja disponibilizado. Já João Gasão, muio esbanjador, não consegue conrolar seus gasos, vendo seu dinheiro se reduzir à meade a cada anos. Ciene disso, seu pai, anes de morrer, não dividiu igualmene sua foruna enre os dois filhos: reservou a João Gasão uma quania igual a vezes à quania dada a Zé Munheca. Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os irmãos herdaram de seu pai. a) Quano empo depois de receberem suas pares na herança os dois irmãos erão a mesma quania em dinheiro? b) Quano empo depois de receber sua pare na herança, aproimadamene, Zé Munheca erá uma quania igual a vezes à quania de João Gasão? Se necessário, uilize log,. 8 (FGV-SP) a) Resolva a equação log ( ) log ( ). b) Quais as raízes da equação log? a) Com. e., iso é, com., emos: log ( ) log ( ) log [( )( )] log log ( ) log ou Com a condição., emos. b) Com. e log ( ), emos: log Θ ( ) 9 Resolvendo essa equação, obemos: ou Θ Θ Θ Θ a) Sendo o empo em anos ( hoje, daqui a um ano ec.), podemos escrever: Para Zé: a 9 Para João: b 9 9 a b Θ Θ 9 Θ anos

15 M8 Função Logarímica 9 (UEM-PR) Sobre logarimos e eponenciais, assinale o que for correo. () Se., enão.. () Se log a e log 7 b, enão log a( b). () Se log c, enão log. c (8) Se ( ), enão a soma dos valores de que saisfazem essa equação é igual a. () A função f definida por f() ( ), 7 ς, é crescene. () Para analisar frauras em consruções, usam-se raios. Quando os raios peneram no concreo, a sua inensidade é reduzida em % a cada cm percorridos no concreo. A profundidade d em que a inensidade dos raios será de,9% da inensidade inicial é log (, 9) d. log (, 9). Incorreo. Correo. Θ, log log log a log a log log 7 log 7 log 7 b log 7 ab log a Porano: log log (7 9 ) log 7 log ab a a(b ). Correo log log log c c c log log log log c Θ log log c log c Θ log 9 ( c) c c log c Daí, vem: c log log ( 9 ) log log c 8. Incorreo ( ) Θ A soma é igual a: S. Correo c Como a base é maior que, a função f() ( ) é crescene.. Correo A inensidade I em função da profundidade d é dada por: I I (,) I I (, 9) d d Fazendo I,9% I, vem:,9% I I (, 9), 9, 9 (Fafi-BH) O valor de colog [log (log )] é: a) b) c) d) e) colog [log (log )] log [log (log )] log [log ( 9 log )] log [log ] log [ log ] log (UFRJ) Sendo e números reais e ϑ, epresse o logarimo de na base em função de, e log. log log log log log log d d log, 9 log(, 9) d log, 9 9 log, 9 log, 9 d 9 log, 9 Porano: d

16 (UA-AM) Sendo n, enão log em função de n é igual a: a) c) e) n n n b) d) n n n Θ log n log Θ n log log log log log log log log ( 9 9 ) log log log log log log log log 9n log log log 9( n ) n Função Logarímica M8 (ECM-AL) Considerando log,, o valor de log, é: a) b) c) Subsiuindo os valores dos logarimos, emos: d) Aplicando a fórmula de mudança de base, vem: log log, log log log, log log log log log log log log log log,,, 9 9,, e) (UFU-MG) Deermine odos os valores de 7 ς ais que saisfaçam a equação log ( ) log ( ). (UFC) O número real, posiivo e diferene de, que saisfaz a equação log () 9 log log é igual a: a) d) b) e) c) Mudando para a base, emos: A condição de eisência é:. Θ. Resolvendo a equação, emos: log ( ) log ( ) log log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) 9 Como 9., o conjuno solução é S {9}. log () log log log 9 log log log log 9 log log log log log log log log log (UFF-RJ) São dados os números reais posiivos a, b e ais que a ϑ e b ϑ. Sabe-se que log a e log b. Calcule log a. ab log ab log a log a log a a a a log ab log a log b a a a log a log b Mas a e b. Assim, a b e b a Θ b a. Logo: 9 log a ab log a a a 7

