MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE NUMÉRICA NA ENGENHARIA DO VENTO COMPUTACIONAL EMPREGANDO COMPUTAÇÃO DE ALTO DESEMPENHO E SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS por Gulherme Luz Pccol Dssertação para obtenção do Título de Mestre em Engenhara Porto Alegre, Mao de 2009

2 ANÁLISE NUMÉRICA NA ENGENHARIA DO VENTO COMPUTACIONAL EMPREGANDO COMPUTAÇÃO DE ALTO DESEMPENHO E SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS por Gulherme Luz Pccol Engenhero Mecânco Dssertação submetda ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca, PROMEC, da Escola de Engenhara da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, como parte dos requstos necessáros para a obtenção do Título de Mestre em Engenhara Área de Concentração: Energa Orentador: Prof. Dr. Adrane Prsco Petry Aprovada por: Prof. Dr. Acr Mérco Loredo-Souza Prof. Dr. Armando Mguel Awruch Profª. Drª. Fláva Schwarz Franceschn Znan Prof. Dr. Horáco Antono Velmo Coordenador do PROMEC Porto Alegre, Mao de 2009

3 "O vento dos desejos que então se desprenda das capas colordas dos lvros deve-se apossar de mm novamente, para derreter o pesado bloco morto de chumbo que se encontra dentro de mm, e despertar de novo a mpacênca do futuro, a alegra alada do mundo dos pensamentos." Erch Mara Remarque

4 AGRADECIMENTOS Prmeramente, gostara de agradecer profundamente aos meus pas (Jaro e Adelade) e meus rmãos (Mauríco e Verônca) pela pacênca, compreensão e amor ncondconal; Aos meus tos Leonardo e Tereznha, pela sempre agradável companha e pela preocupação demonstrada; À Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, nsttução que me acolheu de manera respetosa e a qual devo mportante parcela do meu aprendzado; À professora Drª. Adrane Prsco Petry, pela duradoura parcera acadêmca, pelos ensnamentos transmtdos e pela profunda amzade desenvolvda ao longo dos anos de orentação; Aos colegas do GESTE (Grupo de Estudos Térmcos e Energétcos), uma famíla durante o desenvolvmento deste trabalho; Ao colega Elzaldo Domnguez dos Santos, pelos conhecmentos transmtdos, pelas parceras acadêmcas e pela amzade desenvolvda nestes dos anos de dssertação; Aos professores Dr. Armando Mguel Awruch e Dr. João Rcardo Masuero pelas mportantes contrbuções desgnadas a este trabalho; Aos professores Dr. Francs Henrque Ramos França e Dr. Paulo Schmdt Schneder, os quas são exemplos em suas funções e seres humanos de enorme caráter; Aos funconáros José Luz Salvadorett e João Batsta da Rosa pela colaboração e auxílo; Aos funconáros do CESUP, em especal a pessoa do MSc. Luz Fernando Nunes Fernandez; Aos membros da banca, pelo acete ao convte de contrbur neste estudo; Aos bolsstas de ncação centífca Doníso Carmgnan Neto e Marco Lovatto Leonardell pelo dedcado apoo a este trabalho; Aos funconáros e professores do PROMEC; A Capes pelo apoo Fnancero; Ao GESTE e ao CESUP pelos recursos dsponblzados; E aos meus estmados amgos, sem os quas nada dsso sera possível. v

5 RESUMO O presente trabalho tem como objetvo o desenvolvmento de um sstema voltado à solução de problemas relaconados à Engenhara do Vento Computaconal. Para o tratamento das estruturas turbulentas, a Smulação das Grandes Escalas é empregada. Esta metodologa resolve dretamente as estruturas que governam a dnâmca local do escoamento (grandes escalas) e utlza modelos para resolver as escalas com característcas mas unversas (pequenas escalas). Neste estudo, os efetos sub-malha são obtdos a partr do modelo clássco de Smagornsky. Na análse numérca, o método dos elementos fntos é avalado a partr da utlzação de elementos hexaédrcos e uma formulação baseada nas equações governantes de escoamentos quase-ncompressíves. Para reduzr o requermento de memóra computaconal, esquemas explíctos para solução de sstemas de equações são empregados. O prmero aspecto a ser abordado para o desenvolvmento do sstema proposto é a redução do tempo de processamento. Partndo do algortmo desenvolvdo por [Petry, 2002], desenvolvese um estudo a cerca de técncas computaconas de alto desempenho vsando acelerar o processamento dos problemas. Assm, apresenta-se um comparatvo entre alocações estátca e dnâmca de vetores e matrzes, juntamente a mplementação do paralelsmo de memóra compartlhada utlzando dretvas OpenMP. A verfcação do aumento da velocdade de processamento é desenvolvda smulando o escoamento em um domíno contendo um corpo merso aerodnamcamente rombudo. As técncas utlzadas permtram a obtenção de um aumento de aproxmadamente cnco vezes em relação ao códgo orgnalmente avalado. Uma mportante dfculdade na avalação de escoamentos externos está na solução numérca de problemas advectvo-domnantes. O esquema de Taylor-Galerkn explícto-teratvo, orgnalmente presente no códgo e valdado para escoamentos nternos, mostrou-se nadequado para avalação do escoamento externo proposto, apresentando perturbações no campo de pressões e não convergndo para a solução correta do problema. Estas nstabldades persstram em uma versão alternatva desenvolvda, a qual utlzava funções de nterpolação de gual ordem para solução da pressão e velocdade. Para uma análse de escoamentos não confnados, é mplementado o esquema temporal de dos passos utlzando funções de nterpolação para velocdade e pressão de mesma ordem. Esta confguração apresentou resultados físcos de boa qualdade e mportante redução no tempo de processamento. v

6 Após a dentfcação da alternatva que permtu a avalação dos resultados sem a presença de perturbações, apresenta-se a análse do escoamento sobre um prsma quadrado bdmensonal, prvlegando o montoramento da velocdade, pressão e energa cnétca total da turbulênca na lnha central do domíno e nas proxmdades do obstáculo. Esta avalação é efetuada em malhas com confgurações unformes e rregulares para um número de Reynolds gual a Palavras-Chave: Energa do Vento Computaconal, Corpos Rombudos, Smulação de Grandes Escalas, Elementos Fntos, Computação Paralela v

7 ABSTRACT NUMERICAL ANALYSIS IN THE COMPUTATIONAL WIND ENGINEERING EMPLOYNG HIGH-PERFORMANCE PROGRAMMING AND LARGE EDDY SIMULATION Development of a system to solve problems related to Computatonal Wnd Engneerng s the man am of ths work. In order to treat turbulent structures, Large Eddy Smulaton s employed. Ths methodology compute drectly scales governng local flow dynamcs (large eddes) and t use models to solve those wth unversal character (small eddes). In ths study, the sub-grd effects are consdered usng the standard Smagornsky model. In the numercal analyss, hexahedral fnte elements are used and a formulaton based on the governng equatons of quas-compressble flows. To reduce the computatonal memory request, explct schemes to solve the equatons system are used. In order to reduce CPU tme, an algorthm developed by [Petry, 2002] s evaluated and hgh-performance technques amng to accelerate the problem soluton are studed. Thus, t s showed a comparson between dynamc and statc allocatons of vectors and matrces assocated to the mplementaton of shared-memory parallelzaton usng OpenMP drectves. The speed up verfcaton s developed smulatng the flow around an mmersed bluff body. As a consequence of the technques employed here, an acceleraton of approxmately fve tmes wth respect of the orgnal computatonal code s obtaned. An mportant dffculty n the external flow evaluaton s the numercal soluton of convecton domnated flows. The Taylor-Galerkn explct-teratve scheme, (orgnally used by the program), whch was valdated for confned flows, dd not present good results for external flows smulatons and pressure feld perturbatons were observed. These nstabltes were persevered even n an alternatve verson, where nterpolatons functons wth the same order were used to compute velocty and pressure (n the orgnal verson, constant pressure feld at element level were employed). To analyze unbounded flows accurately, a two-step explct scheme usng velocty and pressure nterpolaton functons wth the same order was mplemented. Ths confguraton presented physcal results wth good qualty and acheve an mportant reducton n the processng tme. After dentfcaton of the best alternatve wthout perturbatons of the pressure feld, the numercal smulaton of the flow around a two-dmensonal square cylnder was nvestgated v

8 favorng velocty, pressure and total knetc energy evaluatons along the md lne of the doman and n the obstacle vcnty. These evaluatons were effectuated wth unform and stretched meshes for a Reynolds number equal to Keywords: Computatonal Wnd Engneerng, Bluff Bodes, Large Eddy Smulaton, Fnte Elements, Parallel Computaton v

9 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO Apresentação Objetvos, Metodologa e Organzação do Trabalho Aspectos Geras da Engenhara do Vento Computaconal (EVC) Escoamentos Externos sobre Corpos Imersos Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos Smulação Numérca Dreta Smulação Numérca va Equações Médas de Reynolds Smulação de Grandes Escalas Método dos Elementos Fntos FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Equações que Governam a Dnâmca dos Fludos Equações para Escoamentos Turbulentos va Smulação de Grande Escalas Modelos de Turbulênca Sub-Malha Modelo de Smagornsky MODELAGEM NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS Método dos Elementos Fntos Formulação dos Resíduos Ponderados do Problema Equações de Elementos Fntos do Problema Dscretzação Temporal utlzando o Método Explícto-Iteratvo Dscretzação Temporal utlzando o Método Explícto de Dos Passos Fluxograma para o Método Explícto-Iteratvo Fluxograma para o Método Explícto de Dos Passos Condção de Establdade Integração Explícta das Matrzes de Elemento COMPUTAÇÃO PARALELA RESULTADOS Avalação do Tempo de Processamento Escoamento sobre um prsma quadrado bdmensonal Esquema Explícto-Iteratvo com Função de Interpolação Constante para a Pressão Esquema Explícto-Iteratvo com Função de Interpolação Lnear para a Pressão Esquema Explícto de Dos Passos com Função de Interpolação Lnear para a Pressão CONCLUSÕES E SUGESTÕES DE FUTUROS TRABALHOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Pág. x

10 LISTA DE SÍMBOLOS Letras Romanas A j Matrz advectva com funções de nterpolação (quantdade de movmento) C Velocdade de propagação do som [m/s] C S Constante de Smagornsky [-] C d Função de proporconaldade dnâmca [-] C P Coefcente de Pressão [-] C j d D j Tensor cruzado Comprmento característco do obstáculo [m] Matrz dfusva com funções de nterpolação (quantdade de movmento) e Parâmetro de dagonalzação seletva [-] F f G T G j J J Matrz das funções de nterpolação referente às condções de contorno naturas Componente das forças de campo na dreção [N/m³] Matrz com funções de nterpolação dos termos do campo de pressões Matrz com funções de nterpolação dos termos da dvergênca da velocdade Matrz Jacobana Determnante da matrz Jacobana J Matrz adjunta da Jacobana K SM Energa cnétca turbulenta sub-malha [m²/s²] L j Tensor de Leonard Ma Número de Mach v C [-] M DP Matrz de massa da pressão dscreta ou dagonalzada M DV Matrz de massa da velocdade dscreta ou dagonalzada M P M S M V n j Matrz de massa da pressão Matrz de massa seletva Matrz de massa da velocdade Cosseno dretor do vetor normal ao contorno consderado x

11 p p Pressão [N/m²] Pressão correspondente as grandes escalas [N/m²] p Pressão correspondente às pequenas escalas [N/m²] * p p p * Função peso para a pressão Vetor de valores nodas para a pressão Vetor de valores nodas da função peso para a pressão Pe Número de Peclet [-] Re d Número de Reynolds [-] S j Taxa de deformação do campo de velocdades [s -1 ] t t S Magntude do tensor taxa de deformação do campo fltrado Tempo [s] Valores prescrtos das forças de superfíce no contorno [N/m²] * t Tempo admensonal [-] U Velocdade ncdente [m/s] * U Velocdade admensonal [-] v v ˆ v Velocdade na dreção [m/s] Valores prescrtos da componente da velocdade no contorno [m/s] Componente do vetor velocdade, correspondente as grandes escalas, na dreção [m/s] v Componente do vetor velocdade, correspondente as pequenas escalas, na dreção [m/s] * v v * v x Função peso para a componente do vetor velocdade na dreção Vetor de valores nodas da componente da velocdade Vetor de valores nodas da função peso para a velocdade; Coordenada na dreção [m] Letras gregas α Coefcente de segurança do crtéro de establdade de Courant x

12 Γ e Γ Contorno do domíno Contorno do elemento; p Varação da pressão [N/m 2 ] t v x δ j ζ η Intervalo de tempo crítco [s] Varação da componente de velocdade na dreção [m/s] Varação da posção na dreção [m] Escala característca assocada à fltragem das grandes escalas [m] Delta de Kronecker Coordenada normalzada ou computaconal no nó Coordenada normalzada ou computaconal no nó λ Vscosdade volumétrca do fludo [N.s/m 2 ] µ Vscosdade dnâmca do fludo [N.s/m 2 ] ν ν T ˆ ν ξ ρ σ j τ j φ ψ Ω e Ω Vscosdade cnemátca do fludo [m²/s] Vscosdade turbulenta [m²/s] Tensor de balaço dfusvo [m²/s] Coordenada normalzada ou computaconal no nó Massa específca do fludo [kg/m³] Componente do tensor de tensões [N/m²] Tensor de Reynolds sub-malha Função de nterpolação para a velocdade Função de nterpolação para a pressão Domíno Domíno do elemento; * Observação: na determnação analítca das matrzes de elementos α e β são utlzados para numerar os nós dos elementos. x

13 ÍNDICE DE FIGURAS Pág. Fgura Escoamento sobre um corpo rombudo arredondado em função do número Reynolds...14 Fgura Ponto de separação observado em escoamentos com gradente de pressão adverso.15 Fgura Identfcação de pontos de separação em corpos rombudos angulosos em função das dmensões do obstáculo...15 Fgura Identfcação de pontos de separação em corpos rombudos angulosos em função do escoamento ncdente...16 Fgura Herarqua dos modelos de turbulênca...18 Fgura Funções fltro empregadas na modelagem LES; (a) Fltro box (b) expansão truncada de Fourer e (c) Gaussano...27 Fgura Transformação do sstema global para o sstema natural...63 Fgura Paralelsmo de memóra compartlhada utlzando as dretvas...72 Fgura Geometra proposta por [Petry, 1993] e utlzada na avalação do tempo de processamento...75 Fgura Comparação entre alocações do tpo estátca e dnâmca para dferentes dscretzações espacas...78 Fgura Gráfco de Pareto utlzado para avalar o tempo de processamento consumdo para 4 dscretzações dstntas...79 Fgura Comparação entre códgos com e sem as dretvas OpenMP para alocações do tpo estátca e dnâmca...81 Fgura Velocdade admensonal na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC...86 Fgura Coefcente de pressão na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC...86 Fgura Geometra proposta por [Braun, 2007]...87 Fgura Resultados admensonalzados de velocdade na lnha de centro do domíno: (a) a partr da confguração EIPC e a malha de elementos e (b) nvestgações observadas na lteratura...88 Fgura Coefcente de pressão na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC...89 x

14 Fgura Avalação nstantânea em * t = 5 utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão...90 Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EIPC para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) t * = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6 e (g) e (h) t * = 0, Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EIPL para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) t * = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6 e (g) e (h) t * = 0, Fgura Presença de nstabldades do tpo tabulero de xadrez no campo de pressão nas proxmdades do obstáculo para a Malha de elementos e confguração EIPL...94 Fgura Coefcentes de pressão no contorno superor do obstáculo utlzando a malha de elementos e a confguração EIPL...94 Fgura Resultados admensonalzados de velocdade na lnha central do domíno utlzando a malha de elementos e a confguração EIPL...95 Fgura Comparação entre dferentes parâmetros seletvos utlzando a malha de elementos e a confguração EDP...98 Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EDP para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) * t = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6, (g) e (h) t * = 0,8 e () e (j) t * = Fgura Avalação nstantânea em * t = 5 utlzando a malha de elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Fgura Avalação méda temporal na lnha de centro do domíno utlzando a malha de elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Fgura Avalação méda temporal na lnha de centro do domíno utlzando as malhas com e elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Fgura Lnhas de corrente obtdas nas proxmdades do obstáculo Fgura Avalação dos perfs de velocdade utlzando as malhas com e elementos e a confguração EDP para as seguntes posções: (a) x = 0 d, 0,5 d e 1,5 d, (b) x = 0,5d e (c) x = 1,5d Fgura Energa cnétca total da turbulênca méda avalada na lnha central do domíno105 xv

15 Fgura Malha rregular com elementos utlzando a confguração EDP Fgura Campos de velocdade e pressão admensonalzados na lnha central utlzando a confguração EDP e confrontando malhas com as seguntes dscretzações: (a) e (b) (unforme) versus (rregular) e (c) e (d) (unforme) versus (rregular) Fgura Avalação nstantânea em t * = 5 utlzando a malha rregular com elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Fgura Perfs de velocdade nas medações do obstáculo utlzando a confguração EDP e confrontando malhas com as seguntes dscretzações: (a), (b) e (c) (unforme) versus (rregular) e (c), (d) e (f) (unforme) versus (rregular) Fgura Energa cnétca total da turbulênca utlzando a confguração EDP e confrontando malhas com as seguntes dscretzações: (a) (unforme) versus (rregular) e (b) (unforme) versus (rregular) xv

16 ÍNDICE DE TABELAS Pág. Tabela Dscretzações utlzadas na avalação do tempo de processamento...76 Tabela Resumo dos dados utlzados na avalação do tempo de processamento empregando o método explícto-teratvo...77 Tabela Setores crados para avalar o tempo de processamento consumdo...79 Tabela Speed up observado a partr da utlzação das dretvas OpenMP para alocações do tpo estátca e dnâmca...81 Tabela Alternatvas adotadas no presente estudo e suas respectvas sglas...83 Tabela Resumo dos dados utlzados na smulação numérca sobre um prsma quadrado bdmensonal empregando o método explícto-teratvo e a malha com hexaedros Tabela Tempo computaconal e speed up observados para as três alternatvas avaladas Tabela Menor elemento da malha de elementos fntos e o tempo crítco, respectvamente, para a segunda dscretzação espacal utlzada Tabela Menor elemento das dscretzações rregulares e o tempo crítco para cada malha de elementos fntos empregada xv

17 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 Apresentação A smulação numérca de problemas relaconados à engenhara do vento fgura como uma das grandes barreras na solução computaconal de aplcações de engenhara. A solução desta varedade de escoamentos expõe dfculdades numércas não observadas em grande parte dos casos avalados através da Dnâmca dos Fludos Computaconal (DFC), tornando sua utlzação cercada de cudados e restrções. O emprego do método de dscretzação dos elementos fntos, por exemplo, acarreta em séras dfculdades na análse de problemas advectvo-domnantes e escoamentos ncompressíves, ambas as stuações ntmamente relaconadas a estudos da Engenhara do Vento Computaconal (EVC). Escoamentos externos (ou não confnados) são comumente examnados em problemas pertencentes à EVC, sendo estes observados em setores bastante dstntos da engenhara e das cêncas aplcadas. Desta manera, a análse de escoamentos não confnados permea desde avalações sobre edfcações, rsers marnhos e pontes, dspersão de poluentes nas proxmdades de plantas ndustras até a dentfcação do campo de velocdades sobre fazendas eólcas. Tradconalmente, problemas dentfcados como externos acarretam no emprego de domínos extremamente extensos, exgndo que um amplo montante de recursos computaconas seja alocado para sua eventual solução computaconal. Outro mportante desafo na análse numérca de escoamentos não confnados reca sobre a presença de corpos aerodnamcamente rombudos no nteror do domíno de cálculo. A colsão do escoamento ncdente sobre estes obstáculos ncta o aparecmento de fenômenos de natureza complexa, tas como separação, recolamento, transção, estera, desprendmento de vórtces, entre outros. Esta coletânea de efetos exge que tanto a dscretzação espacal como temporal das equações governantes sejam extremamente refnadas, acarretando em mas um ncremento consderável no tempo de processamento. No que dz respeto à modelagem da turbulênca, esta permanece em aberto dentro da Dnâmca dos Fludos Computaconal, uma vez que sua abordagem carece de uma metodologa defntva para análse de escoamentos turbulentos. Dada à mpratcabldade da solução dreta das equações de Naver-Stokes em grande parte dos casos relaconados à EVC, é de suma mportânca que o modelo escolhdo dentfque as prncpas estruturas turbulentas presentes no

18 2 escoamento e não seja responsável pela nserção de fenômenos nverossímes na solução numérca. 1.2 Objetvos, Metodologa e Organzação do Trabalho Problemas pertencentes à Engenhara do Vento Computaconal são caracterzados por demandarem elevados tempos de processamento e em mutos casos, domínos computaconas da ordem de qulômetros. No presente trabalho, vsando reduções no esforço computaconal, técncas de processamento paralelo e programação de alto desempenho são utlzadas. Assm, a partr de comparações entre alocações estátcas e dnâmcas e a mplementação de paralelsmo de memóra compartlhada utlzando dretvas OpenMP, stuações que usufruam dos recursos de hardware de manera mas efcente são prorzadas. No que dz respeto à avalação numérca desta varedade de escoamentos, a utlzação do método dos elementos fntos em problemas advectvo-domnados, em algumas stuações, mplca no aparecmento de osclações de ordem numérca nos campos de pressão. Assm, com o objetvo de obter uma avalação senta de nstabldades na caracterzação do escoamento sobre um prsma quadrado, o esquema temporal de Taylor-Galerkn explícto-teratvo e o esquema explícto de dos passos são analsados juntamente ao emprego de funções de nterpolação de ordens dstntas e dêntcas para velocdade e pressão. Para uma análse dos fenômenos orundos da colsão do escoamento ncdente com o obstáculo merso no domíno computaconal, malhas com dsposção unforme e rregular são utlzadas para dentfcar campos de velocdade e pressão na lnha central do escoamento e nas medações do obstáculo para um número de Reynolds gual a A modelagem da turbulênca é efetuada a partr da Smulação de Grandes Escalas, sendo as pequenas estruturas obtdas medante o modelo sub-malha de Smagornsky. Os assuntos que serão dscutdos no decorrer deste estudo são apresentados de manera sucnta na presente seção. Assm, os capítulos avalados nesta dssertação deverão abordar os seguntes temas: Capítulo 1: No prmero capítulo, uma análse a cerca dos prncpas aspectos relaconados à Engenhara do Vento Computaconal será desenvolvda, apresentando as aplcações de

19 3 engenhara englobadas por este segmento juntamente aos modelos de turbulênca comumente verfcados. Também serão enuncadas as maores dfculdades observadas na solução de problemas pertencentes a este segmento da Dnâmca dos Fludos Computaconal. Em seguda, uma apresentação das alternatvas vslumbradas na solução de escoamentos externos é verfcada juntamente a uma dscussão fenomenológca dos efetos decorrentes da presença de corpos rombudos mersos no nteror desta varedade de escoamentos. Anda neste capítulo, no que dz respeto a avalações dos efetos relaconados à turbulênca, as três prncpas abordagens são nspeconadas. Assm, os benefícos e prejuízos relaconados à Smulação Dreta da Turbulênca, a Modelagem Clássca e a Smulação de Grandes Escalas são dentfcadas. Fnalzando a revsão bblográfca ncada na seção 1.3, um exame do método dos elementos fntos a partr das prncpas abordagens numércas observadas na lteratura é nctado. Desta manera, uma nvestgação a respeto de enfoques utlzados tanto na avalação de escoamentos ncompressíves como advectvo-domnantes é apresentada. Capítulo 2: No segundo capítulo, uma apresentação das equações governantes na solução de escoamentos turbulentos, sotérmcos de fludos newtonanos é conferda. Na avalação da ncompressbldade do escoamento, a hpótese da pseudo-compressbldade é nserda. Para caracterzação das estruturas turbulentas, a fltragem espacal nerente a Smulação de Grandes Escalas é verfcada juntamente ao equaconamento referente ao modelo sub-malha de Smagornsky. Capítulo 3: No tercero capítulo, após a obtenção da formulação matemátca do problema em estudo, a modelagem numérca é nserda a partr do método dos elementos fntos. Os passos avalados para a abordagem numérca do presente trabalho são baseados no trabalho de [Petry, 2002]. Incalmente, a obtenção da formulação fraca ou dos resíduos ponderados é dentfcada para as equações de conservação. Em seguda, a partr do método de Bubnov-Galerkn, a formulação de elementos fntos é avalada. Na dscretzação temporal das equações governantes, dos esquemas são apresentados. Incalmente, o esquema temporal de Taylor Galerkn explícto-teratvo empregado em trabalhos anterores do grupo de estudo é avalado. Nos esforços de [Petry, 2002], [Xaver, 2008] e [Dos Santos, 2007], a utlzação deste método apresentou resultados satsfatóros na solução de

