Algoritmo Genético Multiobjetivo Aplicado ao Controle da Dengue 1

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1 Algorimo Genéico Muliobjeivo Aplicado ao Conrole da Dengue 1 Helenice O. FLORENTINO *, Daniela R. CANTANE, Fernando L. P. SANTOS, Luiz G. Lyra UNESP - Univ Esadual Paulisa, IBB - Insiuo de Biociências, Deparameno de Bioesaísica, Disrio de Rubião Júnior, s/n, Boucau, SP, Brasil. * helenice@ibb.unesp.br RESUMO A dengue é uma doença infecciosa causada por um vírus da família Flaviridae e ransmiida ao homem por mosquios do gênero Aedes aegypi. Esa doença em sido um problema de saúde pública global, porque um único mosquio pode conaminar aé 3 pessoas e, anualmene, de 5 a 1 milhões de pessoas são infecadas em odos os coninenes. Assim, a dengue é aualmene um ema de inensa pesquisa, seja na busca por vacinas e raamenos da doença, ou para conrole do mosquio de forma eficiene e econômica. Ese rabalho em como objeivo esudar écnicas de oimização muliobjeivo para auxiliar na resolução de problemas que envolvam o conrole de mosquio que ransmie a dengue. Nosso objeivo principal é esudar a dinâmica da dengue a fim de enender o fenômeno da epidemia e sugerir esraégias de programação muliobjeivo para o conrole da doença. São discuidos resulados compuacionais obidos com a aplicação das écnicas proposas. PALAVARAS CHAVE. Dengue, Oimização muliobjeivo, Conrole óimo. Área principal (Conrole óimo, Oimização muliobjeivo) ABSTRACT Dengue is an infecious disease caused by a virus of he Flaviridae family and ransmied o he man by he mosquio of he genus Aedes Aegypi. This disease has been a problem global public healh, because a single mosquio can infec up o 3 people and annually from 5 o 1 million people are infeced from all coninens. Thus, dengue is currenly a subjec of research, wheher in he search for vaccines and reamens for he disease or efficien and economical forms of mosquio conrol. This work aims o sudy echniques of he muliobjecive opimizaion for solving problems involving conrol of mosquio ha ransmis dengue. Our main purpose is o sudy he dynamics of dengue in order o undersand he epidemic phenomenon and o sugges sraegies of he muliobjecive programming for he conrol of he disease. We discuss he compuaional resuls obained from he applicaion of he proposed echniques. Key words: Dengue, muliobjecive opimizaion, Opimal conrol. Main area (Opimal conrol, Muliobjecive Oimizaion) 1 Agradecimenos à FUNDUNESP, FAPESP (Temáico 9/1598-), CNPq e CAPES pelo apoio financeiro 49