17 M8 Função Logarímica 7 (Fuves-SP) Se é um número real,. e log ( ) log, enão o valor de é: a) d) b) e) Porano: AD () AB 8 A área do reângulo ABCD é: S 9 8, 7 c) Com., emos: log ( ) log log ( ) log log log ( ) log log ( ) log ( ) log ( ) ( ) 8 ± Da condição., emos. 8 (UFMG) Nese plano caresiano esão represenados o gráfico da função log e o reângulo ABCD, cujos lados são paralelos aos eios coordenados. Sabe-se que: os ponos B e D perencem ao gráfico da função log ; as abscissas dos ponos A e B são, respecivamene, e 8. Enão, é correo afirmar que a área do reângulo ABCD é: a) 8,7 b) 8 c) 8, d) 8, A abscissa de A é A D. Logo, a abscissa de D é. Θ Θ log Θ log A ordenada de D é. A abscissa de B é 8. Logo: log 8 Θ 8 Θ Θ. A ordenada de B é. B C log 9 (FGV-SP) Considere as funções: f() e g() log ( ), sendo log a (b) o logarimo de b na base a. a) Esboce a represenação gráfica das funções f() e g() num mesmo sisema caresiano de eios. b) Escreva a equação das reas r e s, assínoas das funções f() e g(), respecivamene. c) Deermine as coordenadas dos ponos P e R, inersecções das funções f() e g(), respecivamene, com o eio O e as coordenadas dos ponos Q e S, inersecções das funções f() e g(), respecivamene, com o eio O. d) Deermine graficamene o número de soluções da equação f() g(). a) s f() g() b) As equações das reas r e s são, nessa ordem, e. c) De, emos, ou seja, (P). De log ( ), emos, ou seja, (R). De f(), emos f() (Q). De g() log ( ), emos g() log ( ) (S). d) As curvas f() e g() inercepam-se em apenas dois ponos disinos. r 8

18 (UENF-RJ) Um grupo de ovelhas é liberado para reprodução numa área de preservação ambienal. Submeidas a um raameno especial, o número N de ovelhas eisenes após anos pode ser esimado pela seguine fórmula: N (, 8) Admia que a população de ovelhas seja capaz de se maner esável, sem esse raameno especial, depois de aingido o número de 88 ovelhas. a) Calcule o número de ovelhas eisenes após meses. b) Considerando ln,7, ln, e ln,, calcule a parir de quanos anos não haverá mais a necessidade de raameno especial do rebanho. a) Com meses N (, 8) ano, emos: Θ N ovelhas 9 b) > 88 (, 8) < < (, 8) (ln 9 ln ) < ln ln ln ln > (ln 9 ln ) > > ln ln ln ln ln ln, 9,7, 9, 9,7 9, > 9, anos Função Logarímica M8 8 (Vunesp-SP) A função p() 9 9 (,) epressa, em função do empo (em anos), aproimadamene, a população, em milhões de habianes, de um pequeno país, a parir de 9 ( ). Um esboço do gráfico dessa função, para < < 8, é dado na figura. População (em milhões de hab.) (gráfico fora de escala) (em anos) a) De acordo com esse modelo maemáico, calcule em que ano a população aingiu milhões de habianes. (Use as aproimações log, e log,.) b) Deermine aproimadamene quanos habianes inha o país em 9. Com base no gráfico, para < < 8, admiindo que p(8) 7, dê o conjuno solução da inequação p() > e responda, jusificando sua resposa, para quais valores de k a equação p() k em soluções reais. a) Quando a população aingiu milhões de habianes: p() Θ (,) 8 9 (,), Θ 9, 8 Θ, log, log log log,, 9, Θ,,8 8 anos, ou seja, em b) Em 9, iso é, para emos p() 9 8 Λ 9, milhões de habianes. Com base no gráfico, o conjuno solução de p() > é S [, 8]. De acordo com o gráfico, a equação p() k em soluções reais para p() < k < p(8) Θ 9, < k < 7, aproimadamene, em milhões de habianes. 9

19 M8 Função Logarímica (UFBA) O número de bacérias de deerminada culura varia de acordo com a lei N() 9, em que o empo é dado em horas. Nessas condições, pode-se afirmar: () No insane, o número de bacérias eisenes na culura é igual a. () Depois de 8 horas, o número de bacérias eisenes na culura é menor que 7. () Em horas, a quanidade de bacérias na culura se reduz a da quanidade inicial. (8) Na culura, a quanidade de bacérias se reduz de da quanidade inicial no empo log. () Em relação ao empo, a variação da quanidade de bacérias é represenada pelo gráfico ao lado. N() (UFSM-RS) O domínio da função f() log ( ), em ς, é o subconjuno: a) ], [ [, [ ], [ b) ], [ c) ], ] [, ) d) { 7 ς\, ou > } e) { 7 ς\, ou. } Devemos er: >. com >, ϑ Θ } { Θ } {. Incorreo. Sendo, emos: N() 9 Θ N() 9. Correo. Fazendo 8, obemos: N(8) 9 8 9, (,, 7). Correo. Se, emos: N() Incorreo. Sendo N() 9, emos: 9 Θ Θ log log log. Incorreo. Tabelando a função, emos: N Quadro de sinais. : { { Porano: D { 7 ς\, ou <, ou. } ou D ], [ [, [ ], [ { { } Porano:

20 (UFBA) O gráfico represena a função f: ς Θ ], [; f() a b 9 k, sendo a, b e k consanes reais. A parir dessas informações, calcule f (). Função Logarímica M8 (Fuves-SP) O conjuno dos números reais que saisfazem a inequação log ( ) log ( ). é o inervalo: a), d), 7 7 b), e), Com base no gráfico de f() a b 9 k, conclui-se que a função g() b 9 k sofreu uma ranslação de unidade, logo a. Além disso, pelo gráfico em-se que f() e f(). f() Θ b Θ b f() Θ 9 k Θ 9 k Θ k k Θ k Logo, f() 9. Cálculo da função inversa f (): Θ Θ log ( ) Θ log ( ) Porano, f () log ( ). c), log ( ) log ( ). log. e.. e. 7 e,.,, 7 (UFOP-MG) Resolva a inequação log ( ) log ( ),. Devemos er:. Θ. Ι.. Θ. Resolvendo a inequação, emos: log ( )( ), ( )( ),,, Raízes: { { } Fazendo, obemos: S { 7 ς\,, } Θ,, 7 (Vunesp-SP) Considere as funções f() e g() log, para.. a) Represene, num mesmo sisema de coordenadas reangulares, os gráficos das duas funções, colocando os ponos cujas abscissas são,, e 8. b) Baseado na represenação gráfica, dê o conjuno solução da inequação, log e jusifique por que a) π, log π. f() g() log 8 f() 8 8 g() f g b) π, log Θ,, Se, π,, enão π, log π.

21 M8 Função Logarímica 8 (Unicamp-SP) Um capial de R$, é aplicado a uma aa anual de 8%, com juros capializados anualmene. Considerando que não foram feias novas aplicações ou reiradas, enconre: a) o capial acumulado após anos; b) o número ineiro mínimo de anos necessários para que o capial acumulado seja maior que o dobro do capial inicial. (Se necessário, use log, e log,77.) O capial acumulado após n anos é dado, em R$, por C(n) 9,8 n. a) C() 9,8 C() 9, Ι C() 99,8 b) De C(n). 9, emos: 9,8 n. 9,8 n. log (,8) n. log n 9 log,8. log n 9 [log ( 9 9 )]. log n 9 [( log log )]. log n 9 (,, )., n 9,.,, n., n. 9, O menor valor ineiro de n é, porano, igual a. 9 (FGV-SP) O anúncio de cero produo aparece diariamene num cero horário na elevisão. Após dias do início da eposição ( eposições diárias), o número de pessoas () que ficam conhecendo o produo é dado por 9 (,9), em que é dado em milhões de pessoas. a) Para que valores de eremos pelo menos, milhão de pessoas conhecendo o produo? b) Faça o gráfico de em função de. a) Devemos er >,. Logo: >, 9 (,9) >, 9 (,9) >,8 (,9) <, Tomando os logarimos decimais do o e o membros, emos: log (,9) < log, Θ 9 log,9 < log, Como log,9 Λ, e log,,, obemos:, 9(, ) <, Θ > Θ. dias, b) Por ouro lado, quano maior é o valor de, ano mais o valor de (,9) aproima-se de zero e, assim, o valor de aproima-se de. O gráfico de em função de é dado pelo esboço a seguir: (UFMA) A função f() possui log ( ) como domínio, no conjuno ς dos números reais, o inervalo: a) ], [ c) ], [ e) ], [ b), Devemos er: (UFRJ) Ana e Bia pariciparam de um sie de relacionamenos. No dia o de abril de, elas noaram que Ana inha eaamene 8 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que inha no final de um dia, rês novos amigos enravam para sua lisa de amigos no dia seguine. Já Bia disse que, para cada amigo que inha no final de um dia, cinco novos amigos enravam para sua lisa no dia seguine. Suponha que nenhum amigo deie as lisas e que o número de amigos aumene, por dia, conforme elas informaram. a) No dia de abril de, novos amigos enraram para a lisa de Bia. Quanos amigos havia na lisa de Ana em o de abril? b) Deermine a parir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que o número de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade,8, log,,8. a) No dia de abril, enraram novos amigos para a lisa de Bia. Logo: b Θ b Enão, Bia inha amigos em o de abril. No dia o de abril, Ana inha: 8 9 amigos b) No enésimo dia, o número de amigos de cada uma é: Ana Θ a n 9 n Bia Θ b n 9 n Porano: b n. a n Θ 9 n. 9 n n n. n n. n log 7 log Sendo,8, log,,8, vem: 7,8 d) 7,. Θ. Θ. log ( ). Θ log ( ). log... De e vem: { 7 ς\. }, ou seja, ], [ 7 7 7,,9,98 log,,8, log, A parir de de abril, o número de amigos de Bia supera o de Ana.

