Teste Intermédio Mtemátic A Resolução (Versão ) Durção do Teste: 90 minutos.0.0.º Ano de Escolridde RESOLUÇÃO GRUPO I. Respost (C) O vlor máimo d unção objetivo de um problem de progrmção liner é tingido num vértice d região dmissível. Os vértices d região dmissível são os pontos de coordends (0,0), (0, 6), (, 6), (, ) e (, 0) Clculemos o vlor d unção objetivo em cd um destes pontos. L ^00, h 0 0 0 L ^06, h 0 6 8 L ^6, h 6 0 L ^, h L ^0, h 0 Assim, o vlor máimo d unção L n região representd é 0. Respost (C) Sej! r, r E ; ; tem-se sen0, cos 0 e tg 0 Então, sen cos 0, cos 0, tg sen 0 tg e sen # tg 0 Portnto, só epressão tg- sen design um número rel positivo, pr qulquer pertencente o intervlo r, r E ;. Respost (B) A equção sen 0, tem dus soluções no intervlo 60r, 6: um no intervlo 0, r D : e outr no intervlo E r, r ; Como unção seno é periódic, de período r, equção sen 0, tem tmbém dus soluções em qulquer um dos vinte intervlos 6-0r, -8r6, 6-8r, -6r6, g, 6-r, 06, 60, r6, 6r, r6, g, 68r,0r6 Portnto, equção dd tem 0 # soluções no intervlo 6-0r,0r6 TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin / 6
. Respost (D) O conjunto solução d condição ^h # 0 é o conjunto ds bcisss dos pontos do gráico de que têm ordend menor ou igul ero. N igur o ldo, estão representdos cheio os pontos d hipérbole com ordend menor ou igul ero e trço mis grosso s respetivs bcisss. y - O -. Respost (C) A unção é deinid por ^h 6 e, portnto, ^h 0 Como unção g é pr e g^h 0, tmbém se tem g^ h 0 Portnto, os eros d unção g são - e Ddo que s dus unções têm domínio R, tem-se: ^ # gh^h 0 ^h 00 g^h 0 0 e o^h 0 ^h 0/ g^h! 0 / ^! /! h g condição impossível Então, unção # g tem dois eros: - e unção não tem eros g GRUPO II.. No intervlo @, 6, tem-se: ^h - - 0 - - - -- - ^ h^ h ^ h 0 6 0 ^ h^ h ^ h^ h Em R, o numerdor não tem eros, e os números e são os eros do denomindor. No intervlo @, 6, tem-se o seguinte qudro de sinis. Numerdor n.d. Denomindor n.d. 0 Frção n.d. n.d. n.d. não deinid. Conjunto solução: @, 6 TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin / 6
.. Tem-se: ^ g% h^ h g_ ^ hi ^ h # ^ h # ^ h Portnto, ^ g% h^ h 6 g_ ^ hi 6 g^ h 6 k# ^ h 6 k.. N igur, está representd, num reerencil, prte do gráico d unção Nesse reerencil, estão tmbém representdos: o ponto de bciss e respetiv ordend ssíntot horiontl do gráico d unção deinid pel equção y - y O P ssíntot verticl do gráico d unção deinid pel equção o ponto P^-, -h, cuj ordend é o máimo reltivo d unção 8 O contrdomínio d unção é o conjunto ds ordends dos pontos do seu gráico. Portnto, o contrdomínio d unção é @, @, @, 6.. A áre do polígono [BCDQP é igul à som d áre do triângulo [ODQ com áre do pentágono [ODCBP A áre do triângulo [ODQ é dd por OD # QR QR QR Tem-se: sen sen QR sen OQ Portnto, áre do triângulo [ODQ é dd por # sen, ou sej, é dd por sen A áre do pentágono [ODCBP é igul à dierenç entre áre do retângulo [ABCD e áre do triângulo [OAP A áre do retângulo [ABCD é igul A áre do triângulo [OAP é dd por AO # AP Tem-se: tg AP tg AP AP tg AO Portnto, áre do triângulo [OAP é dd por # tg Assim, áre do pentágono [ODCBP é dd por -, ou sej, tg tg tg Logo, áre do polígono [BCDQP é dd por sen TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin / 6
.. Tem-se: cos r c m sen Então, cos c r m sen sen Ddo que sen cos e que sen, tem-se: cos k cos 9 cos cos 6 c m Como! 0, r B B, tem-se cos Então, ddo que tg sen, tem-se tg cos tg Tendo em cont que áre d região sombred é dd por sen, concluímos que áre pedid é 80 77 8 0 0 0.. Dois plnos prlelos dmitem o mesmo vetor norml. Portnto, um equção crtesin do plno pedido é d orm y d Como o plno pss no ponto D(,, ), tem-se d Logo, d 9 Assim, um equção do plno que pss no ponto D e é prlelo o plno ABC é y 9.. Como os pontos A, B e C pertencem o plno ABC, s sus coordends stisem equção y Determinemos s coordends dos pontos A, B e C como o ponto A tem ordend ero e cot ero, tem-se 0 # 0, pelo que ; portnto, o ponto A tem coordends (, 0, 0) como o ponto B tem bciss ero e cot ero, tem-se 0 y # 0, pelo que y ; portnto, o ponto B tem coordends (0,, 0) como o ponto C tem bciss ero e ordend ero, tem-se 0 0, pelo que 6; portnto, o ponto C tem coordends (0, 0, 6) O ponto M é o ponto de coordends 0, 0, 0 6 c,, m ^60h Tem-se, então, MB B M ^00,, h ^60,, h ^ 6,, h Portnto, um condição crtesin d ret MB é y 6 TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin / 6
.. Sej r ret que pss em O e é perpendiculr o plno ABC O ponto P é o ponto de intersecção d ret r com esse plno. Ddo que ret r é perpendiculr o plno ABC, um vetor diretor dest ret é o vetor de coordends (,, ) A determinção ds coordends do ponto P pode er-se por dois processos..º Processo Recorrendo um condição crtesin d ret r Como ret r pss no ponto O, origem do reerencil, e tem direção do vetor de coordends (,, ), um condição que deine est ret é y As coordends do ponto P são, portnto, solução do sistem [ y y [ y y y y [ y [ [ Portnto, o ponto P é o ponto de coordends (,, ) [ y.º Processo Recorrendo um equção vetoril d ret r Como ret r pss no ponto O, origem do reerencil, e tem direção do vetor de coordends (,, ), um equção vetoril dest ret é ^, y, h k^,, h, k! R Tem-se: ^, y, h k^,, h k / y k / k Portnto, qulquer ponto d ret r tem coordends d orm ^kk,, kh, sendo k um número rel. O ponto P é o ponto dest ret cujs coordends stisem equção y De k k # k, conclui-se que k Portnto, o ponto P é o ponto de coordends ^,, h TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin / 6
Assim, o rio d eser é OP OP Portnto, o volume d eser é # r # ^ h. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos..º Processo Tem-se que ltur de um triângulo equilátero de ldo é igul Portnto, AM Então, AB : AM AB # AM ^ # cos^ab AM h # # cos 0º # #.º Processo Tem-se: AB AM MB Portnto, AB AM ^AM MBh AM AM AM MB AM AM 0 AM : : : : Tem-se que ltur de um triângulo equilátero de ldo é igul Assim, AM Portnto, AB AM AM : c m.º Processo Tem-se: AM AB BM Portnto, AB AM AB ^AB BM h AB AB AB BM : : : : AB AB # BM # cos ^AB BM h # # cos 0º # k ^ TI de Mtemátic A.º Ano mr. 0 RS V Págin 6/ 6