1 Distribuições discretas de carga

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1 Eletromagnetismo - Lista de Recuperação: Parte 1 Data para entrega: 16/07 (sugerida), 23/07 (limite) 1 Distribuições discretas de carga Conceitos O campo elétrico produzido por uma carga pontual q à uma distância r é E(r) = kq ˆr (1) r2 onde ˆr é um vetor unitário que aponta da posição de q para o ponto r (o ponto onde estamos calculando E). Se pusermos uma carga q 0 em r, a força que esta carga sofrerá será F = q 0 E. Para os problemas abaixo, considere o seguinte sistema: P 2 P 1 b a q 1 q 2 a x Figura 1 Problemas (1) Esboce as linhas de campo para os seguintes casos: (a) q 1 = q 2 = +q (b) q 1 = +q, q 2 = q (c) q 1 = +2q, q 2 = +q (2) Para q 1 = q 2 = q, calcule o ponto ao longo da linha y = 0 onde E = 0. Explique porque sua resposta faz sentido intuitivamente. (3) Para q 1 = q 2 = q, calcule o campo elétrico no ponto P 1. Não se esqueça que E é um vetor e portanto é fundamental analisar a sua direção e sentido, algo que pode ser feito usando argumentos de simetria. (4) Repita o procedimento do exercício anterior para o caso onde q 1 = q e q 2 = q. (5) Para q 1 = 2q e q 2 = q, calcule o campo elétrico no ponto P 2. Dica: calcule primeiros as componentes x e y de cada campo e em seguida calcule o campo total somando componente a componente. 1

2 2 Lei de Gauss Conceitos Fluxo elétrico Para entender a lei de Gauss é necessário primeiro entender o conceito de fluxo de campo elétrico. Esse conceito foi emprestado da mecânica dos fluidos. Pense, por exemplo, num jato de ar atravessando uma certa superfície, como na figura (a) abaixo. O fluxo Φ é definido como sendo a quantidade de ar que passa pela superfície. Note que ele pode aumentar tanto aumentando a quantidade de ar, quanto aumentando a área. No entanto, podemos ter também uma situação como a da figura (b), onde a superfície escolhida está inclinada de um ângulo θ com relação à direção do fluxo. Para sanar este tipo de problema define-se a normal à superfície, ˆn, como um vetor unitário (módulo = 1), cuja direção é perpendicular à superfície. A n Θ (a) (b) Figura 2 Estas definições são válidas para qualquer campo, seja ele o fluxo de ar, seja ele o campo elétrico (sem dúvida, o conceito é muito mais abstrato no segundo caso). Uma possível definição de fluxo elétrico através de uma superfície S seria então: Φ = (E ˆn)A = EA cos θ (2) Esta definição, apesar de aplicável em certos casos, possui um grande defeito: ela não leva em conta a possibilidade do campo elétrico mudar em magnitude e/ou direção ao longo da superfície. Ou, de forma equivalente, do campo ser constante mas a superfície ser irregular, com a normal ˆn mudando de um ponto para ponto. Considere, por exemplo, o problema na figura 3 abaixo. O campo elétrico produzido pela carga q [vide. Eq. (1)] varia com 1/r 2. Logo abaixo da carga e nas quinas da superfície, este valor será certamente diferente. Ou seja, a Eq. (2) não se aplica. q A Figura 3 A idéia então é a seguinte: recortarmos nossa superfície em pequenos pedaços de área da. Em cada pedaço tanto E quanto ˆn devem ser aproximadamente constantes e, portanto, 2

