Otimização de cascas reforçadas assegurando fiabilidade de nível I e II

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1 a Omzação de cascas reforçadas assegurando fabldade de nível I e II Level I and II relably-based opmum desgn of sffened shells Luís M. C. Smões József Farkas Károly Járma Resumo O presene rabalho cenra-se na omzação para resrções deermníscas (nível I) e em alernava com resrções de fabldade (nível II) de cascas cóncas meálcas com reforços soldados anelares de secção quadrada. Eses reforços podem ser colocados à mesma dsânca (espessura varável) ou não (espessura consane Ulzamse as regras do De Norske Veras para as resrções de encurvadura da casca e reforços. O cuso nclu o maeral, monagem, soldadura e pnura, sendo formulado de acordo com a sequênca de fabrco. A mesma meodologa é aplcada a cascas clíndrcas apoadas na base e lvres no opo submedas a uma força axal de compressão e uma força horzonal auando no cmo da casca. A casca é reforçada no exeror aravés de reforços soldados com cordões de soldadura longudnas. Os reforços são meos perfs em I (UB No problema de nível II consderam-se aleaóros o carregameno e as propredades dos maeras. As resrções de fabldade ndvduas esão assocadas à encurvadura da casca, nsabldade dos reforços e lme mposo ao deslocameno horzonal. Absrac Ths work concerns he opmzaon boh deermnsc (Level I) and nvolvng relably consrans (Level II) of a slghly concal seel shell. The rng-sffeners are welded square box secon, equdsan (assocaed wh varable shell hckness) and nonequdsan (assocaed wh consan shell hckness) sffenng, exernal pressure, weldng. Desgn roles of De Norske Veras are appled for shell and sffener bucklng consrans. The cos funcon ncludes he cos of maeral, assembly weldng and panng and s formulaed accordng wh he fabrcaon sequence. The opmum desgn problem nvolves boh dscree and connuous desgn varables. The same mehodology s appled o cylndrcal shell columns fxed a he boom and free a he op subjec o axal compresson and horzonal force acng on he op of he column. The shell s sffened ousde wh srngers welded by longudnal flle welds. Half rolled I secon (UB) sffeners are used o reduce weldng cos. In he Level II problem randomness s consdered boh n loadng and maeral properes. Indvdual relably consrans relaed wh shell bucklng, srnger panel bucklng and he lmaon of he horzonal dsplacemen of he column op are consdered. Palavras-chave: Cascas clíndrcas reforçadas / Cascas cóncas reforçadas / / Omzação de esruuras / Fabldade / Cuso Keywords: Sffened cylndrcal shells / Sffened concal shells / Srucural opmzaon / Relably-based desgn 5

2 Luís M. C. Smões Unversdade de Combra Combra, Porugal József Farkas Unversdade de Mskolc Mskolc, Hungra Károly Járma Unversdade de Mskolc Mskolc, Hungra Avso legal As opnões manfesadas na Revsa Poruguesa de Engenhara de Esruuras são da exclusva responsabldade dos seus auores. Legal noce The vews expressed n he Poruguese Journal of Srucural Engneerng are he sole responsbly of he auhors. SIMÕES, L. M. C. [e al.] Omzação de cascas reforçadas assegurando fabldade de nível I e II. Revsa Poruguesa de Engenhara de Esruuras. Ed. LNEC. Sére III. n.º. ISSN (julho 06) Inrodução KlÖppel e Mozel [] realzaram rabalhos expermenas em cascas ronco-cóncas com e sem reforços anelares, propondo fórmulas smplfcadas para deermnar a carga críca de encurvadura. Rao e Reddy [] desenvolveram um méodo de omzação, mnmzando o peso de cascas ronco-cóncas. Foram ulzados reforços anelares e mposas resrções à encurvadura da casca e frequêncas angulares própras. No lvro de Ellnas e al. [3] são apresenados resulados expermenas e resolvdos problemas de cascas cóncas reforçadas. Spagnol e al. analsaram a encurvadura e o dmensonameno de cascas cóncas com reforços reangulares submedas a cargas axas [4, 5, 6, 7]. Chryssanhopoulos e al. [8] ulzaram o méodo dos elemenos fnos para resolver o mesmo problema. Snger e al. [9] descreveram dealhadamene ensaos expermenas realzados nese po de esruuras. Nese rabalho escolhem-se as segunes caraceríscas da esruura: aço, casca lgeramene cónca, reforços quadrados de secção em caxão, afasameno regular ou não equdsane enre reforços, a ação da pressão exeror e soldadura. As regras de dmensonameno da De Norske Veras [0, ] são aplcadas às resrções de encurvadura da casca e reforços. As varáves de decsão são o número de segmenos da casca, dmensões dos reforços anelares e espessuras da casca nos segmenos com reforços equdsanes ou a espessura e a dsânca enre reforços. As ensões e os deslocamenos podem ser calculados em função de valores deermníscos das cargas, geomera e comporameno maeral. Alguns códgos especfcam