As Propriedades do Tensor de Levi-Civita. The Properties of the Levi-Civita Tensor
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- Derek de Andrade
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1 Mens gtat, v. 14 (019) ISSN Lucan Nascent 1*, nastasa Meny s Ppedades d Tens de Lev-Cvta The Ppetes f the Lev-Cvta Tens 1* Depataent de Físca-DF/CCT-UEPB,Capna Gande-PB, Bas. Depataent de Educaçã-DE/CCHL-UFPB,Jã Pessa-PB, Bas. Resu ágeba e cácu veta sã fequenteente usads e uts as da Físca, p exep, ecânca cássca, tea eetagnétca, stfísca, Espectscpa, etc. Neste tabah é utzada a ntaçã de Lev-Cvta e d tens deta de Knece que spfca cnsdeaveente cácus que sã pvadas neste atg. guas das dentdades fa pvadas usand síbs de Lev-Cvta p uts ateátcs e físcs. Mutas das spfcações dece de usa a cnvençã da sa de Ensten sbe s índces epetds n espaç tdensna. Paavas-chave: Síb de Lev-Cvt; Deta de Knece; Tens. bstact geba and vect cacuus ae ften used n any banches f physcs, f exape, cassca echancs, eectagnetc they, astphyscs, spectscpy, etc. In ths w we use the ntatn f Lev-Cvta and the Knece deta tens that spfes cnsdeaby cacuatns that ae pved n ths atce. Se f the denttes wee pved usng sybs f Lev-Cvta by the atheatcans and physcsts. Many f the spfcatns ste f usng the Ensten su cnventn n epeated ndces n thee-densna space. Keywds: Syb f Lev-Cvta; Knece's Deta; Tens. 1. INTRODUÇÃO O tens Lev-Cvta é u tens ttaente antssétc de de n, send defnd p, c,, 1,, 3 Cvta é defnd c:. E tês densões, tens Lev- 1, se,, 1,,3,(,3,1),(3,1,) 0, se,, u 1, se,, 1,3,,(3,,1),(,1,3) (1)
2 10 Os índces, e sã de 1, e 3. Exste vnte e sete cpnentes d tens de Lev-Cvta, apenas ses dea sã dfeentes de ze. Tês deas sã pstvas e as utas tês sã negatvas. tca de quasque ds ds índces se f peutads evete síb de Lev-Cvta, pdes expessa e uta ntaçã, usand a segunte fóua gea paa seu cácu, n1 n 1 ( ) () 1,,..., n 1 J! 1 Quaque tens cuas cpnentes fa ua base tna pde se epesentad c a auda d síb de Lev-Cvta, ta tens é tabé chaad de tens de peutaçã. O síb de Könece (, = 1,, 3) é dennad deta de Könece e defnd c (SOKOLNIKOFF, 1964): 1 0 se se (3), nde sã s eeents da atz da atz dentdade. O pdut de ds síbs Lev-Cvta pde se dad e tes de detas de Könece. E tês densões, a eaçã é dada peas seguntes equações (ISLM, 006): n n n n n n n n n (4) Ua cnsequênca ptante da eaçã aca é dada pea equaçã abax: n n n 1 1 n n n 3 3 n n 1 1 n C (5) e n sã dfeentes de ze sente paa e n, espectvaente, esutad da sa é: 3 3 n n n 1 n n n (6) Esta eaçã (5) aca é ut utzada e cácu veta. Os síbs d deta de Könece e Lev-Cvta pde se usads paa defn pduts escaaes e vetes, espectvaente (RFKEN & WEBER, 1999). B B B B B (7) C C C C C C a b a b n n C a b a b n n C a b a b C a b (1 cs ( )) C a b sen ( ) (8) B e B e C B (9) s peações d pead (de) u apacan n cap escaa e veta sã dadas p:
3 11 (10) x x x (11) (1). PLICÇÃO À MECÂNIC CLÁSSIC E O ELETROMGNETISMO Na seçã segunte, tas exeps de dentdades vetas da ecânca cássca e as pvas usand as defnções ds síbs d deta de Könece e Lev-Cvta. Essas dentdades tabé pde se cpvadas usand cdenadas catesanas, as a pva seá deasada e níve de g ateátc (BYRON & FULLER, 1970)..1 Mecânca Cássca ( ) ( x ) x 3 3 x 3 3 3x 3 3 ( ) x ( ) (13) x x ( ) x x x 0 (15) x x (16) (17) B x x x (18) B x x x x (19) x x x x x x x (14) 4 1 x x 1 (0) 1 x (1)