2 1. Inrodução As regiões ropicais são as mais afeadas pela dengue, pois as condições do meio ambiene favorecem o desenvolvimeno e a proliferação do Aedes aegypi, o principal mosquio ransmissor, ecnicamene chamado de veor. Nos períodos quenes e chuvosos ocorrem um aumeno da densidade dos mosquios, ocasionando maior incidência de dengue. Casos nas Américas, Sudese Asiáico e Pacífico Ocidenal ulrapassaram, milhões em 1 e 1,6 milhões de casos de dengue foram noificados só nas Américas, onde 49 mil eram casos de dengue hemorrágica. Esima-se que 5 mil pessoas com dengue hemorrágica necessiem de hospialização a cada ano, uma grande proporção das quais são crianças. Cerca de, 5% das pessoas aingidas morrem, Thomé(1). A ameaça de um possível suro de dengue já exise na Europa e a ransmissão local da dengue foi relaada pela primeira vez na França e na Croácia em 1 e casos imporados foram deecados em rês ouros países europeus. A dengue é uma infecção causada por um vírus e a deecção precoce e o acesso aos cuidados médicos podem reduzir os casos faais para menos de 1%. A prevenção e o conrole da doença dependem de medidas que conrolem efeivamene o mosquio Aedes aegypi, Thomé(1). A dengue é causada por quaro soroipos disinos conhecidos como DEN1, DEN, DEN3 e DEN4, perencenes à família Flavivirus. Uma pessoa infecada por um desses quaro soroipos não será infecada novamene pelo mesmo soroipo, mas sua imunidade orna-se baixa em relação aos ouros rês soroipos por aproximadamene 1 semanas e enão ela orna-se susceível ao desenvolvimeno da dengue hemorrágica, Thomé(1). A doença é ransmiida pela picada da fêmea adula do mosquio, que acasala uma única vez em sua vida e após o acasalameno ela evia ouros machos. Adicionalmene, a fêmea do mosquio não deposia seus ovos de uma vez, a liberação é feia aos poucos e em lugares disinos, para aumenar a probabilidade de nascimeno dos mosquios. Após 8 ou 1 dias de er sugado o sangue de uma pessoa conaminada, a fêmea infecada esá apa a ransmiir o vírus. Um único veor pode conaminar aé 3 pessoas em 45 dias de vida. O período de incubação do vírus no ser humano varia de 3 a 15 dias após a picada do veor, sendo, em média, de 5 a 6 dias Favaro(8). O mosquio apresena os seguines ciclos de desenvolvimeno: ovo, larva, pupa (fase aquáica) e adulo (fase alada). Os conroles uilizados pela SUCEN (Superinendência de Conrole de Endemias) são: conrole físico, feio pelos agenes de saúde pública e pelos moradores removendo os criadouros e conrole químico, aplicando inseicidas. Com o passar do empo, os veores adquirem resisência aos inseicidas, sendo necessário um aumeno de produos químicos, elevando os cusos do conrole e afeando a saúde pública. Uma forma alernaiva é uilizar o conrole genéico/biológico, alerando o processo de reprodução. Nese caso, mosquios machos são produzidos em laboraório, em larga escala, incapazes de gerar novos indivíduos, pois são bombardeados com radiação gama para orná-los 5

3 eséreis. Essa écnica é conhecida como Serile Insec Techique (SIT) e em-se mosrado eficiene no conrole de pragas agrícolas, como por exemplo, no programa de erradicação da mosca varejeira. O objeivo dese rabalho é aplicar écnicas de oimização muliobjeivo para resolução do modelo de conrole óimo do mosquio ransmissor da Dengue, o qual minimiza os cusos com inseicida, produção de mosquios machos eséreis e quanidade de mosquios fêmeas ferilizadas. Foi proposo um algorimo genéico muliobjeivo para resolução do problema de conrole óimo.. Modelo Maemáico Eseva & Yang (5) propuseram um modelo maemáico para analisar o efeio da inrodução de inseos machos eséreis no meio ambiene. Nesa proposa é considerado o ciclo de vida do mosquio ransmissor da dengue divido em duas fases: fase aquáica: ovo, larva, pupa e fase alada: adulo. O amanho da população de mosquios na fase aquáica no empo é denoado por A(). Os mosquios da fase Aquáica passam para a fase alada a uma axa per capia γ, com uma proporção de r fêmeas e (1-r) machos. As fêmeas imauras I (anes do acasalameno) quando copulam com machos naurais M formam o grupo das fêmeas ferilizadas F e o ouro grupo das fêmeas I, que copulam com machos eséreis S (irradiados) formam o grupo das fêmeas removidas U. A mudança de grupo das fêmeas imauras I para as ferilizadas F ou removidas (nãoferilizadas) U depende principalmene da probabilidade de enconros com os machos naurais M e com os machos eséreis S. É assumido que a probabilidade de enconro enre uma fêmea I com um macho naural M é igual a (M / (M + S)). A axa per capia com que as fêmeas são ferilizadas é dada por (βm / (M + S)), onde β é a axa de acasalameno dos mosquios naurais. A probabilidade de enconro de um macho eséril S com uma fêmea I não depende apenas do número de mosquios machos irradiados e é dada por (ps / (M + S)), onde p 1 é a proporção com que os mosquios eséreis são colocados nos locais adequados. A axa de acasalameno efeiva dos mosquios eséreis é dada por qβ, com q 1. A axa per capa com que as fêmeas I são ferilizadas pelos mosquios eséreis S é dada por (β S S/(M + S)), onde βs = pqβ. Finalmene, α é a axa em que a população de mosquios eséreis S são colocadas no meio ambiene. As fêmeas ferilizadas F possuem uma axa de oviposição dependene da sua densidade, do número de criadouros e da capacidade do meio. Nese modelo esa axa é dada por ϕ (1-A/C), onde ϕ é a axa de oviposição inrínseca e C é a capacidade do meio relacionada com o número de nurienes, espaço, ec. As axas de moralidade per capia dos mosquios em cada fase é denoada por µ. Esa dinâmica esá ilusrada na figura a seguir. A figura a seguir ilusra a dinâmica das populações do mosquio nas fases descrias acima, em que A(), S(), I(), M(), U() e F() descrevem número de indivíduos da população de 51