20 4 problemas confnados. Em seguda, o esquema temporal explícto de dos passos proposto por [Kawahara e Hrano, 1983] é detalhado. Fnalzando a formulação dos elementos fntos, a solução analítca do equaconamento empregando um ponto de ntegração no centro do elemento é conferda para hexaedros trlneares de oto nós. Na escolha das funções de nterpolação, velocdade e pressão são avaladas a partr de funções com ordens dstntas, e posterormente com ordens dêntcas. Capítulo 4: No quarto capítulo, técncas voltadas à computação de alto desempenho são apresentadas a partr de alocações que reduzam o tempo de processamento e dretvas vsando a paralelzação de tarefas. No presente trabalho, a dstrbução de ações é executada medante o conceto de paralelsmo de memóra compartlhada, utlzando a bbloteca OpenMP. Capítulo 5: No qunto capítulo, avalações referentes à alocação de elementos contdos em vetores e matrzes e resultados orundos da paralelzação do algortmo são apresentados para o esquema temporal explícto-teratvo utlzando funções de nterpolação dstntas para velocdade e pressão. Em um segundo momento, alternatvas vsando à solução senta de nstabldades em escoamentos externos advectvo-domnantes são propostas. Desta manera, três propostas são apresentadas: - Utlzação do esquema temporal de Taylor-Galerkn explícto-teratvo com funções de nterpolação dstntas para velocdade e pressão; - Utlzação do esquema temporal de Taylor-Galerkn explícto-teratvo com funções de nterpolação de mesma ordem para velocdade e pressão; - Utlzação do esquema temporal explícto de dos passos com funções de nterpolação de mesma ordem para velocdade e pressão. Anda neste capítulo, malhas com dsposção dos elementos unforme são confrontadas com confgurações rregulares. Os resultados obtdos são apresentados para um número de Reynolds gual a

21 5 Capítulo 6: No sexto capítulo, conclusões a cerca dos resultados obtdos no capítulo 5 são avaladas juntamente a propostas para trabalhos futuros. Capítulo 7: No sétmo capítulo, as referêncas bblográfcas utlzadas no presente trabalho são apresentadas em ordem alfabétca. 1.3 Aspectos Geras da Engenhara do Vento Computaconal (EVC) No ntuto de dstngur aplcações usualmente assocadas à Dnâmca dos Fludos Computaconal ( CFD - Computatonal Flud Dynamcs ) das aplcações de engenhara quase exclusvamente relaconadas ao vento, um novo campo de estudo fo estabelecdo na metade dos anos otenta. Desta manera, a Engenhara do Vento Computaconal ( CWE - Computatonal Wnd Engneerng ) fo naugurada assumndo rápda evolução nas últmas duas décadas. Entre os responsáves pela segmentação centfca supractada, Shuzo Murakam fgura como um dos pesqusadores que rendeu contrbuções mas relevantes aos avanços da EVC. Responsável pela edção da prmera publcação sobre o tema, Murakam responde por mportantes trabalhos relaconados á Engenhara do Vento Computaconal. Nos artgos publcados em 1997 e 1998, o autor apresenta, respectvamente, mportantes revsões a cerca do estado da arte das aplcações relaconadas à EVC e dos modelos de turbulênca comumente utlzados na solução de escoamentos sobre corpos rombudos. Desta manera, [Murakam, 1997] enunca os esforços empreenddos para a rápda evolução da EVC, sendo os prncpas concentrados nos seguntes assuntos: - Influênca dnâmca e térmca do vento sobre o corpo humano no projeto de zonas externas confortáves; - Análse da velocdade e pressão sobre corpos dtos rombudos (pontes, edfícos, montanhas, colnas, escarpas, entre outros); - Análse da nteração entre fludo e estrutura; - Dspersão de contamnantes ao redor de edfícos e quarterões; - Análse de problemas relaconados a ventos fortes nas medações de arranha-céus; - Planejamento de cdades a partr da avalação do conforto dnâmco e térmco em zonas externas;

22 6 - Predção das condções meteorológcas regonas. Outra mportante justfcatva para a cração da EVC está fundada nas dfculdades enfrentadas em problemas relaconados à engenhara do vento. Uma das prncpas barreras da EVC está relaconada ao tempo de processamento requerdo na solução de grande parte dos casos. A multplcdade de escalas, a observação de altos números de Reynolds e a necessdade de grandes domínos, nerentes à solução de escoamentos externos, faz com que mutos dos avanços neste campo de pesqusa esbarrem nas atuas confgurações computaconas. Para uma avalação dreta das equações que governam o escoamento, ou seja, senta de modelos de turbulênca, a solução de um número excessvamente grande de equações é exgda. No ntuto de ressaltar esta mpossbldade, [Slvera Neto, 2002] dentfca o número de equações necessáras para solução de escoamentos atmosfércos, um dos grandes desafos da Engenhara do Vento Computaconal. A expressão que defne a quantdade de equações (número de graus de lberdade) necessáras para solução de escoamentos trdmensonas é apresentada da segunte forma: L Ngl = = Re l 3 9/4 (1.1) onde L ndca a escala de comprmento característca e l a escala dsspatva de Kolmogorov. Assm, devdo á multplcdade de escalas envolvdas em escoamentos atmosfércos, é possível avalar estruturas que varam desde comprmentos qulométrcos até pequenas escalas de ordem mlmétrca. Para um escoamento onde L 500 km e l 1 mm, o número de equações necessáras é de 24 Ngl 10, muto aquém do valor de 8 10 pratcável com o atual poder computaconal observado. [She, 1997] apresenta este últmo valor no cálculo de escoamentos com turbulênca sotrópca para um número de Reynolds gual a 200. Neste sentdo, vsando reduzr drastcamente os valores observados na solução dreta das equações de Naver-Stokes, a utlzação de modelos de turbulênca torna-se fundamental em problemas da EVC. O emprego de modelos baseados na abordagem clássca da turbulênca, os quas smplfcam a solução das equações orgnas a partr de uma fltragem temporal das mesmas, fgurou como a prmera grande alternatva para redução da dscretzação necessára. Nesta avalação méda, conhecda popularmente como RANS ( Reynolds-Averaged Naver-Stokes equatons ), duas possbldades são observadas na predção da turbulênca: uma baseada no conceto da vscosdade turbulenta e outra nas equações de transporte do tensor de Reynolds.

23 7 A utlzação do modelo k ε, o mas dfunddo entre os modelos baseados na vscosdade turbulenta, apresenta uma sére de lmtações orundas de sua baxa unversaldade. Segundo [Murakam, 1997], a maor defcênca deste modelo está relaconada à superprodução da energa cnétca turbulenta na regão de colsão. Na modelagem baseada no tensor de Reynolds, modelos como SSG (Spezale-Sarkar-Gatsk) e FLT (Fu-Launder-Tselepdaks) nserem apenas pequenas melhoras na avalação de escoamentos sobre corpos rombudos, apesar da notável complexdade nserda na formulação. Porém, os maores avanços observados na solução de problemas relaconados à engenhara do vento computaconal não dervam da abordagem clássca da turbulênca [Murakam, 1998]. A smulação das grandes escalas ( LES Large Eddy Smulaton ), a qual resolve dretamente as grandes estruturas do escoamento e calcula as pequenas através de modelos sub-malha, permte que os resultados obtdos numercamente aproxmem-se daqueles verfcados expermentalmente. Esta metodologa, apesar de requstar uma dscretzação espacal e temporal superor àquela verfcada na solução va RANS, faz uso de modelos de turbulênca com maor unversaldade, uma vez que estão atrelados as escalas mas sotrópcas e homogêneas do escoamento (pequenas escalas). Dentre os modelos empregados, os de maor relevânca são o modelo sub-malha de Smagornsky e o sub-malha dnâmco, sendo este últmo responsável pelos resultados mas precsos na predção de escoamentos sobre corpos rombudos. Um exame mas apurado dos prncpas modelos de turbulênca será desenvolvdo na seção 1.5, a qual será destnada a uma revsão mnucosa sobre as prncpas metodologas adotadas na Engenhara do Vento Computaconal. Além da ampla dscretzação espacal requerda nas proxmdades do obstáculo decorrente da dversdade de estruturas presentes no escoamento sobre geometras complexas, é também necessáro que uma mportante dscretzação em âmbto temporal seja realzada. Outra mportante característca relaconada à engenhara do vento é decorrente da presença de obstáculos mersos no nteror do domíno de cálculo. Estes corpos, na maora dos casos rombudos, apresentam fenômenos complexos resultantes da colsão entre o escoamento ncdente e o obstáculo. Segundo [Cook, 1986], um corpo é aerodnamcamente rombudo quando as lnhas de corrente do escoamento não seguem suas superfíces sóldas, mas sm, descolam das mesmas dexando regões com separação e gerando desprendmento de vórtces. Estes fenômenos acarretam em um comportamento extremamente ansotrópco do tensor taxa de deformação, resultando em avalações estatístcas da turbulênca muto complcadas.

24 8 No detalhamento de escoamentos sobre edfícos, torres e pontes, e eventual análse da nteração entre fludo e estes elementos estruturas, usualmente utlzam-se corpos rombudos angulosos, como por exemplo, os prsmas de seção quadrada. Exemplos de avalações numércas sobre pontes e edfcações podem ser observados em [Braun e Awruch, 2003; Braun e Awruch, 2008; Braun e Awruch, 2009]. Na nvestgação computaconal do transporte e dspersão de poluentes, qualdade do ar nas proxmdades de plantas ndústras e de ncêndos florestas, fenômenos relaconados à estratfcação térmca da camada lmte atmosférca e rotação da Terra devem ser computados para descrever de forma fdedgna o escoamento do vento. Outro mportante campo de pesqusa a vslumbrar aplcações computaconas relaconadas à engenhara do vento é o das energas renováves, mas precsamente, na avalação de projetos os quas utlzam recursos advndos do vento. Metodologas baseadas na solução das equações de Naver-Stokes passaram a ocupar mportante espaço na caracterzação do comportamento do vento, servndo como mportante ferramenta no auxlo a medções efetuadas n loco. Segundo [Derckson et al., 2004], como conseqüênca do dmensonamento de parques eólcos utlzando uncamente medções locas de velocdade e dreção do vento, um grande número de turbnas eólcas está à mercê de um desgaste dnâmco acelerado advndo da turbulênca que atnge repetdamente o rotor, e apresentando desempenho aquém ao ponto de operação esperado. De acordo com [Lun et al., 2003], terrenos complexos localzados em áreas não urbanzadas podem conter objetos tas como árvores e rochas, os quas tornam as superfíces mas ou menos rugosas. Assm, escoamentos do vento são fortemente afetados por elementos presentes nas proxmdades do solo. Acdentes geográfcos como colnas e escarpas, dependendo da confguração dos mesmos, podem nduzr um aumento mportante de velocdade em seu topo ou mesmo nctar fenômenos como separação, descolamento, recolamento, desprendmento de vórtces, entre outros. Na avalação de projetos eólcos, uma caracterzação com alto grau de refnamento do campo de velocdades em mcro-stos deverá permtr uma nstalação aproprada de fazendas eólcas, e conseqüentemente, uma dsposção dos aerogeradores vsando maor aprovetamento da energa cnétca transportada pelo vento. Esta afrmação é faclmente justfcada, uma vez que o potencal eólco a ser extraído é proporconal ao cubo da velocdade. Desta manera, esforços relaconados à determnação do comportamento do vento sobre elementos topográfcos como colnas, escarpas e rochedos são comumente observados em trabalhos lgados a Engenhara do Vento Computaconal.

25 9 1.4 Escoamentos Externos sobre Corpos Imersos Na mecânca dos fludos, escoamentos externos, ou escoamentos não confnados, podem ser defndos como aqueles que apresentam efetos vscosos nas proxmdades de corpos mersos orundos do contato dreto entre o fludo e a frontera sólda. Fora desta regão fronterça, as tensões de csalhamento passam a ser neglgencadas e o escoamento é consderado nvíscdo. Escoamentos com estas característcas são comumente observados em mportantes aplcações de engenhara. Atvdades relaconadas à aerodnâmca, hdrodnâmca, transporte e engenhara do vento permeam esta varedade de escoamentos. No ntuto de determnar o comportamento de escoamentos não confnados, três técncas são usualmente empregadas: a teora da camada lmte, análses expermentas e soluções numércas através da Dnâmca dos Fludos Computaconal. A teora da camada lmte ( Boundary-Layer Theory ) objetva avalar o movmento na camada vscosa próxma as paredes sóldas e justapô-lo no escoamento nvíscdo externo [Whte, 2006]. Desenvolvda pelo estudoso alemão Ludwg Prandtl em 1904, esta análse é fundada na dentfcação de uma superfíce delgada onde os efetos frcconas são sgnfcatvos. A teora desenvolvda por Prandtl permtu a análse de escoamentos vscosos sem a necessdade de obter-se a solução completa das equações de Naver-Stokes, uma vez que as dfculdades matemátcas e computaconas agam como fator probtvo. A teora da camada lmte é extremamente nteressante e elucdatva, uma vez que permte uma maor compreensão do comportamento de escoamentos vscosos, porém, devdo ao fenômeno de separação, esta avalação comumente nvablza uma análse completa do escoamento. Dentre os mportantes esforços a cerca desta teora, é possível ressaltar o trabalho do pesqusador Hermann Schlchtng. Tendo em vsta que apenas uma varedade muto pequena dos escoamentos reas é passível de ser avalada através de métodos analítcos, a mecânca dos fludos tem dependdo muto dos resultados expermentas e numércos. A determnação da dnâmca dos fludos através de métodos expermentas é comumente fornecda a partr da análse dmensonal do problema. Esta metodologa permte planejar todo o processo de expermentação e compactar os dados observados, uma vez que esta técnca reduz o número e a complexdade das varáves que afetam a físca do problema [Whte, 2006]. De acordo com [Houghton e Boswell, 1969], no que tange a nvestgação expermental do

26 10 comportamento da camada lmte em escoamentos externos utlzando túnes de vento, os prncpas tópcos podem ser agrupados da segunte forma: - determnação do formato do perfl de velocdade; - determnação do ponto de transção; - determnação do ponto de separação; - determnação da tensão de csalhamento local na superfíce. Apesar do trabalho expermental em laboratóros ser mutas vezes smultaneamente dspendoso e demorado, sua utlzação fgura como ndspensável em númeras áreas do conhecmento. Em aplcações fludo-mecâncas, observações expermentas auxlam na verfcação de resultados analítcos, obtenção de correlações e mas recentemente, na valdação e desenvolvmento de códgos computaconas e modelos de turbulênca. A tercera va para avalação de escoamentos externos consste na utlzação de ferramentas baseadas na dnâmca dos fludos computaconal. Técncas modernas de smulação numérca, nas quas as equações governantes são fnamente resolvdas, têm sdo largamente desenvolvdas e empregadas de manera complementar a medções expermentas. Dscussões mas abalzadas sobre este tema, o qual será o escopo do presente trabalho, serão abordadas nos capítulos subseqüentes do presente trabalho. No que tange a observação de escoamentos sobre corpos submersos, uma avalação dos coefcentes aerodnâmcos nas medações destes obstáculos permte que verfcações mportantes a cerca da resstênca e sustentações sejam conferdas. Qualquer corpo de confguração aleatóra, quando merso em uma corrente de fludo, deverá expermentar forças e momentos advndos do escoamento. Se o corpo em análse possur tanto formato como orentação arbtráros, o escoamento exercerá forças e momentos nos três exos de coordenadas. A força ou resstênca exercda sobre corpo, decorrente do movmento de um fludo na dreção da corrente lvre, é conhecda como arrasto enquanto aquela exercda perpendcularmente à corrente lvre é conhecda como sustentação. Segundo [Shames, 2003], a resstênca de um corpo em um fludo é uma quantdade de dfícl determnação porque esta depende de uma sére de fenômenos mportantes, dentre eles, a transção da camada lmte e a separação. As forças de arrasto e sustentação, apresentadas a partr de seus respectvos coefcentes aerodnâmcos, são enuncadas da segunte forma: 2 AU FD C ρ = D (1.2) 2

27 11 2 AU FL C ρ = L (1.3) 2 onde C D e C L são os coefcentes de arrasto e sustentação, respectvamente, ρ é a massa específca, U é a velocdade da corrente lvre e A é a área de referênca. A fração 1 2 fo ntroduzda a fm de formar o termo referente à pressão dnâmca. O arrasto sobre o corpo representa a resstênca total devdo ao atrto e a parcela relatva à resstênca devdo à tensão normal, chamada de arrasto de pressão, ou de forma. Outro mportante coefcente empregado em ensaos de modelos aerodnâmcos é representado a partr do grupo admensonal o qual faz menção honrosa aos esforços do matemátco suíço Leonhard Euler ( ). O número de Euler (Eu), comumente chamado de coefcente de pressão C P, representa a razão entre as forças de pressão e as forças de nérca permtndo uma apresentação admensonal dos dados de pressão. Este coefcente aerodnâmco é observado a partr da segunte relação: C P p p0 = (1.4) 1 2 ρu 2 onde p é a pressão em análse e p 0 a pressão de referênca. Em escoamentos ncompressíves, sstemas geometrcamente smlares, ou seja, sstemas onde corpos com geometras smlares apresentam uma mesma orentação em relação à dreção da corrente lvre, os coefcentes admensonas C D e C L são função apenas do número de Reynolds (Re). Segundo [Schlchtng e Gersten, 2003], este prncípo de smlardade de Reynolds, o qual é váldo apenas em stuações onde as forças que atuam sobre o corpo são de natureza nercal ou vscosa, permte uma consderável smplfcação no trabalho expermental e na apresentação das curvas de nteresse prátco. No que dz respeto à análse fenomenológca de escoamentos externos, alguns assuntos costumam ser recorrentes na vasta lteratura observada sobre o tema. Para exemplfcar as estruturas passíves de serem observadas nesta varedade de escoamentos, a caracterzação do comportamento sobre clndros e esferas a partr do aumento de Re permte a dscussão dos prncpas efetos observados em escoamentos sobre corpos rombudos.

28 12 Para números de Reynolds nferores a undade, o escoamento apresenta um comportamento essencalmente vscoso (efetos nercas são neglgencados) não ocorrendo separação da camada lmte, como pode ser observado na Fgura 1.1(a). Assm, para Re 1, a estera formada a sotavento do obstáculo é lamnar e o arrasto de atrto é predomnante. Com um aumento sutl do número de Reynolds (1 < Re 10 ), pontos de separação da camada lmte lamnar são observados na regão trasera do corpo ncando a formação de uma estreta estera a sotavento do mesmo, Fgura 1.1(b). A separação, por sua vez, resulta de uma nversão do escoamento na regão referente à camada lmte e ocorre como resultado de um gradente de pressão adverso mposto pela corrente lvre sobre a camada delgada próxma a superfíce sólda. Segundo [Shames, 2003], a presença deste gradente adverso de pressão é uma condção necessára, mas não sufcente para separação. Desta manera, é passível de exstr gradente de pressão adverso sem que ocorra a separação, porém, sem gradente de pressão adverso, não poderá haver separação. Conforme Fgura 1.2, para ocorrênca de um gradente de pressão adverso (ou postvo) de pressão, a camada lmte deverá abrgar um ponto de nflexão, representado pela letra E. Um novo aumento do número de Reynolds (10 < Re 60 ) faz com que os pontos de separação da camada lmte lamnar movam-se na dreção dos pontos extremos da seção transversal crcular, Fgura 1.1(c). Este movmento acarreta um aumento da largura da estera à sotavento do obstáculo e conseqüentemente, do arrasto de forma. À medda que o número de Reynolds é elevado, o coefcente de arrasto passa a decar contnuamente. Como resultado da separação do escoamento, a resstênca passa a ser uma combnação dos arrastos de atrto e pressão. O aumento de Re faz com que a contrbução referente ao arrasto de pressão passe a sobrepujar a parcela relatva ao atrto. Segundo [Fox e McDonald, 2001], para um número de Reynolds de aproxmadamente 1000, a contrbução do atrto sobre o arrasto total é de apenas 5%. Elevando-se o número de Reynolds a valores entre 60 e 140, um par de vórtces smétrcos ncará a desenvolver-se em cada lado da lnha central horzontal do obstáculo. Neste momento, a posção dos pontos de separação deverá ser dêntca a dos pontos extremos da seção transversal crcular, conforme Fgura 1.1(d). Com a evolução no tempo, ambos os vórtces ncam um processo de estramento até que um formato assmétrco é observado entre eles, fazendo com que o sstema entre em colapso e um dos vórtces separe-se segundo a sotavento do obstáculo. O fenômeno subseqüente observado na estera é o desenvolvmento de uma confguração regular de

29 13 vórtces alternados conhecda como avenda, ou estera, de vórtces de von Kármán, Fgura 1.1(e). Este movmento fo largamente nvestgado por Theodor von Kármán, 1911, e é tpcamente observado em números de Reynolds entre 140 e 5x10 4. Segundo [Houghton e Boswell, 1969], apenas uma relação é observada entre Re e um parâmetro admensonal envolvendo a freqüênca de desprendmento. Este parâmetro é conhecdo como número de Strouhal e é defndo a partr da segunte expressão: nd S = (1.5) U onde n é a freqüênca de dsspação de vórtces e D é o comprmento característco do obstáculo. Em escoamentos sobre clndros, para Re 700, este grupo admensonal permanece aproxmadamente constante em S = 0, 21. Na estera de vórtces de von Kármán, a partr dos pontos de separação da camada lmte lamnar, um desprendmento de vórtces alternado é observado na parte posteror do obstáculo. Assm, enquanto um vórtce é gerado em um dos lados na lnha central da estera, outro vórtce é descolado das medações do obstáculo e segue a sotavento da esfera ou clndro. Quando o prmero vórtce supractado atngr um comprmento partcular e descolar-se do sstema, um novo vórtce será desenvolvdo no outro lado da lnha central. Este fenômeno é também responsável pelo comportamento osclante da força de sustentação sobre o clndro. Quando a freqüênca de dsspação de vórtces concde com a freqüênca natural de osclação do obstáculo, fenômenos como o cantar das lnhas telegráfcas e as batdas das adrças nos mastros das banderas são observados [Fox e McDonald, 2001]. Com um número de Reynolds elevado a valores entre e , o escoamento passa por um estágo dto crítco, uma vez que a transção a turbulênca é passível de ocorrer (Fgura 1.1(f)). Os pontos de separação observados na regão posteror do corpo deslocam-se a sotavento da seção méda do obstáculo, dmnundo o espaçamento entre eles e consequentemente, a espessura da estera. Este comportamento deve-se a maor adesão verfcada na camada lmte turbulenta. Nesta etapa, a força de pressão sobre o corpo é reduzda e o coefcente de arrasto dmnu abruptamente. Quando a transção é atngda, a camada lmte deverá apresentar uma maor quantdade de movmento em seu nteror, resstndo melhor ao gradente de pressão adverso. Em grande parte

30 14 das aplcações de engenhara este comportamento é de estrema mportânca, uma vez que a transção em um corpo rombudo retarda a separação e reduz drastcamente o arrasto. O fenômeno de transção, orundo da amplfcação de pequenas perturbações mpostas à camada lmte lamnar, é afetado dretamente pela rugosdade da esfera ou clndro e pela turbulênca presente na corrente lvre. Fgura Escoamento sobre um corpo rombudo arredondado em função do número Reynolds

31 15 Fgura Ponto de separação observado em escoamentos com gradente de pressão adverso Em corpos rombudos de confguração angulosa, a grande dferença está vnculada ao descolamento da camada lmte, o qual ocorre em pontos bem defndos: nas arestas. A ocorrênca do recolamento dependerá, dentre outros fatores, da dmensão do obstáculo na dreção prncpal do escoamento e do perfl de velocdade ncdente. Como pode ser observado na Fgura 1.3(a), obstáculos com dmensões maores na dreção prncpal apresentam recolamento nas faces superor e nferor antes do escoamento encontrar sua face posteror, fazendo com que um novo descolamento ocorra na aresta trasera. Em elementos com seções quadradas, Fgura 1.3(b), apenas um descolamento é observado, sendo este posconado na aresta frontal. Fgura Identfcação de pontos de separação em corpos rombudos angulosos em função das dmensões do obstáculo No que dz respeto ao escoamento ncdente, um perfl de velocdade unforme ncdndo sobre um prsma de seção quadrada deverá descolar na aresta frontal do obstáculo, sem que o

32 16 recolamento seja posterormente observado, Fgura 1.4(a). A utlzação de um perfl de velocdade não unforme deverá nduzr um recolamento antes do escoamento encontrar a face posteror do obstáculo, o que deverá gerar um novo ponto de separação, Fgura 1.4(b). Fgura Identfcação de pontos de separação em corpos rombudos angulosos em função do escoamento ncdente 1.5 Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos Em grande parte das aplcações prátcas verfcadas no cotdano, a dnâmca dos fludos apresenta característcas turbulentas. Este fato deve-se a amplfcação natural das pequenas perturbações njetadas no escoamento, as quas geram nstabldades responsáves pela transção. Dentre as prncpas característcas desta varedade de escoamentos, destaca-se a multplcdade de escalas, a qual vara desde grandes estruturas (baxas freqüêncas), controladas pela geometra que as geram, até as menores estruturas (altas freqüêncas), as quas são controladas pela vscosdade. A avalação de escoamentos dtos turbulentos mplca na nvestgação de fenômenos de natureza complexa. Desta manera, a análse de escoamentos turbulentos apresenta númeras dfculdades, as quas não são verfcadas em escoamentos nvscídos ou lamnares. Para exemplfcar este comportamento, [Schlchtng e Gersten, 2003] afrma que o aspecto mas notável desta varedade de escoamentos consste no fato de que tanto velocdade como pressão, em um determnado ponto do espaço, não permanecem constantes com o tempo, mas sm, realzam flutuações altamente rregulares e de alta freqüênca. Estas flutuações, as quas são sobrepostas no escoamento prncpal, são mportantes para o curso do escoamento e o equlíbro das forças.