probabldades de roura máxmas num deermnado período de referênca. Esa probabldade de roura é raduzda em coefcenes de segurança e coefcenes para combnação de ações que dvdem ou mulplcam, respevamene, os valores caraceríscos das ressêncas e ações, de modo a serem obdos os valores de cálculo (nível I Pressupõese que a esruura garane a fabldade desejada se os esados lmes não forem ulrapassados. A vanagem de ulzar um méodo do nível I (valores deermníscos especfcados em regulamenos ou códgos) é que os esados lmes são verfcados para um número reduzdo de combnações. Os coefcenes de segurança são muas vezes obdos para os membros sem se avalar a segurança da esruura. Ese problema pode ser ulrapassado ulzando méodos de fabldade mas sofscados de nível II (méodo dos segundos momenos de.ª e.ª ordem) e nível III (smulação de Mone-Carlo, amosragem mas represenava Nese rabalho fo ulzado o méodo dos segundos momenos de.ª ordem []. Os modos de fabldade ndvduas esão assocados à ensão normal provocada pela pressão exeror no segmeno da casca e a encurvadura local do banzo comprmdo do reforço. Por esse movo o problema de omzação em varáves dscreas e conínuas. Ulzase uma esraéga branch and bound para resolver os problemas de omzação com varáves deermníscas (nível I) e aleaóras (nível II As varáves de decsão que conduzem a subesmavas são obdas eravamene ou aravés de omzação com varáves conínuas. As soluções dscreas preenddas são deermnadas por enumeração mplíca. São comparados os cusos da casca com 6

3 reforços equdsanes e varáves. A omzação do cuso de cascas clíndrcas reforçadas depende de um conjuno de parâmeros: carga (compressão axal, flexão, pressão exerna ou combnação de cargas), po de reforço (anelar, longudnal, orogonal) e perfs do reforço (plano, I, meo I, L, secção oca ou rapezodal Fo demonsrado que os reforços anelares são económcos para pressão exeror [3-4]. Nese esudo consdera- -se uma casca fxa na base e lvre no opo sujea a uma carga axal de compressão e urna força horzonal que aua no opo. Na ref. [5] é omzada uma casca reforçada longudnalmene no exeror sendo mposos lmes ao deslocameno horzonal. Nese problema é esudada uma casca reforçada com secção consane. As resrções êm a ver com encurvadura local, encurvadura dos reforços e lmes mposos aos deslocamenos horzonas. A função cuso que é mnmzada nclu o cuso do maeral, ransformação dos elemenos de casca para geomera clíndrca, monagem, soldadura e pnura. Para resolver os problemas de omzação com varáves deermníscas (nível I) e aleaóras (nível II) fo adoada uma esraéga branch and bound em conjuno com um algormo de omzação baseado em enropa de nformação [6]. Ese algormo deermna varáves de decsão conínuas que consuem lmes nferores assocados aos nós da árvore combnaóra, sendo obdas as soluções dscreas por enumeração mplíca. Comparam-se as soluções omzadas obdas com base deermnísca e fabldade, sendo referda a nfluênca dos lmes mposos ao deslocameno horzonal. Formulação do problema Fgura Casca clíndrca reforçada submeda a uma carga vercal N F e força horzonal H F. Secção que nclu os reforços exernos em mea secção em I. Casca cónca As varáves que permem dmensonar com reforços não equdsanes são: comprmeno do segmeno de casca (L ) para uma espessura especfcada (), dmensões dos reforços anelares (h, r Se for gual a dsânca enre reforços é necessáro deermnar a espessura dos segmenos ( ) e as dmensões dos reforços (h, r Os reforços são colocados nas exremdades, mas em de exsr uma dsânca mínma enre eles (represenada na Fgura a racejado) para permr a nspeção das soldaduras, O número de segmenos (n) é deermnado em função da espessura da casca. Os símbolos A, G e ndcados na fgura não vão ser ulzados dreamene nese rabalho.. Casca clíndrca reforçada A esruura esudada é uma coluna apoada auada por uma carga vercal e oura horzonal. São mposos lmes ao deslocameno no opo da coluna, sendo ulzados reforços longudnas de mea secção UB. O cuso da esruura é formulado de acordo com a sequênca de fabrco. Quadro Caraceríscas dos perfs UB (Arbed [7]) Perfl UB h b w f A S I y ,4 88,7 4,5 7, ,8 0, 4,8 7, , 5,7 7, , 0,9 6,0 8, ,7 0,8 6,0 8, ,0 6,6 0, , 4, 6,8, ,6 5,9 8, 3, , 09,3 0, 5, ,6 8,, 7, ,5 53,7.4 9, , 66,7 4,3, ,7 9,4 4,7, ,4 304, 5,9 3,