4 mosquios na fase referida no empo e µ A, µ I, µ F, µ U, µ M e µ S denoam as axas de moralidade per capia dos mosquios em cada segmeno da população. Figura 1: Dinâmica Populacional do mosquio Alem do conrole biológico com mosquios eséreis, consideramos ambém o conrole químico com inseicida, o qual em ido um imporane papel no conrole do mosquio da dengue. O inseicida só aua na fase adula do mosquio e não na fase aquáica. Considerando as variáveis u 1 =u 1 () e u =u () associadas respecivamene ao conrole químico e conrole biológico, apresenamos o modelo maemáico para a dinâmica da população de mosquio uilizando conrole com inseicida e conrole com mosquios eséreis. (1) A variável de esado U, relacionada aos mosquios fêmeas removidas, é desacoplada do sisema dinâmico e descria por Para esudo do conrole dese sisema, Thomé(1) uilizou as condições iniciais no equilíbrio () para o sisema de esado (1), nesas condições foi considerado a pior siuação possível do pono de visa da dengue, veja Eseva & Yang (6) e Thomé(1). 5

5 () Em que φrγβ R= ( γ + µ )( β + µ ) µ A I F 3. O problema de conrole óimo muliobjeivo Em Eseva & Yang (5) é discuido o elevado cuso do conrole com mosquios eséreis quando comparado com o cuso de inseicida. Por ouro lado, o inseicida produz efeios indesejáveis, como exemplo o dano a saúde animal e humana e a resisência que o mosquio pode adquirir. Assim, as variáveis de conrole u 1 e u podem esar relacionadas a cusos envolvidos no processo de conrole do mosquio, como exemplo um cuso econômico na aquisição do inseicida e mosquios eséreis ou um cuso associado a quanidade de inseicida e de mosquios eséreis uilizados. De qualquer forma, o que desejamos é deerminar um conrole oimizado que minimize o cuso com inseicida e o cuso despendido com mosquios eséreis, minimizando ambém a quanidade de fêmeas ferilizadas no sisema (cuso social) e de forma que preserve o máximo possível o número de mosquios eséreis inroduzidos. Thomé(1) sugeriu o seguine índice de performance: (3) Onde c 1, c, c 3 e c 4 represenam respecivamene as imporâncias relaivas aos cusos com inseicida, produção de mosquios eséreis, número de fêmeas ferilizadas (cuso social) e preservação de mosquios eséreis. Propomos aqui um modelo muliobjeivo, onde o funcional (3) seja divido em duas ou mais pares, de forma a aender os objeivos proposos, que são: 1. Minimizar o cuso com inseicida;. Minimizar o cuso despendido com mosquios eséreis; 3. Minimizar a quanidade de fêmeas ferilizadas no sisema (cuso social); 4. Maximizar o número de mosquios eséreis inroduzidos. 53