22 Noções de Financeira M9 TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Noções de Financeira (FGV-SP) O gráfico abaio represena os lucros anuais, em reais, de uma empresa ao longo do empo. reais Caderno de Aividades (ENEM) As margarinas e os chamados cremes vegeais são produos diferenes, comercializados em embalagens quase idênicas. O consumidor, para diferenciar um produo do ouro, deve ler com aenção os dizeres do róulo, geralmene em leras muio pequenas. As figuras que seguem represenam róulos desses dois produos. Podemos afirmar que: a) o lucro da empresa em foi % superior ao lucro de. b) o lucro da empresa em foi % superior ao lucro de. c) o lucro da empresa em foi % inferior ao de. d) o lucro em foi 9% do lucro obido pela empresa no ano anerior. d) o lucro obido em superou em 7% o do ano anerior. ano 9% do lucro obido em é,9 9 (reais). Logo, o lucro em foi 9% do lucro obido no ano anerior. Peso líquido g MARGARINA % de lipídios valor energéico por porção de g: 9 kcal Peso líquido g CREME VEGETAL % de lipídios valor energéico por porção de g: kcal Não recomendado para uso culinário Uma função dos lipídios no preparo das massas alimenícias é orná-las mais macias. Uma pessoa que, por desaenção, use g de creme vegeal para preparar uma massa cuja receia pede g de margarina, não oberá a consisência desejada, pois esará uilizando uma quanidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproimadamene: a) o riplo d) um erço b) o dobro e) um quaro c) a meade As quanidades de lipídios em g de creme vegeal e g de margarina são, respecivamene, % 9 g 7 g e % 9 g g. Uma pessoa que, inadveridamene, uiliza creme vegeal em vez de margarina esará usando Λ, % % da quanidade ne- 7 g 7 g cessária de lipídios. A melhor aproimação desse resulado é a meade. (UFPE) Quando o preço da unidade de deerminado produo diminuiu %, o consumo aumenou % durane cero período. No mesmo período, de que percenual aumenou o faurameno da venda dese produo? a) 8% b) % c) % d) % e) % O faurameno será de,9 9,,8 do faurameno anerior. Logo, aumenou em 8%.

23 M9 Noções de Financeira Em quesões como a, a resposa é dada pela soma dos números que idenificam as alernaivas correas. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correa(s): () Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias de rabalho e oura pessoa B rabalha com velocidade % maior do que A, enão B faz a mesma peça em dias de rabalho. () Uma empresa dispunha de brindes para disribuir igualmene enre sua equipe de vendedores, mas como no dia da disribuição falaram vendedores, a empresa disribuiu os brindes igualmene enre os presenes, cabendo a cada vendedor um brinde a mais. Logo, esavam presenes vendedores no dia da disribuição. () Se reduzindo o preço em % se obém, enão deve sofrer um acréscimo de % para se ober novamene. (8) A soma de dois números naurais é 9. Enão o valor mínimo da soma de seus quadrados é.. Correa Dias Velocidade 9 v,v. Correa Θ 9, v v Θ dias ( ) ( ) ( ) ( ) 8 78 (não serve) Esavam presenes: 8 vendedores.. Incorrea Sendo o preço, emos: % Θ, Θ,8 Esabelecendo uma regra de rês, emos:,8 %, 8 a a a % O acréscimo deverá ser de %. 8. Incorrea Se e são números naurais ais que 9, emos: O valor mínimo de não é e sim. Porano: (UFPE/UFRPE) A população de pobres de um cero país, em 98, era de, correspondendo a % da população oal. Em, esse número aumenou para, correspondendo a % da população oal. Indique a variação percenual da população do país no período. A população de pobres era igual a: 98 Θ, Θ 7, A variação percenual é: (7 ), ou % (UFG) Um cliene encomendou cenos de quibe e cenos de empadinha de camarão, cujo cuso oal era de R$,. Quando foi pagar a mercadoria, o cliene pediu um descono e o comerciane deu % de descono no preço do ceno do quibe, mas não deu descono no ceno da empadinha de camarão. Com o descono dado, o cliene pagou R$ 87, pela mercadoria. Calcule: a) o descono obido pelo cliene no valor da cona, em porcenagem; b) o preço pago pelo cliene nos cenos do quibe e da empadinha de camarão. a) O descono d é igual a: d 9 87 d 8 d Λ, ou d Λ % b) Os preços dos cenos de quibe q e da empadinha de camarão c saisfazem o sisema: q c, cuja solução é q e c. (,9)q c 87 Sendo % de,, 9,,, o cliene pagou pelo ceno do quibe:,, R$, e R$, pelo ceno da empadinha de camarão. 7 (PUC-RS) O valor de um produo foi acrescido de quaro vezes o da época de seu lançameno no mercado. A porcenagem que o valor aual represena, em relação ao preço inicial, é de: a) % b) % c) % d) % e) % Seja o valor de lançameno. O valor aual é de, que represena um aumeno de % em relação a.