3 podemos aplicar a Eq. (2) para escrever o (pequeno) fluxo através desta pequena superfície: dφ = (E ˆn) da O fluxo total pode então ser obtido integrando esta equação ao longo da superfície S (lembre-se: integral = soma das partes): Φ(S, E) = E ˆn da (3) S Para ser enfático, eu escrevi Φ(S, E) para lembramos que é o fluxo através da superfície S devido ao campo E; cada S tem um fluxo; cada fluxo depende de E. Voltando para o caso da Fig. 2(a), se o campo for homogêneo ao longo da superfície obtemos Φ = E da = EA Note: da é simplesmente a soma dos pequenos pedaços de área da, que é precisamente a área total (como os trapos numa colcha de retalhos). Um último detalhe: olhe para a figura 2(b). Eu podia muito bem ter escolhido ˆn no outro sentido. Não há nada de errado com isso. De fato, todas as superfícies abertas padecem deste mal. O mesmo já não acontece com superfícies fechadas, pois nelas ou ˆn está apontando para fora ou para dentro; quando a superfície é aberta esta idéia de para dentro ou para fora não existe. Se você está na dúvida do que é uma superfície fechada ou uma superfície aberta, então lá vai: um saquinho de batatas fritas fechado é uma superfície fechada; depois de aberto, ele se torna uma superfície aberta! Para superfícies fechadas usamos sempre a mesma convenção: Em superfícies fechadas, ˆn aponta sempre para fora da superfície. Quando falamos de superfícies fechadas colocamos um círculo na integral da Eq. (3): Φ(S, E) = E ˆn da (4) Ele serve para lembrar-nos de que S é fechada. Lei de Gauss Enunciado: Dada uma superfície fechada S, então S Φ(S) = Q dentro de S ɛ 0 (5) Ou seja, o fluxo depende apenas da carga total dentro da superfície. Se a superfície não for fechada, não significa que o fluxo seja nulo; significa simplesmente que a lei de Gauss não nos diz nada (sempre podemos calcular o fluxo diretamente da definição na Eq. (4) o que certamente pode ser uma conta bem difícil). A propósito, a constante ɛ 0 está relacionada com a constante k da Eq. (1) através da relação k = 1 4πɛ 0. Exemplo: na figura 4 abaixo uma esfera engloba duas cargas de 1 µc e 2 µc. Na figura (a) a superfície é fechada e podemos aplicar a Eq. (5) obtendo 2 µc 1 µc Φ = = 1 µc ɛ 0 ɛ 0 Note que a carga fora da superfície não contribui em nada: a idéia é que suas linhas de campo entram na esfera por um lado e saem pelo outro de tal forma que, no total, o fluxo é nulo. Já na figura (b) substituímos a esfera por outra com um orifício; a superfície agora é aberta e não podemos usar a Eq. 5. Conclusão: não podemos usar a lei de Gauss. 3

4 C C 2ΜC 2ΜC 1ΜC 1ΜC (a) Superfície fechada: Φ = Q dentro ɛ 0. (b) Superfície aberta: não sei dizer. Figura 4: Lei de Gauss. O círculo representa uma esfera englobando as cargas 1 µc e 2 µc. Usando a lei de Gauss para calcular E O interessante da lei de Gauss [Eq. (5)], é que ela pode ser usada para calcular o campo elétrico em situações especiais. Por especiais, eu quero dizer situações extremamente simétricas. Para ver isso, juntemos as Eqs (4) e (5): E ˆn da = Q dentro de S (6) ɛ 0 S Em geral, dessa fórmula, pouco pode ser dito sobre E. Por exemplo (mudando completamente de assunto): se 5 0 f(x) dx = 2, qual é f? Não há como saber; existem uma infinidade de curvas cuja área de 0 à 5 vale 2. Agora, se por alguma razão sabemos que f é constante, então teríamos 5 0 f(x) dx = f 5 0 dx = f(5 0) = 2 f = 2 5 A mesma idéia se aplica ao nosso problema. O que devemos fazer para que E saia da integral na Eq. (6)? O campo elétrico é um vetor e, portanto, por constante realmente queremos dizer que tanto sua direção quanto sua magnitude não variem. Note: dado uma certa distribuição de cargas, nós sempre podemos inventar uma infinidade de superfícies de Gauss; se alguma delas é útil ou não, é outra história. O segredo então é escolher uma boa superfície de Gauss. Vejamos o significado de boa com um exemplo. Exemplo: Considere uma carga pontual q na origem. Para calcularmos o campo produzido por essa carga, a boa superfície de Gauss, S, é uma superfície esférica de raio r centrada na origem. O campo produzido por q é radial, assim como a normal de S. Por isso, E ˆn = E. Além disso, o campo depende apenas da distância r, que é a mesma ao longo de S. Com esses dois passos podemos escrever E ˆn da = E da = E da = EA = E(4πr 2 ) 4