4 Os dados são a alura de coluna L, o rao médo da casca R, força axal de compressão N F, força horzonal H F, ensão de cedênca no aço f y, faores de cuso para o maeral, fabrco e pnura k m, k f, k p. As ncógnas são a espessura da casca, bem como a alura h e o número de reforços n s. A dsânca enre eles é obda a parr de n s. As caraceríscas dos perfs UB são reproduzdas na Quadro, onde se verfca que h = h + f. e Le C = 4 + 0, 034 (7) R e e 3 Resrções 3. Casca cónca 3.. Resrção à encurvadura global De acordo com as regras DNV [8], para segmenos enre dos reforços com os raos R, e R + a resrção relava à encurvadura obém-se a parr de uma casca clíndrca com rao equvalene, R + + R R e, = cos α = cos α an α + Rn+ R, R + L R L0 an α = = an α + () No problema equdsane é necessáro defnr o número n de segmenos enre reforços L, L L = 0 (3) n e a varável de decsão esá assocada com a espessura equvalene, e = cos α (4) () Fgura 3 Segmeno de casca e reforço de secção quadrada As ncógnas ou L são calculadas a parr da resrção de encurvadura da casca (5), γ b é o coefcene de majoração das cargas. 3.. Resrção à encurvadura no reforço Para os reforços fo escolhda uma secção em caxão quadrada soldada a parr de 3 componenes. Dese modo é garando um comporameno mas efcaz do que ulzando reforços com secção abera (Fgura De acordo com o Eurocódgo [9], a resrção à encurvadura da alma comprmda é δh, / δ = 4 ε, ε = 35 / f (8) r y para f y = 355 MPa e /δ = 34. A Eq. (8) conduz a r, uma vez conhecdo h. A alura é deermnada a parr da resrção à encurvadura do reforço que exge um momeno mínmo de nérca em E em relação ao exo x. E é o cenro de gravdade da secção consuída pelo reforço e secção efeva da casca (Fgura ) e y E é a dsânca da secção efeva da casca ao cenro de gravdade E: Fgura Casca cónca Para reforços com espaçamenos dferenes = e L é uma varável de decsão. Se os espaçamenos forem dêncos deermna-se a espessura e verfca-se que a soma das varáves L é gual a L 0. Eq. ()-() são váldas em ambos os casos. A ensão normal num segmeno provocada pela pressão exeror em de ser nferor à ensão críca de encurvadura: σ = γ pr σ = f λ = f σ b y y cr, 4 e +λ E π e, L e L e cos C E L σ E = = ν α (5) (6) γ b pr RE L ef Ey E0, 005R Ix Ireq = + (9) 3E RE ( f y / σ ) e δh L L h I h y y 4 3 ef ef x = + 3 δ r + ; r = + 6 3δ h + Lef 3 y δh 3 E = δ 3 h + Lef ef ef 0 ef 0 (0) () L = mn L,L, L =, 56 R () h RE R h δ = + + y (3) E O valor de h preenddo va ser calculado a parr da Eq. (9 8

5 3. Casca clíndrca 3.. Resrção à encurvadura da casca (panel curvo sem reforços) N H L f σ +σ = + σ = π π +λ F F y a b cr R e R 4 e fy σ a σ b As R e s π λ = + ; = + ; = σ a +σb σea σeb s ns e é a espessura equvalene. (4) (5) π E σ ea = c a (, 5 50b (6) ) 0, 9 s raξ s C a = + Z =, 4 ; R 0, 5 R r a = 0, 5 + ; ξ = 0, 70Z 50 π E σ Eb = C b (, b) (7) (8) 5 50 (9) 0, 9 s r ξ R = 4 + ; r = b C b b, 0, 5 (0) O faor de dsorção devdo à soldadura é,5 50b = quando > Resrção à encurvadura do panel de reforço σ +σ σ = a b crp fy +λ 4 p () Para conhecer λ p é necessáro ober σ Ep que por sua vez depende de C p 3 w h h w h h Isef = se zg + + zg + b f zg h w / 8+ h b f / zg = h / + b + s 4 w f e (5) (6) h = h f (7) ψ = p + γ s As (8) + s e e Como o valor efevo S e (Fgura ) da casca pelas regras DNV é obdo aravés de um processo eravo, fo escolhdo o méodo smplfcado do ECCS [0]: E s =, 9 S < S S = S ; se S >s S = S (9) E E e E E e fy 3..3 Resrção ao deslocameno horzonal w ML L h = wallow = 3EIx 0 f (30) f vara enre 400 e 000. O cálculo exao do momeno de nérca para o deslocameno horzonal ulza o segune formuláro (Fgura ): A dsânca ao cenro de gravdade da mea secção UB é ( + f ) h w / h / 4 / ZA = h / + b w Momeno de nérca de mea secção UB 3 w h h w h x = f A + + A I b z z 4 f Momeno de nérca de uma secção de casca reforçada (3) (3) fy π E λ p = ; σ Ep = Cp σep 0, 9 L () ns ns π h w h + f π Ix = π R + Ix 3 0 sn + + b f R+ za = n sn s = ns (33) C p é função de ξ p e ψ p 0 5ξ p p p p ψ p, L C = ψ + ; Z = 0, 9539 (3) R Por sua vez ξ p é função de Z p e ψ p depende de γ s I ξ = γ = 3 s sef p 0, 70 Z p ; s 0, 9 (4) onde I sef é o momeno de nérca de uma secção conendo o reforço e pare da casca com largura S e (Fgura Para um reforço cuja secção é meade de um I 4 Função cuso 4. Casca cónca A função cuso é formulada de acordo com a sequênca de fabrco. a. Modfcar 3 elemenos de placa em elemenos casca lgeramene cóncos (K F0 b. Soldadura de 3 elemenos curvos numa casca com GMAW-C (soldadura em arco gás-meal com CO ) usando soldaduras de opo (K F c. Soldadura de n + reforços anelares, cada qual a parr de 3 elemenos com cordões de soldadura GMAW-C (K F 9