33 17 Apesar das flutuações caótcas das varáves do escoamento serem de natureza determnístca, a smulação de escoamentos turbulentos permanece como um problema de engenhara em aberto. Segundo [Lomax, 1999], o sstema de equações resultante da modelagem matemátca baseada nas les de conservação de massa, energa e quantdade de movmento do meo contínuo possu solução exata apenas para um número reduzdo de escoamentos smples. Esta afrmação mplca na necessdade de utlzarem-se métodos numércos na avalação de escoamentos lamnares e turbulentos. O emprego de métodos numércos às equações de conservação permtu a obtenção da solução dreta das varáves prmáras do escoamento tanto em regmes lamnares como turbulentos. Esta abordagem anda está restrta a problemas relatvamente smples a baxos números de Reynolds, uma vez que demanda uma dscretzação espacal e temporal excessvamente elevada. A restrta aplcabldade da solução dreta das equações de Naver-Stokes acarretou na busca por soluções aproxmadas dos efetos da turbulênca. O procedmento clássco desenvolvdo por [Reynolds, 1895] consttu a base matemátca de grande parte dos programas computaconas baseados na metodologa conhecda como Dnâmca dos Fludos Computaconal. A smplfcação proposta por Reynolds mplca no aparecmento de correlações envolvendo flutuações de velocdade na equação da conservação da quantdade de movmento, fazendo com que um novo conjunto de equações que relacone as grandezas médas às grandezas nstantâneas seja provdencado [Slva Frere, 2002]. Esta avalação dos efetos relaconados ao fenômeno da turbulênca é comumente obtda a partr de duas abordagens dstntas: medante a utlzação de modelos baseados no conceto de vscosdade turbulenta e a partr de modelos baseados no transporte do tensor de Reynolds. A prmera técnca, a qual utlza modelos de fechamento de prmera ordem, é orunda da aproxmação proposta por [Boussnesq, 1877]. A últma, por sua vez, conhecda também como modelagem de fechamento de segunda ordem, avala a solução das equações de transporte dos termos não resolvdos da equação de conservação de momentum. Como será observado nas seções subseqüentes do presente capítulo, apesar da grande utldade conferda por esta metodologa, a smplfcação proposta por Reynolds ncorre em uma sére de prejuízos em mportantes problemas de engenhara. Neste sentdo, a metodologa conhecda como Smulação de Grandes Escalas, a qual resolve dretamente as grandes escalas da turbulênca e modela apenas as estruturas mas sotrópcas e homogêneas do escoamento, fgura como um dos avanços mas promssores na avalação de escoamentos turbulentos.

34 18 Na Fgura 1.5, a herarqua dos modelos de turbulênca é verfcada. Nesta apresentação é possível observar, além de um ordenamento baseado na precsão relaconada a cada modelo, uma comparação entre as escalas característcas e os tempos de processamento requerdos por cada abordagem. Fgura Herarqua dos modelos de turbulênca As próxmas seções deste capítulo serão destnadas a uma avalação mas apurada das abordagens de maor relevânca na Dnâmca dos Fludos Computaconal para avalação do fenômeno da turbulênca. Desta manera, serão dscutdos os benefícos e os prejuízos nerentes a cada modelagem Smulação Numérca Dreta A solução de escoamentos turbulentos é caracterzada por representar um sstema fechado de equações, ou seja, tanto para escoamentos sotérmcos como para aqueles onde a transferênca de calor é analsada, o número de equações governantes é equvalente ao número de ncógntas. Assm, com a utlzação de esquemas numércos adequados, é possível obter dretamente a solução das equações de conservação e da contnudade sem a necessdade de utlzarem-se constantes ajustáves. Esta abordagem é conhecda como Smulação Numérca Dreta ( DNS Drect Numercal Smulaton ) e sua futura utlzação em aplcações de engenhara está ntmamente relaconada a

35 19 consderáves avanços computaconas, restrngndo seu atual emprego a escoamentos com baxo número de Reynolds e geometras smples. A lmtação desta técnca está relaconada à multplcdade de escalas da turbulênca presente nos escoamentos turbulentos, exgndo que um número de graus de lberdade (Ngl) extremamente alto deva ser resolvdo. Este valor, o qual representa o produto entre o número de pontos utlzados na dscretzação espacal e as varáves em cada nó da malha, defne o número de equações a serem resolvdas. Como pode ser observado na Eq. (1.1), um aumento da razão entre a escala de comprmento característca e a menor escala da turbulênca, L e l, respectvamente, e do número de Reynolds tendem a elevar consderavelmente a dscretzação espacal necessára. Em problemas relaconados à Engenhara de Vento Computaconal (EVC), escoamentos turbulentos além de comumente apresentarem elevados números de Reynolds, abrgam escalas da turbulênca que varam desde dmensões qulométrcas até vórtces com apenas alguns mlímetros de extensão. Estes fatores acabam nvablzando a utlzação da solução dreta em aplcações da EVC, exgndo que modelos sejam nserdos às equações governantes para análse do fenômeno turbulênca. No que dz respeto à dscretzação temporal, o ncremento de tempo escolhdo deverá ser pequeno o sufcente para garantr a captura dos vórtces de alta freqüênca enquanto que o tempo total de ntegração deverá avalar um período sufcentemente grande para a obtenção de resultados estatstcamente convergdos [Dos Santos, 2007]. Segundo [Blazek, 2001], a quantdade de ntervalos de tempo necessáros para a smulação numérca dreta é da ordem de 3 Re. Apesar das séras restrções mpostas à metodologa DNS, esta tem consstdo uma mportante ferramenta no desenvolvmento e calbração de novos modelos, permtndo que nformações mportantes a cerca das estruturas turbulentas sejam analsadas. Assm, a rgorosa avalação das equações governantes permte que dados estatístcos de qualdade sejam obtdos através desta abordagem, os quas são comparáves a mnucosas observações expermentas. Em trabalhos relaconados à EVC, é possível ctar os esforços de [She et al., 1993] e [Le et al., 1993].

36 Smulação Numérca va Equações Médas de Reynolds Como observado na seção anteror, os escoamentos turbulentos presentes na natureza, quase em sua totaldade, exgem níves de dscretzação espacal e temporal superores as possbldades de processamento atual. Dante desta mportante lmtação e da mpossbldade de obter-se uma solução analítca das equações de Naver-Stokes, [Reynolds, 1895] propôs uma fltragem temporal das equações governantes que, com a evolução dos recursos computaconas dsponíves, promoveu consderáves avanços na solução numérca de escoamentos turbulentos. Esta metodologa é fundamentada na hpótese de que os escoamentos observados em aplcações prátcas de engenhara não requerem o nível de refnamento alcançado através da solução completa das equações de conservação. A Smulação Numérca va Equações Médas de Reynolds ( RANS Reynolds-Averaged Naver-Stokes equatons ), conhecda também como Modelagem Clássca da Turbulênca, permtu a análse numérca de númeras aplcações em âmbto ndustral, possbltando a redução de custos de produção na solução de problemas e auxlando no desenvolvmento de protótpos. Na metodologa apresentada por Reynolds, qualquer propredade do escoamento pode ser expressa através de sua quantdade méda e de uma flutuação assocada à turbulênca em torno desta méda. Assm, a decomposção temporal das varáves observadas em um escoamento turbulento sotérmco é dada através das seguntes relações: v = v + v p = p + p (1.6) Desta manera, para obtenção dos termos médos v e p, estes devem ser ntegrados em um ntervalo de tempo T sufcentemente grande no ntuto de garantr um regme dto estaconáro. Este processo pode ser descrto matematcamente pela Eq. (1.7) [Möller e Slvestrn, 2004]. As flutuações são obtdas através da subtração entre a varável em análse e sua méda temporal. 1 T f ( t) = f ( t) dt T (1.7) 0

37 21 Segundo [Deschamps, 2002], uma vez que as flutuações nstantâneas do escoamento são neglgencadas na solução, dscretzações espacas consderavelmente nferores são requerdas em comparação à smulação numérca dreta e hpóteses smplfcatvas são passíves de serem utlzadas. Para obtenção das equações médas relatvas à conservação da quantdade de movmento e da conservação de massa, faz-se necessáro substtur as decomposções apresentadas na Eq. (1.6) nas equações de conservação. No procedmento segunte, o operador méda temporal é aplcado juntamente a suas propredades, as quas são apresentadas por [Schlchtng e Gersten, 2003], resultando nas Equações Médas de Reynolds (equações de Naver-Stokes com médas de Reynolds). Para escoamentos turbulentos ncompressíves sotérmcos, as seguntes equações são obtdas: v x = 0 ( = 1, 2,3) em Ω t (1.8) v v 1 p v + v j = + ν v v j t x j ρ x x j x j (, j = 1,2,3) em Ω t (1.9) Avalando o equaconamento resultante da fltragem temporal, é possível verfcar que ambas apresentam modfcações quando comparadas às equações de Naver-Stokes. Na Eq. (1.8), o termo nstantâneo da velocdade é substtuído por sua componente méda, enquanto que na equação (1.9), é observado o aparecmento da méda entre o produto das flutuações de velocdade, conhecdo como tensor de Reynolds. Este termo relaconado à turbulênca tem caráter não lnear e nsere à análse numérca de escoamentos turbulentos va equações médas de Reynolds ses novas ncógntas. O aparecmento destes fluxos de quantdade de movmento mpõe a solução o conhecdo problema de fechamento, o qual é advndo da presença de um número de ncógntas maor em relação ao número de equações dsponíves. Segundo [Slvera Neto, 2002], a solução de uma equação de transporte para este tensor smétrco, o qual representa um momento de segunda ordem, resultara em um termo de tercera ordem a ser modelado. Este constante aumento da ordem dos termos e conseqüente aparecmento de um número cada vez maor de ncógntas dentfcam a dfculdade de obter-se o fechamento do sstema de equações. Esse exercíco pode ser observado em [Wlcox, 1994]. Dante desta severa mposção, modelos

38 22 de turbulênca são necessáros para predzer o efeto produzdo pelos termos adconas nas equações médas de Reynolds. [Boussnesq, 1877] propôs que o tensor smétrco de Reynolds, analogamente a le de Stokes para escoamentos lamnares, fosse representado através de um gradente local de velocdades médas e uma vscosdade assocada às condções locas do escoamento, denomnada vscosdade turbulenta. Esta aproxmação, a qual aumenta a dfusão através das contrbuções advndas da taxa de deformação do escoamento médo, é conhecda como Conceto de Vscosdade Turbulenta. Dentre as subdvsões observadas na aproxmação de Boussnesq, os modelos mas smplfcados são aqueles obtdos medante equações algébrcas. Esta modelagem fo naugurada por [Prandtl, 1925] através da Hpótese do Comprmento de Mstura. Apesar de requstarem baxos recursos computaconas para solução das equações governantes, estes modelos são de caráter restrtvo, uma vez que são obtdos através de constantes empírcas calbradas em função de escoamentos específcos. Vsando uma abordagem mas unversal dos efetos da turbulênca, modelos envolvendo a solução de equações dferencas são ntroduzdos ncalmente por [Prandtl, 1945]. Esta avalação fo apresentada através dos modelos a uma equação ( one-equatons models ), onde uma equação de transporte é resolvda para uma quantdade turbulenta (usualmente a energa cnétca turbulenta) enquanto uma segunda quantdade (usualmente a escala de comprmento da turbulênca) é obtda a partr de uma expressão algébrca [Davdson, 2003]. No entanto, apesar de representar um mportante avanço na obtenção da vscosdade turbulenta presente na hpótese de Boussnesq, esta varedade de modelos, da mesma forma que os modelos algébrcos, esta restrta a casos específcos. Dz-se que os modelos a uma equação apresentam uma análse ncompleta, já que não exste uma expressão geral para o comprmento de escala algébrco. Alternatvamente a esta proposção dta ncompleta, a utlzação de uma segunda equação de transporte em contraposção ao emprego de uma expressão algébrca adquru mportante espaço na modelagem de escoamentos turbulentos. Desta manera, o modelo utlzando duas equações de transporte ( two-equatons models ) permte uma captura mas verossíml das estruturas turbulentas, garantndo também uma maor unversaldade do equaconamento utlzado. Dvergêncas são observadas no que dz respeto à escolha de uma segunda varável, uma vez que a energa cnétca turbulenta, a qual é utlzada também em modelos a uma equação,

39 23 permanece sendo resolvda devdo ao pouco emprsmo envolvdo em sua obtenção. [Kolmogorov, 1942] propôs a solução da equação de transporte a partr da varável ω, conhecda como taxa de dsspação específca e com dmensão de -1 (tempo). [Wlcox, 1988], dante do estudo nacabado de Kolmogorov, rendeu esforços para o aprmoramento deste modelo. Nos trabalhos de [Chou, 1945], [Davdov, 1961], [Harlow e Nakayama, 1968], [Jones e Launder, 1973] e [Launder e Spaldng, 1974], utlzou-se a dsspação ε como segunda quantdade turbulenta. Enquanto [Spezale, Abd e Anderson, 1990] utlzaram à escala de tempo τ para reescrever a formulação obtda através de ε. Dentre as possbldades ctadas, fo através da modelagem utlzando as quantdades k e ε que os modelos a duas equações receberam maor notoredade. O equaconamento resultante da equação de transporte de ε apresenta combnações mas complexas que as observados na solução de k, exgndo a utlzação de um número maor de constantes ajustáves. Apesar de consstr uma metodologa computaconalmente pratcável, o modelo clássco k ε apresenta falhas em algumas stuações, como por exemplo, escoamentos com curvaturas de lnhas de corrente, gradentes adversos de pressão e escoamentos com regões de separação [Deschamps, 2002]. Este restrção é mutas vezes mnmzada a partr da utlzação de termos aproprados. No que tange a avalação de problemas relaconados à Engenhara do Vento Computaconal, a modelagem clássca utlzando k e ε apresenta como mportante defcênca a superprodução da energa cnétca da turbulênca ( k ) na regão de colsão, orunda do mpacto entre o escoamento ncdente e o obstáculo merso no nteror no domíno de cálculo. Vsando mnmzar este prejuízo, [Launder e Kato, 1993], a partr da modfcação do termo de produção, obtveram mportantes avanços com o modelo LK. Problemas relaconados à nconsstênca matemátca desta proposta fzeram com que novos problemas fossem observados e que autores como [Murakam, Mochda e Kondo, 1997] ndcassem revsões para a modelagem LK. Desta manera, a partr de um novo arranjo do termo de produção, o modelo MMK apresenta resultados satsfatóros no escoamento sobre corpos rombudos. Outra abordagem das equações de Naver-Stokes va méda de Reynolds não está fundamentada no conceto da vscosdade turbulenta. Nesta modelagem alternatva, o tensor de Reynolds, resultante da fltragem temporal das equações de Naver-Stokes, passa a ser resolvdo através da equação de transporte para todas as suas componentes. Como observado na dscussão a respeto do problema de fechamento, esta solução faz com que termos com ordens cada vez maores sejam ntroduzdos a partr de correlações entre flutuações da velocdade e pressão. Assm, para cada ses novas equações advndas do tensor smétrco de Reynolds, são nserdas

40 24 vnte e duas novas ncógntas. Para vablzar o processo de fechamento destas equações, são nserdas relações complementares de proporconaldade, as quas exgem a determnação de constantes ad-hoc [Slvera Neto, 2002]. Apesar de atrbur refnamento e maor unversaldade a solução quando comparados aos modelos obtdos através do conceto da vscosdade turbulenta, modelos para o transporte das tensões de Reynolds costumam adconar um esforço computaconal superor aos benefícos advndos de sua utlzação. Na EVC, o maor obstáculo dos modelos baseados no tensor de Reynolds ( RSM Reynolds Stress Models ) tem sdo aperfeçoar a obtenção de correlações de pressão-deformação para o termo de redstrbução φ j. Dentre os esforços mas notáves, é possível ctar os trabalhos de [Launder, Reece e Rod, 1975] com o modelo LRR, [Fu, Launder e Tselepdaks, 1987] com o modelo FLT e [Spezale, Sarkar e Gatsk, 1991] com o modelo SSG. Segundo [Murakam, 1998], a abordagem RSM não parece muto promssora em aplcações de engenhara do vento, uma vez que a sua avalação sobre corpos rombudos é nsatsfatóra, exgndo uma formulação demasadamente sofstcada Smulação de Grandes Escalas Devdo a defcêncas observadas nos modelos orundos do processo de méda temporal das equações de Naver-Stokes (RANS) e no alto custo computaconal ntrínseco a metodologa DNS, o surgmento de uma abordagem ntermedára, a qual é obtda a partr da smulação das grandes escalas do escoamento, possbltou que números problemas geometrcamente e fscamente complexos fossem avalados com elevado grau de refnamento. Desenvolvda pelo meteorologsta Joseph Smagornsky, 1963, vsando à predção numérca da crculação atmosférca, esta metodologa, naugurada em problemas de engenhara por [Deardorff, 1970], tem sdo amplamente utlzada por números pesqusadores no mundo todo e, acompanhando a evolução computaconal das últmas décadas, vem adqurndo crescente espaço no setor ndustral. A Smulação de Grandes Escalas ( LES Large Eddy Smulaton ) solucona dretamente as contrbuções referentes às escalas que governam a dnâmca local do escoamento (grandes escalas) e utlza modelos sub-malha para avalar as escalas de caráter mas unversal (pequenas escalas). Nesta análse, as grandes estruturas são aquelas responsáves pelo transporte de energa e quantdade de movmento enquanto as escalas conhecdas como sub-malha tendem a ser mas sotrópcas e menos afetadas pelas condções de contorno.

41 25 Apesar desta smplfcação na solução das equações governantes, a utlzação da Smulação das Grandes Escalas exge anda que uma elevada dscretzação espacal seja utlzada. Segundo [Chapman, 1979], o número de graus de lberdade necessáros na regão de corrente lvre é de 0,4 Re, enquanto que o refnamento exgdo para o cálculo da sub-camada vscosa é de 1,8 Re. No ntuto de mnmzar estes valores e conseqüentemente o tempo de processamento necessáro, funções de parede são comumente utlzadas em regões de camada lmte próxmas a paredes sóldas. [Werner e Wengle, 1991] apresentam em seus trabalhos condções de contorno que assumem ou uma dstrbução lnear ou a le de potênca para a velocdade nstantânea na regão fronterça à parede. Outra possbldade comumente adotada na redução do esforço computaconal está vnculada à utlzação de malhas que apresentem uma confguração rregular ( stretched ). Desta manera, é possível prorzar com um refnamento mas denso regões onde os efetos relaconados às pequenas escalas sejam de nteresse, enquanto uma dsposção gradualmente mas grossera é empregada em regões mas afastadas destes efetos. Na confecção de uma malha não unforme, é mportante observar uma transção gradual entre os elementos fntos no ntuto de evtarem-se erros de ordem numérca. Segundo [Murakam, 1998], o número de onda de corte para o espectro de energa entre as escalas resolvdas e as escalas sub-malhas está relaconado ao tamanho característco da malha,. Quando a razão de aspecto é superor ao valor de 1,05, o número de corte dfere consderavelmente entre elementos vznhos gerando osclações numércas. Outro problema nerente à construção de malhas rregulares está relaconado à escolha adequada da função fltro. Segundo [Slvera Neto, 2002], a aplcação de modelos sub-malha para malhas regulares não oferece dfculdades uma vez que os comprmentos característcos dos fltros são calculados dretamente da dmensão da malha. Para os casos de malhas rregulares, deve-se levar em conta este fato através de modfcações nos modelos orgnas. Para fortes ansotropas, [Scott e Meneveau, 1993] utlzam fatores de aspecto para avalar transções na construção da malha. Fltros para malhas rregulares são sugerdos também em [Vaslyev et al., 1997] e [Vaslyev et al., 1998]. No que dz respeto anda à Smulações de Grandes Escalas, malhas rregulares são observadas também através de dsposções não estruturadas. Importante revsão a cerca destas construções pode ser obtda no trabalho de [Popolek et al., 2006], onde elementos tetraédrcos são empregados em escoamentos lamnares e turbulentos na smulação numérca de cavdades e degraus. Anda como mportante esforço no desenvolvmento de malhas rregulares, [Popolek e

42 26 Awruch, 2006] apresentam malhas não estruturadas automatcamente adaptadas na smulação numérca de escamentos ncompressíves. A separação proposta pela modelagem LES permte que as grandezas envolvdas na solução das equações governantes sejam avaladas a partr de uma parcela referente às grandes escalas do escoamento e uma relaconada aos termos sub-malha. Estes últmos, os quas não são resolvdos dretamente, são posterormente avalados a partr da utlzação de modelos algébrcos. No ntuto de exemplfcar a fltragem espacal utlzada na Smulação das Grandes Escalas, a qual será dscutda mas enfatcamente na seção referente à modelagem matemátca, uma breve análse da formulação pode ser observada nas Eqs. (1.10) a (1.16). Desta manera, avalando uma varável genérca f ( x ), a separação das estruturas é realzada da segunte manera: f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) (1.10) Na obtenção do termo f ( x ), a segunte ntegral é resolvda: f ( x ) = ( ) ( ) f x G x x dx (1.11) Ω onde Ω é o domíno de ntegração, f ( x ) é a varável fltrada na posção x e G é a função fltro espacal. Esta função determna a estrutura e o tamanho das pequenas escalas a partr da dferença x x e do comprmento característco do fltro ( ), o qual determna a freqüênca de corte. Os fltros comumente utlzados são do tpo: (Fgura 1.6(a)), expansão truncada de Fourer (Fgura 1.6(b)) e Gaussano (Fgura 1.6(c)). No fltro tpo box, as seguntes condções são respetadas: n 1 se x x 2 x = 1 = 0 se x x > G( x ) (1.12) 2 Uma vez que determna a freqüênca de corte, caso o tamanho da malha apresente um tamanho análogo a esta dmensão característca, o processo de fltragem deverá se confundr com

43 27 a fltragem mposta pela dscretzação, mantendo as varáves constantes no nteror do volume da dscretzação. Fgura Funções fltro empregadas na modelagem LES; (a) Fltro box (b) expansão truncada de Fourer e (c) Gaussano Com o auxlo das propredades de fltragem espacal e da decomposção das varáves que governam o escoamento turbulento sotérmco de fludos ncompressíves, as seguntes equações são obtdas: v x = 0 (1.13) v + = t x j ρo x j x j x j 1 P v ( vv j ) δj ν ( v v j vv j v jv v v j ) (1.14) Como é possível verfcar na Eq. (1.14), a separação das escalas na equação da conservação da quantdade de movmento resulta no aparecmento de novas relações entre grandes e pequenas estruturas. Apesar da fltragem executada na smulação de grandes escalas ser de natureza dstnta daquela proposta na metodologa RANS, é possível observar que a solução desta equação, mas uma vez, esbarra no problema de fechamento. Analogamente a solução das equações médas de Reynolds, utlzam-se modelos de turbulênca para avalar estes termos não resolvdos pela malha, denomnados como sendo sub-malha ( SGS SubGrd Scale ). A prncpal função dos modelos de turbulênca sub-malha é a de smular a transferênca de energa entre as grandes e as pequenas escalas. Na méda, este transporte ocorre das maores estruturas presentes no escoamento para aquelas denomnadas sub-malha, gerando o processo conhecdo como cascata turbulenta ou cascata de energa de Kolmogorov. Apesar de não

44 28 representar o movmento médo, o processo nverso de transporte de energa, conhecdo como backscatter, também dever ser computado pelo modelo utlzado [Blazek, 2001]. Na avalação das escalas não resolvdas pelas equações governantes, é possível observar abordagens dstntas. O conceto de vscosdade turbulenta é o que mas amplamente é utlzado. Baseado na aproxmação de [Boussnesq, 1877] os efetos dsspatvos globas das pequenas escalas são avalados neglgencando eventos locas de energa assocados à convecção e a dfusão [Chung, 2002]. Estes modelos costumam ser mas smples e unversas quando comparados com aqueles utlzados na metodologa clássca. Dentre os modelos baseados no conceto da vscosdade turbulenta, o modelo proposto por [Smagornsky, 1963], ponero na modelagem sub-malha, anda contnua sendo o mas dfunddo. Este é baseado na hpótese do equlíbro local, a qual mplca na dsspação ntegral e nstantânea de toda a energa orunda das grandes escalas. O modelo algébrco para determnação da vscosdade turbulenta é apresentado a partr do segunte equação: ν = C S (1.15) T 2 2 s onde Cs é a constante de Smagornsky, é o comprmento característco do fltro e S é a magntude do tensor taxa de deformação. A constante de Smagornsky fo determnada analtcamente por [Llly, 1967] como sendo C s = 0,18, porém sua utlzação anda é amplamente dscutda e sua determnação vnculada ao escoamento em análse. Segundo [Murakam, 1997], a constante de Smagornsky pode assumr valores entre 0,1 e 0,25. Em aplcações de Engenhara de Vento Computaconal, mas especfcamente na caracterzação de escoamentos sobre corpos rombudos, a determnação de uma constante unversal C s torna-se uma tarefa dfícl, uma vez que são observadas dversas estruturas, como por exemplo, colsão, separação e desprendmento de vórtces. O mesmo autor, na análse numérca de escoamentos turbulentos sobre prsmas quadrados, utlza um valor de C s = 0,15 para escoamentos bdmensonas e C s = 0,10 em avalações trdmensonas. Esta dstnção observada exemplfca claramente a dfculdade de obter-se uma uncdade na mposção da constante de Smagornsky. No ntuto de elmnar esta defcênca observada no modelo sub-malha de Smagornsky, pode-se destacar os trabalhos propostos por [Yoshzawa, 1991], [Germano et al., 1991] e [Llly, 1992]. A partr dos esforços destes dos últmos pesqusadores, a Smulação de Grandes Escalas