5 Agora, e só agora, usamos a lei de Gauss [vide Eq. (6)]: E(4πr 2 ) = Q dentro ɛ 0 = q ɛ 0 E = q 4πɛ 0 r = kq r Em geral a boa superfície de Gauss é tal que: (i) E ˆn e (ii) E é constante ao longo de S. Problemas (1) (a) Considere um cubo de aresta a com uma carga q exatamente no seu centro. Calcule o fluxo através do cubo. (b) Considere o problema da figura 5(a). Calcule o fluxo através da superfície. Vá com calma: a superfície é aberta e portanto a lei de Gauss não vale. Dica: use o resultado do item anterior e argumentos de simetria. q 2Q a 2 S3 Q a Q S2 a S1 S4 (a) Problema 1(b) (b) Problema 1(c) Figura 5: Problema 1 (c) Calcule o fluxo através das superfícies S 1,..., S 4 na figura 5(b). A figura representa um corte transversal das superfícies, que são todas fechadas. (d) (Desafio) Considere uma pirâmide com quatro faces e uma carga q colocada na sua base, exatamente no centro. Calcule o fluxo através de uma das faces da pirâmide. [O desafio não está na conta, que é muito simples; ele está no raciocínio: tente imaginar alguma superfície fechada tal que você possa usar argumentos de simetria.] (2) Considere uma placa quadrada muito fina, de área A, espessura d (pequena) e carregada com uma carga q, assim como na figura 6 abaixo. A densidade superficial de carga é definida como sendo σ = q A ( quantos Coulombs por metro quadrado ). A placa é condutora fazendo com que as cargas se distribuam próximas às duas superfícies (inferior e superior) não é necessário se preocupar com as laterais pois a placa é muito fina. Nos cálculos, suponha que a placa seja suficientemente grande para que efeitos de borda possam ser ignorados. (a) A superfície de Gauss pode ser tanto um cilindro quanto um paralelepípedo, contanto que sejam perpendiculares à superfície da placa. Explique porque ambas as escolhas são equivalentes. (b) O campo elétrico produzido pela placa vale (sendo ˆk um versor para cima) σ ˆk para z > d 2ɛ 0 E = σ (7) ˆk para z < d 2ɛ 0 5

6 S 1 S 2 S 3 Figura 6: Placa infinita condutora. Obtenha este resultado usando uma superfície de Gauss disposta como a superfície S 1 na figura 6; ou seja, simétrica com relação ao centro da placa ( metade para cima e metade para baixo ). Qual o campo elétrico dentro da placa? (c) Repita o cálculo usando a superfície S 2 na figura 6. O resultado deve ser o mesmo! (3) Suponha agora que substituímos esta placa por outra não condutora, carregada de forma homogênea com uma densidade volumétrica de carga ρ. Seja d a espessura da placa. (a) Calcule o campo elétrico fora da placa (z > d) sem usar a lei de Gauss, apenas relacionando σ com ρ na Eq. (7). (b) Ainda se tratando da placa maciça não-condutora, calcule o campo elétrico dentro da placa (entre d z d). Dica: use a lei de Gauss com a superfície S 3 (figura 6). (4) Considere duas placas paralelas como na figura abaixo; uma delas com densidade +σ e a outra com densidade σ, separadas por uma distância d. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Figura 7: Duas placas paralelas. 6