6 d. Soldadura de um reforço anelar em cada segmeno de casca com cordões de soldadura GMAW-C (K F3 e. Monagem da esruura reforçada a parr de n segmenos (K F4A ), f. Soldadura n segmenos de casca para formar o conjuno da esruura com n soldaduras de opo anelares GMAW-C (K F4W ) g. Pnura exeror e neror da esruura (K P O cuso oal nclu o cuso do maeral, monagem soldadura e pnura, K = K + K + K + K + K + K + K M F0 F F F3 F4 P (34) KM = km r V, k M =, 0 /kg (35) represena um cuso de referênca. O volume do conjuno da esruura nclu o volume dos segmenos da casca (V ) e reforços anelares (V r ) n n+ r = = V = V + V (36) m 0, 5 0 = Θ m = +, 5 0, (37) K k e, -,, R K F F e n F0 = KF0 = (38) onde o faor de dfculdade de fabrco é Θ = 3 e a massa volúrnca do aço é r = 7, kg/ 3, 3, 9358 KF = k F Θ r V +,, L e (39) K V n F = KF = (40) = πre Le (4) 3 KF = k F Θ r V r +,, aw π R h (4) e V = 4π h R h / + π h R h (43) r r r A dmensão do cordão de soldadura é a w = 0,7 δh. 3 KF k F V,, aw R 3 = Θ r + π V = V + V 3 r F4 F4 A F4W F4 A F F4W F4W = n (44) K = K + K, K = k Θ nr V, K = K (45) 3, 9358 K F4W =, 3k F 0, 5 0 πr (46) R + R K K K, K k L n+ p = p + max p p = p4π 0 = p p p (47) 6 K = k 4πh R h /, k = 4, 4 0 / (48) 4. Casca clíndrca a. Fabrco de n se = 5 segmenos de casca com 3 m de comprmeno sem reforços. Para cada segmeno da casca são necessáros dos cordões de soldadura de opo axas (GMAW-C) (K F Esá ncluído o cuso de modfcar cada segmeno da casca na geomera clíndrca (K F0 b. Soldadura de oda a casca não reforçada a parr de n se elemenos n se com soldaduras de opo crcunferencas (K F c. Soldadura de n s reforços à casca com dos cordões de soldadura GMAW-C, oalzando n s (K F3 Cuso do maeral KM = KM nse r V + KM rns As L/ (49) V R, 6 3 = 3000 π ; r = kg ; k F =, 0 / mn ; K M =, 0 / kg (50) O cuso de modfcar os elemenos da casca na forma clíndrca é u 0, 5 0 =, 5 0 FΘ ; = (5) K k e u,,, R F 3, 9358 KF = k F Θ kr V +,, (5) Em que Θ é um faor de dfculdade que raduz a complexdade do fabrco e k o número de elemenos que consuem a esruura. k = ; V = Rπx 3000 ; Θ = (53) 3, 9358 KF = kf Θ nse r V +, 3 0, Rπ (54) 3 ( ) K = k Θ n + r V +, 3 0, a Ln (55) F3 F s w s Dmensão do cordão de soldadura a w = 0,3 w, a wmn = 3. V = n V + n A L/ se s s (56) Cuso da pnura 6 K = k 4Rπ L+ n A L/ ; k = 4, 4 0 / (57) p p s L p Área do reforço pnada A / = h+ b (58) L Cuso oal K = K + n K + n K + K + K + K M se F se F0 F F3 p (59) 5 Fabldade A roura pode ser descra aravés de uma relação funconal desgnada função de esado lme, { g( x) } F = 0 (60) A probabldade de roura é calculada a parr do negral F = 0 g( x ) < x P f X dx (6) 0

7 onde f x (X) é a função de densdade probablísca conjuna das varáves aleaóras. Como o negral não é fácl de calcular, êm sdo proposas dversas meodologas que ncluem écncas numércas de negração, smulação de Mone Carlo e desenvolvmenos assnócos de Laplace []. As écncas de negração numérca não são efcenes para um número sgnfcavo de varáves aleaóras x. Apesar de poderem ser ulzadas as écncas de Mone Carlo (nível III), nese rabalho fo segudo o Méodo dos segundos momenos (nível II Se a função de esado lme g (x) for lnear em relação às varáves aleaóras x que seguem a dsrbução normal, a probabldade de roura pode ser expressa em função da margem de segurança M: F { } P = P g x 0 = P M 0 (6) que pode ser obda a parr da varável normal padronzada P F = Φ b (63) em que b é o índce de fabldade que represena o quocene b = m / σ (64) M M O índce de fabldade em a nerpreação geomérca da dsânca da lnha (ou hperplano) que consu a fronera enre o domíno seguro e a roura. Nese caso, a deermnação da probabldade de roura reduz-se a um conjuno smples de cálculos que envolvem as médas e desvos padrões das varáves aleaóras báscas. Se as varáves aleaóras não segurem a dsrbução normal ulza- -se a ransformação de Rosenbla para ober varáves normas equvalenes. Se a função de esado lme não for lnear em relação às varáves aleaóras x, em de se lnearzar a superfíce de roura represenada no espaço das varáves padronzadas u u = x m / σ (65) ( ) x x Como se desconhece à parda o pono da superfíce de roura a lnearzar, ulza-se um processo eravo. Admndo que a função de esado lme é dferencável, consdera-se o algormo n α = g ( bα) / u g ( bα) / u j= ( bα bα bαv ) (66) G,, (67) que ermna no pono de roura u* ao qual corresponde o índce de fabldade b. A probabldade de roura que corresponde a b é normalmene muo reduzda. Cada função de esado lme esá assocada a uma probabldade de roura correspondene a esse modo. Para ober a probabldade de roura da esruura em de se combnar os modos ndvduas. Os modos de roura esão normalmene correlaconados quer pelas cargas quer pelas ressêncas, não sendo práco o cálculo exao numérco. O procedmeno mas smples sera admr uma dependenca esaísca enre modos perfea (lme nferor de Cornell) ou consderá-los esascamene ndependenes (lme superor de Cornell) []: Max P ( Z ) P P [ Z 0 ] (68) r k F r k allk k =,m O nervalo enre eses lmes é normalmene sgnfcavo, uma vez que não se consdera nesa aproxmação a correlação enre modos de roura. O méodo de Dlevsen [3] ncorpora a dependênca esaísca enre dos modos quasquer P(F F j ), o que sgnfca que os modos F e F j possam ocorrer em smulâneo e esrea consderavelmene os lmes na fabldade da esruura. P F + Max P F P F F m F j = j= m P P F MaxP F F m F j = = j< ;0 (69) (70) Num espaço Gaussano são deermnados os valores b, b e o coefcene de correlação r j para cada par de modos de roura F e F j de modo que se r j > 0 (F e F j correlaconados posvamene): b b jr j b j br j P( F Fj ) Max Φ( b j ) Φ ; Φ( b j ) Φ (7) r j rj b b jr j b j br j P( F Fj ) Φ( b j ) Φ + Φ( b j ) Φ r j rj (7) Ouras aproxmações da probabldade de roura da esruura excluem o cálculo das probabldades condconas enre modos de roura. Refere-se a íulo de exemplo o PNET (Probably Nework Evaluaon Technque)[4] que requer a deermnação dos coefcenes de correlação enre pares de modos de roura. O coefcene de demarcação r 0 defne um coefcene de correlação enre modos. Para valores superores ao coefcene de demarcação (r,j r 0 ) consderam-se os modos como perfeamene correlaconados e aqueles com correlação baxa (r,j < r 0 ) são ndependenes. Nese caso as soluções dependem sgnfcavamene do coefcene de demarcação r 0 espulado. 6 Omzação sasfazendo níves I e II de fabldade 6. Esraéga branch and bound para deermnação do ómo global O problema é não-lnear e as varáves de decsão são dscreas. Os méodos aproprados para resolver um problema dese po podem ser caracerzados como deermníscos (esraégas de enumeração, planos de core, méodos de escavação), esocáscos (pesqusa aleaóra, recosmeno smulado) ou baseadas em analogas com a bologa (méodos genécos, redes neuronas Dado o reduzdo número de varáves dscreas fo adoada uma esraéga de enumeração mplíca (branch and bound) para ober a solução com menor cuso. Os dos ngredenes são uma árvore combnaóra com nós defndos de algum modo e lmes nferores

8 e superores da solução óma assocados a esse nó. Dese modo é possível elmnar um conjuno sgnfcavo de soluções poencas sem as calcular. Consdera-se ermnada uma solução parcal quando for obda uma solução com varáves dscreas ou se o dmensonameno conendo anda algumas das varáves conínuas ver um cuso superor a um ómo emporáro. Se uma solução parcal for ermnada, so sgnfca que odas as soluções dscreas com base nessa solução conínua foram enumeradas mplcamene. Quando o úlmo dos nós for ermnado o algormo fnalza, sendo o ómo emporáro a solução preendda. Na árvore combnaóra são enumerados odos os nós de forma mplíca ou explíca. 6.. Casca cónca O processo de omzação é consuído pelos passos segunes: a. Deermnação do comprmeno de cada segmeno de casca para urna espessura deermnada (reforços equdsanes) ou a espessura de um segmeno dado o comprmeno (reforços equdsanes) a parr da resrção de fabldade da casca; b. (Deermnação da alura h (e r ) dos reforços para cada segmeno de casca ulzando a resrção de encurvadura do reforço e a expressão do Eurocódgo; c. Cálculo do cuso da esruura. Para reforços equdsanes defne-se n no opo da árvore combnaóra, correspondendo os resanes níves a a parr do qual se deermna h e r. Quando se escolhe n, L obém-se a parr de (3) e os valores mínmos de são obdos a parr da resrção de fabldade (5) eravamene. h e r resulam das resrções (9) e (8 Os nós da árvore combnaóra esão assocados ao cuso da esruura, correspondendo o segundo nível a valores dscreos de medaamene acma do valor conínuo obdo. Os valores correspondenes de h e r são calculados, obendo-se uma solução dscrea para h e r no úlmo nível da árvore. No caso dos reforços não equdsanes, a espessura va defnr o nível superor da árvore combnaóra. Dfere do caso aneror porque a soma dos comprmenos dos segmenos em de gualar o comprmeno oal da casca, não sendo nesa fase anda conhecdo n. Por esse movo é defndo e são calculados os comprmenos máxmos L ulzando a resrção (5 n é obdo quando a soma dos L não for nferor a L o. As varáves de decsão que correspondem aos reforços h e r dependem dos valores de e L. Ese procedmeno fo segudo duas vezes escolhendo o valor ncal de L em cada exremdade. Os resulados de ambas as meodologas dferram menos de 0,5%. Em alernava foram omzadas as n varáves de decsão L ulzando o méodo das dreções conjugadas. Fo mnmzado o cuso uma vez que não hava resrções dependendo de h e r conduzndo a melhores resulados. A esraéga "branch and bound" descra maném-se válda para escolher o ómo dscreo. 