45 29 atnge um refnamento anda maor da sua formulação através do modelo sub-malha dnâmco, o qual será dscutdo posterormente. Outra desvantagem do modelo de Smagornsky reca sobre a utlzação de uma constante no cálculo da vscosdade turbulenta. A conseqüênca desta smplfcação mplca em um modelo excessvamente dsspatvo, não permtndo que o fenômeno conhecdo como backscatter seja avalado. No tratamento de escoamentos turbulentos nas proxmdades de regões de parede, faz-se necessáro a utlzação de uma função de amortecmento empírca para que a constante Cs seja devdamente anulada na regão lamnar da camada lmte. Assm, no ntuto de nclur a redução da nfluênca das pequenas escalas no cálculo da vscosdade turbulenta, a função de amortecmento de Van Drest é comumente utlzada em regões próxmas à parede. Na smulação de escoamentos com baxo número de Reynolds sobre prsmas com seção quadrada, regões próxmas da superfíce do obstáculo que propcem um aumento abrupto do tensor taxa de deformação consttuem um problema para este modelo. Uma vez que Cs não é ajustado para cada stuação observada no escoamento, é possível que uma transção prematura para o regme turbulento venha a ser obtda numercamente, enquanto que fscamente este anda permanecera lamnar. Como observado anterormente, a solução desta defcênca orunda da mposção de uma constante ad-hoc ganhou maor notabldade através do modelo sub-malha dnâmco, desenvolvdo por [Germano et al., 1991] e revsado por [Llly, 1992]. Nesta abordagem, o modelo algébrco para obtenção da vscosdade turbulenta proposto por Smagornsky, 1963, é mantdo. A dferença essencal desta proposta está na obtenção da função de proporconaldade, a qual passa a computar efetos locas a partr de uma avalação dnâmca no espaço e no tempo. Vsto sso, a vscosdade turbulenta passa a ser nvestgada da segunte manera: T 2 Cd ( x, t) S ν = (1.16) Na obtenção deste parâmetro, [Germano et al., 1991] propuseram o emprego de um segundo processo de fltragem, o qual é conhecdo como fltro teste. Assm, juntamente ao fltro em nível de malha, um novo fltro de dmensão ˆ é sugerdo. O comprmento deste novo fltro deve ser maor que o fltro em nível de malha, de modo que comumente utlzam-se múltplos deste últmo para esta nova fltragem (usualmente ˆ = 2 ). Segundo [Slvera Neto,

46 ], a utlzação de comprmentos característcos dstntos permte que nformações a cerca do nível de energa entre as escalas dos dos fltros sejam empregadas na modelagem da transferênca desta grandeza entre as escalas resolvdas e as não resolvdas. Detalhes sobre a dupla fltragem supractada podem ser verfcados em [Petry e Awruch, 2006]. Na solução de problemas relaconados à EVC, a utlzação do procedmento de dupla fltragem permte a obtenção de resultados com maor grau de refnamento nas regões paretas quando comparados aos avalados pelo modelo clássco de Smagornsky. Além de possbltar uma maor precsão na predção de escoamentos turbulentos, o modelo sub-malha dnâmco não necessta que funções de amortecmento sejam utlzadas na regão referente à camada lmte, uma vez que este modelo conduz o valor de 1997]. C d nulo na regão de camada lmte [Murakam, Problemas advndos da utlzação de uma função de proporconaldade constante ao longo de todo o domíno, relaconados à mpossbldade de captar a transferênca de energa das pequenas para as grandes escalas ( backscatter ) e a transção prematura ao regme turbulento em regões com aumento abrupto do tensor taxa de deformação, são superados de manera satsfatóra através da utlzação de modelos dnâmcos. Em avalações relaconadas à EVC, escoamentos sobre prsmas de seção quadrada costumam apresentar um espectro de flutuações demasadamente grande para modelos mutas vezes sejam aperfeçoados vsando establzação da solução numérca. C d, exgndo que No ntuto transpor estas defcêncas, [Zang et al. 1993] e [Vreman et al. 1994] propõem a utlzação de um modelo dnâmco msto ( DM Dynamc Mxed model ), o qual é resultante da combnação lnear do modelo clássco dnâmco e do modelo de smlardade. [Meneveau et al. 1996] apresentam uma formulação onde C d é obtdo a partr do cálculo de quantdades médas em uma determnada trajetóra do escoamento. Este modelo é conhecdo como dnâmco Lagrangano ( LD Lagrangan Dynamc model ). A adção do modelo LD na formulação DM permte a obtenção de um tercero modelo, o dnâmco Lagrangano msto ( LDM - Lagrangan Dynamc Mxed model ), o qual apresenta os melhores resultados em escoamentos sobre prsmas de seção quadrada.

47 Método dos Elementos Fntos O método dos elementos fntos ( FEM Fnte Element Method ), ncalmente desenvolvdo para solução de problemas relaconados à mecânca dos sóldos, fgura como uma robusta técnca computaconal na solução de equações dferencas e ntegras nos mas dversos campos da engenhara e das cêncas aplcadas. Embora a avalação de problemas estruturas e fludo dnâmcos exba um comportamento smlar em números aspectos, o emprego do método dos elementos fntos para estes últmos casos ascendeu de manera mas lenta. Em problemas relaconados à mecânca dos fludos, duas mportantes dfculdades são observadas: (1) o tratamento de escoamentos ncompressíves e quase-ncompressíves e (2) a avalação de problemas advectvo-domnados através do método clássco de Galerkn [Zenkewcz et al., 2005]. A avalação de escoamentos a partr da hpótese da ncompressbldade acarreta em conseqüêncas matemátcas ntmamente relaconadas a esta aproxmação, uma vez que a formulação não apresenta a dervada temporal referente ao termo de pressão. Por esta razão, númeras estratégas são observadas na lteratura no ntuto de transpor esta dfculdade. Os prncpas enfoques são: método msto, método da penaldade, equação de Posson para pressão e método da pseudo-compressbldade. No método msto, velocdade e pressão são mantdas no mesmo conjunto de equações e resolvdas através da obtenção de expressões dos resíduos ponderados. Este enfoque mpõe uma forte restrção na compatblzação de subespaços de elementos fntos, já que a formulação fraca para este método apresenta dervações de prmera ordem para o termo de velocdade e não exbe dervação para o termo de pressão. Esta lmtação faz com que funções de nterpolação de ordens dstntas sejam utlzadas, sendo aquela relaconada à velocdade superor em uma ordem quando comparada à função referente à pressão. No método de penaldade, uma nova equação para a conservação de massa, a qual apresenta boa aproxmação para escoamentos ncompressíves, é avalada a partr do termo de pressão e de um parâmetro de penaldade. Desta manera, é possível descartar a pressão da equação da conservação da quantdade de movmento e obtê-la a posteror, medante a utlzação do campo de velocdades. Este enfoque apresenta como prncpal dfculdade estmar o parâmetro de penaldade para que a ncompressbldade seja aproxmada. Segundo [Reddy e Gartlng, 2001], exstem dos métodos de penaldade para avalação de escoamentos vscosos e

48 32 ncompressíves: o método de penaldade de ntegração reduzda e o método de penaldade consstente. No método que emprega a equação de Posson para a pressão, esta varável prmara é obtda a partr da substtução da equação da contnudade pela equação de Posson. Este enfoque, o qual mpossblta uma solução desacoplada das equações, fo desenvolvdo vsando superar dfculdades de convergênca em escoamentos ncompressíves [Azevedo, 1999]. No método da pseudo-compressbldade, enfoque utlzado no presente trabalho, a equação da conservação de massa é reescrta a partr da consderação que, em escoamentos reas, uma leve compressbldade é sempre observada. Esta hpótese é apoada na observação de valores fntos para a velocdade de propagação do som, ao contráro do prevsto pela hpótese clássca da ncompressbldade [Braun, 2007]. Detalhes sobre esta metodologa serão apresentados no capítulo referente à modelagem matemátca. A utlzação do método clássco de Galerkn em problemas advectvo-domnantes, ou seja, escoamentos onde os efetos nercas sobrepujam os efetos dfusvos, apresentam a manfestação de osclações espúras, exgndo que métodos de elementos fntos com característcas de establdade sejam empregados. Nesta varedade de escoamentos, caracterzados pelo alto número de Peclet ( Pe ) envolvdo, a resposta do processo advectvo a uma perturbação ocorre de manera mas acelerada quando comparada ao processo dfusvo (fenômeno relaconado à ocorrênca de baxos números de Peclet). Segundo [Gresho e San, 1999], em escoamentos onde Pe 1, uma vez que a dfusão é um processo de amortecmento com característca predomnantemente parabólca, estes requerem uma solução mas smples quando comparados a escoamentos com Pe 1, o qual apresenta comportamento hperbólco e não amortece a solução. As prmeras propostas para elmnação das osclações partram de déas orundas de esquemas aplcados ao método das dferenças fntas. Este tratamento dferencado aos termos advectvos são conhecdos como métodos de establzação ou upwnd. Dentre as metodologas mas mportantes para establzação de escoamentos convectvos, destacam-se os seguntes enfoques: método SPUG, método de Taylor-Galerkn e o método GLS. O método SPUG ( Streamlne Upwnd Petrov-Galerkn ), desenvolvdo por [Brooks e Hughes, 1982], apresenta mportante papel no desenvolvmento dos métodos de establzação. Uma evolução de esquemas do tpo ABD Ansotropc Balancng Dsspaton, o método SPUG permtu que osclações espúras fossem removdas de escoamentos advectvo-domnantes conferndo consstênca as equações. Segundo [Brasl Júnor, 2002], a déa prncpal deste

49 33 método é advnda da adção de uma dfusvdade artfcal na dreção das lnhas de corrente, através de uma modfcação das funções peso. Em esquemas baseados no método de dscretzação temporal de Taylor-Galerkn, a remoção das osclações espúras é verfcada através dos esforços de [Donea, 1984], o qual propõe a expansão temporal em sére de Taylor através da utlzação de termos de mas alta ordem. [Gresho e al. 1984], alternatvamente à proposta de Donea, sugerem o emprego de um coefcente de dfusão postvo para remover à desestablzação nserda através do erro de truncamento nerente a expansão em sére de Taylor. Este termo é conhecdo como tensor de balanço dfusvo ( BTD Balancng Dffusve Tensor ). No método Galerkn/mínmos-quadrados ( GLS Galerkn/least-squares ) proposto por [Hughes et al., 1989], os termos de establzação resultam do processo de mnmzação por mínmos quadrados. Segundo [Franca, 1998], o método GLS é consderado uma evolução do método SPUG, uma vez que combna característcas do método de Galerkn com o método de mínmos quadrados. Informações mas detalhadas sobre este método de establzação podem ser obtdas através dos trabalhos de [Franca e Frey, 1992], [Franca et al., 1992] e [Znan, 2006]. No que dz respeto à dscretzação temporal utlzando o método de Taylor-Galerkn, esquemas mplíctos, sem-mplctos e explíctos são passíves de serem empregados. Esquemas mplíctos apresentam a vantagem de serem ncondconalmente estáves, permtndo que altos valores de ncremento de tempo sejam utlzados. Porém, seu emprego apresenta o prejuízo de exgr um armazenamento de memóra excessvo. Esquemas explíctos, contraramente aos esquemas resolvdos mplctamente, são responsáves por baxo armazenamento de nformação na memóra central. Apesar deste mportante benefíco, estes são condconalmente estáves exgndo que o passo de tempo empregado esteja relaconado à multplcdade de escalas presente no escoamento, ou seja, o ncremento de tempo deve ser proporconal as menores escalas observadas. Porém, a aparente vantagem observada pela formulação mplícta frente à escolha do passo de tempo é dssolvda quando se avalam escoamentos em regme turbulento e altamente transentes, uma vez que passos de tempo reduzdos devem ser utlzados vsando à captura de fenômenos com altas freqüêncas. No presente estudo, dos esquemas explíctos dstntos serão avalados: o esquema de Taylor Galerkn explícto-teratvo e o esquema de dos passos desenvolvdo por [Kawahara e Hrano, 1983].

50 34 Segundo [Braun, 2007], esquemas sem-mplíctos são assnalados pela utlzação de característcas orundas tanto de esquemas mplíctos como explíctos. Uma análse detalhada desta formulação é apresentada por [Braun e Awruch, 2004]. Outra fonte de nstabldade verfcada no método dos elementos fntos é advnda da utlzação da quadratura de Gauss com ntegração reduzda para avalação das equações governantes em nível de elemento. A quadratura mínma exgda, por exemplo, para avalação completa de um elemento hexaédrco trlnear é de pelo menos oto pontos, o que demandara um esforço computaconal nexeqüível. Assm, a utlzação de uma ntegração dta reduzda, a qual avala apenas um únco ponto de ntegração no centro do elemento, mplca no aparecmento de modos espúros conhecdos como hourglass modes. Porém, segundo [Braun, 2007], estes modos espúros dfclmente são exctados em descrções puramente Euleranas, mas podendo aparecer em problemas envolvendo nteração fludo-estrutura.

51 35 2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 2.1 Equações que Governam a Dnâmca dos Fludos Na análse de escoamentos transentes, trdmensonas e sotérmcos, a solução das equações dferencas de conservação de massa e quantdade de movmento possblta que a dnâmca dos fludos seja avalada. Este conjunto de equações, o qual é apresentado através das Eqs. (2.1) e (2.2), pode ser observado mas detalhadamente em [Schlchtng e Gersten, 2003], [Shames, 2003] e [Whte, 2006]. Equação da conservação de massa Dρ v j + ρ = 0 Dt x j ( j = 1,2,3) em Ω (2.1) Equação da conservação da quantdade de movmento ( σ pδ ) D( ρv ) j j = Dt x j f (, j = 1,2,3) em Ω (2.2) sendo: D( ) - dervada total ou materal Dt ρ - massa específca do fludo v - componente da velocdade na dreção x - coordenada na dreção σ j - componente do tensor de tensões p - pressão δ j - delta de Kroenecker f - componente das forças de campo na dreção

52 36 As condções de contorno e ncas são expressas pelas equações (2.3) - (2.4) e equações (2.5) - (2.6), respectvamente. Na notação utlzada no presente trabalho, ΓD e condções de contorno mpostas no domíno fludo dnâmco Ω, sendo contorno essencal ou de Drchlet e Γ N representam as Γ D a condção de Γ N a condção de Neumann ou condção de contorno natural. Uma vez que não há superposção de frontera, temos que Ω = ΓD Γ N. Maores detalhes a cerca da mposção das condções de contorno podem ser observados em [Reddy e Gartlng, 2001] e [Gresho e San, 1999]. v ˆ ( = 1, 2,3) Γ (2.3) = v em D ( j p δ j ) n j = t ( = 1, 2,3) em Γ (2.4) σ N v = vˆ ( = 1, 2,3) em t = 0, Ω (2.5) 0 p = p ( = 1, 2,3) em t = 0, Ω (2.6) ˆ0 sendo: v ˆ - componente de velocdade na dreção prescrta no contorno t - componente das forças de superfíce na dreção prescrta no contorno n j - cosseno dretor do vetor normal ao contorno Γ N Γ D Γ N No ntuto de avalarem-se os termos referentes às forças de superfíce em escoamentos de fludos dtos Newtonanos, a equação consttutva (2.7) é nserda na equação da conservação da quantdade de movmento. v v v j k σ j = µ + + λ δ j x j x xk (, j = 1,2,3) em Ω (2.7)

53 37 onde: µ - coefcente de vscosdade dnâmca do fludo λ - coefcente de vscosdade volumétrca do fludo Expandndo as dervadas totas das equações (2.1) (2.2) e nserndo a equação consttutva (2.7) na equação da conservação da quantdade de movmento e na condção de contorno natural (2.4), as seguntes expressões são obtdas: Equação da conservação de massa ρ v j ρ ρ + + v j = 0 t x x j j ( j = 1,2,3) em Ω (2.8) Equação da conservação da quantdade de movmento ( ρ ) ( ρv v ) v j p v v j v k + + δ j µ + + λ δj f = 0 t x x j x j x j x x k (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.9) Condção de contorno natural ou de Neumann λ µ p + ( ρv ) δ + ( ρv ) + ( ρv ) n = t ρ x x x k j j j k ρ j (, j, k = 1,2,3) em Γ (2.10) N Compressbldade de um fludo é uma medda da varação do volume de um líqudo ou gás sobre a ação de forças externas [Schlchtng e Gersten, 2003]. Uma forma de avalar se a compressbldade pode ou não ser neglgencada é através da verfcação do número de Mach ( Ma ). Esta grandeza admensonal, a qual relacona as forças de nérca sobre as forças devdas à compressbldade do escoamento, é dada através da razão entre a velocdade do escoamento e a

54 38 velocdade de propagação do som. Para escoamentos onde o número de Mach é muto menor que a undade (ou seja, velocdade do escoamento muto nferor à velocdade de propagação do som), o fludo pode ser consderado ncompressível. Esta hpótese acarreta na utlzação de uma massa específca constante, fazendo com que as equações (2.8), (2.9) e (2.10) sejam reescrtas da segunte forma, respectvamente: v x j j = 0 ( j = 1,2,3) em Ω (2.11) ( ) ( v v ) v p v v v ρ ρ δ µ λ δ j j k j + + j f = 0 t x x j x j x j x x k (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.12) λ µ p + ( ρ0v ) δ + ( ρ0v ) + ( ρ0v ) n = t ρ k j j j 0 xk ρ0 x j x (, j, k = 1,2,3) em Γ (2.13) N Como observado anterormente, a avalação de escoamentos ncompressíves acarreta em séras dfculdades na solução numérca, gerando modos espúros de pressão, dfculdades de convergênca e a ausênca da varável de pressão na equação da conservação de massa, resultando no aparecmento de zeros na dagonal prncpal da matrz de massa [Azevedo, 1999] e [Petry, 2002]. Vsando superar estes problemas, o método da pseudo-compressbldade, desenvolvdo por [Kawahara e Hrano, 1983], propõe a manutenção do termo da dervada temporal da pressão na equação da contnudade e utlzação de um valor fnto para a velocdade de propagação do som. Fscamente, esta consderação está ancorada no fato de escoamentos reas (não deas) apresentam algum nível de compressbldade. Desta manera, é possível reescrever a equação da conservação de massa utlzando a pressão como função da massa específca. Segundo [Schlchtng e Gersten, 2003]: p = p( ρ) (2.14)

55 39 A dervação temporal da pressão é dada por: p p ρ =. t ρ t (2.15) Da defnção da velocdade de som C, temos: p = C ρ 2 (2.16) Logo, da substtução de (2.16) em (2.15), obtém-se: ρ = 1 p 2 t C t (2.17) Assm, substtundo a equação (2.17) na equação da conservação de massa, é possível reescrever a equação (2.8) nclundo a dervada da pressão no tempo. Desta manera, consderando a massa específca constante, a equação da contnudade para escoamentos quasencompressíves pode ser apresentada da segunte manera: t p 2 + C 0 v = 0 x j ( ρ j ) ( j = 1,2,3) em Ω (2.18) A partr da obtenção das equações de conservação (2.12) e (2.18), das condções de contorno apresentadas em (2.3) e (2.13) e das condções ncas (2.5) e (2.6), é possível avalar dretamente problemas envolvendo escoamento de fludos vscosos, transentes, trdmensonas, quase-ncompressíves e sotérmcos. No entanto, dante das restrções apresentadas na revsão bblográfca, esta abordagem não representa uma realdade na solução da maor parte dos problemas prátcos de engenhara. Desta manera, dante das dscretzações espacas e temporas exgdas pela metodologa DNS (prncpalmente em escoamentos com altos números de Reynolds), alternatvas para a avalação do fenômeno da turbulênca devem ser adotadas. A abordagem va Smulação das Grandes Escalas, utlzada no presente trabalho, avala as grandes escalas do escoamento de

56 40 manera análoga à smulação numérca dreta. Porém, vsando reduzr o esforço computaconal necessáro e conseqüentemente o tempo de processamento, esta metodologa emprega modelos de turbulênca sub-malha para avalar o comportamento das pequenas estruturas do escoamento. 2.2 Equações para Escoamentos Turbulentos va Smulação de Grande Escalas A Smulação de Grandes Escalas está atrelada essencalmente à separação das escalas presentes no escoamento. Desta manera, a partr de uma fltragem espacal das equações que governam a dnâmca dos fludos, as pequenas escalas são removdas e avaladas através de modelos de turbulênca. As varáves de campo do problema são decompostas em uma parcela referente às grandes escalas (representada através de uma barra) e outra referente às pequenas escalas (desgnada medante a utlzação do apostrofe). Desta manera, tem-se que: v = v + v (2.19) p = p + p (2.20) ρ = ρ + ρ (2.21) A partr da hpótese da massa especfca ser constante, assumda na seção anteror, tem-se que ρ = 0. Logo, o valor da massa específca será gual ao seu valor médo. Segundo [Leonard, 1974], o campo das grandes escalas é obtdo através da convolução entre uma varável genérca f e uma função fltro G( x ) : f ( x ) = ( ) ( ) f x G x x dx (2.22) Ω sendo a função fltro G do tpo box e defnda da segunte manera: n 1 se x x 2 x = 1 = 0 se x x > G( x ) (2.23) 2

57 41 onde é a dmensão do fltro na dreção e n é o número de dmensões do problema. Na utlzação de um fltro unforme, as operações matemátcas de fltros e dervadas parcas são comutatvas. Assm, sendo f e g duas varáves genércas quasquer, as seguntes propredades são observadas: f = f ; g = g ; f = 0 ; g = 0 f f g g = ; = x x x x (2.24) f + g = f + g gf gf ; gf gf ; gf = 0 Após a aplcação do operador fltro espacal e das propredades apresentadas em (2.24) nas equações de conservação de massa e quantdade de movmento, (2.12) e (2.18), respectvamente, as seguntes equações governantes são obtdas: Equação da conservação de massa ρ v p + C 2 0 j = t x j 0 ( j = 1,2,3) em Ω (2.25) Equação da conservação da quantdade de movmento p ( ρ0v ) + ( ρ0vv j ) + δj ν ( ρ0v ) + ( ρ0v j ) + t x j x j x j x j x λ + ( ρ0vk ) δj f = 0 ρ0 xk (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.26) Na equação (2.26), é possível dentfcar que o termo não lnear resultante da operação de fltragem espacal é apresentado através de um produto fltrado, o qual mpossblta a solução do sstema de equações. Aplcando as decomposções para as varáves prmáras do problema

58 42 obtdas através das Eqs. (2.19) a (2.21), este produto fltrado pode ser escrto da segunte manera: v v = v v + v v + v v + v v + L (, j = 1, 2,3) (2.27) j j j j j j onde Lj são os termos adconas sugerdos por [Leonard, 1974], os quas levam o nome deste mesmo autor. Substtundo a Eq. (2.27) em (2.26), podemos reescrever a equação da conservação da quantdade de movmento da segunte forma: p λ ( ρ0v ) + ( ρ0vv j ) + δj ν ( ρ0v ) + ( ρ0v j ) + ( ρ0vk ) δj + t x j x j x j x j x ρ0 xk + { ρ0 ( Lj + Cj + τ j )} f = 0 x j (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.28) Na equação (2.28), os tensores adconas orundos do produto fltrado são: Lj = v v j v v j Tensor de Leonard (, j = 1, 2,3) (2.29) C = v v + v v Tensor cruzado (, j = 1, 2,3) (2.30) j j j τ = v v Tensor de Reynolds sub - malha (, j = 1, 2,3) (2.31) j j O tensor de Leonard L j (responsável pelas nterações entre os grandes vórtces responsáves pela produção da turbulênca nas pequenas escalas) e o tensor cruzado C j (responsável pela nteração entre os vórtces de grande e pequena escala) são modelados a partr da aproxmação de [Clark et al., 1979], os quas sugerem expressar a soma destes tensores através de uma expansão de Taylor do campo fltrado [Slvera Neto, 2002]. Segundo [Fndkaks e Street, 1979], esta adção é apresentada pela segunte equação: C j + L j 2 k v = 2γ x k v x j k (, j = 1, 2,3) (2.32)

59 43 Para a constante γ, um valor gual a 6 é comumente utlzado. De acordo com [Petry e Awruch, 1997], a nserção dos tensores de Leonard e cruzado na formulação va Smulação de Grandes Escalas altera de manera desprezível os resultados, acarretando em um acréscmo mportante no tempo de processamento. Desta manera, ambos os termos podem ser neglgencados [Fndkaks e Street, 1982]. p λ ( ρ0v ) + ( ρ0vv j ) + δj ν ( ρ0v ) + ( ρ0v j ) + ( ρ0vk ) δj + t x j x j x j x j x ρ0 xk + { ρ0v v j} f = 0 x j (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.33) Aplcando o processo de fltragem na condção de contorno de Neumann, a segunte equação é obtda: λ p + ( ρ0v ) δ + ν ( ρ0v ) + ( ρ0v ) n = t ρ0 x x x k j j j k j (, j, k = 1, 2,3) em Ω (2.34) Após o procedmento de fltragem espacal proposto na smulação numérca das grandes escalas, as equações resultantes (2.25) e (2.33) são responsáves por governar o escoamento turbulento de fludos Newtonanos, sotérmcos e quase-ncompressíves. Estas são, por sua vez, utlzadas conjuntamente às condções de contorno essencal e natural, (2.3) e (2.34), respectvamente, e as condções ncas apresentadas em (2.5) e (2.6). O tensor de Reynolds submalha, resultado do movmento das escalas nferores em nível de malha, é obtdo através da utlzação de modelos de turbulênca, uma vez que não são computados dretamente através das equações governantes. 2.3 Modelos de Turbulênca Sub-Malha Os modelos de turbulênca sub-malha têm como prncpal função descrever a transferênca de energa entre as grandes e as pequenas estruturas do escoamento. Segundo [Slvera Neto,