24 8 (Unesp-SP) Um advogado, conraado por Marcos, consegue receber 8% de uma causa avaliada em R$, e cobra % da quania recebida, a íulo de honorários. A quania, em reais, que Marcos receberá, desconada a pare do advogado, será de: a), c), e) 8, b), d), 8% da causa:,8 9 % % 8%:,8 9 Ele receberá R$,. Noções de Financeira A redução percenual é igual a:,, 9,, %,, b) A arrecadação com preço inicial de R$, é: 8 9, R$ 9, Se o valor arrecadado é R$ 9,, o percenual de perda é: 9 9,,% 9 9 M9 9 (MACK-SP) Numa loja, uma caia com barras de chocolae esá à venda com a inscrição Leve, pague. O descono aplicado ao preço de cada barra corresponde, em porcenagem, a: a) 8 d) b) e) c), (UFSC) Um quadro cujo preço de cuso era R$, foi vendido por R$ 8,. Jusifique se o lucro obido na venda, sobre o preço de cuso, foi de 8%. O lucro é de: 8,, 8, A porcenagem do lucro sobre o preço de cuso é de: 8,, %, Suponhamos que, sem descono algum, o preço de uma barra seja reais. Assim, sem descono, o preço de barras seria reais. Com o descono, o preço de barras passa para reais. Há, porano, um descono de reais em cada reais. O descono é dado por, o que corresponde a %. (UFRJ) No gráfico abaio, represena a quanidade de baaas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Cusódio, em um dia de feira, e represena o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A parir das horas, o movimeno diminui e o preço do quilograma de baaas ambém diminui. (R$) (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumenos sucessivos, de % e %. De quanos por ceno foi o aumeno oal dessa mercadoria? a) % b) % c) % d) % e) % Seja o preço inicial: (,)(,) 9, 9,, (,) Sofreu um aumeno oal de %. 9 7 a) Calcule a redução percenual do preço do quilograma de baaas a parir das horas. b) Se o preço não diminuísse, eria sido arrecadado um valor V na venda de 8 kg. Deermine o percenual de V que corresponde à perda causada pela redução do preço. a) Anes das h, a redução é de: 7, reais/kg A parir das h, a redução é de: 9 7 8,9 real/kg 8 8 (kg) (PUC-SP) Em uma indúsria é fabricado cero produo ao cuso de R$ 9, a unidade. O proprieário anuncia a venda desse produo ao preço uniário de reais, para que possa, ainda que dando ao comprador um descono de % sobre o preço anunciado, ober um lucro de % sobre o preço uniário de cuso. Nessas condições, o valor de é: a) b) 8 c) d) e) Do enunciado, o preço de venda é,9 9, e o lucro é de, 9 9. Logo:,9 9, 9 9,9,