7 3 Potencial eletrostático e energia potencial eletrostática Conceitos Comecemos esclarecendo algo muito importante: Potencial eletrostático (V ) Energia potencial eletrostática (U) É a mesma distinção que fazemos entre campo elétrico e força elétrica. Um conjunto de cargas produz um campo elétrico E(r), uma entidade estranha que perambula pelo espaço; se colocamos uma carga q 0 em um certo ponto do espaço, então a força que ela sofre é q 0 E(r). Mesma idéia: um conjunto de cargas produz um potencial eletrostático V (r) tal que, ao colocarmos uma carga q 0 num certo ponto, ela possuirá energia U = q 0 V (r). Campo elétrico é força por unidade de carga. Potencial eletrostático é energia por unidade de carga. O potencial eletrostático (ou potencial para os mais íntimos) produzido por uma carga pontual é V (r) = kq (8) r Sua unidade é o Volt (V). Dica de sucesso: r significa distância; ele é sempre um número positivo. O potencial é sempre definido à menos de uma constante. Um potencial de V não significa nada. O importante é como o potencial varia de um ponto para o outro. Na fórmula (8) nós convencionamos tomar V ( ) = 0. Se uma partícula de carga q 0 se aproximar da partícula de carga q, a energia do sistema será U = q 0 V = kq 0q (9) r A unidade de energia é em Joules, como de costume. O que é interessante desta abordagem é o princípio da superposição: se alguma distribuição complicada de carga produz um potencial V (r) então, ao colocarmos uma carga q 0 no ponto r, a energia dessa carga será sempre U = q 0 V (r). O potencial está intimamente relacionado com o fato do campo elétrico ser uma grandeza conservativa (na eletrostática). A figura 8 mostra o que isso significa: suponha que há um campo elétrico qualquer nessa região. Se levarmos uma carga q 0 do ponto A ao ponto B sua energia vai mudar. Ser conservativo significa que essa mudança não depende do caminho. Exemplo: o campo gravitacional é conservativo; a força de atrito não. Caminho 1 A Caminho 2 Figura 8: Significado de um campo conservativo. 7

8 Acontece também que campo elétrico e potencial eletrostático estão intimamente relacionados. Se soubermos o potencial então podemos calcular o campo através da relação E x = V x E y = V y E z = V z (10) De forma mais compacta escrevemos E = V = ( V x, V y, V ) z (11) Esse é o gradiente de V. O triângulo de ponta-cabeça (chamado nabla ) é para nos lembrar de, diferença, derivada, etc. (eu não sei quem teve essa idéia, mas confesso que eu adoro esse símbolo). Dica de sobrevivência: cuidado com o sinal de (-)!! O campo elétrico aponta de cargas positivas para cargas negativas. O potencial é maior perto de cargas positivas. O campo aponta de potencial maior para potencial menor. Se indo de x 1 para x 2 o potencial aumentou, então o campo será proporcional ao negativo dessa mudança. Mais uma vez: cuidado com o sinal! Por outro lado, se sabemos E podemos calcular o potencial integrando (derivadas e integrais são operações inversas). V (B) V (A) = B A E dl (12) A idéia por trás dessa integral é: eu escolho um caminho, como na figura 8. Ao longo desse caminho há um vetor dl que me dá a direção desse caminho. Em cada ponto eu vejo o produto escalar de E com esse vetor e somo essas contribuições. Problemas (1) Voltemos à figura 1. (a) Tomando o potencial eletrostático como sendo nulo no infinito, calcule o potencial nos pontos P 1 e P 2 para q 1 = q e q 2 = 2q. Assuma também que a = b. Onde o potencial é maior? (b) Suponha que um elétron seja trazido do infinito até o ponto P 1. Qual a sua energia potencial? E se ele tivesse sido trazido para o ponto P 2? (2) Ainda falando da figura 1. (a) Calcule a energia eletrostática armazenada no sistema em termos de q 1 e q 2. (b) Se q 1 e q 2 tem o mesmo sinal (ambas positivas ou ambas negativas) a energia deve ser positiva. Se eles tem sinais opostos, a energia deve ser negativa. Explique intuitivamente o que isso significa. Argumente em termos do trabalho que você (ou um agente externo) teve que realizar para montar o sistema dessa forma. Em cada caso, o que acontece com as cargas se o mecanismo de sustentação que as mantém no lugar por alguma razão se romper? (c) Um átomo de hidrogênio possui um próton e um elétron. Seria uma situação parecida com a da figura 1 quando q 1 = e e q 2 = e (onde e = 1, C). A energia eletrostática armazenada vale 2, J; ela é negativa. As cargas se atraem e portanto deve existir algum mecanismo de sustentação que impede o próton e o elétron de colidirem um com o outro; ele é conhecido como princípio da incerteza de Heisenberg e é um fenômeno puramente quântico que não pode ser explicado através da 8