6.. Casca clíndrca O número de níves da árvore combnaóra é gual ao número de varáves dscreas. Ulza-se uma regra de ramfcação fore no opo da árvore permndo especfcar o número de reforços. Cada nó é ramfcado em n s nós, cada qual assocado a varáves de decsão conínuas represenando a espessura da casca e a alura do reforço h. Ese procedmeno requer a ulzação de valores conínuos próxmos das caraceríscas das secções em UB (A s, b, f, w ) que são obdas em função de h. Por sua vez a alura h ambém em um valor conínuo deermnado ulzando as aluras dos dversos perfs UB. Conudo, é necessáro que esas propredades geomércas subesmem as caraceríscas geomércas verdaderas de modo que a solução obda, ulzando as propredades reas dos perfs, deem resulados superores aos enconrados ulzando as aproxmações conínuas. No segundo nível da árvore os ramos correspondem aos dferenes perfs UB. Dese modo é calculada a espessura conínua mínma de casca necessára. À solução mínma dscrea corresponde a solução óma emporára. Cada nó esá assocado a uma subesmava aé ao. nível. Cada nó cujo valor seja nferor ou gual à solução ópma emporára maném-se avo. Caso conráro consderam-se ermnados. Todos os nós da árvore combnaóra êm de ser analsados aé ermnarem. A esraéga de ramfcação adoada fo escolher sempre o nó assocado ao menor cuso. Consderam-se rês níves na árvore combnaóra. Espula-se no opo da árvore o número de reforços, correspondendo os dos níves resanes aos perfs UB e à espessura da coluna em caxão de secção quadrada. B o será obdo uma vez que sejam conhecdas as varáves resanes. Os mesmos níves foram adoados na placa celular apoada, sendo deermnados e no ercero nível. Fo seguda uma regra fore para ober os nós do nível nferor, ou seja: cada nó pode ser ramfcado em n s nós, cada qual assocado ao número de reforços na dreção x. Ese procedmeno exge a ulzação de valores conínuos próxmos das caraceríscas dos perfs UB (b f, w Esas aproxmações que dependem da alura são deermnadas a parr dos dados correspondenes a odos os perfs. Do mesmo modo obém- -se uma expressão conínua para h. É necessáro er em aenção que as propredades geomércas assm calculadas sejam subesmavas convexas das propredades reas, de modo a que a solução obda ulzando os valores reas dos perfs UB seja mas dspendosa do que as obdas ulzando as aproxmações conínuas. 6. Subesmava convexa: omzação com varáves de decsão conínuas Uma subesmava consse em resolver o problema de omzação admndo varáves conínuas em lugar das dscreas. Para mnmzar o cuso e sasfazer as resrções defne-se um problema com objevos múlplos. Todos os objevos são normalzados arbundo-se o peso a cada um assocado à enropa de nformação. Se for especfcado um cuso de referênca K 0, a redução dese objevo consse em g,h = K,h / K0 0 (73) Ouros dos objevos resulam da resrção à encurvadura global e dos panés de reforço: g,h = σ +σ / σ a b cp 0 (74)

9 g,h / 3 = σ a +σb σcrp 0 (75) É necessáro acrescenar no caso da casca clíndrca um objevo relaconado com a redução do deslocameno horzonal máxmo: h allow g4,h = w / w 0 (76) A omzação de Pareo melhora o dmensonameno, sendo obdas soluções aravés da omzação da função escalar convexa [5]: F,h n exp g,h (77) = r( ) 3 r j= Esa função consu uma aproxmação convexa dos objevos. Como alguns deses objevos não êm uma expressão algébrca explíca, a esraéga adoada consse em resolver uma sequênca de modelos aproxmados. Ulzam-se os dos prmeros ermos das séres de Taylor, daí resulando o problema de omzação: j g j,h g,h F(,h) = n Mn exp r g0 (,h) + d + dh (78) r j= h Ese problema possu uma solução analíca em ermos das modfcações das varáves de decsão d e dh. A resolução para um valor numérco parcular de g oj consu uma eração de (77 Impõem-se lmes para as alerações nos valores das varáves de decsão de modo a garanr a precsão das aproxmações. Nese exemplo e como é dmnuo o número de varáves de decsão é possível deermnar a solução analíca dos problemas de omzação (78 No decurso das erações aumena-se o parâmero de conrolo r de modo a melhorar a qualdade da aproxmação. 7 Resulados numércos e dscussão 7. Casca cónca Consdera-se a casca cónca auada por uma pressão exeror e com reforços anelares de secção quadrada em caxão. A omzação mnmza o cuso oal, garanndo a fabldade de nível I (problema deerrnnísco) e de nível II sendo comparados os resulados, desgnadamene cuso e varáves de dmensonameno. As dmensões dos reforços em cada segmeno são obdas com base na fabldade do reforço à encurvadura nese úlmo problema e nas expressões deermníscas para o cálculo baseado em valores regulamenares (nível I Comprmeno oal da casca L = 5 000, raos laeras R mn = R = 850 e R max = R n+ = 850, coefcene de Posson ν = 0,3, módulo de elascdade E =, 0 5 MPa. De acordo com o dmensonameno radconal por esados lmes (nível I) consderam-se os valores de cálculo da ensão f y = 355 MPa e da pressão exeror p = 0,75 MPa. Consdera-se o coefcene de majoração das cargas γ b =,5 para as resrções de encurvadura