25 M9 Noções de Financeira (Faec-SP) Em cero aparelho elerônico, % do cuso oal corresponde a componenes imporados. Se o preço desses componenes sofrer um acréscimo de %, e o preço dos demais sofrer um acréscimo de %, o cuso oal do aparelho será acrescido de: a) % b) % c) % d) % e) 8% Seja c o cuso oal do aparelho. A abela seguine mosra os cusos dos componenes imporados e nacionais anes e depois do acréscimo. Anes do acréscimo Depois do acréscimo imporados %c, 9 %c nacionais 8%c, 9 8%c cuso oal %c, 9 %c, 9 8%c O cuso oal, após o acréscimo, passou a ser, 9 %c, 9 8%c,c,88c,c. Porano, houve um acréscimo de %. (UFES) Em uma safra, um produor de morangos em um cuso de R$, por caia produzida, relaivo a semenes, defensivos agrícolas, embalagens ec., além de uma despesa fia de R$,, relaiva ao aluguel do erreno onde produz, ao maquinário e aos salários de empregados. Nessa safra: a) quanas caias de morangos poderiam ser produzidas aplicando-se R$,? b) se forem produzidas caias, qual deverá ser o preço de venda de cada caia para se ober um lucro oal de R$,? (FGV-SP) a) Um elevisor, cujo preço à visa é R$,, esá sendo vendido, a prazo, em parcelas mensais, sucessivas e iguais a R$,, sem enrada. João Auguso em R$, aplicados à aa de % a.m., pelo criério de juro composo, mas preferiu comprar o elevisor a prazo. Levo o elevisor sem gasar nada agora e, ainda, manenho o dinheiro aplicado. Pagarei as parcelas com reiradas mensais da aplicação, pensou ele. João Auguso raciocinou correamene? Haverá dinheiro suficiene na aplicação para saldar a úlima parcela do financiameno? b) Cera loja em como políica de vendas a crédio eigir, como enrada, % do valor à visa da mercadoria e o resane a ser liquidado no final de meses. Nesse caso, o saldo devedor é acrescido de % do valor à visa da mercadoria, a íulo de despesas adminisraivas. Qual é a aa anual de juros simples cobrada por essa loja? a) Mês Monane parcela (em R$),, 9,, 7, 7, 9,,,, 9,, 9,9 Consideramos que a primeira parcela deverá ser paga eaamene um mês após a daa da compra, condição que não foi mencionada no enunciado. Porano, João Auguso não raciocinou correamene, pois não haverá dinheiro suficiene na aplicação para saldar a úlima parcela. b) Sendo o valor à visa da mercadoria, o acréscimo sobre o saldo devedor,8 será igual a,., A aa rimesral de juros é, porano,, %., 8 A aa anual de juro simples é 9,% %. a) A função que represena o cuso é: c(),n (sendo n número de caias) Aplicando-se R$,, emos:,n,n n 7 caias b) Se forem produzidas caias, o cuso oal de produção será, 9 R$,. Para ober R$, de lucro, será necessário arrecadar R$, e, nesse caso, o preço de venda de cada caia deverá ser : R$,7. 7 (UESPI) Um invesidor aplicou % do seu capial a juro simples de,% a.m., durane um ano. O resane foi aplicado a juro simples, durane um ano, à aa de % a.m. Se o oal de juros recebidos foi R$ 77,, qual era o capial do invesidor? a) R$, d) R$ 8, b) R$, e) R$ 9, c) R$ 7, J C i Θ J,C 9, 9 Θ J,C J C i Θ J,7C 9, 9 Θ J,8C Logo: J J 77,C,8C 77,C 77 C R$ 8,

26 8 (UFLA-MG) João fez um emprésimo de R$, a juro de % a.m., incorporado mensalmene ao monane da dívida. Um mês depois João pagou R$, e, dois meses após esse pagameno, liquidou seu débio. Qual o valor do úlimo pagameno? Após mês João devia: 9, R$, Pagou R$,, logo ficou devendo: R$, Após mês: 9, R$ 8, Após meses: 8 9, R$ 7, Para liquidar o débio, João pagou R$ 7,. Noções de Financeira M9 (IBMEC) Invesindo-se um capial a uma aa de juros mensais de 7%, em regime de capialização composa, em quano empo o capial inicial dobrará? Considere: log,; log,7,. a) meses c) meses e) meses b) meses d) meses Invesindo um capial, a 7% de juros mensais, após (meses) eremos: 9 (,7) O empo para que o capial dobre é igual a: log, 9 ( 7, ) log 7, log 7,, meses 9 (UEM-PR) A aa de juros de uma aplicação financeira é de % a.m.; aplicando-se R$, a essa aa, é incorreo afirmar que: a) após meses, haverá R$,. b) após meses, haverá mais que R$,. c) depois de um mês, haverá R$,. d) se, no final de cada mês, forem reirados R$,, após meses o máimo que poderá ser sacado será R$,. e) após meses, o capial inicial erá sofrido um acréscimo de mais de 8%. a) Incorreo M C( i) M 9 (,) M 9, M R$, b) Correo M C( i) Θ M 9 (,) Θ M R$, c) Correo M (,) Θ M R$, d) Correo Mês Monane (R$) Saldo (R$,),,,,,,,,,,, e) Correo M 9, Θ M 8, O acréscimo é de: 8,,8 Θ 8,% (UFMT) O senhor Silva planejou passar, com sua família, as fesas naalinas no Pananal de Mao Grosso em uma pousada que cobra uma diária de R$,, inclusos as refeições e os passeios urísicos. Fez uma reserva por 7 dias, devendo efeuar o pagameno anecipado no dia //. Visando não sobrecarregar o orçameno do mês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras:. deposiar R$, no dia //, em uma aplicação especial com aa de juro composo de,% a.m., a serem resgaados somene em //;. acumular bônus pelas compras efeuadas no carão de crédio, podendo resgaá-los, em //, na forma de duas diárias. A parir dessas informações, é possível afirmar que o monane reservado pelo senhor Silva com essas maneiras de poupar será: Admia: (,),8. a) suficiene para pagar a reserva mas não lhe sobrará para gasos eras. b) suficiene para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$, para gasos eras. c) insuficiene e lhe falarão R$,. d) suficiene para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$, para gasos eras. e) insuficiene e lhe falarão R$,. Pelos dados, emos:. aplicação de R$, em meses a juro composo de,% a.m. M 9 (,) M 9,8 M R$,. diárias Θ 9, R$ 9, Valor da viagem: 7 9, R$, Valor obido pela poupança:, 9, R$, Logo, sobrarão:,, R$, 7