9 física clássica. É interessante notar que essa relação entre atração e energia negativa é na verdade a uma regra geral (vale para moléculas, sólidos, etc): Estados ligados da matéria possuem energia negativa. Qual o trabalho que você tem que realizar para ionizar o átomo de hidrogênio; ou seja, separar o próton do elétron? (Nenhuma conta necessária) (d) Agora pense no núcleo de um átomo, por exemplo o urânio. Esqueça momentaneamente dos elétrons e pense somente nos prótons e nêutrons empacotados no núcleo. Seguindo o raciocínio do item anterior, para que essas partículas no núcleo possam estar num estado ligado (ou seja, empacotadas) a energia deve ser negativa. Mas, a energia eletrostática armazenada no núcleo é positiva ou negativa? Explique. O mecanismo de sustentação neste caso é outro (também advindo da mecânica quântica) e vai pelo nome de força nuclear. A idéia é que esta força é extremamente forte, mas só age quando as partículas estão muito próximas umas das outras. Se você quebrar o efeito dessa força nuclear, restará somente a repulsão entre os prótons, que será enorme. Conclusão: a energia liberada numa reação nuclear é eletrostática; a bomba nuclear devia realmente se chamar bomba de Coulomb! (3) Considere o sistema da figura 7. Faça um gráfico do potencial em função de z. Dica: parta do campo E e use a Eq. (12) que, por simetria, se reduz a E dz. (4) Use r = x 2 + y 2 + z 2 na Eq. (8) e use a Eq. (10) para obter E = kq r 2 ˆr. Dica: o vetor unitário ˆr sempre pode ser construído dividindo r pelo seu módulo: ˆr = r r. Neste caso o campo e o potencial são radiais; ou seja, só dependem da distância à carga. Mostre que nesta situação também é possível calcular o campo através da relação E = dv ˆr (para campos radiais) (13) dr (5) A figura abaixo ilustra o potencial em função de x. Ele é constante em y e z e obedece a relação V (x) = 3x 3 7x, para x em metros e V em Volts. Calcule as três componentes do campo elétrico, E x, E y e E z Figura 9: Potencial em função de x. 9