60 ], estes podem ser classfcados a partr de dos grupos báscos: aqueles que dependem da vscosdade turbulenta (hpótese de Boussnesq) e aqueles que não dependem da vscosdade turbulenta. Após o emprego do procedmento de fltragem espacal na equação da conservação da quantdade de movmento, é possível observar o aparecmento de termos relaconados às pequenas escalas do escoamento, os quas não são dretamente resolvdos através das equações governantes. Assm, após a remoção do tensor de Leonard e do tensor cruzado, as estruturas de alta freqüênca remanescentes no equaconamento são representadas através do produto fltrado v v, o qual deve ser resolvdo medante a utlzação de modelos de fechamento. j Devdo às pequenas escalas do escoamento apresentarem um caráter mas homogêneo e sotrópco quando comparadas as escalas responsáves pelo transporte de energa e quantdade de movmento (grandes escalas), os modelos de turbulênca sub-malha desenvolvdos para a abordagem LES são em geral mas smples e unversas do que os voltados a metodologa RANS. Dentre os modelos exstentes, os dependentes da vscosdade turbulenta, orundos da hpótese de Boussnesq, são os mas amplamente dfunddos. Esta aproxmação, a partr da analoga estabelecda com a le da vscosdade de Stokes, expressa o tensor de Reynolds submalha em função da taxa de deformação gerada pelo campo de velocdades fltrado S j e da energa cnétca turbulenta sub-malha K SM. Desta manera, a partr da forma generalzada proposta por Kolmogorov (1942), o tensor de Reynolds sub-malha para escoamentos completamente ncompressíves é modelado através da segunte expressão: 2 v v j = 2ν T Sj KSMδj (2.35) 3 onde ν T é a vscosdade turbulenta a ser modelada e os termos partr das equações (2.36) e (2.37). Sj e K SM são apresentados a S j 1 v = 2 x j v + x j (2.36) 1 K = v v 2 SM (2.37)

61 45 No presente estudo, a hpótese da pseudo-compressbldade permte que a aproxmação orgnal estabelecda por Boussnesq seja utlzada, neglgencando assm, a energa cnétca turbulenta sub-malha. Desta manera, substtundo (2.36) em (2.35), obtém-se a segunte relação para o tensor de Reynolds sub-malha: v v v ν j = T + x j v j x (2.38) No ntuto de avalar o comportamento das escalas nferores à resolução da malha, modelos de turbulênca devem ser propostos para descrever o comportamento da vscosdade turbulenta Modelo de Smagornsky O modelo de Smagornsky é uma adaptação à teora do comprmento de mstura apresentada por [Prandtl, 1945]. Na formulação voltada à modelagem clássca desenvolvda por este últmo autor, a vscosdade turbulenta é proporconal às escalas característcas da turbulênca (comprmento de mstura) multplcada por uma velocdade característca turbulenta. Analogamente, o modelo sub-malha de Smagornsky propõe que a vscosdade turbulenta na Smulação das Grandes Escalas seja proporconal ao comprmento característco sub-malha e também a uma velocdade sub-malha característca, representada pela magntude do tensor taxa de deformação S [Leseur et al., 2005]. ν = C S (2.39) T 2 2 s onde CS é a constante de proporconaldade de Smagornsky. Os termos e S são apresentados da segunte manera: = 3 3 = 1 x (2.40) S = 2S j S j (2.41)

62 46 3 MODELAGEM NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS 3.1 Método dos Elementos Fntos O método dos elementos fntos consste em um procedmento de dscretzação de problemas contínuos através de relações matematcamente defndas. Desta manera, o método está fundado na possbldade de avalar um dado domíno a partr da unão de um número fnto de geometras smples (elementos fntos) e de um número fnto de parâmetros. Em seguda, a solução do sstema completo é obtda a partr da montagem ( assembly ) destes subdomínos. Segundo [Reddy e Gartlng, 2001], a solução de uma equação dferencal pode ser representada como a combnação lnear de parâmetros c j e de funções aproxmadas φ seleconadas apropradamente em todo o domíno do problema. Os parâmetros c j são determnados de manera que a solução da equação dferencal seja satsfeta, enquanto as funções φ devem satsfazer as condções de contorno do problema. As funções aproxmadas são comumente obtdas utlzando os concetos da teora da nterpolação. A defnção destas funções, também conhecdas como funções de nterpolação, dependerá da forma do elemento escolhdo e do número de nós que defnem a geometra. Maores detalhes sobre o método dos elementos fntos na solução de problemas fludo dnâmcos são abordados nos prncpas trabalhos da área, os quas podem ser atrbuídos a [Reddy e Gartlng, 2001; Gresho e San, 1999; Zenkewcz et al., 2005]. Na obtenção da solução aproxmada, os prmeros autores dentfcam como essencas os seguntes passos: 1 Dscretzação do domíno em um conjunto de elementos fntos (geração da malha de elementos fntos); 2 Formulação ntegro-ponderada ou fraca das equações dferencas a serem analsadas; 3 Desenvolvmento do modelo de elementos fntos do problema utlzando sua forma ntegroponderada ou fraca; 4 Montagem ( Assembly ) dos elementos fntos para obtenção do sstema global das equações algébrcas; 5 Imposção das condções de contorno; 6 Solução das equações;

63 47 7 Pós-processamento da solução e das varáves de nteresse. Desta manera, as seções seguntes do presente capítulo serão reservadas a apresentação dos passos (2) a (5). O pré e pós-processamento, passos (1) e (7), respectvamente, foram obtdos medante a utlzação dos programas Patran 2004 e Tecplot 10 e ambos serão apresentados no Capítulo 5. Na execução do passo (6), utlzou-se a lnguagem Fortran 90. Informações referentes à confguração do equpamento utlzado na solução das equações serão apresentadas na seção 5.1 do capítulo de resultados. 3.2 Formulação dos Resíduos Ponderados do Problema O prncpal objetvo do método dos elementos fntos é gerar funções de aproxmação requerdas na solução das equações dferencas através do método varaconal ou dos resíduos ponderados. Ambos os métodos objetvam satsfazer, de manera ntegro-ponderada, as equações dferencas governantes do problema em análse [Reddy e Gartlng, 2001]. No método dos resíduos ponderados, o modelo de elementos fntos necessáro para solução de escoamentos turbulentos de fludos Newtonanos, sotérmcos e quasencompressíves passa pela solução da sua respectva forma fraca. Segundo [Zenkewcz et al., 2005], a formulação fraca consste em uma avalação mas permssível das equações governantes. Na formulação dos resíduos ponderados, um procedmento determnado através de três passos deve ser segudo para obtenção da forma fraca. Incalmente, os termos não nulos presentes nas equações (2.25) e (2.33) são passados para um dos lados da gualdade, multplcando as equações resultantes pela função peso e ntegrando sobre todo o domíno do elemento. Assm, a confguração das equações governantes é apresentada a partr das expressões (3.1) e (3.2). Equação da Conservação de Massa: Ω * p ( ρ * 2 0v j ) p dω + p C dω = 0 t x (3.1) Ω j

64 48 Equação da Conservação da Quantdade de Movmento: v v dω + v v v dω v + v + v dω t x x x x * * * ( ρ0 ) j ( ρ0 ) ( ν ν t ) ( ρ0 ) ( ρ0 j ) Ω Ω j Ω j j * λ * p * v ( ρ0vk ) δj d Ω + v δjdω v fdω = 0 x j ρ0 x k x Ω Ω j Ω (3.2) onde: * p - função peso para a pressão, com valor arbtráro no domíno do elemento, exceto no contorno; * v - função peso para a velocdade, com valor arbtráro no domíno do elemento, exceto no contorno; Desta manera, para cada função peso nserda nas equações de conservação, obtém-se uma equação algébrca. Na formulação fraca, a exgênca da contnudade é reduzda (ou enfraquecda) pela movmentação de algumas das dferencações para a função peso. No segundo passo, a dferencação entre as varáves prmáras e as funções de aproxmação é dstrbuída gualmente para que ambas sejam dferencáves apenas uma vez em relação às coordenadas. Fnalmente, no ntuto de nclur a condção de contorno natural na equação da conservação da quantdade de movmento, utlza-se a ntegração por partes (ou teorema de Gauss-Green) nos termos dfusvos e de pressão. Utlzando a ntegração por partes nos termos dfusvos, a segunte equação é obtda: ( ν ν ) ( ρ v ) ( ρ vj ) ( ρ v ) ( ρ0vj ) * 0 + t + Ω x j xj x Ω ( ρ v ) ( ρ vj ) * * 0 0 v 0 0 v ( ν + νt ) + dω = ( ν + νt ) + dω x j x j x x j x j x Ω Ω v d (3.3) Com a aplcação do teorema de Gauss-Green no últmo termo da equação (3.3), a ntegral sobre o domíno Ω é transformada em uma ntegral de contorno:

65 49 * * 0 0 v 0 0 v ( ν + νt ) + dω = ( ν + νt ) + dω x j x j x x j x j x Ω Ω ( ρ v ) ( ρ vj ) ( ρ v ) ( ρ0v j ) * 0 v ( ν + νt ) + njdγ x j x Γ ( ρ v ) ( ρ vj ) (3.4) Aplcando o mesmo procedmento nos termos referentes à vscosdade volumétrca e à pressão, a segunte expressão fnal de resíduos ponderados é obtda para a equação da conservação da quantdade de movmento: ( ρ v ) ( ρ0v j ) ( ρ v ) ( ρ0v j ) ρ v ρ v v v dω + v v dω dω * * 0 * 0 0 j ( ν ν t ) t x j x j x j x Ω Ω Ω * * v λ ρ0 v k v * + δj dω pdω v fdω x j ρ0 x k x Ω Ω j Ω λ ρ v ( ) n jdγ = 0 * 0 k 0 v pδ j + + ν + ν t + ρ0 xk x j x Γ (3.5) Na equação (3.5), o últmo termo revela o aparecmento da condção de contorno de 2ª espéce. Segundo [Olvera Jr., 2006], a utlzação desta condção de contorno nas equações de Naver-Stokes faz com que esse tpo de condção seja naturalmente satsfeta na resolução do problema. Assm a condção de contorno de 2ª espéce é também chamada de condção natural. 3.3 Equações de Elementos Fntos do Problema A formulação fraca ou dos resíduos ponderados para solução de escoamentos turbulentos de fludos Newtonanos, sotérmcos e quase-ncompressíves, a qual é apresentada através das equações (3.1) e (3.5), requer a utlzação de aproxmações para as varáves prmáras do problema sobre um elemento fnto típco. No presente trabalho, o método clássco de Galerkn, também conhecdo como método de Bubnov-Galerkn, é utlzado. Nesta abordagem, tanto a função peso como as varáves do problema são representadas através da combnação lnear entre a função de nterpolação e as varáves a serem aproxmadas nos nós do elemento. A formulação resultante é enuncada a partr das seguntes relações:

66 50 v ( x, y, z) = φ( x, y, z) v * * v ( x, y, z) = φ( x, y, z) v p( x, y, z) = ψ ( x, y, z) p p ( x, y, z) = ψ ( x, y, z) p * * e em Ω (3.6) onde: - vetor de valores nodas da componente da velocdade; v φ - vetor de funções de nterpolação para a velocdade; * v - vetor de valores nodas da função peso de velocdade; p - vetor de valores nodas para a pressão; ψ - vetor de funções de nterpolação para a pressão; p * - vetor de valores nodas da função peso de pressão; e Ω - domíno do elemento; Medante a substtução das equações apresentadas em (3.6) na formulação fnal de resíduos ponderados (3.1) e (3.5), as seguntes equações conservatvas são obtdas: Equação da Conservação de Massa: ( ψ p) ( ρ φv ) p dω + p C dω = 0 T * T * 2 0 j ψ ψ e t e x Ω Ω j (3.7) Equação da Conservação da Quantdade de Movmento: ( φv j ) ( φv ) T T * ( φv ) ( ) ( ) * φ v T T * φ v φ φ φ j ( ν ν t ) e t e x j e x j x Ω Ω Ω j e Ω v dω + v v dω + + dω φ φ φ ν + ν Ω + δ dω T * T * ( v ) λ ( v ) ( vk ) ( t ) d x j x ρ 0 e x j x Ω k 1 φ 1 Ω Ω = e ρ Ω T * ( v ) T * T ψ pd φ v fd φ 0 x j e ρ Ω 0 e Γ * v SdΓ j (3.8)

67 51 onde: ( v ) ( v j ) p λ v S = δ + + ( ν + ν ) + n k j t j ρ0 ρ0 xk x j x (3.9) sendo: e Γ - contorno do elemento; Isolando as funções peso nas equações de conservação (3.7)-(3.8) e utlzando um ponto acma da varável no ntuto de ndcar a dervada temporal, obtém-se a segunte formulação de elementos fntos: Equação da conservação de massa: φ T 2 T ( ψ ψ ) p dω + ρ0c ψ dω v j = 0 e e x Ω Ω j (3.10) Equação da conservação da quantdade de movmento: T T ( φ ) φ φ T T ( φ φ) dω ( v ) + ( φ φ) v j dω ( v ) + ( ν + ν t ) dω( v ) x j x j x j e e e Ω Ω Ω T T T φ φ λ φ φ 1 ( φ ) + dω ( v j ) + dω( vk ) δj ψ dω( p) e x j x ρ 0 e x j xk ρ 0 e x Ω Ω Ω j 1 T T = φ fdω + φ SdΓ ρ e 0 e Ω Γ (3.11) Como observado através da equação (2.39), a obtenção da vscosdade turbulenta ν t está vnculada ao cálculo da magntude da taxa de deformação S. Para um escoamento trdmensonal, esta é avalada da segunte manera:

68 T T T φ φ φ T T φ φ S = 2 ( v1 ) + ( v2 ) + ( v3 ) + 2 ( v1 ) ( v2 ) + x1 x2 x3 x2 x1 T T T T T T φ φ φ φ φ φ + ( v1 ) ( v3 ) + ( v3 ) ( v2 ) + ( v1 ) + v x3 x1 x2 x3 x2 x1 1 T 2 T 2 T 2 T 2 2 φ φ φ φ + ( v1 ) + ( v3 ) + ( v2 ) + ( v3 ) x3 x1 x3 x2 2 ( ) 2 2 (3.12) Vsando uma apresentação mas compacta para a formulação em elementos fntos das equações (3.10) e (3.11), as mesmas podem ser expressas da segunte forma: Equação da conservação de massa: M T p p+ G j v j = 0 (3.13) onde: M p T = ψ ψ dω ; e Ω φ = ρ ψ Ω ; T 2 T G j 0C d e x Ω j (3.14) Equação da conservação da quantdade de movmento: M v v + Ajv + Djv j G p = F (3.15) onde: M v T = φ φdω ; e Ω T φ T Aj = ( φ φ ) v j dω x j e Ω ;

69 53 D j = j = 1, k = 2,3; = j = 2, k = 3,1; = j = 3, k = 1, 2 T T λ φ φ φ φ 2( ˆ ν ) ( ˆ + ν t + dω + ν + ν t ) dω e ρ 0 x x e xk x Ω Ω k = j T T φ φ λ φ φ ( ˆ ν j + ν t ) dω + dω e x x j e ρ 0 x j x Ω Ω T 1 φ G = ψ d ; ρ Ω 0 e x Ω 1 F = φ f dω + φ S dγ T T ρ0 e e Ω Γ (3.16) Avalando a componente dfusva D j, é possível observar que o termo ˆ ν, o qual apresenta característcas dsspatvas, é adconado à vscosdade turbulenta. Nas equações (3.17) e (3.18) verfca-se que este termo é resultado da soma entre a vscosdade cnemátca e um termo adconal de segunda ordem conhecdo como tensor de balanço dfusvo. Como prevamente avalado no capítulo reservado a revsão bblográfca, este tensor tem a função de conferr maor establdade à solução numérca. t adc ˆ ν = ν + v v = ν + ν ( = j) (3.17) 2 t adc ˆ ν j = ν + v v j = ν + ν j ( j) (3.18) Dscretzação Temporal utlzando o Método Explícto-Iteratvo Para dscretzação das dervadas temporas presentes nas equações (3.13) e (3.15), emprega-se a expansão em sére de Taylor das varáves prmáras presentes na formulação. Segundo [Yoon et al., 1998], uma varável genérca θ pode ser expandda da segunte manera: θ n+ s1 2 2 n+ s2 n+ 1 n θ t θ 3 = θ + t + + O( t ) 2 t 2! t (3.19)

70 54 Onde os índces sobrescrtos n e n + 1 referem-se ao tempo t e a seu respectvo avanço, t + 1. As varáves s 1 e s 2, denomnadas mplctness parameters, defnem a forma de ncremento no tempo através de esquemas mplíctos, sem-mplíctos ou explíctos, de acordo com os valores adotados [Braun, 2007]. Neste trabalho, o valor utlzado para ambos os parâmetros fo de s 1 = s 2 = 1. Assm, as dervadas podem ser aproxmadas da segunte forma: 2 n+ 1 n 2 n+ 1 1 θ θ θ = + t t 2 t (3.20) 1 2 n+ 2 2 n 2 n+ 1 θ θ 1 θ = t t 2 t (3.21) Substtundo as equações (3.20) e (3.21) na expansão em sére de Taylor apresentada em (3.19), obtém-se a segunte expressão: t 2 t 2! t 2 t n n n 2 n+ 1 n+ 1 θ 1 θ t θ 1 θ θ = t (3.22) Para a equação da contnudade, a varável prmára dervada em função do tempo é a pressão. Assm, esta passa a ser escrta da segunte forma: n n n 2 n n p 1 p t p 1 p = t p 2 2 t 2 t 2! t 2 t (3.23) A partr da equação (3.13) e dos termos de 1ª ordem apresentados na equação (3.23), a equação da conservação de massa é apresentada como segue: n t n+ 1 2 M ( p) = t G ( v ) G ( v ) + ( M M )( p) 2 t n+ 1 T T n+ 1 DP k + 1 j j j j k P DP k (3.24)

71 55 Na nomenclatura adotada para o método explícto-teratvo, n refere-se ao cclo de tempo e k ao cclo teratvo. O termo para evtar a nversão da matrz consstente M DP representa à matrz dagonalzada, ou dscreta, utlzada M P. Quando a função de nterpolação empregada para o termo da pressão é constante, as matrzes dscreta e consstente são dêntcas, anulando a dferença entre as mesmas. Na dscretzação temporal da equação da conservação da quantdade de movmento, o procedmento dêntco aquele avalado para a pressão na equação (3.23) é efetuado para a velocdade. Desta manera, tem-se que: ( v ) 1 ( v ) t ( v ) 1 ( v ) n n+ 1 n n+ 1 n+ 1 ( v ) = t t 2 t 2! t 2 t (3.25) O procedmento para nserção dos termos de velocdade expanddos na equação da conservação da quantdade de movmento ocorre de manera análoga àquela apresentada na equação (3.24). Desta manera, a partr da equação (3.15) e dos termos de 1ª ordem da equação (3.25), a segunte expressão é obtda: M DV v n = t Aj v + Dj v j G p F t 2 Aj v + D k j v j G p F + MV M DV v 2 k k t n+ 1 n ( ) n ( ) k + 1 ( ) ( ) n n+ 1 n+ 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) + 1 n+ 1 k (3.26) Vsando a obtenção da varação referente às varáves prmáras presentes nas equações de conservação (3.24) e (3.26), e uma apresentação mas smplfcada das mesmas, os cclos de tempo e teratvo são devdamente separados. Assm, as equações de conservação de massa e da quantdade de movmento podem ser apresentadas da segunte forma: Equação da conservação de massa: 1 ( p) = ( M DP ) t ( T ) + ( Q) n+ 1 1 n n+ 1 k k (3.27)

72 56 onde: ( j ) n T n ( T ) = G j v n ( ) 1 ( ) 1 2 T n+ Q G v ( M M )( p) n + = t k j j k P DP k (3.28) (3.29) Equação da conservação da quantdade de movmento: 1 2 ( v ) = ( M ) t ( S ) + ( R ) n+ 1 1 n n+ 1 k + 1 DV k (3.30) onde: S = Aj v + Dj v j G p F n n ( ) ( ) ( ) n ( ) n 2 t ( R ) A ( v ) D ( v n+ 1 n 1 ) G ( p + = + ) F + ( M M )( v ) n+ 1 n+ 1 n+ 1 k j k j j k k V DV k (3.31) (3.32) Os termos T e S (avalados no cclo de tempo) e Q e R (avalados no cclo temporal e teratvo) são obtdos ncalmente em nível de elemento e posterormente ao longo de todo domíno. Na abordagem global, as equações (3.27) e (3.30) são reescrtas da segunte manera: G G G ( p) = ( M DP ) t ( T ) + ( Q ) n n n + 1 k + 1 n+ 1 G G n G ( v ) = ( M DV ) t ( S ) + ( R ) k n+ 1 k k (3.33) (3.34) De posse da varação da pressão e das componentes da velocdade, avaladas respectvamente através das equações (3.33) e (3.34), é possível obter o valor das varáves prmáras para cada passo de tempo através das expressões (3.35) e (3.36): ( p) = ( p) + ( p) n+ 1 n n+ 1 k + 1 (3.35)

73 57 ( v ) = ( v ) + ( v ) n + 1 n n + 1 k + 1 (3.36) 3.5 Dscretzação Temporal utlzando o Método Explícto de Dos Passos O método explícto de dos passos, apresentado por [Kawahara e Hrano, 1983], assm como o método explícto-teratvo, é orundo da expansão em sére de Taylor de uma varável genérca qualquer, a qual pode ser verfcada a partr da segunte expressão: θ n 2 2 n n+ 1 n θ t θ 3 = θ + t + + O( t ) 2 t 2! t (3.37) Desta manera, a partr da equação (3.37), dos passos são avalados até os termos de prmera ordem. n+ 1 2 n t θ θ = θ + 2 t n (3.38) θ θ = θ + t t n+ 1 n n+ 1 2 (3.39) Analogamente ao observado no método explícto-teratvo, no qual as varáves prmáras do escoamento são obtdas através da devda substtução das mesmas na equação (3.22), estas são obtdas a partr das equações (3.38) e (3.39) no método explícto de dos passos. Comparando os dos esquemas temporas, é possível verfcar que a prncpal dferença reca na supressão do termo teratvo e no aparecmento de um novo passo para cada equação governante. Substtundo os termos de velocdade e pressão tanto na eq. (3.38) como na eq. (3.39), expressões destnadas ao cálculo do prmero e segundo passo, obtêm-se a formulação do esquema temporal explícto de dos passos para a equação de conservação de massa e quantdade de movmento. Desta manera, tem-se que:

74 58 1 Passo t T ( ) = ( ) ( ) n 1 n 2 n DP S j j 2 + M p M p G v n+ 1 n ( ) 2 t n n n n M DV v = M DV ( v ) Aj ( v ) + Dj ( v j ) G p ( F ) 2 (3.40) (3.41) 2 Passo 1 T ( ) ( ) ( ) n n n 1 2 M DP p + = M S p t G j v + j (3.42) M DV v M DV v t Aj v Dj v j G p F n + n n+ 2 2 ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) n n n (3.43) onde M S é a matrz de massa seletva e pode ser escrta da segunte manera: M = em + (1 e) M (3.44) S D C Isolando as varáves prmáras em ambos os passos e reescrevendo as equações de forma mas compacta, temos: 1 Passo n+ M S ( ) ( ) 1 n 2 t ( ) 1 ( ) n p = p M DP TP M DP 2 (3.45) t v v M SP RP 2 1 ( ) ( ) n + 2 n 1 ( ) ( ) n ( ) n = DV + (3.46)

75 59 2 Passo M S ( p) = ( p) t( M DP ) ( TP) n+ 1 n 1 1 n+ 2 M DP (3.47) ( ) ( ) n+ 1 n 1 1 n+ 2 n v = v t( M DV ) ( SP ) + ( RP ) (3.48) onde: ( j ) T ( TP) = G j v ( SP ) = A ( v ) G ( p) j ( ) ( RP ) = D j v j F (3.49) (3.50) (3.51) A matrz de massa seletva está relaconada à matrz dscreta M D, a matrz consstente e ao parâmetro de dagonalzação seletva e. Este parâmetro controla o amortecmento e a establdade numérca e sua utlzação é amplamente nvestgada em [Kawahara et al., 1982]. Quando e é gual à undade, a matrz seletva passa ser apenas a matrz dagonalzada, apresentando um comportamento mas nstável, enquanto a utlzação de um parâmetro seletvo nulo faz com que observado. M S = M C M C e conseqüentemente, um comportamento mas amortecdo seja 3.6 Fluxograma para o Método Explícto-Iteratvo Para a obtenção das varáves prmáras presentes no escoamento utlzando o esquema explícto-teratvo, os seguntes passos são avalados: 1 Letura dos parâmetros computaconas e constantes físcas; 2 Letura das condções ncas e de contorno; 3 Cálculo das matrzes M DV e M DP, em nível de elemento; 4 Cálculo das matrzes G M DV e M G DP, ao longo de todo o domíno;