27 M9 Noções de Financeira (FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juro de % a.a., composo anualmene. Uilizando para os cálculos as aproimações fornecidas na abela, pode-se esimar que uma aplicação de R$, seria resgaada no monane de R$, após: a) mais de século d) b) século e) c) de século log,,7, O monane resulane de uma aplicação de R$, a juro de % a.a., composo anualmene, durane anos, é dado por: M 9 ( %) Dessa forma: 9 (,) Θ, log, log Θ 9 log 9 (log log ) Θ 9 (, ) 9 anos, Porano, de século. de século de século (Fuves-SP) João, Maria e Anônia inham, junos, R$,. Cada um deles invesiu sua pare por um ano, com juro de % a.a. Depois de crediados seus juros no final desse ano, Anônia passou a er R$, mais o dobro do novo capial de João. No ano seguine, os rês reinvesiram seus capiais, ainda com juro de % a.a. Depois de crediados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capial de Anônia era igual à soma dos novos capiais de Maria e João. Qual era o capial inicial de João? a) R$, d) R$, b) R$, e) R$ 8, c) R$, Sejam j, m e a os capiais iniciais, em reais, de João, Maria e Anônia, respecivamene. Inicialmene, de acordo com o enunciado, em-se: j m a Após um ano, em-se:,a,j E após dois anos, em-se:,a,j,m Θ a j m Assim: a a Θ a Porano:, 9,j Θ j (UFRJ) O senhor Feliciano conraiu, em um banco, um emprésimo de R$, com juro de % a.m., ou seja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescenando-se % ao anigo. Começou a pagar a dívida eaamene um mês após ê-la conraído. Pagou, religiosamene, R$, por mês, durane anos. a) Calcule o saldo devedor após o primeiro pagameno. b) Indique, das opções a seguir, a que represena a siuação do senhor Feliciano decorridos os anos. I. A dívida foi quiada. II. O senhor Feliciano deve ao banco menos de R$,. III. O senhor Feliciano deve ao banco algo enre R$, e R$,. IV. O senhor Feliciano deve ao banco mais de R$,. V. O banco deve dinheiro ao senhor Feliciano. a) O saldo devedor após o pagameno da primeira parcela é: S 9, Θ S R$, b) O saldo devedor do senhor Feliciano crescerá mais do que R$,, a cada mês. Em anos, a dívida será superior a 9 R$,. Porano, a opção IV é a correa. O senhor Feliciano deve ao banco mais de R$,. 8 (UFV-MG) Uma pessoa deposia uma quania em dinheiro na cadernea de poupança. Sabendo-se que o monane na cona, após meses, é dado por M() C 9,, em que C é uma consane posiiva, o empo mínimo para duplicar a quania deposiada é: a) anos e 8 meses d) 9 anos e meses b) 7 anos e meses e) anos e meses c) 8 anos e meses Para duplicar a quania deposiada devemos er: C 9, 9 9 C Θ, 9 Θ meses 8 anos e meses

28 Progressões M TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO FTD TERCEIRÃO TERCEIRÃO FTD Progressões (Unifor-CE) Considere a seqüência (a n ), na qual n 7 Μ {} e a, a, a, a 8 ec. O ermo geral dessa seqüência é um dos que esão dados abaio. Qual deles? a) a n n d) a n n n b) a n n n e) a n n c) a n n a) a n n a a (não saisfaz) b) a n n n a 9 9 a 9 9 (não saisfaz) c) a n n a 9 a 9 a 9 (não saisfaz) d) a n n n a 9 9 a 9 9 a 9 9 a e) a n n (não saisfaz) Logo, o ermo geral é a n n n. (UERN) A seqüência de números posiivos (,,,...) é uma PA, cujo o ermo é: a) 9 b) 9 c) d) e) (,,,...) Θ PA de números posiivos ( ) ± 9 (não convém) PA: (,,,...) a ; r a a 9r 9 9 Ι a 9 Caderno de Aividades (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência definida por: f() f(n ) f(n), enão f() é: a) 97 b) c) d) e) 7 (Unifesp-SP) A soma dos ermos que são números primos da seqüência cujo ermo geral é dado por a n n, para n naural, variando de a, é: a) b) c) 8 d) e) Os ermos da seqüência a n n, < n < (n 7 Μ) são: a 9 a 9 8 a 9 a 9 a 9 7 A soma dos ermos que são primos é: a a a 7 f() n Θ f() f() n Θ f() f() 7 n Θ f() 7 a (,, 7,,...) PA r Como a f(); a f(); a f(), emos: f() a Θ a a r a 9 f() 9