da carga e do reforço. Para o problema de nível II consderam-se varáves aleaóras a ensão méda m fy = 440 MPa e um coefcene de varação de 0,0 e a méda da pressão exeror m p = 0,3765 MPa e um coefcene de varação de 0,0. Em ambos os casos fo adoada a dsrbução normal. Apesar de a aleaoredade do módulo de elascdade poder desempenhar um papel sgnfcavo, não fo aqu consderado. A probabldade de roura calculada esá assocada a esados lmes que correspondem a ensões de encurvadura na esruura e a encurvadura dos panés de reforço. Em prmera análse, as resrções são lmes mposos à probabldade de roura devda à encurvadura da casca e dos panés de reforço. A espessura (para reforços equdsanes) ou o comprmeno de cada segmeno da casca (reforços não equdsanes) são calculados de modo a garanr a fabldade da casca à encurvadura. No caso dos reforços equdsanes ulzam-se valores de n enre 4 e 8. Foram obdas soluções com dferenes coefcenes de varação do carregameno e valores de p F. Em cada caso a probabldade de roura fo defnda para a equação de esado lme defnda quando as ensões normas devdas à pressão exeror em cada segmeno de casca se aproxmam da carga críca de encurvadura. A equação de esado lme relaconada com o dmensonameno dos reforços anelares esá alamene correlaconada com a encurvadura global da casca e a probabldade de roura mas ala represena ambos os modos. Os cusos oas são represenados na Quadro. Eses resulados são dêncos aos enconrados quando a casca esá submeda a cargas deermníscas. Jusfcam-se devdo à predomnânca das resrções de encurvadura global. Os dmensonamenos que correspondem a esas soluções são represenados na Quadro 3. Quadro Cuso 0 3. Os valores ómos são ndcados a negro n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 Cov = 0,5 p F = ,5 73,0 7,7 73,6 Cov = 0,0 p F = ,0 78,4 79, 79, Cov = 0,5 p F = ,4 84,9 84, 84,5 Quadro 3 Dmensões prncpas (em ) dos ómos n = 7 Cuso = 7,7 0 3 n = 5 Cuso = 78,4 0 3 n = 6 Cuso = 84, 0 3 h r h r h r Soluções ómas para reforços não equdsanes esão represenadas na Quadro 4. 3

10 Quadro 4 Cuso 0 3. Os valores ómos são ndcados a negro = 6 = 7 = 8 = 9 Cov = 0,5 p F = , 73,8 7,8 75,0 Cov = 0,0 p F = , 78, 78, 80,5 Cov = 0,5 p F = , 86,6 90,0 90,9 Os dmensonamenos que correspondem a esas soluções são represenados na Quadro 5. Quadro 5 Dmensões prncpas (em ) dos elemenos correspondenes às soluções ómas = 8, n = 6 = 8, n = 7 = 8, n = 7 = 7 n = 9 Cuso 7,8 0 3 Cuso 78, 0 3 Cuso 78, 0 3 Cuso 86,6 0 3 L h r L h r L h r L h r Para reforços equdsanes não há conclusões relavas ao número ómo de reforços ou como o dmensonameno é alerado alerando os requsos de fabldade. Há um elevado número de soluções dscreas próxmas, sendo a mas económca seleconada aravés da enumeração mplíca. Quando os reforços são não equdsanes, a conclusão geral ndca a necessdade de mas reforços quando aumena o cov do carregameno ou se reduz p F. Há soluções ómas muo próxmas (menos do que % de dferença) para um cov do carregameno gual a 0, e p F = 0-4. Nese caso o quocene enre o cuso do maeral e o cuso de fabrco é menor porque são necessáros mas reforços para garanr a esabldade de uma casca mas fna. As soluções com reforços equdsanes são normalmene mas económcas que as obdas com reforços não equdsanes para valores superores da carga e menor p F por necessarem de um menor número de reforços. É possível reduzr o número de reforços na carga com reforços não equdsanes quando se reduz a carga e aumena p F. Os cusos não dferem muo para os dos pos de reforço anda que os dmensonamenos sejam subsancalmene dferenes. 7. Casca clíndrca Dados numércos: N F = kn, f y = 355 MPa, R = 850, L = 5 m. M = H F L; H F = 0, N F De acordo com o dmensonameno radconal por esados lmes com cargas deermníscas (nível I) consdera-se a ensão f y = 355 MPa e a carga vercal N F =,67 MN. O coefcene de majoração da carga vercal e horzonal para os esados lmes úlmos relaconados com a encurvadura da casca e do panel de reforço é,5. Não se consdera ese coefcene de majoração no esado lme de ulzação decorrene do lme mposo ao deslocameno horzonal. Para o problema nível II consderam-se varáves aleaóras a ensão méda µ fy = 440 MPa e um coefcene de varação 0,0 e a méda do carregameno vercal µ NF = 0 MN e um coefcene de varação 0,0. Em ambos os casos fo adoada a dsrbução normal. Apesar de a aleaoredade do módulo de elascdade poder desempenhar um papel sgnfcavo, não fo aqu consderado. Em prmera análse, as resrções são lmes mposos à probabldade de roura devda à encurvadura da casca e dos panés de reforço e de o deslocameno horzonal máxmo poder ser ulrapassado. Adme-se a probabldade de roura máxma p F,0E-4 (b maor que 3,7 Como se verfca que as encurvaduras da casca e do reforço são alamene correlaconadas, a probabldade de roura mas elevada represena ambos os modos. A correlação enre eses modos e o deslocameno horzonal é mas fraca (0,6) o que sgnfca que os lmes de.