76 60 5 Iníco do cclo de tempo t = t + t ; 6 Cálculo da vscosdade cnemátca turbulenta (se o regme for turbulento); 7 Cálculo dos vetores S e T, em nível de elemento; 8 Cálculo dos vetores G S e G T 9 Iníco do cclo de teratvo k = k + 1;, ao longo de todo o domíno; 10 Cálculo dos vetores R e Q, em nível de elemento; 11 Cálculo dos vetores G R e G Q, ao longo de todo o domíno; n p Cálculo das varações ( ) 1 e ( v ) k 1 1 ; k Aplcação das condções de contorno as varações das varáves prmáras; 14 Cálculo das varáves prmáras ( p ) + 1 e ( v ) 1 ; k + 1 k Verfcação da varação dos campos de velocdade e pressão. n n+ n Se os valores obtdos forem nferores ao crtéro de convergênca estpulado, as condções de contorno são aplcadas as varáves prmáras e os resultados são regstrados, fazendo com que o cálculo retorne ao passo cnco. Este procedmento é repetdo até que o tempo fnal de smulação seja atngdo; No caso contráro, o programa retorna ao passo nove. Este procedmento é repetdo até que a dferença entre a varável prmára atual e anteror seja menor ou gual a tolerânca escolhda. Se o número de terações superar o número máxmo estpulado, o programa é fnalzado sem a gravação de resultados. 3.7 Fluxograma para o Método Explícto de Dos Passos Para análse do escoamento utlzando o método explícto de dos passos, os seguntes passos são avalados: 1 Letura dos parâmetros computaconas e constantes físcas; 2 Letura das condções ncas e de contorno; 3 Cálculo das matrzes M DV e M DP, em nível de elemento; 4 Cálculo das matrzes G M DV e M G DP 5 Iníco do cclo de tempo t = t + t ; 6 Iníco do 1º Passo;, ao longo de todo o domíno;

77 61 7 Cálculo da matrz M S, em nível de elemento; 8 Cálculo da matrz G M S, ao longo de todo o domíno; 9 Cálculo da vscosdade cnemátca turbulenta (se o regme for turbulento); 10 Cálculo dos vetores ( TP ) n, ( SP ) n e ( RP ) n, em nível de elemento; G n G n G n 11 Cálculo dos vetores ( TP ), ( SP ) e ( RP ), ao longo de todo o domíno; 12 Cálculo das varáves prmáras ( ) n 1 2 p + v ; 13 Aplcação das condções de contorno às varáves prmáras do prmero passo; 14 Fm do 1º Passo; 15 Iníco do 2º Passo; e ( ) n Cálculo dos vetores ( TP ) n+ 1 2 e 1 2 ( SP ) n+, em nível de elemento; 17 Cálculo dos vetores G ( TP ) n e G ( SP ) n + 1 2, ao longo de todo o domíno; 18 Cálculo das varáves prmáras ( p ) n+ 1 e ( ) n + 1 v ; 19 Aplcação das condções de contorno às varáves prmáras do segundo passo; 20 Fm do 2º Passo; 21 Gravação dos campos de velocdade e pressão. 22 Enquanto o tempo fnal de smulação não for atngdo, o processo de cálculo retorna ao passo cnco. Caso contráro, o programa é fnalzado. 3.8 Condção de Establdade A natureza explícta da dscretzação temporal utlzada nos dos métodos avalados (explícto-teratvo e explícto de dos passos) exge que o ncremento de tempo para garantr a establdade da solução seja defndo a partr de um ntervalo crítco. Esta exgênca é conhecda como crtéro de Courant e é apresentada por [Kawahara e Hrano, 1983] a partr da segunte relação: x t α U + C (3.52)

78 62 onde x esta relaconado a dscretzação espacal, geralmente a menor dmensão de um elemento na malha utlzada, U é o módulo da velocdade de referênca no domíno e C é a velocdade de propagação do som no meo. A utlzação do coefcente de segurança α, usualmente avalado na faxa de 0,1 0,3, permte que os ntervalos crítcos tornem-se mas verossímes [Kawahara e Hrano, 1983]. 3.9 Integração Explícta das Matrzes de Elemento No ntuto de reduzr o esforço computaconal e a memóra necessára na solução explícta das matrzes em nível de elemento, optou-se pela ntegração analítca reduzda. Esta alternatva, em contrapartda ao uso da quadratura completa no método de Gauss-Legendre, utlza apenas um ponto de ntegração no centro do elemento. O procedmento detalhado para obtenção da ntegração analítca reduzda pode ser observado em [Burbrdge, 1999]. No presente trabalho, o elemento utlzado é o hexaédrco soparamétrco trlnear com oto nós. Quanto à escolha das funções de nterpolação, duas confgurações dferentes são adotadas. Em um prmero momento, no ntuto de atender a condção de Babuška-Brezz, utlzou-se uma função constante ) para pressão e uma lnear ) para as componentes da velocdade. Em (ψ (φ seguda, funções lneares tanto para velocdade como para pressão são empregadas. Assm, as confgurações utlzadas são: 1ª Confguração: 1 φ ( ξ, η, ζ ) = ( 1+ ξξ )( 1+ ηη )( 1+ ζ ζ ) ( = 1,...,8) (3.53) 8 ( ) ψ ξ, η, ζ = cte = 1 ( = 1,...,8) (3.54) 2ª Confguração: 1 φ ( ξ, η, ζ ) = ( 1+ ξξ )( 1+ ηη )( 1+ ζ ζ ) 8 ( = 1,...,8) (3.55) 1 ψ ( ξ, η, ζ ) = ( 1+ ξξ )( 1+ ηη )( 1+ ζ ζ ) 8 ( = 1,...,8) (3.56)

79 63 onde o índce ndca o número do nó local no sstema de exos referencal ( ξ, η, ζ ). Como observado nas equações (3.53)-(3.56), as funções de nterpolação empregadas estão em função do sstema de coordenadas local ( ξ, η, ζ ). A transformação do sstema de coordenadas global ( x, y, z ) para um sstema natural ( ξ, η, ζ ) permte uma maor facldade na ntegração das matrzes, uma vez que a função de nterpolação está restrta a apenas um tpo de elemento. Uma vez que a ntegração reduzda utlza apenas um ponto no centro do elemento, a mudança de sstema ocorrerá conforme Fgura 3.1. Fgura Transformação do sstema global para o sstema natural Para uma avalação em nível de elemento, utlzam-se os lmtes de ntegração orundos da quadratura de Gauss, 1 ( ξ, η, ζ ) 1. Desta manera, os vetores ( ξ, η, ζ ) são apresentados como segue: { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} T ξ = (3.57) { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} T η = (3.58) { 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} T ζ = (3.59) Avalando um ponto I qualquer no nteror do domíno, a transformação das coordenadas do domíno físco para o domíno computaconal é regda através da segunte equação: 8 ( x ) ( ) I = x φα ( ξ, η, ζ α ) I I I α = 1 (3.60)

80 64 sendo: ( x ) I - coordenada na dreção de um ponto I no nteror do elemento ( = 1, 2,3) ; ( x ) α - coordenada na dreção de um nó α que defne o elemento ( α = 1, 2,3, 4,5,6,7 e 8) ; α (,, ) φ ξ η ζ - função de nterpolação no nó α, avalado no ponto I com as coordenadas I I I naturas; Com a transformação do sstema de coordenadas, as dervações das funções de nterpolação, observadas em (3.14) e (3.16), devem ser passadas do espaço físco para o computaconal. A modfcação é executada a partr da segunte relação: φ x1 φ = J x2 φ x 3 1 φ ξ φ η φ ζ (3.61) onde J é a matrz Jacobana de transformação, defnda da segunte forma: J x1 x2 x3 ξ ξ ξ x x x η η η x1 x2 x3 ζ ζ ζ = Jj = (3.62) Substtundo a equação (3.60) em (3.62) e utlzando apenas um ponto de ntegração no centro do elemento, é possível obter a matrz J. Porém, a partr da relação (3.61), observar-se j que a dervação de uma função de nterpolação em relação às coordenadas globas é apresentada a partr da nversa da matrz Jacobana. Desta manera, a segunte equação é utlzada para obtenção de 1 J :

81 65 J = (3.63) J 1 J onde: J - Matrz adjunta de J ; J - determnante da matrz Jacobana. Com a obtenção da nversa da matrz Jacobana, é possível expressar as dervadas das funções de nterpolação em relação às coordenadas naturas. Desta manera, para fnalzar a ntegração explícta das matrzes envolvdas no problema, é necessáro que o dferencal de volume seja transformado do espaço físco para o espaço computaconal. Esta mudança é efetuada da segunte forma: dω = J dξdηdζ (3.64) Assm, a partr ntegração reduzda das matrzes apresentadas em (3.14) e (3.16), as seguntes expressões analítcas são obtdas: e Ω ( α, β ) = 1+ ξ ξ 1+ η η 1+ ζ ζ MV α β α β α β ( α, β = 1,...,8) (3.65) A ( α, β ) = v ( k) J β α β α β k 1 8 ξ + η η + ζ ζ + = J2η β 1+ ζ αζ β 1+ ξαξβ J 1 1 ζ β 1 + ξαξβ 1+ ηαη β ( = 1, 2,3) ( α, β = 1,...,8) (3.66) Na matrz dfusva seguntes expressões são obtdas: D j, duas confgurações são observadas. Incalmente, quando = j, as

82 66 = j = 1 ; k = 2,3 D = + λ + E + + E + E ( ˆ ν ν ) ( ˆ ν ν )( ) 11 2 t 11 t ρ0 (3.67) = j = 2 ; k = 1,3 D = + λ + E + + E + E ( ˆ ν ν ) ( ˆ ν ν )( ) 22 2 t 22 t ρ0 (3.68) = j = 3 ; k = 1,2 D λ E E E ( ˆ ν ν ) ( ˆ ν ν )( ) 33 = 2 + t t ρ0 (3.69) onde: E ( α, β ) = ( J 1) ξ 1 1 ( 2 3 )( ) 1 e αξβ + ηαηβ + ζ αζ β + J J ηαζ β + ζ αηβ + ξαξβ + Ω ( J2 ) ηαηβ 1+ ζ αζ β 1+ ξαξβ + ( J 1J3 )( ξαζ β + ζ αξβ ) 1+ ηαηβ ( J3 ) ζ αζ β 1+ ξαξβ 1+ ηαηβ + ( J 1J2 )( ξαηβ + ηαξβ ) 1+ ζ αζ β ( = 1, 2,3) ( α, β = 1,...,8) (3.70) Sabendo que Dj = Dj, as expressões analítcas obtdas para j são: = 1 ; j = 2 λ D = + E + E ( ˆj ν ν t ) ρ0 (3.71) = 1 ; j = 3 λ D = + E + E ( ˆj ν ν t ) ρ0 (3.72)

83 67 = 2 ; j = 3 λ D = + E + E ( ˆj ν ν t ) ρ0 (3.73) onde: Ej ( α, β ) = ( J 1J j1) ξ 1 1 ( 2 3 ) 1 e αξβ + ηαη β + ζ αζ β + J J j ηαζ β + ξαξβ + Ω ( J2J j 2 ) ηαηβ 1+ ξαξβ 1+ ζ αζ β + ( J 1J j3 ) ξαζ β 1+ ηαηβ ( J3J j3 ) ζ αζ β 1+ ξαξβ 1+ ηαηβ + ( J2J j1) ηαξβ 1+ ζ αζ β ζ αηβ 1+ ξαξβ + ζ αξβ 1+ ηαηβ + ξαηβ 1+ ζ αζ β ( J3J j2 ) ( J3J j1) ( J 1J j2 ) (, j = 1,2,3) ( α, β = 1,...,8) (3.74) e Γ F ( α) = S (3.75) 4 Nas expressões analítcas (3.65) a (3.75), apenas a função de nterpolação referente à velocdade é requerda. Dante da utlzação de duas funções dstntas para a pressão no presente estudo, dferentes expressões são obtdas para as matrzes M p, T G j e função ψ constante, as matrzes são apresentadas a partr das seguntes expressões: G. Incalmente, para uma 1ª Confguração: e M P = Ω (3.76) ( α α α ) G ( α) = ρ C J ξ + J η + J ζ ( = 1, 2,3) ( α = 1,...,8) (3.77) T G ( α) = J ξ + J η + J ζ ( = 1, 2,3) ( α = 1,...,8) (3.78) ( 1 α 2 α 3 α ) ρ0

84 68 Com a utlzação de uma função ψ lnear para a pressão, as matrzes M p, T G j e G são reescrtas da segunte manera: 2ª Confguração: e Ω ( α, β ) = 1+ ξ ξ 1+ η η 1+ ζ ζ M P α β α β α β ( α, β = 1,...,8) (3.79) T G ( α, β ) = J ξβ + ηαηβ + ζ αζ β J2η β 1+ ζ αζ β 1+ ξαξβ J 1 1 ζ β 1+ ξαξβ 1+ ηαηβ ( = 1, 2,3) ( α, β = 1,...,8) (3.80) G ( α, β ) = J 1ξ β 1 ηαηβ 1 ζ αζ β ρ J2η β 1+ ζ αζ β 1+ ξαξβ J 1 1 ζ β 1+ ξαξβ 1+ ηαηβ ( = 1, 2,3) ( α, β = 1,...,8) (3.81)

85 69 4 COMPUTAÇÃO PARALELA Como enfatzado ao longo do presente trabalho, o tempo de processamento requerdo na avalação de grande parte dos problemas relaconados à Engenhara do Vento Computaconal tem nvablzado a solução de númeras aplcações nesta área de estudo, restrngndo sua utlzação a nvestgação de casos clásscos da engenhara do vento, como por exemplo, escoamentos sobre corpos rombudos. Este prejuízo é severamente amplfcado quando a Smulação das Grandes Escalas é empregada na modelagem da turbulênca. Esta abordagem, apesar de permtr um tratamento mas fdedgno das prncpas estruturas do escoamento turbulento, apresenta o ônus de exgr uma maor dscretzação espacal e temporal quando comparada à modelagem clássca. Neste sentdo, a dstrbução de tarefas na solução numérca de escoamentos turbulentos tem consstdo uma mportante ferramenta na redução do esforço computaconal nerente a esta varedade de escoamentos. Além deste mportante benefíco, a execução smultânea de determnadas ações e os avanços constantes de hardware permtem que problemas cada vez mas complexos vslumbrem uma solução computaconal. O rápdo crescmento de computadores com arqutetura paralela (conhecdos também com Clusters ) tem como orgem a obsolescênca de computadores com arquteturas de processamento vetoral, conhecdos popularmente como supercomputadores, ou smplesmente CRAY (nome dado aos computadores vetoras ncalmente desenvolvdos por Seymour Cray). Atualmente, a paralelzação no processamento computaconal de problemas de engenhara não fgura como um prvlégo relaconado uncamente a pesqusas dtas de ponta. Desta manera, facldades na aqusção de máqunas multprocessadas e na dstrbução das tarefas mas onerosas fazem com que esta prátca torne-se cada vez mas corrquera tanto em âmbto acadêmco como ndustral. A dstrbução paralela de pacotes de nformações pode ser obtda através de duas famílas de equpamentos: computadores com arqutetura de memóra compartlhada ( shared-memory archteture ) e computadores com arqutetura de memóra dstrbuída ( dstrbuted-memory archteture ). As prmeras confgurações ctadas são construídas de manera que todos os processadores de um equpamento tenham acesso a uma mesma memóra prncpal, enquanto nas máqunas de arqutetura dstrbuída cada processador tem sua própra memóra e a nformação é transferda através de uma rede de comuncação.

86 70 Para facltar a vsualzação concetual das duas abordagens supractadas, tomemos como exemplo a arqutetura de uma máquna contendo cnco nós (ou nodos), cada um abrgando dos processadores com dos núcleos cada um. Assm, a partr de um cluster com uma confguração dêntca a do equpamento utlzado no presente trabalho, podemos defnr onde a dstrbução de memóra deverá ser compartlhada, dstrbuída ou hbrda. Mas nformações sobre o equpamento utlzado neste estudo serão apresentadas na seção 5.1 no capítulo segunte. Assm, neste caso específco, para que ocorra a comuncação entre os cnco dferentes nós, a comuncação deverá ser efetuada a partr de uma rede de comuncação, ou seja, medante o endereçamento de mensagens. Porém, quando um nó é avalado de manera solada, a comuncação estará restrta aos processadores pertencentes ao nó em questão, uma vez que estes compartlham da mesma memóra. No equpamento analsado, o esforço em cada nó podera ser paralelzado entre os quatro núcleos. Um melhor aprovetamento dos recursos de hardware é observado quando ambas as confgurações são adotadas smultaneamente. Assm, um paralelsmo dto hbrdo permte que os dados presentes em um determnado códgo sejam dstrbuídos ncalmente entre dferentes nós (paralelsmo de memóra dstrbuída), sendo cada parcela resultante novamente dvdda entre dferentes núcleos (paralelsmo de memóra compartlhada). Em máqunas com arqutetura de memóra dstrbuída, a necessdade de comuncar dferentes processadores através de mensagens em uma rede de conexão faz com que o esforço computaconal desta atvdade conssta em uma mportante parcela no tempo total de processamento, prncpalmente em sstemas com um número reduzdo de nós. Outra desvantagem do conceto de memóra dstrbuída reca na dfculdade de gerar uma correta dstrbução vsando o balanceamento da carga. No que dz respeto às vantagens de sua utlzação, a facldade de agregar novos componentes de hardware e o baxo custo para aqusção destes componentes atuam como mportante estmulo no desenvolvmento de ferramentas cada vez mas ntutvas para dstrbução dos esforços computaconas. O padrão comumente utlzado no paralelsmo dstrbuído é o MPI ( Message Passng Interface ). Esta API ( Aplcaton Programmng Interface ) fornece funconaldade básca para que os processos se comunquem de manera explícta, ou seja, o programador é responsável pela dstrbução. Máqunas com arqutetura de memóra compartlhada apresentam característcas, em sua maor parte, antagôncas aquelas averguadas quando a paralelzação ocorre a partr de memóra dstrbuída. Nesta confguração, os processadores são construídos de forma que todos tenham

87 71 acesso a uma memóra prncpal comum, resultando assm em um baxo tempo dependdo na dvsão das tarefas. Além desta mportante observação, benefícos de seu emprego estão relaconados à facldade de nserr dretvas de paralelzação. Como maor empeclho desta abordagem, observa-se a dfculdade e o alto custo ntrínseco a adção de novos processadores, lmtando consderavelmente seu acréscmo. Segundo [Masuero, 2009], o paralelsmo de memóra compartlhada lmta-se a número relatvamente pequeno de processadores, uma vez que os crcutos de lógca e controle do acesso de dversos processadores smultaneamente à memóra tornam-se exponencalmente mas complexos com o aumento do número de processadores. A API comumente utlzada no paralelsmo de memóra compartlhada é a bbloteca OpenMP (do nglês, Open Mult-Processng ). Segundo [Hermanns, 2002], o conceto de OpenMP representa uma coletânea de dretvas de complação, bblotecas de rotnas e varáves de ambente dreconadas a programação paralela utlzando memóra compartlhada. O emprego destas dretvas possblta a utlzação do mesmo códgo fonte tanto para a computação paralela como seral, uma vez que sua mplementação é efetuada medante a utlzação de lnhas de comentáro. Na programação paralela utlzando compladores Fortran, o par de dretvas!$omp PARALELL DO/!$OMP END PARALLEL DO permte de manera smples que um determnado laço de execução seja dvddo em váras seções menores ndependentes, conhecdas como threads. O número de threads gerado na execução do programa estará dretamente vnculado ao número de processadores que compartlham da mesma memóra, onde cada qual conterá uma cópa dêntca e ndependente das varáves do programa. Para exemplfcar o funconamento das dretvas ctadas, a Fgura 4.1 apresenta a dstrbução das tarefas em um laço contendo 40 execuções.

88 72 Fgura Paralelsmo de memóra compartlhada utlzando as dretvas!$omp PARALELL DO/!$OMP END PARALLEL DO No presente estudo, a dstrbução de vetores e matrzes na solução numérca de escoamentos turbulentos será efetuada a partr do paralelsmo de memóra compartlhada medante a utlzação de dretvas OpenMP. No algortmo utlzando esquema temporal explíctoteratvo ncalmente empregado, uma dscussão mas apurada a cerca da paralelzação dos setores mas onerosos computaconalmente será efetuada na seção 5.1.

89 73 5 RESULTADOS No ntuto de caracterzar escoamentos sobre corpos rombudos, utlzou-se ncalmente o códgo para solução de escoamentos turbulentos e trdmensonas desenvolvdo por [Petry, 2002]. A partr do emprego do Método dos Elementos Fntos e das Smulações de Grandes Escalas, o algortmo escolhdo apresentou desempenho satsfatóro em escoamentos confnados tanto sotérmcos, [Petry, 2002] e [Xaver, 2008] como não sotérmcos, [Dos Santos, 2007]. Na modelagem matemátca dos trabalhos ctados, a dscretzação espacal das equações governantes é efetuada medante a utlzação do método de Bubnov-Galerkn, enquanto que a análse temporal é obtda a partr do método explícto-teratvo de Taylor-Galerkn. Os fenômenos relaconados à turbulênca são nvestgados empregando a Smulação de Grandes Escalas e o modelo sub-malha de Smagornsky. No capítulo em estudo são apresentados os esforços utlzados para adaptar um algortmo desenvolvdo sob a ótca da Dnâmca dos Fludos Computaconal (DFC) na solução de problemas tpcamente relaconados à Engenhara de Vento Computaconal (EVC). Na seção 5.1, a partr de técncas de computação de alto desempenho, são nvestgadas alternatvas no sentdo de reduzr o elevado tempo computaconal comumente observado em escoamentos externos. Incalmente, dscussões a cerca da alocação de vetores e matrzes são avaladas medante o tratamento estátco e dnâmco da memóra. Em seguda, o aumento da velocdade de processamento empregando paralelsmo de memóra compartlhada é examnado através da nserção de dretvas OpenMP. Nos tens avalados na seção 5.2, uma análse numérca é desenvolvda vsando uma caracterzação acurada do escoamento sobre um corpo rombudo anguloso. Desta manera, os esquemas temporas de Taylor-Galerkn explícto-teratvo e explícto de dos passos são nvestgados juntamente a utlzação de dferentes confgurações para as funções de nterpolação assocadas as varáves prmáras. Assm, para o esquema explícto-teratvo, funções de mesma ordem (φ =ψ ) e de ordens dstntas (φ >ψ ) são analsadas enquanto que para o esquema explícto de dos passos, apenas a confguração (φ =ψ ) é examnada. As dferentes propostas avaladas no presente trabalho são dscutdas a partr do montoramento dos campos de velocdade e pressão na lnha central do domíno e nas proxmdades do obstáculo empregando malhas com dsposção unforme e rregular dos elementos.

90 Avalação do Tempo de Processamento Vsando um aumento do desempenho computaconal na solução numérca de escoamentos turbulentos, técncas de processamento paralelo e dscussões a cerca da alocação de vetores e matrzes são nvestgadas na presente seção. No ntuto de estender esta análse a aplcações de engenhara do vento, a escolha de domínos os quas apresentassem corpos mersos aerodnamcamente rombudos fo prorzada. Desta manera, a avalação do tempo de processamento fo desenvolvda a partr da utlzação de um prsma bdmensonal quadrado, obstáculo o qual será empregado posterormente na seção reservada a dscussão numérca e avalação dos fenômenos advndos do escoamento sobre este corpo rombudo anguloso. As dmensões utlzadas na defnção do domíno e as condções de contorno empregadas são análogas àquelas apresentadas por [Petry, 1993] em smulações realzadas sobre um clndro fxo utlzando o método dos elementos fntos. Na Fgura 5.1 é possível observar as dmensões do domíno de cálculo no plano XY, onde x m e x j são as dstâncas a barlavento e a sotavento do obstáculo na dreção X, respectvamente, H é o comprmento do domíno na dreção Y e d o comprmento característco do prsma quadrado. As dmensões x m, x j e H, as quas estão relaconadas à aresta do obstáculo, são respectvamente 4,5d, 18,5d e 8d. No caso em estudo, a dmensão d utlzada é de 1m. No domíno descrto, as seguntes condções de contorno são mpostas. Na regão de entrada ( X = 0 m ), a componente da velocdade normal à superfíce é consderada constante em toda a face, enquanto que na regão de saída ( X = 24 m ), emprega-se a condção de contorno natural de forças de superfíce nulas. Nos contornos lateras, paralelos à dreção X, a condção de deslzamento, ou condção de mpermeabldade, é assegurada medante a utlzação de um valor nulo para a velocdade na dreção Y. Nas paredes do obstáculo, a condção de nãodeslzamento é empregada através da mposção de U = V = 0 m/s.

91 75 Fgura Geometra proposta por [Petry, 1993] e utlzada na avalação do tempo de processamento O parâmetro característco d, juntamente a velocdade U ncdente na regão de entrada do domíno e a vscosdade cnemátca ν, são empregados no cálculo do número de Reynolds do escoamento, o qual é apresentado na Eq. (5.1). Na dscussão referente ao tempo de processamento utlzou-se um número de Reynolds de 3000, o qual é consderado moderado na avalação de escoamentos sobre corpos rombudos angulosos. U d Re = (5.1) ν d Uma vez que a dscretzação temporal utlzando o método de Taylor-Galerkn explíctoteratvo apresentou bons resultados no tratamento de problemas dtos confnados, este fo ncalmente empregado para avalar o tempo computaconal requstado. No que dz respeto à dscretzação espacal, dferentes malhas unformes de elementos fntos são avaladas na comparação do tempo de processamento consumdo. A varedade de malhas nvestgadas é apresentada na Tabela 5.1.