6 Um exemplo é dividir o funcional em dois e ober o seguine problema de conrole óimo muliobjeivo: Sujeio a Sisema (1); Condições iniciais (); Condições de não negaividade u 1 e u em odo. (4) As variáveis de conrole consideradas no problema são u 1 () que esá associada ao invesimeno em inseicidas no insane e u () relacionada ao invesimeno com a produção e liberação de mosquios eséreis no insane. Assim, as parcelas c 1 u 1 mede o cuso com inseicida, c u mede o cuso com a produção e liberação de mosquios eséreis, c 3 F mede o cuso social, peso dado ao número de fêmeas ferilizadas e a ulima parcela c 4 S esá associada ao cuso de manuenção de machos eséreis na população. Desa forma J 1 aende aos objeivos lisados 1, e 3 e J aende ao objeivo 4. Os coeficienes c i, i=1,, 3 e 4, funcionam como pesos de cada parcela e os quadrados nas variáveis ampliam os efeios de grandes variações. 4. Algorimo Genéico muliobjeivo na resolução do modelo de conrole óimo Para resolução do modelo de conrole óimo (4), propomos um algorimo genéico muliobjeivo. Nese algorimo é gerada uma população de soluções (u 1 (),u ()) para o problema, e esa evolui de acordo com operadores genéicos de seleção, cruzameno (crossover) e muação, de forma que promova uma endência dos indivíduos represenarem soluções eficienes ou não dominadas cada vez melhores e mais variadas à medida que o processo evoluivo coninua. Os indivíduos da população, ambém chamados de cromossomos ou soluções, são definidos por marizes conendo duas linhas e (T+1) colunas. A primeira linha é referene aos valores da variável de decisão do problema de conrole u 1 e a segunda referene a u. Cada coluna represena um valor do empo discreizado em, 1,,..., f, ou seja, do emo inicial aé o empo final f. Assim, cada elemeno (gene) (i,j), i=1, e j=,1,...f, desa mariz (cromossomo) represena o valor da variável u i no empo j, como ilusra a figura a seguir: 54

7 1... f u 1 () u 1 () u 1 (1) u 1 ()... u 1 (f) u () u () u (1) u ()... u (f) Figura : Esruura dos cromossomos A população inicial é gerada com n dos indivíduos definidos por méodo aleaório para dar diversidade na população. A apidão (ou finess) de cada indivíduo é calculada a parir de um ranqueameno originado do nível de dominância de cada indivíduo. As melhores soluções (as perencenes a aproximação da froneira de pareo) enconradas recebem o melhor valor do ranque e são guardadas a cada ieração (geração), formando um grupo de elie, Deb (1). Ao final do processo de oimização, esa elie será a melhor aproximação da froneira de Pareo enconrada. Veja figura a seguir. Nesa proposa, soluções infacíveis são penalizadas muliplicando o nível por um valor ineiro posiivo Q. Figura 3: Nível de dominância dos indivíduos represenados no espaço objeivo Em odas as ierações, pare da população (pc%) é copiada em uma população inermediária para realizar crossover. A seleção dos indivíduos a serem copiados pode ser feia pelo méodo de rolea, Deb (1). O crossover é feio escolhendo aleaoriamene dois dos indivíduos copiados pela seleção (pai 1 e pai ) e em seguida fazendo um soreio aleaório de um ou mais local de core em cada linha das marizes represenanes desses indivíduos. Ese processo auxilia a separação dos genes que formarão dois novos indivíduos (filho 1 e filho ), conservando caracerísicas dos pais. Dos quaro indivíduos, pai 1, pai, filho 1 e filho, escolhe-se o de melhor apidão para reornar à população em subsiuição ao pior indivíduo desa. Ese processo é realizado para odos os elemenos da população inermediária. Para ilusração, considere o caso de usar um local de core. Nese caso soreia-se dois números ineiros r1 e r enre 1 e f e faz o core no local r1 na linha 1 e r na linha. Suponha 55