29 M Progressões (UFRN) Numa PA de ermo geral a n, em-se que a a 8 a a O o ermo dessa progressão é: a) b) c) d) e) a a 8 a a Θ a r a 8 a r a r r 8 Θ r e a () a a Θ r 8 r r 8 (Vunesp-SP) Em de junho de, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu fregueses. A parir daí, o número de fregueses que passaram a freqüenar a pizzaria cresceu em PA de razão, aé que aingiu a coa máima de pessoas, a qual em se manido. O número de sábados que se passaram, ecluindo-se o sábado de inauguração, para que a coa máima de fregueses fosse aingida pela primeira vez, foi: a) d) 8 b) e) c) 7 Do enunciado, emos a PA (,,..., ), de razão. Assim o número n de sábados que se passaram desde a inauguração aé aingir a coa máima pela primeira vez pode ser obido por: a n a (n )r (n ) 9 n 7 Ecluindo-se o sábado da inauguração, o número de sábados que se passaram para que a coa máima fosse aingida pela primeira vez foi. (PUC-SP) Considere as seqüências (,, 7,,..., 7) e (8,,,,..., ). O número de ermos comuns a essas duas progressões é: a) b) c) 7 d) 8 e) 9 Admiindo que as duas seqüências são progressões ariméicas, emos: (,, 7,,,, 9,,, 8,,, 7,,,, 9,,, 8,,, 7) e (8,,,,, 8,,,,, 8,,,,, 8,..., ) Os ermos comuns são:, 8,, e. Assim, o número de ermos comuns a essas duas progressões é. 9 (UEL-PR) Inerpolando-se see ermos ariméicos enre os números e 98, obém-se uma PA cujo ermo cenral é: a) b) c) d) e) 7 (,, 98) 7 ermos a a 8r a 9 a r 98 n 9 8r 88 r? r 7 (UFPE/UFRPE) Nos quilômeros e 9 de uma rodovia esão insalados elefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e enre esses quilômeros, preende-se insalar ouros elefones de emergência. Se os ponos adjacenes de insalação dos elefones esão siuados a uma mesma disância, qual é essa disância, em quilômeros? Termo cenral: a a a r 9 Ι a Devemos er: a n a (n )r 9 ( )r r 8 Porano, a disância é igual a 8 km.

30 (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$, por mês. Riquinho, que é muio espero, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$,, gosaria de receber um pouquinho a cada dia: R$, no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$, a mais que no dia anerior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quano, em um mês com dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$,. Em dias Riquinho receberá:... (PA de razão ) A soma desses ermos é: S n ( ) a a n n ( ) S 9 S ou S R$, Porano, Riquinho receberá a mais: R$, Progressões M (UFMA) Chicão, professor do DEMAT/UFMA, comprou um compuador e conraiu uma dívida no valor de R$,, que deverá ser paga em presações mensais em PA. Após o pagameno de 8 presações, há um saldo devedor de R$ 9,. Qual o valor da primeira presação? S ( ) a a 9 Θ (a a ) Θ a a ( ) a a S 8 Θ 9 9(a a 8 ) Θ a a 8 9 Daí, vem: a a a r a r a 7r 9 a 7r 9 r r Logo: a r Θ a Θ a A primeira presação é igual a R$,. (Faec-SP) Dois viajanes parem junos, a pé, de uma cidade A para uma cidade B, por uma mesma esrada. O primeiro anda quilômeros por dia. O segundo anda quilômeros no o dia e daí acelera o passo, em meio quilômero a cada dia que segue. Nessas condições, é verdade que o segundo: a) alcançará o primeiro no 9 o dia. b) alcançará o primeiro no o dia. c) nunca alcançará o primeiro. d) alcançará o primeiro anes de 8 dias. e) alcançará o primeiro no o dia. O primeiro viajane anda km por dia. Ao final de n dias, erá andado (n) km. O segundo viajane anda, por dia, disâncias que, em km, são ermos da PA (;,; ;...; a n ;...), em que a n (n ) 9, Θ a n,n 9, Ao final de n dias, erá andado: (, n 9, )n 9, n, n O segundo alcançará o primeiro quando 9, n, n n Θ,n,n Θ n 9, pois n.. (Vunesp-SP) Uma pessoa resolve caminhar odos os finais de arde. No o dia de caminhada, ela percorre uma disância de meros. No o dia, ela caminha o dobro do que caminhou no o dia; no o dia, caminha o riplo do que caminhou no o dia, e assim por diane. Considerando o período do o ao o dia, ininerrupos, ela caminhou um oal de 7 meros. a) Enconre a disância percorrida no o dia. b) Verifique quano ela erá percorrido no o dia. Do enunciado, emos a PA: (,,,...) a) a, a e S 7 ( a a ) ( ) S 7 Θ 7 m b) No o dia, ela erá percorrido: a Θ a (7) m