92 76 Tabela Dscretzações utlzadas na avalação do tempo de processamento Número da Malha Número de Elementos ( X Y ) As smulações numércas verfcadas no presente estudo foram executadas a partr dos recursos do Centro Naconal de Supercomputação (CESUP-RS). O cluster utlzado durante o período de testes fo um SunFre X2200 com 6 nós, sendo que um deles é mantdo para funções de gerencamento. Cada nó possu 2 processadores AMD Opteron dual-core com 1,8 GHz de clock e 8 GB de memóra. O sstema operaconal do referdo equpamento é um LINUX RED HAT server, sendo que o complador utlzado é um Intel Fortran versão O prmero estudo realzado para avalação do desempenho do algortmo consstu na comparação do tempo consumdo entre duas formas dstntas de alocação de memóra para matrzes e vetores. Assm, alocações do tpo estátca (modfcação proposta no presente estudo) e dnâmca (alocação atualmente utlzada) são nvestgadas para o conjunto de malhas apresentadas na Tabela 5.1. A dferença central entre ambas as formas de armazenamento ctadas está no acesso à memóra. Assm, no que tange a prmera abordagem ctada, o espaço destnado a matrzes e vetores é ajustado no momento da complação sem que ocorram modfcações ao longo da solução, enquanto na últma, o programa selecona dnamcamente a memóra durante a execução do programa. Neste sentdo, no que dz respeto à preparação antes da execução de um problema, a alocação dnâmca apresenta a vantagem de não necesstar uma nova complação quando novas malhas são utlzadas. Para efetuar uma comparação padronzada dos testes, utlzou-se um tempo crítco gual a segundos e 500 passos foram percorrdos para que as dscretzações de 1 a 8 fnalzassem uma gravação. Os parâmetros utlzados na avalação temporal vsam atender a condção de establdade para todas as malhas de elementos fntos utlzadas na avalação do tempo de processamento do presente trabalho. Demas valores ajustados antes de cada smulação são apresentados na Tabela 5.2.

93 77 Tabela Resumo dos dados utlzados na avalação do tempo de processamento empregando Número de Reynolds - o método explícto-teratvo Velocdade ncdente - U Re 3000 d 100 m/s -2 2 Vscosdade cnemátca - ν m /s 2 Vscosdade volumétrca - λ 0 N.s/m Velocdade do som no meo - c Dmensão característca do prsma - d Crtéro de tolerânca Coefcente de Smagornsky - C S 340 m/s 1 m , 2 Outra medda adotada vsando comparações sob crcunstancas dêntcas fo utlzar os recursos computaconas apenas quando nterferêncas externas não estvessem presentes, em outras palavras, as smulações foram executadas apenas quando todos os recursos de um determnado nó estvessem dsponíves. Porém, os equpamentos do Centro Naconal de Supercomputação são compartlhados remotamente entre dversos usuáros, o que torna a utlzação exclusva de um únco nó durante o período de testes extremamente dfícl. Assm, vsando mnmzar este problema e evtar desvos, três smulações foram executadas para cada stuação avalada. O tempo de processamento (CPU tme) consumdo em cada forma de alocação é apresentado na Fgura 5.2. Este valor representa o tempo despenddo pela máquna apenas com tarefas relaconadas ao processamento efetvo do algortmo, não computando quasquer nterrupções ao longo da solução. Como é possível observar nesta lustração, a alocação estátca consome um menor tempo de processamento quando comparada à dnâmca. O comportamento mas lento apresentado por esta últma abordagem pode ser atrbuído ao número de vezes que a memóra é acessada na reserva dnâmca de espaços para os componentes presentes em matrzes e vetores.

94 78 Fgura Comparação entre alocações do tpo estátca e dnâmca para dferentes dscretzações espacas No ntuto de avalar o aprovetamento obtdo pela alocação proposta, utlzou-se a razão entre o tempo consumdo por ambas as alocações, mantendo o programa mas lento no numerador. Este fator é conhecdo como aumento de velocdade (do nglês, speed up ), comumente empregado na avalação de melhoras em códgos seras e paralelos, e permte dentfcar quão acelerado um determnado algortmo fo em relação a outro. Uma avalação méda da aceleração nas oto dscretzações utlzadas ndca que a modfcação da alocação dnâmca para estátca possbltou um aumento médo na velocdade de processamento de aproxmadamente 1,5 vezes. Após a nvestgação de melhoras no desempenho advndas da alocação de matrzes e vetores, a nserção de paralelzação no algortmo é avalada a partr da utlzação das dretvas OpenMP. Dentre as prncpas vantagens de se utlzar estas dretvas, é possível ressaltar a rápda transferênca de dados, uma vez que os múltplos processadores compartlham de uma únca memóra. Alternatvamente a esta abordagem, a dstrbução do processamento podera ser avalada medante a utlzação de memóra dstrbuída, a qual permtra partlhar a execução de um determnado programa entre dferentes nós, e não apenas entre os processadores. No presente estudo, esta metodologa fo descartada devdo ao número reduzdo de nós presentes no cluster, uma vez que o transporte de nformações entre dferentes nós representara uma parcela mportante no tempo total de processamento quando comparado aos êxtos obtdos por sua eventual mplementação.

95 79 Assm, vsando nserr corretamente as dretvas OpenMP na solução de escoamentos turbulentos quase-ncompressíves de fludos newtonanos, dferentes seções do algortmo foram analsadas no ntuto de obter-se uma estratfcação do tempo consumdo e, conseqüentemente, dentfcar-se as rotnas caracterzadas como gargalo durante a execução do programa. Utlzando a confguração e as mesmas condções apresentadas nos testes relaconados à alocação de memóra, é possível observar através da Tabela 5.3 os setores do algortmo responsáves pelos maores tempos de processamento. Esta afrmação é ratfcada medante a verfcação da Fgura 5.3, a qual através de um gráfco de Pareto lustra o tempo consumdo para dferentes dscretzações espacas. Setores do Programa Tabela Setores crados para avalar o tempo de processamento consumdo Equações computadas em cada setor do programa Tempo de Processamento (%) Malha 01 Tempo de Processamento Acumulado (%) Malha 01 1 Eqs. (3.29) e (3.32) % % 2 Eqs. (3.66), (3.67), (3.68), (3.69), (3.71), % 9.44 % (3.72) e (3.73) G 3 Termo R da Eq. (3.34) 4.58 % % 4 Eq. (3.31) 3.48 % % 5 Imposção das Condções de Contorno % 2.75 % em (3.35) e (3.36) 6 Eq. (3.12) 2.29 % % 7 Outras 1,67 % 100 % 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% Malha 01 Malha 03 Malha 05 Malha 06 10% 0% Setor 1 Setor 2 Setor 3 Setor 4 Setor 5 Setor 6 Outros Fgura Gráfco de Pareto utlzado para avalar o tempo de processamento consumdo para 4 dscretzações dstntas

96 80 Analsando ambos os resultados, verfca-se que a regão destnada ao cálculo teratvo dos termos apresentados nas equações (3.29) e (3.32) demanda um tempo de processamento muto superor as demas seções. Este setor é orundo do esquema temporal explícto-teratvo e seu tempo de processamento está relaconado dretamente ao crtéro de tolerânca estpulado. Desta manera, os valores apresentados ndcam que o prmero passo na dreção de aumentar o desempenho do algortmo é a dstrbução do processamento no setor 1. De acordo com a Fgura 5.4, a mplementação da paralelzação va OpenMP representou um mportante aumento da velocdade em relação ao códgo orgnal. Atuando ncalmente apenas no segmento mas oneroso computaconalmente, o tempo de processamento exbu reduções sgnfcatvas tanto em algortmos com matrzes e vetores alocados dnamcamente como estatcamente. O aumento médo de velocdade observado em relação à não utlzação da dretva OpenMP é de 2,45 vezes para a alocação estátca e 2,68 vezes para a alocação dnâmca. A melhor stuação é dentfcada a partr da confguração , a qual apresenta uma aceleração de 3,09 vezes em relação à utlzação de um códgo com alocação estátca sem OpenMP e 3,24 vezes na avalação entre códgos alocados dnamcamente com e sem OpenMP. É mportante atentar que, medante a utlzação de dos processadores do tpo dual-core, a aceleração máxma do processamento é lmtada em no máxmo 4, valor este equvalente ao número de núcleos presentes em cada nó. Os resultados supractados são apresentados através da Tabela 5.4. Nesta avalação, é possível observar que o speed up referente às malhas 5 e 6 apresenta um comportamento bastante dstnto em relação as demas dscretzações. Esta afrmação é ratfcada a partr das Fgura 5.2 e Fgura 5.4, as quas ndcam grafcamente uma modfcação acentuada nestas dscretzações. Uma avalação mnucosa a cerca deste comportamento fugra do escopo do presente trabalho, necesstando um detalhamento aprofundado no que dz respeto aos acessos de memóra realzados pelas dscretzações empregadas. Porém, cabe ressaltar que o aparecmento deste efeto não mpedu que reduções no tempo de processamento fossem observadas quando as propostas ndcadas neste estudo foram empregadas.

97 81 Fgura Comparação entre códgos com e sem as dretvas OpenMP para alocações do tpo estátca e dnâmca Tabela Speed up observado a partr da utlzação das dretvas OpenMP para alocações do Número da Malha tpo estátca e dnâmca Alocação estátca versus Alocação estátca com OpenMP Alocação dnâmca versus Alocação dnâmca com OpenMP 1 1,83 1,91 2 1,96 2,27 3 2,32 2,50 4 2,36 2,66 5 2,71 3,15 6 2,66 2,42 7 2,76 2,96 8 3,09 3,24 Dante das nformações apresentadas na Fgura 5.4, para o presente códgo computaconal (o qual apresenta o esquema temporal explícto-teratvo), é observado que a melhor manpulação da memóra e os menores tempos de processamento são obtdos quando alocações estátcas são avaladas juntamente a nserção de dretvas OpenMP. Quando a por e a melhor stuação são confrontadas, ou seja, alocação dnâmca sem OpenMP versus alocação estátca com OpenMP, uma aceleração méda de 3,76 vezes é dentfcada, chegando a valores próxmos de 5 em malhas mas refnadas. Melhoras mas acentuadas verfcadas na confguração 8 devem-se a redução da contablzação das perdas relaconadas a transferênca de dados em relação ao tempo de processamento total, o qual é maor em relação as outras malhas utlzadas. Comportamento oposto é observado na

98 82 confguração 1, onde prejuízos referentes a dstrbução de tarefas entre processadores são amplfcados devdo ao reduzdo tempo de processamento necessáro para fnalzação dos testes. Após esta avalação, as dretvas OpenMP são nserdas em mas três regões do algortmo que demandam elevado tempo de processamento. Desta manera, os quatro prmeros setores ndcados na Tabela 5.3 são soluconados paralelamente para uma alocação estátca de memóra, melhor stuação observada nos resultados anterores. Os resultados obtdos não apresentaram uma melhora sgnfcante no que dz respeto ao tempo de processamento (CPU tme), uma vez que grande parte do esforço computaconal estava concentrado em apenas um setor do códgo. Porém, o ncremento na paralelzação ctado possbltou uma melhor utlzação dos recursos de hardware, dmnundo consderavelmente o tempo de relógo (elapsed tme), ou seja, o tempo efetvo contablzado desde o níco até o fm da smulação. A razão entre o tempo de processamento e o tempo de relógo ndca o aprovetamento dos recursos por parte do algortmo. Em um nó com quatro núcleos, o aprovetamento máxmo passível de ser observado é de 400 %, stuação em que o CPU tme sera equvalente ao ntervalo de tempo efetvo para fnalzação da smulação. Assm, com a paralelzação de três novos setores, a utlzação méda das undades de processamento passou de 316 % para 395 %. 5.2 Escoamento sobre um prsma quadrado bdmensonal Na Engenhara de Vento Computaconal, escoamentos sobre corpos rombudos são usualmente utlzados na análse numérca de regmes turbulentos. A confguração destes elementos possblta a avalação de efetos complexos resultantes do mpacto entre o escoamento ncdente e o obstáculo merso no domíno. Para análse de efetos como colsão, separação, recolamento, crculação e desprendmento de vórtces, optou-se pela utlzação de um prsma bdmensonal com seção transversal quadrada. Nas seções seguntes, observações orundas desta varedade de escoamentos serão analsadas a partr de dferentes propostas, as quas são examnadas devdo à necessdade de controlar nstabldades comumente presentes em problemas advectvo-domnantes. Desta manera, os resultados obtdos a partr do esquema temporal de Taylor-Galerkn explíctoteratvo e do esquema temporal explícto de dos passos são nvestgados. No que dz respeto à análse do esquema caracterzado pela presença de um cclo teratvo, funções de nterpolação constante e lnear são avaladas para o termo referente à pressão.

99 83 Para um melhor entendmento do presente capítulo, a Tabela 5.5 apresenta, em ordem cronológca, as ações executadas vsando a escolha da melhor abordagem do caso em estudo e a sgla empregada em cada stuação. Tabela Alternatvas adotadas no presente estudo e suas respectvas sglas Alternatvas adotadas Esquema Temporal de Taylor- Galerkn Explícto-Iteratvo com Pressão Constante Esquema Temporal de Taylor- Galerkn Explícto-Iteratvo com Pressão Lnear Esquema Temporal Explícto de Dos Passos com Pressão Lnear Sgla EIPC EIPL EDP Esquema Explícto-Iteratvo com Função de Interpolação Constante para a Pressão Incalmente, vsando obter a dscretzação temporal das equações que governam o escoamento de fludos Newtonanos, turbulentos, sotérmcos e quase-ncompressíves, o método de Taylor-Galerkn explícto-teratvo fo utlzado. Sua medata escolha deve-se essencalmente ao sucesso do mesmo no tratamento de escoamentos confnados (cavdades e degraus), amplamente dscutdos em trabalhos relaconados ao grupo de estudo: [Petry, 2002], [Dos Santos, 2007] e [Xaver, 2008]. Este esquema temporal, como prevamente avalado no capítulo 3, está atrelado dretamente ao crtéro de tolerânca empregado para determnar a convergênca do cclo teratvo. Neste sentdo, na caracterzação do escoamento sobre o obstáculo em análse, utlzouse um valor de como crtéro de parada. No que dz respeto às funções de nterpolação empregadas no método dos elementos fntos, optou-se ncalmente pela utlzação de uma função lnear para φ (velocdade) e constante para ψ (pressão), confguração orgnalmente presente no algortmo. Na redução do amplo esforço computaconal usualmente assocado a escoamentos externos, adotou-se um domíno trdmensonal com apenas um elemento de profunddade. Com esta smplfcação, o problema passa a ser tratado de manera bdmensonal e nevtavelmente, ncorre na não observação de uma das característcas fundamentas da turbulênca: a trdmensonaldade da vortcdade. As dmensões utlzadas na confecção do prmero domíno e as condções de contorno empregadas são dêntcas àquelas apresentadas na Fgura 5.1. A confguração ncalmente

100 84 escolhda no presente trabalho tem como objetvo garantr que a condção natural de 2ª espéce seja atendda e que o fenômeno de desprendmento de vórtces seja captado em sua totaldade. Segundo [Sachs, 1972], a colsão entre o escoamento ncdente e uma placa plana vertcal de dmensão d proporcona o desprendmento de vórtces alternados tanto na aresta superor como nferor, sendo que a dferença entre ambos é de 1,55d e a dstânca horzontal entre vórtces orundos da mesma aresta é de 5,5d. O número de Reynolds escolhdo para caracterzação do escoamento sobre o prsma quadrado é de A escolha deste valor deve-se a mportante pesqusa desenvolvda por [Lyn et al., 1995], o qual apresenta avalações expermentas a partr de medções em um tanque com água através de velocmetra laser. Além deste trabalho, os esforços empregados por [Durao et al., 1988] na avalação de um regme com Re = também são utlzados como referênca, os quas também executaram suas nvestgações a partr do método LDV (Laser Doppler Velocmetry). Em uma prmera análse do escoamento sobre o corpo rombudo em estudo, optou-se por uma dscretzação espacal unforme ao longo do domíno, sendo o tamanho dos elementos gual a 0,1d. Desta forma, a malha de elementos fntos obtda para este prmero caso fo de hexaedros. No trabalho desenvolvdo por [Bours et al., 1999], estes apresentam uma mportante revsão a cerca das menores dstâncas observadas entre o obstáculo e a prmera lnha de elementos em escoamentos sobre prsmas quadrados. O autor ndca que as confgurações mas refnadas encontram-se entre os valores (0, 022 0, 0004)d. No presente trabalho, uma confguração unforme utlzando os menores valores apresentados por [Bours et al., 1999] acarretara em malhas excessvamente densas e tempos computaconas extremamente altos. Desta manera, a escolha de uma confguração unforme para a prmera observação dos campos de velocdade e pressão está fundada na possbldade de comparar estes resultados com aqueles advndos de dsposções rregulares (do nglês, stretched ) dos elementos ao longo do domíno, as quas serão nvestgadas no decorrer desta avalação. Na Tabela 5.6 são apresentados os dados referentes ao escoamento bdmensonal sobre um prsma quadrado utlzados na prmera smulação.

101 85 Tabela Resumo dos dados utlzados na smulação numérca sobre um prsma quadrado bdmensonal empregando o método explícto-teratvo e a malha com hexaedros. Número de Reynolds - Velocdade ncdente - U Re d 30 m/s -3 2 Vscosdade cnemátca - ν m /s 2 Vscosdade volumétrca - λ 0 Ns/m Velocdade do som no meo - c Dmensão característca do prsma - d Incremento de tempo crítco - t Coefcente de Smagornsky - Crtéro de tolerânca C S 340 m/s 1 m 5 2, 7 10 s 0, Vsando avalar o comportamento do códgo orgnalmente desenvolvdo por [Petry, 2002], nvestgações médas na lnha de centro do domíno são apresentadas tanto para velocdade como para pressão. Na Fgura 5.5, resultados referentes à velocdade admensonal * U, a qual representa a razão entre a componente de velocdade U e a velocdade ncdente U, são observados para dferentes tempos admensonas t *. No presente trabalho, a admensonalzação do tempo é obtda a partr da segunte equação: t = t (5.2) L * V Estes valores são comparados ncalmente com os resultados expermentas obtdos por [Lyn et al., 1995] e [Durao et al., 1988]. Na nvestgação do método explícto-teratvo empregando uma função constante para a pressão, é possível observar que, com o avanço no tempo, os resultados a sotavento do obstáculo vão gradatvamente dstancando-se dos valores expermentas. A conseqüênca deste efeto é a dvergênca da solução. Na Fgura 5.6, esta stuação é mas evdente, uma vez que a pressão méda na regão trasera do prsma, representada através do coefcente de pressão, apresenta um comportamento excessvamente nstável quando comparada aos resultados expermentas obtdos por [Nakamura e Ohya, 1984], para um número de Reynolds de 67000, e daqueles obtdos numercamente por [Sohankar, 2006], para um número de Reynolds de

102 86 No trabalho de [Sohankar, 2006], este apresenta expermentos numércos para números de Reynolds varando de a , ndcando que o aumento deste valor admensonal conserva um comportamento smlar na avalação do coefcente de pressão. Assm, a semelhança entre as curvas obtdas pelo autor ctado vsa legtmar a utlzação dos dados expermentas de [Nakamura e Ohya, 1984] para avalação do coefcente de pressão em um regme com Re = 22000, uma vez que estes últmos autores executaram suas medções através de um número de Reynolds de Fgura Velocdade admensonal na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC Fgura Coefcente de pressão na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC

103 87 Apesar da dvergênca observada nesta prmera smulação, a Fgura 5.5 e Fgura 5.6 permtem dentfcar que, para uma mesmo tempo admensonal, o coefcente de pressão a sotavento do obstáculo apresenta um comportamento consderavelmente mas nstável quando comparado aos valores admensonalzados de velocdade. Esta dferença de comportamento, a qual será evdencada ao longo desta dscussão, está vnculada dretamente ao aparecmento de modos espúros no campo de pressões. Em vrtude das nstabldades numércas observadas na prmera smulação utlzando o método explícto-teratvo, algumas alternatvas vsando à convergênca da solução foram empregadas. Uma vez que a dvergênca pode estar assocada ao não atendmento da condção de contorno natural de 2ª espéce na descarga do domíno, um aumento da dmensão X fo proposta de acordo com as geometras observadas na lteratura. Desta manera, utlzou-se a confguração proposta por [Braun, 2007], a qual apresenta as dmensões observadas através da Fgura 5.7. Sua escolha deve-se ao sucesso deste autor na smulação de prsmas quadrados bdmensonas utlzando o método de Taylor-Galerkn explícto-teratvo. Fgura Geometra proposta por [Braun, 2007] Nesta nova geometra, um aumento da dstânca entre a lnha de centro e as paredes lateras também é avalado. No que dz respeto à condção ncal, uma velocdade U gual a 30 m / s é nserda ao longo de todo o domíno. Em um prmero momento, no ntuto de soluconar a dvergênca da solução, o mesmo tamanho de elemento fo utlzado, fazendo com que a malha, devdo às novas dmensões utlzadas, passasse a abrgar elementos. Nesta segunda smulação, os dados apresentados na Tabela 5.6 são mantdos. Como pode ser observado na Fgura 5.8(a), a modfcação do domíno de cálculo e a alteração na condção ncal possbltaram que a solução atngsse, na méda temporal, o regme permanente.

104 88 Na avalação da velocdade resultados obtdos em * U na regão central do domíno, é possível verfcar que os * t = 5 aproxmam-se daqueles verfcados expermentalmente. A nserção dos resultados apresentados por [Bours et al, 1999] e [Braun, 2007] servem de balza para o presente trabalho, uma vez que ambos os autores também realzaram expermentos numércos bdmensonas utlzando a smulação de grandes escalas com modelo sub-malha de Smagornsky. Fgura Resultados admensonalzados de velocdade na lnha de centro do domíno: (a) a partr da confguração EIPC e a malha de elementos e (b) nvestgações observadas na lteratura O dstancamento observado entre os resultados numércos da Fgura 5.8(a) pode estar relaconado à dscretzação utlzada até o momento, uma vez que a confguração grossera mpede uma avalação mas apurada do escoamento, prncpalmente nas medações do obstáculo. Nesta regão, a dscretzação nsufcente a sotavento do obstáculo ndca velocdades negatvas com magntudes superores àquelas apresentadas pelos demas autores. Na regão localzada a barlavento do obstáculo, os resultados observados são próxmos àqueles verfcados por [Durao et al., 1988] e por grande parte das avalações numércas dentfcadas na lteratura, como pode ser observado na Fgura 5.8(b). Nesta lustração, os prncpas resultados verfcados na caracterzação de escoamentos sobre prsmas quadrados são apresentados. Dentre os autores examnados, [Breuer et al., 1996], a partr de uma análse trdmensonal do problema em estudo, obteve pontos bastante smlares aos verfcados por [Durao et al., 1988] quando comparado aos demas autores. [Braun, 2007],

105 89 apesar de aproxmar-se bastante dos resultados expermentas utlzando o esquema explíctoteratvo, revela um comportamento levemente rregular a partr de 4d. Nos trabalhos de [Breuer et al., 1996], [Bours et al., 1999], e [Braun, 2007], é mportante ressaltar que a turbulênca fo tratada medante a Smulação das Grandes Escalas. As nvestgações realzadas por [Franke et al., 1991] são as que mas se afastam das medções executadas por [Lyn et al., 1995] e [Durao et al., 1988]. Este notável dstancamento deve-se a utlzação da modelagem clássca da turbulênca para avalação de escoamentos sobre corpos rombudos. Assm, mesmo com a utlzação de um modelo k ε adaptado ao problema em estudo, os resultados revelam a dfculdade da abordagem RANS em avalar corretamente escoamentos com colsão. Na Fgura 5.9, a avalação do coefcente de pressão na regão posteror ao obstáculo é observada até 8,5d. Dferentemente do comportamento assumdo pela velocdade na dreção X, a pressão apresentou uma dstrbução mas osclante a sotavento do obstáculo após a obtenção do regme permanente na méda temporal. Este resultado é evdencado quando comparado aos expermentos numércos verfcados por [Sohankar, 2006], o qual também efetuou suas análses a partr da modelagem LES, obtendo os efetos sub-malha medante a utlzação do modelo clássco de Smagornsky. Fgura Coefcente de pressão na lnha central utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC A partr do comportamento rregular verfcado através da Fgura 5.9 e da observação qualtatva do coefcente de pressão em * t = 5, Fgura 5.10(b), é possível vsualzar a presença

106 90 de perturbações não físcas no campo de pressão. No que dz respeto à velocdade, a proxmdade entre os resultados expermentas e numércos é ratfcada medante a lustração Fgura 5.10(a), uma vez que o campo de velocdades lustrado está sento dos modos espúros verfcados na avalação da pressão. Porém, nvestgando os resultados apresentados na lustração Fgura 5.8(a), pode-se ntur que a pequena osclação verfcada na avalação méda temporal da velocdade admensonal a partr de 5d a sotavento do obstáculo é advnda do comportamento observado na pressão. Fgura Avalação nstantânea em t * = 5 utlzando a malha de elementos e a confguração EIPC para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão * t = Na Fgura 5.11 são apresentados os campos qualtatvos de velocdade e pressão para 0, 2 ; 0,4 ; 0,6 e 0,8. Assm, nvestgando as prmeras gravações executadas para a confguração EIPC, dentfcam-se osclações numércas bastante acentuadas no campo de pressão, as quas são sentdas no cálculo da velocdade. A malha utlzada até o momento pretenda apenas uma prmera avalação da resposta do códgo perante a smulação de um escoamento predomnantemente advectvo. Com o aparecmento de osclações espúras no campo de pressão, é precso garantr que as mesmas não sejam orundas de uma dscretzação espacal grossera. Porém, tanto o aumento da dscretzação espacal como tentatvas relaconadas à dmnução do passo de tempo não soluconaram a desordem observada na solução.