8 que foi obido em um processo aleaório r1= e r=3. Assim haverá uma separação dos primeiros genes da linha 1 e na linha, como r=3, haverá a separação dos 3 primeiros genes nos dois cromossomo escolhidos. Os genes do pai 1 e pai se recombinam gerando os filhos 1 e, como mosra a figura. r1= r=3 Figura4: Ilusração da ação do operador crossover sobre os indivíduos. Depois de passar pelo crossover, são escolhidos aleaoriamene indivíduos da geração aual para a muação, deermina-se a percenagem de genes que poderão ser rocados em cada linha do cromossomo e procede-se um soreio com probabilidade pm muio baixa (<,1) de haver mudança no valor daquele gene. Se for favorável a mudança no valor do gene, se o número soreado for inferior a pm, procede-se o soreio (ou escolha, ou roca) do novo valor a ser inserido nese gene. Obendo assim uma nova população, e nesa serão feios o cálculo da apidão de cada indivíduo, aualizado a elie e aplicados os operadores de seleção, crossover e muação. O processo é repeido um número G vezes e a froneira de Pareo é deerminada ao final do processo. 5. Resulados Numéricos O Algorimo Genéico Muliobjeivo descrio na seção anerior foi implemenado compuacionalmene uilizando o sofware MATLAB (R8a) [8] em microcompuador Dual Core i5-65 com 4 GB de memória e 4 GB de disco rígido do Laboraório Cienífico de Informáica (LCI) do Deparameno de Bioesaísica do Insiuo de Biociências da UNESP de Boucau SP. A abela 1 apresena os parâmeros medidos em d -1 (com exceção de r) para implemenação do sisema de oimalidade (1). 56

9 Tabela 1: Parâmeros uilizados no sisema de oimalidade (5) φ C,5 13 γ,7 Fone: Eseva ( 5) r β Parâmeros do modelo β S µ A µ I µ F µ M,5 1,7,5,5,5,1,1 µ S A abela apresena os parâmeros uilizados na implemenação do algorimo genéico. Tabela : Parâmeros uilizados no Algorimo Genéico Parâmeros uilizados no Algorimo Genéico T G n P K pc pm %,5 Em que: T é o período de uso do conrole; G é o número de gerações; n é o número de indivíduos da população; P é a penalização imposa aos indivíduos infacíveis; K é o número de elemenos da elie; pc é a porcenagem de indivíduos selecionados para o crossover; pm é a probabilidade de um indivíduo sofrer muação; A população inicial foi consruída em duas pares. Na primeira pare foi uilizada uma heurísica aleaória, onde criou-se /3 dos indivíduos da população por soreios aleaórios com u 1 () [, 3,5] e u () [,,8] para odo [, T]. Na segunda pare foi uilizada uma heurísica consruiva, onde 1/3 dos indivíduos resanes foram consruídos com soreios aleaórios com valores de u 1 () e u () denro de pequenos e convenienes inervalos em cada empo. O cálculo da inegral em foi feio implemenando a regra 1/3 de Simpson Generalizada com empo discreizado de 1 em 1 dia, de a 1 dias, Franco (1). Para resolução do sisema de equações ordinárias não linear foi implemenado o méodo de Runge Kua de quara ordem, Franco (1). O processo de Seleção para cruzameno de indivíduos foi realizado pelo méodo da rolea, dando aos indivíduos mais apos, maior probabilidade de serem escolhidos para o crossover. A muação foi realizada com baixa probabilidade,,5. 57