ª ordem de p F são superores em cerca de 6% à probabldade de roura do modo mas elevado. Os resulados da omzação são ndcados nas Quadro 6. Quadro 6 Resulados da omzação da casca com reforços soldados Cargas deermníscas (Nvel I) φ UB n s P F Cuso Méodo dos segundos momenos (Nvel II) UB n s P F Cuso ,5E ,0E ,E ,5E ,8E ,E ,5E ,8E ,0E ,E ,0E ,8E A comparação enre soluções ómas ulzando a fabldade e soluções deermníscas demonsra que as prmeras são normalmene menos económcas quando os deslocamenos horzonas são menores, mas são mas seguras. Para L/000, L/900 e L/700 obêm-se soluções 3% mas caras mas com o 4

11 dobro da segurança; L/800: 5% mas caras mas com o dobro da segurança; L/600: % mas caras mas 40% mas segura. L/500: 3% mas baraa, mas menos segura. Na Quadro 7 verfca-se que o aumeno de segurança é em larga medda devdo ao aumeno da espessura. Os dmensonamenos com base probablísca ulzam menores reforços se não for avo o esado lme assocado aos deslocamenos horzonas máxmos (L/500 e L/600 Quadro 7 Omzação com resrções de fabldade para dferenes P F φ UB n s pr,0e-3 Cuso Df cus. % UB n s py <,0E-5 Cuso Df cus. % , , , , , , , , , , , ,0 Quadro 8 Omzação com resrções de fabldade para dferenes coefcenes de varação das cargas φ UB n s Coefcenes de varação = 0,5 Cuso Df cus. % Coefcenes de varação = 0,5 UB n s Cuso Df cus. % , , , , , , , , , , , ,3 As soluções deermníscas concdem com as soluções com base probablísca quando se especfca a probabldade de roura máxma ndcada na 5.ª coluna da Quadro 6. As Quadros 7 e 8 apresenam soluções ómas com base probablísca quando se modfca p F e o coefcene de varação do carregameno. Quando se reduzem os deslocamenos máxmos permdos (L/000 e L/900) aumena o número e dmensão dos reforços. 8 Conclusões O presene rabalho cenra-se na omzação para resrções deermníscas e em alernava com resrções de fabldade de cascas cóncas meálcas com reforços soldados anelares de secção quadrada. Eses reforços podem ser colocados à mesma dsânca (espessura varável) ou não (espessura consane A mesma meodologa é aplcada a cascas clíndrcas apoadas na base e lvres no opo submedas a uma força axal de compressão e uma força horzonal auando no cmo da casca. A casca é reforçada no exeror aravés de reforços soldados com cordões de soldadura longudnas. Os reforços são meos perfs em I (UB A função cuso que é mnmzada nclu o cuso do maeral, ransformação dos elemenos de casca para geomera clíndrca, monagem, soldadura e pnura Para resolver os problemas de omzação com varáves deermníscas (nível I) e aleaóras (nível II) fo adoada uma esraéga branch and bound em conjuno com um algormo de omzação baseado em enropa de nformação. Ese algormo deermna varáves de decsão conínuas que consuem lmes nferores assocados aos nós da árvore combnaóra, sendo obdas as soluções dscreas por enumeração mplíca. Foram comparadas na dscussão aneror as soluções omzadas obdas com base deermnísca e fabldade. Nas cascas ronco-cóncas os cusos não dferem muo para os dos pos de reforço anda que os dmensonamenos sejam subsancalmene dferenes. Nas cascas clíndrcas reforçadas é referda a nfluênca dos lmes mposos ao deslocameno horzonal. Como sera de esperar, as soluções deermníscas concdem com as obdas com resrções de fabldade se for domnane um dos esados lmes, mas podem dvergr se a probabldade de roura da esruura depender de város esados lmes com uma correlação pequena e assocados a probabldades de roura da mesma ordem de grandeza. Referêncas [] Klõppel; Mozel, E. Traglasversuche an sãhlernen, unversefen und rngversefen Kegelsumpfschalen. Tel. Versuchsberch. Sahlbau 45 (0), 89-30, 976. [] Rao, S.S.; Reddy, E.S. Opmum desgn of sffened concal shells wh naural frequency consrans. Compuers & Srucures 4 (-), 03-0, 98. [3] Ellnas, C.P.; Supple, W.J.; Walker, A.C. Bucklng of offshore srucures. London, ec. Granada Publ., 984. [4] Spagnol, A. Bucklng behavour and desgn of sffened concal shells under axal compresson. PhD hess, Unversy of London, London, 997. [5] Spagnol, A.; Chryssanhopoulos, M.K. Bucklng desgn of srngersffened concal shells n compresson. J. Sruc. Eng. ASCE 5 (), 40-48, 999a. [6] Spagnol A.; Chryssanhopoulos, M.K. Elasc bucklng and posbucklng behavour of wdely-sffened concal shells under axal compresson. Eng. Sruc. (9), [7] Spagnol, A. Dfferen bucklng modes n axally sffened concal shells. Eng. Sruc. 3 (8), , 00 5

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