107 91 Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EIPC para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) t * = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6 e (g) e (h) t * = 0,8

108 Esquema Explícto-Iteratvo com Função de Interpolação Lnear para a Pressão A escolha orgnal de funções de nterpolação de ordens dstntas (φ >ψ ) está relaconada dretamente ao atendmento da condção de establdade de Babuška-Brezz (BB). Como observado na Fgura 5.9, 5.10 e 5.11, o cálculo dos termos de pressão empregando uma função de baxa ordem juntamente ao esquema temporal de Taylor-Galerkn explícto-teratvo resultou no aparecmento de osclações espúras na avalação desta varável prmára. Neste sentdo, vsando uma remoção completa destas perturbações, a elevação da ordem da função de nterpolação ψ é proposta. Contrarando a condção de BB, o emprego de funções de mesma ordem é assegurada no presente estudo medante a utlzação do método da pseudocompressbldade, o qual guala o requermento das funções que descrevem velocdade e pressão a partr da nserção da dervação temporal desta últma na equação da contnudade. Assm, para avalação dos resultados orundos da utlzação de uma função lnear para o termo referente à pressão, os dados anterormente apresentados pela Tabela 5.6 e o domíno ndcado pela Fgura 5.7 são empregados. Na Fgura 5.12, os resultados qualtatvos para os tempos admensonas * t = 0, 2 ; 0,4 ; 0,6 e 0,8 são apresentados para a velocdade * U e para o coefcente de pressão Cp. Avalando estes regstros, é possível verfcar que a utlzação de funções de nterpolação com ordens dêntcas para velocdade e pressão apenas reduzu de manera ínfma os modos espúros, não obtendo êxto na sua total remoção.

109 93 Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EIPL para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) t * = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6 e (g) e (h) t * = 0,8

110 94 Avalando o escoamento sobre um prsma quadrado medante a confguração EIPL, é verfcada uma patologa numérca orunda da utlzação de φ =ψ, a qual é caracterzada pela presença de nstabldades do tpo tabulero de xadrez (do nglês, checkerboard nstabltes ) no campo de pressão. Em * t = 5, é possível observar medante a Fgura 5.13 que esta varedade de nstabldades é mas proemnente na face frontal do obstáculo, comportamento este corroborado a partr do exame da Fgura Nesta últma lustração, a méda temporal do coefcente de pressão é verfcada para o contorno superor do obstáculo. Assm, avalando a curva orunda desta mesma fgura, verfca-se que o trecho A-B abrga as maores osclações no entorno do corpo rombudo em análse quando comparado aos resultados expermentas de [Bearman et al., 1982] e numércos de [Murakam, 1998]. Fgura Presença de nstabldades do tpo tabulero de xadrez no campo de pressão nas proxmdades do obstáculo para a Malha de elementos e confguração EIPL Fgura Coefcentes de pressão no contorno superor do obstáculo utlzando a malha de elementos e a confguração EIPL

111 95 No que tange ao cálculo do campo de velocdades, a Fgura 5.15 ndca que a utlzação de funções de nterpolação dêntcas aproxmou os resultados de velocdade a sotavento do obstáculo daqueles obtdos expermentalmente. Porém, a barlavento do prsma quadrado, as perturbações nerentes ao campo de pressão são ntensamente sentdas na avalação de Vsando a remoção deste ndesejável efeto, métodos establzados são comumente observados na lteratura. A utlzação de uma função lnear para pressão aumentou naturalmente o tempo de processamento, uma vez que o cálculo passa a ser realzado em cada nó do hexaedro empregado e não mas apenas em nível de elemento. * U. Fgura Resultados admensonalzados de velocdade na lnha central do domíno utlzando a malha de elementos e a confguração EIPL Utlzando como balza os esforços desenvolvdos por [Braun, 2007] na caracterzação de escoamentos sobre prsmas com seção quadrada, é possível observar que este autor, utlzando o método de Taylor-Galerkn explícto-teratvo com função de nterpolação com mesma ordem, obteve êxto na avalação tanto de resultados referentes à pressão como de velocdade, removendo com sucesso quasquer osclações espúras presentes nestes campos. Comparando a formulação do estudo em análse com aquela empregada pelo autor supractado, verfca-se que a dferença essencal entre ambas está vnculada ao tratamento dos termos de pressão e a expansão temporal das varáves prmáras até os termos de segunda ordem. Na modelagem empregada no presente estudo, a tentatva de nvablzar o aparecmento das nstabldades menconadas fo através da nclusão do tensor de balanço dfusvo, o qual já hava sdo utlzado na smulação de escoamentos confnados por autores do grupo de estudo.

112 96 Assm, nos trabalhos publcados por [Petry, 2002], [Dos Santos, 2007] e [Xaver, 2008], a perturbação do escoamento medante o aparecmento de nstabldades numércas não fo captal na obtenção dos resultados. Alternatvamente à utlzação do tensor de balanço dfuso, [Braun, 2007] empregou a proposta enuncada por [Donea, 1984] para o tratamento de escoamentos advectvo-domnantes. Neste enfoque, os termos temporas presentes no método de Taylor-Galerkn são expanddos até segunda ordem para establzação da solução. Assm, comparando os aspectos quanttatvos e qualtatvos obtdos no presente estudo com as produções observadas anterormente, é possível conclur que o tensor utlzado para aumentar as propredades dsspatvas do escoamento não fo efetvo na avalação de escoamento externo (ou não confnado). Desta manera, uma análse do panorama apresentado ndcara a mplementação medata dos termos de segunda ordem vsando à elmnação das osclações espúras do campo de pressão. Porém, como observado anterormente, a utlzação do esquema explícto-teratvo mplca em uma constante verfcação da convergênca entre cada teração, fazendo com que o tempo de processamento seja demasadamente elevado. Assm, uma eventual utlzação de termos temporas de segunda ordem acarretara em tempos de solução anda maores, nvablzando grande parte das aplcações relaconadas à EVC. Dante destas adversdades apresentadas, a manutenção do tensor de balanço dfusvo fo escolhda em detrmento a expansão de segunda ordem sére de Taylor dos termos temporas Esquema Explícto de Dos Passos com Função de Interpolação Lnear para a Pressão Avalando novamente o trabalho de [Braun, 2007], observa-se que este utlzou um segundo esquema para avalação temporal das equações governantes que regem o escoamento sobre um prsma quadrado. Na dscussão dos resultados, o autor compara os campos de velocdade e pressão obtdos através do esquema temporal de Taylor-Galerkn explícto-teratvo e do esquema explícto de dos passos. Assm, para o mesmo número de Reynolds dscutdo neste trabalho, os melhores resultados são atrbuídos ao emprego do método explícto de dos passos. Desta manera, para remoção das nstabldades orundas da smulação numérca de escoamentos advectvo-domnados, fo empregado o esquema explícto de dos passos desenvolvdo por [Kawahara e Hrano, 1983]. A escolha deste método fo ratfcada medante a

113 97 observação do trabalho de [Petry, 1993], no qual são apresentados êxtos na solução de escoamentos externos, mas precsamente na caracterzação de escoamentos sobre um clndro fxo. Segundo [Kawahara e Hrano, 1983], o método de dos passos, a partr do emprego da dagonalzação seletva da matrz de massa, fgura como alternatva para a establzação da solução numérca. Como observado prevamente, a formação da matrz seletva é efetuado medante a utlzação do parâmetro de controle seletvo e. No trabalho dos autores ctados, este parâmetro é avalado medante a avalação de três valores dstntos: 0, 0,7 e 0,95. Nesta dscussão, os autores ressaltam as prncpas conseqüêncas numércas de cada escolha. Para caracterzação do escoamento sobre um prsma quadrado ( Re=22000 ), [Braun, 2007] utlza um parâmetro de controle seletvo nulo vsando redução dos resíduos. Assm, empregando uma malha com confguração unforme de elementos, dêntca a utlzada anterormente para as confgurações EIPC e EIPL, os três parâmetros seletvos propostos por Kawahara e Hrano são avalados a partr da velocdade admensonal * U. Na Fgura 5.16, observa-se que a dscussão estmulada pelos autores ctados se confrma, uma vez que às nstabldades presentes no campo de velocdade a barlavento do obstáculo são reduzdas conforme a dmnução do parâmetro seletvo e. Avalando esta mesma lustração, é possível verfcar também que os três parâmetros examnados aproxmam-se bastante dos resultados obtdos por [Braun, 2007] utlzando este mesmo esquema temporal. Porém, uma comparação mas cudadosa com o estudo ctado anda carece de verfcações empregando maores dscretzações espacas por parte deste estudo. Assm, apesar dos resultados anda serem dependentes de malha, a dferença entre as curvas para cada valor de e permte que a defnção desta constante seja ajustada em zero, uma vez que nstabldades a barlavento do obstáculo não são observadas para este parâmetro seletvo.

114 98 Fgura Comparação entre dferentes parâmetros seletvos utlzando a malha de elementos e a confguração EDP A dfculdade no tratamento dos campos de pressão advnda da utlzação do esquema explícto-teratvo fo prosperamente superada a partr da avalação temporal empregando dos passos na solução das equações governantes. Com o montoramento dos regstros admensonas * t = 0, 2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 e 1 utlzando um parâmetro seletvo e nulo, é possível dentfcar através da Fgura 5.17 a remoção completa das osclações espúras observadas até o momento. Desta manera, o níco da formação da estera de vórtces, a qual era observada tão somente através do campo de velocdades pelo esquema explícto-teratvo, é captada também pelo campo de pressão utlzando o esquema temporal de dos passos. Assm, os campos apresentados em * t = 0, 2 e 0, 4 ndcam o surgmento dos vórtces smétrcos na regão trasera do obstáculo e seus respectvos alongamentos. Nos tempos seguntes, * t = 0,6 ; 0,8 e * t = 1, o crescmento dos vórtces passa a ocorrer de manera assmétrca, resultando no colapso do sstema a partr do desprendmento do vórtce na regão superor e níco da formação de um novo na regão nferor. Na Fgura 5.18 são observados os campos de velocdade e pressão admensonalzados em t * = 5.

115 99

116 100 Fgura Campos admensonalzados de velocdade e pressão utlzando a malha com elementos e confguração EDP para os seguntes tempos admensonas: (a) e (b) t * = 0, 2, (c) e (d) t * = 0, 4, (e) e (f) t * = 0,6, (g) e (h) t * = 0,8 e () e (j) t * = 1 Fgura Avalação nstantânea em t * = 5 utlzando a malha de elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Optando por um valor nulo na escolha do parâmetro seletvo e, resultados médos de velocdade e pressão são comparados na lnha central do domíno para as três confgurações examnadas até o momento. Assm, as confgurações EIPC, EIPL e EDP são comparadas. As curvas lustradas nas Fgura 5.19 (a) e (b) ndcam que, apesar do esquema temporal de dos passos elmnar com sucesso as osclações espúras, um pequeno prejuízo é verfcado na solução numérca dos campos de velocdade e pressão em relação ao esquema explícto-teratvo. No comportamento lustrado através da Fgura 5.19 (b), é possível observar que o montoramento do esquema temporal de dos passos na regão medatamente posteror ao obstáculo revela um mportante amortecmento do coefcente de pressão, o qual deverá ser mnmzado medante um refnamento das malhas empregadas. Em contrapartda, uma dstrbução mas estável para esta varável prmára é averguada após 4d.

117 101 Segundo [Olvera Jr., 2006], o amortecmento de osclações espúras através da dagonalzação seletva da matrz de massa, em alguns casos, pode acarretar em uma pequena perda na precsão numérca em detrmento da establzação do esquema de solução. Fgura Avalação méda temporal na lnha de centro do domíno utlzando a malha de elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Além dos mportantes avanços observados no tratamento da pressão pela solução utlzando dos passos, Fgura 5.17 e Fgura 5.19, a remoção do cclo teratvo do esquema temporal explícto permtu uma redução mportante no tempo de processamento. Dante dos resultados apresentados na Fgura 5.3 e na Tabela 5.3, já era sabdo que grande parte do tempo consumdo no processamento era destnado ao cclo teratvo. Como pode ser verfcado na Tabela 5.7, comparando as alternatvas testadas em relação ao algortmo orgnal, o speed up verfcado com a utlzação do esquema temporal explícto de dos passos é de 8,45 vezes. A avalação referente ao tempo de processamento consumdo em cada confguração fo obtda através de um computador pessoal monoprocessado com a segunte confguração: Pentum 4 com 3 GHz de clock e 2 GB de memóra. Assm, a adção de um novo passo de tempo apontou um menor esforço computaconal quando comparado a constante verfcação do crtéro de tolerânca ntrínseca à solução explíctoteratva. A utlzação de uma função lnear para pressão no método explícto-teratvo aumentou em mas de duas vezes o tempo de processamento em relação ao códgo orgnal.

118 102 Tabela Tempo computaconal e speed up observados para as três alternatvas avaladas Alternatvas adotadas Explícto-Iteratvo com Pressão Constante (EIPC) Explícto-Iteratvo com Pressão Lnear (EIPL) Explícto de Dos Passos com Pressão Lnear (EDP) Tempo Computaconal (segundos) Speed Up ,45 Uma vez que a remoção das osclações espúras do campo de pressão fo efetuada com êxto, a nvestgação do comportamento desta nova confguração do algortmo na caracterzação do escoamento sobre um prsma quadrado é realzada. Vsando observar a nfluênca da dscretzação espacal na avalação do fenômeno, duas malhas são utlzadas. Assm, além da confguração com hexaedros empregada anterormente, uma nova dscretzação com elementos fo examnada. Nesta segunda malha de elementos fntos, o ntervalo de tempo crítco necessáro para atendmento da condção de establdade de Courant é apresentado na Tabela 5.8. Tabela Menor elemento da malha de elementos fntos e o tempo crítco, respectvamente, para a segunda dscretzação espacal utlzada. x mnmo tcrtco Malha ,071d 1,92E-05 s Nas Fgura 5.20 (a) e (b), os campo de velocdade e pressão admensonas na lnha central do domíno são novamente examnados para as duas dscretzações unformes propostas. Como é possível observar na parte (a) desta mesma magem, após * t = 5, o aumento da dscretzação espacal aproxmou bastante os resultados obtdos numercamente daqueles publcados por [Lyn et al., 1995] e [Durao et al., 1988], semelhança esta observada até aproxmadamente 2, 2d. Após esta dstânca do obstáculo, os resultados obtdos neste trabalho ndcam o mesmo dstancamento dos resultados observados em grande parte das smulações numércas dvulgadas na lteratura, anterormente apresentados na Fgura 5.8(b). Na avalação do campo de pressão até aproxmadamente 8,5d do centro do obstáculo, é possível verfcar que os resultados obtdos a partr da confguração com elementos assemelham-se bastante dos valores expermentas atrbuídos a [Nakamura e Ohya, 1984]. O dstancamento observado entre o presente trabalho e o de [Sohankar, 2006] pode estar

119 103 relaconado à dscretzação espacal empregada por este últmo, o qual a partr de uma malha de confguração rregular trdmensonal utlzou um dstancamento de 0,008d entre a prmera fla de elementos e o obstáculo. Fgura Avalação méda temporal na lnha de centro do domíno utlzando as malhas com e elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Fenômenos observados no entorno do obstáculo também são montorados e comparados com resultados observados na lteratura. Como verfcado anterormente, a passagem do escoamento sobre o corpo rombudo revela um comportamento altamente transente, o qual é caracterzado pelo desprendmento aleatóro de vórtces das arestas superor e nferor. Na méda temporal, ou seja, após atngr o regme permanente, o comportamento do escoamento é representado pela presença de quatro vórtces nas proxmdades do obstáculo, sendo dos vórtces dstrbuídos nas regões superor e nferor e dos na regão trasera. Este fenômeno fo obtdo numercamente por [Sohankar, 2006] e apresentado medante lnhas de corrente através da Fgura 5.21.

120 104 Fgura Lnhas de corrente obtdas nas proxmdades do obstáculo (Fonte: [Sohankar, 2006]) Vsando uma obtenção quanttatva do fenômeno prevamente descrto, perfs de velocdade posconados em x = 0 d, 0,5 d e 1,5 d são observados desde a lnha central do domíno até uma dstânca na dreção Y gual a 4d. Este montoramento tem como objetvo avalar o níco e o fm do vórtce posconado na regão superor do obstáculo, x = 0 d e 0,5d, respectvamente, e avalar o comportamento do perfl de velocdades medatamente depos do vórtce posconado na regão posteror do obstáculo, x = 1,5d. Dante dos resultados apresentados nas Fgura 5.22 (a), (b) e (c), é possível verfcar que o códgo utlzando o esquema temporal explícto de dos passos possbltou uma avalação do fenômeno próxma daquelas publcadas por [Lyn et al., 1995] (expermental) e [Sohankar, 2006] (numérco). Um pequeno dstancamento é verfcado em x = 0,5d, o qual se afastou um pouco dos demas resultados, e o ntervalo 1d < Y < 2d referente ao perfl posconado em x = 1,5d. Os prmeros resultados obtdos após o obstáculo nos pontos x = 0 d e 0,5d, os quas estão ntmamente relaconados ao menor elemento da malha de elementos fntos, revela que a dscretzação utlzada por [Sohankar, 2006] pode ter captado com mas veracdade o fenômeno nesta regão. Porém, a ausênca na lteratura de medções expermentas em dstâncas tão pequenas nvablza uma dscussão mas abalzada a cerca deste fato. Na regão da estera, x = 1,5d, o presente trabalho utlzando a malha de elementos aproxmou-se bastante do resultado expermental.

121 105 Fgura Avalação dos perfs de velocdade utlzando as malhas com e elementos e a confguração EDP para as seguntes posções: (a) x = 0 d, 0,5 d e 1,5 d, (b) x = 0,5d e (c) x = 1,5d Resultados referentes à estatístca da turbulênca também foram analsados. Desta manera, flutuações de velocdade nas dreções X e Y são examnadas ao longo da lnha central do domíno a partr da energa cnétca total da turbulênca, a qual é obtda medante a equação (2.37). Os resultados observados na Fgura 5.23 ndcam que a avalação das flutuações demanda dscretzações mas refnadas nas proxmdades do obstáculo, regão na qual as maores varações de velocdade são observadas. Fgura Energa cnétca total da turbulênca méda avalada na lnha central do domíno

122 106 Assm, mesmo utlzando a segunda malha proposta, a energa cnétca da turbulênca observada até aproxmadamente 4,5d dstancou-se tanto dos resultados expermentas como dos numércos. A dfculdade de avalar as estruturas turbulentas sugere a necessdade de utlzarem-se malhas não unformes, as quas são largamente aplcadas na caracterzação sobre corpos rombudos. Esse requermento está estretamente relaconado à abordagem LES empregada no presente estudo, a qual utlza modelos algébrcos para avalar estruturas dtas sub-malha enquanto a solução dreta das equações governantes ocorre apenas para as grandes escalas. Assm, para obtenção de resultados ndependentes de malha, a utlzação de dscretzações espacas unformes na avalação de escoamentos sobre corpos rombudos angulosos exgra malhas extremamente refnadas para captar as menores estruturas presente no escoamento. Assm, avalações precsas utlzando dsposção unforme dos elementos além de demandar tempos extremamente altos de processamento, fguram como alternatvas que consomem de manera nefcente os recursos computaconas, uma vez que utlzam refnamentos dêntcos para todo o domíno computaconal. Desta manera, uma vez que a análse qualtatva desta varedade de escoamentos é conhecda, refnamentos que prorzem regões ávdas de uma avalação mas acurada são passíves de serem empregados. Segundo as confgurações propostas por [Bours et al., 1999], [Lun et al., 2003], [Km et al., 2004], [Sohankar, 2006] e [Braun, 2007], malhas que ntensfquem o montoramento de resultados nas medações do obstáculo foram empregadas para avalação precsa das estruturas ntrínsecas ao problema em estudo. O maor prejuízo de uma malha dta rregular está relaconado ao esquema explícto, que para garantr a establdade da solução exge que a condção apresentada pela equação (3.52) seja satsfeta. Desta manera, uma redução consderável no tamanho referente ao menor elemento presente no domíno será dretamente proporconal à dmnução do ncremento de tempo. Neste sentdo, duas malhas rregulares ( stretched ) são empregadas na avalação do escoamento sobre um prsma quadrado. Incalmente, uma dscretzação contendo elementos é utlzada (Fgura 5.24), confguração essa aproxmadamente duas vezes nferor à malha de hexaedros utlzada anterormente. Nesta avalação, a dstânca entre o obstáculo e a prmera lnha de elementos é de aproxmadamente 0,04d, sendo a razão de aspecto utlzada na dsposção de aproxmadamente 1,05. Em seguda, uma dscretzação não unforme com elementos é examnada, sendo a dstânca entre o obstáculo e a prmera lnha de elementos gual a 0,009d.

123 107 Na Tabela 5.9 são apresentadas as dstâncas entre o obstáculo e a prmera lnha de elementos ( x mnmo empregadas no presente estudo. ) e os ntervalos de tempo crítco para as dscretzações rregulares Fgura Malha rregular com elementos utlzando a confguração EDP Tabela Menor elemento das dscretzações rregulares e o tempo crítco para cada malha de elementos fntos empregada. x mnmo tcrtco Malha ,04d 1,08E-05 s Malha ,009d 2,43E-06 s Analsando os resultados lustrados nas Fgura 5.25 (a), verfca-se que a utlzação de uma malha stretched com elementos permtu que as avalações médas na lnha central superassem aquelas obtdas medante a confguração unforme, mesmo empregando uma densdade consderavelmente mas grossera. Esta nvestgação ressalta a mportânca do emprego de malhas não unformes em problemas caracterzados pela presença de múltplas escalas. Porém, na observação dos resultados médos de velocdade na lnha central advndos da malha com elementos, Fgura 5.25 (c), verfca-se que o refnamento desgual ao longo do domíno dstancou os valores obtdos daqueles verfcados expermentalmente, prncpalmente a partr de uma dstânca gual a 3d do centro do obstáculo. Estes resultados, juntamente a nvestgação do coefcente de pressão obtdo nas Fgura 5.25 (b) e (d), evdencam a dfculdade enfrentada pela malhas rregulares no presente estudo.

124 108 Fgura Campos de velocdade e pressão admensonalzados na lnha central utlzando a confguração EDP e confrontando malhas com as seguntes dscretzações: (a) e (b) (unforme) versus (rregular) e (c) e (d) (unforme) versus (rregular) Os resultados observados na Fgura 5.25 são ratfcados a partr das verfcações qualtatvas obtdas em um tempo nstantâneo * t = 5. Como apresentado anterormente, a construção de malhas do tpo stretched medante a smulação das grandes escalas exge que a razão de aspecto entre os elementos seja extremamente suave. Assm, uma vez que o fltro do tpo box executa uma fltragem de escalas em nível de malha, elementos vznhos com tamanhos demasadamente dstntos podem causar dferenças acentuadas na modelagem da turbulênca, gerando nstabldades de ordem numérca. Mesmo atentando a esta precaução, as Fgura 5.26 (a) e (b) revelam que a construção não unforme da malha gerou nstabldades ao longo de todo o domíno, dstorcendo a formação e o desprendmento dos vórtces.

125 109 Fgura Avalação nstantânea em t * = 5 utlzando a malha rregular com elementos e a confguração EDP para os campos admensonalzados de (a) velocdade e (b) pressão Apesar das perturbações prevamente ctadas, o montoramento de pontos em regões próxmas ao obstáculo foram obtdos com êxto empregando malhas não unformes. Nos perfs de velocdade desgnados à captura do fenômeno de separação, posções x = 0 d e 0,5d, os resultados assemelharam-se bastante as avalações numércas e expermentas utlzadas como referênca. Na Fgura 5.27(d), a utlzação de refnamento nas medações do obstáculo próxmo daquele empregado por [Sohankar, 2006] permtu que as verfcações nesta regão fossem captadas de manera smlar para ambas as avalações numércas. Como pode ser dentfcado a partr da Fgura 5.27 (f), o montoramento do perfl merso na estera, x = 1, 5d, ndca que a utlzação da malha rregular com elementos também aproxmou bastante os resultados do presente trabalho daqueles obtdos pelo autor prevamente ctado. Em contrapartda, é observado um dstancamento da curva obtda para a malha unforme com elementos, a qual hava obtdo valores muto próxmos daqueles publcados por [Lyn et al., 1995]. Uma vez que os resultados unformes não eram ndependentes de malha, é bastante provável que um aumento na dscretzação espacal da malha com elementos também conduzra os perfs de velocdade até valores próxmos aos apresentados por [Sohankar, 2006].