10 Uilizando eses parâmeros, o AG muliobjeivo foi implemenado e os resulados preliminares esão discuidos a seguir. O problema muliobjeivo foi implemenado e a curva de Pareo esá apresenada na figura 5. Os resulados apresenados nesa figura esão comparados com resulados apresenados por Barsane (11) e Thomé (7). Figura 5: Curva de Pareo para o sisema de oimalidade muliobjeivo obida pelo AG Muliobjeivo proposo e comparação com ouros auores. A Figura 5 ilusra as soluções não-dominadas obidas na oimização muliobjeivo pelo AG proposo na seção anerior, apresenadas no espaço objeivo, bem como a solução enconrada por Thomé (7) e Barsane (11). Foi enconrado um conjuno de ponos não dominados em que os resulados aponam que as soluções do AG dominam as soluções apresenadas pelos dois auores. A figura 6 mosra que o conrole proposo pelo AG com pequenos invesimenos em J 1 e J (solução * na figura 5), em odos os seguimenos da população de mosquios é um pouco mais efeivo que os proposos pelos ouros auores. Mas, se aumenar ese invesimeno, omando soluções como a solução * marcada na figura 7, pode-se observar que em odos os seguimenos da população de mosquios, o conrole é bem mais efeivo que os proposos pelos ouros auores, como pode ser viso na figura 8. A proposa muliobjeivo é uma ferramena que oferece diversidade de soluções, dando ao omador de decisões uma explanação de odos os possíveis invesimenos oimizados que podem ser feios. 58

11 Evoluion of he Aquaic populaion A Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion Immaures females I Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion ferilized females F Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion wild males M Barsane(11) Thomé(7) Figura 6: Evolução das populações de mosquios (a) na fase aquáica, (b) fêmeas imauras, (c) fêmea ferilizada, (d) machos naurais, uilizando os conroladores nas soluções marcadas na figura 5, segundo o AG e os ouros auores ciados. Figura 7: Curva de Pareo para o sisema de oimalidade muliobjeivo obida pelo AG Muliobjeivo proposo e comparação com ouros auores. 59

12 Evoluion of he Aquaic populaion A Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion Immaures females I Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion ferilized females F Barsane(11) Thomé(7) Evoluion of populaion wild males M Barsane(11) Thomé(7) Figura 8: Evolução das populações de mosquios (a) na fase aquáica, (b) fêmeas imauras, (c) fêmea ferilizada, (d) machos naurais, uilizando os conroladores nas soluções marcadas na figura 7, segundo o AG e os ouros auores ciados. Referências Barsane, L. S.; Cardoso, R. T. N. e Acebal, J. L., Oimização muliobjeivo no conrole de gasos com inseicidas e machos eséreis no combae da dengue. Anais do XLIII Simpósio Brasileiro de PESQUISA OPERACIONAL. URL hp:// 11. Barsane, L. S.; Cardoso, R. T. N. e Acebal, J. L., Dependência enre pluvio-sidade e população de fêmeas Aedes aegypi grávidas descrias aravés de um sisema dinâmico não linear, Disseração de Mesrado, CEFET/MG, 1. Deb, K., Muli-objecive opimizaion using evoluion-ary algorihms. Chicheser, UK: Wiley, 1 Eseva, L. & Yang, H.M., Mahemaical Model o Assess he Conrol of Aedes aegypi Mosquioes by he Serile Insec Technique, Mahemaical Biosciences, 198 : (5). Eseva, L e Yan, H.M. Conrol of Dengue vecor by serile insec ecnique considering logisic recruimen. TEMA Tend. Ma. Apl. Comp , 6. Franco, N. B., Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 6. MATLAB version (R8a). High performance numeric compuaion and visualizaion sofware: Reference Guide. Naick, Massachuses: The MahWorks Inc.; 8. Thome, R.C.A, Yang, H.M., Conrole óimo aplicado na esraégia de combae ao Aedes aegypi uilizando inseicida e mosquios eséreis, Tese de Douorado, IMECC/UNICAMP, 7. Thome, R.C.A, Yang, H.M., Eseva, L, Opimal conrol of Aedes aegypi mosquioes by he serile insec echnique and insecicide. Mahemaical Biosciences. 3, 1-3, 1. 6