10 4 Capacitores Conceitos Capacitância é a habilidade de um sistema de armazenar carga. Para duas placas paralelas, o campo entre elas é E = σ/ɛ 0. A diferença de potencial é V = Ed, onde d é a separação entre as placas. Lembrando que σ = Q/A, onde Q é a carga em uma das placas (a carga total das duas é zero) e A é a área, então V = d Aɛ 0 Q Veja: V Q; a capacitância (C) é a constante de proporcionalidade, mas escrita ao contrário: Q = C V (14) Escolha um sistema; o corpo humano por exemplo. Se submetermos uma pessoa a uma diferença de potencial V então a carga que ficará armazenada na pessoa é Q = C V (cansei de digitar V ; vou começar a escrever somente V, combinado?). Capacitância é uma propriedade do sistema. Todos os objetos tem uma. Ela depende da composição do objeto e de sua geometria. Para o caso das placas paralelas obtemos C = Aɛ 0 d Intuição: tente carregar uma placa. As cargas se repelem, se elas pudessem elas não estariam ali. Em outras palavras: Você deve realizar trabalho para carregar um capacitor Vemos que C aumenta com a área. Isso é intuitivo: se aumentamos a área damos mais espaço para as cargas se distribuírem, diminuindo a repulsão entre elas. Portanto conseguimos colocar o mesmo Q com um V menor. Por outro lado, a capacitância diminui se d aumenta. Temos dois efeitos à considerar: (1) a repulsão das cargas dentro de cada placa (as cargas + se repelindo em uma e as na outra) e (2) a atração das cargas entre as placas. Há uma competição. Suponha que d seja muito grande; ou seja, cada placa está praticamente isolada. A repulsão dentro de cada placa é muito intensa; adicionar cargas é uma tarefa difícil e a capacitância será pequena. Agora pense em d muito pequeno; apesar da repulsão com suas vizinhas de placa, cada carga sente uma forte atração com as cargas da outra placa. Apaziguamos a repulsão; C aumenta. 1 Alguns outros tópicos que eu não vou explicar em detalhe (veja no livro): (15) A energia armazenada no capacitor é U = 1 2 QV = 1 Q 2 2 C = 1 2 CV 2 (16) 1 Eu fiquei pensando em alguma analogia mas até agora não consegui nenhuma que não possuísse fortes defeitos (todas as analogias tem defeito; se não tivessem não seriam analogias). Eis o que eu consegui até o momento; se você pensar em algo melhor me avise: Adolescentes no baile; meninos de um lado, meninas do outro e um vazio entre eles. Atração entre grupos; repulsão entre membros do mesmo grupo. Prefiro não entrar em detalhe sobre os possíveis pontos fracos na analogia. 10

11 Se entre as placas há um material dielétrico com constante dielétrica κ então a capacitância se torna C = Aɛ 0κ (17) d A constante ɛ 0 se torna uma nova constante ɛ = ɛ 0 κ. Inserir um dielétrico sempre aumenta a capacitância; κ é sempre maior do que 1. Associação em série: 1 C = 1 C C Associação em paralelo: C = C 1 + C Problemas (1) (a) Dois sistemas tem C 1 e C 2 = 4C 1. Eles tem a mesma separação e não possuem um dielétrico entre eles. Calcule a razão entre as áreas. (b) Dois sistemas tem C 1 e C 2 = C 1 /2. Eles tem a mesma separação e a mesma área. Um está preenchido com um dielétrico e o outro não. Qual está preenchido com um dielétrico? (c) Dois capacitores C 1 e C 2 estão sob uma mesma diferença de potencial. A separação entre as placas de C 1 é o dobro da separação entre as placas de C 2. Qual possui uma energia armazenada maior. Faça o cálculo e também explique a intuição por trás do resultado. (2) Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q 0 e um potencial V 0 através de uma bateria que é subsequentemente removida. Em seguida, a separação entre as placas é reduzida pela metade. O que acontece (responda de forma quantitativa) com (a) a carga nas placas do capacitor? (b) o campo elétrico entre as placas? (c) a energia armazenada no sistema? (d) o potencial (e) Qual o trabalho que você teve que realizar ao diminuir a distância das placas pela metade? (3) Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q 0 e um potencial V 0 através de uma bateria que não é subsequentemente removida, mas permanece ligada ao sistema. Em seguida, a separação entre as placas é reduzida pela metade. O que acontece (responda de forma quantitativa) com (a) a carga nas placas do capacitor? (b) o campo elétrico entre as placas? (c) a energia armazenada no sistema? (d) o potencial (e) Qual o trabalho que você teve que realizar ao diminuir a distância das placas pela metade? (4) Considere os sistemas da figura abaixo (vide lista 2). Explique porque é correto pensar no sistema da figura (a) como uma associação em paralelo e no sistema da figura (b) como uma associação em série de capacitores. 11

12 (a) (b) 12