4 10 1 B B x B B x x B x B x B x B B B x x x B x B B B x x B B x B B B B B B B B B B B () s 1 gx x g x x x x g x x x s g x x x x x s x x g g x g x g x g x x x s s s s s 1 1 g gx x x x x s x s x Fnaente, btes: d g x 1 g xx 0 dt s s x. Eetagnets (4) (5) O cap eétc E está eacnad a ptenca eétc, esct na fa: E (6) Vas ta tacna d cap eétc, usand a ntaçã de Lev-Cvta, equaçã de Eue-Lagange na fa tensa, d s s 0 (3) dt x x nde, s g x x pdes anda esceve as equações da segunte fa: E 0 (7) nduçã agnétca B é tacna d ptenca veta. Tand dvegente na nduçã agnétca, (ICHIDYM, 017): B ( ) 0 (8) J J J J J x x x ( J ) J J J (9)
5 Le de pèe afa que sentd d cap agnétc é detenad pe sentd da cente de acd c a equaçã (30), H J (30) Essa é ua das quat equações de eetagnets de Maxwe. N exep a segu, esta equaçã é pvada pea apcaçã ds síbs d deta de Könece e Lev- Cvta na expessã veta, a.,198). (REITZ et 1 H (35) Paa a cndçã estátca, 0 nde ptenca veta. Pdes esceve anda a equaçã n cabe de Cub, ptenca agnétc que bedece à equaçã de Pssn na segunte fa: J (36) B 1 H B 1 H (31) Daí a equaçã (35), aca está ntaente gada a cap agnétc gead, H J (37) ( ) x ( ) x x ( ) x x ( ) x x (3) (33) x x x x x x x x x x x x x (34) CONCLUSÃO s dentdades vetas paece cpcadas e ntações de vetes padã, utzas aguas pvas dessas dentdades vetas p u étd atenatv (pe us de síbs de Könece e Lev-Cvta). td, dscuts teze exeps de dentdades vetas da ecânca e d eetagnets. pncpa tvaçã d us ds síbs d deta de Könece e Lev-Cvta é ttaente ndspensáve paa cácus, nde a sa é tada sbe índces epetds, pncpaente paa cácus de caps vetas c peações e que ta tacna d tacna, tacna de pduts vetas, dvegente de pdut veta que apaece e Eetagnets u na Mecânca Cássca nas fuações Lagangeana e Hatnana. s pvas apesentadas neste atg sã u nv sab paa ensna vetes a estudantes de físca, ateátca e engenhaa. GRDECIMENTOS Os autes agadece a CNPq pe supte fnance desta pesqusa.
6 10 14 REFERÊNCIS RFKEN, G. B.; WEBER, H. J. Matheatca Methds f Physcsts. New Y: cadec Pess. p , BYRON, F. W.; FULLER, R. W. Matheatcs f Cassca and Quantu Physcs. New Y: Dve Pubcatns, Inc. p. 5, 8, ISLM, N. Tenss and The ppcatns. Pubshe: New ge Intenatna Pvt Ltd. nsa Rad, Dayagan and New Deh, Inc. p. 1-5, 006. ICHIDYM, K. Intductn f the Tens Whch Satsfed Bnay Law. Juna f Mden Physcs (8). p 16-13, 017. REITZ, J. R.; MILFORD, F. J. CHRISTY, R. W. Fundaents da Tea Eetagnétca. R de Jane: Eseve, p , 198. SOKOLNIKOFF, I.S. Tens nayss: They and ppcatns t Geety and Mechancs f Cntnua. nd Edtn, Jhn Wey & Sns, Inc.: New Y, Lndn, Sydney, p.1-101, 1964.
F G. m 2. Figura 32- Lei da gravitação Universal de Newton e Lei de Coulomb.
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mptante: Paa estes pjets de canaval utilizaems váis bjets pequens cm pedinhas tavas de latas de efigeante e btões Tme muit cuidad paa que as cianças menes nã s clquem na bca 8? / Decelde papel alumíni
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